138 AXCH. MATH.

I n s e p a r a b i l i t ~ i t s e x p o n e n t e i n e r K S r p e r e r w e i t e r u n g

u n d h S h e r e D i f f e r e n t i a l e

Yon

ROBERT BEROER und ROSEMARIE RIES

In einer frfiheren Arbeit [1] hat einer der Verfasser einen Beweis ffir einen auf F. K. Sehmidt zurfiekgehenden Satz angegeben, der den Inseparabilit/~tsexponenten inex (K/k) einer endlieh erzeu~en KSrpererweiterung K / k dureh den Verkiirzungs- index hSherer Differentiale besehreibt. Der dort gegebene Beweis beruht auf der Ausnutztmg einer gewissen p-Basis yon K/k, die aus p-Basen der k �9 KV'/k �9 ~p,§ i - ~ O, 1 . . . . . r -= inex(K/k) , konstruiert wird. Im einzelnen ist der Beweis dureh eine genaue Analyse der Struktur der Differentia!algebren ~ v (K/k) recht verwickelt und sehwer durchschaubar. Andererseits ist der Satz ffir separable KSrpererweite- rungen (index (K/k) =- 0) und rein inseparable einfache KSrpererweiterungen sofort einzusehen, so dab es wfinschenswert erscheint, einen Beweis zu haben, der unter Benutzung der Fortsetzungstheorie f'fir Derivationen den allgemeinen Fall aus den angegebenen F/~llen zusammensetzt. Das wird mSglieh durch die Verwendung eines yon H. Kraf t [3] angegebenen Aufbaus yon K/k , der die oben erw~hnte p-Basis in gesehiekter Weise benutzt, um eine K6rperkette k __C K0 C K1 __C... C Kg = K zu konstruieren, bei der Ko/k separabel ist und Ki/K~-I (i -~ 1, . . . , g) eine einfache,

rein inseparable K6rpererweiterung ist mit einem Minimalpolynom X pe' -- a~ fiber pV~

K~-I, dessen Term a~ sogar sehon in k" K i - 1 liegt. Ein soleher gegenfiber dem friiheren wesentlich fibersichtlicherer und kfirzerer

Beweis soll hier angegeben werden. Ffir die Grundlagen und Bezeiehnungen der Theorie der hSheren Differentiale sei dabei auf [1] und [2] verwiesen.

1. Formulierung des Satzes. Im folgenden bezeichne K / k stets eine endlich erzeugte KSrpererweiterung yon Primzahleharakteristik p.

(1.1) Definition. Die kleinste nichtnegative ganze Zahl r, so daft k �9 KP ~ separabel iiber k ist, hei]3t der Inseparabilitiitsexponent von K / k und wird mit inex (K/k ) be- zeichnet.

Ffir die Existenz eines solchen r sei auf [1] 2.5 verwiesen, inex (K/k) = 0 ist often- bar damit gleichbedeutend, dab K / k separabel ist. Ist K/k eine algebraisehe KSrper- erweiterung, so ist inex (K/k) der Steinitzsche Exponent der K6rpererweiterung.

Seien N = {0, 1, . . . , n} und M = {0, 1 . . . . . m} mit n <= m u n d tiN: K ---> ~ (K/k) bzw. dM: K --> ~ M (K/k) die universellen Derivationen der Ordnung N bzw. M yon

Vol. XXV, 1974 Inseparabilit~it und htihere Differentiale 139

K / k , so gibt es auf Grund der universelle~ Eigenschaf t yon d~r genau einen Homo- morph ismus

~ M : ~ N ( K / k ) - - - > ~ M ( K / k ) mit d ' M = ~ l M o d ~ furalle ~eN.

I s t L D M ein weiterer Abschni t t der n ich tnegat iven ganzen Zahlen, so folgt direkt aus der Definition ~1~, ----- ~1~ o ~]M insbesondere also K e r V M C K e r ~ ([1] (1.5.2.2) und [2] (1.4.7)).

