Jürgen Roth Didaktik der Analysis - Uni Koblenz-Landau · Produkt- und Kettenregel der Differentialrechnung Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Globale Sätze der Differential-

1.1Jürgen Roth • Didaktik der Analysis

Didaktik der AnalysisModul 12a: Fachdidaktische Bereiche

Jürgen Roth


Inhalt

Didaktik der Analysis

0 Organisatorisches

1 Ziele und Inhalte

2 Folgen und Vollständigkeit in ℝ

3 Ableitungsbegriff

4 Integralbegriff


Kapitel 1: Ziele und InhalteDidaktik der Analysis

Borneleit, P., Danckwerts, R., Henn, H.-W., Weigand, H.-G. (2000): Expertise zum Mathematikunterricht in der gymnasialen Oberstufe

KMK (2012): Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife


Inhalt

Kapitel 1: Ziele und Inhalte

1.1 Grunderfahrungen

1.2 Leitideen, Mathematisierungsmuster und Strategien der Analysis

1.3 Grundvorstellungen

1.4 Expertise zum Mathematikunterricht in der gymnasialen Oberstufe

1.5 KMK Bildungsstandards für die Hochschulreife

1.6 Mindestanforderungskatalog Mathematik


1.1 GrunderfahrungenKapitel 1: Ziele und Inhalte


Bildungsziele des Mathematikunterrichts

Pragmatischer Aspekt

Erkenntnistheoretischer Aspekt

Kulturhistorischer Aspekt

Schöpferischer Aspekt


Winter: Grunderfahrungen

Mathematikunterricht sollte drei Grunderfahrungen ermöglichen:

(1) Erscheinungen der Welt um uns, die uns alle angehen oder angehen sollten, aus Natur, Gesellschaft und Kultur, in einer spezifischen Art wahrnehmen und verstehen.

(2) Mathematische Gegenstände und Sachverhalte, repräsentiert in Sprache, Symbolen, Bildern und Formeln, als geistige Schöpfungen, als eine deduktiv geordnete Welt eigener Art kennenlernen und begreifen.

(3) In der Auseinandersetzung mit Aufgaben Problemlösefähigkeiten erwerben, die über die Mathematik hinaus gehen (heuristische Fähigkeiten).

Winter : Mathematikunterricht und Allgemeinbildung. Mitteilungen der DMV, Nr. 2 (1996), S. 35-41

Im Internet: http://blk.mat.uni-bayreuth.de/material/db/46/muundallgemeinbildung.pdf


1.2 Leitideen, Mathematisierungs-muster & Strategien der Analysis



Leitideen in der Analysis

Reelle Zahlen und deren Vollständigkeit

Funktionen und Kurven

Konvergenz, Grenzwert, Stetigkeit

Ableitung und Differenzierbarkeit

Integral und Integrierbarkeit

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (HDI)

Globale Sätze der Differential- und Integralrechnung(Mittelwertsatz, Monotoniesatz, Schrankensatz)

Funktionalgleichungen

Tietze, Klika, Wolpers (Hrsg.) (2000): Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II, Band 1: Fachdidaktische Grundfragen –Didaktik der Analysis. Braunschweig/Wiesbaden: Vieweg, S. 184


Zentrale Mathematisierungs-muster in der Analysis

Funktionen & Funktionsgleichungen zur math. Darstellung nutzen NaturgesetzeModellbildungssituationen (Wirtschafts- und Sozialwissenschaften)normativen Verordnungen und Gesetze

Differenzen- und Differentialquotienten als Änderungsraten

Integral als Gesamteffekt von ÄnderungsratenMaß von Flächen und Volumina

Differential- und Differenzengleichung zur Beschreibung von

Dynamischen VorgängenEntwicklungsvorgängen

Tietze et al. (Hrsg.) (2000): MU in der Sek. II, Band 1: Fachdid. Grundfragen – Didaktik der Analysis. Braunschweig: Vieweg, S. 210f


Strategien in der Analysis

Approximation

Linearisierung, Linearität

Iteration und Rekursion

Zentrale Sätze des Kalküls (dienen als Strategien)Produkt- und Kettenregel der DifferentialrechnungHauptsatz der Differential- und IntegralrechnungGlobale Sätze der Differential- und Integralrechnung(Mittelwertsatz, Monotoniesatz, Schrankensatz)

Graphische Repräsentation (Geometrisierung)

Tietze, Klika, Wolpers (Hrsg.) (2000): Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II, Band 1: Fachdidaktische Grundfragen –Didaktik der Analysis. Braunschweig/Wiesbaden: Vieweg, S. 210-211


1.3 GrundvorstellungenKapitel 1: Ziele und Inhalte


Definition der Begriffe

Grundvor-stellungen

• Tragfähige mentale Modelle für einen Begriff oder ein Verfahren

Grund-wissen

• Für einen Inhaltsbereich grundlegende Fakten (Begriffsdefinitionen, Formeln, Sätze, …)

