Kapitel L:IV - uni- · PDF fileFuzzy-Mengen Unscharfes Wissen Nach einem zweitägigen Marsch ohne Wasser durch die Wüste treffen Sie einen Beduinen, der ihnen zwei Flaschen mit

Kapitel L:IV
IV. Nichtklassische Logikenq Fuzzy-Mengenq Modifizierer fr Fuzzy-Mengenq Operationen auf Fuzzy-Mengenq Fuzzy-Inferenzq Defuzzifizierung
L:IV-1 Nonclassical Logics LETTMANN/STEIN 1998-2013

Fuzzy-MengenUnscharfes Wissen
Nach einem zweitgigen Marsch ohne Wasser durch die Wste treffen Sie einenBeduinen, der ihnen zwei Flaschen mit Getrnken gibt zusammen mit folgenderInformation:
q Flasche 1 enthlt mit 90-prozentiger Wahrscheinlichkeit ein ungiftigesGetrnk, aber die Flasche knnte auch ein tdliches Gift enthalten.
q Flasche 2 enthlt ein Getrnk, das mit dem Zugehrigkeitsgrad 10 vonmaximal 100 zu den tdlichen Giften gehrt.
Frage: Aus welcher Flasche trinken Sie?
Bei der Fuzzy-Theorie geht es nicht um Unwissenheit, sondern um Unschrfe,Vagheit und Ungenauigkeit.

Fuzzy-MengenUnscharfes Wissen (Fortsetzung)
IF Gewicht ist hochTHEN Lebenserwartung ist gering
Wann hat man ein hohes Gewicht? Umfrage:
Aussage Gewicht 80kg Gewicht ist hoch1 ja ja2 ja ja3 ja nein4 ja ja5 ja ja6 ja nein7 ja ja
IF Gewicht ist hochTHEN Lebensqualitt ist gering
Die Lebensqualitt lsst sich nicht quantitativ messen.

Fuzzy-MengenUnscharfes Wissen (Fortsetzung)
Imprzision:
q Wissen besteht aus mehreren (przisen) Alternativen.
q Beispiel: Herr Meier ist zwischen 20 und 30 Jahre alt.
Unsicherheit (objektive Unschrfe):
q Die Wahrheit einer Aussage ist nicht klar.
q Sowohl przise als auch unprzise Aussagen knnen unsicher sein.
q Beispiel: Paderborn liegt (exakt) 120m ber NN.
Vagheit (subjektive Unschrfe):
q Die Aussage ist eher qualitativ.
q Beispiel: Das Bro E4.151 ist gro.

Bemerkungen:
q Eine Prmisse der Fuzzy-Theorie ist die Unvereinbarkeit hoher Komplexitt und hoherPrzision.
q berall dort, wo eine Problemlsung Toleranzen in der Formulierung und Verarbeitungzulsst, knnen diese Toleranzen ausgenutzt werden, um eine weniger exakte unddennoch ausreichende Lsung zu erreichen.

Fuzzy-MengenUnscharfes Schlussfolgern
q Regel. A B
q Kontext C mit Interpretation. A B1 11 00 1
q C mit Interpretation zu Zeitpunkten t. t A B1 1 12 1 13 0 14 1 05 1 16 0 17 1 18 0 19 1 1
Die Regel A B gilt meistens.

Fuzzy-MengenUnscharfes Schlussfolgern (Fortsetzung)
Anstze zur Verarbeitung von unscharfen Regeln:
q MYCIN-Ansatz.Verarbeitung von unsicheren Ursache-Wirkungs-Beziehungen zur Diagnosemittels Konfidenzfaktoren.
q Dempster-Shafer Theorie.Verarbeitung von Unwissenheit mittels Evidenzen.
q Data-Mining.Bewertung von Regeln mittels Support und Confidence innerhalb einergegebenen Stichprobe.

Fuzzy-MengenGeschichte
1920 Erste Fuzzy-Systeme, vorgeschlagen von Lukasiewicz.Beobachtung: Terme wie tall, old oder hot lassen sich nur schwer unterdem Aristotelischen Wahrheitsbegriff wahr oder falsch (0,1) fassen.
20er Lukasiewicz erweitert das System der Logik auf alle reellen Zahlen in [0,1].Eine Zahl aus [0,1] beschreibt die Mglichkeit (Possibility), ob eine Aussagewahr oder falsch ist.
>20er Forschungen fhrten zur (unscharfen) Schlussfolgerungstechnik derPossibilittstheorie.
1965 Zadeh entwickelt die Possibilittstheorie zu einem formalen, logischenSystem. Insbesondere entstehen Konzepte zur Beschreibung undVerarbeitung von Ausdrcken der natrlichen Sprache.
>80er Japanische Industrie greift die Fuzzy-Theorie auf und verwendet Konzepteund Methoden in zahlreichen industriellen Anwendungen.

Fuzzy-Mengen (Fuzzy Sets)
Die traditionelle Mengenlehre malt ein Schwarz-Wei-Bild von der Welt: einObjekt ist entweder in einer Menge oder nicht.
Beispiel Alter:
Sei age_is_young eine Menge, die aus jungen Menschen besteht. DenElementen in der Menge ist eine 1, den anderen eine 0 zugeordnet.
Whlt man das Alter als Objektmerkmal, so muss ab einem bestimmten Alter dieJugend schlagartig aufhren.
Ausweg Fuzzy-Menge:
Graduierung der Mengenzugehrigkeit mittels einer Zugehrigkeitsfunktion .

