Hypothesenpr˜ufung I - Fehler/Fehler SS05/Folien/HYP1.pdf · I Ubliche˜ Grõ…en des fi-Fehlers: 0,05 bzw. 0,01 I 1¡fi = 0;95: Mit einer Sicherheit von 95% wird die Nullhypothese

TesttheorieSignifikanztestTests fur Mittelwertunterschiede

Hypothesenprufung I

Jost Reinecke

Universitat Bielefeld

7. Juni 2005

Jost Reinecke Hypothesenprufung I


Testtheorie

Signifikanztest

Tests fur MittelwertunterschiedeTest fur unabhangige StichprobenTest fur abhangige Stichproben



Testtheorie

Die Testtheorie beinhaltet eine Reihe von Testverfahren, die sichmit der Uberprufung von Hypothesen uber eine Grundgesamtheitanhand einer Stichprobe beschaftigen.

I Eine Hypothese, die uberpruft werden soll, wird alsAlternativhypothese bezeichnet. Die allgemeineKennzeichnung fur eine Alternativhypothese ist HA oder H1.

I Die Verneinung des in der Alternativhypothese behauptetenSachverhaltes wird als Nullhypothese bezeichnet. Dieallgemeine Kennzeichnung fur eine Nullhypothese ist H0.

Beispiel:H1: Manner wahlen haufiger rechtsextreme Parteien als Frauen.H0: Manner wahlen genauso haufig oder seltener rechtsextremeParteien als Frauen.Beide Hypothesen stellen Behauptungen uber die Grundgesamtheitdar.



Durch Abweichungen zwischen Grundgesamtheit und Stichprobekann es zu zwei Fehlentscheidungen kommen:

1. Fehler 1. Art bzw. α-Fehler: Die Stichprobe bestatigt H1,obwohl in der Grundgesamtheit H0 gilt. Dieser Fehler wird alsWahrscheinlichkeitswert ausgedruckt(Irrtumswahrscheinlichkeit).

2. Fehler 2. Art bzw. β-Fehler: Die Stichprobe bestatigt H0 mitder Schlußfolgerung, daß in der Grundgesamtheit auch H0 gilt,obwohl tatsachlich dort H1 vorliegt.

Eine richtige Entscheidung kann nur getroffen werden, wenn dieaus der Stichprobe gefolgerte Hypothese mit der Grundgesamtheitubereinstimmt.



Fehler bei der Hypothesenprufung

In der

Grundgesamtheit gilt

H0 HA

Entscheidung aufgrund H0 richtig β-Fehler

der Stichprobe HA α-Fehler richtig

Je großer der α-Fehler, desto kleiner der β-Fehler, und umgekehrt.

Achtung: β-Fehler 6= 1−α-Fehler.

Wie kann die Wahrscheinlichkeit einer Fehlentscheidung moglichstgering gehalten werden ?



Prufung des α-Fehlers:

I Wie wahrscheinlich ist ein Stichprobenergebnis, wenn in derGrundgesamtheit die Nullhypothese gilt?

I Die Nullhypothese kann verworfen werden, wenn dieseWahrscheinlichkeit gering ist.

I α gibt die Wahrscheinlichkeit an, mit der man sich bei derAblehnung der Nullhypothese irrt.

I Ist diese Irrtumswahrscheinlichkeit gering, dann wird dieNullhypothese verworfen.

I Ist diese Irrtumswahrscheinlichkeit hoch, dann wird dieNullhypothese beibehalten.



Prufung des β-Fehlers:

I Wie wahrscheinlich ist ein Stichprobenergebnis, wenn in derGrundgesamtheit die Alternativhypothese gilt?

I β gibt die Wahrscheinlichkeit an, mit der man sich bei derAblehnung der Alternativhypothese irrt.

I Ist diese Wahrscheinlichkeit gering, dann wird dieAlternativhypothese verworfen.

I Ist diese Wahrscheinlichkeit hoch, dann wird dieAlternativhypothese beibehalten.

