Kapitel 10

Rüdiger Schmidt (CERN) – Darmstadt TU - 2010, version 2.3

Beschleunigung und

longitudinaler Phasenraum

2

Aus der Strahloptik....

Fokussierung mit Quadrupolen (Linsen)

Beschreibung der Teilchenbewegung mit Transformationsmatrizen

Differentialgleichung fuer Teilchenbewegung

Beschreibung der Teilchenbewegung mit Betafunktion• Betatronschwingung

Strahlgrösse:

Arbeitspunkt: Q Werte

Closed Orbit

Dispersion

(s)s und (s)s zzzxxx )()(

3

Übersicht

Beschleunigung mit HF Feldern

Teilchenpakete („bunch“)

Phasenfokussierung im Linac

Phasenfokussierung im Kreisbeschleuniger

Bewegungsgleichung für die longitudinale Teilchenbewegung

Synchtrotronfrequenz

4

Kreisbeschleuniger: Beschleunigung durch vielfaches Durchlaufen durch (wenige) Beschleunigungstrecken

Principal machine components of an accelerator

5

2a

Beschleunigung im zylindrischen Cavity T = 0 (Beschleunigung)

z

zE0

E(z)

)(tE

g

(100 MHz)

6

2a

Beschleunigung im zylindrischen Cavity T = 5 ns

z

)(tE

z

-E0

E(z)g

(100 MHz)

7

Supraleitender Hohlraumresonatoren (Cornell)

Cavity 200 MHz

Cavity 500 MHz

Cavity 1300 MHz

8

Supraleitender Hohlraumresonator mit 9 Zellen (TESLA, DESY)

9

Illustration für das elektrische Feld im Hohlraumresonator

10

Beschleunigung mit Hochfrequenzfeldern

Zeitlich veränderliche Spannung:

U t( ) U0 sin 2 frf t dt

Frequenz : frf 100 MHz

Maximale Spannung: U0 1 106 V

1 108

5 109

0 5 109

1 108

1.05 106

5.25 105

0

5.25 105

1.05 106 U(t)

Zeit

Sp

an

nu

ng

0

cavity

11

Teilchenbeschleunigung mit Cavities (Hohlraumresonator)

Teilchen laufen von links ins Cavity 1 ein. Um beschleunigt zu werden, muss diePhase des elektrischen Feldes „richtig“ sein. Annahme: Teilchen 1 läuft zum

Zeitpunkt t0 = 0 ns durch das Cavity 1 – es wird mit einer Spannung von 1 MVbeschleunigt. Ein Teilchen welches zu einem anderen Zeitpunkt durch das Cavity läuft, wird entweder weniger beschleunigt, oder kann gebremst werden

zCavity 1 Cavity 2

1 108

5 109

0 5 109

1 108

1 106

5 105

0

5 105

1 106 U(t)

Zeit

Sp

an

nu

ng 106

106

U t( )

10 810 8 t

t0 = 0

"gebremst"

12

Teilchenpakete

• In einem HF Feld kann kein kontinuierlicher Strahl beschleunigt werden, sondern sogennante „Bunche“ (Teilchenpakete)

• Da ein Bunch eine endliche Länge hat (einige Millimeter bis zu etwa einem Meter), werden nicht alle Teilchen gleich beschleunigt

• Es kommt zur sogennanten Phasenfokussierung

1 108

5 109

0 5 109

1 108

1 106

5 105

0

5 105

1 106 U(t)

Zeit

Sp

an

nu

ng 106

106

U t( )

10 810 8 t

13

Phasenfokussierung im Linac

z

Cavity 1 Cavity 2

• Es werden 3 Teilchen angenommen. Annahme: die Geschwindigkeit der Teilchen ist deutlich kleiner als c

• Teilchen mit Sollenergie• Teilchen mit mehr Energie – mit grösserer Geschwindigkeit (blau)• Teilchen mit weniger Energie – mit kleinerer Geschwindigkeit (grün)

• Das rote Teilchen läuft zum Zeitpunkt t = 1.25 ns in das Cavity ein. Es wird angenommen, dass die Feldstärke weiter ansteigt (ansteigender Ast der Schwingung)

