ISBN: 978-3-8085-5431-9 (Buch)ISBN: 978-3-8085-5827-0 (E-Book)

Der Titel erscheint in der Edition Harri Deutsch des Verlages Europa-Lehrmittel.

Aufgaben zur Festigkeitslehre – ausführlich gelöstMit Grundbegriffen, Formeln, Fragen, Antworten

von Gerhard Knappstein

6. Auflage

VERLAG EUROPA-LEHRMITTEL · Nourney, Vollmer GmbH & Co. KGDüsselberger Straße 23 · 42781 Haan-Gruiten

Europa-Nr.: 54302

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Der Autor Dipl.-Ing. Gerhard Knappstein war nach seiner Ausbildung zum Werk-zeugmacher und dem Maschinenbaustudium als Konstrukteur und Be-rechnungsingenieur in der Industrie tätig. Er ist Mitarbeiter im Fachbereich Maschinenbau – Fachgebiet Technische Mechanik – an der Universität Siegen.

6. Auflage 2014Druck 5 4 3 2 1

ISBN  978-3-8085-5431-9

Alle Rechte vorbehalten. Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der gesetzlich geregelten Fälle muss vom Verlag schriftlich genehmigt werden.Der Inhalt des Werkes wurde sorgfältig erarbeitet. Dennoch übernehmen Autor und Verlag für die Richtigkeit von Angaben, Hinweisen und Ratschlä-gen sowie für eventuelle Druckfehler keine Haftung.

© 2014 by Verlag Europa-Lehrmittel, Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG,  42781 Haan-Gruitenhttp://www.europa-lehrmittel.de

Umschlaggestaltung: braunwerbeagentur, 42477 RadevormwaldDruck: Medienhaus Plump GmbH, 53619 Rheinbreitbach

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Vorwort

Zum richtigen Verstehen und Einordnen der theoretischen Grundlagen des Mechanikfachs Festig-keitslehre (Elastostatik) ist das selbständige Lösen von entsprechenden Aufgaben unverzichtbar. Diese Einsicht und die immer wiederkehrende Frage der Studierenden nach Aufgaben mit vollstän-digen Lösungen waren unter anderem Anlass, dieses Buch zu schreiben.

Das Buch, dessen Inhalt sich am Stoff der Vorlesungen in Festigkeitslehre an Universitäten und Fachhochschulen orientiert, bietet • zahlreiche ausführlich und lehrbeispielhaft gelöste Aufgaben, • die notwendigen Grundbegriffe und Formeln zum schnellen Nachschlagen in überschauba-

rer Form, • Verständnisfragen und Antworten zum Überprüfen der Kenntnisse, • computerunterstütztes Lösen von Aufgaben aus der Festigkeitslehre mit MATLAB und • Leitlinien zum Lösen von Mechanik-Aufgaben.

Es ergänzt somit die vielfältigen Mechanik-Lehrbücher.

Die Aufgaben sind so ausgewählt, dass alle wichtigen Teilgebiete der Festigkeitslehre behan-delt werden. Bei den Lösungen habe ich versucht, den Lösungsweg so zu gestalten, dass er für jeden verständ-lich ist. Die Lösungen sind nicht nur stichpunktartig dargestellt, sondern sehr ausführlich gelöst. Unterstützt durch eine umfangreiche Bebilderung ist der "rote Faden" des Lösungswegs gut er-kennbar. Durch Zeichnungen sind Studierende oftmals viel schneller über schwierige Sachverhalte "im Bilde", als das je mit Text geschehen könnte.

Bei einigen Aufgaben werden mehrere Lösungswege dargestellt sowie die Ergebnisse erläutert.

Leitlinien zum Lösen von Mechanik-Aufgaben als grundsätzliches Lösungsverfahren werden angegeben, da erfahrungsgemäß viele Studienanfänger den Weg von der Problemstellung zur Lö-sung verlieren, wenn er nicht systematisch angelegt wird.

Um den größten Nutzen aus dem Buch zu ziehen, empfehle ich den Studierenden, die Lösun-gen nicht nur durchzulesen, sondern auch zu versuchen, die Aufgaben Schritt für Schritt nachzu-vollziehen – am besten selbständig zu lösen. Entscheidend ist, dass Aufgaben nicht nach „Schema F“, sondern mit Verstand und den Grundgesetzen der Mechanik gelöst werden. Hilfreich ist oft, die Aufgaben und Verständnisfragen zu zweit oder zu dritt durchzuarbeiten, zu vergleichen und die Lösungen und Antworten zu diskutieren.

In der vorliegenden 6. Auflage habe ich zusätzlich zu den Formelsammlungen der Statik und der Festigkeitslehre noch eine Formelsammlung der Kinematik und Kinetik aus meinem gleichlau-tenden Buch aufgenommen, so dass jetzt alle wichtigen Formeln für das Grundlagenfach Techni-sche Mechanik wiedergegeben sind. Das Buch erscheint erstmals in der Edition Harri Deutsch des Verlags Europa-Lehrmittel.

Die vollständigen MATLAB-Programme finden Sie auf der Homepage zum Buch www.europa-lehrmittel.de/54302.html. Siegen, 2014 Gerhard Knappstein

Leserkontakt

Autoren und Verlag Europa-Lehrmittel Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG Düsselberger Str. 23 42781 Haan-Gruiten lektorat@europa-lehrmittel.de http://www.europa-lehrmittel.de

knappstein-festigkeitslehre_titelei.indd 4 25.06.2014 13:23:02

Inhalt 1 Zug und Druck in Stäben; Dehnungen und Verschiebungen . . . . . . . 2 Der ein- und zweiachsige Spannungszustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Flächenträgheitsmomente; Lage der Hauptachsen; Widerstandsmo-

mente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Biegung: Normalspannungen durch Biegemomente und Normal-

kraft; Schiefe Biegung; Verformungen durch Biegemomente . . . . . . 5 Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Querkraftschub; Schubmittelpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Knickung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Aufgaben mit Anwendungen aus verschiedenen Gebieten der

Elastostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Aufgaben zu CASTIGLIANO, MOHRsches Arbeitsintegral (Arbeitssatz),

Kraftgrößenverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Verständnisfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Antworten zu den Verständnisfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Computerunterstütztes Lösen von Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Programm QUERP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Programm BIEGNO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Anhang: Einige Grundbegriffe und Formeln der Festigkeitslehre . . . . . . . . . . . . . . . . A1 Einheiten; Spannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A2 Verformungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A3 Zusammenhang zwischen Spannungen und Verformungen . . . . . . A4 Zug und Druck in Stäben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A5 Flächenträgheitsmomente; Lage der Hauptachsen; Widerstands- momente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A6 Biegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A7 Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A8 Lage der Schubmittelpunkte von dünnwandigen Profilen . . . . . . . A9 Querkraftschub . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A10 Knickung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