• Sollten auswendig gewusst werden

Grund-fertig-keiten

• Anwendung von Routinekalkülen

• Anwendung des Grundwissens in einer typischen Situation (geforderte Operation vorgeben)

Wichtige Grundlagen für das Verstehen


Kernpunkte des Grundvorstellungskonzepts

Grundvorstellungenrepräsentieren abstrakte Begriffe anschaulichermöglichen eine Verbindung zwischen abstrakter Mathematik und außer- sowie innermathematischen Anwendungszusammenhängen

Zwei Typen von GrundvorstellungenPrimäre Grundvorstellungen

haben ihre Wurzeln in gegenständlichen Handlungserfahrungen

Sekundäre Grundvorstellungenwerden mit mathematischen Darstellungsmitteln (Zahlenstrahl, Graph, …) repräsentiert

vom Hofe, R.; Hattermann, M. (2014): Zugänge zu negativen Zahlen. mathematik lehren 183, S. 2-7


Typen von Grundvorstellungen

Primäre Grundvorstellungen Wurzeln in gegenständlichen Handlungserfahrungen

Sekundäre GrundvorstellungenRepräsentiert mit mathematischen Darstellungsmitteln

vom Hofe, R.; Hattermann, M. (2014): Zugänge zu negativen Zahlen. mathematik lehren 183, S. 2-7

+ =

T H Z E z h t5 4 3 1 7 8 9

�10 �10 �10

∶10 ∶10 ∶10 ∶10 ∶10 ∶10

�10 �10 �10


Ziele beim Ausbilden von Grundvorstellungen

• Anknüpfen an bekannte Sachzusammenhänge oder Handlungsvorstellungen

Erfassen der Bedeutung des

Begriffs/Verfahrens

• Ermöglichen operativen Handelns auf der Vorstellungsebene

Aufbauenvon mentalen

Repräsentationen

• Erkennen der Struktur in Sachzusammenhängen

• Modellieren des Phänomens mit Hilfe der mathematischen Struktur

Anwenden in neuen

Situationen

Vgl. vom Hofe, R. (2003): Grundbildung durch Grundvorstellungen. Mathematik lehren 118, S. 4-8


Grundvorstellungen bei kognitiven Aktivitäten

Vom Hofe, R. (2003): Grundbildung durch Grundvorstellungen. Mathematik lehren 118, S. 4-8

Grundvor-stellung

Grundvor-stellung


Kompetenz Wissen und Können, sowie die Fähigkeit und Bereitschaft diese flexibel und erfolgreich einzusetzen.• Inhaltsbezogene

Kompetenzen• Prozess-

bezogene Kompetenzen

Begriffsklärungen

Begriffe rund ums

Verständnis

Grund-vorstellung

Funda-mentale

Idee

Grund-wissen

Grund-fertigkeit

Kompetenz

Fundamentale Ideen• Weite

(logische Allgemeinheit)• Fülle

(vielfältige Anwendbarkeit)• Sinn

(Verankerung im Alltagsleben)

Grundwissen• für einen Inhaltsbereich

grundlegende Fakten (Begriffe, Definitionen, Formeln, Sätze, …)

• sollte auswendig gewusst werden

Grundfertigkeiten• Anwendung von

Routinekalkülen• Anwendung des

Grundwissens in einer typischen Situation (geforderte Operation vorgegeben)

GrundvorstellungTragfähiges mentales Modell für einen Begriff oder ein Verfahren


Wichtige Grundvorstellungen in der Analysis

Ableitung alslokale Änderungsratelokale lineare ApproximationTangentensteigung (geometrisch gedeutet)

Integral alsRekonstruktion der Wirkung bzw. des GesamteffektsMittelungFläche unter der Kurve (geometrisch gedeutet)

Extrem- und Wendestellen alsmarkante Punkte in funktionalen Zusammenhängen, bei denen sich Änderungsverhalten ändertbegriffliche Werkzeuge zur Lösung von Optimierungsproblemen

Hußmann, Prediger (2003): Vorstellungsorientierte Analysis – auch in Klassenarbeiten und zentralen Prüfungen. PM 52(31), S. 35-38


VorstellungsorientierteFähigkeiten

Fähigkeiten (1)

absolute und relative Änderungsmaße unterscheiden und angemessen verwenden können

Zusammenhang zwischen mittleren (Differenzenquotienten) und momentanen Änderungsraten (Differenzialquotienten)kennen, auf der Grundlage eines intuitiven Grenzwertbegriffes beschreiben und in verschiedenen Situationen anwenden können

Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitungsfunktion (bzw. Funktion und Stammfunktion) in deren grafischer Darstellung erkennen und beschreiben können

Unterschied zwischen Bestand und Änderung in Anwendungs-situationen erklären und zur Problembearbeitung nutzen können



