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Intermediare Bahnen zur Annaherung an das Dreikorperproblem ( V e r o f f e n t l i c h u n g e n d e r S t e r n w a r t e M i i n c h e n B d . 4 N r . 7)

Von F. SCHMEIDLER, Munchen (Eingegangen 1951 Dezember 27)

Es wird vorgeschlagen, zur Annaherung an das Dreikorperproblem intermedisre Bahnen zu benutzen. die besser sind als die ungestdrte elliptische Bewegung. Mit Hilfe eines Integrationsverfahrens, welches darauf beruht, daO die Integration eines Systenis von Differentialgleichungen der Ordnung 2 tz ausfiihrbar ist, wenn man 7a Integrale kennt, deren PorssoNsche Klammerausdrucke verschwinden, werden zwei intermediare Bahnen bestimmt, die j e einen Teil der Storungen beriicksichtigen. Die eine dieser Bahnen beriicksichtigt die sgkularen Storungen streng, die andere alle von Exzentrizitaten und Neigungen unabhangigen Glieder der Storungsfunktion. Auch die zweite dieser Bahnen kann in Strenge integriert werden und fdhrt, wenn man die Msung nach Potenzen der storenden Masse entwickelt, auf elliptische Integrale.

Um die Bahnen zu bestimmen, welche drei Massenpunkte unter der Wirkung ihrer gegenseitigen Anziehung beschreiben, mu13 man wegen der Unmoglichkeit einer exakten Integration des Problems als erste Annaherung Bahnen benutzen, die der wirklichen Bewegung schon sehr ahnlich sind, so daB die Ab- weichungen gegenuber der ersten Naherung klein sind. Als eine solche .,intermediare" Bahn bietet sich im Sonnensystem die ungestorte KEPLER-Bewegung der Planeten dar, da die Sonne alle Planeten an Masse weit iiberragt und die Bahnen dieser nur um geringe Betrage von einer ungestorten Kegelschnitt- bewegung abweichen. Dennoch ist die Darstellung der Storungen mittels der elliptischen Bahnelemente umstandlich und die Storungen sind auch nicht immer so klein, wie man aus Griinden der rechnerischen Bequemlichkeit wiinscht. Es ware daher von Vorteil, intermediare Rahnen zu benutzen, die eine bessere Annaherung geben als die ungestorte Bewegung, etwa solche, die schon einen Teil der Storungen ent- halten; naturgemafl miil3ten sie einigermahn leicht zu berechnen sein. Es liegt nahe, geeignete Glieder aus der Storungsfunktion herauszugreifen derart, daB das bei alleiniger Beriicksichtigung dieser Terme entstehende Storungsproblem exakt integrierbar ist. Eine solche intermediare Bahn ist durch gewisse Integrationskonstante gekennzeichnet, die bei voller Rerucksichtigung der Storungen wieder Funktionen der Zeit werden. Es ist dabei vorteilhaft, in allen Fallen die Ihtegrationen und ?ransformationen von Variablen in kanonischer Form auszufiihren, weil in diesem Fall die formalen Operationen einfach aus- zufiihren sind. Einige Moglichkeiten dieser Art werden hier naher diskutiert.

1. flber die Integration von Systemen von Differentialgleichungen In den folgenden Entwicklungen werden Systeme von Differentialgleichungen auftreten, die durch

ein bestimmtes Verfahren rasch integriert werden konnen ; es sollen einige allgemeine Bemerkungen iiber dieses Verfahren vorausgeschickt werden. das bisher speziell fur astronomische Fragen noch nicht ver- wendet worden ist.

Ein System von Massenpunkten, dessen kinetische Energie T sei, stehe unter der Einwirkung von Kraften, die sich durch eine Potentialfunktion V beschreiben lassen; wenn das System ganz allgemein durch n Lagekoordinaten xi und entsprechend n kanonisch konjugierte Impulskoordinaten +, gekenn- zeichnet ist, lauten die Bewegungsgleichungen

Die HAMILToNsche Funktion H kann dabei von der Zeit auch explizit abhangig sein. Statt des Systems (I) kann man eine einzige Gleichung hinschreiben, wenn man das PoIssoNsche Klammersymbol benutzt ; dieses hat die Bedeutung

wenn p und y~ zwei beliebige Funktionen der Variablen x,, $, sind. Aus der Definition des Klammer- symbols ist unmittelbar ersichtlich, da13 dem System (I) die partielle Differentialgleichung in z n Variablen

246 F. SCEMEIDLER: Intermediare Bahnen zur Annaherung an das Dreik8rperproblem

gleichwertig ist. Es sind alle die Funktionen Integrale des Systems (I) und zugleich der Gleichung ( z ) , deren Klammerausdruck rnit der HmLToNschen Funktion H verschwindet.' Man sagt auch, daB diese Funk- tionen n i t H in Involution liegen. Um die Integration von (I) auszufiihren, hat man z n - I unabhangige, mit H in Involution liegende Funktionen aufzusuchen, die die gesuchten z n - I Integrale von (I) sind.