35

45

67

119

133

145

157

183

193

201

215215220

233233234235235

237242245249250250

VI Inhalt

A11 Dünnwandige Behälter (Membranschalen) unter Innendruck . . . . A12 Festigkeitshypothesen, Vergleichsspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . A13 Zugfestigkeit Rm, Streckgrenze Rp0 2, und Bruchdehnung A5 eini- ger Werkstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A14 Zulässige Spannungen für Kran-Stahltragwerke . . . . . . . . . . . . . . . A15 Ausgewählte Werkstoffkennwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A16 Anwendung des Energieprinzips bei Biegebeanspruchung (CASTIGLIANO, MOHRsches Arbeitsintegral, Kraftgrößenverfahren) Leitlinien zum Lösen von Mechanik-Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Schematischer Verlauf einer Festigkeitsberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gegenüberstellung von neuen und alten Werkstoffbezeichnungen (Auswahl) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Einige Grundlagen und Formeln aus der Statik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S1 Kräfte, Lagerungen, Freimachen, Axiome, Schnittprinzip . . . . . . . S2 Zentrales Kräftesystem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S3 Allgemeines Kräftesystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S4 Ebenes Fachwerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S5 Schnittgrößen am Balken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S6 Schwerpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S7 Haftung und Reibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S8 Biegeschlaffes Seil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Das griechische Alphabet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vorsätze und Vorsatzzeichen für dezimale Teile und Vielfache von Ein-heiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einheitennamen und Einheitenzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einige Formeln aus der Mathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Häufig benutzte Formelzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Forscher und Lehrer auf dem Gebiet der Festigkeitslehre . . . . . . . . . . . . . . Zusammenstellung von Formeln aus der Kinematik und Kinetik . . . . . . . . K1 Kinematik der geradlinigen Bewegung eines Punktes . . . . . . . . . . K2 Kinematik der krummlinigen Bewegung eines Punktes . . . . . . . . . K3 Kinematik des starren Körpers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K4 Kinetik des Massenpunktes und der Massenpunktsysteme . . . . . . . K5 Kinetik starrer Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K6 Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K7 Stoßvorgänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K8 Relativbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sachwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

253254

255255256

257261262

263264264269272275277279283284

286

286287288289291294294295301303309316320322324325

Inhalt / Übersicht der Aufgaben VII Aufgabe Erläuterung "Info"-Bild Seite

1 Zug und Druck in Stäben; Deh-nungen und Verschiebungen

1

1.1 Dehnung und Verlängerung eines Seiles; Reiß-länge

2

1.2 Dehnung von Stäben aus unterschiedlichem Ma-terial

5

1.3 Spannungsverläufe σ in einem Stab mit verän-derlichem Querschnitt infolge Eigengewicht und äußerlicher Belastung

6

1.4 Abgesetzter Stahlzylinder unter Temperaturbela-stung (Kräfte und Verschiebung)

9

1.5 Verschiebungen in einem Stabwerk (Stäbe mit unterschiedlicher Dehnsteifigkeit)

11

1.6 Lagerungsstäbe (verschiedene Querschnitte) eines starren Trägers (statisch unbestimmt); Stabkräfte, Spannungen, Verschiebungen

14

1.7 Stabkräfte und Verschiebungen in einem Fach-werk (statisch unbestimmt)

16

1.8 Fachwerk unter Temperaturbelastung (Stäbe mit unterschiedlichen Wärmeausdehnungskoeffizien-ten)

19

1.9 Dehnung und Spannung in einem fliehkraftbean-spruchten Stab

21

1.10 Spannungen in den drei Seilen einer Lastaufhän-gung (mit Fehlmaß) (statisch unbestimmt)

24

VIII Inhalt / Übersicht der Aufgaben Aufgabe Erläuterung "Info"-Bild Seite

1.11 Lastaufnahme bei Druckstab aus unterschiedli-chen Materialien (statisch unbestimmt)

29

1.12 Dehnungen und Spannungen bei einem zweiach-sigen Spannungszustand

31

1.13 Dehnung von Schrauben (Dehnschrauben)

ppp

33

2 Der ein- und zweiachsige Spannungszustand 35 2.1 Spannungen in der Schweißnaht eines Blechstrei-

fens (einachsiger Spannungszustand)

36

2.2 Spannungen in der Schnittfläche eines Quaders (einachsiger Spannungszustand und zweiachsiger Hauptnormalspannungszustand)

38

2.3 Allgemeiner ebener Spannungszustand

41

3 Flächenträgheitsmomente; Lage der Hauptachsen; Widerstandsmomente

45

3.1 Drei Querschnitte mit gleichem Flächeninhalt im Vergleich

46

3.2 Rechtwinkliger Dreiecksquerschnitt (Hauptträg-heitsmomente, Hauptachsen)

49

3.3 Unsymmetrischer T-förmiger Querschnitt

52

3.4 Gedrehter Rechteckquerschnitt

56

3.5 Aus Stahlbau-Profilen zusammengesetzter Quer-schnitt

57

Inhalt / Übersicht der Aufgaben IX Aufgabe Erläuterung "Info"-Bild Seite

3.6 Aus Grundflächen zusammengesetzter Quer-schnitt

61

3.7 Trapezförmiger Querschnitt

65

4 Biegung: Normalspannungen durch Biegemomente und Normalkraft; Schiefe Biegung; Verformungen durch Biegemomente

67

4.1 Einachsige Biegung; Biegespannungsverteilung

68

4.2 Einachsige Biegung; Biegespannungsverteilung

71

4.3 Schiefe Biegung; Spannungs-Null-Linie; Biege-spannungsverteilung

74

4.4 Schiefe Biegung; Spannungs-Null-Linie; Span-nungsverteilung

77

4.5 Schiefe Biegung mit Normalkraftbeanspruchung; Spannungs-Null-Linie; Spannungsverteilung

80

4.6 Biegelinie

83

4.7 Durchbiegung am freien Ende (mit Überlagerung)

86

4.8 Biegeverformung (mit Überlagerung)

88

4.9 Biegelinie

90

4.10 Durchbiegung, Neigungswinkel

92

X Inhalt / Übersicht der Aufgaben Aufgabe Erläuterung "Info"-Bild Seite

4.11 Auflagerreaktionen, Neigungswinkel, Differenti-algleichung der elastischen Biegelinie (statisch unbestimmtes System)

96

4.12 Auflagerreaktionen, Differentialgleichung der elastischen Biegelinie, Superpositionsprinzip (sta-tisch unbestimmtes System)