Bestand und Änderung

Bestandsgröße Zuflüsse Abflüsse

Anzahl der Studierenden einer Universität Immatrikulationen Exmatrikulationen, Aus-

scheiden aus der Universität

Benzinmenge im Tank Tanken an der Tankstelle Benzinverbrauch, Verdunstung

Kontostand Zubuchungen Abbuchungen

Anzahl der Gäste eines Hotels ankommende Gäste abreisende Gäste

Staatsverschuldung Staatseinnahmen Staatsausgaben


Bestand und Änderung

05

10152025303540

18. Dez. 25. Dez. 1. Jan. 8. Jan.

Anza

hl A

nkün

fte /

Abre

isen

pro

Tag

Ankünfte und Abreisen im Alpenhotel Ankünfte (Anzahl am Tag) Abreisen (Anzahl am Tag)

Ossimitz (2003): Zeitliche Dynamik verstehen. Mathematik lehren 120, S. 60-63

Wann waren die meisten Gäste im Hotel?

www.menti.com

https://www.mentimeter.com/s/43c37c2e801662f53de0354e4a961f12/1a245295d5bd


Vorstellungsorientierte Fähigkeiten

Fähigkeiten (2)

Eigenschaften von funktionalen Zusammenhängen mit Hilfe der Ableitung(sfunktion) beschreiben können: Monotonie, lokale Extrema, Links- und Rechtskrümmung, Wendestellen

bestimmtes Integral in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch Integrale beschreiben können

Begriff des bestimmten Integrals als Grenzwert einer Summe von Produkten deuten und beschreiben können

Unterschied zwischen Änderungsfunktion und Wirkung bzw. Gesamteffekt erklären und zur Problembearbeitung nutzen können



Aufgabenformate zum Prüfen inhaltlicher Vorstellungen








Aufgabe 1: Rechenverfahren erklärenUm eine Maximalstelle zu berechnen, sind zwei Schritte notwendig:

(1) Man bestimmt dieNullstelle 𝑥𝑥0 der Ableitung und

(2) Überprüft, ob𝑓𝑓′′ 𝑥𝑥0 < 0 ist.

Erläutern Sie anhand der Graphen, warum man mit den Schritten (1) und (2) eine Maximalstelle erhält.




Dangl u. a. (2009): Standardisierte schriftliche Reifeprüfung aus Mathematik“– Sicherung von mathematischen Grundkompetenzen

Aufgabe 2: HefewachstumIn der Grafik ist das Wachstum einer Hefekultur dargestellt (Zeitangabe in Stunden; Hefemasse in mg).a) Schätzen Sie die

ungefähre Lage des Wendepunkts ab und zeichnen Sie ihn in der Grafik ein.

b) Schätzen Sie ab, wie groß die Wachstumsgeschwindigkeitan der Wendestelle ist.

c) Deuten Sie den Wendepunkt im Hinblick auf die Wachstumsgeschwindigkeit.

t in Std.

Masse in mg




Dangl u. a. (2009): Standardisierte schriftliche Reifeprüfung aus Mathematik“– Sicherung von mathematischen Grundkompetenzen

Aufgabe 3: EinkommenssteuerEs sei 𝑠𝑠: 𝑒𝑒 ↦ 𝑠𝑠 𝑒𝑒 die Funktion, diejedem Einkommen 𝑒𝑒 die zugehörige Einkommenssteuer 𝑠𝑠 zuordnet. 𝑒𝑒1 ist das Einkommen von Frau Meier (siehe Grafik, alles in Euro). a) Interpretieren Sie die Terme

𝑒𝑒1 − 𝑠𝑠 𝑒𝑒1 und 𝑠𝑠 𝑒𝑒1𝑒𝑒1

.

b) 𝑠𝑠′ 𝑒𝑒1 wird als Grenzsteuersatz bezeichnet. Erklären Sie diesen Begriff.c) Frau Meier erhält eine Gehaltserhöhung um ℎ Euro.

Interpretieren Sie den Ausdruck 𝑠𝑠 𝑒𝑒1+ℎ −𝑠𝑠 𝑒𝑒1ℎ

.

d) Interpretieren Sie die Ungleichung 𝑠𝑠 𝑒𝑒1+ℎ −𝑠𝑠 𝑒𝑒1ℎ

≥ 𝑠𝑠 𝑒𝑒1𝑒𝑒1

.

e) In den meisten Steuersystemen gilt für Einkommen über einer bestimmetenEinkommensgrenze die Beziehung 𝑠𝑠′′ 𝑒𝑒 = 0. Deuten Sie diese Beziehung im Sachzusammenhang.

𝑠𝑠

𝑒𝑒𝑒𝑒1


1.4 Expertise zum MU in der gymnasialen Oberstufe



Leitlinien

(L1) Grund - und Leistungskurse bedürfen gleichermaßen aller drei Grunderfahrungen. Leistungskurse dürfen sich nicht auf die zweite, Grundkurse nicht auf die erste Grunderfahrung beschränken.

