Versuch O3/O4 -Reflexion polarisierten Lichts /Drehung der Polarisationsebene

Sven E Tobias F

Abgabedatum: 24. April 2007

Inhaltsverzeichnis

1 Thema des Versuchs 3

2 Physikalischer Kontext 32.1 Reflexionsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Brechungsgesetz nach Snellius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.3 Dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.4 Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.4.1 Brewster-Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3 Versuch O3 - Aufbau und Beschreibung 5

4 O3 - Versuchsauswertung 54.1 Bestimmung der Reflexionskoeffizienten ρ‖ und ρ⊥. . . . . . . . . 54.2 Bestimmung des Brechungsindex n des verwendeten Glases . . . 7

5 Versuch O4 - Aufbau und Beschreibung 9

6 O4 - Versuchsauswertung 96.1 Bestimmung des Drehvermögens αm . . . . . . . . . . . . . . . . 96.2 Bestimmung der Konzentrationen der beiden unbekannten Lö-

sungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126.3 Bestimmung von p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

7 Anhang und Diagramm in A4 12

2

1 Thema des Versuchs

Im folgenden Doppelversuch wird zunächst der Reflexionskoeffizient von pola-risierten Lichtwellen abhängig vom Einfallswinkel gemessen (O3). Dies wird so-wohl für senkrecht als auch für parallel polarisiertes Licht durchgeführt. Aus denMesswerten lässt sich der Brewsterwinkel sowie der Brechungsindex des reflek-tierenden Glases berechnen. Dann wird im zweiten Versuch Zucker auf optischeEigenschaften untersucht. Das Drehvermögen und die Rotationsdispersion wer-den an verschieden konzentrierten links- und rechts drehenden Zuckerlösungenquantifiziert (O4).Im Folgenden wird das Reflexionsgesetz beschrieben. Außerdem werden die Be-griffe Dispersion und Polarisation in Bezug auf Licht erläutert. Zudem wirddie physikalische Bedeutung des Brewster-Winkels dargestellt. Grundkenntnis-se über Wellen werden indes vorausgesetzt.

2 Physikalischer Kontext

2.1 Reflexionsgesetz

Das Reflexionsgesetz leitet sich aus dem Huygensschen Modell der Element-arkugelwelle her. Es besagt, dass ein in ein reflektierendes Medium einfallen-der Lichtstrahl an der Normalen zur Grenzfläche »gespiegelt« wird. Kurz: DerEinfallswinkel zwischen einfallendem Lichtstrahl und Flächennormale δ1 (sieheAbb. 1 auf der nächsten Seite) hat den gleichen Betrag wie der Reflexionswinkelδ′1 zwischen reflektiertem Strahl und Flächennormale,

δ1 = −δ′1 (1)

2.2 Brechungsgesetz nach Snellius

Wellen, die sich in Medien unterschiedlicher Brechungsindizes n1 und n2 ausbrei-ten, werden an der Grenzfläche mit einem bestimmten Winkel δ zur Normalengebrochen. Der Brechungsindex selbst ist definiert als ni = c0

cimit c0 Phasenge-

schwindigkeit des Lichts im Vakuum und ci der Geschwindigkeit im jeweiligenMedium. Daraus und aus der Skizze in Abb. 1 auf der nächsten Seite erkenntman nun die Beziehungen

sin δ1 =c1 · tAB′ =

λ1

AB′ (2)

sin δ2 =λ2

AB′ (3)

und das Snelliussche Brechungsgesetz

n1 · sin δ1 = n2 · sin δ2. (4)

2.3 Dispersion

Der Brechungsindex ist nicht nur vom Medium abhängig, sondern auch von derWellenlänge der sich ausbreitenden Welle. Dadurch werden i.A. Wellen mit kür-zerer Wellenlänge stärker gebrochen als Wellen mit langer Wellenlänge.

3

Abb. 1: Skizze zur Verdeutlichung der Entstehung von Snellius’ Brechungsgesetz[veröffentlicht unter GNU-FDL-Lizenz bei [W06] ]

Im Experiment O4 geht es um Rotationsdispersion. In optisch aktiven Medien,zum Beispiel den vorliegenden Zuckerlösungen, wird die Polarisationsebene vonLicht in Abhängigkeit seiner Wellenlänge gedreht. Dabei ist die Konzentrationder Lösung maßgeblich. Ebenso ist im Umkehrschluss die Möglichkeit gegeben,aufgrund der Polarisation gedrehten Lichts die Konzentration einer Lösung her-auszufinden.

