KI 13 - Unsicherheit1 Mündliche Prüfungen … im Sekretariat 1.453 anmelden !

KI 13 - Unsicherheit 1

Mündliche Prüfungen

… im Sekretariat 1.453 anmelden !


Unsicherheit


Überblick

• Unsicherheit

• Wahrscheinlichkeit

• Syntax und Semantik

• Inferenz

• Unabhängigkeit und Bayessche Regel

• Beispiel: Wumpus-Welt


Unsicherheit

Sei Aktion At = „zum Flugplatz fahren“, t sei Zeit in Minuten vor dem Flug.Werde ich durch Ausführung von At den Flug erreichen?

Probleme:1. Teilweise Beobachtbarkeit (Straßenzustand, Verkehrsdichte, Navi kaputt etc.)2. Unzuverlässige Sensoren (Verkehrsbericht)3. Unsicherheit über Ergebnis von Aktionen (Reifenpanne bei schneller Fahrt …)4. Immense Komplexität der Modellierung und Vorhersage (Verkehr, Wetter etc.)

Daher wird ein rein logischer Ansatz entweder1. falsche Aussagen riskieren („A25 erreicht den Flug”), oder2. zu „schwachen“ Schlüssen führen, die keine Entscheidungsfindung erlauben:

„A25 erreicht Flug falls kein Unfall auf der Brücke und falls es nicht regnet …“

A1440 würde höchstwahrscheinlich den Flug erreichen, aber Übernachtung auf Flugplatz erfordern.

•


Umgang mit Unsicherheit

Nichtmonotone Logik:

• Monotone Logik: Z.B. AL, PL, Schlüsse fügen Wissen zu WB hinzu, verändern vorhandenes Wissen nicht.

• Nichtmonotone Logik: Schlüsse können WB verändern.

• Dadurch vorläufige Schlussfolgerungen möglich, bei unvollständigem Wissen werden Default verwendet.– Annahme: Auto hat keinen Platten.

– Annahme: A25 funktioniert, bis A25 durch Erfahrung widerlegt

wird.

• Probleme: – Welche Annahmen sind vernünftig?

– Wie werden Widersprüche behandelt?

–


Umgang mit Unsicherheit

• Regeln mit Wahrscheinlichkeiten:– A25 |→0.3 erreicht Flugplatz rechtzeitig– Sprinkler |→ 0.99 NassesGras– NassesGras |→ 0.7 Regen

Probleme mit Kombination:Z.B. ist Sprinkler Ursache für Regen?

• Wahrscheinlichkeit:Drückt Glauben des Agenten aus:

„Ausgehend von den gegebenen Fakten wird A25 den Flugplatz mit Wahrscheinlichkeit 0.04 rechtzeitig erreichen.“

–•

–

–

•


Wahrscheinlichkeit• Probabilistische Aussagen fassen verschiedene Effekte zusammen:

– Faulheit: Unfähigkeit / Unwilligkeit, alle Voraussetzungen, Ausnahmen etc. aufzuzählen.

– Unwissen: Fehlen von Fakten, Anfangsbedingungen etc.– Zufall: Z.B. Würfeln

• Aus Faulheit und Unwissen resultierende Aussagen sind keine Aussagen über die Welt, sondern das Resultat von Subjektivität:

Wahrscheinlichkeiten setzen die Aussagen in Beziehung zum „persönlichen“ Wissenszustand des Agenten:

z.B. P(A25 erreicht Flug | keine gemeldeten Unfälle) = 0.06

• Wahrscheinlichkeiten von Sätzen ändern sich, sobald neues Wissen verfügbar wird:Z.B. P(A25 erreicht Flug | keine gemeldeten Unfälle, 6:30h) = 0.15

•

–


Entscheidungen treffen bei Unsicherheit

Agent glaubt folgendes:

P(A25 erreicht Flug | …) = 0.04




• Welche Aktion soll er ausführen?Hängt von Präferenzen des Agenten ab (Flug verpassen, Wartezeit, früh aufstehen …)– Nutzentheorie erlaubt Repräsentation und Inferenz von

Präferenzen– Entscheidungstheorie =

Wahrscheinlichkeitstheorie + Nutzentheorie

••

•


Syntax: Zufallsvariable

• Grundelement: Zufallsvariable

• Ähnlich AL: Mögliche Welten werden durch Zuweisung von Werten an Zufallsvariable definiert.