Ebenfalls dem System (I) .aquivalent ist die HAMILTON- JAcoBIsche partielle Differentialgleichung

in der die GroDen p , in der Funktion H durch die partiellen Ableitungen einer gesuchten Funktion S nach den x, zu ersetzen sind. Kennt man ein vollstandiges Integral von (3), also eine von n Konstanten ab- hingige Losung S (t, x,, , . ., x,, %, . . .,a,), dann ist die LBsung von (I) in bekannter Weise

as as p . - - - ' p.=- aai ' axi 8 -

wo die /?, weitere n Integrationskonstante bedeuten. Man kann dieses Usungsverfahren auch so auf- fassen, daB die Funktion S die Erzeugende einer Beriihrungstransformation ist, durch die die Variablen x , , p , iibergehen in u,, f l , ; in den neuen Variablen hangt dann H nur noch von den Koordinaten u, ab, die p, kammen in H nicht mehr vor.

Man kann die Gleichung (3) stets dann rasch integrieren, wenn sie die Separation der Variablen gestat- tet. Hier soll auf einen anderen Fall aufmerksam gemacht werden, in dem sich eine Methode ergibt, die die Separation der Variablen als Spezialfall enthalt. Es seien n Funktionen bekannt, die untereinander unab- hangig sind und deren Klammerausdriicke mit H verschwinden; eine solche Funktion ist in jedem FaUe H selbst. Wenn man noch n - I weitere kennt, ist die damit gegebene Kenntnis von n Integralen dann zur vollstandigen Integration ausreichend, wenn auch samt1iche.Klammerausdriicke der n Funktionen unter- einander verschwinden, wenn also diese n Funktionen ein n-gliedriges Involutionssystem bilden.

Es seien also ganz allgemein fi,fz, . . ., fn die n Funktionen, deren Klammerausdriicke sowohl unter- einander als auch rnit H verschwinden. Der Einfachheit halber soll angenommen werden, daB H nicht explizit von der Zeit 2 abhangt; wenn das nicht zutrifft, kann man den allgemeinen Fall leicht durch Hinzunahme einer zu t kanonisch konjugierten Variablen bei Erhohung der Zahl der Variablen von z n auf z (n + I) herstellen. Um ein vollstandiges Integral von (3) zu finden, hat man jede der Funktionen f, gleich einer Konstanten u, zu setzen und dann die Gleichungen

nach den p, aufzuliisen; dann besagt ein auf JACOBI zuriickgehender Satz, dafl der Ausdruck fi(Xil P I ) = a,

P l ( ~ n 4 dx1S Pa(Xa, 4 dxa+ . . + Pn(Xa, as) dxn ein exaktes Differential ist. Die Losung von (3) erha t man durch eine Quadratur in der Form

S = - H ( 4 , 0 , an) 8 + J (Pi d q + $2 dZz+ * . * + P n dxn) . Das im ersten Term als Koeffizient von 2 auftretende H hangt nur von den Funktionen f, ab, also in der L6sung nur von den a,, denen die f. gleichgesetzt wurden. Das folgt aus der Tatsache, daB es in den zn Variablen xi, pa kein Involutionssystem mit mehr als n unabhangigen Funktionen geben kann; da die!, bereits n unabhangige Funktionen sind, kann H nicht von ihnen unabhangig sein. Meistens wird man H selbst als eine der Funktionen f,. wahlen; dann tritt in dem rnit t proportionalen Glied der Losungsformel nhr eine einzige der Konstanten u, auf.

Wenn jede der Funktionen f, nur von je einem Variablenpaar abhangt, etwa fi nur von x,, p,, fa nur von x,, pa usw.. dann erlaubt offensichtlich die Differentialgleichung (3) eine Separation der Variablen. Dann verschwinden auch dmtliche Klammerausdriicke der f,, so daB man diesen Fall als einen Spezial- fall der hier entwickelten Methode auffassen kann.