Die Wahrscheinlichkeiten des α- und β-Fehlers geben einenSchwellenwert an, hinter der Werte in der Stichprobe bei einerAnnahme uber die Grundgesamtheit nicht mehr wahrscheinlichsind.Im Vordergrund des Hypothesentests steht das Bestreben dieWahrscheinlichkeit des α-Fehlers gering zu halten.



Signifikanztest

Vorgehensweise bei einem Signifikanztest (Uberblick):

1. Formulierung der Null- und Alternativhypothese

2. Festlegung des Signifikanzniveaus

3. Prufgroße und Verteilung der Prufgroße bestimmen (z. B.z-Wert, t-Wert)

4. Ablehnungsbereich der Nullhypothese kennzeichnen

5. Prufgroße berechnen und eine Entscheidung uber dieNullhypothese treffen

Beispiel: Mittelwertvergleich zwischen Stichprobe undGrundgesamtheit



Ausgangssituation:

I Stichprobe von Studierenden eines bestimmten Studiengangs,die eine besondere Betreuung erfahren haben (n = 35).

I Grundgesamtheit von Studierenden eines bestimmtenStudiengangs, die keine besondere Betreuung erfahren haben.

I Parameter der Grundgesamtheit: (µ0 = 13, 5 SemesterStudiendauer, σ = 3, 2Semester).

1. Formulierung der Null- und Alternativhypothese:

I Die Studiendauer ist unabhangig von der Art derBetreuung:

H0 : µ = µ0 = 13, 5Semester

I Die Studiendauer ist abhangig von der Art der Betreuung:

HA : µ 6= µ0 6= 13, 5Semester



I Es wird in HA keine Aussage uber die Richtung desUnterschieds getroffen. Es liegt eine zweiseitige

Fragestellung bzw. eine ungerichteteAlternativhypothese vor.

I Wenn eine Richtung in HA angenommen wird, dann liegteine einseitige Fragestellung bzw. eine gerichteteAlternativhypothese vor.

I Auf das Beispiel bezogen wurde eine gerichteteAlternativhypothese lauten:Besonders betreute Studierende schliessen Ihr Studiumschneller ab.



2. Festlegung des Signifikanzniveaus:

I Ubliche Großen des α-Fehlers: 0,05 bzw. 0,01

I 1 − α = 0, 95: Mit einer Sicherheit von 95% wird dieNullhypothese nicht falschlicherweise verworfen.

I 1 − α = 0, 99: Mit einer Sicherheit von 99% wird dieNullhypothese nicht falschlicherweise verworfen.

I Die Grenzwerte 0,05 und 0,01 werden alsSignifikanzniveaus bezeichnet.

I Ist α < 0, 05, dann ist das Ergebnis signifikant.

I Ist α < 0, 01, dann ist das Ergebnis sehr signifikant.



3. Prufgroße und Verteilung der Prufgroße bestimmen:

I Zentraler Grenzwertsatz: Mittelwerte aus beliebigenVerteilungen folgen mit zunehmendemStichprobenumfang einer Normalverteilung.

I Mittelwert µ und Standardabweichung σx

(Standardfehler) sind dann normalverteilt.

I Stichprobenmittelwerteverteilung: µ = µ0 = 13, 5Semester

I Standardfehler: σx = σ√

n= 3,2

√

35= 0, 54



Stichprobenmittelwerteverteilungen mit µ0 = 13, 5 undunterschiedlichen Standardfehlern σx

10 11 12 13 14 15 16 170

0.2

0.4

0.6

0.8

σ = 0,54x

σ = 1,1x

µ0



I Ob eine bestimmte Abweichung x − µ0 vorkommt odernicht, hangt vom Standardfehler σx ab. Mitzunehmenden Stichprobenumfang n wird derStandardfehler kleiner, d. h. die Verteilung derStichprobenmittelwerte wird schmaler.

I Wenn µ0 = 12, 5 und σx = 1, 1, dann ist die Verteilungbreiter: Hohere und niedrigere Studiendauer werdenwahrscheinlicher.