• Boolesche Zufallsvariable:Z.B. Loch (Habe ich ein Loch im Zahn?)

• Diskrete Zufallsvariable– Z.B. Wetter hat einen der Werte <sonnig,regnerisch,bewölkt,schneit>– Werte einer Domäne müssen erschöpfend sein und sich gegenseitig

ausschliessen.

• Stetige Zufallsvariable– Reelle Zahlen– Z.B. Aussage Länge=2,4

••

»


Syntax: Aussagen

• Elementaraussagen werden getroffen durch Zuweisen eines Wertes an eine Zufallsvariable: – Wetter = sonnig– Loch = falsch (Abk. Loch)

• Komplexe Aussagen werden durch die üblichen logischen Verknüpfungen aus Elementaraussagen gebildet:

Wetter = sonnig Loch = falsch


• Atomares Ereignis: Eine vollständige Spezifikation des Zustands der Welt (über den der Agent allerdings unsicher ist).

• Bsp.: Welt besteht nur aus den zwei Booleschen Variablen Loch und Zahnschmerzen.

Dann gibt es 4 verschiedene atomare Ereignisse:Loch = falsch Zahnschmerzen = falschLoch = falsch Zahnschmerzen = wahrLoch = wahr Zahnschmerzen = falschLoch = wahr Zahnschmerzen = wahr

• Atomare Ereignisse sind erschöpfend und schließen einander aus.

•

Syntax: Ereignisse


Wahrscheinlichkeitsaxiome

Für alle Aussagen A, B gelten die

Kolmogorov-Axiome:1. 0 ≤ P(A) ≤ 1

2. P(wahr) = 1 und P(falsch) = 0

3. P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)

4.

13

A-priori-Wahrscheinlichkeit

• A-priori oder unbedingte Wahrscheinlichkeiten von Aussagen:P(Loch = wahr) = 0.1 und P(Wetter = sonnig) = 0.72 drücken

Vermutungen aus, bevor neue Information verfügbar wird.

• Wahrscheinlichkeitsverteilung gibt Werte für alle möglichen Zuweisungen: P(Wetter) = <0.72, 0.1, 0.08, 0.1> (normalisiert, d.h. Summe = 1)

• Gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung für mehrere Zufallsvariable gibt Wahrscheinlichkeit aller atomaren Ereignisse an: P(Wetter,Loch) ist eine 4 × 2 Matrix von Werten:

Wetter = sonnig regnerisch bewölkt schneit Loch = wahr 0.144 0.02 0.016 0.02Loch = falsch 0.576 0.08 0.064 0.08

• Die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung beantwortet alle Fragen über die Domäne !

–


Bedingte Wahrscheinlichkeit

• Bedingte oder a-posteriori-Wahrscheinlichkeitenz.B. P(Loch | Zahnschmerzen) = 0.8d.h. die Information Zahnschmerzen ist gegeben (aber mehr nicht).

• Notation für bedingte Verteilungen:P(Loch | Zahnschmerzen) = 2-komp. Vektor von 2-komp. Vektoren

• Falls zudem Loch bekannt ist, giltP(Loch | Zahnschmerzen,Loch) = 1.

• Weitere Information kann irrelevant sein:P(Loch | Zahnschmerzen,sonnig) = P(Loch | Zahnschmerzen) =

0.8

• Derartige durch Domänenwissen unterstützte Inferenz ist sehr wichtig!

•–•

•


• Definition bedingter Wahrscheinlichkeit:P(a | b) = P(a b) / P(b) wenn P(b) > 0

• Produktregel ist alternative Formulierung:P(a b) = P(a | b) P(b) = P(b | a) P(a)

• Die allgemeine Version gilt für ganze Verteilungen, z.B.P(Wetter, Loch) = P(Wetter | Loch) P(Loch)(Dies stellt 4 × 2 separate Gleichungen dar, nicht Matrixmultiplikation !)

