Institut für Produktionsmesstechnik IPROM Technische ...iprom.tu-bs.de/_media/lehre/vorlesungen/statistik_biotech/foliensatz_statistische... · Peta P 1015 Billiarde Tera T 1012

iprom I PNSTITUT FÜR RODUKTIONSMESSTECHNIK

T U BECHNISCHE NIVERSITÄT RAUNSCHWEIG

Statistische

Messdatenverarbeitung

Prof. Dr.-Ing. Rainer Tutsch

Dr. rer.nat. Hanno Dierke

Institut für Produktionsmesstechnik – IPROM

Technische Universität Braunschweig

WS 2018/19



Literatur:

Profos, Pfeifer (Hrsg.): Grundlagen der Messtechnik

Oldenbourg-Verlag

iprom Messen kann jeder!

iprom Beispiele für Messfehler mit katastrophalen Folgen

Hubble Space Telescope

1990

Mars Polar Lander 1999

Mars Climate Orbiter 1999



Gliederung der Vorlesung:

1. Grundlagen der Messtechnik, Teil 1

Begriffsbestimmungen, Einheiten, Kalibrieren

Messsysteme, Messabweichungen

2. Statistische Verfahren der Messdatenauswertung

Deskriptive Statistik, Verteilungsfunktionen

Erwartungswert, Vertrauensbereich, Fehler-

fortpflanzung, Statistische Tests, Regression

3. Grundlagen der Messtechnik, Teil 2

Digitalisierung, Dynamische Systeme

iprom Definition des Begriffs „Messen“

DIN 1319:Ausführung von geplanten Tätigkeiten zum

quantitativen Vergleich einer Messgröße mit einer Einheit

X = x N mit: X: Messgröße

x: Maßzahl

N: Einheit

Die Größe X muss messbar sein

Die Einheit N muss eindeutig definiert sein

iprom Informationsgehalt von Maßangaben






X = x N U mit: X: Messgröße

x: Maßzahl

N: Einheit

U: Unsicherheit



iprom Straßenverkehr: Beschränkung der Fahrzeugbreite

Messtechnik-Newsletter 204 vom 20.04.2011

Ärger mit breitem SUV-Außenspiegel Teil II

Wir berichteten über die rüde Abzocke der Autobahnpolizei nach engen Baustellen, die mit

dem Schild Nr. 264 für die linke Fahrspur versehen sind: Verbot für Fahrzeuge über 2 m

Breite einschließlich Ladung.

Der ADAC setzt in der ADAC Motorwelt (Ausgabe 02/2011) noch einen drauf: Das kann

Sie schon ab 1,90 m oder sogar noch weniger im Kfz-Schein angegebener Fahrzeugbreite

bis zu 75 Euro Verwarngeld und ein Punkt in Flensburg kosten, denn dieses Schild

adressiert nach Auslegung der Polizei die Abmessungen über die ausgeklappten Spiegel.

Im Kfz-Schein hingegen steht die Fahrzeugbreite ohne Berücksichtigung der

Außenspiegel. Das trifft dann bereits moderate SUV wie zum Beispiel den BMW X3. Die

Autobahnpolizei hat die Daten aller in Frage kommenden Fahrzeuge. Diskussion mit der

Staatsmacht zwecklos!

http://www.spiegel.de/auto/aktuell/uebergrosse-autos-viel-zu-breit-a-795662.html

iprom Straßenverkehr: Beschränkung der Fahrzeugbreite

http://carblueprints.info/eng/view/bmw/bmw-523li




X = x N U mit: X: Messgröße

x: Maßzahl

N: Einheit

U: Unsicherheit



iprom Standardisierung der Maßeinheiten

Bildquelle: http://www.lda-lsa.de/landesmuseum_fuer_vorgeschichte/fund_des_monats/2006/juli/

Schon in der Frühzeit der menschlichen Zivilisation wurde die Notwendigkeit

erkannt, Maßeinheiten zu definieren. Als älteste Maßverkörperung gilt heute

die Nippur-Elle aus dem Mesopotamien des 3. vorchristlichen Jahrtausend.


Quelle: H. Bosse, PTB


http://www.leifiphysik.de/themenbereiche/gleichfoermige-bewegung/geschichte

Maßverkörperungen am Rathaus

von Bad Langensalzawww.wikipedia.com


Über Jahrtausende waren diese Maßeinheiten allerdings nur lokal gültig.

Viele Maße wurden zudem auf Körpermaße lokaler Herrscher bezogen

und waren daher auch nur zeitlich begrenzt gültig.

Bildquelle: Wikipedia

Die Braunschweiger Elle

Bildquelle: Stadt Braunschweig


Über Jahrtausende waren diese Maßeinheiten allerdings nur lokal gültig.

Viele Maße wurden zudem auf Körpermaße lokaler Herrscher bezogen

und waren daher auch nur zeitlich begrenzt gültig.

Der entscheidende Schritt zur modernen Metrologie wurde 1799 durch die

Akademie der Wissenschaften von Frankreich vollzogen.

Das Meter wurde als 1/40.000 des Umfangs der Erde definiert

(1/10.000 des halben Erdmeridians).

Daraus wurde das Kilogramm als die Masse von 1 dm3 Wasser

(bei der Temperatur seiner höchsten Dichte) abgeleitet.

Es wurden Maßverkörperungen aus der langzeitstabilen

Metalllegierung Pt-Ir hergestellt.


Bildquelle: http://www.ipf.uni-stuttgart.de/lehre/online-skript/d10_04.html/

Urmeter und Urkilogramm

Es wurden Maßverkörperungen aus der langzeitstabilen

Metalllegierung Pt-Ir hergestellt.


Die SI-Basiseinheiten

Länge

Masse

Zeit

Elektrischer Strom

Thermodynamische Temperatur

Stoffmenge

Lichtstärke

Meter

Kilogramm

Sekunde

Ampere

Kelvin

Mol

Candela

m

kg

s

A

K

mol

cd

Größe Name Symbol

Die SI-Einheiten sind in Deutschland gesetzliche Einheiten für den amtlichen und

geschäftlichen Verkehr.

Die Physikalisch-Technische Bundesanstalt PTB (Sitz in Braunschweig und Berlin) hat

die Aufgabe der Darstellung, Bewahrung und Weitergabe der Einheiten im Messwesen.

Einzelheiten hierzu sind im Einheitengesetz und in der Einheitenverordnung formuliert.

1971 wurden im SI-System 7 Basiseinheiten definiert. Die International Organization for

Standardization (ISO) veröffentlicht mit ihrem internationalen Standard ISO 31

(Quantities and units) und ISO 1000 (SI units and recommendations for the use of their

multiples and of certain other units) das wohl am häufigsten verwendete Regelwerk

anerkannter Einheitsgrößen.


1 Meter ist seit 1983 lt. Beschluss der

17.Generalkonferenz die Länge des

Weges, den das Licht im Vakuum in der

Zeit von (1/299 792 458) s zurücklegt.

SI-Basiseinheiten

Länge

Masse

Zeit

Elektrischer Strom


Stoffmenge

Lichtstärke

Meter

Kilogramm

Sekunde

Ampere

Kelvin

Mol

Candela

m

kg

s

A

K

mol

cd

Quel

le:

PT

B, 2004

Größe Name Symbol

Jodstabilisierter Helium-Neon- Laser,

das "Arbeitspferd“

(Wellenlängennormal)

der PTB für die Realisierung des Meters


Die Masse eines Körpers ist die

Grundeigenschaft der Materie, die sich

in ihrer Trägheit und Schwere zeigt. Sie

ist eine ortsunabhängige Größe.

SI-Basiseinheiten

Länge

Masse

Zeit

Elektrischer Strom


Stoffmenge

Lichtstärke

Meter

Kilogramm

Sekunde

Ampere

Kelvin

Mol

Candela

m

kg

s

A

K

mol

cd

Das nationale Kilogramm-Prototyp der Bundesrepublik

Deutschland in der PTB. Es besteht aus einer Platin-

Iridium-Legierung und wird etwa alle zehn Jahre mit

dem internationalen Kilogramm-Prototyp in Sèvres bei

Paris verglichen.

Quel

le:

PT

B, 2004

Größe Name Symbol


Seit 1967 ist 1 s definiert als die Dauer

von 9192631770 Schwingungen der

Strahlung, die dem Übergang zwischen

den beiden Hyperfeinstrukturniveaus

des Grundzustandes des Isotops Cs 133

entspricht.

SI-Basiseinheiten

Länge

Masse

Zeit

Elektrischer Strom


Stoffmenge

Lichtstärke

Meter

Kilogramm

Sekunde

Ampere

Kelvin

Mol

Candela

m

kg

s

A

K

mol

cd

Die primäre Atomuhr CS2 der PTB liefert die Sekundenintervalle

der gesetzlichen Zeit (MEZ bzw. MESZ) , mit denen – über einen

Langwellensender in Mainflingen bei Frankfurt – alle Funkuhren in

Deutschland gesteuert werden.

Quel

le:

PT

B, 2004

Größe Name Symbol


1 Ampere ist die Stärke eines konstanten

elektrischen Stroms, der, durch zwei

parallele, geradlinige, unendlich lange

und im Vakuum im Abstand von 1 m

voneinander angeordnete Leiter von

vernachlässigbar kleinem, kreisrunden

Querschnitt fließend, zwischen ihnen je

Meter Leitungslänge eine Kraft von

2.10-7 Newton hervorruft.

Man behilft sich mit einer indirekten

Methode und realisiert das Ampere über

die Einheit der Spannung (Volt) und der

Einheit des Widerstandes (Ohm).

SI-Basiseinheiten

Länge

Masse

Zeit

Elektrischer Strom


Stoffmenge

Lichtstärke

Meter

Kilogramm

Sekunde

Ampere

Kelvin

Mol

Candela

m

kg

s

A

K

mol

cd

Josephson-Spannungs-Normal zur

Bewahrung und Weitergabe der

Spannungseinheit. Etwa 14000

Josephson- Elemente sind hier in

Reihe geschaltet und ergeben eine

Spannung von maximal 14 V.

Quel

le:

PT

B, 2004

Größe Name Symbol

Quanten-Hall-Widerstands-

Normal zur Bewahrung und

Weitergabe der Widerstands-

einheit.


