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Ingo Rechenberg
PowerPoint-Folien zur 2. Vorlesung „Evolutionsstrategie I“
Logik des Experimentierens und Optimierens -
Starke und Schwache Kausalität
Weiterverwendung nur unter Angabe der Quelle gestattet
1960 bis 1970
Die Blütezeit der Kybernetik in Deutschland
Das 1971 erschienende Buch „Alles ist Kybernetik“
von V. H. Brixwar das Ende der
Kybernetik
Kybernetisches Modell „Schwarzer Kasten“
?
Symbol für ein Versuchobjekt
Text
Analyse des Modells „Schwarzer Kasten“
?A
ktio
nsp
ole
Reakti
on
spole
Akt
ion
Reakt
ion
Unsichtbare innere
Struktur
Die abstrahierte Idee des schwarzen Kasten
regt dazu an, allgemein über die Eigenschaft
eines Versuchsobjekts, sei es biologischer
oder technische Art, nachzudenken!
Vier Realisierungen des abstrakten Schemas „Schwarzer Kasten“
1. Tragflügelprofil
2. Stabtragwerk
3. Regelkreis
4. Magisches Quadrat
1. Versuchsobjekt „Tragflügel“
Auftrieb
A
Widerstand
W
Profilkoordinaten yo yu
AktionReaktion
Text
X
2. Versuchsobjekt „Stabtragwerk“
Knotenkoordinaten x y
AktionReaktion
G1
G3
G2
…Stabgewichte
Text
L
Nach der statischen Durch-rechnung des Systems
3. Versuchsobjekt „Regler“
Regler Strecke
Stellgröße y Regelgröße xSollwert w
Störgröße z
P I D
Proportionalanteil
Integralanteil
Differentialanteil
x (t)
AktionReaktion
Regelgröße
Text
4. Versuchsobjekt „Magisches Quadrat“
Aktion
19
19
19
19
19
19
19
19
19
S1
Reaktion
S2
S3
S4 S5 S6
S7 S 8
Feldzahlen
Zeilen-, Spalten- und Diagonalensummen
Text
?!
Die drei Fragen an einen schwarzen Kasten
WAS
?!WAS
1. Frage an ein Versuchsobjekt
WAS ist die Reaktion auf eine vorgegebene Aktion? Forschungsziel ist die Sammlung von Daten über das Objektverhalten. Die Frage: „Was kann man in Erfahrung bringen?“ steht am Anfang einer jeden empirischen Forschung im wissenschaftlichen wie auch im technischen Bereich.
! ? !
?!
Die drei Fragen an einen schwarzen Kasten
WAS
WARUM
!!WARUM
2. Frage an ein Versuchsobjekt
WARUM ist die Reaktion auf eine Aktion in der beobach-teten Weise erfolgt? Forschungsziel ist, eine erklärende Beschreibung des Aktions-Reaktions-Mechanismus innerhalb des schwarzen Kastens zu geben. Der Forscher sucht nach einem Modell, das die innere Struktur des schwarzen Kastens gut simuliert. Die Frage: „Warum kommt dieses oder jenes Phänomen vor?“ ist Ausgangs-punkt der wissenschaftlichen Grundlagenforschung.
?
!
!
?
? !
?!
Die drei Fragen an einen schwarzen Kasten
WAS
WARUM
WOMIT
? !WOMIT
3. Frage an ein Versuchsobjekt
WOMIT (durch welche Aktion) kann eine vorgegebene Reaktion erhalten werden? Forschungsziel ist in diesem Fall, das Versuchsobjekt derart zu verändern, dass eine gewünschte Wirkung erreicht wird. Die Frage: „Womit kann man eine bestimmte Wirkung erzielen?“ ist das Hauptproblem der technischen Entwicklung.
Wunsch-Formulierung
Formulierung einer Wunschfunktion (= Qualitätsfunktion)
durch den entwickelnden Ingenieur
Text
Übung in der Aufstellung von Qualitätsfunktionen !