• Kettenregel (abgeleitet durch wiederholte Anwendung der Produktregel):P(X1, …,Xn) = P(X1,...,Xn-1) P(Xn | X1,...,Xn-1) = P(X1,...,Xn-2) P(Xn-1 | X1,...,Xn-2) P(Xn | X1,...,Xn-1) = …

= πi= 1n P(Xi | X1, … ,Xi-1)

Bedingte Wahrscheinlichkeit


Inferenz durch Aufzählung

• WB: Gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung

• Probabilistische Inferenz: Berechnung der Wahrscheinlichkeit von Aussagen.



• Gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung:

•

•




• Wahrscheinlichkeit einer Aussage φ ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der entsprechenden atomaren Ereignisse: P(φ) = Σω:ω╞φ P(ω).

•

•





• P(Zahnschmerzen) = 0.108 + 0.012 + 0.016 + 0.064 = 0.2

•

•





• P(Zahnschmerzen) = 0.108 + 0.012 + 0.016 + 0.064 = 0.2• P(Zahnschmerzen Loch) =

0.108 + 0.012 + 0.016 + 0.064 + 0.072 + 0.008 = 0.28

•

•




•Bedingte Wahrscheinlichkeiten:

P(Loch | Zahnschmerzen) = P(Loch Zahnschmerzen) / P(Zahnschmerzen)* = (0.016+0.064) / (0.108 + 0.012 + 0.016 + 0.064) = 0.4

*Da Zahnschmerzen bekannt muss jetzt die linke Tabellenhälfte auf 1 normiert werden.

22

Normalisierung

Nenner kann als Normalisierungskonstante angesehen werden:

α = 1 / P(Zahnschmerzen)

P(Loch | Zahnschmerzen) = α P(Loch, Zahnschmerzen) = α [P(Loch, Zahnschmerzen, catch) + P(Loch, Zahnschmerzen, catch)]= α [<0.108, 0.016> + <0.012, 0.064>] = α <0.12, 0.08> = <0.6, 0.4>

Idee: Berechne Verteilung der Abfragevariablen (Loch) in Abhängigkeit von Evidenzvariablen (Zahnschmerzen) und Summation über unbeobachtete Variable (Catch).



Bei einer Menge X von Zufallsvariablen interessieren uns – Gemeinsame a-posteriori Verteilungen der Abfragevariablen Y – bei gegebenen Werten e für die Evidenzvariablen E.

Die unbeobachteten Variablen sind H = X – Y – E,sie werden durch Summation beseitigt:

P(Y | E = e) = α P(Y,E = e) = α Σh P(Y, E= e, H = h)

Probleme:1. Worst-case Zeitkomplexität ist für n Variable O(dn), wobei d die

größte Stelligkeit (d.h. # Werte) ist.2. Raumkomplexität O(dn) um die gemeinsame Verteilung zu

speichern.3. Wie findet man die Werte für O(dn) Einträge?

––


Unabhängigkeit

• A und B sind unabhängig wenn gilt:P(A|B) = P(A) oder P(B|A) = P(B) oder P(A, B) = P(A) P(B)

Da das Wetter unabhängig von meinen Zähnen ist, gilt: P(Zahnschmerzen, Catch, Loch, Wetter) = P(Zahnschmerzen, Catch, Loch) P(Wetter)

• Damit reduzieren sich die 32 Werte in der Tabelle der gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsverteilung auf 12.

•


Unabhängigkeit

• Weiteres Bsp.: Für n Münzwürfe mit 2n Werten ergibt Unabhängigkeit Reduzierung auf n.

• Absolute Unabhängigkeit ist sehr nützlich, aber selten.

• Zahnmedizin ist ein Gebiet mit Hunderten von Variablen, die alle nicht unabhängig sind. Was tun?

•


Bedingte Unabhängigkeit• P(Zahnschmerzen, Loch, Catch) hat 23 – 1 = 7 unabhängige

Wahrscheinlichkeiten (die 8. ist festgelegt, da Summe =1 ).