2.4 Polarisation

Licht ist eine Transversalwelle. Feldstärke und Feldrichtung drücken sich im E-Feld-Vektor aus. Dieser spannt mit dem Vektor der Ausbreitungsrichtung einebestimmte Ebene auf. Wenn man in der Ausbreitungsrichtung der Welle »ent-gegenschaut«, hat die Ebene eine gewisse Richtung. Diese ist beliebig, solangeman Licht betrachtet, das nicht vorher polarisiert wurde.Einerseits lässt sich Licht durch Polarisatoren polarisieren. Dies geschieht in Po-larisationsfiltern oder doppelbrechenden Prismen. Der Versuch O4 bedient sicheines solchen Polarisators.Eine andere Möglichkeit ist Reflexion der Lichtwelle an einem Medium im Brewster-Winkel.

2.4.1 Brewster-Winkel

Wird Licht an der Grenzfläche zwischen Luft und einem Medium mit dem Bre-chungsindex n1 gebrochen, so wird die Polarisation beeinflusst. Aus den fres-nelschen Formeln (siehe [PPB06]) erhält man, dass der parallel zur Grenzflächepolarisierte Teil der Welle nicht reflektiert wird, wenn für den Einfallswinkel αgilt:

α = arctann1 (5)

4

Der Winkel α heißt dann Brewster-Winkel. Für Grenzflächen zwischen belie-bigen Medien gilt allgemeiner α = arctan n1

n2mit n2 < n1 Brechungsindex des

Mediums, in das reflektiert wird.So lässt sich Licht auch polarisieren, wenn lediglich der Brewsterwinkel einerGrenzfläche bekannt ist und kein Polarisator zur Verfügung steht.

3 Versuch O3 - Aufbau und Beschreibung

Abb. 2: Versuchsaufbau für Versuch O3; Von rechts nach links der Laser, direktdahinter der Polarisator, in der Mitte die reflektierende Platte, links dasFotoelement mit Anzeige. Die Apparatur ist auf einer optischen Bankbefestigt. [PPB06]

Der Versuch ist wie in Abb. 2 aufgebaut. Es empfiehlt sich, den Raum gutabzudunkeln. Zuerst wird als Referenz die Intensität des unpolarisierten Lam-penlichts aufgenommen. Die Intensität des senkrecht bzw. parallel polarisiertenLichts wird in Schritten von 5 Grad abgemessen, in der Nähe des Brewsterwin-kels soll mit 1 Grad Schritten gemessen werden.

4 O3 - Versuchsauswertung

4.1 Bestimmung der Reflexionskoeffizienten ρ‖ und ρ⊥.

Da der aufgenommende Fotosrtom iF proportional zur Intensität des reflektier-ten Lichtes I ist und dieses wiederrum proportional zum AmplitutdenquadratE2, lassen sich die Reflexionskoeffizienten ρ‖ und ρ⊥ wie folgt errechnen

ρ‖ =E‖r

E‖e

=

√I‖

I0(6)

ρ⊥ =E⊥

r

E⊥e

=√

I⊥I0

(7)

5

i0= 16250 16360Winkel/◦ ipara/nA iortho/nA ρ‖ ρ⊥

85 9500 1830 0,7646 0,334580 9650 4200 0,7706 0,506775 7460 1980 0,6776 0,347970 5660 771 0,5902 0,217165 4360 206 0,5180 0,112260 3600 36 0,4707 0,046955 2920 20 0,4239 0,035050 2350 110 0,3803 0,082045 1990 233 0,3499 0,119340 1700 360 0,3234 0,148338 1661 413 0,3197 0,158937 1550 440 0,3088 0,164036 1520 465 0,3058 0,168635 1480 490 0,3018 0,173134 1435 510 0,2972 0,176633 1390 540 0,2925 0,181732 1360 557 0,2893 0,184531 1330 580 0,2861 0,188330 1290 600 0,2818 0,191529 1265 610 0,2790 0,193128 1235 625 0,2757 0,195525 1150 685 0,2660 0,204620 1035 760 0,2524 0,215515 950 805 0,2418 0,221810 905 850 0,2360 0,2279

Tab. 1: Der jeweils gemesende Fotostrom iF und die daraus resultierende Refle-xionskoeffizienten ρ‖ und ρ⊥. (Bedingt durch den Fehler in der Messungmit gestürzten Winkeln)

6

Führt man diese Rechnung nun für jeden Reflexionswinkel α durch, erhällt manfolgede Werte.

Trägt man nun die jeweiligen Reflexionskoeffizienten ρ‖ und ρ⊥ über denRefelxionswinkel α auf, lässt sich der Brewster-Winkel αp aus dem Diagrammentnehmen.