(L2) Jeder Lernbereich (Analysis, Analytische Geometrie, Stochastik) muss seine verbindlichen Inhalte als exemplarischen Beitrag zur Integration dieser drei Grunderfahrungen legitimieren.

(L3) Die Betonung heuristischer Denk- und Arbeitsweisen relativiert die Bedeutung der formalen Fachsprache als Träger mathematischer Kommunikation. Zur Stärkung der natürlichen Sprache im Mathe-matikunterricht gehört die Philosophie von der „Wiederentdeckung des Inhaltlichen in einer neuen Unterrichtskultur“.

Borneleit, Danckwerts, Henn, Weigand (2001): Expertise zum MU in der gymnasialen Oberstufe. JMD 22(1), S. 73-90


Orientierung an fundamentalen Ideen

Fundamentale IdeenMessen

funktionaler Zusammenhang

Algorithmus

Iteration

Änderungsraten

Optimieren

räumliches Strukturieren

Koordinatisieren

Symmetrie

Zufall und Wahrscheinlichkeit

Grundvorstellungen aufbauenkalkülorientierte Teile in Zeitaufwand und Wertigkeit zu Gunsten der inhaltlich orientierten Teile reduziert

Begriffsbildung/Begründung: stärker inhaltlich argumentiert (nicht ausschließlich formal)

Formale Ergebnisse immer auf Sinnhaltigkeit prüfen

Vernetzenvertikalhorizontal

Borneleit, Danckwerts, Henn, Weigand (2001): Expertise zum MU in der gymnasialen Oberstufe. JMD 22(1), S. 73-90


Grundvorstellung versus Kalkülorientierung

Idee und Bedeutung Kalkülhaftes Arbeiten

Ableitung als Idee des Übergangs von der mittleren zur lokalen Änderungsrate

Bestimmen von Tangentensteigungen und Ableitungsfunktionen nach syntaktischen Regeln

Integral als Idee der Rekonstruktion ei-ner Funktion aus ihren Änderungsraten

Integrieren als Bestimmen von Flächen-inhalten und Stammfunktionen nach syntaktischen Regeln

Idee der Approximation von Nullstellen durch das Newtonverfahren (oder ein anderes Iterationsverfahren) sowie die Analyse des Konvergenzverhaltens

Newtonverfahrens mit Taschenrechner oder Computer ausführen und Abbruch-bedingungen „wenn sich die dritte Nachkommastelle nicht mehr ändert“

"Kurvendiskussion" als Analyse der Eigenschaften von Funktionen

"Kurvendiskussion" als Anwendung von Kalkülen auf Funktionen & Ableitungen

Geometrische Gebilde mit Hilfe analytischer Methoden darstellen

Formales Lösen vonGleichungssystemen

Anwendung wahrscheinlichkeitstheo-retischer Begriffe auf Alltagssituationen

Algorithmische Behandlung von Aufgaben in Urnenmodellen.

Borneleit et al. (2001): Expertise zum MU in der gymnasialen Oberstufe. JMD 22(1), S. 73-90


1.5 KMK Bildungsstandards für die Hochschulreife



KMK: Bildungsstandards: Kompetenzbereiche

Allgemeine mathematische Kompetenzen[K1] Mathematisch

argumentieren[K2] Probleme mathematisch

lösen[K3] Mathematisch modellieren[K4] Mathematische

Darstellungen verwenden [K5] Mit symbolischen,

formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen

[K6] Mathematisch kommunizieren

Leitideen

[L1] Algorithmus und Zahl[L2] Messen[L3] Raum und Form[L4] Funktionaler

Zusammenhang[L5] Daten und Zufall

Kultusministerkonferenz: Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife. 18.10.2012

http://www.kmk.org/fileadmin/veroeffentlichungen_beschluesse/2012/2012_10_18-Bildungsstandards-Mathe-Abi.pdf


KMK: Bildungsstandards: Anforderungsbereiche

Kultusministerkonferenz: Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife.

18.10.2012



KMK: Bildungsstandards Anforderungsniveaus

GrundlegendesAnforderungsniveau(Grundkurs)

Erhöhtes Anforderungsniveau(Leistungskurs)

Leitidee Umfang mathem. Inhalte• Grundkenntnisse • in Leitideen ausgewiesen

Umfang mathem. Inhalte• größer• in Leitideen ausgewiesen• erhöhter Komplexitäts-,

Vertiefungs-, Präzisierungs-und Formalisierungsgrad.