Seit 1967 ist 1 Kelvin der 273,16te Teil

der thermodynamischen Temperatur des

Tripelpunktes von Wasser.

SI-Basiseinheiten

Länge

Masse

Zeit

Elektrischer Strom


Stoffmenge

Lichtstärke

Meter

Kilogramm

Sekunde

Ampere

Kelvin

Mol

Candela

m

kg

s

A

K

mol

cd

Dieser Kryostat in der PTB in Berlin- Charlottenburg dient seit Ende 2000 als nationales Normal für die tiefsten messbaren

Temperaturen. Die neue internationale Tieftemperaturskala, die gleichzeitig in Kraft getreten ist, reicht bis zu 0,9 µK herunter,

also sehr nah an den absoluten Nullpunkt heran.

Quel

le:

PT

B, 2004

Größe Name Symbol


1 mol ist die Stoffmenge eines Systems,

das aus ebensoviel Einzelteilchen

besteht, wie Atome in 0,012 kg des

Nuklids 12C enthalten sind. Dabei ist

die Teilchenart (Atome, Moleküle,

Ionen, Elektronen sowie andere Teilchen

oder Gruppen solcher Teilchen) in

genauer Konzentration immer

anzugeben.

SI-Basiseinheiten

Länge

Masse

Zeit

Elektrischer Strom


Stoffmenge

Lichtstärke

Meter

Kilogramm

Sekunde

Ampere

Kelvin

Mol

Candela

m

kg

s

A

K

mol

cd

An Kugeln aus je einem hoch-

reinen Siliziumkristall versu-

chen die Wissenschaftler die

Avogadro-Konstante so präzise

zu bestimmen, dass sie als

Grundlage für die Definition

bzw. Realisierung der

Einheiten Mol und Kilogramm

dienen kann.

Quel

le:

PT

B, 2004

Größe Name Symbol


1 cd ist lt. Beschluss der 16.GV im Jahre

1979 die Lichtstärke einer

Strahlungsquelle, die eine

monochromatische Strahlung der

Frequenz f = 540 THz aussendet und

deren Strahlstärke in dieser Richtung

1/683 W/sr beträgt.

SI-Basiseinheiten

Länge

Masse

Zeit

Elektrischer Strom


Stoffmenge

Lichtstärke

Meter

Kilogramm

Sekunde

Ampere

Kelvin

Mol

Candela

m

kg

s

A

K

mol

cd

Quel

le:

PT

B, 2004

Größe Name Symbol

Kryoradiometer – das

nationale Normal zur

Messung der optischen

Strahlungsleistung.

iprom SI-Vorsätze

SI-Vorsatz Vorsatzzeichen Zehnerpotenz Name

Exa E 1018 Trillion

Peta P 1015 Billiarde

Tera T 1012 Billion

Giga G 109 Milliarde

Mega M 106 Million

Kilo k 103 Tausend

Hekto h 102 Hundert

Deka da 101 Zehn

Dezi d 10-1 Zehntel

Zenti c 10-2 Hundertstel

Milli m 10-3 Tausendstel

Mikro 10-6 Millionstel

Nano n 10-9 Milliardstel

Piko p 10-12 Billionstel

Femto f 10-15 Billiardstel

Atto a 10-18 Trillionstel

Achtung Verwechslungsgefahr! m=milli immer vor die Einheit

m=Meter immer hinter die übrigen Einheiten

iprom Redundanz im SI-System

Das Meter und die Sekunde sind redundant.

Die Sekunde ist genauer darstellbar, daher könnte das Meter entfallen.

Aus praktischen Überlegungen heraus behält man es bei.

Künftig sind weitere Redundanzen zu erwarten,

z.B.: Stoffmenge und Masse oder

Stromstärke und Masse

iprom Neudefinition des SI-Systems

Voraussichtlich am 20.05.2019 wird das SI-System neu definiert.

Künftig werden die Einheiten auf Naturkonstanten zurückgeführt.

Vorbild: Definition des Meters:

s = c0 t

Vor 1983: Die Strecke s wird in „m“ gemessen,

rückgeführt auf eine Lichtwellenlänge

Die Zeit t wird in „s“ gemessen, rückgeführt auf eine

Hyperfeinstruktur-Übergangsfrequenz

Die Vakuumlichtgeschwindigkeit kann experimentell

gemessen werden, mit einer Unsicherheit


Voraussichtlich am 20.05.2019 wird das SI-System neu definiert.

Künftig werden die Einheiten auf Naturkonstanten zurückgeführt.

Vorbild: Definition des Meters:

s = c0 t

Heute: Die Vakuumlichtgeschwindigkeit wird als Naturkonstante

angenommen. Ihr wird der Wert 299 792 458 m/s

zugeordnet, ohne Unsicherheit.

Die Strecke s wird in „m“ gemessen

Die Zeit t wird in „s“ gemessen

Für „m“ und „s“ werden Definitionen festgelegt, die zum

festgelegten Wert von c0 kompatibel sind.


Ab 20.05.2019: Festlegung von 7 Naturkonstanten (jeweils exakt):

Die ungestörte Grundzustands-Hyperfeinstruktur-Übergangsfrequenz

von Cäsium 133 beträgt: ΔνCs = 9 192 631 770 Hz

Die Vakuumlichtgeschwindigkeit beträgt c0 = 299 792 458 m/s

Das Plancksche Wirkungsquantum beträgt: h = 6,626 070 15 x 10-34 Js

Die Elementarladung beträgt: e = 1,602 176 634 x 10-19 As

Die Boltzmann-Konstante beträgt: k = 1,380 649 x 10-23 J/K

Die Avogadro-Konstante beträgt: NA = 6,022 140 76 x 1023 mol-1

Das photometrische Strahlungsäquivalent bei 540 x 1012 Hz beträgt:

Kcd = 683 lm/W


Die Einheiten des SI-Systems werden künftig so definiert, dass die

sieben festgelegten Naturkonstanten ihre definierten Werte erhalten.

Beispiel: Die Kibble-Waage zur

Bestimmung der Masseneinheit kg.

In einem komplizierten Experiment

werden mechanische und

elektrische Größen verknüpft.

Daraus lässt sich die Masse eines

Gewichtsstücks als Funktion von

h, c0 und ΔνCs darstellen. © Richard Barnes (Ausschnitt)

Die Kibble-Waage des NIST


Die Einheiten des SI-Systems werden künftig so definiert, dass die

sieben festgelegten Naturkonstanten ihre definierten Werte erhalten.

Beispiel: Die Kibble-Waage zur

Bestimmung der Masseneinheit kg.

In einem komplizierten Experiment

werden mechanische und

elektrische Größen verknüpft.

Daraus lässt sich die Masse eines

Gewichtsstücks als Funktion von

h, c0 und ΔνCs darstellen.

Grundsätzlich neuer Ansatz zur Definition der Einheiten!

Im Alltag werden die Anwender davon nichts merken.Wer es genau wissen will: https://www.bipm.org/en/measurement-units/rev-si/

© Richard Barnes (Ausschnitt)

Die Kibble-Waage des NIST

iprom Extensive und intensive Größen

Extensive & intensive Größen

Extensive Größen verteilen sich auf die Teilsysteme.

Intensive Größen bleiben bei Teilung des Systems erhalten.

+Länge l

Masse m

Temperatur T

1

1

1

Länge l

Masse m

Temperatur T

2

2

2

Extensive Größen:

l + l = l

m + m = m

1 2

1 2

Intensive Größe:

T = T = T1 2

Länge l

Masse mTemperatur T

iprom Additive Zusammensetzung von Normalen extensiver Größen

EndmaßsatzBildquelle: www.messwelt.com

Massensatz

(Gewichtssatz)Bildquelle: www.betzold.de

http://www.messwelt.com/

http://www.betzold.de/


Definierende Fixpunkte der ITS-90

Gleichgewichtszustand T90 in K t90 in °C

Dampfdruck des Heliums 3 bis 5 -270,15 bis -268,15

Tripelpunkt des Gleichgewichtswasserstoffs 13,8033 -259,3467

Dampfdruck des Gleichgewichtswasserstoffs 17,025 bis 17,045

20,26 bis 20,28

-256,125 bis -256,105

-252,89 bis -252,87

Tripelpunkt des Neons 24,5561 -248,5939

Tripelpunkt des Sauerstoffs 54,3584 -218,7916

Tripelpunkt des Argons 83,8058 -189,3442

Tripelpunkt des Quecksilbers 234,3156 -38,8344

Tripelpunkt des Wassers 273,16 0,01

Schmelzpunkt des Galiums 302,9146 29,7646

Erstarrungspunkt des Iridiums 429,7485 156,5985

Erstarrungspunkt des Zinns 505,078 231,928

Erstarrungspunkt des Zinks 692,677 419,527

Erstarrungspunkt des Aluminiums 933,473 660,323

Erstarrungspunkt des Silbers 1234,93 961,78

Erstarrungspunkt des Goldes 1337,33 1064,18

Erstarrungspunkt des Kupfers 1357,77 1084,62

iprom Tripelpunkt

Bildquelle: Prof. Gericke, TU Braunschweig


SPIEGEL ONLINE

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11. September 2007, 20:06 Uhr

Maßeinheiten

Briten dürfen Pints, Meilen und Unzen behalten

Pints statt Liter, Meilen statt Kilometer: Die Briten dürfen ihre traditionellen Maßeinheiten auch in Zukunft verwenden. Die Europäische Kommission

gibt ihre Pläne auf, das metrische Maß zwangsweise durchzusetzen.

Brüssel - Ihr Bier dürfen die Briten weiterhin in Pints trinken. Und Tempolimits können sie - so wi e immer - in Meilen angeben. Nach massiven

Protesten hob die EU-Kommission heute die Pflicht auf, die traditionellen Maßeinheiten ab 2010 abzu schaffen. Eigentlich wollte Brüssel

Großbritannien und Irland zwingen, nur noch metrische Größen zu verwenden.

REUTERSGuiness-Pint: Die Kultur Großbritanniens und Irlands ehren

Mit ihrem Einlenken versucht die EU-Kommission offenbar, das Wohlwollen der traditionsbe-

wussten Inselbewohner zu gewinnen. "Dieser Vorschlag ehrt die Kultur Großbritanniens und

Irlands, die wichtig sind für Europa", erklärte Industriekommissar Günther Verheugen.