Abb. 3: ρ‖ und ρ⊥ über den jeweiligen Winkel aufgetragen.

Da wir bei diesem Aufgabenteil einen Fehler in der Messung gemacht haben,wars uns nicht möglich den genauen Brewster-Winkel zu bestimmen. Wir habendaher beschlossen Messergebnisse eines Kommilitonen zu verwenden um denexaten Brewster-Winkel zu bestimmen.

αp = 57◦ ± 0, 5◦

ρ⊥(α⊥) = 0, 441

4.2 Bestimmung des Brechungsindex n des verwendeten Glases

Mit Hilfe des im vorhergehenden Aufgabenteil ermittelten Brewster-Winkelsαp und dem dazugehörigen Reflexionskoeffizienten ρ⊥ lässt sich nun über zweiArten der Brechunsgsindex n bestimmt werden.Zum einen lässt sich n über folgede Beziehung bestimmen

n = tan αp (8)

So ergibt sich hiern = 1, 54± 0, 029

7

Der Fehler ergibt sich aus den Fehler der Winkelmessung ∆α = 0, 5◦. Über dieGaußschen Fehlerfortpflanzung erechnet sich der Fehler wie folgt.

∆n =1

cos2(αP )∆α (9)

Zum andern ließe sich n auch über

ρ⊥(αp) =n2 − 1n2 + 1

(10)

bestimmen. Hierfür ergibt sich dann

n =

√1 + ρ⊥(αp)1− ρ⊥(αp)

= 1, 606± 0, 0095

Hier erhält man einen Fehler von

∆n =1√

1 + ρ⊥(αp)√

1− ρ⊥(αp)3ρ⊥(∆α) (11)

Für denn Fall, dass der Strahl senkrecht auf die reflextierende Ebene einfällt(α = 0◦) muss E

‖r = E⊥

r und somit ρ‖(α = 0◦) = ρ⊥(α = 0◦) sein. Hierrausergibt sich nun ein dritter Weg den Brechungsindex n zu bestimmen.

ρ‖0 = ρ⊥0 =

n− 1n + 1

(12)

Durch die Extrapolation der Messergebnisse erhält man

ρ‖(α = 0◦) = ρ⊥(α = 0◦) = 0, 232± 0, 11

und somit ergibt sichn = 1, 604± 0, 043

Hier ergibt sich der Fehler aus

∆n =2

(1− ρ0)2∆ρ0 (13)

Als letztes gilt es noch zu zeigen, dass unter αP der reflektierte und der ge-brochende Strahl - welcher vollständig absobiert wird - senkrecht aufeinanderstehen.Betrachtet man die Reflexionsgleichung von A. Fresnel

E‖r

E‖e

=tan(α− β)tan(α + β)

(14)

fällt auf, dass die Quotient nur dann gegen Null geht, wenn tan(α + β) ge-gen Unendlich strebt. Dies ist der Fall wenn α + β � 90◦. Dies ist genau derFall, wenn reflektierter und gebrochender Strahl senkrecht aufeinader stehen.Somit wird in diesen Fall der reflektierte Strahl vollständig absobiert, es liegtder Brewsterwinkel vor.

8

Abb. 4: Versuchsaufbau für Versuch O4, Teil B; von links nach rechts wirddas Lampenlicht durch Kondensor, Polarisator, Interferenzfilter und dieZuckerlösung zum Analysator geschickt. Rechts ist das Polarimeter fürTeil A zu sehen [PPB06]

5 Versuch O4 - Aufbau und Beschreibung

Der Versuch ist wie in Abb. 4 aufgebaut. Zunächst wird der Drehwinkel beiunterschiedlichen und verschieden konzentrierten Zuckerlösungen aufgezeichnet.Hierbei hilft das Polarimeter.Danach wird die Rotationsdispersion beobachtet bei den beiden am stärkstenkonzentrierten der bereits vorher untersuchten Zuckerlösungen. Alle Farbfilterwerden für beide Zucker durchprobiert, die Drehwinkel notiert.

6 O4 - Versuchsauswertung

6.1 Bestimmung des Drehvermögens αm

Aus den aufgenommenden Drehwinkel α der verschiedenen Konzentrationenlässt sich über die Beziehung

α = αmcd (15)

das Drehvermögen αm bestimmen. Wobei c die Konzentration der Lösung be-schreibt und d die Schichtdicke.Trägt man nun den Quotienten α

d über die Konzentration c auf, erhält man dasDrehvermögen αm als Steigung des Graphen. Die Schichtdicke d beträgt in die-sem Fall 0,10m Nun führt man eine lineare Regression durch um die Steigungund somit αm zu bestimmen. Für die Laktoselösung erhält man:

[cL] =N∑

i=1

ci = 7500kgm3

[c2L] =

N∑i=1

c2i = 13750000

kg2

m6

9

Lösung Konzentration/kg/m3 Drehwinkel/◦

L25 2500 27,0L20 2000 26,5L15 1500 18,6L10 1000 11,3L5 500 8,8D30 3000 20,3D20 2000 17,5D15 1500 9,8D10 1000 7,7LX 21,1DX 25,2

Tab. 2: Die Drehwinkel der jeweiligen Lösung.