Anforderungs-bereiche bzgl. allgemeiner mathematischer Kompetenzen

Prüfungsleistungen• Schwerpunkt im

Anforderungsbereich II• Anforderungsbereiche I und

III berücksichtigen• Anforderungsbereiche I und

II stärker akzentuieren

Prüfungsleistungen• Schwerpunkt im

Anforderungsbereich II• Anforderungsbereiche I und

III berücksichtigen• Anforderungsbereiche II

und III stärker akzentuieren




KMK: Bildungsstandards: Digitale Mathematikwerkzeuge

Einsatz digitaler MathematikwerkzeugeDie Entwicklung mathematischer Kompetenzen wird durch den sinnvollen Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge unterstützt. Das Potenzial dieser Werkzeuge entfaltet sich im Mathematikunterricht

beim Entdecken mathematischer Zusammenhänge, insbesondere durch interaktive Erkundungen beim Modellieren und Problemlösen,durch Verständnisförderung für mathematische Zusammenhänge, nicht zuletzt mittels vielfältiger Darstellungsmöglichkeiten,mit der Reduktion schematischer Abläufe und der Verarbeitung größerer Datenmengen,durch die Unterstützung individueller Präferenzen und Zugänge beim Bearbeiten von Aufgaben einschließlich der reflektierten Nutzung von Kontrollmöglichkeiten.

Einer durchgängigen Verwendung digitaler Mathematikwerkzeuge im Unterricht folgt dann auch deren Einsatz in der Prüfung.




KMK: Bildungsstandards: Allg. mathem. Kompetenzen

Mathematisch argumentieren (K1)Entwickeln eigenständiger, situationsangemessener mathematischer Argumentationen und Vermutungen Verstehen und Bewerten gegebener mathematischer AussagenSpektrum:

einfache Plausibilitätsargumente inhaltlich-anschauliche Begründungenformales Beweisen

Typische Formulierungen:„Begründen Sie!“„Widerlegen Sie!“„Gibt es?“„Gilt das immer?“





Mathematisch argumentieren (K1)Anforderungsbereich I: Die Schüler/innen können …

Routineargumentationen (bekannte Sätze, Verfahren, Herleitungen, usw.) wiedergeben und anwendeneinfache rechnerische Begründungen geben oder einfache logische Schlussfolgerungen ziehenArgumentationen auf der Basis von Alltagswissen führen

Anforderungsbereich II: Die Schüler/innen können …überschaubare mehrschrittige Argumentationen und logische Schlüsse nachvollziehen, erläutern oder entwickeln

Anforderungsbereich III: Die Schüler/innen können …Beweise und anspruchsvolle Argumentationen nutzen, erläutern oder entwickelnverschiedene Argumente nach Kriterien wie Reichweite und Schlüssigkeit bewerten





Probleme mathematisch lösen (K2)Erkennen und Formulieren mathematischer ProblemeAuswählen geeigneter LösungsstrategienFinden und das Ausführen geeigneter LösungswegeSpektrum:

Anwendung bekannter StrategienKonstruktion komplexer und neuartiger Strategien

Heuristische Prinzipien„Skizze anfertigen“„systematisch probieren“ „zerlegen und ergänzen“ „Symmetrien verwenden“ „Extremalprinzip“ „Invarianten finden“„vorwärts und rückwärts arbeiten“





Probleme mathematisch lösen (K2)Anforderungsbereich I: Die Schüler/innen können …

Lösungsweg einer einfachen mathematischen Aufgabe durch Identifikation und Auswahl einer naheliegenden Strategie finden(z. B. Analogiebetrachtung)

Anforderungsbereich II: Die Schüler/innen können …Lösungsweg zu einer Problemstellung finden(z. B. durch mehrschrittiges, strategiegestütztes Vorgehen)

Anforderungsbereich III: Die Schüler/innen können …Strategie zur Lösung eines komplexeren Problems oder zur Beurteilung verschiedener Lösungswege entwickeln und anwenden(z. B. Verallgemeinerung einer Schlussfolgerung, durch Anwenden mehrerer Heurismen)





Mathematisch modellieren (K3)Wechsel zwischen Realsituationen und mathematischen Begriffen, Resultaten oder Methoden

Konstruieren passender mathematischer ModelleVerstehen oder Bewerten vorgegebener Modelle

Typische Teilschritte des ModellierensStrukturieren und Vereinfachen gegebener Realsituationen Übersetzen realer Gegebenheiten in mathematische Modelle Interpretieren mathematischer Ergebnisse in Bezug auf Realsituationen Überprüfen von Ergebnissen im Hinblick auf Stimmigkeit und Angemessenheit bezogen auf die Realsituation

Spektrum:Standardmodelle (z. B. bei linearen Zusammenhängen) Komplexe Modellierungen





Mathematisch modellieren (K3)Anforderungsbereich I: Die Schüler/innen können …

vertraute und direkt erkennbare Modelle anwendenRealsituation direkt in ein mathematisches Modell überführenmathematisches Resultat auf eine gegebene Realsituation übertragen