• Das grüne Teilchen läuft später bei t = 1.55 ns ein, und wird stärker beschleunigt

• Das blaue Teilchen läuft früher bei t = 0.95 ns ein, und wird weniger beschleunigt

14

Phasenfokussierung im Linac – ansteigende Flanke

zCavity 1

2.5 1.88 1.25 0.63 0 0.63 1.25 1.88 2.5 3.13 3.75 4.38 51.05

0.53

0

0.53

1.05U(t)

Zeit

Sp

an

nu

ng

1.05

1.05

U t( )

106

52.5 t

15

Phasenfokussierung im Linac

Angenommen, dass die Energiedifferenz gross genug ist und die Geschwindigkeit nichrelativistisch gilt:

Vor dem Cavity 1:

vblau > vrot > vgrün

Hinter dem Cavity 1:

vgrün > vrot > vblau

Da die Geschwindigkeit vom grünen Teilchen an grössten ist, wird es die anderen

Teilchen nach einer gewissen Strecke überholen

16

Phasenfokussierung im Linac – Synchrotronschwingung

z

5 2.5 0 2.5 51.05

0.53

0

0.53

1.05U(t)

Zeit

Span

nung

1.05

1.05

U t( )

106

55 t

5 2.5 0 2.5 51.05

0.53

0

0.53

1.05U(t)

Zeit

Span

nung

1.05

1.05

U t( )

106

55 t

Cavity 1 Cavity 2

17

Phasen“de“fokussierung im Linac – fallende Flanke

zCavity 1

0 0.63 1.25 1.88 2.5 3.13 3.75 4.38 5 5.63 6.25 6.88 7.51.05

0.53

0

0.53

1.05

Zeit

Spa

nnun

g

1.05

1.05

U t( )

106

7.50 t

Das Teilchen mit weniger Energie – mit kleinerer Geschwindigkeit (grün) läuftspäter bei t = 1.55 ns ein, und wird weniger beschleunigt, und seineGeschwindigkeit verlangsamt sich in Bezug auf die anderen beiden Teilchen (die Teilchen laufen auseinander)

18

Phasen“de“fokussierung im Linac

z

Cavity 1 Cavity 2

0 1.5 3 4.5 6 7.51.05

0.53

0

0.53

1.05

Zeit

Sp

an

nu

ng

1.05

1.05

U t( )

106

7.50 t

0 1.5 3 4.5 6 7.51.05

0.53

0

0.53

1.05

Zeit

Sp

an

nu

ng

1.05

1.05

U t( )

106

7.50 t

19

Phasenfokussierung im Kreisbeschleuniger

Cavity

Die Teilchen mit Impulsabweichung laufen auf einer anderen Bahn (Dispersionsbahn), die hier vereinfacht als grösserer (kleinerer) Kreis dargestellt ist

pp

LL

p0p0 - dp

p0 + dp

20

Cavity-Frequenz und Umlauffrequenz

Das Sollteilchen läuft um den Beschleuniger um. Damit es beim nächstenUmlauf in der gleichen Phase der Hochfrequenz beschleunigt wird, mussdie Frequenz der Hochfrequenz ein Vielfaches der Umlauffrequenzsein:

0 20 40 60 80 1001.05

0.53

0

0.53

1.05

Zeit

Sp

an

nu

ng

1.05

1.05

U t( )

106

1000 t

number" harmonic" Zahl, ganze : h mit , h revHF

Hier: h = 8

T 0T

21

Bahnverlängerung – Momentum Compaction

pp

LL

/

Ein Teilchen mit Impulsabweichung läuft auf einer anderen Bahn um, deren Länge im allgemeinen unterschiedlich von der Länge der Sollbahn ist.Der momentum compaction factor wird als relative Längenänderung bei Impulsabweichung definiert: 

dsssD

L1

0

)(

)(

Es lässt sich zeigen, dass für den momentum compaction factor gilt:

Die Bahnlänge für ein Teilchen mit

Impulsabweichung ist also: pp

LL

aus der Strahloptik

22

Teilchenimpuls und Bahnlänge

c

v mit ,

-1

1

oben) (siehe factor" compaction momentum" der ist

p

p1

T

T

:ist ichungImpulsabwe mit Teilchen ein für Umlaufzeit der ÄnderungDie

2

2

0

)(

Teilchen mit grösserer Energie im Vergleich zur Sollenergie:• laufen weiter aussen um => grössere Bahnlänge => längere Umlaufzeit• haben eine grössere Geschwindigkeit => kürzere Umlaufzeit

