Kapitel 9

Rüdiger Schmidt (CERN) – Darmstadt TU - 2010, version 2.3

Betafunktion und optische

Parameter

2

Was bisher geschah....

Fokussierung damit Teilchen nicht auseinanderlaufen und gegen die Vakuumkammer laufen

Geometrische (schwache) Fokussierung nur in horizontaler Ebene - reicht nicht aus

Daher: Fokussierung mit Quadrupolen (Linsen)• Magnetische Quadrupole fokussieren nur in einer Ebene

• Zwei Quadrupole fuer Fokussierung in beiden Ebenen

Beschreibung der Teilchenbewegung mit Transformationsmatrizen

Differentialgleichung für Teilchenbewegung in einem Quadrupol – ähnliche Resultate wie beim harmonischer Oszillator

F0D0 Zelle (QF, Drift, QD, Drift, QF)

4

Vor-und Nachteile der Bahnberechnung mit Matrizen

• Für jedes Teilchen lässt sich die Bahn mit Matrizen berechnen• Diese Methode ist notwendig, und mit Hilfe von Computerprogrammen

prinzipiell "relativ" einfach• Für viele Fragenstellungen ist diese Methode zu komplex

• Was passiert, wenn ein Teilchen im Magneten 122 um einen Winkel von 0.01 mrad abgelenkt wird?

• Über die Bewegung eines Vielteilchensystems lässt sich nur wenig aussagen

Daher wird ein neuer Formalismus eingeführt:

Betatronfunktion und Betatronschwingung

5

Übersicht

Differentialgleichung für die Teilchenbewegung II

Betafunktion

Betatronschwingung

Phasenellipse und Twiss Parameter

Strahlgrösse

Berechnung der Betafunktion

Arbeitspunkt

Closed Orbit

Dispersion

Momentum Compaction

6

Differentialgleichung im Beschleuniger

0k : sonst

0k : Quadrupol nderFokussiere

0k : Quadrupol renderDefokussie

konstantdx

sdpe

kmit0sxk(s)' x' z0

:

)()(

B

• Es werden nur Quadrupolfelder betrachtet• Das Quadrupolfeld in einer Ebene ist in der Regel stückweise konstant

(entweder 0, oder konstant mit einem Wert k)

7

Differentialgleichung der Teilchenbewegung

pp

s1

sxsks

1(s)'x'

2

)(

)()()(

0sxsk(s)'x'

: Typ schenHill' vom galgleichunDifferenti die gilt etAblenkmagn ohne

Strecken für und ichung,Impulsabwe ohne Teilchen Für

)()(

0uu2AuskuuA

:folgt Einsetzen mit

su(s)Ax(s)

: atzLösungsans

2

)sin('''')cos()('''

))(cos(

8

Lösungsweg

0usku1

-'u'

: weiterman erhält Damit

du

1(s)

:man erhält nIntegratio Durch

0uu

2

0usk'u -'u'

:folgt daher sein, richtig 0A für und Phasen alle für muss Gleichung Diese

3

s

02

2

)(

)(

'

'''

)(

9

Betafunktion und Betatronschwingungen

d1

(s) :aseBetatronph die für gilt Ausserdem

s(s)x(s)

:hnTeilchenba die für sich ergibt

Teilchens einzelnen eines Emittanz der und

su:(s)

:Funktion- der Einführung Mit

s

0

i

i

2

)(

))(cos(

)(

Es ist noch keine Aussage gemacht worden, wie man Betatronfunktion und Betatronphase ausrechnet

10

)cos(

)sin(

)cos(

)(

))(cos(

)(

saa(s)'z'

saa(s)z'

saz(s)

:folgt sas und (s) : Ansatzdem Mit

s(s)z(s) : AnsatzGenereller

0szk(s)'z'

:betrachtet Ebene vertikalen der in Bewegung

die nur wirdes ,k konstantk(s) : Annahme

2

0i

0i

0i

0

i

0

0

Zur Illustration ein Beispiel: „kontinuierliches“ Quadrupolfeld

z

)cos(:

))(cos(

skk

1z(s)ergibt

s(s)z(s)

:in Einsetzen

0

0

i

i

0

s

0

0

00

2

0i0

2

0i

k1

ss

1(s)d

1(s)

sks

ka 0ka

:sich ergibt daraus

0saksaa

:folgt galgleichunDifferenti die in Einsetzten mit

)()(

')(

)(

)cos()cos(

12

Betafunktion für die Teilchenbewegung im "kontinuierlichen" Quadrupolfeld (Bewegung nur in einer Ebene stabil!)