Anforderungsbereich II: Die Schüler/innen können …mehrschrittige Modellierungen mit wenigen und klar formulierten Einschränkungen vornehmenErgebnisse einer solchen Modellierung interpretierenmathematisches Modell an veränderte Umstände anpassen

Anforderungsbereich III: Die Schüler/innen können …komplexe Realsituation modellieren, wobei Variablen und Bedingungen festgelegt werden müssen mathematische Modelle im Kontext einer Realsituation überprüfen, vergleichen und bewerten





Mathematische Darstellungen verwenden (K4)Auswählen geeigneter DarstellungsformenErzeugen mathematischer DarstellungenUmgehen mit gegebenen Darstellungen Typische mathematische Darstellungen

Diagramme GraphenTabellenFormeln

Spektrum:Standarddarstellungen (z. B. Wertetabellen) eigenen Darstellungen, die dem Strukturieren und Dokumentieren individueller Überlegungen dienen und die Argumentation und das Problemlösen unterstützen





Mathematische Darstellungen verwenden (K4)Anforderungsbereich I: Die Schüler/innen können …

Standarddarstellungen von mathematischen Objekten und Situationen anfertigen und nutzen

Anforderungsbereich II: Die Schüler/innen können …gegebene Darstellungen verständig interpretieren oder verändernzwischen verschiedenen Darstellungen wechseln

Anforderungsbereich III: Die Schüler/innen können …mit unvertrauten Darstellungen und Darstellungsformen sachgerecht und verständig umgeheneigene Darstellungen problemadäquat entwickelnverschiedene Darstellungen und Darstellungsformen zweckgerichtet beurteilen





Mit Mathematik symbolisch/formal/technisch umgehen (K5)Ausführen von Operationen mit mathematischen Objekten (Z. B. Zahlen, Größen, Variablen, Terme, Gleichungen, Funktionen, Vektoren, geometrische Objekte)Spektrum:

einfache und überschaubare Routineverfahren komplexen Verfahren einschließlich deren reflektierender Bewertung

Weitere Aspekte dieser KompetenzFaktenwissen und grundlegendes Regelwissen für ein zielgerichtetes und effizientes Bearbeiten von mathematischen Aufgabenstellungen, auch mit eingeführten Hilfsmitteln und digitalen Mathematikwerkzeugen





Mit Mathematik symbolisch/formal/technisch umgehen (K5)Anforderungsbereich I: Die Schüler/innen können …

elementare Lösungsverfahren verwendenFormeln und Symbole anwendenmathematische Hilfsmittel und digitale Mathematikwerkzeuge nutzen

Anforderungsbereich II: Die Schüler/innen können …formale mathematische Verfahren anwendenmit mathematischen Objekten im Kontext umgehenmathematische Hilfsmittel und digitale Mathematikwerkzeuge je nach Situation und Zweck gezielt auswählen und effizient einsetzen

Anforderungsbereich III: Die Schüler/innen können …komplexe Verfahren durchführen verschiedene Lösungs- und Kontrollverfahren bewerten Möglichkeiten und Grenzen mathematischer Verfahren, Hilfsmittel und digitaler Mathematikwerkzeuge reflektieren





Mathematisch kommunizieren (K6)Entnehmen von Informationen aus schriftlichen Texten, mündlichen Äußerungen oder sonstigen Quellen Darlegen von Überlegungen und Resultaten unter Verwendung einer angemessenen FachspracheSpektrum:

direkten Informationsentnahme aus Texten des Alltagsgebrauchs bzw. vom Aufschreiben einfacher Lösungswege sinnentnehmenden Erfassen fachsprachlicher Texte bzw. zur strukturierten Darlegung oder Präsentation eigener Überlegungen

Sprachliche Anforderungen spielen hier eine besondere Rolle





Mathematisch kommunizieren (K6)Anforderungsbereich I: Die Schüler/innen können …

einfache mathematische Sachverhalte darlegenInformationen aus kurzen (mathematischem) Texten identifizieren und auswählen (Informationsanordnung ≅ mathem. Bearbeitungsschritte)

Anforderungsbereich II: Die Schüler/innen können …mehrschrittige Lösungswege und Ergebnisse verständlich darlegen mathematische Äußerungen (auch fehlerhafte) interpretierenmathem. Informationen aus Texten identifizieren und auswählen(Informationsanordnung ≠ mathematische Bearbeitungsschritte)

Anforderungsbereich III: Die Schüler/innen können …komplexe mathematische Lösung oder Argumentation kohärent und vollständig darlegen oder präsentieren mathematische Fachtexte sinnentnehmend erfassen mündliche & schriftliche mathematische Äußerungen miteinander vergleichen, bewerten und ggf. korrigieren