100

4.13 Auflagerreaktion, Superpositionsprinzip (statisch unbestimmtes System)

104

4.14 Verschiebungen (Superposition)

106

4.15 Auflagerreaktion bei elastischem Lager, Durch-biegung, Superpositionsprinzip (statisch unbe-stimmtes System)

108

4.16 Auswirkungen der schubfesten Verbindung zweier Träger auf die Biegespannung und die Durchbiegung

F

F2

F

110

4.17 Verformungen eines Biegeträgersystems (unter-schiedliche Biegesteifigkeiten)

113

4.18 Verformungsberechnung bei schiefer Biegung (Kragträger)

115

4.19 Verformungen bei durch einen Stab gekoppelte Biegeträger (statisch unbestimmtes System)

117

5 Torsion 119

5.1 zulässige Schubspannung und zulässiger spezifi-scher Verdrehungswinkel

120

5.2 Torsionsstäbe mit Vollquerschnitt und kreisrun-dem Rohrquerschnitt

122

5.3 abgesetzter Drillstab (Reihenschaltung)

124

5.4 Parallel geschaltete Torsionsfedern (einfach sta-tisch unbestimmt)

125

Inhalt / Übersicht der Aufgaben XI Aufgabe Erläuterung "Info"-Bild Seite

5.5 Torsionsstab mit dünnwandigem geschlossenen Querschnitt (BREDTsche Formeln)

127

5.6 Torsionsstäbe mit dünnwandigem geschlossenen und offenen Querschnitt

SchlitzSchlitz

129

5.7 Torsionsstab mit unterschiedlichen Querschnitten

132

6 Querkraftschub; Schubmittelpunkt 133 6.1 Schubspannungen infolge Querkraft

134

6.2 Schubspannungsverlauf infolge Querkraft, Schub-mittelpunkt SchlitzSchlitz

137

6.3 Dünnwandiger Träger mit C-Profil

141

6.4 Schubspannungen in Verbindungsmitteln (Schweißnähte)

143

7 Knickung 145 7.1 EULER-Fall 2; Belastbarkeitsrechnung (kreuzför-

miger Querschnitt)

146

7.2 EULER-Fall 1; Entwurfsrechnung (Rohrquer-schnitt)

148

7.3 EULER-Fall 2; Belastbarkeitsrechnung (Winkel-stahl)

149

7.4 Vergleich der Knicksicherheiten zweier Fachwer-ke

151

7.5 Grundfall 2; Belastbarkeitsrechnung (Rechteck-querschnitt); TETMAJER und EULER

153

XII Inhalt / Übersicht der Aufgaben Aufgabe Erläuterung "Info"-Bild Seite

7.6 Grundfall 1; Entwurfsrechnung (Ellipsenquer-schnitt); EULER und TETMAJER

154

7.7 Druckstab mit 4 verschiedenen Querschnitten gleichen Flächeninhalts; EULER

156

8 Aufgaben mit Anwendungen aus verschiedenen Gebieten der Elastostatik

157

8.1 Anwendungen aus den Gebieten: Zug, Druck, Biegung, Knickung. Statisch unbestimmtes System

158

8.2 Auf Zug, Biegung und Torsion belastetes Rohr; MOHRscher Spannungskreis

162

8.3 Auf Biegung und Torsion belasteter abgewinkel-ter Träger; Verschiebungen

165

8.4 Dimensionierung einer Welle (Gestaltänderungs-energiehypothese)

167

8.5 Auf Druck, Biegung und Torsion belastete Säule; Vergleichsspannung nach der Gestaltänderungs-energiehypothese

169

8.6 Auf Innendruck und Torsion belastetes dünnwan-diges, geschlossenes Rohr; Kesselformeln; Ver-gleichsspannung nach der Gestaltänderungsener-giehypothese

171

8.7 Auf Biegung und Torsion beanspruchter Stab; Vergleichsspannung nach der Gestaltänderungs-energiehypothese

172

Inhalt / Übersicht der Aufgabe XIII Aufgabe Erläuterung "Info"-Bild Seite

8.8 Auf Biegung und Torsion beanspruchte Blattfe-der; Durchsenkung; Vergleichsspannung nach der Gestaltänderungsenergiehypothese

173

8.9 Auf Biegung und Torsion beanspruchter Träger; erforderlicher Durchmesser; Vergleichsspannung nach der Gestaltänderungsenergiehypothese

175

8.10 Normalkraft, Biegung und Torsion; maximale Vergleichsspannung nach der Gestaltänderungs-energiehypothese

176

8.11 Schrumpfring auf Vollwelle; Wärmedehnung; er-forderliche Temperaturerhöhung

180

8.12 Schrumpfring auf Ring; Wärmedehnung; Berüh-rungskreisdurchmesser und Spannungen

181

9 Aufgaben zu CASTIGLIANO, MOHRsches Arbeitsintegral (Arbeitssatz), Kraftgrößenver-fahren

183

9.1 Durchbiegung und Neigungswinkel mit dem Satz von CASTIGLIANO

184

9.2 Verschiebung eines abgewinkelten Trägers mit-hilfe des Satzes von CASTIGLIANO

185

9.3 Statisch unbestimmtes System; Auflagerreaktio-nen mithilfe des Satzes von CASTIGLIANO

186

9.4 Durchbiegung mithilfe des MOHRschen Arbeits-integrals (Arbeitssatz)

187

XIV Inhalt / Übersicht der Aufgaben Aufgabe Erläuterung "Info"-Bild Seite

9.5 Verschiebung mithilfe des MOHRschen Arbeits-integrals (Arbeitssatz)

189

9.6 Statisch unbestimmtes System; Auflagerreaktion mithilfe des Kraftgrößenverfahrens

190

Computerunterstütztes Lösen von Aufgaben; Programme QUERP und BIEGNO

215

Beispiel zu

QUERP

Querschnittswerte (Schwerpunkt, Flächenträg-heitsmomente)

218

Aufgabe zu

QUERP

Querschnittswerte (Schwerpunkt, Flächenträg-heitsmomente)

219

Beispiel zu

BIEGNO

Biegung; Querschnittswerte, Spannungs-Nullinie und Spannungsverteilung

229

Aufgabe zu

BIEGNO

Biegung mit Normalkraftbeanspruchung; Quer-schnittswerte, Spannungs-Nullinie und Span-nungsverteilung

230

Aufgabe zu

BIEGNO

Biegung; Querschnittswerte, Spannungs-Nullinie und Spannungsverteilung

231

1 Zug und Druck in Stäben;

Dehnungen und

Verschiebungen

2 Zug und Druck in Stäben / Verlängerung

Aufgabe 1.1: Für das Stahlförderseil einer Schachtförderanlage (Bild 1.1), welches durch sein Eigengewicht und die Kraft F am Seilende belastet ist, sind zu berechnen: 1. der metallische Querschnitt des Seiles für die zu-

lässige Spannung σzul , 2. die Verschiebung des Seilendes mit dem unter 1.

berechneten Querschnitt (nur den vertikal hängenden Teil des Seiles berücksichtigen),

3. die Länge lReiß (Reißlänge) des Seiles für die Zugfe-stigkeit Rm, bei der das Seil nur unter der Wirkung seines Eigengewichtes reißt. An welcher Stelle reißt das Seil?