1. Stufe: 2 ℓ-Motor maximaler Leistung.
Ergebnis Motor verbraucht Unmengen Benzin.
2. Stufe: 2 ℓ-Motor maximaler Leistung pro verbrauchtem Liter Benzin.
Ergebnis: Motor wiegt 1 Tonne.
3. Stufe: 2 ℓ-Motor maximaler Leistung pro verbrauchtem Liter Benzin mit minimalem Gewicht. Ergebnis: Motor fällt nach 100 Betriebsstunden auseinander.
4. Stufe: 2 ℓ-Motor maximaler Leistung pro verbrauchtem Liter Benzin mit minimalem Gewicht und vorgegebener Lebensdauer.
1. Qualitätsfunktion „Tragflügel“
Auftrieb
A
Widerstand
W
Profilkoordinaten yo yu
MaxWA
Q
Text
2. Qualitätsfunktion „Stabtragwerk“
Knotenkoordinaten x y
G1
Gi
G2…
Stabgewichte
Min42 iii dlGQ
Text
Nach der statischen Durch-rechnung des Systems
3. Qualitätsfunktion „Regler“
Regler Strecke
Stellgröße y Regelgröße xSollwert w
Störgröße z
P I D
Proportionalanteil
Integralanteil
Differentialanteil
x (t)
Mind)(0
T
ttxwQ
Text
4. Qualitätsfunktion „Magisches Quadrat“
19
19
19
19
19
19
19
19
19
S1
S2
S3
S4 S5 S6
S7 S 8
Feldzahlen
Zeilen-, Spalten- und Diagonalensummen
Min1528
1
i
iSQ
Text
Qx ?
IntuitionStrategie
VersuchsobjektQualitätsmessungVerstellbarkeitExperimentierkreis
Die Sicht eines Kybernetikers zur Tätigkeit eines Entwicklungsingenieurs
Ingenieurskunst
Was ist eine Strategie ?
Aus Meyers Enzyklopädischem Lexikon:
Strategie [gr.],
allgemein der Entwurf und die Durchführung eines Gesamtkonzepts, nachdem der Handelnde (in der Auseinandersetzung mit anderen) ein bestimmtes Ziel zu erreichen sucht.
Eine Strategie ist nur dann anwendbar, wenn der Gegner sich vorhersehbar verhält
Kriegslist
Qx ?
Strategie
Gegner !
Experimentierobjekt
Stellkasten mit Qualitätsanzeige
Zum Eingangs- Ausgangsverhalten eines Versuchsobjekts
Voraussehbar ?
Nicht voraussehbar ?
Das Eingangs-Ausgangs-Verhalten eines nicht exotischen Versuchsobjekts ist im Bereich
kleiner Änderungen voraussehbar
Behauptung
Kausalität
Schwache Kausalität
Starke Kausalität
Es gibt eine universelle Weltordnung
Gleiche Ursache, gleiche Wirkung
Kleine Ursachenänderung, große Wirkungsänderung
Kleine Ursachenänderung, kleine Wirkungsänderung !
Kausalität
Starke Kausalität
Schwache Kausalität
Billard-Effekt
Beispiel für
Schwache Kausalität
Die Bewegung von Sauerstoffmolekülen, die in einer Sekunde milliardenfach zusammenprallen, ist bereits nach der 56ten Karambolage, also einem Bruchteil von Millisekunden, nicht mehr berechenbar, wenn man die geringste aller auf die Moleküle wirkenden Kräfte berücksichtigt, nämlich die Gravitationskraft eines Elektrons, das sich irgendwo am Rande des Universums befindet.
Elektron am Rande des Weltalls
Schmetterlingseffekt
Der Schlag eines Schmetterlingsflügelsim Amazonas-Urwald kann einen Orkan in Europa auslösen.