Fuzzy-Mengen
Beispiel Alter ( (Fortsetzung)):scharfe Menge
Fuzzy-Menge
0.5
1
0age
"young"
"young"
0 10 20
q linguistische Variable: age
q Grundbereich fr age: 1. . . 100
q mgliche qualitative Ausprgung fr age: young
q Fuzzy-Menge fr young: Angabe der Zugehrigkeit zu young

Fuzzy-Mengen
Definition 1 (Fuzzy-Menge, Zugehrigkeitsfunktion)Sei X ein Grundbereich (Diskursbereich, Universe of Discourse) mit Elementen x.Eine Fuzzy-Menge A von X ist beschrieben durch eine charakteristische Funktion(Zugehrigkeitsfunktion, Membership Function) A, die jedem Element x Xeinen Zugehrigkeitswert A(x) [0, 1] fr A zuordnet.
A : X [0, 1]x 7 A(x)
A(x) :
Zugehrigkeitsgrad fr x in A

Fuzzy-Mengen
Definition 1 (Fuzzy-Menge, Zugehrigkeitsfunktion)Sei X ein Grundbereich (Diskursbereich, Universe of Discourse) mit Elementen x.Eine Fuzzy-Menge A von X ist beschrieben durch eine charakteristische Funktion(Zugehrigkeitsfunktion, Membership Function) A, die jedem Element x Xeinen Zugehrigkeitswert A(x) [0, 1] fr A zuordnet.
A : X [0, 1]x 7 A(x)
A(x) :
Zugehrigkeitsgrad fr x in A
Klassische Menge:
Sei X ein Grundbereich mit Elementen x. Die Zugehrigkeit eines Elementesx X zur Menge A kann durch eine charakteristische Funktion A beschriebenwerden:
A : X {0, 1} A(x) ={
1, fr x A0, sonst

Bemerkungen:
q Fuzzy-Mengen sind Mglichkeitsverteilungen.
q Der Grad der Zugehrigkeit zu einer zu einer Fuzzy-Menge darf nicht mit einerWahrscheinlichkeit verwechselt werden. Der quantitative Wert aus dem Grundbereich derlinguistischen Variablen ist fest.
q Nur die Zuordnung ist nicht festgelegt, wie der quantitative Wert auf Werte derlinguistischen Variablen abbgebildet wird. Wenn beispielsweise von 100 Personen, derenAuffassung man nachbilden will, insgesamt 25 das Alter 17 fr jung halten, knnte man frdie Fuzzy-Menge young als Zugehrigkeitswert 0,25 whlen.

Fuzzy-Mengen
Beispiel: Raumtemperatur
MembershipFunction
1
0
C
-10
0
10
20
30
Cold
Cool
Warm
Hot
Bivalente Mengen zur Charakterisierung der Raumtemperatur
MembershipFunction
1
0
C
-10
0
10
20
30
Cold
Cool
Warm
Hot
Fuzzy-Mengen zur Charakterisierung der Raumtemperatur
q linguistische Variable: temperature
q Grundbereich: -10, . . . , 30
q Qualitative Ausprgungen: cold, cool, warm, hot

Fuzzy-MengenKonstruktion
Gegeben ein Konzept A, das als Fuzzy-Menge zu reprsentieren ist.
Wie knnte eine Zugehrigkeitsfunktion A definiert werden?
(1) Umfrage.
Befragung von Experten nach ihrem Verstndnis bzgl. A mit nachfolgenderstatistischer Weiterverarbeitung (Glttung, Regression etc.).

Fuzzy-MengenKonstruktion (Fortsetzung)
(2) Parametrischer Ansatz.
(x; c1, p) = [1 + c1 |x x0|p]1 c1 > 0; p > 1
Beispiel Menschenalter mit Grundbereich X = [0, 100]:
0 50 75 100
0.5
1 jung
Jahre
(x)
25
(Alter = jung)(x) =
1, falls 0 x 25[1 + (x255 )2]1, falls 25 < x 100L:IV-16 Nonclassical Logics LETTMANN/STEIN 1998-2013

Fuzzy-MengenKonstruktion (Fortsetzung)
(3) Vergrberung/Vereinfachung von Zwischenwerten durch lineare Interpolation.
Beispiel Menschengre mit Grundbereich X = [150, 220]:
Linguistische Variable
Zugehrigkeits-werte
height [cm]150 180170 200
1
0
0.5
short medium tall
height
Verschiedene Fuzzy-Mengen (hier: short, medium, tall) ber dem gleichenGrundbereich werden auch als Fuzzy-Untermengen bezeichnet.
Ein Element des Grundbereichs kann Mitglied in mehreren Fuzzy-Mengen sein.

Fuzzy-MengenSchreibweise
Sei X ein Grundbereich und A eine hierauf definierte Fuzzy-Menge mitZugehrigkeitsfunktion A(x).
(1) Vektorschreibweise (bei einer diskreten und geordneten Menge).
A = (a1, a2, . . . , an) mit ai = A(xi)
Oft auch geschrieben als:
A = (a1/x1, a2/x2, . . . , an/xn) mit ai = A(xi)
Beispiel:
tall = (0/170, 0.25/185, 0.5/190, 0.75/195, 1.0/200)

Fuzzy-MengenSchreibweise (Fortsetzung)
Sei X ein Grundbereich und A eine hierauf definierte Fuzzy-Menge mitZugehrigkeitsfunktion A(x).
(2) Zadehs Schreibweise.
A = 1/x1 + 2/x2 + . . . + n/xn =
ni=1
A(xi)/xi
Falls X eine unendliche Menge ist:
A =
X
A(x)/x

Fuzzy-MengenCharakterisierung
Definition 2 (Charakterisierung einer Fuzzy-Meng

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