Gegeben: F = 110 kN; Erdbeschleunigung g = 9,81 m/s2; Dichte ρ = 7850 kg/m3; l = 1150 m; σ zul = 200 N/mm

2 ; Rm2N/mm= 1600 ;

E = ⋅21 104 N/mm2 (Lösung erst mit allgemeinen Größen herbeiführen, dann Zahlenwerte einsetzen!) Lösung: zu 1. Den metallischen Querschnitt des Seiles erhalten wir aus der Bedingung, dass die zulässige Normalspannung σzul nicht überschritten werden darf.

σzulN

A= max ; A N

zul= maxσ

Bild 1.1.1: a) Seil durch Eigenge-wicht und Fremdlast F belastet b) Freikörperbild des abgeschnittenen unteren Seilstücks

l

F

Bild 1.1: Schachtförderanlage mit För-

derseil

l

x

x

l-x

F F

N(x)

B

ρ gA

G(x)=ρ g A(l-x)

a) b)

Verlängerung 3

Σ = 0 : (Bild 1.1.1b) N x F G x( ) ( )− − = 0 N x F gA l x( ) ( )= + −ρ (1)

Die maximale Normalkraft Nmax tritt bei x = 0 an der Stelle B (Bild 1.1.1a) im Seil auf:

N N x F gAlmax ( )= = = +0 ρ

A N F gAlzul zul zul

= = +maxσ σ

ρσ

.

Nach A aufgelöst:

A Fglzul

=−σ ρ

Mit den Zahlenwerten ergibt sich für den metallischen Querschnitt:

A = ⋅− ⋅ ⋅

=110 10

200 7850 9 81 1150 10987

3

6, /mm mm2 2 Merke: 1 N = 1 kg m

s2

zu 2.

Bild 1.1.2: a) Verschiebung des Seilendes b) Verlängerung eines herausge-schnittenen Ele-ments

Verformung eines Elements (Bild 1.1.2b):

ε = + − =( )dx du dxdx

dudx

Elastizitätsgesetz: ε σ= ( )xE

Es gilt also: dudx

xE

=σ( ) (2)

σ( )x ergibt sich mit Gleichung (1) zu:

σ ρ( ) ( ) ( )x N xA

F gA l xA

= =+ − .

l

x

F

ρ gA

a) b)

Δ l

dx

x

dx dx+du

u

u+du

σ (x)

σ σ(x)+d

4 Zug und Druck in Stäben / Reißlänge

Aus (2) folgt die Verlängerung du:

dxxlgAF

Edu ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −+= )(1 ρ .

Die Summe aller Verlängerungen du muß die Verschiebung Δl des Seilendes (Bild 1.1.2a) ergeben.

dxxlgAF

Edu

l

x

l

x∫∫==

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+=

00

)(1 ρ

0

)2

(1)0()(2 lxxlgx

AF

Eulu ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−+=− ρ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +==Δ gl

AF

Ellul ρ

21)( .

Dabei ist F lE A

der Verschiebungsanteil aus der Fremdlast F und ρ glE

2

2 der Verschiebungsanteil aus

dem Eigengewicht.

Mit Zahlenwerten: mm10/115081,9785021

98710110

1021101150 63

4

3

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅+

⋅⋅⋅

=Δl

Δl = 610 3, mm + 242,5mm = 852,8mm.

610,3 mm ist der Verschiebungsanteil aus der Fremdlast und 242,5 mm der Verschiebungsanteil aus dem Eigengewicht.

Hinweis: Die Verlängerung Δl wurde nur mit der Dehnung des Werkstoffes ermittelt und so getan, als wäre ein Seil eine homogene Stange. In Wirklichkeit ist die Verlängerung eines Seiles wegen der Verschiebbarkeit der einzelnen Seillitzen gegeneinander größer.

zu 3.

Aus Gleichung (1) erkennen wir, daß die maximale Normalkraft an der Stelle x = 0 am Aufhänge-punkt B (Bild 1.1.1a) auftritt. Folgedessen zerreißt das Seil bei Erreichen der Zugfestigkeit Rm an der Stelle B.

Mit F = 0 und x = 0 folgt aus Gleichung (1):

N gA lEigmax = ρ .

Die Reißlänge, daß ist diejenige Länge, bei der lediglich infolge des Eigengewichts der Bruch am oberen Aufhängepunkt (Stelle B, Bild 1.1.1a) eintreten würde, erhalten wir aus der folgenden Glei-chung:

RN

Ag Al

AEig

mReiß= =

max ρ . (Die Querschnittsfläche A verliert ihren Einfluß.)

Reißlänge: lR

gReißm=

ρ

Mit Zahlenwerten:

lReiß mm mm km= ⋅ ⋅= ⋅ =−

16007850 9 81 10

20 777 10 20 77796

,, , .

Dehnung (unterschiedliche Materialien) 5

Aufgabe 1.2: Ein starrer Balken ist an zwei parallelen Stäben aufgehängt und mit einer Kraft F belastet (Bild 1.2). Die beiden Stäbe sind aus unterschiedlichem Material (E1 und E2) gefertigt und haben den gleichen Querschnitt A. 1. In welchem Abstand e von der Mitte aus muss die Kraft F

angreifen, damit der starre Balken in horizontaler Lage hängt?

2. Wie groß sind dann die Spannungen in den Stäben?

(Anmerkung: Annahme E1>E2). Lösung: zu 1. Wir schneiden die beiden Stäbe durch, zeichnen ein Freikörperbild für den starren Balken (Bild 1.2.1) und bearbeiten die Gleichgewichtsbedingungen: Statik (Gleichgewicht, Bild 1.2.1):

∑ = 0 : S S F1 2 0+ − =

F S S= +1 2 (1) (∑ M)B = 0 : S a S a F e1 2 0− − =

( )21 SSFae −= (2)

Da keine horizontalen Kräfte vorhanden sind, ist die Gleichgewichts-bedingung ∑ = 0 sowieso erfüllt. Zur Berechnung der drei Unbekannten S1, S2 und e benötigen wir drei Gleichungen. Die dritte noch fehlende Gleichung erhalten wir aus der Verträglichkeitsbedingung und den Stabverlängerungen.