Text
Logistische Gleichung
)1(41 nnn xxx
941785,0300000,0 200 xx
003313,0300001,0 200 xx
672075,0300002,0 200 xx
Studium einer schwachen Kausalität
Die Chaosforschung (auch: Theorie komplexer Systeme oder Komplexitätstheorie) ist ein Teilgebiet der Mathematik und Physik und befasst sich im Wesentlichen mit dynamischen Systemen, deren Dynamik unter bestimmten Bedingungen empfindlich von den Anfangsbedingungen abhängt, sodass ihr Verhalten nicht langfristig vorhersagbar ist. Da diese Dynamik einerseits den physikalische Gesetzen unterliegt, andererseits aber irregulär erscheint, bezeichnet man sie als deterministisches Chaos. Chaotische dynamische Systeme sind nichtlinear.
Wikipedia
Ljapunow-Exponent
Mathematisch wird die Geschwindigkeit eines exponentiellen Fehlerwachs-tums durch den Ljapunow Exponenten beschrieben. Dazu betrachtet man
die n Zustandsgrößen xi mit i = 1 bis n, die den Zustand des Systems voll-
ständig beschreiben. Ein Unterschied Δ xi zwischen zwei nahezu identisch
präparierten, gleichartigen Systemen wächst dann von einem Anfangszeit-punkt t = 0 ausgehend vereinfacht betrachtet entsprechend
an, wobei λi der Ljapunow-Exponent zu xi ist. Für ein exponentielles
Wachstum ist daher mindestens ein positiver Ljapunow-Exponent λi
erforderlich.
)0(e)(Δ txtx iiti
Meine Behauptung: Statisch chaotisch kann sich ein System nur verhalten, wenn man an die Heisenbergsche Unschärferelation herankommt, wenn das System Instabilitätsstellen besitzt, oder wenn das System nur diskret verstellbar ist.
Und das ist nicht der Normalfall !
Starke Kausalität
Normales Verhalten einer Kontinuums-Welt
x (t )
P I D
Regler Strecke
A
W
19
19
19
19
19
19
19
19
19
S1
S2
S3
S4 S5 S6
S7 S 8
G1
Gi
G2…
4 Versuchsobjekte 4 × starke Kausalität
Diskrete Welt: verhält sich immer stärker „stark kausal“, je größer das Quadrat ist
Was hat die Starke Kausalität
mit der Evolutionsstrategie zu tun ?
Die Suche nach einem Dokument
Eine Suchstrategie ist nutzlos in einer chaotischen Welt
Eine Suchstrategie funktioniert nur in einer geordneten Welt
Eine Militär-Strategie ist nur dann anwendbar, wenn der Gegner sich vorhersehbar verhält
Kriegslist
Ein Evolutionsstrategie ist nur denkbar, wenn sich der Gegner Natur vorhersagbar verhält
Es gäbe keine Evolutionsstrategie, wenn sich der Opponent „Natur“ völlig willkürlich verhalten würde !
Evolutions- Stratege
Starke und schwache Kausalität sichtbar gemacht
f ( x,
y )
xy
f
Starke Kausalität
xy
Schwache Kausalität
xy
Tiefenlotung
Experimentator
Suchfeld
Die Suche nach dem höchsten Gipfel
An jeder Stelle herrsche „Starke Kausalität“
Zurückgelegter Weg bergan Zahl der Versuche
Definition der Fortschrittsgeschwindigkeit
Ausblick auf die nächste Vorlesung
Vier Strategien zur Lokalisierung eines Optimums
1. Globale deterministische Suche
2. Globale stochastische Suche
3. Lokale deterministische Suche
4. Lokale stochastische Suche
Ende
www.bionik.tu-berlin.de
Ein Schwarzer Kasten soll folgende Situation versinnbildlichen: Ein Experimenta-tor steht vor einem undurchsichtigen Kasten. Er besitzt keine Kenntnis über die innere Struktur des Kastens. Er kann lediglich einige aus dem Kasten herausra-gende Elemente betätigen, z. B. mechanische Schiebevorrichtungen, elektrische Schalter usw. Diese Elemente seien Aktionspole genannt. Der Experimentator kann an anderen aus dem Kasten herausragenden Elementen die Wirkung seines Handelns beobachten, gegebenenfalls unter der Verwendung geeigneter Mess-werke. Diese Elemente seien Reaktionspole genannt. Das Modell des Schwarzen Kastens legt es also nahe, an jedem Versuchsobjekt drei Bereiche zu unterscheiden:
Die Aktionspole, an welchen der Experimentator seine Handlungen ausführt.