I Die Prufgoße ist der z-transformierteStichprobenmittelwert x :

z =x − µ0

σx

=x − µ0

σ√

n

(1)

I Die Standardnormalverteilung gibt die Verteilung derPrufgroße (z-Werte) bei Gultigkeit der Nullhypothesewieder. Die Verteilung der Prufgroße wird auch alsTestverteilung bezeichnet.



4. Ablehnungsbereich der Nullhypothese kennzeichnen:

I Die Wahrscheinlichkeit des Stichprobenergebnisses darfnicht großer sein als das Signifikanzniveau, in der Regelα = 0, 05 oder α = 0, 01.

I Zweiseitige Fragestellung: DieIrrtumswahrscheinlichkeit α entspricht der Flache, die anden beiden Randern der Verteilung der Prufgroße liegt.

I Einseiseitige Fragestellung: DieIrrtumswahrscheinlichkeit α entspricht der Flache, die amlinken oder rechten Rand der Verteilung der Prufgroßeliegt.

I Die zu den Flachen gehorenden Werte derStandardnormalverteilung werden als kritische Werte

bezeichnet, die den Ablehnungs- bzw.Nicht-Ablehnungsbereich der Nullhypothesekennzeichnen.



Kritische Werte bei der Standardnormalverteilung

I einseitige Fragestellung

I

5% Irrtumswahrscheinlichkeit links −1,65Ablehnungsbereich also: −∞ bis −1,65

I

1% Irrtumswahrscheinlichkeit links −2,33Ablehnungsbereich also: −∞ bis −2,33

I

5% Irrtumswahrscheinlichkeit rechts 1,65

Ablehnungsbereich also: 1,65 bis ∞I

1% Irrtumswahrscheinlichkeit rechts 2,33

Ablehnungsbereich also: 2,33 bis ∞Jost Reinecke Hypothesenprufung I


I zweiseitige Fragestellung

I

5% Irrtumswahrscheinlichkeit −1,96 und 1,96

Ablehnungsbereich also: −∞ bis −1,96 und 1,96 bis ∞

I

1% Irrtumswahrscheinlichkeit −2,58 und 2,58

Ablehnungsbereich also: −∞ bis −2,58 und 2,58 bis ∞



Zweiseitiger Ablehnungsbereich (grau schraffierte Flache) beieinem Signifikanzniveau von 5% in der

Standardnormalverteilung

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40

0.2

0.4

z-Werte

z = -1.96 z = 1.96



Beispiel: Ungerichtete Alternativhypothese (µ 6= µ0)

I Gewahlte Irrtunswahrscheinlichkeit: α = 0.05

I Grenzwerte der Standardnormalverteilung: z = −1, 96und z = +1, 96

I Ist die Prufgroße kleiner als -1,96 oder großer als +1,96,wird die Nullhypothese abgelehnt.

I Liegt die Prufgroße zwischen -1,96 und +1,96, dann wirddie Nullhypothese beibehalten.



5. Prufgroße berechnen und eine Entscheidung uber dieNullhypothese treffen.

Beispiel: 35 besonders betreute Studierende studierendurchschnittlich 12 Semester.

I Berechnung des z-Wertes:

z =x − µ0

σx

=x − µ0

σ√

n

z =12 − 13,5

3,2√

35

= −2,77

I Die Nullhypothese wird verworfen, da z = −2, 77 kleinerist als der Schwellenwert z = −1, 96.



I Es ist unwahrscheinlicher als 5%, daß eine Studiendauervon 12 Semestern erreicht wird, wenn diedurchschnittliche Studiendauer in der Grundgesamtheit13,5 Semester betragt.

I Der in der Stichprobe ermittelte Wert ist signifikant.

Verandertes Beispiel: 35 besonders betreute Studierendestudieren durchschnittlich 13 Semester.

I Berechnung des z-Wertes:

z =13 − 13,5

3,2√

35

= −0,92

I Die Nullhypothese wird beibehalten, da z = −0, 92großer ist als der Schwellenwert z = −1, 96.

I Der in der Stichprobe ermittelte Wert ist nicht

signifikant.