Sind weniger als n Funktionen bekannt, die sowohl rnit H als auch untereinander in Involution liegen, dann sind noch immer Vereinfachungen des Integrationsproblems gegeben. Es seien etwa k Funk- tionen fi, fz, . . ., f k vorhanden, die unabhangig sind und mit H und auch untereinander in Involution sind; um die Integration von (2) zu vollenden, hat man das System

zu losen; das ist ein System in z n Variablen rnit R + I Gleichungen, von dem bereits R + I LBsungen vor- liegen. Das Integrationsproblem (4) ist daher von der Ordnung z n - z R - 2, also einfacher als (2). Es geniigt, n - A'- I Integrale von (4) aufzusuchen, die untereinander in Involution liegen; zusammen mit den bereits bekannten Funktionen H; fi, fi, . . ., fk hat man dann ein Involutionssystem von n Funktionen, womit der Fall von oben wieder erreicht ist und das beschriebene Integrationsverfahren in Kraft treten kann.

Im Sinne der beschriebenen Methode geniigt z. B. zur Integration des ebenen ZweikBrperproblems der Bewegung eines Planeten relativ zum ZentralkBrper bereits die Kenntnis des Flachenintegrals, um

(Hgf) = 0 ; (f19.f) = 0; (fpf) = 0; . ( f k p f ) = 0 (4)

F. SCHMEIDLER : Intermediare Bahnen zur AnnBherung an daa Dreik6rperproblem 247

die Bewegungsgleichungen, abgesehen von einer Quadratur, zu integrieren. !%en x , y die Koordinaten relativ zur Zentralmasse, dann setzt man

Die Funktion F = % p a - leicht erkennt. Folglich setzt man H und F gleich zwei Konstanten a, und q, lost die Gleichungen

H = al;'

liegt rnit H in Involution, wie man durch Bildung des Klammerausdrucks

F = cc, nach 9, und 9, auf und findet durch Ausfiihrung einer weiteren Quadratur die Usung der partiellen Differentialgleichung in der Form

s = - % t + 1 (P 1 ( xi, xzl alp 4 dxi+ P a ( X 1 v xai 4 dxJ. Die praktische Ausfiihrung der Quadratur erfolgt leichter in Polarkoordinaten und ergibt die gleichen Formeln wie in der iiblichen Behandlungsweise.

2. Intermediare Bahnen, die die Sakularstorungen enthalten Ein wesentlicher Nachteil der oskulierenden elliptischen Bahnelemente der Stijrungstheorie besteht

darin, da13 sie sich sakular andern. Dadurch wird der Unterschied gegen die Ausgangselemente immer grooer und man kann rnit einem bestimmten System oskulierender Elemente die Stdrungen nur eine be- grenzte Zeit lang genau berechnen. Wurden sich die Elemente einer benutzten intermediiiren Bahn nur periodisch mit der Zeit andern, dann ware der Unterschied gegen die Ausgangselemente immer klein von der Ordnung der storenden Massen und man kijnnte immer durch Beibehaltung der Ausgangselemente die Storungen rnit der gleichen Genauigkeit erhalten. Es liegt daher nahe. als erste Naherung zur Losung der Bewegungsgleichungen nicht eine ungestorte Bahn zu nehmen, sondern eine intermediare Bahn, die die Sakularstijrungen beriicksichtigt. Da wenigstens die Hauptglieder der Sakularstorungen durch strenge Integration bestimmt werden kiinnen, besteht die Moglichkeit, eine solche intermediare Bahn aufzustellen ; die ,,Konstanten" einer solchen Bahn unterliegen nur mehr periodischen Stiirungen und unterscheidon sich daher von den ungestorten Bahnelementen zu jeder Zeit nur um GrijBen von der Ordnung der storen- den Massen.

Der Einfachheit halber sollen nur drei Kijrper, etwa die Sonne und zwei Planeten, beriicksichtigt werden; die Methode ist aber auch fur beliebig viele Planeten verwendbar. Die Masse der Sonne soll mit M , die der beiden Planeten rnit m1 und m, bezeichnet werden. Die Bahnen der beiden Planeten sind durch je sechs Bahnelemente, die sich auf einen bestimmten Zeitpunkt t = o beziehen, definiert :

4, el, i,, n,, a,, ll fiir die Masse m,,

$, e,, is, q, Q,, la fiir die Masse ma.

Infolge des Vorhandenseins von StZIrungen sind diese Gronen Funktionen der Zeit. Um die kanonische Form der Bewegungsgleichungen zu erhalten, ist es notwendig, die nach JACOBI benannten Relativ- koordinaten zu benutzen; in diesen bezeichnen die auf die Masse m, bezogenen GroDen, die den Index I haben, die Bahn von m, relativ zur Zentralmasse M , die GroSen rnit dem Index z jedoch die Bahn von m2 relativ zum Schwerpunkt von M und %. Bei Benutzung gewohnlicher Relativkoordinaten wurden die Groljen mit dem Index 2 die Bahn von m, relativ zu M bezeichnen, doch waren in diesem Falle die Be- wegungsgleichungen nicht kanonisch. Fur die praktische Berechnung der Stiirungen bedeutet der Unter- schied nur Zusatzglieder von der zweiten Ordnung in den storenden Massen.