Beide Effekte müssen berücksichtigt werden, um die Umlaufzeit zuberechnen

23

Phasenfokussierung im Kreisbeschleuniger

z

Cavity

• Es werden 3 Teilchen angenommen. Die Geschwindigkeit der Teilchen ist (nahezu) Lichtgeschwindigkeit • Teilchen mit Sollenergie• Teilchen mit mehr Energie (blau)• Teilchen mit weniger Energie (grün)

• Beim ersten Durchgang wird angenommen, dass alle Teilchen gleichzeitig ins Cavity einlaufen, und gleichermassen beschleunigt werden

• Das rote Teilchen läuft auf der Sollbahn um• Das grüne Teilchen mit weniger Energie läuft auf einer kürzeren Bahn um• Das blaue Teilchen mit mehr Energie läuft auf einer längeren Bahn um

24

Phasenfokussierung in Kreisbeschleuniger– fallende Flanke

zCavity

0 0.63 1.25 1.88 2.5 3.13 3.75 4.38 5 5.63 6.25 6.88 7.51.05

0.53

0

0.53

1.05

Zeit

Sp

an

nu

ng

1.05

1.05

U t( )

106

7.50 t

• Das Teilchen mit zu wenig Energie (grün) läuft früher ein und wird stärker beschleunigt. Es gewinnt Energie im Vergleich zum roten Teilchen

• Das Teilchen zu viel Energie (blau) läuft später ein und wird weniger beschleunigt. Es verliert Energie im Vergleich zum roten Teilchen

25

Phasenverschiebung als Funktion der Energieabweichung

E

E1

T

h2

Tdt

d

:sich ergibt sind, Umlaufzeit der gegenüber klein die Phase, der ÄnderungBei

E

E1h2

:folgt E

E1

p

p und

p

p1

T

T Mit

T

Th2Th

T : Teilchen den zwischen chiebungPhasenvers

verzögert T um enSollteilch dem gegenüber Teilchen ein ist Umlauf einem Nach

2

0

2

0

22

22

0

0

rev

HF

)(

)(

)(

26

Energieaufnahme im Cavity: Sollteilchen

Es wird angenommen, dass das Magnetfeld ansteigt. Um auf konstanter Bahn zu laufen, wird das Sollteilchen beschleunigt, pro Umlauf mit einer Energie von:

dttdB

Re2W 00

)(

Die Energie kommt vom Durchlauf durch das Cavity:

enSollteilch das für Phase und

nungCavityspan maximale - U mit

UeW

s

0

s000

)sin( 0W0U

2.5 1 0.5 2 3.5 51.2

0.6

0

0.6

1.2

Zeit

Spa

nnun

g

1.2

1.2

U t( )

106

52.5 t

27

2.5 1 0.5 2 3.5 51.2

0.6

0

0.6

1.2

Zeit

Spa

nnun

g

1.2

1.2

U t( )

106

52.5 t

Energieaufnahme im Cavity: Teilchen mit Energieabweichung

Ein Teilchen mit abweichender Energie läuft zu einem anderen Zeitpunkt (Phase) in das Cavity, die Energie wächst um:

Die Energiedifferenz ist:

Für Energieänderungen über viele Umläufe (Umlaufzeit T0):

))(sin( tUeW s001

)sin()sin( ss000 UeE-WE

)sin()sin( ss

0

00

0 T

Ue

T(t)

0W0U

1W

28

Energieaufnahme im Cavity

Für kleine Abweichungen von der Sollphase gilt:

)cos()sin()sin( sss

s

)cos( s

0

00

T

Ue(t)

Und damit:

Differenzieren ergibt:

)cos()(

s

0

00

dt

d

T

Ue(t)

29

Bewegungsgleichung

ergibt sich:

T

2 und

0

rev

E

1

T

h2

dt

d Mit

2

0

2

)()(

)cos()(

s

0

00

dt

d

T

Ue(t) und

1E2

hUe(t)