Wenn die Mitgliedstaaten der EU einverstanden sind, können Lebensmittel auf der Insel

auch in Zukunft in Pfund und Unzen verkauft werden. Ein Pfund ist etwas weniger als 500

Gramm.

Der Einzelhändler Steve Thoburn aus Sunderland gelangte 2001 als wegen des Verkaufs von Obst und Ge müse in Pfund statt Kilogramm vor

Gericht gebracht wurde. Er wurde damals zu sechs Monaten Haft auf Bewährung verurteilt.

wal/Reuters

URL:

© SPIEGEL ONLINE 2007

Alle Rechte vorbehalten

· http://www.spiegel.de/wirtschaft/0,1518,505182,00.html

iprom Begriffsbestimmungen

Messwert: Resultat einer einzelnen Messung

besteht aus Zahlenwert und Einheit

Messgröße: Physikalische Größe, die Ziel der Messung ist

wahrer Wert: ideeller Wert, der der Messgröße zugeordnet wird

in der Regel nur näherungsweise bestimmbar

richtiger Wert: der beste verfügbare Schätzwert für den wahren Wert

Messergebnis: Schätzung des wahren Werts

und

Schätzung der Unsicherheit dieses Schätzwertes

iprom Komponenten eines Messsystems

Messystem: Messobjekt + mindestens eine Messeinrichtung

Messeinrichtung: mindestens ein Messgerät + Zubehör

Messobjekt

(Messung)

Referenzobjekt

(Kalibrierung)

Messeinrichtung

Übertragungs-verhalten

x

x

x

e

N

a

iprom Oszilloskop mit Tastköpfen (Zubehör)



http://oscopes.info/basics/6-oscilloscope-probes-vital-link-in-the-measurement-chain

iprom Messsysteme

Wie genau kann man mit diesem Thermometer die

Temperatur von Wasser messen?

iprom Messsysteme



iprom Messsysteme



iprom Rückwirkung

Die Wechselwirkung zwischen Messobjekt und Messeinrichtung beeinflusst

Den Messwert.

Drei Arten, das zu berücksichtigen:

1. Effekt vernachlässigen (wenn man dies begründen kann)

2. Rechnerische Korrektur des Messwerts

3. Anwendung eines Kompensationsmessverfahrens

Messobjekt

(Messung)

Referenzobjekt

(Kalibrierung)

Messeinrichtung


x

x

x

e

N

a

Messsystem

iprom Beispiel für Messung mit Rückwirkung

Messung des Gasdrucks in einem Behälter

p, V

a) Beginn des Experiments

Gas mit Druck p in Volumen V Messvorrichtung in Ruhestellung

arretiert



Messabweichung könnte durch Anwendung der idealen

Gasgleichung pV=nRT rechnerisch korrigiert werden

Dp - p

V + VD

b) Arretierung wird gelöst

Gasdruck p übt Kraft auf Kolben aus.

Feder wird komprimiert. Kolbenverschiebung

vergrößert V und im abgeschlossenen System

wird die Messgröße p kleiner

pV=const.





Dp - p

V + VD






pV=const.

0

1

DD

D

DD

DDDD

DD

D

pVV

p

VV

Vpp

pVVpVppVpV

pVVVpp

VV



Messabweichung wird durch Anwendung eines

Kompensationsverfahrens aufgehoben

p, V

c) Durch Verschieben des Gegenlagers der Feder wird der Kolben wieder in die Ausgangsstellung gebracht. Dadurch wird die Wirkung der Messgröße . Messgröße p ist jetzt wieder unverfälscht messbar.

kompensiert

iprom Analoge und digitale Anzeigen

06:30

12

6

9 3

Digitalanzeige: Analoganzeige:

iprom Einsatzbereiche analoger und digitaler Anzeigen

Leitstand eines Kraftwerks (Bildquelle: Wikimedia)

Analog: schnell erfassbar

Digital: genau ablesbar

iprom Begriffsbestimmungen für Anzeigen

Empfindlichkeit: Zeigerweg je Einheit der Messgröße (analog)

Ziffernschritte je Einheit der Messgröße (digital)

Anzeigebereich: umfasst alle Werte, die angezeigt werden können

Messbereich: Der Teil des Anzeigebereichs, in dem das Messgerät

seine Spezifikationen einhält

(kann gleich dem Anzeigebereich sein, muss es aber nicht)

Unterdrückungsbereich: Der Bereich zwischen 0 und dem kleinsten

anzeigbaren Wert (sofern dieser >0 ist)

Skalen: Ziffernskalen

Strichskalen linear

nichtlinear

iprom Begriffsbestimmungen für Anzeigen

Skalen:

Ziffernskalen

(Beispiel: Tachometer Oldsmobile Toronado 1970)

Strichskalen linear nichtlinear

iprom Kalibrieren - Justieren - Eichen

Kalibrieren: Bestimmung der Messabweichung an einer oder

an mehreren Stellen im Messbereich

Vergleich mit kalibrierten Meisterteilen oder

mit kalibrierten Messgeräten einer höheren

Genauigkeitsklasse

Justieren: Eingriff in das Messgerät mit dem Ziel,

Messabweichungen zu verkleinern

Eichen: Amtliche Prüfung von Messgeräten durch akkreditierte

Personen (juristischer Begriff)

iprom Beispiel: Kalibrieren eines Messschiebers mit Parallelendmaßen

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 2 4 6 8 0

L1

L

L1

x =Lai i

xa5

xa4

xa3

xa2

xa1

L2

L2

L3

L3

L4

L4

L5

L5

ParallelendmaßeAnzeigewert xa

Richtiger Wert L

iprom Rückführbarkeit - Kalibrierkette

Nationales Normal

BezugsnormalDKD-Kalibrierlabor

Innerbetriebliches KalibrierlaborGebrauchsnormal

Prüfmittel

Produkt

Def.: Rückführbarkeit ist die Eigenschaft eines Messergebnisses oder des Wertes eines

Normals, durch eine ununterbrochene Kette von Vergleichsmessungen mit angegeben-

en Messunsicherheiten auf geeignete Normale, im allgemeinen internationale oder na-

tionale Normale, bezogen zu sein.

iprom Messabweichungen und Abweichungsursachen

Messabweichungen

und

Abweichungsursachen


Repräsentativitätsfehler

iprom Repräsentativitätsfehler bei der Bestimmung der Fahrzeugbreite

Messtechnik-Newsletter 204 vom 20.04.2011

Ärger mit breitem SUV-Außenspiegel Teil II

Wir berichteten über die rüde Abzocke der Autobahnpolizei nach engen Baustellen, die mit

dem Schild Nr. 264 für die linke Fahrspur versehen sind: Verbot für Fahrzeuge über 2 m

Breite einschließlich Ladung.

Der ADAC setzt in der ADAC Motorwelt (Ausgabe 02/2011) noch einen drauf: Das kann

Sie schon ab 1,90 m oder sogar noch weniger im Kfz-Schein angegebener Fahrzeugbreite

bis zu 75 Euro Verwarngeld und ein Punkt in Flensburg kosten, denn dieses Schild

adressiert nach Auslegung der Polizei die Abmessungen über die ausgeklappten Spiegel.

Im Kfz-Schein hingegen steht die Fahrzeugbreite ohne Berücksichtigung der

Außenspiegel. Das trifft dann bereits moderate SUV wie zum Beispiel den BMW X3. Die

Autobahnpolizei hat die Daten aller in Frage kommenden Fahrzeuge. Diskussion mit der

Staatsmacht zwecklos!

iprom Komponenten eines Messsystems



Messobjekt

(Messung)

Referenzobjekt

(Kalibrierung)

Messeinrichtung


x

x

x

e

N

a

iprom Messsystem

Messobjekt

Messeinrichtung


MessgrößeAusgabe

iprom Abweichungsbehaftetes Messsystem

Messobjekt

Messeinrichtung

Übertragungs-

verhalten

MessgrößeAusgabe

Äußere Störeinflüsse

auf Messsignal

superponierend


Messobjekt

Messeinrichtung

Übertragungs-

verhalten

MessgrößeAusgabe


auf Messsignal auf Übertragungsverhalten

superponierend

deformierend


Messobjekt

Messeinrichtung

Übertragungs-

verhalten

MessgrößeAusgabe

Innere Störeinflüsse



superponierend

deformierend


Messobjekt

Messeinrichtung

Übertragungs-

verhalten

Messgröße

Rückwirkung

Ausgabe




superponierend

deformierend


Messobjekt

Messeinrichtung

Übertragungs-

verhalten

Messgröße

Rückwirkung

Ausgabe

Rückwirkung

vom Empfänger




superponierend

deformierend

iprom Messabweichung und Korrektion

x: wahrer Wert

xa: Messwert

Messabweichung E: E = xa – x

Korrektion B: B = x – xa

iprom Systematische und zufällige Abweichungen

x

µ

xa

n

E

E

s

ai

E = µ - x

E = x - µs

ai ai

iprom Unterscheidung zwischen systematischer und statistischer Abweichung

x

µ???

xa

n

iprom 1. Abschnitt der Vorlesung

Statistische Auswertung

von Messwerten

iprom Grundlegende Begriffe der Statistik

Grundgesamtheit:

Menge aller potentiellen Untersuchungsobjekte für eine bestimmte Fragestellung

Stichprobe:

Teilmenge der Grundgesamtheit, sollte

„statistisch repräsentativ“ für die

Grundgesamtheit sein

(anderenfalls: Repräsentativitätsfehler!)

Eisenprobe aus dem

Hochofenabstich

Quel

le:

Uni

Ess

en, 2004

GrundideeDie Verteilung des Merkmals ist eine intensive Größe;

d. h. die Verteilung bleibt in der Probe erhalten.

Verteilung des Merkmals in

der Grundgesamtheit

Verteilung des Merkmals in

der Stichprobe

Stichprobe

aus

Grundgesamtheit

iprom Skalierung von Zufallsgrößen

Zufallsgröße oder Zufallsvariable:

Variable, die bei mehreren, unter gleichen Bedingungen durchgeführten

Versuchen verschiedene Werte annehmen kann.