Geometrische Verträglichkeitsbedingung: Δ Δl l1 2=

Stabverlängerung:

Δ l S lE A1

1

1= und Δ l S l

E A22

2=

Mit den Stabverlängerungen folgt aus der Verträglichkeitsbedingung:

S lE A

S lE A

S EE

S11

2

21

1

22= ⇒ = (3)

Das gesuchte Maß e erhalten wir dann mit (1) und (3) aus (2):

e a E EE E

=−+

1 2

1 2

E A2E A1 l

eF

a a

Bild 1.2: Starrer Balken, aufge-

hängt an zwei Stäben aus unterschiedlichem Material

eF

a a

BS1 S2

Bild 1.2.1: Freiköperbild

des Balkens; Schnitt durch die Stäbe

6 Zug und Druck in Stäben / Spannungen

zu 2.

Die Stabkräfte erhalten wir aus (1) und (3):

S FEE

12

11

=+

und S FEE

2 1

21

=+

.

Damit liegen die Spannungen vor:

σ1 12

1

1

1= =

+

SA

FA E

E

und σ2 21

2

1

1= =

+

SA

FA E

E

.

Aufgabe 1.3: Ein Maschinenteil (Bild 1.3) mit konstanter Dicke t wird durch sein Eigengewicht und eine Kraft F belastet. Man ermittle den Spannungsverlauf σ( )x . Außerdem berechne man die Spannungsver-läufe in Abhängigkeit von x mit folgenden Zahlenwerten

- für die Belastung nur aus dem Eigenge-wicht

- für die Belastung nur aus der Kraft F - für die Belastung aus Eigengewicht und

der Kraft F und trage jeweils die Spannungsverläufe ge-trennt auf: F =150kN , γ = 0 077, Ncm-3(spez. Ge-wicht), a = 250mm, h = 4000mm, t =160mm . Lösung: Normalspannung σ( ) ( )

( )x N x

A x=

Für die Querschnittsfläche A x b x t( ) ( )= folgt mit Hilfe des Strahlensatzes (Bild 1.3.1):

b x a e( ) = + 2 ; ex

a a

h=

−22

b x a ah

x( ) = +

A x b x t( ) ( )=

A x a t xh

( ) ( )= +1

F

a

x

2a

h

R S

R - S

b(x)t

γ A(x)

Bild 1.3: Maschinenteil durch Eigengewicht und Kraft F belastet

2a

e eab(x)

x

h

Bild 1.3.1: Zur Ermittlung der Breite b(x)

Spannungsverläufe 7

Die Normalkraft N(x) erhalten wir aus einer Gleich-gewichtsbetrachtung an einem herausgeschnittenen Element der Höhe dx (Bild 1.3.2).

Gleichgewichtsbedingung (Bild 1.3.2):

∑ = 0 : N x N x dN x A x dx( ) ( ) ( ) ( )− + − =γ 0

dN x A x dx( ) ( )= −γ

Mit A x a t xh

( ) ( )= +1 folgt:

dN x at xh

dx( ) ( )= − +γ 1

∫ ++−= CdxhxatxN )1()( γ

N x at x xh

C( ) ( )= − + +γ2

2 (1)

Die Integrationskonstante C erhalten wir mit der Randbedingung x = 0 ; N x F( )= = −0 aus der Gleichung (1): N x F C( )= = − =0 .

Somit folgt für die Normalkraft: N x atx xh

F( ) ( )= − + −γ 12

.

Für den Spannungsverlauf ergibt sich dann:

σ γ( ) ( )( ) ( )

x N xA x

x

xhxh

F

at xh

= = −+

+−

+

12

1 1.

Dabei ist −+

+=γ σx

xhxh

x Eig1

21

( ) der Spannungsverlauf aus dem Eigengewicht und

−+

=F

at xh

x F( )

( )1

σ der Spannungsverlauf aus der Kraft F , so dass σ σ σ( ) ( ) ( )x x xEig F= + ist.

Mit den gegebenen Zahlenwerten ergibt sich:

σ( ) ,( )

x x

x

x x= − ⋅ ⋅+

⋅

+−

⋅

−0 077 101

2 40001

4000

150000

250

3 Nmm

mm

mm

N

mm 160mm 1+4000mm

3 .

Zur Auftragung der Spannungsverläufe werden für verschiedene x-Werte die Spannungswerte berechnet (siehe folgende Tabelle).

b(x)

xdx

N(x)

N(x)+dN(x)

γ A(x)dx

Bild 1.3.2: Freikörperbild eines heraus- geschnittenen Elements

8 Zug und Druck in Stäben; Dehnungen und Verschiebungen / Spannungsverläufe

Tabelle

x

xh

xh2

−+

+=γ σx

xhxh

x Eig1

21

( )

−+

=F

at xh

x F( )

( )1

σ

σ( )x

mm - - N/mm2 N/mm2 N/mm2 0 0 0 0 -3,75 -3,75

1000 0,25 0,125 -0,0693 -3 -3,0693 2000 0,5 0,25 -0,1283 -2,5 -2,6283 3000 0,75 0,375 -0,1815 -2,143 -2,3245 4000 1 0,5 -0,231 -1,875 -2,106

Die Auftragung liefert dann folgende Spannungsverläufe (Bild 1.3.3):

σ( )xσ( )x Eig )σ(x F

σmaxF = - 3,75 N/mm2 σmax = - 3,75 N/mm2

h

x

- 0,231 N/mm2 -1,875 N/mm2 - 2

Spannungsverläufe infolge:

Eigengewicht Kraft F Eigengewicht und Kraft F

2,106 N/mm

a) b) c)

Bild 1.3.3: Normalspannungsverläufe σ in Abhängigkeit von x a) Spannungsverlauf σ( )x Eig für die Belastung aus dem Eigengewicht b) Spannungsverlauf σ( )x F für die Belastung aus der Kraft F c) Spannungsverlauf σ σ σ( ) ( ) ( )x x xEig F= + für die Belastung aus Eigengewicht und der Kraft F

Temperaturbelastung 9

Aufgabe 1.4: Der abgesetzte Stahlzylinder (Bild 1.4) ist in A und B gelenkig gelagert. Bei ϑ0 293= K sind die Lagerkräfte bei A und B Null, das heißt der Stahlzylinder ist spannungsfrei. Gegeben sind: Elastizitätsmoduln: E E E1 2

421 10= = = ⋅ N / mm2

Wärmeausdehnungs- koeffizienten: α α α1 2

612 10= = = ⋅ − K-1

Querschnittsflächen: A1 400= mm2 ; A2 600= mm

2

Zylinderlängen: l1 300= mm ; l2 350= mm.