Einseitige Fragestellung

I Nullhypothese: Die Studiendauer bleibt bei besondererBetreuung gleich oder nimmt zu:

H0 : µ ≥ µ0 ≥ 13, 5Semester

I Alternativhypothese: Die Studiendauer verkurzt sich beibesonderer Betreuung:

HA : µ < µ0 < 13, 5Semester

I Bei α = 0, 05 ist der kritische Wert z = −1, 65.

I Die Nullhypothese wird verworfen, da z = −2, 77 kleiner istals der Schwellenwert z = −1, 65.

I Die Studiendauer verkurzt sich signifikant.



Einseitiger Ablehnungsbereich (grau schraffierte Flache) bei einemSignifikanzniveau von 5% in der Standardnormalverteilung

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40

0.2

0.4

z-Werte

z = -1.65



Konfidenzintervall

I Das Konfidenzintervall fur einen Stichprobenmittelwertberechnet sich mit der Standardabweichung in derGrundgesamtheit σ als:

x − z(1−α

2) ·

σ√n

︸︷︷︸

untere Grenze

≤ µ ≤ x + z(1−α

2) ·

σ√n

︸︷︷︸

obere Grenze

I Werden die entsprechenden Werte aus dem Beispieleingesetzt, ergibt sich:

12 − 1,96 · 0,54 ≤ µ ≤ 12 + 1,96 · 0,5410,94 ≤ µ ≤ 13,06

I Mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% wird diedurchschnittliche Studiendauer in der Grundgesamtheit beibesonderer Betreuung zwischen 10,94 und 13,06 Semesternliegen.



p-Werte

I Eine genaue Bestimmung der Irrtumswahrscheinlichkeit furden in der Stichprobe ermittelten Wert der Prufgroße erfolgtuber die z-Tabelle.

I Einseitige Fragestellung: Die Wahrscheinlichkeit, in derStichprobe einen z-Wert kleiner als -2,77 zu erhalten betragt0,0028 (0,28%).

I Zweiseitige Fragestellung: Die Wahrscheinlichkeit, in derStichprobe einen z-Wert kleiner als -2,77 oder großer als+2,77 zu erhalten betragt 0, 0028 + 0, 0028 = 0, 0056(0,56%).

I Ist der p-Wert kleiner als das gewahlte Signifikanzniveau(α = 0, 05), dann wird die Nullhypothese verworfen.

I Ist der p-Wert großer als das gewahlte Signifikanzniveau(α = 0, 05), dann wird die Nullhypothese beibehalten.