Zur Beschreibung von Variablen werden

verschiedene Skalenniveaus verwendet:

Nominalskala

Ordinalskala

Intervallskala

Verhältnisskala

Absolutskala

Nominalskalen: Klasseneinteilung ohne Hierarchie

z.B.: Personen nach Haarfarbe oder Geschlecht

Ordinalskalen: Klasseneinteilung mit Hierarchie

z.B.: Ränge beim Militär: General > Oberst > Gefreiter

Ligen im Fussball: 1. Liga > 2. Liga > 3. Liga

Energieeffizienzklasse für Elektrogeräte: A > B > C

Intervallskalen: Metrische Skalen mit eindeutigen Differenzen zwischen den

Werten verschiedener Variabler, aber ohne natürlichem Nullpunkt

z.B.: Temperatur in °C, Jahreszahlen, Zeitpunkte

Verhältnisskalen: Metrische Skalen mit eindeutigen Differenzen zwischen den

Werten verschiedener Variabler, mit natürlichem Nullpunkt

Im Gegensatz zu Intervallskalen sind hier auch Multiplikationen

und Divisionen erlaubt.

z.B.: Temperatur in K, Masse in kg, Preis in €

Absolutskalen: Verhältnisskala mit „natürlicher Maßeinheit“, praktisch nur für

zählbare Größen erfüllt.

z.B.: Einwohnerzahl eines Landes

iprom Skalenniveaus für Variablen

iprom Skalierung von Zufallsgrößen

Zufallsgröße oder Zufallsvariable:

Variable, die bei mehreren, unter gleichen Bedingungen durchgeführten

Versuchen verschiedene Werte annehmen kann.

Zur Beschreibung von Variablen werden

verschiedene Skalenniveaus verwendet:

Nominalskala

Ordinalskala

Intervallskala

Verhältnisskala

Absolutskala

Kategoriale Skalen

Merkmale sind

Kardinalskalen metrisch

iprom Streuung von Messwerten bei Wiederholmessung

iprom Klasseneinteilung für die statistische Analyse

iprom Klasseneinteilung für die statistische Analyse

iprom Histogramm einer Messreihe

iprom Histogramm einer Messreihe

Fläche eines Rechtecks:

Relative Häufigkeit der Messwerte in der betrachteten Klasse

Gesamtfläche:

n

nx

xn

nxhF mm

mm

DD

D

DD

1

D

D

n

n

n

n

n

n m

m

m

m

iprom Histogramm und relative Summenhäufigkeit

Relative Summenhäufigkeit:

Dm

mm xhS

iprom Vergrößerung der Stichprobe

Höhere Auflösung der Darstellung

Geringere Streuung zwischen

wiederholten Messreihen

iprom Übergang von der Stichprobe zur Grundgesamtheit

Grenzübergang n → ∞

Δx → 0

Relative Häufigkeitsdichte hm

→ Verteilungsdichte h(x)

iprom Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

iprom Wahrscheinlichkeitsvorhersage für Messwerte

Wahrscheinlichkeitsfunktion P(x):

)()(

)()(

12

21

2

1

xPxP

dxxhxxxP

x

x

1)(

)()(

P

dhxP

x

Fläche unter der Kurve h(x) im Intervall [x1, x2]

iprom Kenngrößen empirischer Verteilungen

Lageparameter:

Modalwert größte Häufigkeit

Medianwert mittlere Häufigkeit

arithmetischer Mittelwert gewichtete mittlere

Häufigkeit

Streuungsparameter:

Spannweite

Quartilsabstand

Empirische Streuung

iprom Lageparameter

iprom Median- und arithmetischer Mittelwert

Beispiel:

Zufallszahlen: 3, 4, 4, 6, 1, 2, 8, 4, 7

Sortiert: 1, 2, 3, 4, 4, 4, 6, 7, 8

Median

Arithmetischer

Mittelwert:

39/9=4,333

n

i

aixn

x1

1Arithmetischer Mittelwert:

iprom Median- und arithmetischer Mittelwert

Zufallszahlen: 3, 4, 4, 6, 1, 2, 8, 4, 7

Sortiert: 1, 2, 3, 4, 4, 4, 6, 7, 8

Median

Arithmetischer

Mittelwert:

39/9=4,333

Zufallszahlen

mit Ausreißer: 3, 4, 4, 6, 1, 2, 8, 4, 7000

Sortiert: 1, 2, 3, 4, 4, 4, 6, 8, 7000

Median

Arithmetischer

Mittelwert:

7032/9=781,333

iprom Streuungsparameter

iprom Empirische Streuung

2

1

2 )(1

1xx

nS

n

i

i

Streuung S:

Warum (n-1) und nicht n?

Nur (n-1) Summanden sind statistisch unabhängig,

da der Mittelwert als bekannt vorausgesetzt wird.

1

1

n

in xxnx

iprom Mittelwert und Erwartungswert

xhnnxn

nh mm

mm DD

D

Dm

m

m

n

i

ai xnn

xn

x D

11

1

xxhxxnhn

x m

m

mm

m

m DD 1

D

dxx

xhh

xx

x

n

m

m

m

)(

xdxxh )(

Summation auf die Klassen des

Histogramms verteilen

iprom Erwartungswert µ

µ ist erstes Moment der Verteilungsdichtefunktion

Anschaulich: x-Koordinate des Flächenschwerpunkts

µ

iprom Streuung und Standardabweichung

xhnn mm DDSummation auf die Klassen des

Histogramms verteilen

mi

m

mmi

m

m

n

i

i xxxhn

nxxn

nxx

nS

222

1

2

11

1)(

1

1D

D

11

)(

22

D

n

n

dxx

xxx

xhh

x

n

m

mi

m

dxxxhS222 )(

: Standardabweichung,

2: Varianz .

iprom Standardabweichung

σ ist das zweite Moment der Verteilungsdichtefunktion h(x).

Anschaulich: Flächenträgheitsmoment

iprom Kenngrößen für Stichprobe und Verteilung

Theoretischer Wert

= Grenzfall für

Stichprobenumfang

Näherungswert bei einer

endlichen Stichprobe

Erwartungswert Mittelwert

Standardabweichung Streuung S

x

iprom

22

22

22

22

)(

12)(

)()(2)(

)(

dxxhx

dxxhx

dxxhdxxxhdxxxh

dxxxh

Alternative Berechnungsformel für die Varianz

iprom

Beispiele für kontinuierliche

Wahrscheinlichkeitsverteilungen

iprom Die Gaußsche Normalverteilung

2

2

1

22

1)(

x

exh

Kurvenschar mit den beiden

Parametern µ und σ

Symmetrisch zu µ

Maximum bei µ

Wendepunkte bei

Für geht h(x) asymptotisch gegen 0, ist aber stets >0

x =

x

iprom Die Gaußsche Normalverteilung

2

2

1

22

1)(

x

exh

Gauß-Verteilung

(in normierten Koordinaten)

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

h(x

)*

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

P(x

)

P(x)

h(x)

x -

µ = µ und σ = σ

iprom Die Rechteck- oder Gleichverteilung

sonst

xxxfürxxxh

0

1

)( maxmin

minmax

2

minmax xx

32

minmax xx

iprom Die Dreieckverteilung

2

minmax xx

sonst

xxxx

fürxxxx

xxxxfürxx

xx

xh

0

2

4

2

4

)( max

minmax

max2

minmax

minmax

minmin2

minmax

62

minmax xx

iprom Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen:

Die Zufallsgröße X kann nur diskrete Werte annehmen.

P(X = k) ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass X den Wert k annimmt.

Erwartungswert und Standardabweichung werden wie folgt berechnet:

dxxxh

kXkPk

)(

)(

222

222

)(

)(

dxxhx

kXPkk

iprom Die Binomialverteilung

Die Zufallsgröße kann bei jeder Wiederholung einen von zwei

möglichen Werten annehmen, mit der Wahrscheinlichkeit p für das

„positive“ und der Wahrscheinlichkeit q = 1-p für das negative Ergebnis

knk qpk

nkXP

Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei n Wiederholungen k-mal das positive

Ergebnis auftritt:

Bin(n,p):

=np 2=npq

!!

!

knk

n

k

n

Beispiel:

Ziehen aus Urne mit Zurücklegen

iprom Binomialverteilungen mit verschiedenen Parameterwerten

Bin(10, 0.2) Bin(10, 0.8)

Bin(10, 0.5) Bin(30, 0.5)

iprom Die Poissonverteilung

Statistische Beschreibung von Zählereignissen

Beispiel: Zählimpulse bei radioaktivem Zerfall

Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Ereignis im Beobachtungszeitraum

k-mal auftritt:

Po(): !k

ekXPk = 2=

iprom Poissonverteilung mit verschiedenen Parameterwerten

Po(0,5) Po(1)

Po(2) Po(5)

iprom Parameterschätzung

Wie stellt man den Verteilungstyp einer Zufallsgröße fest?

Experimentelle Untersuchung einer Stichprobe, Erstellen eines

Histogramms, Ähnlichkeit des Histogramms mit den bekannten

Verteilungen prüfen -> Hypothese

Die Verteilung habe s Parameter 1,...s

Wie bestimmt man die am besten passenden Werte?

iprom Parameterschätzung

Die Maximum-Likelihood-Methode ermittelt den Parametervektor

= (1, ... ,s), für den die Wahrscheinlichkeit des Auftretens

genau der n experimentell ermittelten Meßwerte x1,...xn maximal ist.