Ein Beschleuniger für Elektronen mit dem Impuls p0 1.6GeV

c mit einer

Vakuumkammer mit dem Radius dr 0.05m , und einem Magnetfeld an der

Eisenoberfläche von Bx 0.1T

Quadrupolstärke k0

e0

p0

Bx

dr => k0 0.375

1

m2

Die Ablage eines Teilchens ist durch: z s( )= i1

k0 cos k0 s i gegeben

Betafunktion: => z1

k0 => z 1.634 m

Emittanz des Teilchen : i 10 6 m und Phase des Teilchen: i2

0 4 8 12 16 20 240.002

0.001

0

0.001

0.002

z pos( )

pos

Annahme: Der Beschleuniger hat eine Länge von Lacc 24m

Die Länge für eine volle Schwingung ist : s22k0

=> s2 10.264 m

Die Anzahl der Schwingungen pro Umlauf ist : Qz

Lacc

s2 =

0

Lacc

s1

s( )

d =>

Qz 2.338

Die maximale Teilchenamplitude ist: zs24

1.278 10 3 m

14

Vergleich mit dem harmonischen Oszillator

x0

x

F(x)

Bei gegebener Energie des Teilchensist die maximale Auslenkung umgekehrtproportional zur Rückstellkraft (Federkonstante).

Je grösser die Kraft, desto kleiner die Auslenkung

15

Betafunktion und Betatronschwingungen

2s

(s) :mit

ssss

(s)x'

s(s)x(s)

:sitionTeilchenpo der Ableitung der aus sich ergibt nkelTeilchenwi Der

i

i

)('

))(sin())(cos()()(

))(cos(

)()(

)(')()(')()()()(

)(

ss1

(s) :mit

sxssxsxs2sxs

: wirdeliminiert nGleichunge den

auss Phase die indem man, erhält sPhasenraum des

onKonstrukti zur (s)x' und x(s) zwischen Beziehung Eine

2

i

22

16

Phasenellipse – allgemeiner Fall

i

22 )s('x)s()s('x)s(x)s(2)s(x)s(

x

x’

imaxx

i

i

imax'x

i

i

iF

17

Phasenellipse – im Zentrum eines Quadrupols oder im Fokus

i

22 xx1

:folgt 0s d.h. ,0dsd

mit

')(

x

x’

ix max

ix max'

iF

18

Betatronschwingungen für viele Teilchen

))(cos( s(s)x(s) i

(s)sx i )(max

Maximale Amplitudeeines Teilchensan einer Position s

Eigenschaft der Teilchen

Eigenschaft des Beschleunigers

Eigenschaft der Teilchen

19

Betatronschwingungen für viele Teilchen

Bild aus K.Wille

(s)s und (s)s zzzxxx )()(

Strahlgrösse ander Position s:

Die Strahlemittanzen x und z sind statistische Grössen

20

Beispiel für Teilchenverteilung im Strahl

In einem Strahl sind die Teilchen in guter Näherung gaussförmig verteilt. Die transversalen Dimensionen sind durch z 1 mm und x 1 mm gegeben. Die

Anzahl der Teilchen im Bunch ist N 1011

Die transversale Teilchendichte ist: x z( )N

2 x ze

x2

2 x2

z2

2 z2

Zur Kontrolle: Gesamtanzahl der Teilchen:

N5

5

z5

5

x x z( )

d

d N 9.99999 1010

22

Optische Funktionen entlang einer Zelle

von E.Wilson, Vorlesung 2001

B2 B2 B2 B2B1 B1 B1 B1QFQD QD

23

Beispiel: Low Beta Insertion (z.B. für hohe Luminosität im Collider)

Quadrupol QuadrupolFokus

Beta-Funktion

Gespiegelte Beta-Funktion

24

Layout of insertion for ATLAS and CMS Layout of insertion for ATLAS and CMS

200 m

inner quadrupoletriplet

separationdipole (warm)

recombinationdipole

quadrupoleQ4

quadrupoleQ5

ATLAS or CMS

inner quadrupoletriplet

separationdipole

recombinationdipole

quadrupoleQ4

quadrupoleQ5

collision point

beam I

Example for an LHC insertion with ATLAS or CMS

24 m

beamdistance194 mm

beam II

25

distance about 100 m

Interaction point

QD QD QF QD QF QD

Experiment

Focusing quadrupole for beam 1, defocusing for beam 2 High gradient quadrupole magnets with large aperture (US-JAPAN) Total crossing angle of 300 rad Beam size at IP 16 m, in arcs about 1 mm