Ausschnitt aus der z-Tabelle

z .0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9

-2,9. 0,0019 0,0018 0,0018 0,0017 0,0016 0,0016 0,0015 0,0015 0,0014 0,0014

-2,8. 0,0026 0,0025 0,0024 0,0023 0,0023 0,0022 0,0021 0,0021 0,0020 0,0019

-2,7. 0,0035 0,0034 0,0033 0,0032 0,0031 0,0030 0,0029 0,0028 0,0027 0,0026

-2,6. 0,0047 0,0045 0,0044 0,0043 0,0041 0,0040 0,0039 0,0038 0,0037 0,0036

-2,5. 0,0062 0,0060 0,0059 0,0057 0,0055 0,0054 0,0052 0,0051 0,0049 0,0048

-2,4. 0,0082 0,0080 0,0078 0,0075 0,0073 0,0071 0,0069 0,0068 0,0066 0,0064

-2,3. 0,0107 0,0104 0,0102 0,0099 0,0096 0,0094 0,0091 0,0089 0,0087 0,0084

-2,2. 0,0139 0,0136 0,0132 0,0129 0,0125 0,0122 0,0119 0,0116 0,0113 0,0110

-2,1. 0,0179 0,0174 0,0170 0,0166 0,0162 0,0158 0,0154 0,0150 0,0146 0,0143

-2,0. 0,0228 0,0222 0,0217 0,0212 0,0207 0,0202 0,0197 0,0192 0,0188 0,0183

-1,9. 0,0287 0,0281 0,0274 0,0268 0,0262 0,0256 0,0250 0,0244 0,0239 0,0233

-1,8. 0,0359 0,0351 0,0344 0,0336 0,0329 0,0322 0,0314 0,0307 0,0301 0,0294

-1,7. 0,0446 0,0436 0,0427 0,0418 0,0409 0,0401 0,0392 0,0384 0,0375 0,0367

-1,6. 0,0548 0,0537 0,0526 0,0516 0,0505 0,0495 0,0485 0,0475 0,0465 0,0455

-1,5. 0,0668 0,0655 0,0643 0,0630 0,0618 0,0606 0,0594 0,0582 0,0571 0,0559



Tests fur Mittelwertunterschiede

I Testverfahren zur Bestimmung von Mittelwertunterschiedezwischen zwei Gruppen

I Die Gruppen werden jeweils als eigene Stichprobe betrachtet

I Unabhangige Stichproben: Die Werte der beiden Stichprobenbeeinflussen sich nicht.

Beispiel: Einkommen in Westdeutschland und Einkommen inOstdeutschland

I Abhangige Stichproben: Die Werte der beiden Stichprobenbeeinflussen sich.

Beispiel: Statistikkenntnisse vor und nach Besuch einesStatistikkurses



Test fur unabhangige Stichproben

Beispiel: ALLBUS 1994Variable: Eink.-Ost: x1 = 1477, 68 DM; σ1 = 755, 72 DM

Eink.-West: x2 = 1838, 39 DM; σ2 = 1477, 68 DM

Gewahltes Verfahren: z-Test



3. Prufgroße und Verteilung der Prufgroße bestimmen


5. Prufgroße berechnen und eine Entscheidung uber dieNullhypothese treffen



1. Formulierung der Null- und Alternativhypothese:

I Das Durchschnittseinkommen der Ostdeutschen (µ1)unterscheidet sich nicht vom Durchschnittseinkommender Westdeutschen (µ2):

H0 : µ1 = µ2

I Das Durchschnittseinkommen der Ostdeutschen (µ1)unterscheidet sich vom Durchschnittseinkommen derWestdeutschen (µ2):

HA : µ1 6= µ2


I Das Risiko, H0 auf Grund des Stichprobenergebnissesabzulehnen, obwohl diese in der Grundgesamtheit gilt,wird mit 5% festgelegt.




I Die Differenz der Stichprobenmittelwerte (x1 − x2)verteilt sich normal um die Differenz der arithmetischenMittel in der Grundgesamtheit (µ1 − µ2).

I Die Breite der Stichprobenverteilung wird durch denStandardfehler der Mittelwertedifferenzen σ(x1−x2)

angegeben.I Die Prufgroße z gibt die Abweichungen der

Stichprobenergebnisse x1 − x2 von den Parametern derGrundgesamtheiten µ1 − µ2 wieder:

z =(x1 − x2) − (µ1 − µ2)

σ(x1−x2)(2)

I Da mit der Nullhypothese µ1 − µ2 = 0 ist, wird

z =(x1 − x2)

σ(x1−x2)(3)



I Der Standardfehler der Mittelwertdifferenz σ(x1−x2)

berechnet sich aus den Varianzen in beidenGrundgesamtheiten:

σ(x1−x2) =

√

σ21

n1+

σ22

n2(4)

I Wenn die Varianzen in den Grundgesamtheiten unbekanntsind, werden diese durch die Stichprobenvarianzen σ2

1 undσ2

2 geschatzt und in die obige Gleichung eingesetzt:

z =x1 − x2

σ(x1−x2)=

(x1 − x2)√

σ21

n1+

σ22

n2

(5)

I Bei großen Stichproben ist die Prufgroßestandardnormalverteilt und die kritischen Werte konnender z-Tabelle entnommen werden.




I Bei einem Signifikanzniveau von α = 0, 05 und einerzweiseitigen Fragestellung mussen die beiden kritischenWerte ermittelt werden, die jeweils 0, 05/2 = 0, 025 vonder Gesamtflache abschneiden:

z0,025 = −1, 96 und z0,975 = +1, 96

I H0 wird abgelehnt, wenn die Prufgroße z kleiner als -1,96oder großer als +1,96 ist.