Maxxh

MaxxXP

n

j

j

jj

n

j

)(1

1

für diskrete Verteilungen

für kontinuierliche Verteilungen

Ergebnisse:

Normalverteilung: 22, Sx

Binomialverteilung: n

xp

Poissonverteilung: x

iprom Lineare Approximation

xx

fxfxxf D

D )()(

Taylor-Entwicklung

iprom Abweichungsfortpflanzung

Y = f(X1, X2, ..., Xm)

Die Größen Xi seien Messgrößen mit wahrem Wert xi und Erwartungswert µi

Systematische Abweichung Esi = µi - xi

Zufällige Abweichung Eaik bei k-ter Messung von Xi: Eaik = xaik - µi


Y = f(X1, X2, ..., Xm)




Wahrer Wert von Y: y = f(x1, x2, ..., xm)

Erwartungswert von Y: µ = f(µ1, µ2, ..., µm)


Y = f(X1, X2, ..., Xm)




Wahrer Wert von Y: y = f(x1, x2, ..., xm)

Erwartungswert von Y: µ = f(µ1, µ2, ..., µm)

Frage: wie pflanzen sich die systematischen und zufälligen Abweichungen

der Xi fort?

iprom Fortpflanzung der systematischen Abweichung

),...,(),...,(

),...,(),...,(

111

11

msmms

mm

s

xxfExExf

xxff

yE


),...,(),...,(

),...,(),...,(

111

11

msmms

mm

s

xxfExExf

xxff

yE

xx

fxfxxf D

D )()( Taylor-Entwicklung


si

m

i i

msi

m

i i

m

msmms

mm

s

Ex

f

xxfEx

fxxf

xxfExExf

xxff

yE

1

1

1

1

111

11

),...,(),...,(

),...,(),...,(

),...,(),...,(

Die systematische Abweichung der

resultierenden Größe ist die Summe der

systematischen Abweichungen der

Eingangsgrößen, gewichtet mit der

partiellen Ableitung der resultierenden Größe

nach der jeweiligen Eingangsgröße

iprom Fortpflanzung der zufälligen Abweichung

Von den Eingangsgrößen Xi werden Stichproben vom

Umfang ni genommen: {xiki}ki=1,...,ni

Die zufällige Abweichung eines solchen Meßwerts beträgt

Eaiki=xiki-i

Für jedes Xi kann ein Mittelwert und eine Streuung

berechnet werden:

ni

ki

iki

i

i xn

x1

1 2

1

2 )(1

1i

ni

ki

iki

i

i xxn

S

ist die Abweichung eines Einzelwerts vom Mittelwert.iikiiki xxx D

01

D

ni

ki

ikix

iprom Fortpflanzung der Abweichung bei zusammengesetzten Größen

X1 X2 X3 X4

Y1

Y2

Y3

A11 A12 A13

A21 A22 A23

A31 A32 A33

A14

A24

A34

4

1

3

13*4

1

i j

ijAA 24

1

3

1

)(13*4

1AAS

i j

ijA


Beispiel: Fläche eines Rechtecks A = a b

Seitenlänge a werde 5 mal gemessen: a1, a2, a3, a4, a5

Seitenlänge b werde 3 mal gemessen: b1, b2, b3

Es gibt 5 x 3 mögliche Kombinationen, die Fläche A zu berechnen:

A11=a1 b1 A21=a2 b1 A31=a3 b1 A41=a4 b1 A51=a5 b1



Diese 15 Werte Aij werden als Messwerte einer virtuellen Messreihe

interpretiert und es werden der Mittelwert x und die Streuung S berechnet.


Es gibt verschiedene Kombinationsmöglichkeiten der

Eingangsmesswerte, für die jeweils ein Wert für y berechnet werden

kann.

m

i

ni1

),...( 11...1 mkmkkmk xxfy


),...,(

1),...,(

)),...,((...1

),...,(...1

...1

1

11

1

1

1

1

11 1

1

1

11

1

11 1

1

1

1

11 1

...1

1

m

ni

ki

iki

ij

j

m

i i

m

i

m

iki

m

i i

m

n

k

nm

kmm

i

mkmmk

n

k

nm

kmm

i

n

k

nm

km

kmkm

i

xxf

xnx

f

ni

xxf

xx

fxxf

ni

xxxxf

ni

y

ni

y

D

D

DD

Der Mittelwert für y wird wie folgt berechnet:


Die zufällige Abweichung bei der Messung von Y kann

naturgemäß nur statistisch beschrieben werden. Unter der

Voraussetzung, daß die Eingangsgrößen Xi statistisch

unabhängig sind, erhält man für die Standardabweichung

bzw. die Streuung:

m

i

i

ix

f

1

2

m

i

i

i

Sx

fS

1

2

2

iprom Vollständiges Messergebnis

In der Praxis liegen systematische und zufällige Abweichungen

stets gemeinsam vor.

Vorgehensweise:

1. Systematische Abweichungen ermitteln und korrigieren

2. Vertrauensbereich für korrigierte Werte aus der Fortpflanzung

der statistischen Abweichung berechnen

iprom Standardabweichung des Mittelwerts

Die Messgröße X sei normalverteilt mit µ und .

Aus n wiederholten Messwerten werde der Mittelwert x berechnet.

Dieser kann formal als Wert einer Messgröße X betrachtet werden,

die wie folgt berechnet wird:

mit Xi normalverteilt mit µ und für alle i

n

i

in Xn

XXfX1

1

1),...,(

Fortpflanzung der zufälligen Abweichung:

nn

nn

X

Xn

X

XXf

n

k

n

i

k

k

k

n

i

in

k

k

k

nn

kX

2

21 1

2

2

2

1

1

2

1

1

11

1

),...,(

iprom Abschätzung des Erwartungswertes

Die Größe X sei normalverteilt,

die Standardabweichung und

der Erwartungswert µ seien

bekannt.

Wahrscheinlichkeit dafür, dass

der nächste Messwert im

Intervall µ c liegt (c > 0):

)()(

)(

cPcP

dhcxP

c

c

Dies ist eine Funktion von und c.


dhcxP

c

c

)(

Formal ist das gleich cxP

Interpretation: Angenommen, µ sei nicht bekannt, dann wäre der

Messwert x ein Schätzwert für µ und die Wahrscheinlichkeit P dafür,

dass µ im Intervall x c liegt, kann mit obiger Gleichung berechnet

werden.

[x-c; x+c] ist ein Konfidenzintervall für µ

P ist die „statistische Sicherheit“ der Schätzung.

Dies ist eine Funktion von und c.


dhcxP

c

c

)(

Formal ist das gleich

cxP

Dies ist eine Funktion

von und c.

iprom Statistische Sicherheit bei normalverteilten Größen

P(µ[x-, x+]) = 68,3%

P(µ[x-2, x+2] = 95,45%

P(µ[x-3, x+3] = 99,73%

iprom Konfidenzintervalle für normalverteilten Größen

1. Die Meßgröße X sei normalverteilt, sei bekannt: Das trifft auf z.B. auf die Anwendung eines bekannten Messverfahrens

zu. ist durch das Verfahren gegeben, µ ist die gesuchte Größe

a) wird abgeschätzt durch einen einzelnen Meßwert x Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit (statistische Sicherheit),

daß im Intervall [ x-c; x+c ] um einen Meßwert x liegt?

)()()( cPcPdxxhcxP

c

c

Nach Tabelle z.B.:

c=1 -> statistische Sicherheit P=68,3%




k=1: c = 1: P(µ[x-, x+]) = 68,3%

k=2: c = 2: P(µ[x-2, x+2] = 95,45%

k=3: c = 3: P(µ[x-3, x+3] = 99,73%


b) wird abgeschätzt durch den Mittelwert x aus n Messungen Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit (statistische Sicherheit),

daß im Intervall [ x-c; x+c] um den Mittelwert x liegt?

Nun muß durch

(Standardabweichung des Mittelwerts ) ersetzt werden.

nn

xx

Beispiel:

Für c=0,5 folgt für einen einzelnen Messwert

aus der Tabelle: P(µ[x-0,5, x+0,5]) = 38,3%

Für den Mittelwert von 36 wiederholten Messungen gilt:

xx nc 35,05,0

636

x

%7,99])3;3[( xx xxP

iprom Konfidenzintervalle für normalverteilte Größen

Ein Konfidenzintervall für den Erwartungswert µ zur

statistischen Sicherheit P% ist demnach:

n

kx

n

kx

;

Auf diese Weise kann berechnet werden, wie oft eine Messung

wiederholt werden muß, damit mit einer geforderten

statistischen Sicherheit der Erwartungswert innerhalb eines

geforderten Unsicherheitsintervalls bestimmt werden kann.

iprom Konfidenzintervalle für normalverteilte Größen

2. Die Meßgröße X sei normalverteilt, und seien unbekannt:

wird durch den arithmetischen Mittelwert aus n Meßwerten abgeschätzt.

wird durch die Streuung S abgeschätzt:

x

n

i

i xxn

S1

22

1

1

Frage: Mit welcher statistischen Sicherheit können wir rechnen?

Dazu werden der Begriff „p-Quantil einer Verteilung“

und zwei neue Verteilungsfunktionen eingeführt:

Die Studentsche t-Verteilung und die Chi-Quadrat-Verteilung

iprom P-Quantil einer Verteilung

Das p-Quantil einer Verteilung mit Verteilungsdichte h(x) ist der Wert,

bis zu dem die Funktion h(x) von - an integriert werden muss, um die

Fläche p zu erhalten.

ph

pdxxh )(

iprom Die Studentsche t-Verteilung

2

12

1

2

2

1

1)(

s

ss

x

s

s

sxt

Die Studentsche t-Verteilung mit s Freiheitsgraden:

duuet tu 1

0

mit der Gammafunktion

Das p-Quantil ts,p der ts-Verteilung: pdxxtpst

s

)(,

iprom Die Studentsche t-Verteilung

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

-4 -2 0 2 4

x

t s(x

)

t1

t5

t

ts,p

Fläche=1-p

0

Dichten der Studentschen

t-Verteilung mit s Freiheitsgraden

p-Quantil der Studentschen

t-Verteilung

iprom Die Chi-Quadrat-Verteilung

122

2

2

22

1)(

sx

ss xes

x

Die Chi-Quadrat-Verteilung mit s Freiheitsgraden:

Das p-Quantil der Chi-Quadrat-Verteilung:2

, ps pdxxps

s

)(

2,

2

iprom Die Chi-Quadrat-Verteilung

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0 5 10 15 20

x

2 s

(x)

21

24

27

0 2s,p

Fläche=1-p

Dichten der Chi-Quadrat-Verteilung

mit s Freiheitsgraden

p-Quantil der Chi-Quadrat-

Verteilung

iprom Konfidenzintervall für normalverteilte Größen

Für eine normalverteilte Größe X mit unbekanntem µ und

unbekanntem ergeben sich auf der Basis einer Stichprobe

von n Messwerten x1,...,xn

das Konfidenzintervall für den Erwartungswert µ mit statistischer

Sicherheit p = 1-:

und das Konfidenzintervall für die Varianz 2 mit statistischer

Sicherheit p = 1- :

2

1,12

1,1;

nnt

n

Sxt

n

Sx

2

2,1

2

2

21,1

2 1;

1

nn

snsn

iprom Konfidenzintervall für normalverteilte Größen

Frage:

Warum werden die 1-/2-Quantile eingesetzt?