Crossing angle for multibunch operation

LHC IR5 insertion

27LHC IR5 insertion

28

TI8 3 km lange Transferlinie zwischen SPS und LHC

29

TI 8: Beam spot at end of line

L.R. Evans – EDMS Document No. 521217

SPC

2

TI 8 commissioning

TI 8 commissioning / V.Mertens / TCC, 29.10.2004

First shot on BTVI87751 on 23 October 2004, 13:39

30

Strahlprofil im LEP Beschleuniger - Synchrotronlicht

31

Gemessenes Strahlprofil im LHC Beschleuniger –Beam 2

32

Gemessenes Strahlprofil im LHC Beschleuniger –Beam 1

34

Arbeitspunkt

dss1

21

2Q

WertQ

L

0

)(

:

• Der Q-Wert gibt die Anzahl der Schwingungen der Teilchen pro Umlauf an

• Die Q-Werte für die Bewegung in der horizontalen Ebene und in der vertikalen Ebene sind im allgemeinen unterschiedlich

• Durch eine leichte Änderung der Quadrupolstärken ändern sich die Q-Werte

• Der Q-Wert ändet sich mit der Energie der Teilchen - für Teilchen mit grösserer Energie ist der Q - Wert kleiner, da die Fokussierung schwächer ist

ds)s()s(k4

1p/p

Q

:tätChromatizi

L

0

35

Arbeitspunkt – LHC bei 3.5 TeV

36

Quadrupolaufstellfehler und Teilchenbahnen

fehlaufgestellter Quadrupolmagnet und Einfluss auf die Teilchenbahn

Idealbahn

gestörte Bahn

37

Teilchenschwingungen und ’closed orbit’

Ringbeschleuniger

IdealbahnKick und Betatronschwingungen

Ringbeschleuniger

IdealbahnMagnetfehler und closed orbit

38

Transformationsmatrix für Teilchenkoordinaten

General case for a transformation of particle coordinates from s0 to s1 (with phase

advance in between )

M

1

0cos 0 sin

0 1 cos 1 0 1 sin

1 0

1 0 sin

0

1cos 1 sin

The transfer matrix around the ring for a position where = 0

M

cos 2Q sin 2Q

sin 2Q

cos 2Q

39

Berechnung des closed orbit ( = 0)

x1 cos 2Q x0 sin 2Q xp0

xp1sin 2Q

x0 cos 2Q xp0

Assume an additional dipole distortion that changes the angle of the particle:

x1 cos 2Q x0 0 sin 2Q xp0

xp1sin 2Q

0 x0 cos 2Q xp0

The closed orbit is the trajectory that closes itself after one turn, that is:

x1= x0 = x and xp1= xp0 = xp

x0

2

sin 2 Q 1 cos 2 Q x

0

2

1

tan Q

xp1

2

40

Closed Orbit für einen Ringbeschleuniger

Wenn an einer Stelle des Beschleunigers der Strahl zusätzlich abgelenkt

wird, und der Ablenkwinkel:

Q)(2

s)sx( 0

0 tan

)(

lBp

e z

0

ist der closed orbit:

41

Horizontaler und vertikaler Orbit bei LHC

Orbit Swiss Light Source, PSI

43

Einfluss der Impulsabweichung: Dispersion

Verschiedene Teilchen haben einen unterschiedlichen Impuls. Die Impulsabweichung liegen im allgemeinen bei 10-4 – 10-2 vom Sollipuls.

p

p

s

1sx

s

1(s)'x'

:folgt dann

0s

1 Quadrupole im daher und Quadrupol, im AblenkungKeine

p

p

s

1sxsk

s

1(s)' x'

2

2

)()(

)(

)(

)()()(

)(

24 1010pp

...