Statt der iiblichen elliptischen Bahnelemente fuhrt man Funktionen derselben als unabhangige Variable ein, was ebenfalls notwendig ist, um eine kanonische Form der Bewegungsgleichungen zu er- zielen. Fiir die folgenden Rechnungen besonders geeignet sind die auf POINCARI~ zuriickgehenden Elemente

Li = p, G; , 5, = 1/2 S,V% (I - m) c a n ; ,

fi, = 1/2 pi GVG: (1 - cost] cos ~ 2 , ,

A, = mittl. E n g e von m i ,

%=-If ZS;G~(I -I/I - e i ) s i n q ,

qi = - (2 f i i%vI - e: (1 - cosa] sin a;,

welche kanonisch konjugiert sind. Die Sakularstijrungen dieser GriiBen sind bekannt l). Die beiden Grijljen L, und La erleiden keine Sakularstijrungen; das entspricht dem LAPLACEschen Theorem der Un-

l) C. V. L. CHARLIER, Die Mechanik des Himmels. Band I, Abschnitt 7.

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veranderlichkeit der groDen Achsen. Die GroBen 2, sind von der Ordnung der Exzentrizitaten, die

GroBen = I - von der Ordnung der Neigungen; ihre sakularen Stdrungen sind gegeben durch trigono-

metrische Ausdriicke der Zeit mit sehr langen Perioden in der Form

F. SCHMEIDLER: Intermediare Bahnen zur Axmaherung an das Dreikarperproblem

t . 77' Pi 4; 1% @i

pi G

die Konstanten dieser Ausdrucke sind teils Funktionen der storenden Massen und der (sakular konstanten) Halbachsen, teils sind sie Integrationskonstante ; sie sind in jedem Falle aus den gegebenen Anfangs- elementen berechenbar.

Will man eine die Sakularstorungen enthaltende intermediare Bahn als Annaherung an das Drei- 5 . r ] . P . 9.

VL; YE'C'K korperproblem benutzen, kann man etwa wie folgt vorgehen l). Man ersetzt die GroBen A , 2 2 2

. _ . _ nicht durch ihre konstanten Anfangswerte, wie man es bei Benutzung einer ungestorten Bewegung als erste Annaherung tun wiirde, sondern durch die entsprechenden Ausdriicke der Form (6). Bei Beriick- sichtigung auch der periodischen Storungen werden die Konstanten dieser Ausdriicke (6) wieder Funk- tionen der Zeit, die durch eirz System von Differentialgleichungen bestimmt werden. Dieses enthalt auf der rechten Seiten die Zeit nur in trigonometrischen Ausdriicken; die einzelnen Terme konnen daher nicht unbegrenzt wachsen, sondern unterscheiden sich immer nur um GroBen von der Ordnung der storenden Massen von ihren Mittelwerten.

Streng genommen treten auch bei diesem Verfahren nach der Integration noch kleine sakulare Glieder auf; das kommt daher, daB bei der Bestimmung der sakularen Storungen in der Form (6) nur Terme von der Ordnung des Quadrats der Exzentrizitaten und Neigungen beriicksichtigt sind. Im all- gemeinen ist der EinfluB der Glieder vierter und hoherer Ordnung (es treten nur geradzahlige Ordnungen auf) nvmerisch sehr klein und kann auch in sehr langen Zeitraumen vernachlassigt werden.

Das geschilderte Vorgehen entspricht einer Beschrankung auf Storungen erster Ordnung, wed in den Differentialgleichungen die GroDen K, , s, der Ausdrucke (6), die infolge der periodischen Storungen ver- anderlich sind, in erster Naherung durch Konstante ersetzt werden. In Strenge hat man diese GroBen als neue Veranderliche einzufiihren und die Bewegungsgleichungen auf diese Varia blen zu transformieren. &i Beibehaltung der kanonischen Form ist diese Transformation sehr einfach. Die dafiir notwendige Integration des Problems der Sakularstorungen in kanonischer Form ist leicht zu erreichen, wenn man sich der RAMILTON- JAcoBIschen Mfferentialgleichung (3) bedient. Man erhalt dann naturgemaa die gleichen Integrale wie in der iiblichen Behandlung, aber in kanonischer Form. Bei Besihrankung auf die dkularen Glieder der Storungsfunktion lautet die HAMILToNsche Funktion der Bewegungsgleichungen 2,