Symmetrie der t-Verteilung

iprom Statistische Tests

Statistische

Tests

iprom Empirische Wissenschaften

Allgemeine

Vorgehensweise

in den empirischen

Wissenschaften

In den empirischen Wissenschaften gibt es keine „absolute Wahrheit“


Die zu untersuchende Hypothese wird als Nullhypothese H0 bezeichnet.

Es wird eine Alternativhypothese H1 aufgestellt.

Meist (aber nicht immer) wird gewählt: H1 = H0

Es wird eine Messreihe durchgeführt (Kontrollbeobachtung).

Man erhält die Messwerte x1, ... , xn

Die Messwerte x1, ..., xn werden in eine Testfunktion eingesetzt, die

für den jeweiligen Test charakteristisch ist. Man erhält die

Testgröße T = T(x1, ..., xn)

T wird mit einem tabellierten Schwellenwert verglichen. Aus diesem

Vergleich folgt die Entscheidung, H0 anzunehmen oder nicht.


Anschaulich:

Berechnung der Wahrscheinlichkeit p, dass unter Annahme der

Gültigkeit der Hypothese H0 das tatsächlich beobachtete Ergebnis

auftritt.

Diese Wahrscheinlichkeit heißt Signifikanzniveau oder p-Wert.

Wenn der p-Wert klein ist, wird die Hypothese H0 verworfen.


Anschaulich:

Berechnung der Wahrscheinlichkeit p, dass unter Annahme der

Gültigkeit der Hypothese H0 das tatsächlich beobachtete Ergebnis

auftritt.

Wenn diese Wahrscheinlichkeit klein ist,

wird die Hypothese H0 verworfen.

Die Wahrscheinlichkeit, irrtümlich eine wahre Nullhypothese abzulehnen,

heißt Signifikanzniveau und wird je nach Anwendung vorgegeben.

Als p-Wert wird dasjenige Signifikanzniveau bezeichnet, mit dem man

gerade noch die (wahre) Nullhypothese ablehnen würde.


Tatsächlich: H0 richtig Tatsächlich: H0 falsch

Nichtablehnung

von H0

richtige Entscheidung

mit Wahrscheinlichkeit 1-

Fehlentscheidung 2. Art

mit Wahrscheinlichkeit

Ablehnung von

H0





: Irrtumswahrscheinlichkeit oder Signifikanzniveau,

typische Werte: 5%, 1%, 0,1%

1-ß: Güte des Tests

iprom Der t-Test für den Erwartungswert (Lokationstest)

X sei normalverteilt, µ und seien unbekannt.

Nullhypothese: µ = µ0

Alternativhypothese?

Einseitige Alternativhypothesen:

Alternative 1: H1: µ > µ0

Alternative 2: H1: µ < µ0

Zweiseitige Alternativhypothese:

H1: µ µ0


Stichprobe mit n Messwerten x1,...xn ,

daraus werden Mittelwert und Streuung berechnet.

Im allgemeinen wird 0x sein.

Für kleine Abweichungen wird man H0 beibehalten

(Nichtablehnungsbereich)

Für große Abweichungen wird man H0 ablehnen

(Ablehnungsbereich)


Testgröße: t0 ist t-verteilte Zufallsgröße.

n

S

xt 0

0

1.) H0: = 0 gegen H1: < 0 (einseitige Hypothese)

Ist t0 < -tn-1;1-, wird H0 auf dem Signifikanzniveau abgelehnt.

2.) H0: = 0 gegen H1: > 0 (einseitige Hypothese)

Ist t0 > tn-1;1-, wird H0 auf dem Signifikanzniveau abgelehnt.

Test der Nullhypothese bei vorgewähltem Signifikanzniveau :

3.) H0: = 0 gegen H1: 0 (zweiseitige Hypothese)

Ist |t0| > tn-1;1-/2, wird H0 auf dem Signifikanzniveau abgelehnt.


Erläuterung zur Konstruktion der Testfunktion:

Für normalverteilte Zufallsgrößen wird das Konfidenzintervall um

den Mittelwert x mit der statistischen Wahrscheinlichkeit p=1-

wie folgt berechnet:

2

1,12

1,1;

nnt

n

Sxt

n

Sx

2221,101,1

0

1,10

nnnttt

n

S

xt

n

Sx

21,1

n

tn

Sx

Wäre µ=µ0, so müsste daher gelten:

Wenn aber gilt, so kann nicht µ=µ0 sein.2

1,10

ntt


Erläuterung zu den Quantilen:

a) Einseitige Tests:

b) Zweiseitiger Test:


Erläuterung zur Irrtumswahrscheinlichkeit:

Tatsächlich: H0 richtig Tatsächlich: H0 falsch

Nichtablehnung

von H0





Ablehnung von

H0





: Irrtumswahrscheinlichkeit oder Signifikanzniveau,

typische Werte: 5%, 1%, 0,1%

1-ß: Güte des Tests


Erläuterung zur

Irrtumswahrscheinlichkeit:

Beim Verschieben der

Entscheidungsgrenze

ändern und sich

gegensinnig.

Kompromiss erforderlich

Das Verkleinern von

(Vergrößern der Stichprobe)

verkleinert und gleichzeitig.

iprom Der t-Test für den Vergleich zweier Erwartungswerte

X sei (µx, )-normalverteilt,

Y sei (µy, )-normalverteiltµx, µy, seien unbekannt.

Man interessiert sich für den Vergleich der Erwartungswerte.

Das ist eine typische Situation beim Vergleich der Wirkung zweier

Maßnahmen (z.B. medizinische Behandlung) oder bei der Frage,

ob eine Änderung an einem technischen System zu einer (gewünschten)

Änderung der Systemeigenschaften führt.

Nullhypothese H0: µx = µy

YX Hilfsgröße: mit Streuung

yxyx

yyxx

nnnn

SnSnS

11

2

11 22

2

Kontrollmessungen: nx Messwerte für X, ny Messwerte für Y


Fallunterscheidung:

a) Die betrachtete Grundgesamtheit besteht aus Einheiten, die einander

sehr ähnlich sind

unabhängige Stichproben

b) Die betrachtete Grundgesamtheit besteht aus Einheiten, die

sehr unterschiedlich sind (Individuen)

verbundene Stichproben



a) Der t-Test bei unabhängigen Stichproben

yxSnSnnn

nnnn

S

yxt

yyxxyx

yxyx

22011

2Testgröße:

Speziell für nx=ny=n: yxSS

nt

yx

220

Vergleich der Mittelwerte



a) Der t-Test bei unabhängigen Stichproben

1.) H0: x = y gegen H1: x < y (einseitige Hypothese)

Ist , wird H0

auf dem Signifikanzniveau abgelehnt.

1;20 yx nntt

2.) H0: x = y gegen H1: x > y (einseitige Hypothese)

Ist , wird H0


1;20 yx nntt

3.) H0: x = y gegen H1: x y (zweiseitige Hypothese)

Ist , wird H0


2/1;20 || yx nntt


b) Der t-Test bei verbundenen Stichproben

Testgröße:

mit:

Vergleich der Mittelwerte

n

d

d

n

i

i 1

1

1

2

n

dd

s

n

i

i

ddi = xi - yi

n

s

dt

d

0



1.) H0: x = y gegen H1: x < y (einseitige Hypothese)

Ist t0 < -tn-1;1-, wird H0 auf dem Signifikanzniveau abgelehnt.

2.) H0: x = y gegen H1: x > y (einseitige Hypothese)

Ist t0 > tn-1;1-, wird H0 auf dem Signifikanzniveau abgelehnt.

3.) H0: x = y gegen H1: x y (zweiseitige Hypothese)

Ist |t0| > tn-1;1-/2 , wird H0 auf dem Signifikanzniveau abgelehnt.

iprom Der Chi-Quadrat-Test für Verteilungsfunktionen

Vermutung, dass die Zufallsgröße einer bestimmten Verteilung gehorcht.

Überprüfung mit dem Chi-Quadrat-Test

Nullhypothese H0: Die Größe X wird durch die

Verteilungsdichtefunktion h(x) beschrieben.

Gegenhypothese H1: Die Größe X wird nicht durch die

Verteilungsdichtefunktion h(x) beschrieben.


Durchführen einer Messreihe, Erstellen eines Histogramms


Bestimmung der Parameter der Verteilungsdichtefunktion, für die

das Histogramm am besten angenähert wird

(Maximum Likelihood-Verfahren)


Berechnung eines theoretischen Histogramms

aus der Funktion h(x)

Aus der Flächendifferenz von realem und theoretischem Histogramm

wird eine Testgröße berechnet Entscheidung


Der Chi-Quadrat-Test in 10 Schritten

1. Schritt:

Aufteilen des Wertebereichs in r nicht überlappende Klassen Ti,

so daß jede Klasse wenigstens 5 Werte der Stichprobe x1,...xn enthält

(Diese Grenze ist willkürlich gewählt, häufig wird auch >10 gefordert).

Die Intervalle können auch ungleich breit sein.

Hinweis: Allgemeinere Form von Histogrammen als bisher:

Die Klassen dürfen unterschiedlich breit sein.

Sinn der Forderung nach mindestens 5 Werten je Klasse?

Zählstatistik (Poissonstatistik): µ=, 2=, =x

relative Standardabweichungx

11

Je kleiner die Zahl, um so unsicherer die Zählung



2. Schritt:

Bestimmen der Anzahl Bi von Meßwerten in der Klasse Ti

3. Schritt:

Falls die Verteilungsdichtefunktion h(x) Parameter enthält

(z.B. und bei der Normalverteilung),

so werden diese Parameter aus den Messdaten x1,...xn abgeschätzt.

Hinweis: Maximum-Likelihood-Verfahren



4. Schritt:

Berechnen der Wahrscheinlichkeit pi, mit der bei Annahme der

hypothetischen Verteilungsdichte h(x) unter Annahme der unter

Schritt 3 geschätzten Parameter ein Meßwert im Intervall Ti zu

erwarten ist.

Hinweis: 2

1

)()( 21

x

x

dhxxxP



5. Schritt:

Berechnen der Produkte Ei=npi, die die theoretischen

Besetzungszahlen der Klasse Ti bei Annahme der

Verteilungsdichte h(x) darstellen.