Die unsichtbare innere Struktur, welche die von den Naturgesetzen bestimmten Verbindungen zwischen Aktion und Reaktion enthält.
Die Reaktionspole, an welchen der Experimentator seine Beobachtungen anstellt.
Das Versuchsobjekt 1 sei ein Tragflügelprofil, das an die Stelle des schwarzen Kastens treten soll. Das Experimentiermodell möge so konstruiert worden sein, dass sowohl Ober- als auch Unterseite der flexiblen Flügelhaut durch verschieb-bare Stangen lokal verschoben werden kann. Damit lassen sich an äquidistanten x-Positionen die y-Koordinaten des Profils verändern (Aktion). Im Windkanal werde der Auftrieb A (Reaktion) und der Widerstand W (Reaktion) des Tragflügelmodells gemessen.
Das Versuchsobjekt 2 sei ein aus Stäben aufgebauter Kragträger. Es soll eine Last L über eine vorgegebene Spannweite in zwei Wandlager eingeleitet wer-den. Verstellt werden können die x- und y-Koordinaten der Stabwerksknoten (Aktion). Wir bestimmen (z. B. mit dem Ritterschen Schnittverfahren) die in den Verbindungslinien der Knoten wirkenden Zug- und Druckkräfte. Zulässige Zugspannung und Eulersche Knickfestigkeit liefern schließlich die Gewichte G der ausdimensionierten Stäbe (Reaktion). Im Gegensatz zum Tragflügelpro-blem wird das Aktions-Reaktions-Spiel auf dem Computer durchgeführt.
Das Versuchsobjekt 3 sei ein elektrischer oder pneumatischer PID-Regler. Pro-portionalanteil P, Integralanteil I und Differentialanteil D des Reglers können unabhängig voneinander eingestellt werden (Aktion). Wir beobachten nach dem Aufbringen einer sprungförmigen Störung auf den Eingang der Regelstrecke als Reaktion das zeitliche Einschwingen der Regelgröße x (t ).
Das Versuchsobjekt 4 entstammt der abstrakten mathematischen Welt. Gegeben sei eine Matrix aus 3 3 = 9 Zahlen. Diese Zahlen können die Werte 1 bis 9 anneh-men (Aktion). Wir messen bzw. berechnen die drei Zeilensummen S1, S2, S3, die
drei Spaltensummen S4, S5, S6 und die zwei Diagonalensummen S7, S8 (Reaktion).
Eine ungewöhnliche Entwicklungsaufgabe:
Es ist ein Flugzeug zu entwickeln, das in der Normalform (Flügel vorn, Leitwerk hinten) im Langsamflug ope-rieren soll. In der so genannten Entenkonfiguration (Leitwerk vorn, Flügel hinten) soll es zum Überschallflug-zeug werden. Gesucht ist das optimale Flügelprofil. Eiferer werden darauf hinweisen, man könne nicht beides zugleich haben. Ein optimales Überschallprofil ist anders auszubilden als ein von rückwärts angeströmtes optimales Langsamflug-Profil. Doch wurde das Entwicklungsziel für ein Kombinationsflugzeug so formuliert, ist es müßig, über das optimale Überschallprofil und das optimale Unterschallprofil getrennt zu sinnieren. Gesucht ist das optimales Kombinationsprofil. Eine Messung im Überschallkanal plus eine Messung im Unterschallkanal am umgedrehten Profil ergibt die Qualität, die additiv aus beiden Messungen zusammengesetzt wird. Sollte das neuartige Flugzeug in der Langsamflugrichtung häufiger als in der Überschallflugrichtung operieren, so muss die Langsamflugmessung eine stärkere Gewichtung erfahren als die Überschallmessung.