I H0 wird beibehalten, wenn die Prufgroße z zwischen-1,96 und +1,96 liegt.



5. Prufgroße berechnen und eine Entscheidung uber die

Nullhypothese treffen

I Werden die entsprechenden Werte des Beispiels in dieFormel fur die Prufgroße z eingesetzt, dann ergibt sich

z =1431, 24 − 1838, 39√

755,722

745 + 1477,682

1474

= −8, 59

I Da −8, 95 < −1, 96 ist, kann H0 verworfen werden.

I Der Einkommensunterschied zwischen West- undOstdeutschland ist mit einer Irrtumswahrscheinlichkeitvon 5% signifikant.



Konfidenzintervall fur Mittelwertunterschiede

I Das Konfidenzintervall fur Mittelwertdifferenzen wird uber einIntervall bestimmt, dessen Breite vom Standardfehler und derVertrauenswahrscheinlichkeit abhangt:

(x1 − x2) − z1−α

2· σ(x1−x2)

︸︷︷︸

untere Grenze

≤ µ1−µ2 ≤ (x1 − x2) + z1−α

2· σ(x1−x2)

︸︷︷︸

obere Grenze(6)

I Da die mittlere Einkommensdifferenz x1 − x2 = −407, 15 DMbetragt und σ(x1−x2) = 47, 41 ist, wird mit einemVertrauensintervall von 95% folgendes Konfidenzintervallermittelt:

−407, 15 − 1, 96 · 47, 41 ≤ µ1 − µ2 ≤ −407, 15 + 1, 96 · 47, 41−500, 07 ≤ µ1 − µ2 ≤ −314, 23



t-Tests

I Bei kleinen Stichproben wird anstatt der Prufgroße z diePrufgroße t verwendet, die aber auch aus dem Verhaltnis vonMittelwertsdifferenz der beiden Stichproben undStandardfehlerdifferenz besteht:

t =x1 − x2

σx1−x2

(7)

I Der t-Wert ist eine Zufallsvariable, die fur kleine Stichprobenmit n1 + n2 − 2 Freiheitsgraden t-verteilt ist.

I Der t-Wert nahert sich bei n1 + n2 ≥ 50 einerNormalverteilung.

I Da die t-Verteilungen mit wachsendem n in eineStandardnormalverteilung ubergehen, kann auch bei großenStichprobenumfangen die t-Tabelle verwendet werden.



Beispiel: ALLBUS 2000

Variable: Eink.-West: x2 = 2604, 97 DM; σ2 = 1929, 69 DMEink.-Ost: x1 = 1838, 06 DM; σ1 = 916, 58 DM

t =2604, 97 − 1838, 06√

1929,692

1606 + 916,582

976

= 13, 60

Da die mittlere Einkommensdifferenz x1 − x2 = 766, 91 DMbetragt und die Differenz der Standardfehler σ(x1−x2) = 56, 39 ist,wird mit einem Vertrauensintervall von 95% folgendesKonfidenzintervall ermittelt:

766, 91 − 1, 96 · 56, 39 ≤ µ1 − µ2 ≤ 766, 91 + 1, 96 · 56, 39656, 38 ≤ µ1 − µ2 ≤ 877, 43



Test fur abhangige Stichproben

Ein t-Test fur abhangige Stichproben liegt vor, wennWiederholungsmessungen bei gleichen Personen vorgenommenwerden.Beispiel: Statistikkenntnisse zu Beginn und zum Ende desSemesters bei 32 Studierenden

I Uber die Differenz der Meßergebnisse (di mit i = 1 . . . 32)kann das arithmetische Mittel xd und die Standardabweichungσd ermittelt werden:

xd =

∑n

i=1 di

n(8)

σd =

∑n

i=1(di − xd)2

n − 1(9)

I Beispiel: xd = 13 Punkte und σd = 6 Punkte




I Die Statistikkenntnisse werden durch die Kursteilnahmenicht verbessert:

H0 : µd ≤ 0

I Die Statistikkenntnisse werden durch die Kursteilnahmeverbessert:

HA : µd > 0

µd bezeichnet den Mittelwert der Differenzen in derGrundgesamtheit.