Sei nun ~J~ = {m I K e r ~M = K e r ~]~ ffir alle L D__ M} und m ' = inf ~J~, falls ~J~ 4= 0. Wir defmieren nun naeh F. K. Sehmidt (vgl. [1] (1.5.4)):

(1.2) Definition. Der Quotient m ' / n heifit der , ,Verkiirzungsindex yon ~ v ( K / k ) " , oder auch yon d~r und wird mit verex (~lv (K/k)) oder auch verex (d2v) bezeichnet. I s t !IX = O, so setzen wir verex (~N (K/k)) ----- ~ .

Das Ziel dieser Arbei t ist der folgende Satz ([1] (2.5.3)) :

(1.3) Satz (F. K. Sehmidt) . Sei K / k eine endlich erzeugte K6r19ererweiterung yon Primzahlcharakterist ik 19. Dann gilt ]iir ]eden Abschnitt 1g 4= {0} der nichtnegativen ganzen Zahlen verex (~N (K/k)) = 19 r mi t r = inex (K/k) .

Vor dem eigentlichen Beweis stellen wir in einem zweiten Abschni t t einige Eigen- schaften der dazu ben6t igten Kra f t sehen K 6 r p e r k e t t e zusammen.

2. Die Kraftsche Kgrperkette.

(2.1) Eine s19ezielle 19-Basis ]iir K / k . Sei r = i n e x ( K / k ) , t der Transzendenzgrad yon K / k . Man be t raeh te t die KSrpe rke t t e

k C k . K P r C k . K ~ ' - I C . . . C k . K ~ C K .

Da k �9 K ~r separabel fiber k ist, bes teh t eine p-Basis dieses K6rpers fiber k aus genau t Elementen . Man kann diese in der Gestal t z~', . . . . z~ r mi t zl . . . . , zt e K w/~hlen. z~ , . . . , z t sind dann als E lemente yon k �9 K ~'- ' 19-unabh&ngig tiber k, lassen sich also durch E lemente Yn . . . . . Yi~l mi t Yn . . . . . Y1~1 e K zu einer 19-Basis yon k . K ~'-1 fiber k erg/~nzen. So f i h r t m a n for t und erh/~lt schlieBlich eine 19-Basis zi , . . . , zt ,

Yn, - . . , Yis~, Y2i . . . . . Y~.~ . . . . . , Yrsr Yon K tiber k (vgl. [1] (2.3.1)). Wir bezeichnen die Yil . . . . . Yr~r in der oben angegebenen Reihenfolge mi t x i , . . . , xa. Naeh H. K r a f t [3], Folgerung zu Satz I I I , ha t m a n dann:

(2.2) Satz. Es sei mi t den oben erlddrten Bezeichnungen

Ko die separable Hiille yon lc (zi . . . . . zt) in K ,

K~ -= K~- i (xd /iir i = 1 . . . . . g.

Dann gilt: k C Ko C K i C . . . C Kg = K , und das Minima119olynom yon xl iiber Kf -1 hat die Gestalt

X ~e' - - at mit a~ e k . K~e__'l . Ferner ist

inex(K/k) -~ el ~ e2 ~ "'" ~ eg.

140 R. B~RcEx und R. RI~s ARCH. MATH.

E i n e solche K6rperke t t e k C K o C . . . C K g -~ K n e n n e n w i t eine K r a / t s c h e KSrperke t t e

yon K / k .

B e w e i s . W e g e n der Sepa rab i l i t~ t y o n k �9 K v~ t iber k h a t m a n z u n ~ c h s t

k K v" k K p'+" ~" = �9 = �9 ( z , . . . . , z t v') f f i r a l l e v > 0 .

W/~hlt m a n v so gro$, d a b K v " C K o , so h a t m a n k . K v ~§ C k �9 K~' , also auch k . K v" C =C k . K~ ~ u n d somi t k . K v~ = k . K~ ' .