Gesucht: 1. Wie groß sind die horizontalen Auflagerkräfte in A und B bei Er-wärmung des gesamten Stahlzy-linders um Δϑ ϑ ϑ= − =1 0 50K?

2. Wie verschiebt sich Punkt C bei der Erwärmung? (Richtungssinn ange-ben).

(Lösung erst mit den allgemeinen Größen herbeiführen; dann Zahlenwerte einsetzen!) Lösung: zu 1. Statik: (Gleichgewicht, Bilder 1.4.1 und 1.4.2)

Σ = 0 : A BH H− = 0 A BH H=

Σ = 0 : 0=− NAH NAH = Da der Stahlzylinder erwärmt wird, können wir uns gut vor-stellen, dass vom Stahlzylinder Druck auf die Lagerpunkte A und B ausgeübt wird. Folglich wird die Kraft N als Druckkraft in dem Bild 1.4.2 eingezeichnet. Wenn wir diese Tatsache so-

fort berücksichtigen, setzen wir die Längenänderung aus der Erwärmung positiv und die Längenän-derung aus der Spannung negativ in die folgenden Gleichungen (1) und (2) ein.

Verformung:

Δ Δ Δ Δl l l l NlEAth el1 1 1 1

1

1= − = −α ϑ (1)

Δ Δ Δ Δl l l l NlEAth el2 2

2

22 2

= − = −α ϑ (2)

1 2

A B

l l1 2C

Bild 1.4: Abgesetzter Stahlzylinder

A BH H

Bild 1.4.1: Freigemachter Stahlzylinder (nach der Erwärmung)

A NH

Bild 1.4.2: Freikörperbild des geschnittenen Stahlzylinders

A NH

Bild 1.4.2: Freikörperbild des geschnittenen Stahlzylinders

10 Zug und Druck in Stäben / Temperaturbelastung

Geometrische Verträglichkeitsbedingung:

Δ Δ Δl l l= + =1 2 0 (3)

Mit (1) und (2) folgt aus (3):

1

11 EA

Nll −Δϑα 02

22 =−Δ+ EA

Nll ϑα

2

2

1

1

21 )(

EAl

EAl

llN+

+Δ=

ϑα .

Hinweis: Werden in den Gleichungen (1) und (2) beide Längenänderungsanteile positiv angesetzt, so erhalten wir N mit negativem Vorzeichen (müssen dann aber auch im Bild 1.4.2 N als Zugkraft einzeichnen).

Somit

2

2

1

1

21 )(

EAl

EAl

llBA HH+

+Δ==

ϑα .

Mit Zahlenwerten:

A BH H= =⋅ ⋅

⋅ ⋅+

⋅ ⋅⋅⋅

=− −12 10 50

400350

21 10 600

614256 1

4

K K(300 + 350)mm

( 30021 10

) mm mmN mm

N

4

2

2

.

zu 2.

Bild 1.4.3: Zur Verschiebung des Punktes C

Nach (1) folgt:

1

1

2

2

1

1

211

1

111

)(EAl

EAl

EAl

lllEANllluC ⋅

+

+Δ−Δ=−Δ=Δ=

ϑαϑαϑα

u l l A Al A l AC

=−+

α ϑ1 2 1 21 2 2 1

Δ .

Ist A1

Verschiebungen im Stabwerk 11

Aufgabe 1.5: Für das Stabwerk (Bild 1.5) sind bekannt: F =10 kN, E = ⋅21 104 N / mm2 , A1 10= cm

2, A2 22= cm

2 und a = 0 8, m . Gesucht sind die Verschiebungen des Punktes C in horizontaler und vertikaler Richtung. Lösung:

Aus den Gleichgewichtsbedingungen für den freigeschnittenen Knoten C (Bild 1.5.1) erhalten wir die Stabkräfte:

:0=↑Σ S F2 60 0sin °+ =

S F210000

0 86611547= −

°= − = −

sin60N N

,

Σ→= 0: S S1 2 0+ °=cos60

S S1 2 11547= − °= − − °cos60 N cos60( )

S1 5773 5= , N .

Für die Längenänderungen der Stäbe folgt:

Δl S aEA1

1

1

5773 5 800

210000 10000 022= = ⋅

⋅=

, ,N mmNmm

mmmm

22

(Stabverlängerung)

ΔlS a

E A22

2

11547 800

210000 22000 04= ° = − ⋅

⋅ ⋅ °= −cos60 N mmN

mmmm cos60

mm2

2, (Stabverkürzung)

Zur Ermittlung der Verschiebung des Knotens C zeichnen wir einen Verschiebungsplan (Bild 1.5.2). Dabei ist darauf zu achten, dass der Zusammenhalt des Knotens C erhalten bleibt. Wir zeich-nen die Längenänderungen der Stäbe ausgehend von Knoten C in Richtung der Stabachsen (auf Stabverkürzung oder -verlängerung achten), und errichten am Ende der Längenänderung jeweils eine Senkrechte (da Δl

12 Zug und Druck in Stäben / Verschiebungen im Stabwerk

Bild 1.5.2: Verschiebungsplan des Knotens C; Horizontal- und Vertikalverschiebung

Horizontalverschiebung u (Bild 1.5.2):

u l= =Δ 1 0 022, mm.

Vertikalverschiebung v (Bild 1.5.2):

v d el l

= + = +Δ Δ2 1

60sin tan60o o

v = + = +0 04 0 022 0 0462 0 0127, , , ,mmsin60

mmtan60

mm mmo o

v = 0 0589, mm.

Eine andere Lösungsmöglichkeit ist, wenn wir die Längenänderungen der Stäbe grundsätzlich als Stabverlängerungen in dem Verschiebungsplan (Bild 1.5.3) darstellen, das heißt, einer Stabverlän-gerung wird eine Zugkraft zugrunde gelegt und das setzt wiederum voraus, dass im Freikörperbild (Bild 1.5.1) Zugkräfte in den Stäben angenommen werden müssen.