Zweck eines Tragflügels ist es, Auftrieb zu erzeugen. Also soll sein Auftrieb A möglichst groß werden. Ein Tragflügel erzeugt aber auch einen unerwünschten Widerstand W. Es gilt also, A so groß wie möglich und W so klein wie möglich zu machen. Nach vielen Stunden des Messens im Windkanal werden wir feststellen: Beide Forderungen widersprechen sich. Profilformen mit hohem Auftrieb haben als negative Eigenschaft einen hohen Widerstand. Und ist der Widerstand gering, hapert es mit dem Auftrieb. Optimieren heißt einen Kompromiss finden. Für einen Tragflügel lautet eine sinnvolle Kompromissformel: Das Verhältnis Auftrieb durch Widerstand muss ein Maximum werden. Dieser Quotient lässt sich anschaulich machen. Beispielsweise bedeutet der Wert A / W = 50, dass der Flügel auf 50 m Gleitstrecke nur um 1 m sinkt.
Ein Stabtragwerk besteht aus Metallstäben, und die kosten Geld. Es erscheint plausibel, die Kosten des Kragträgers proportional zu seinem Gewicht anzuset-zen. Das Gesamtgewicht soll zu einem Minimum werden. Das Stabtragwerk möge aus kreiszylindrischen Vollstäben aufgebaut sein. Die ausdimensionierten Stäbe mit den Längen l i, den Durchmessern d i und der Materialdichte erge-ben dann das Gesamtgewicht:
i ii dlG 2
gesamt 4
Der Regler soll einen Druckkessel nach einem plötzlichen Druckabfall (genormte Störung) wieder auffüllen. Die Regelgröße x (Kesseldruck) kann sich dabei unter vielmaligem Überschwingen oder auch langsam kriechend dem Sollwert nähern. Ein Regler ist gut, wenn er die Soll-Istwert-Differenz w – x klein hält und dabei möglichst schnell den Sollwert w wieder herstellt. Beide Wünsche werden z. B. durch das so genannte ITAE-Kriterium (Integral-Time-Amplitude-Error) auf einen gemeinsamen Nenner gebracht:
Die Absolutwert-Operation hat den Sinn, dass eine negative Soll-Ist-Differenz gleich nachteilig wie eine positive gewertet wird.
T
ttxw0
d)(
Hinter der Konstruktion des 3 3 - Quadrats steht der Wunsch, es durch eine ge-schickte Wahl der Feldzahlen zu erreichen, dass die Zeilensummen, die Spalten-summen und die Diagonalensummen alle den Wert 15 ergeben. Eine Bewertung, die gewährleistet, dass die Erfüllung des Wunsches mit dem Minimum einer Funktion F zusammenfällt, lautet:
Die Fehlerquadrate gewährleisten, dass sich nicht positive und negative Fehler gegenseitig aufheben.
2753
2951
2963
2852
2741
2987
2654
2321
)15()15(
)15()15()15(
)15()15()15(
nnnnnn
nnnnnnnnn
nnnnnnnnnF
Die einprägsame Formulierung des Schmetterlingseffekts stammt aus einer Arbeit von Lorenz aus dem Jahre 1963 (LORENZ, Edward, N.: Deterministic Nonperiodic Flow, in: Journal of the Atmospheric Sciences, Volume 20, March 1963). In seiner ursprünglichen Form verwendete er allerdings den Flügelschlag einer Möwe statt des Schmetterlings. Es ist gut möglich, dass Lorenz durch die 1952 erschienene Kurzgeschichte Ferner Donner von Ray Bradbury inspiriert wurde. In dieser Geschichte tritt ein Zeitreisender versehentlich auf einen Schmetterling und sorgt dadurch für eine vollkommen andere Gegenwart.
1950 beschrieb Alan Turing bereits diesen Effekt:
"The system of the universe as a whole is such that quite small errors in the initial conditions can have an overwhelming effect at a later time. The displacement of a single electron by a billionth of a centimetre at one moment might make the difference between a man being killed by an avanlanche a year later, or escaping. Alan M. Turing. "Computing Machinery and Intelligence". Mind LIX, 1950.