N a e h K o n s t r u k t i o n der p - B a s i s h a t m a n fe rner

~0r K = k . K (z , . . . . . z t , x , , . . . ,X g ) = - - ! Or - - k" K o ( z , . . . . . z t , x l , . . . , xg ) C K o ( x , . . . . . x~) = K g ,

also K = Kg . Gleichfal ls aus d e r K o n s t r u k t i o n l iest m a n ab :

v l o g ( k ' K V ' - ' : k ' K ~ ... . . ) = t - ~ - s l - - ~ ' " - - ~ s i , i = l , . . . , r ,

also ~ l o g ( K : k . K ~') ---- r - t + r . s , -4- (r - - 1) "s2 + "'" + (r - - i z~ 1) s~ -~ --. + 1 �9 st.

Weft K o / k separabe l ist, i s t z ~ , . . . , zt~ eine p -Bas i s y o n k . K~ ~ t iber k ft ir al le = 0, 1 . . . . , r, also

vlog (K0 : k . K~') = r . t .

W e g e n k- K "" = k . K~ * folgt d a r a u s

v l o g ( K : K0) = r . s , + ( r - - 1 ) . s 2 + - . - + ( r - - i + 1 ) . s , + "-" + l ' s r .

N u n is t y ~ e k . K V ~ = k . K ~ ' C k . K ~ _ , ft ir l < ] < s , ,

Y~i e *r . K v'-~ = k . K v ~ v - v "-~ v "-~ 0 ~1 ' ' ' " Z n ' Y l l ' " " Y l s , )

�9 K ~'- ' f i i r l ~ j < s 2 usw., =C k ~+~-i =

a l lgemein m i t d e n e ingef t ih r t en B e z e i c h n u n g e n

x~ e ~ - * ~ _ , ft ir

et ---- 1 f t i r

j + l f t i r

f t ir

i = 1, . . . , g m i t

O < i ~ s l ,

s , < i ~ s , -4- s~,

sl § "" -~ s j - , < i ~ s l -~- "'" ~- s j , dabe i So = 0 ,

s , § § Sr-* < i <= s , + "'" + Sr = g ,

i n sbesondere is t r = el ~ e2 _~-- "'" ~ e a �9

Se tzen w i r ai = x~ e', so b l e i b t noeh zu zeigen, dal] X pe` - - a~ das M i n i m a l p o l y n o m ft ir xl t iber K t - , ist. D a z u gen t ig t es zu zeigen: (Kl : K ~ - I ) ----- pe, ft ir al le i = 1 . . . . . g. We i l xt jedenfa l l s eine ~ u l l s t e l l e des f rag l ichen P o l y n o m s t iber K~-I ist, g i l t

(K~: Kt -1) ~ e~.

W ~ r e diese U n g l e i c h u n g ftir e in i echt , so h~ t t e m a n

Yol. XXV, 1 9 7 4 Inseparabilit~t und hShere Differentiale 141

g g

plog(K: K 0 ) = ~ (Ki: K i - 1 ) < ~ ei = i = 1 i = 1

= r ' 8 l -~- ( r - - 1) :~2 q- -'" -~- 1 "st

im Widersprueh zu dem oben gezeigten, q.e.d.

3. Beweis des Satzes yon F. K. Sehmidt.

(3.1) Der separable Fall. Sei K / k separabel, also i n e x ( K / k ) = 0, zl . . . . , zt eine separierende Transzendenzbasis yon K/k . Nach [2] (4.1) ist claim f'fir alle N C M ~7 M injektiv, well ~N (K/k) bzw. ~M (K/k) Polynomring fiber K in den d r lvz~, 1 ~<v --<n, bzw. d~ z~, 1 ~ tz =<m, i = 1 . . . . . t, ist. Also gilt in diesem Falle verex (K/k) ---- 1. q.e.d.