Bild 1.5.3: Verschiebungsplan des Knotens C mit grundsätzlicher Annahme von Stabver-längerungen (Zugkräfte)

Δl1

Δl2

u

(Stabverlängerung)

Stabverkürzung

C

d v

eC*

Stab 1

Stab 2

60°

60°

60°

u

Δl1 (Stabverlängerung)

CvC*Stab 1

Stab 2

30°

60° 60°

Δl2Stabverlängerungm

n

Verschiebungen im Stabwerk 13

Mit Δl1 0 022= , mm und Δl2 0 04= − , mm folgt dann:

Horizontalverschiebung u (Bild 1.5.3)

u l= =Δ 1 0 022, mm und die

Vertikalverschiebung v (Bild 1.5.3)

v m n= − ; m l= °Δ 2 60sin

tancos

30601 2

°=− °

nl lΔ Δ

( ) °°Δ−Δ= 30tan60cos21 lln

( ) °°Δ−Δ−°Δ= 30tan60cos60sin 212 lllv

( )[ ] 57735,05,0mm04,0mm022,0866,0mm04,0 ⋅⋅−−−⋅−=v

v = − 0 0589, mm.

Das Minuszeichen bei der vertikalen Verschiebung v sagt aus, dass sich der Punkt C entgegen der Annahme im Verschiebungsplan (Bild 1.5.3) nach unten verschiebt.

14 Zug und Druck in Stäben / Statisch unbestimmtes System

Aufgabe 1.6: An einem völlig starren Träger (Bild 1.6) greift die Kraft F an. Er ist bei A drehbar gelagert und durch zwei Stäbe gehalten.

Es sollen bestimmt werden:

1. die Kräfte S1 und S2 in den Stäben infolge der Kraft F,

2. das Verhältnis der Spannungen σ1/σ2 in den Stäben und

3. die vertikale Verschiebung des Punktes B.

Lösung: zu 1. Wir machen den starren Träger frei (Schnitt durch Lager A und die beiden Stäbe) und zeichnen das Freikörperbild (Bild 1.6.1).

Am Freikörperbild erkennen wir, dass das Sys-tem einfach statisch unbestimmt ist, denn es ste-hen den 4 Unbekannten ( AH , AV , S1 und S2) nur die 3 Gleichgewichtsbedingungen für das ebene Kräftesystem gegenüber. Um die Aufgabe zu lösen, muss zusätzlich zu dem statischen Gleich-gewicht eine Verformungsbetrachtung gemacht werden.

Statik (Gleichgewicht, Bild 1.6.1): (Σ M)A = 0 : Fa S a S a− ⋅ − ⋅ =2 1 2 0sin sinα α

S S F2 12sin sinα α+ = (1)

Geometrische Verformungsbetrachtung:

Aus Bild 1.6.2 folgt mit Hilfe des Strahlensatzes:

Δ Δl

a

l

a

1 2

sin2

sinα α=

Δ Δl l1 22= (2)

2

1

21

α α

EA

EA

A BF

starr

a a

Bild 1.6: Starrer Träger an drei Punkten gelagert

21

α α

A BF

a a

A

A

SS

H

V

Bild 1.6.1: Freikörperbild des starren Trägers

Aα α

α Δ l1sinα

sinαΔ l 2

Δ l 2 Δ l1

a

2 a

B

Bild 1.6.2: Verformungsbetrachtung für kleine Verfor-

mungen

Statisch unbestimmtes System 15

Stabverlängerung:

Δ l S lEA

S aEA1

1 1

1

1

1

2= =

cosα , (3)

Δ l S lEA

S aEA2

2 2

2

2

2= =

cosα . (4)

Mit den Gleichungen (3) und (4) erhalten wir aus den Gleichungen (1) und (2) die gesuchten Stabkräfte S1 und S2. Gleichung (3) und (4) in (2) eingesetzt:

S aE A

S aE A

1

1

2

2

2 2cos cosα α= ⇒ SA

SA

1

1

2

2= ⇒ S A

AS1 1

22= . (5)

aus (1) folgt: S AA

S F2 12

22sin sinα α+ = ⇒ SF

AA

21

21 2

=+sinα( )

.

aus (5) folgt: S AA

FAA

11

2 1

21 2

= ⋅+sinα( )

⇒ S FAA

12

12

=+sinα( )

.

zu 2.

σσ

1

2

1

1

2

2

=

SASA

⇒ σσ α

α1

21

2

1

21

2

2

1 2=

+⋅

+F

A AA

A AA

Fsin

sin

( )

( )

σσ

1

2

2 1

2 1

22

1= ++

=A AA A

zu 3. Bild 1.6.3: Zur Verschiebung des Punktes B

Vertikale Verschiebung v des Punktes B (Bilder 1.6.2 und 1.6.3):

v l S aEA

FAA

aEA

= = =+

⋅Δ 1 1

1 2

1

1

2

2

2sin

cossin sin

cossinα

αα α

αα( )

,

v FaE A A

=+

222 1

cossin2

αα( )

.

Aα α

α

sinαΔ l 2

Δ l1

BΔ l1

sinαv =

16 Zug und Druck in Stäben / Verschiebungen im statisch unbestimmten Fachwerk

Aufgabe 1.7: Für das statisch unbestimmmte Fachwerk (Bild 1.7) sollen die Stabkräfte und die Verschiebungen des Punktes K in vertikaler und horizontaler Richtung bestimmt werden. Bild 1.7: Statisch unbestimmtes Fachwerk Lösung: Mit einem Schnitt durch die Stäbe machen wir den Knoten K frei und zeichnen das Freikörperbild (Bild 1.7.1).

Die einfache statische Unbestimmtheit des Systems erkennen wir daran, dass den 3 Unbekannten S1, S2 und S3 die folgen-den 2 Gleichgewichtsbedingungen gegenüber stehen. Statik (Gleichgewicht, Bild 1.7.1):

:0=↑Σ S S F1 32

20+ − = (1)

Σ→= 0: S S2 32

20+ = (2)

Verformung:

Stab 1: Δ l S lEA1

1=

Stab 2: Δ l S lE A2

2=

Stab 3: Δ l S lE A

S lE A3

3 322

= =

aus (1) folgt: S F S3 12= −( ) (4)

aus (2) folgt: S S F S2 3 12

2= − = − −( ) (5)

Somit folgt mit (4) und (5) für die Längenänderungen der Stäbe:

Δ l lE A

S1 1=

Δ l lE A

F S lE A

S F2 1 1= − − = −( ) ( ) (siehe folgende Anmerkung) (6)

Δ l lE A

F S3 12= −( ) .

KF

l

l

2EA

45°45°

EA

EA

AD

B

31

2

KF

45°45°

S3S1

S2

Bild 1.7.1: Freikörperbild des Knotens K

Verschiebungen im statisch unbestimmten Fachwerk 17

Anmerkung: Unter der Annahme, dass sich Punkt K bei der Belastung durch die Kraft F nach links unten verschiebt und der Bedingung, dass der Zusammenhalt des Punktes K erhalten bleibt (siehe Verschiebungsplan, Bild 1.7.3), folgt: - Stäbe 1 und 3 sind Zugstäbe - Stab 2 ist ein Druckstab. Mit dieser Kenntnis zeichnen wir qualitativ den Kräftezug der Kräfte am Knoten K (Bild 1.7.2), welcher bei Gleichgewicht gleichsinnig geschlossen sein muss, und erhalten daraus die Aussage:

Kraft S1 ist kleiner als die Kraft F !

