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IV. BUCH: RAUM MIT
n-DIMENSIONEN
5a. Die EULERSCHE
POLYEDERFORMEL
89+48 =Titelbild: Gilt bei „Fake-Körpern“ auch die Eulerformel?
www.Udo-Rehle.de 2 25.03.2014
Eulerformel für Vielflächner (Polyeder)
E-K+F = 2
Dass die Eckenanzahl E minus Kantenzahl K plus Flächenzahl F der Oberfläche eines
konvexen Vielflächners (Polytops) stets zwei ergibt, wurde dem ertragreichsten
Mathematiker zu Ehren nach Euler benannt, der sie 1752 in zwei Abhandlungen
veröffentlichte1! Sie gilt auch für Polyeder, die es gar nicht gibt, wie die folgenden
Beispiele zeigen:
Abb. Eu1: Dieser konvexe Körper (zwei verschiedene Ansichten) ist ein Fake, - er wäre sonst der 93. Johnson-Körper –
und erfüllt mit 24-48+26 = 2 die Eulersche Polyederformel
1 Diese Formel ( �. N. Wildberger Video: Algebraische Geometrie 10) vermisst man sowohl bei Archimedes als auch bei Descates. Antoine-Jean L´Huilier (1750 -1840) arbeitete die meiste zeit seines Lebens an den Formeln Euler's . L`Huilier veröffentlichte 1813 als erster, dass Eulers Formeln für solche Körper falsch sind, die ein Loch in sich aufweisen (Geschlecht >0). L´Huilier zeigte, dass für Köper mit g Löchern E-K+F = 2 -2g gilt, was das erste bekannte Ergebnis topologischer Invarianten darstellt! Jonquières verallgemeinerte 1890 die Eulerformel auf nicht notwendig konvexe Polyeder und Poincaré auf beliebige Dimensionen. http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/history/Indexes/Geometry_Topology.html
www.Udo-Rehle.de 3 25.03.2014
Abb. Eu2: Links E=4+8+4=16, K=24, F=10 also E-K+F=2
Das blaue Deckquadrat ist in Wirklichkeit durch ein halbregelmäßiges Achteck zu
ersetzen und neben den gelben Fünfecken klafft eine mit nicht-gleichseitigen
Dreiecken zu füllende Lücke. Dann erhöht sich die Ecken- und Flächenzahl jeweils
um vier und die Kantenzahl um 8. Somit ist mit E – K + F = 20 – 32 + 14 = 2 der
Eulersche Polyedersatz erfüllt.
Ein anderes Beispiel wären - analog zum Dodekaeder - die zwei Sechsecke
umgebenden 12 Fünfecke, die auch der Eulerschen Formel E – K + F = 24-36+14 =
2 genügt.
Abb. Eu3: Beispiele weiterer Fake-Körper (links der Antifußball2 bei dem um ein Fünfeck Sechsecke angelagert werden)
2 Mit nur regelmäßigen Sechsecken und Fünfecken lassen sich “schöne” Fake-Körper bauen �Standardwerk von Robert Williams, >>The geometrical Foundation of natural structure<<; DOVER 1979
www.Udo-Rehle.de 4 25.03.2014
Der Eulersche Polyedersatz, nach dem E-K+F=2 sein muss, das gilt für alle konvexen Polyeder, sogar auch für Nicht-existierende!
Hier sieht man die Verbiegungen des linken obigen Fake-Körpers deutlich
www.Udo-Rehle.de 5 25.03.2014
Auch hier sieht man, dass die Dreiecke sich nicht zusammenfügen
www.Udo-Rehle.de 6 25.03.2014
Abb. Eu4: Auch für die allermeisten nicht-konvexen gilt die Eulerformel
Oben linkes Haus: 2x7=14 Ecken, 2x7 + 7 = 21 Kanten und
2 Siebenecke und 7 Rechtecke =9 Flächen: 14-21+9=2
Der Larskörper daneben
(unterer Körper ist ein Ikosaeder-Bruchstück, dreifach beschnitten)
hat ebenso viele Ecken wie Flächen, nämlich 19, und 36 Kanten:
19-36+19=2
Konvexe Körper auf konvexe Körper flächenabdeckend aufgesetzt (z.B. zwei Würfel
zu einem Quader) oder flächenabdeckend aushöhlend (z.B. auf ein Würfelquadrat
wird nicht eine quadratischen Pyramide aufgesetzt, sondern umgekehrt herum
gesetzt, mit der Spitze ins Würfelinnere: 9-16+9=2), ergeben wieder,- u. U.
nichtkonvexe Körper, die allesamt der Polyederformel genügen. Denn die Summe
zweier Eulerformeln ergibt zwar vier, aber da nur die beiden zur Deckung gebrachte
Flächen ja als solche verschwinden3, sind es zwei weniger, also 4-2=2 in der
Summe.
3 Es sei denn, die angrenzenden Flächen bilden keinen Winkel, so dass auch noch Kanten und Flächen verschwinden, wie bei zwei ausgesetzten Würfeln: Wegen der Konvexität gilt aber die Polyederformel!