Um yore separablen Fall fiber die Kraftsche K6rperket te zum allgemeinen Fall zu gelangen, benStigen wir

(3.2) Satz. Seien k C K C L K6rper yon Primzahlcharakteristik p, L = K ( x ) mit dem Minimalpolynom X p~ - a i~ber K und a ~ k . K ~e, N = {0, 1 , . . . , n}, dN die universelle Derivation der Ordnung N yon K/k, DN die universeUe Derivation der Ordnung N yon L/k, dann gilt:

verex (DN) = ~/faX {.pe, verex (dN)} �9

B e w e i s . Naeh [2] (1.4.3) mad (1.3.5) ist D~, universelle Ausdehnung yon dN au fL . Wir setzen zur Abkiirzung A N = ~ N ( K / k ) und CN = ~ v ( L / k ) . Nach der in [2] (1.3.8) angegebenen Konstrukt ion hat man dann CN = L @K AN IX (1) . . . . . X (n)]/~N, wobei das Ideal ~RN erzeugt wird yon {A~vX p' - - 1 @ d~'a I ~, = 1 . . . . , n}. Dabei be- zeiehnet /~N die universelle Ausdehmmg yon dN auf den Polynomring K [X]; es ist ZI~X = XO') mad .D:'x = X{~) rood ~RN. ~ u n gilt nach [1] (1.1.12)

0 falls Te~(~, A~, X~, = (A~X)% falls ~,=].p~.

Naeh Voraussetzung liegt a in k . K p', hat also die Form a = ~, a~ �9 y~' mit ~ e k, y~ e K. Naeh demselben Satz wie eben hat man daher aueh

0 , falls pe ; (~ ,

d~'a = 1 @ ~ ~ . (d/y~)~', falls r = ]. pe.

Das bedeutet, dab 9~N erzeugt wird yon

{ ( x ( ~ w - 1 | (~w)~'l ~ __<j __< nip,}.

Insbesondere sieht man daraus ~N n L (~)K AN = (0), d.h. DN ist tensorielle Fort- setzung im Sinne yon [1] (1.2.9) yon dN. (Man beaehte, dab man fiir diesen SehluB nicht benutzt, dal3 d~ die universelle Derivation der Ordnung N yon K/k ist, dab diese Aussage also ffir eine beliebige Derivation yon K / k richtig bteibt.)

n u n bezeiehne ~ (n) die grSBte ganze Zahl __< nip e. Aus der angegebenen Dar- stelhmg ffir CN fol~, dab

142 R. BEI~GER und R. R~s ARCH. MATH.

eine Basis yon CN als freier ]~odul fiber dem Ring

~ N = L | Alv[D e(n)+l x . . . . . Dnx]

bildet, wobei R2r Polynomring in DeCn)+l x, . . . , D n x fiber L (S)K A~r ist. Seien nun N C M C L wie in (1.2), ~/M usw. die kanonisehen Homomorphismen der

Differentiationen von K / k und H M die entsprechenden kanonischen Homomorphis- men der Differentiationen yon L/k . Man hat dann ein kanonisches kommutatives Diagramm, in dem die senkreehten Abbfldungen nach dem oben gezei~en injektiv sind (wir fassen im folgenden die AN usw. vermSge dieser Injektionen als Unterringe der C2r usw. auf):

H~ ~ CL

CM

t AM

A N ~.L v " A L

Daraus folgt zun~chst verex(D~, )~ verex(dtv); denn solange sich der Kern yon ~M beim ~bergang zu einem grSl3eren L noch vergrSl~ert, tu t dies auch der Kern yon H M, da Ker ~M ---- AN (~ Ker H M ist. Ferner ist ffir m ~ n . T e das Differential ] )~ x freie Polynomvariable im Ring RM, w/ihrend f'tir m-~ n .pe das Element (D~v x) ve -- ~ ~," (d~v y,)~ im Kern yon H M neu auftri t t ; denn es ist

H M ( (D~ x) p" - ~ ~ . (d~ y~) ~') -~ (DnM x) p~ - ~ :~ . (d~M y~)P" = 0 in CM.