Abb. 5: Der Quotient αd über der Konzentrationc

10

[αL

d] =

N∑i=1

αi

d= 16, 091937

radm

[c · αL

d] =

N∑i=1

c · αi

d= 28640, 853

rad · kgm4

D = 12500000kg2

m6

Und so erhält man dann die Steigung mit

αm,L =N [c · αL

d ]− [c] · [αLd ]

D= 0, 0018

rad ·m2

kg

Analog wird bei der Dextrose vorgegangen

[cD] = 7500kgm3

[c2D] = 16250000

kg2

m6

[αD

d] = 9, 651670

radm

[c · αD

d] = 20647, 2451

rad · kgm4

D = 8750000kg2

m6

und man erhält als Steigung

αm,D = 0, 0012rad ·m2

kg

Es ergeben sich folgende Vertrauensbereiche

S2L =

1N − 2

N∑i=1

(αi

d− αm · c)2 = 0, 606

SL =

√S2

L

N

D= 0, 0004

∆αm = 0, 0013rad ·m2

kg

S2D = 0, 2786

SD = 0, 0003

∆αm = 0, 0011rad ·m2

kg

11

6.2 Bestimmung der Konzentrationen der beiden unbekanntenLösungen

Mit dem vorherig bestimmten Drehvermögen der beiden Substanzen lässt sichnun die Konzentration c der beiden unbekannten Lösungen bestimmen.

c =α

αmd(16)

Man erhält für LX

cx = 2045, 8kg/m3

und für DX

cx = 3665, 2kg/m3

6.3 Bestimmung von p

Laut Theorie besteht eine Beziehung von αm = p/λ2. Es gilt nun den konstantenParameter p zu bestimmen.

L25 D30λ/nm α αm/ rad ·m2

kg Wert für pL/m4 · 10−18

kg α αm/ rad ·m2

kg Wert für pD/m4 · 10−18

kg

650 0,3490 0,001396 589,81 0,2792 0,00093067 393,21589 0,4363 0,0017452 605,45 0,3655 0,00121833 422,67550 0,4869 0,0019476 589,15 0,4014 0,00133800 404,75450 0,7330 0,002932 593,73 0,5759 0,00191967 388,73405 0,8552 0,0034208 561,10 0,6981 0,00232700 381,69

Tab. 3: Wellenlängen λ, die Drehwinkel α der jeweiligen Lösungen, ihr Drehver-mögen αm, daraus berechnet pL = λ2 ·αm und entsprechend pD

Der Fehler der ermittelten Konstanten p wurde mit der Formel für die Streu-ung aus dem Fehlerrechnungsskript ermittelt (S =

√1

N−1

∑Ni=1(p− pi)2, ∆p =

t S√N

, t = 2,8, N = 5), da sich aus den Werten in obiger Tabelle sinnvoll Mit-telwerte errechnen lassen; auch wenn die einzelnen Abweichungen hoch sind,so deutet die Unregelmäßigkeit der Abweichungen nach unten und nach obenLinearität an. Es ergeben sich:

pL = (5,9± 0,2)m4 · 10−16

kg(17)

pD = (4,0± 0,2)m4 · 10−16

kg. (18)

7 Anhang und Diagramm in A4

Abbildungsverzeichnis

1 Snelliusbrechung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

12

2 Versuchsaufbau O3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 ρ‖ und ρ⊥ über den jeweiligen Winkel aufgetragen. . . . . . . . . 74 Versuchsaufbau O4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Der Quotient α

d über der Konzentrationc . . . . . . . . . . . . . . 106 Reflexionskoeffizient / Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 α

d / Konzentration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 Bestimmung von p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Quellenverzeichnis[PPB06] Versuchsskript[W06] http://de.wikipedia.org Wikipedia

13

Abb. 6: ρ‖ und ρ⊥ über den jeweiligen Winkel aufgetragen.

14

Abb. 7: Der Quotient αd über der Konzentrationc.

15

Abb. 8: Zur Bestimmung des Parameters p wird αm über λ aufgetragen undgefittet.

16