44

Differentialgleichung für die Dispersion

)()(

)()()(

)( s1

sDs

1(s)''D

s1

sxs

1(s)''x

:D(s) sbahnDispersion die für galgleichunDifferenti die folgt damit

1pp

:atzLösungsans

22

45

Lösung der Dispersionsbahn

Die Lösung für die Dispersion ergibt sich aus drei Termen:

)sin()cos()sin()('

))cos(()sin()cos()(

ss'D

sDsD

s1

s'D

sDsD

00

00

Im Unterschied zur Betatronmatrix ergibt sich eine Dispersion, wenn ein

Teilchen ohne Dispersion und Dispersionsableitung in einen

Ablenkmagneten läuft

46

Matrix für die Dispersion

1

D

D

100

sss1

s1

ss

1

sD

sD

0

0

')sin()cos()sin(

))cos(()sin()cos(

)('

)(

Um die Dispersionbahn mit einer Matrix zu beschreiben, sind 3 Terme notwendig:

47

Dispersionsbahn in einem Ablenkmagneten

0pp

210pp

x0 = 0

x’0 = 0 x1 = 2.91 mm

x’1 = 3.83 mrad

Beispiel für einen Ablenkmagneten mit einer Länge von 1.5 m und einem Ablenkradius von = 3.82 m

Die Bahnabweichung nach einer Strecke von s 1.5m wird berechnet

D1

Dp1

dummy

coss

1m

sin

s

0

m

sins

coss

0

m

1 coss

sins

1

D0

Dp0

dummy

D1

Dp1

dummy

0.291

0.383

1

Für ein Teilchen mit Impulsabweichung p= p

p0, mit p 10 2 gilt:

x1 D1 p 1m( ) xp1 Dp1 p

xp1 3.827 10 3x1 2.908 mm

49

Dispersionsfunktion am LHC bei 1.18 TeV, Strahl 1

50

Bahnverlängerung – Momentum Compaction

pp

LL

/

Ein Teilchen mit Impulsabweichung läuft auf einer anderen Bahn um, deren Länge im allgemeinen unterschiedlich von der Länge der Sollbahn ist.Der momentum compaction factor wird als relative Längenänderung für Teilchen mit Impulsabweichung definiert: 

dsssD

L1

0

)(

)(

Es lässt sich zeigen, dass für den momentum compaction factor gilt:

Die Bahnlänge für eine Teilchen mit

Impulsabweichung ist : pp

LL

51

Transformation der Betatronfunktion

wurdeneingeführt mationhntransforTeilchenba

die für die zen,tionsmatriTransforma die sind

und

:gilt s nach s von Matrix-Beta der

tionTransforma die für dass (K.Wille), zeigen kann Man

:s Position der an Matrix-Beta

:s Position der an Matrix-Beta der Definition

11TT

T

01

10

11

11

11

00

00

00

M

1MM1MM

MBMB

B

B

)(

52

Transformation der Betafunktion durch eine Driftstrecke

Beispiel: Transformation der Beta Matrix in einer Driftstrecke

M1

0

0

0

1

0

0

MD1

0

L

1

MD1

0

L

1

M2 MD M1 MDTMD

M2

0L2

0

L

0

L

0

1

0

MDT MD

T

1

1

0

0

1

und MD MD1

1

0

0

1

53

Betatronfunktion für Kreisbeschleuniger

2212

2111

00

00

2221

1211

00

00

T

ring0ring0

T

0110

00

00

0

0

mm

mm

mm

mm

:ausserdem gilt

leunigerKreisbesch im ätPeriodizit der Aufgrund

:gilt s nach s

von Matrix-Beta der tionTransforma die Für

:s Position der an Matrix-Beta der Definition

MBMB

MBMB

B

s0s1

)s()Ls(

)s()Ls(

k(s)L)k(s

:ngenätsbedinguPeriodizit

54

Berechnung der optischen Funktionen

0mmm2m2

:gilt wennLösung, eine dann nur gibt Es

1

m2

mm

mmm2m2

m2

:berechnen Funktionen optischen die sich lassen Damit

2

222112

2

11

0

2

00

0

12

22110

2

222112

2

11

120

55

Zusammenfassung: Lösungsweg

• Differentialgleichung für die Teilchenbahn

• Ansatz von neuen Funktionen, der Betafunktion und der Phase

• Ein Teilchen macht harmonische Schwingungen in einem neuen

Koordinatensystem

• Man kann die Betamatrix mit Hilfe der bekannten Übertragunsmatrizen

transformieren, dadurch kann man die Betamatrix um den ganzen

Kreisbeschleuniger transformieren

• Man berücksichtigt die Periodizitätsbedingung nach einem Umlauf

• Damit kann man die Betafunktion errechnen