Aus dem Verschiebungsplan (Bild 1.7.3) erkennen wir, dass sich die Verschiebung v aus 2 3Δl und dem Betrag der Längenänderung des Stabes 2 ( Δl2 ) zusammensetzt. Hieraus und das F >S1 ist, folgt, dass

wir in Gleichung (7) für Δl2 den Ausdruck l

E AF S( )− 1 einsetzen

müssen und nicht etwa lE A

S F( )1 − , was wir zunächst nur aus der Gleichung (6) auch annehmen

konnten.

Geometrische Verformungsbetrachtung:

Aus dem Verschiebungsplan (Bild 1.7.3) ergibt sich: Δ Δ Δl l l1 3 22= + (7)

lEA

S lEA

F S lEA

F S1 1 12 2= − + −( ) ( )

S F S F S1 1 12 2= − + −

4 3 341 1

S F S F= ⇒ =

aus (5) folgt: S F S F F F2 134

14

= − − = − + = −( )

aus (4) folgt:

S F S F F F3 12 234

24

= − = − =( ) ( )

Horizontale Verschiebung u des Knotens K:

u l lEA

F S lE A

F F FlE A

= = − = − =Δ 2 134 4

( ) ( ) .

Vertikale Verschiebung v des Knotens K:

v l lEA

S F lEA

= = = ⋅Δ 1 134

.

F

S

S

1

S23

Bild 1.7.2: Geschlossener Kräftezug für Knoten K (Knoten K im Gleichge-wicht

1

2

3

1Δl

2Δl

3ΔlK

K*

u=

v= 1Δ l

45°

45°

2Δl

2Δ l

2 3Δl

Bild 1.7.3: Verschiebungsplan für Knoten K (K verschiebt sich nach K*)

18 Zug und Druck in Stäben / Verschiebungen im statisch unbestimmten Fachwerk

Weitere Lösungsmöglichkeit:

Ein anderer Lösungsweg besteht darin, die Längenänderungen der Stäbe grundsätzlich als Stabver-längerungen in dem Verschiebungsplan (Bild 1.7.4) darzustellen, das heißt, einer Stabverlängerung wird eine Zugkraft zugrunde gelegt und das setzt wiederum voraus, dass im Freikörperbild (Bild 1.7.1) Zugkräfte in den Stäben angenommen werden müssen. Die obige Anmerkung wird hierbei überflüssig. Geometrische Verformungsbetrachtung:

Aus dem Verschiebungsplan (Bild 1.7.4) le-sen wir ab: Δl a b1 = +

a l= Δ 2

( ) 2223 llb Δ−Δ= ( ) 222321 llll Δ−Δ+Δ=Δ Δ Δ Δl l l1 3 22= − .

Mit Δ l lE A

S1 1= , Δ ll

E AF S2 1= − −( ) und Δ l

lE A

F S3 12= −( ) folgt:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−−= )(2)(2 111 SFAE

lSFAE

lSAE

l

S F S S F1 1 13 334

= − ⇒ = .

Aus (5) folgt S F214

= − und aus (4) folgt S F32

4= .

Horizontale Verschiebung uK des Knotens K (Bild 1.7.4):

u l S lE A

FlEAK

= = = −Δ 22

4 .

Das Minuszeichen bei der horizontalen Verschiebung uK bedeutet, dass sich der Knoten K entgegen der Annahme im Bild 1.7.4 nach links verschiebt. Vertikale Verschiebung vK des Knotens K (Bild 1.7.4):

v l S lE A

F lEA

= = = ⋅Δ 11 3

4 .

1

2

3

1Δ l

2Δl

3Δl

K

K*

45°

45°

45°45°

1ΔlvK=

2ΔluK =

a

b

Bild 1.7.4: Verschiebungsplan des Knotens K mit

der Annahme von Stabverlängerungen (Zugkräfte)

Fachwerk unter Temperaturbelastung 19

Aufgabe 1.8: Ein ebenes Fachwerk (Bild 1.8), dessen äußere Stäbe ein re-gelmäßiges Sechseck bilden, sei bei der Temperatur ϑ spannungslos. Alle inneren Stäbe haben den Wärmeausdeh-nungskoeffizienten α I und alle äußeren Stäbe haben den Wärmeausdehnungskoeffizienten α A . Sämtliche Stäbe besit-zen die gleiche Dehnsteifigkeit EA. Welche Kräfte stellen sich in den Stäben 1 , 2 und 3 in Abhängigkeit von EA, α I , α A und Δϑ ein, wenn alle Stäbe des Fachwerks eine gleichmäßige Temperaturerhöhung von Δϑ erfahren. Gegeben: EA, Δϑ , α I , α A , b Lösung: 1. Statik:

Im erwärmten Zustand des Fachwerks machen wir durch einen Schnitt den Knoten K frei und zeich-nen das Freikörperbild (Bild 1.8.1).

Gleichgewicht, Bild 1.8.1: Σ→= 0: S S1 360 60 0sin sin°− °=

S S1 3= (1)

:0=↑Σ S S S1 3 260 60 0cos cos°+ °+ =

S S S1 1 212

12

0+ + =

S S1 2= − (2)

Zur richtigen Beurteilung des Verformungsverhaltens des Fachwerks bei gleichmäßiger Erwärmung können wir es in sechs gleichmäßige Systemteile aufteilen (Bild 1.8.2). Für die weitere Berechnung genügt es nun, nur noch ein Systemteil (Bild 1.8.2) zu betrachten.

2. Verformung:

l l b1 3 2= = (Es wird nur die halbe Stablänge je Ecke wirk-

sam! (Bild 1.8.2))

Δ Δ Δl l S lEA

lA1 3 1 1 1= = +α ϑ

Δ Δ Δl l S bEA

bA1 3

1

2 2= = +α ϑ (3)

Δ Δl S lEA

lI2 2 2 2= +α ϑ

Δ Δl S bEA

bI2 2= +α ϑ (4)

Bild 1.8.2: Verformungsverhalten bei der Erwärmung

1 3

2

60° 60°

K

αI

αAαA

b

Bild 1.8: Ebenes Fachwerk

60° 60°

K

S1

S2

S3

Bild 1.8.1: Freikörperbild des Knotens K (nach der Er- wärmung)

1 32

K

l2

l1 l3 l1= = 2

Systemteil

verformtes Fachwerknach der Erwärmung

b

b