KMK: Bildungsstandards: Leitideen

Mathematische LeitideenUnter „Inhalten“ werden insbesondere auch adäquate Grundvorstellung-en verstanden, die ein Verständnis dieser Inhalte erst konstituieren. Die inhaltsbezogenen Kompetenzen werden jeweils übergreifenden Leitideen zugeordnet, die nicht auf bestimmte klassische mathematische Themenbereiche (Analysis, Lineare Algebra & Analytische Geometrie, Stochastik) begrenzt sind. Die Leitideen tragen damit zur Vernetzung dieser traditionellen klassischen Sachgebiete bei. Bei allen Leitideen wird zuerst ein inhaltlicher Kernbereich beschrieben, der das grundlegende Anforderungsniveau charakterisiert. Danach werden die zusätzlichen Inhalte für das erhöhte Anforderungsniveau aufgeführt. Innerhalb der Leitideen können die Länder den Schwerpunkt alternativ auf die Beschreibung mathematischer Prozesse durch Matrizen (Alternative A1) oder die vektorielle Analytische Geometrie (Alternative A2) setzen. Ebenso können die Länder den Schwerpunkt auf die Schätzung von Parametern (B1) oder auf die Testung von Hypothesen (B2) setzen.





Algorithmus und Zahl (L1)verallgemeinert den Zahlbegriff der Sekundarstufe I zu Tupelnund Matrizen einschließlich zugehöriger Operationen erweitert die Vorstellungen von den reellen Zahlen durch Approximationen mittels infinitesimaler Methoden Kenntnis, Verstehen und Anwenden mathematischer Verfahren, die automatisierbar und einer Rechnernutzung zugänglich sind Sachgebiete der Sekundarstufe II mit Bezügen zur Leitidee

AnalysisLineare Algebra





Algorithmus und Zahl (L1)Grundlegendes und erhöhtes Anforderungsniveau:Die Schüler/innen können …

geeignete Verfahren zur Lösung von Gleichungen und Gleichungssystemen auswählenein algorithmisches Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme erläutern und es anwendenGrenzwerte auf der Grundlage eines propädeutischen Grenzwertbegriffs insbesondere bei der Bestimmung von Ableitung und Integral nutzeneinfache Sachverhalte mit Tupeln oder Matrizen beschreibenmathematische Prozesse durch Matrizen unter Nutzung von Matrizenmultiplikation und inverser Matrizen beschreiben (A1)

Erhöhtes Anforderungsniveau: Die Schüler/innen können …Potenzen von Matrizen bei mehrstufigen Prozessen nutzen (A1)Grenzmatrizen sowie Fixvektoren interpretieren (A1)





Messen (L2)erweitert das Bestimmen und Deuten von Größen aus der Sekundarstufe I um infinitesimale, numerische und analytisch-geometrische Methoden

funktionale Größen(Änderungsraten und (re-)konstruierte Bestände) Größen im Koordinatensystem(Winkel, Längen, Flächeninhalte und Volumina)stochastische Kenngrößen(Ergebnisse von Messprozessen im weiteren Sinne)

Sachgebiete der Sekundarstufe II mit Bezügen zur LeitideeAnalysisAnalytische GeometrieStochastik





Messen (L2)Grundlegendes und erhöhtes Anforderungsniveau:Die Schüler/innen können …

Streckenlängen und Winkelgrößen im Raum auch mithilfe des Skalarprodukts bestimmen Sekanten- & Tangentensteigungen an Funktionsgraphen bestimmen Änderungsraten berechnen und deuten Inhalte von durch Funktionsgraphen begrenzten Flächen bestimmen Bestände aus Änderungsraten und Anfangsbestand berechnen Lage- und Streumaße einer Stichprobe bestimmen und deuten Erwartungswert und Standardabweichung diskreter Zufallsgrößen bestimmen und deuten

Erhöhtes Anforderungsniveau: Die Schüler/innen können …Abstände zwischen Punkten, Geraden und Ebenen bestimmen (A2) Volumen von Körpern bestimmen, die durch Rotation um die Abszissenachse entstehen





Raum und Form (L3)Weiterentwicklung des räumlichen Vorstellungsvermögens aus der Sekundarstufe I Umgang mit Objekten im Raum

Eigenschaften und Beziehungen dieser ObjekteDarstellungen mit geeigneten Hilfsmitteln einschließlich Geometriesoftware

Sachgebiete der Sekundarstufe II mit Bezügen zur LeitideeAnalytische Geometrie





Raum und Form (L3)Grundlegendes und erhöhtes Anforderungsniveau:Die Schüler/innen können …

geometrische Sachverhalte in Ebene und Raum koordinatisierenelementare Operationen mit geometrischen Vektoren ausführen und Vektoren auf Kollinearität untersuchendas Skalarprodukt geometrisch deutenVektoren beim Arbeiten mit geradlinig bzw. ebenflächig begrenzten geometrischen Objekten anwenden (A2)Geraden und Ebenen analytisch beschreiben und die Lagebeziehungen von Geraden untersuchen (A2)

Erhöhtes Anforderungsniveau: Die Schüler/innen können …die Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen untersuchen (A2)