Hinweis:

„Theoretisches Histogramm“



6. Schritt:

Prüfen, ob für alle Klassen gilt: Ei 5. Klassen mit Ei < 5 werden mit

benachbarten Klassen zusammengelegt. Nach diesem Schritt liegen

r* Klassen vor mit r* r.

Hinweis: Auch für das theoretische Histogramm gilt die Zählstatistik

*

1

2

2

0

r

i i

ii

E

EB

7. Schritt:

Berechnen der Testgröße

Hinweis: Maß für die Abweichung zwischen realem und

theoretischem Histogramm



8. Schritt:

Bestimmung der Zahl der Freiheitsgrade

r* ist die Zahl der auswertbaren Klassen (Besetzungszahl >5 bzw. > 10)

s ist die Zahl der Parameter der Verteilungsdichtefunktion

Die Zahl der Freiheitsgrade ist r*-s-1

9. Schritt:

Festlegen der Irrtumswahrscheinlichkeit

10. Schritt:

H0 ist abzulehnen mit Signifikanzniveau , wenn2

1;1*

2

0 sr

iprom Die einfache Varianzanalyse - ANOVA

Die einfache Varianzanalyse - ANOVA (analysis of variance)

k Stichproben werden untersucht. Man will prüfen, ob alle Stichproben

zur gleichen Grundgesamtheit gehören.

Anzahl der Messwerte der j-ten Stichprobe: nj

k

j

jnn1

Gesamtzahl der Messwerte:

Die Messwerte nij innerhalb jeder Stichprobe seien normalverteilt mit

jeweils gleicher Standardabweichung .

Nullhypothese H0: Alle Stichproben haben den gleichen Erwartungswert

Alternativhypothese H1: Es gibt mindestens zwei

Stichproben a, b mit a b


Die einfache Varianzanalyse - ANOVA (analysis of variance)

Prinzip des Tests:

Vergleich der mittleren Streuung der Messwerte innerhalb der Stichproben

mit der Streuung der Mittelwerte zwischen den Stichproben


Die einfache Varianzanalyse in sieben Schritten

Schritt 1:

Berechung der Summe der Abweichungsquadrate SQI innerhalb

der Stichproben:

Schritt 2:

Berechnung der mittleren Quadratsumme MQI innerhalb der

Stichproben:

2

1 1

)(

k

j

n

i

jij

j

xxSQI

kn

SQIMQI

n Summanden, k Mittelwerte n-k unabhängige Größen



Schritt 3:

Berechung der Summe der Abweichungsquadrate SQZ zwischen

der Stichproben:

Schritt 4:

Berechnung der mittleren Quadratsumme MQZ zwischen der

Stichproben:

2

1

)(

k

j

jj xxnSQZ

k

j

jj xnk

x1

1mit

1

k

SQZMQZ

k Summanden, 1 Mittelwert k-1 unabhängige Größen



Schritt 5:

Berechnung der Testgröße F:

Schritt 6:

Festlegen des Signifikanzniveaus

Ermitteln des 1- Quantils Fk-1;n-k;1-a aus einer Tabelle („kritischer

Wert“)

Schritt 7:

H0 wird auf dem Signifikanzniveau abgelehnt, wenn F> Fk-1;n-k;1-a

MQI

MQZF

Würde die Hypothese H0 zutreffen, so würde die Testgröße einer

F-Verteilung mit den Freiheitsgraden f1=k-1 und f2=n-k genügen.

iprom Die lineare Regression

Die lineare Regression

Welche Gerade repräsentiert die Anordnung der Wertepaare (xi, yi)

am besten?


Die lineare Regression

Diese Gerade geht stets durch den Schwerpunkt der Punkte.

Approximation nach Gauss: Die optimale Gerade durch eine Anzahl von

Wertepaaren (xi, yi) wird so gewählt, dass die Summe der

Abweichungsquadrate minimal wird.

yx,

)()( xxbyy

n

i

i

n

i

ii

xx

yyxx

b

1

2

1

mit

Regressionskoeffizient


Vertrauensbereich für die Regressionsgerade:

1. Festlegen der geforderten statistischen Sicherheit p (z.B.: p=0,95)

2. Berechnen der Streuung Sx aus den Messwerten x1,...,xn

Berechnen der sogenannten Restvarianz 2̂

2

1

2 )(2

1ˆ

jj

n

j

xxbyyn

3. Vertrauensbereich für den Regressionskoeffizienten b zur statistischen

Sicherheit p=1-:

x

n

x

n

Sn

tb

Sn

tb

2/1,22/1,2ˆ

,ˆ


Durch die berechnete Gerade wird einem beliebig gewählten x-Wert

x* der y-Wert zugeordnet. )( ** xxbyy

Der Vertrauensbereich für y* zur statistischen Sicherheit p=1- ist:

2

2*2/1,2*

2

2*2/1,2* 1

ˆ,1

ˆ

x

n

x

n

S

xx

n

ty

S

xx

n

ty


Konfidenzintervall für die Regressionsgerade

Vorsicht: Ein mathematisch formaler Zusammenhang muss kein

Kausalzusammenhang sein!

iprom Die nichtlineare Regression

Nichtlineare Regression:

Näherungslösung durch Rückführung auf lineare Regression.

Beispiel:

Messreihe liefert Wertepaare (xi,yi)

Vermutung eines funktionalen Zusammenhangs baxey

Ansatz: Linearisierung Wertepaare (xi, ln(yi))

ln(y)=ax+b

Anwendung der linearen Regression

Aber: Die Fehler der einzelnen Messpunkte gehen mit unterschiedlicher

Gewichtung in das Mittelungsverfahren ein.

Mathematisch saubere least-square-fits sind numerisch aufwendig

spezielle Softwarepakete verfügbar, z.B. ORIGIN


Grundlagen

der Messtechnik

2. Teil


Messprinzip: Physikalisches Phänomen, auf dem die Messung basiert

Messmethode: Spezielle Vorgehensweise bei der

Durchführung von Messungen

direkte oder indirekte Messmethode

Ausschlags- oder Differenzmessmethode

zeitlich kontinuierliche oder diskontinuierliche

Messmethode

digitale oder analoge Messmethode

Messverfahren: praktische Anwendung eines Messprinzips und einer

Messmethode

iprom Direkte und indirekte Messmethoden

Direkte Messmethoden im engeren Sinne:

unmittelbarer Vergleich mit einem Normal der gleichen Art

Beispiel: Balkenwaage

Direkte Messmethoden im weiteren Sinne:

Ablesen des Messwertes von einer kalibrierten Anzeige

Die Anzeige muss mit Normalen der gleichen Art wie die

Messgröße kalibriert worden sein

Beispiel: Federwaage

Indirekte Messmethoden:

Ermittlung des Messwertes aus der Messung anderer Messgrößen

Beispiel: Fläche als Produkt zweier Längen

iprom Messmethoden

Ausschlagsmessmethoden:

Ablesen des Messwertes von einer Anzeige (analog oder digital)

Substitutionsmessmethode:

Ersetzen der gesuchten Größe durch eine Anordnung von

Normalen, so dass der gleiche Ausschlag gemessen wird

Differenzmessmethode:

Messung der Anzeigedifferenz zwischen der gesuchten Größe

und einem bekannten Normal

Kompensationsmessmethode / Nullabgleichmessmethode:

Regelung des Ausschlags auf Null durch Kompensation der

Wirkung der Messgröße mittels einer geeigneten Anordnung

bekannter Normale

iprom Messmethoden

?

Messmethoden

Federwaage Balkenwaage

Direkte Messmethode(im erweiterten Sinn)

Ausschlagmethode

Direkte Messmethode

(im engeren Sinn)

Kompensations- oder

Substitutionsmethode

0

?


Messprinzip: Physikalisches Phänomen, auf dem die Messung basiert

Messmethode: Spezielle Vorgehensweise bei der

Durchführung von Messungen

direkte oder indirekte Messmethode

Ausschlags- oder Differenzmessmethode

zeitlich kontinuierliche oder diskontinuierliche

Messmethode

digitale oder analoge Messmethode

Messverfahren: praktische Anwendung eines Messprinzips und einer

Messmethode

iprom Analog- und Digitalsignal

Diskretisierung einer Meßgrö eß

wert- und

zeitkontinuierliche

Meßgröße

Diskretisierung der Zeit (Abtastung)

Diskretisierung

des Wertes

(Digitalisierung)

t

X

iprom Aliasing als Folge von Unterabtastung

Abtastung eines bandbegrenzten Signals

an a lo g es S ig n a l

A b t as t zeit p u n k t e

A b t as t w er t e

"Ü b erab t as t u n g " "U n t erab t as t u n g "

t

t

t

t

t

t

Q Q 6

iprom Abtasttheorem nach Shannon und Nyquist

Wird ein bandbegrenztes Signal mit einer äquidistanten

Folge von Stützstellen abgetastet, so ist die Rekonstruktion

des Signals ohne Informationsverlust möglich, wenn die

Abtastfrequenz größer als das Doppelte der maximalen

Signalfrequenz ist.

iprom Statische und dynamische Abweichungen

Stationäre Systeme: Die Messgröße ist zeitlich konstant

Die auftretenden Messabweichungen werden als

statische Abweichungen bezeichnet

Dynamische Systeme: Die Messgröße ist zeitlich veränderlich

Es treten zusätzlich zu den statischen Abweichungen

dynamische Abweichungen auf, die vom zeitlichen Verlauf der

Messgröße abhängen.