Dabei bedeuten A,, Bl, B, die GroBen

A , = ; [ dx B+[ q a , cos x dx

B,=- f 2 %,a,coszxdx

(a; +a: - 2 (11a,cosx)1/2 ' II (a: + a:- 2 %% cos x ) 3 / 2 ' 0 0

x (n~+a~-za,a ,cos 43/a' 0

in denen die Halbachsen a; durch L:Ka zu ersetzen sind. Die Differentialgleichungen der Bewegung unter alleiniger Beriicksichtigung der Sakularst6rungen lauten

1) K. SUNDMAN. Theorie der Planeten. EnzyclopLdie der math. Wiss. Band VI.2.15, p. 755. 2, C. V. L. CHARLIER, Die Mechanik des Himmels, Bd. I, p. 342. Die Vorzeichenvertauschung in (7) und (8)

wurde vorgenommen, weil es fur das Folgende bequemer ist, die GrdDen Li, ti, .pi als Impulskoordinaten betrachten zu kannen, wLhrend sie bei CHARLIER die Rolle von Lagekoordinaten spielen.

F. SCHMEIDLER: Intermediare Bahnen zur Annaherung an das Dreikorperproblem 249

Wenn mehr als zwei Planeten vorhanden sind, treten weitere Glieder zur Funktion (7). In jedem Falle treten Exzentrizitaten und Neigungen nur in Gliedern zweiten Grades auf und die entsprechenden Terme bilden eine quadratische Form in den GroDent,, v;, pi, q,. Um die Integrale der Gleichung (8) leicht zu sehen, bringt man diese quadratische Form auf eine Summe von 212 Quadraten, wenn n Planeten vorhanden sind. Bei einer solchen Transformation bleibt die kanonische Form der Bewegungsgleichungen erhalten. Im Falle unseres Dreikorperproblems mit der Sonne und zwei Planeten kann man die Transformation wie folgt ausfiihren. Man benutzt die Hilfsgr6Ben

R, sinZ y c--+ 2 B2 sin y cos y

vL,L,

G G

2 B, vm7 t g z y - - - ~

BlILZ - L,) L,

g2 = s % m z Bl sin2 y El COS, y 2 B, sin y cos 7 -

k2 ( r, + L2

2 vm t g z 8 = - - ' - ,

L2 - Ll

und setzt eine Orthogonal transformation an El== X,cos y + Xzsin y ql= Ylcos y + Y2sin y

t,= -&sin y+X2cos y r],= - Ylsin y+Y,cos y

In den neuen Variablen erhiilt die Funktion (7) die Gestalt

pl= P,cos 8 + P2sin d pa=-'-- €',sin ~ + P , C O S 6

ql= Qlcos d + Q 2 s k 6 q2= -&sin 8+Q2cosd.

h'un 1a13t sich die Integration nach der im ersten Teil erlauterten Methode sofort ausfiihren. Durch Bildung des Klammerausdrucks

---+----+ __-_- aL,aii ax,ay, ap,aQ, a;l, aLj ay,ax, ws af aFs af aF, af aFs af aFs af

s = 1

erkennt man unmittelbar da13 die,sechs Funktionen

f1== L1

f2 == Lz

f3 =-- I/x," + Y: f4 = VXi f- Yi

f5 =- 1/e 4- Qt fa = VPX + Qi , ~- - I--

sowohl mit F, als auch untereinander in Involution liegen, da samtliche Klammern verschwinden. Daher mu13 man jedes der f, gleich einer Konstanten a, setzen und nach den Impulskoordinaten auflosen; das ergibt

Die HAMILToNsche Funktion F, ist nur eine Funktion der fi und damit der a,. und lautet Iq=lx l , xl=Va,a- Y?, P1=Va,a-Q7, L 2 = a , , x2=Va;-y,2, P 2 = v & q j . (9)

Als vollstandiges Integral der partiellen Differentialgleichung (3) .erhalilt- man, wobei die G r o k F, als Funktion der u, durch (10) gegeben ist,

S = -Fs(%* ~ . . ~ ~ e ) t + J ( ~ i d ~ i + ~ d ~ + X i d Y l i - X ~ d Y z + P , d Q , + PzdQ2) ~ -__

= -Fs(u1,. . . , U ~ ) ~ + ~ ~ ~ ~ , + ~ ~ + ~ ( I / ~ ~ - Y ~ ~ Y ~ + ~ ~ ~ - - ~ E ' ~ ~ Y ~ + ~ U ~ - Q ~ ~ Q ~ + ~ ~ ~ Q , ) . Versteht man unter ~i die fehlenden sechs Integrationskonstanten, dann lauten die restliche Integrale des Systems (8)

a4

Mit ni sind dabei die Crokn

2 50 F. SCHMEIDLER : Intermediare Bahnen zur Annaherung an das Dreikthperproblem

bezeichnet, die sich durch Differentiation von (10) ergeben und, ebenso wie die a; selbst, Konstante wahrend der Bewegung sind.