Funktionaler Zusammenhang (L4)funktionalen Vorstellungen aus der Sekundarstufe I mit Begriffen und Verfahren der elementaren Analysis zu vertiefen Funktionsbegriff durch vielfältige Beispiele zu erweitern(auch in stochastischen Kontexten)funktionale Beziehungen

zwischen Zahlen bzw. Größen Darstellungen und Eigenschaften Nutzung von infinitesimalen Methoden und geeigneter Software

Sachgebiete der Sekundarstufe II mit Bezügen zur LeitideeAnalysisStochastik





Funktionaler Zusammenhang (L4)Grundlegendes und erhöhtes Anforderungsniveau:Die Schüler/innen können … (1. Teil)

Funktionsklassen aus der Sekundarstufe I zur Beschreibung und Untersuchung quantifizierbarer Zusammenhänge nutzen in einfachen Fällen Verknüpfungen und Verkettungen von Funktionen zur Beschreibung quantifizierbarer Zusammenhänge nutzen Ableitung insbesondere als lokale Änderungsrate deuten Änderungsraten funktional beschreiben (Ableitungsfunktion) und interpretieren Funktionen der Sek. I ableiten (auch mit Faktor- und Summenregel)Produktregel zum Ableiten von Funktionen verwenden Ableitung zur Bestimmung von Monotonie und Extrema nutzen Ableitungsgraphen aus Funktionsgraphen entwickeln und umgekehrt





Funktionaler Zusammenhang (L4)Grundlegendes und erhöhtes Anforderungsniveau:Die Schüler/innen können … (2. Teil)

bestimmtes Integral deuten ((re-)konstruierter Bestand) geometrisch-anschaulich den Hauptsatz als Beziehung zwischen Ableitungs- und Integralbegriff begründen Funktionen mittels Stammfunktionen integrieren Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen zur Beschreibung stochastischer Situationen nutzen

Erhöhtes Anforderungsniveau: Die Schüler/innen können …Ableitung mithilfe der Approximation durch lineare Funktionen deuten Kettenregel zum Ableiten von Funktionen verwenden

ln-Funktion als Stammfunktion von 𝑥𝑥 ↦ 1𝑥𝑥

und als Umkehrfunktion der 𝑒𝑒-Funktion nutzen





Daten und Zufall (L5)vernetzt Begriffe und Methoden zur Aufbereitung und Interpretation von statistischen Daten mit solchen zur Beschreibung und Modellierung von zufallsabhängigen Situationen Ausweitung und Vertiefung stochastischer Vorstellungen der Sekundarstufe I

Umgang mit mehrstufigen ZufallsexperimentenUntersuchung und Nutzung von Verteilungen Einblick in Methoden der beurteilenden Statistik (mithilfe von Simulationen und unter Verwendung einschlägiger Software )

Sachgebiete der Sekundarstufe II mit Bezügen zur LeitideeStochastik





Daten und Zufall (L5)Grundlegendes und erhöhtes Anforderungsniveau:Die Schüler/innen können …

exemplarisch statistische Erhebungen planen und beurteilen Problemstellungen im Kontext bedingter Wahrscheinlichkeiten mithilfe von Baumdiagrammen oder Vierfeldertafeln untersuchen und lösen Teilvorgänge mehrstufiger Zufallsexperimente auf stochastische Unabhängigkeit untersuchen (einfache Beispiele)Binomialverteilung und ihre Kenngrößen nutzen Simulationen zur Untersuchung stochastischer Situationen verwenden von Stichproben auf die Gesamtheit schließen (bei einfachen Fällen)





Daten und Zufall (L5)Erhöhtes Anforderungsniveau: Die Schüler/innen können …

Binomialverteilte Zufallsgrößen: Aussagen über unbekannte Wahrscheinlichkeit, Unsicherheit und Genauigkeit der Aussagen begründen (B1)Hypothesentests interpretieren und die Unsicherheit und Genauigkeit der Ergebnisse begründen (B2) exemplarisch diskrete und stetige Zufallsgrößen unterscheiden und die „Glockenform“ als Grundvorstellung von normalverteilten Zufallsgrößen nutzen stochastische Situationen untersuchen, die zu annähernd normalverteilten Zufallsgrößen führen




1.6 Mindestanforderungskatalog Mathematik



Mindestanforderungskatalog Mathematik

https://lehrerfortbildung-bw.de/bs/bsa/bk/bk_mathe/cosh_neu/katalog/makv2.pdf

Ergebnis einer Fachtagung am 5. Juli 2012 in

Esslingen


Grundkompetenzen


Grundkompetenzen


Grundkompetenzen


Grundkompetenzen


Grundkompetenzen/Grundwissen











Documents

Jürgen Roth Didaktik der Analysis - Uni Koblenz-Landau · Produkt- und Kettenregel der Differentialrechnung Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Globale Sätze der Differential-