Im Rahmen dieser Vorlesung beschränken wir uns auf

lineare Systeme.

iprom Lineare Systeme

dt

dxxmit

xaxaxaxexexexen

anaa

m

emeee

::

......)(

10

)(

210

Für viele Messeinrichtungen kann das dynamische

Verhalten mathematisch durch eine lineare

Differentialgleichung beschrieben werden:

MessgrößecheveränderliZeitlichtxx ee :)(

MesswertcherveränderliZeitlichtxx aa:)(

Man spricht dann von einem linearen System.

iprom Beispiel: Lineares System 1. Ordnung

Thermometer Legende:

Lufttemperatur

Temperatur des Thermometers

: Oberfläche der Glaskugel

: Wärmeübergangszahl

: Masse der Kugel

: Spezifische Wärme der Kugel

F

mc

e

a

:

:

F m, c, ,

ea

21 QQ

ae1 FQ

Wärmefluss in das Thermometer:

dt

dcmQ a

2

Wärmeaufnahme des Thermometers:

F

mcTmitTQQ aae

21

iprom Sprungantwort eines linearen Systems 1.Ordnung

t

x (t)a

0 t = T 2T 3T

K

0,63 K

T T

T

t

eKtxa

1)(

Eingangssignal: Sprungfunktion

iprom Amplitudengang Tiefpass 1. Ordnung (doppelt-logarithmisch)

0,1

0,1 0,2

0,2

0,3

0,3

0,4

0,4

0,5

0,5

0,6

0,7

0,7

0,8

0,9

1

1 2 3 4 5 7 10

KiG

)(

w

w · T

Eingangssignal: Sinus der Frequenz ω ⇒ Ausgangssignal: Sinus der Frequenz ω

Amplitude und Phase von Ausgangs- und Eingangssignal sind i. allg. ungleich.

G(iω)= Amplitude Ausgangssignal / Amplitude Eingangssignal

iprom Phasengang Tiefpass 1. Ordnung (logarithmisch)

-90

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,7 21 3 4 5 7 10

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-10

-20

0

)(

w iG

w · T

Eingangssignal: Sinus der Frequenz ω

⇒ Ausgangssignal: Sinus der Frequenz ω mit Phasenverschiebung

iprom Bode-Diagramm eines Tiefpasses 1. Ordnung

-90

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,7 21 3 4 5 7 10

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-10

-20

0

)(

w iG

w · T

0,1

0,1 0,2

0,2

0,3

0,3

0,4

0,4

0,5

0,5

0,6

0,7

0,7

0,8

0,9

1

1 2 3 4 5 7 10

KiG

)(

w

w · T

iprom Federpendel als Beispiel für lineares System 2. Ordnung

Einer äußeren Kraft F (Eingangssignal) wirken drei Kräfte entgegen:

elastische Federkraft: aF xF

Bremskraft: aBr xkF

Trägheitskraft: am xmF

Wir erhalten eine lineare Differentialgleichung 2. Ordnung zwischen dem Eingangssignal F und dem Ausgangssignal Auslenkung xa.

aaa xmxkxF

iprom Lineares System 2. Ordnung

aaa xmxkxF

Durch eine Variablensubstitution erhält man: aaae D 2

Das Verhalten der Messeinrichtung bei Einwirkung eines speziellen Eingangssignals hängt stark vom Wert der Dämpfungskonstante D ab. Für eine Sprungfunktion am Eingang gilt: Für D > 1 läuft das Ausgangssignal asymptotisch dem Eingangssignal nach (träge) Für 0 < D < 1 tritt gedämpfte Schwingung auf, die sich asymptotisch dem Eingangssignal annähert. Für D=1: Übergang, aperiodischer Grenzfall.

m

kD

2

iprom Sprungantwort eines linearen Systems 2.Ordnung

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

0 1 2 3 4 5 6 7

D=0,

1

T = t · w0

X(t

)a

D=0,5

D=0,3

D=2)/2

√(

D=1,5

D=1

D=2

D=3

D=5

iprom Amplitudengang Tiefpass 2. Ordnung (doppelt-logarithmisch)

0,01

0,1

0,2

0,3

0,40,5

0,7

2

1

3 4

7

10

5

0,1

0,02

0,03

0,040,05

0,07

0,2 0,3 0,4 10,70,5 2 3 4 5 107

KiG

)(

w

w · T

D=0,1

D=0,3

D=0,5

D=1

D=1,5

D=2

D=3

D=0,1

D= 2)/2(

iprom Phasengang Tiefpass 2.Ordnung

-180

-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

0,1 0,2 0,3 0,4 10,70,5 2 3 4 5 107

w · T

)(

w iG

D=0,1

D=0,3

D=0,5

D= 2)/2v(

D=1

D=1,5D=2

D=3

iprom Abweichungscharakteristiken von Messgeräten

Ansprechschwelle: kleinste Messgrößenänderung am Eingang, die zu einem ersten Ausschlag des Messgerätes führt. Zur Bestimmung wird die Kennlinie aufgenommen und zurück-extrapoliert -> genauer, als direkte Ermittlung des Wertes Anlaufwert: bei integrierenden oder zählenden Messgeräten

iprom Beispiel für Hysterese

Magnetisierungskurve eines ferromagnetischen Materials


iprom Abweichungscharakteristiken von Messsystemen

Hysterese: Anzeigewert ist abhängig von vorhergehenden Werten Umkehrspanne: Differenz der Anzeige, wenn derselbe Wert der physikalischen Größe von größeren bzw. kleineren Werten her eingestellt wird. Ursachen: Lagerspiel, Reibung, ferromagnetische bzw. ferroelektrische Effekte (Remanenz) -> Umkehrspanne hängt von Vorgeschichte ab. Elastische Nachwirkung: Stark belastete Feder geht nach Entlastung nicht sofort in den Ausgangszustand zurück. Effekt verschwindet im Laufe der Zeit wieder.

iprom Parallaxe beim Ablesen von Skalen

SkalaAugen-

position

Zeiger

iprom Parallaxe beim Ablesen von Skalen

Skala Spiegel-

skala

Augen-

position

Augen-

position

Zeiger Zeiger Spiegelbild

des Zeigers


Beim visuellen Ablesen von Skalen ist auf Blickrichtung senkrecht zur Skalenfläche zu achten, sonst treten Parallax- und Brechungseffekte auf. Günstig sind Spiegelskalen: wenn der Zeiger und sein Spiegelbild zur Deckung kommen, ist die Blickrichtung senkrecht.



Auflösung: a) erforderliche Änderung der Eingangsgröße, um festgelegte

Änderung der Ausgangsgröße zu bewirken. Ohne Hysterese ist dies der Kehrwert der Empfindlichkeit.

b) Bei digitalen Systemen: Ziffernschritt der letzten anzeigenden Stelle


Nullpunktsstabilität: Stabilität gegenüber Störgrößen, z.B. bei elektronischen Messgeräten: Nullpunktdrift in mV/K oder mV/24h


Messunsicherheit: Systematische Abweichungen sind korrigierbar. Zufällige Abweichungen können statistisch abgeschätzt werden -> Wahrscheinlichkeitsaussage: Messunsicherheit gibt an, welche Abweichung mit vorgegebener Wahrscheinlichkeit nicht überschritten wird.


Abweichungsgrenze gibt an, welcher Fehler keinesfalls überschritten wird. Linearitätsabweichung: Verschiedene Bestimmungsmöglichkeiten einer linearen Kennlinie:

a) Durch die beiden Endpunkte des Messbereichs b) Statistisch berechnete Gerade (lineare Regression)

Toleranzband

a) konstante Abweichung b) vom Messwert abhängige Abweichung


Linearitätsabweichung: Verschiedene Bestimmungsmöglichkeiten einer linearen Kennlinie:

a) Durch die beiden Endpunkte des Messbereichs b) Statistisch berechnete Gerade (lineare Regression)

Bildquelle: Fa. HBMhttp://www.hbm.com/de/menu/tipps-tricks/drehmomentmessung/glossar-drehmoment/linearitaetsabweichung/


Güteklasse Elektrische Messgeräte werden in Güteklassen eingeteilt Güteklasse 0,2 -> maximale Abweichung (maximal zulässig): ±0,2% des Anzeigebereichs 0,1 / 0,2 / 0,5 : Feinmessgeräte 1 / 1,5 / 2,5 / 5: Betriebsmessgeräte

iprom Rückwirkung

Die Wechselwirkung zwischen Messobjekt und Messeinrichtung beeinflusst

Den Messwert.

Drei Arten, das zu berücksichtigen:

1. Effekt vernachlässigen (wenn man dies begründen kann)

2. Rechnerische Korrektur des Messwerts

3. Anwendung eines Kompensationsmessverfahrens

Messobjekt

(Messung)

Referenzobjekt

(Kalibrierung)

Messeinrichtung


x

x

x

e

N

a

Messsystem



p, V

a) Beginn des Experiments

Gas mit Druck p in Volumen V Messvorrichtung in Ruhestellung

arretiert





Dp - p

V + VD






pV=const.



Messabweichung wird durch Anwendung eines

Kompensationsverfahrens aufgehoben

p, V

c) Durch Verschieben des Gegenlagers der Feder wird der Kolben wieder in die Ausgangsstellung gebracht. Dadurch wird die Wirkung der Messgröße . Messgröße p ist jetzt wieder unverfälscht messbar.

kompensiert

iprom Kalibrieren - Justieren - Eichen

Kalibrieren: Bestimmung der Messabweichung an einem oder

an mehreren Stellen im Messbereich

Vergleich mit kalibrierten Meisterteilen oder

mit kalibrierten Messgeräten einer höheren

Genauigkeitsklasse

Justieren: Eingriff in das Messgerät mit dem Ziel,

Messabweichungen zu verkleinern

Eichen: Amtliche Prüfung von Messgeräten durch akkreditierte

Personen (juristischer Begriff)

iprom Beispiel: Kalibrieren eines Messschiebers mit Parallelendmaßen

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 2 4 6 8 0

L1

L

L1

x =Lai i

xa5

xa4

xa3

xa2

xa1

L2

L2

L3

L3

L4

L4

L5

L5

ParallelendmaßeAnzeigewert xa

Richtiger Wert L

iprom Rückführbarkeit - Kalibrierkette

Nationales Normal

BezugsnormalDKD-Kalibrierlabor

Innerbetriebliches KalibrierlaborGebrauchsnormal

Prüfmittel

Produkt

Def.: Rückführbarkeit ist die Eigenschaft eines Messergebnisses oder des Wertes eines

Normals, durch eine ununterbrochene Kette von Vergleichsmessungen mit angegeben-

en Messunsicherheiten auf geeignete Normale, im allgemeinen internationale oder na-

tionale Normale, bezogen zu sein.

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Institut für Produktionsmesstechnik IPROM Technische ...iprom.tu-bs.de/_media/lehre/vorlesungen/statistik_biotech/foliensatz_statistische... · Peta P 1015 Billiarde Tera T 1012