Die Gleichungen (9) und (11) zusammen bilden die Liisung des Problems der sakular gestorten Bahnen zweier Planeten in kanonischer Form. Wenn zusatzlich periodische Storungen beriicksichtigt werden, sind die ai, E; mit der Zeit veranderlich und gehorchen. entsprechend den allgemeinen Trans- formationtheoremen fi i r kanonische Variable, dem System

dai - a(H -FSj - _ - dei a(H -Fs) . -= dt a&, dt aEi

in welchem die Funktion H - F, den periodischen Teil der Storungsfunktion reprasentiert. Dieser ist als Funktion der a;, E; darzustellen, indem man in eine der iiblichen Entwicklungen die durch (9) und (11) bestimmten Grofien a;, E; einfuhrt. Danach tritt allerdings die Zeit explizit in der Stiirungsfunktion auf. Benutzt man aber statt der ci die ebenfalls kanonischen Grohn

1,; ;22; A,= arc sin- - Yl ; &= arc sin- yz , . A, = arc sin- Pl . , &= arc sin-, pz or, a4 a5

dann lauten nunmehr die Differentialgleichungen

und in diesen Variablen hangt die Funktion H nicht mehr explizit von der Zeit ab, wenn H als Funktion der ai, & dargestellt wird.

Damit hat man kanonische Bahnelemente gefunden, die keine Sakularstorungen mehr erleiden (ab- gesehen von den geringfugigen Gliedern vierter Ordnung in Exzentizitaten und Neigungen, die bei der Ableitung der intermediaren Bahn vernachlassigt wurden) und daher immer nur um gewisse maximale Betrage von den Ausgangswerten differieren konnen. Man kann das Verfahren auch verwenden, wenn man vor Reginn einer Storungsrechnung mittlere elliptische Elemente gewinnen will, mit denen sich die StBrungen meist sicherer berechnen lassen als mit den zu irgendeinem Zeitpunkt oskulierenden Elementen.

3. Bestirnmung der von den Exentrizitiiten und Neigungen unabhangigen Stijrungen Eine intermediare Bahn, die die Sakularstiirungen enthalt, kann fiir liingere Zeitraume vorteilhaft

sein; innerhalb kurzer Zeiten iiberwiegt der EinfluS der periodischen Storungen erheblich. Fur solche Falle muS man versuchen, intermediare Bahnen zu finden, die periodische Terme der Storungsfunktion beriicksichtigen. Die Storungsfunktion lafit sich als Funktion der PoINc&schen Elemente (5) in eine Potenzreihe nach den GroBen ti, q,. pi, qi entwickeln, die die dgemeine Form hat 1)

H = H , + X,, + X,, + Xm% + Xmo& + Xmq, + Glieder zweiten und hoheren Grades.

Darin bedeutet H, die der ungestorten Bewegung entsprechendeHAbfILToNSche Funktion, die Entwicklungs- koeffizienten X der Storungsfunktion hangen nur von den grofien Halbachsen a, und a, (damit also von L.1 und 4) sowie von den mittleren Langen 1, und & ab. Ferner tritt eine Grofie A, auf, die den gegen- seitigen Abstand der beiden Planeten unter der Voraussetzung verschwindender Exzentrizitaten und Neigungen bedeutet; auch dieses A, hangt nur von L,, L,, A*, 4 ab. Zu bemerken ist auerdings, daS bei dieser Entwicklung einige Grofien zweiter Ordnung in den storenden Massen vernachlassigt sind.

Es laSt sich zeigen, daO- bei Beschrankung auf den von Exzentrizitaten und Neigungen unab- hangigen Anfangsterm X,, die Integration der Bewegungsgleichungen streng ausfiihrbar ist. Das liefert eine intermediare Bahn, welche auch die Anfangsglieder der periodischen Storungen berucksichtigt. Die in H vorkommenden groSen Halbachsen a, und a, sind zu ersetzen durch

LL" %=- L: a - - , l - B ; B:

und dann erhdt die HAMILToNsche Funktion nach Streichung aller von Exzentrizitiiten und Neigungen abhangigen Glieder das Aussehen

wo

1) C. V. L. CBARLIER, Die Mechanik des Himmels. Band I, p. 310 ff .