Also ist aueh verex (D~) ~ pe, d.h. insgesamt verex (D2v) ~ Max {:pe, verex (tiN)}. Umgekehrt: Aus den angegebenen Basisdarstellungen liest man ab, dal3 ffir

m ~ n .~oe die Menge

= . . . . . I 0 __< =<

eine Basis yon H M (Czr fiber L @ V M (A~r ---- H M (L @ A~r bildet, web die Elemente

V M (Azr dureh V~M isomorph auf V~ (AN) abgebildet, also H M (L Q A2v) ~--- H~ (L (~ Azr vermSge H ~ .

Insgesamt wird also ffir 1 ~ m ~ n - Max {p e, verex(d2v)} HM(c2v) dutch H ~ iso- morph auf H2~ (C2r abgebildet, also ist Ker H M ---- Ker,H~r ffir alle L D 2l/, d.h. verex (D~) ~ Max {~oe, verex (d~v)}. q.e.d.

Im Verlaufe des vorstehenden Beweises ergab sich noch:

(3.3) Korollar 1. Unter den Voraussetzungen yon (3.2) gilt: Jede Derivation ~v yon K/Ic besitzt eine tenvorielle ~'ortsetzung au] L.

Beachtet man, da~ die einzelnen Schritte in einer Kraftsehen K5rperkette zwisehen K0 und K yon dem in (3.2) betraehteten Typ sind, so erh~it man durch wiederholte Anwendung yon (3.3):

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(3.4) KoroUar 2. Sei k C= Ko C K1 C ... C= Kg = K eine Kraftsche K6rperkette yon K/k, dann gilt: Jede Derivation 6N eines K~ besitzt eine tensorielle Fortsetzung au] K, i - - - -0 ,1 . . . . . g.

A n m e r k u n g . Man beachte , dab in beiden Koro l la ren die Vorausse tzung ge- m a c h t werden mu$ , dab es sich u m Der iva t ionen fiber k h a n d e l t ; denn aus der tensor ie l len :For tse tzbarkei t f i i r bel iebige Der iva t ionen folgte naeh [1] (2.4.2) die Separab i l i t~ t der KSrpe re rwe i t e rung und gerade das is t b ier j a n ieh t der Fa l l .

(3.5) B e w e i s d e s S a t z e s y o n F . K . S e h m i d t . Sei k CK0__CKs C -. . C Kg = K eine Kra f t s che K S r p e r k e t t e fiir K/k, r = inex (K/k). Naeh (2.2) is t el ----- r, und nach (3.1) verex(~z(Ko/k)) = 1. Satz (3.2) l iefer t dahe r

verex (~N (Ks~k)) = Max {io r, 1) = p r .

D a nach (2.2) e~ < el -~ r is t f i ir alle i ----- 2 . . . . , g, folgt durch wiederhol te Anwen- dung des Satzes (3.2) verex(~N(K~/k)) = M a x { p e ' , 2 r) = ID r ffir alle i = 2, . . . , g, also aueh verex (~lv (K/k)) -= pr. q.e.d.

Literaturverzeichnis

[1] R. BERG~R, Differentiale hSherer Ordnung und KSrpererweiterungen bei Primzahleharakte- ristik. S.-Ber. Heidelberger Akad. Wiss., Math.-Naturw. Kl. 3. Abh. 1966.

[2] R. Bv.~G~R, Eine Charakterisierung des Verzweigungsindex diskreter Bewertungen mittels hSherer Differentiate. g. reine angew. Math. 239/240, 201--213 (1970).

[3] H. KR~T, Inseparable KSrpererweiterungen. Comment. Math. Hel. 45, 110--118 (1970).

Eingegangen am 26. 3. 1973

Ansehrfft der Autoren: Robert Berger Rosemarie Ries Mathematisches I_nstitut der Universit~t 66 Saarbriicken