22

s00

2

rev

)(

)cos(

Phasenverschiebung durchdie Energieabweichung

Energieänderung beim Durchlauf durchs Cavity mit einer Phasenverschiebung

30

Lösung der Bewegungsgleichung

Die Gleichung beschreibt einen harmonischen Oszillator

mit der Synchrotronfrequenz:

0t(t) 2 )(

1E2

hUe22

s00rev )(

)cos(

Die Energiedifferenz zwischen Sollteilchen und Teilchen mit abweichendem

Impuls ist:

e(t) ti

0

0E-WE

31

Synchrotronfrequenz

1E2

hUe22

s00rev )(

)cos(

Für ultrarelativistische Teilchen >> 1 gilt:

Flanke) abfallende2

32

d.h. sein, negativ muss

E2

hUe

ss

2

s00rev

()cos(

)cos(

Für Teilchen mit gilt:

01

2

01

2

Flanke) eansteigend22

- d.h. sein, positiv muss ss ()cos(

Sychrotronfrequenz

32

Beispiel: Modellbeschleuniger

Beispiel für Modellbeschleuniger: Es werden folgende Parameter angenommen:

Ablenkradius: 3.8197 m

Energie der Elektronen: Ee 1.6 GeV

Länge des Beschleunigers: Lacc 24m

"Momentum compaction factor" 0.01

Ee

me c2 1

1

2

T0

Lacc

c frev

1

T0 rev 2frev

Umlaufzeit : T0 80.055 ns Umlauffrequenz: frev 1.249 107 Hz

3.131 103 0.999999949

Für die Frequenz der Cavities wird angenommen frf hrf frev

=> frf 499.655 MHz . Damit ist die "harmonic number" hrf 40

Der Energieverlust durch Abstrahlung von Synchrotronstrahlung ist für ein Elektron

Pc

e02 c

6 0 me c2 4

Ee4

2

Pc 3.036 10 7 W

Das entspricht eine Energieverlust pro Umlauf von Eloss_rev Pc T0

Eloss_rev 0.152 MeV

Um diesen Verlust auszugleichen, ist die Phase der Synchrotronschwingung für das

Sollteilchen bei einer Cavityspannung von U0 1 106 V :

s acos

Eloss_rev

e0

U0

s 360

2 81.275

34

Synchrotronfrequenz des Modellbeschleuniger

Es ergibt sich für die Synchrotronfrequenz

s 2 freve0 U0 hrf cos s

2 Ee

1

2

s 1.928 105 Hz

und den "Synchrotrontune": s

rev2.457 10 3 d.h die Anzahl der Umläufe für

eine Schwingung ist: Ns

rev

s Ns 407.042

35

Phasenraumdiagramme und Separatrix

Bild aus K.Wille

Synchrotronschwingungen gibt es nur für Teilchen mir kleiner Energieabweichung. Wenn die Energieabweichung zu gross wird, fallen die Teilchen aus dem "Bucket".

36

Courtesy E. Ciapala

single turn

about 1000 turns

No RF, debunching in ~ 250 turns, roughly 25 ms

37

Courtesy E. Ciapala

First attempt at capture, at exactly the wrong injection phase…

38

Courtesy E. Ciapala

Capture with corrected injection phasing

39

Courtesy E. Ciapala

Capture with optimum injection phasing, correct reference

40

RF buckets and bunches at LHCRF buckets and bunches at LHC

E

time

RF Voltage

time

LHC bunch spacing = 25 ns = 10 buckets 7.5 m

2.5 ns

The particles are trapped in the RF voltage:this gives the bunch structure

RMS bunch length 11.2 cm 7.6 cmRMS energy spread 0.031% 0.011%

450 GeV 7 TeV

The particles oscillate back and forth in time/energy

RF bucket

2.5 ns

41

Longitudinales Strahlprofil im SPS

Instabilities at low energy (26 GeV)

a) Single bunchesQuadrupole mode developing slowly along flat bottom. NB injection plateau ~11 s

Bunch profile oscillations on the flat bottom – at 26 GeV

Bunch profile during a coast at 26 GeV

stable beam

Pictures provided by T.Linnecar