I Das Risiko, H0 auf Grund des Stichprobenergebnissesabzulehnen, obwohl diese in der Grundgesamtheit gilt,wird mit 1% festgelegt.



Irrtumswahrscheinlichkeit fur den Wert 0 bei verschiedenenNullhypothesen µ ≤ 0

-4 -3 -2 -1 0 1 2 30

0.1

0.2

0.3

0.4 µ = 0

µ = -1

Dunkel schraffierte Flachen: Irrtumswahrscheinlichkeiten beiµ = −1 und µ = 0




I Der Standardfehler σxdwird auf Basis der Stichprobe

geschatzt. Die Prufgroße ist t-verteilt mit df = n − 1Freiheitsgraden:

t =xd − µd

σxd

(10)

I Wenn in H0 angenommen wird, daß µd = 0 ist, dannveinfacht sich die Berechnung:

t =xd − 0

σxd

=xd

σxd

=xd

σd√

n

(11)

I Die Standardabweichung der Grundgesamtheit σd wirddurch die Standardabweichung der Stichprobe σd

geschatzt:

σxd=

σd√n

(12)



I Die Berechnung der Prufgroße t kann nun erfolgen:

t =xd

σd√

n

(13)


I Die Prufgroße ist mit n − 1 Freiheistgraden t-verteilt.

I Der t-Wert bei df = 32 − 1 = 31 und α = 0, 01 ist 2,46(bei df=30)

I Ist t > 2, 46 wird H0 abgelehnt.

I Ist t < 2, 46 wird H0 angenommen.



Ausschnitt aus der t-Tabelle

Flache

df 0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,95 0,975 0,99 0,995

1 0,510 0,727 1,000 1,376 1,963 3,078 6,314 12,706 31,821 63,656

2 0,445 0,617 0,816 1,061 1,386 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925

3 0,424 0,584 0,765 0,978 1,250 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841

4 0,414 0,569 0,741 0,941 1,190 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604

5 0,408 0,559 0,727 0,920 1,156 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032

6 0,404 0,553 0,718 0,906 1,134 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707

7 0,402 0,549 0,711 0,896 1,119 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499

8 0,399 0,546 0,706 0,889 1,108 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355

9 0,398 0,543 0,703 0,883 1,100 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250

10 0,397 0,542 0,700 0,879 1,093 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169

30 0,389 0,530 0,683 0,854 1,055 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750

40 0,388 0,529 0,681 0,851 1,050 1,303 1,684 2,021 2,423 2,704

50 0,388 0,528 0,679 0,849 1,047 1,299 1,676 2,009 2,403 2,678

60 0,387 0,527 0,679 0,848 1,045 1,296 1,671 2,000 2,390 2,660

70 0,387 0,527 0,678 0,847 1,044 1,294 1,667 1,994 2,381 2,648

80 0,387 0,526 0,678 0,846 1,043 1,292 1,664 1,990 2,374 2,639

90 0,387 0,526 0,677 0,846 1,042 1,291 1,662 1,987 2,368 2,632

100 0,386 0,526 0,677 0,845 1,042 1,290 1,660 1,984 2,364 2,626



5. Prufgroße berechnen und eine Entscheidung uber die

Nullhypothese treffen

I Einsetzen der Werte in die Gleichung:

t =xd

σd√

n

=136

√

32

= 12,26

I H0 kann verworfen werden, da 12, 26 > 2, 46. DieVerbesserung der Statistikklausur um 13 Punkte imDurchschnitt ist statistisch signifikant.


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Hypothesenpr˜ufung I - Fehler/Fehler SS05/Folien/HYP1.pdf · I Ubliche˜ Grõ…en des fi-Fehlers: 0,05 bzw. 0,01 I 1¡fi = 0;95: Mit einer Sicherheit von 95% wird die Nullhypothese