F. SCHMEIDLER: Intermediare Bahnen zur Annaherung an das Dreik8rperproblem 251

ist. Die zugehorigen Bewegungsgleichungen sind

aH1 dL; - aH, diZi- - ~ - _ - - at aLi dt aAi

Integrale dieser Gleichungen (12) sind alle die Funktionen, deren Klammerausdruck mit H, verschwindet . Da in dieser Funktion die mittleren Langen nur in der Kombination 1,- & auftreten, ergibt sich unmittel- bar, daB die sechs Funktionen

f l = H 1 ; fZ=&+L,; fJ=51; f 4 = t 2 ; f 5 = * 1 ; f 6 = P a

sowohl mit H, als auch untereinander in Involution sind; es ist leicht zu verifizieren, daf3 samtliche Klammerausdriicke verschwinden, es liegen also sechs involutorische Integrale der Gleichungen (12) vor. Um das vollstandige Integral der HAMILTON- JAcoaIschen partiellen Differentialgleichung abzuleiten, mu13 man die gefundenen Integrale gleich Konstanten oder, was auch zulassig ist, gleich Funktionen von unabhangigen Konstanten setzen:

L1+&=g+%; 51=%; 5 2 = u 4 ; $1=&,; f i z=Ue .

Daraus sind die GroBen Li. ti, p , als Funktionen der Konstanten ui und der Ai, q,, qi zu berechnen; dann ist der Ausdruck

2

i-1 2 (Li a + ti drli + Pi dq;)

ein exaktes Differential und die gesuchte Losung S ist durch eine weitere Quadratur bestimmt. In der Praxis ist die Auflosung der beiden ersten Gleichungen (13) nach L, und L, sehr schwierig und

wiirde in strenger Form auf eine algebraische Gleichung von sehr hohem Grade fiihren, deren Wurzel explizit iiberhaupt nicht in funktionaler Abhangigkeit von den Koeffizienten der Gleichung hingeschrieben werden kann. Aber eine Potenzreihenentwicklung nach der GroBe p, die von der Ordnung der storenden Massen ist, 1aBt sich leicht aus (13) geainnen: die Werte, die sich durch Auflosung der beiden ersten Gleichungen (13) fur L, und L, ergeben, haben als Funktionen von p das Aussehen der beiden Potenz- reihen

Der Index Null bei den Koeffizienten bedeutet. daB derjenige Wert der Differentialquotienten zu nehmen ist, der sich mit p = o ergibt. Fiir die Anfangswerte Go und L,‘findet man aus (13)

h o = L % l , L,=%; die Differentialquotienten ergeben sich durch Differentiation der beiden ersten Gleichungen (13) nach ,U und nachtragliches Einsetzen von p = 0:

Bei Beschrankung auf die Glieder erster Ordnung in den st6renden Massen undEinfiihrung der Abkiirzungen

252 F.

gelangt man zu

Die Quadratur,

SCHYEIDLER: Intermediare Bahnen zur Annkherung an das Dreik8rperproblem

dem Resultat

durch deren Ausfiihrung sich das vollstandige Integral der HAMILTON- JAcoBIschen Differentialgleichung bestimmt, fiihrt auf ;in elliptisches Integral ; man 'iindet fur S den Ausdruck

$ = - - H ( la11 (4 t + %A,+ %af-PK 1 (k: + - 2 klk, cos (3.1- d@1- 4) +h: pKK,sin $ a S q 1 + a 4 r ] Z s u 6 q 1 $ - a 6 q 2 ~

in dem -Hl als Funktion von a, und u2 entsprechend der ersten Gleichung (13) einzusetzen ist. Wenn man weiter die Gr6Ben

einfuhrt und unter E,, . . ., E~ wieder sechs zusatzliche Tntegrationskonstante versteht, lautet die Losung der Bewegungsgleichungen unserer interrnediaren Bahn wie folgt :

[,=%, q , = ~ ~ , &=a4, q a = e 4 , p l = a 5 , q 1 = E 5 , Pz=a6, q a = E e .

Fiir die in diesen Ausdriicken auftretenden Differentialquotienten nach den a; findet man

ah, 2 % aK - 3Ka

Die dritte und vierte Gleichung des Systems (r4), aus denen sich die mittleren 1-angen 1, und 4 ergeben, sind transzendent; die Integrale sind elliptisch, auBerdem tritt noch je ein trigonometrisches Glied auf. AUe transzendenten Terme sind mit der kleinen GroBe p, die von der Ordnung der storenden Massen ist, multipliziert und sind daher klein, die numerische Auflosung der Gleichungen kann durch eine Naherung sehr rasch geschehen. Die elliptischen Integrale lassen sich in folgender Weise auf die Normalintegrale zuriickfiihren. Man fiihrt ein:

_ - -- 8%. e: ' 8% I%%

und erhdt dadurch fur die GriiBen unter den Integralen

(I -- 1x3 sinZ y) . k; - kZ, h- k, cos (A1- &) = 4 + k, -- 2 k, sin2$ = ~

(k , 4- kJ2 + 24 2 kl

F. SCHMEIDLER: Intermediare Bahnen zur Annaherung an das Dreikijrperproblem 253

Wenri man diese Beziehungen in die Integrale in (14) einfiihrt, erhalt man fur die dort in der dritten Gleichung auftretenden Integrale