• Wenn ein Loch da ist, ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Arzt es findet (catch) unabhängig davon, ob ich Zahnschmerzen habe:(1) P(Catch | Zahnschmerzen, loch) = P(Catch | loch)

• Ebenso liegt Unabhängigkeit vor, wenn kein Loch da ist:(2) P(Catch | Zahnschmerzen, loch) = P(Catch | loch)

• Nach (1),(2) ist Catch also bedingt unabhängig von Zahnschmerzen für geg. Wert für Loch:P(Catch | Zahnschmerzen, Loch) = P(Catch | Loch)

• Es ist aber nicht P(Catch | Zahnschmerzen) = P(Catch) P(Zahnschmerzen) !Denn Catch hängt sehr wohl von Zahnschmerzen ab, solange wir nichts über Loch wissen.

»•

•


Bedingte Unabhängigkeit

• Ebenso wieP(Catch | Zahnschmerzen, Loch) = P(Catch | Loch)

gilt:P(Zahnschmerzen | Catch, Loch) = P(Zahnschmerzen | Loch)P(Zahnschmerzen, Catch | Loch) = P(Zahnschmerzen | Loch) P(Catch | Loch)

• Vollständige gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung ergibt sich mittels Kettenregel:P(Zahnschmerzen, Catch, Loch)

= P(Zahnschmerzen | Catch, Loch) P(Catch, Loch)= P(Zahnschmerzen | Catch, Loch) P(Catch | Loch) P(Loch)= P(Zahnschmerzen | Loch) P(Catch | Loch) P(Loch)

d.h. 2 + 2 + 2 - 1 = 5 unabhängige Werte.

•

–•


• Meist reduziert bedingte Unabhängigkeit die Größe der Repräsentation einer gemeinsamen Verteilung von n Zufallsvariablen von „exponentiell in n“ auf „linear in n“.

• Bedingte Unabhängigkeit ist eine einfache und robuste Form der Wissensrepräsentation in unsicheren Umgebungen.

•

•

Bedingte Unabhängigkeit


Bayessche Regel• Produktregel P(ab) = P(a | b) P(b) = P(b | a) P(a)

Bayessche Regel: P(a | b) = P(b | a) P(a) / P(b)

• Dasselbe für Verteilungen:P(Y|X) = P(X|Y) P(Y) / P(X) = α P(X|Y) P(Y)

• Nützlich für Berechnung diagnostischer Wahrscheinlichkeit aus kausaler Wahrscheinlichkeit:

– P(Ursache | Wirkung) = P(Wirkung | Ursache) P(Ursache) / P(Wirkung)

– Z.B. sei M Meningitis, S sei steifer Nacken:P(M | S) = P(S | M) P(M) / P(S) = 0.8 × 0.0001 / 0.1 = 0.0008

– Beachte: A-posteriori Wahrscheinlichkeit für Meningitis ist auch bei Symptom „steifer Nacken“ sehr klein, weil die a-priori Wahrscheinlichkeit für Meningitis klein ist, die a-priori Wahrscheinlichkeit für „steifer Nacken“ dagegen wesentlich größer!

–


Bayessche Regel und bedingte Unabhängigkeit

• Bisher: Schluss auf Ursache aus einer beobachteten Wirkung (= Evidenz) der Form P(M | S) = P(S | M) P(M) / P(S)

• Wie kann man aus mehreren Evidenzen auf Ursache schließen?

• Bsp.: Evidenzen = zahnschmerzen, catch.P(Loch | Zahnschmerzen Catch)

= α P(Zahnschmerzen Catch | Loch) P(Loch) = α P(Zahnschmerzen | Loch) P(Catch | Loch) P(Loch)

P(Loch, Zahnschmerzen, Catch) = P(Zahnschmerzen | Loch) P(Catch | Loch) P(Loch)

• Dies ist ein Beispiel eines naiven Bayes-Modells der Form

P(Ursache,Wirkung1, … ,Wirkungn) = P(Ursache) πi P(Wirkungi | Ursache)


Bayessche Regel und bedingte Unabhängigkeit

Naives Bayes-Modell:

P(Ursache,Wirkung1, … ,Wirkungn) =

P(Ursache) πi P(Wirkungi | Ursache)

Gesamtzahl der Parameter ist linear in n.