(4 - K, cos (311 - 4) w1- &I - k2, - k: I

(hi + k: - 2 kl K, cos (Al - & ) p / z - 2 k,(K, + k J 3 J Zur weiteren Reduktion dient eine Formel von LECENDRE I),

mit deren Hilfe man schlieDlich erhalt ua sin y cos y

- 2 F ( M l lu) d ( 4 - k ) ~ - (hi + k,Z - z klK2 cos (Al - AJ)1'2 k, + k, Diese Ausdriicke sind in die dritte Gleichung des Systems (14) einzusetzen; die entsprechenden

Integrale in der vierten Gleichung ergeben sich durch Vertauschung von 4 mit k,. Samtliche Integrale konnen, wenn die grooen Halbachsen 4 und a, der ungestorten Rewegung bekannt sind, aus den Tabellen der elliptischen Integrale entnommen werden.

Man konnte auch die elliptischen Integrale nach bekannten Formeln in trigonometrische Reihen nach A,-- il, auflosen, wurde dann allerdings eine groJ3e Zahl von Gliedern haben; es wiirde sich so die gleiche Entwicklung ergeben, die man erhalt, wenn man die Funktion (12) in eine FoURIERsche Reihe nach 5 --& entwickelt und die Bewegungsgleichungen gliedweise integriert.

Die Integrationskonstanten der interrnediaren Bahn (14) werden wieder Funktionen der Zeit, wenn man die bisher vernachlassigten Storungen beriicksichtigt, die durch Exzentrizitaten und Neigungen zustandekommen. Wegen der kanonischen Form der Liisung (14) kann man die Differentialgleichungen sofort hinschreiben; sie lauten

s

dui 2(H - HI) -=- d ~ ; - I a(H -HI) . - _ dt au, ' dt a Ei

wobei man wieder die Funktion H - HI durcii die GroDen ui und E; auszudriicken hat. Die durch diese intermediare Bahn erreichte Annaherung ist weniger giinstig, als man erwarten

konnte. Die Tatsache, daD in der Storungsfunktion nur Terme von der Ordnurrg der Exzeritrizitaten und Neigungen vernachlassigt sind, bedeutet nicht, daD auch die Storungen selbst diese Genauigkeit auf- weisen. In den Differentialgleichungen (8) treten partielle Ableitungen der HmILToNschen Funktion nach ti, qi auf ; infolgedessen bedeutet eine Genauigkeit von e" in der Entwicklung der StBrungsfunktion, da13 die aus den Bewegungsgleichungen errechneten Storungen nur die Genauigkeit e"-l aufweisen. Die abgeleitete intermediare Bahn entstand durch Vernachlassigung aller Glieder der Ordnung e ; also sind in den gefundenen Storungen die vernachlassigten Glieder von der gleichen Ordnung wie die beriicksichtigten. Am besten werden durch die abgeleitete intermediare Rahn die Storungen der g rohn Halbachsen und der mittleren E n g e dargestellt; man ersieht aus den beiden ersten Gleichungen (8), die die Storungen dieser GroDen definieren, da die Li die Quadratwurzeln aus den groI3en Halbachsen sind, da13 hier keine Differentialquotienten nach den ti, qi auftreten und infolgedessen die Erniedrigung der Genauigkeit urn eine Potenz von e nicht stattfindet. Aber auch die grol3en Halbachsen und mittleren Langen werden durch die besprochene Naherung nur dann gut dargestellt, wenn keine genaherte Kommensurabilitat der Umlaufszeiten beider Planeten vorliegt, da andernfalls in gewissen Gliedern bei der Integration der Ge- samtstorungen, kleine Divisoren auftreten ; diese Storungsglieder konnen, obgleich sie stets mit irgend- welchen Potenzen der Exzentrizitaten multipliziert sind, nurnerisch wesentlich g rokr als irgendwelche anderen Storungsterme werden. Ein Beispiel ist das System Jupiter-Saturn, in dem die auf der genaherten Kommensurabilitat vom Typ 2 : 5 beruhende ,,groDe Gleichung" zahlenmaDig alle anderen Storungen weit uberwiegt. In Fdlen, wo eine solche Kommensurabilitat nicht vorliegt, ist die hier abgeleitete inter- mediare Bahn in der Lage. die Storungen der groI3en Halbachsen und mittleren Langen verhdtnismaDig gut wiederzugeben.

I) A.M.LEGENDRE, Exercices de calcul intbgral. Bd. I, p. 61, Paris 1811.