Wumpus-Welt

Pij = wahr wenn Pit in [i,j]

Bij = wahr wenn Breeze in [i,j]

Wir berücksichtigen nur B1,1, B1,2, B2,1 im Wahrscheinlichkeitsmodell.


Wumpus-Welt: Wahrscheinlichkeits-Modell

• Vollständige gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung: P(P1,1 … P4,4, B1,1, B1,2, B2,1)

• Wende Produktregel an, um Regeln der Form P(Wirkung | Ursache) zu erhalten: P(B1,1, B1,2, B2,1 | P1,1 … P4,4) P(P1,1 … P4,4)

• 1. Faktor: 1, falls Pits neben Breeze, sonst 0.

• 2. Faktor: Ein Feld enthält mit der Wahrscheinlichkeit 0.2 ein Pit, dadurch ergeben sich n Pits:

P(P1,1 … P4,4) = i,j=1,1P(Pi,j) = 0.2n x 0.816-n


Wumpus-Welt: Beobachtungen und Anfragen

• Bekannt: bb = b1,1 b1,2 b2,1 („breezes bekannt“)pb = p1,1 p1,2 p2,1 („pits bekannt“)

• Anfrage:

P(P1,3 | pb, bb) = ?

• Definiere „pits unbekannt“ pu = Alle Pi,j ohne pb und, P1,3, .

• Inferenz durch Aufzählung:

P(P1,3 | pb, bb) = pu P(P1,1 … P4,4, bb)

• Aufwand wächst exponentiell mit # Felder !


Wumpus-Welt: Bedingte Unabhängigkeit

• Beobachtungen (Breeze) sind bedingt unabhängig von den anderen unbeobachteten Feldern, wenn die Nachbarfelder gegeben sind.

• Es gilt ub = Fringe Other

• P(b | P1,1 … P4,4) =

P(b | P1,3 , pb, pu) = P(bb | P1,3 , pb, Fringe) (= cf. nächste Folie!)

• Forme Anfrage so um, dass dies ausgenutzt werden kann!

36

P(P1,3 | pb, bb)

= pu P(P1,1 … P4,4, bb)

= pu P(P1,3, pb, pu, bb)

= pu P(b | P1,3 , pb, pu) P(P1,3 , pb, pu)

= fringeother P(b | P1,3 ,pb,fringe,other) P(P1,3 ,pb,fringe,other)

= fringeother P(b | P1,3 ,pb,fringe) P(P1,3 ,pb,fringe,other)

= fringeP(b | P1,3 ,pb,fringe) otherP(P1,3 ,pb,fringe,other)

= fringeP(b | P1,3 ,pb,fringe) otherP(P1,3 ) P(pb) P(fringe) P(other)

= P(pb) P(P1,3 ) fringeP(b | P1,3 ,pb,fringe) P(fringe)

other P(other)

= ´P(P1,3 ) fringeP(b | P1,3 ,pb,fringe) P(fringe)



P(P1,3 | pb, bb)

= ´P(P1,3 ) fringeP(b | P1,3 ,pb,fringe) P(fringe)

= ´<0.2 (0.04 + 0.16 + 0.16), 0,8 (0.04 + 0.16)> <0.31, 0.69>

P(P2,2 | pb, bb) <0.86, 0.14>



Zusammenfassung

• Wahrscheinlichkeitstheorie ist ein streng definierter Formalismus für unsicheres Wissen.

• Die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung spezifiziert die Wahrscheinlichkeit jedes atomaren Ereignisses, sie stellt die WB dar.

• Abfragen werden durch Summation über Wahrscheinlichkeiten atomarer Ereignisse beantwortet.

• Die „Werkzeuge“ dafür sind Unabhängigkeit und bedingte Unabhängigkeit von Variablen.


Zusammenfassung

• Bisher: – Gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung wurde als

gegeben angesehen.

– Inferenz durch Reduktion.

– Dabei war (bedingte) Unabhängigkeit nützlich.

• Reale Anwendungen:– Gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung

unbekannt.

– Unabhängigkeit muss angenommen werden, um die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung aus begrenztem Wissen zu erschließen.

Documents

KI 13 - Unsicherheit1 Mündliche Prüfungen … im Sekretariat 1.453 anmelden !