KolbenmanometerPiston Gauges

W. Jitschin

Zusammenfassung

Aufbau und Wirkungsweise des Kolben-manometers, auch Druckwaage ge-nannt, werden beschrieben. Der Gas-strom durch den Ringspalt zwischenKolben und Zylinder wird auf elementa-re Weise berechnet. Ferner wird herge-leitet, wie die Spaltbreite einerseits dieSinkgeschwindigkeit des Kolbens undandererseits die Abbremsung der Rota-tion bestimmt. Nach einer kurzen Dar-stellung handelsuÈ blicher GeraÈ te wirdein tatsaÈ chliches GeraÈ t vorgestellt undseine Eigenschaften werden diskutiert.Die mit dem GeraÈ t erreichte Meûunsi-cherheit wird abgeschaÈ tzt.

Summary

Construction and principle of the pistongauge, also called pressure balance, aredescribed. The gas flow rate in the clear-ance between piston and cylinder is cal-culated by elementary theory. Also, therelations between clearance width andboth sink velocity of the piston and de-celeration of the piston rotation are de-rived. After a brief description of com-mercial instruments, a real pistongauge is presented and its characteris-tics are discussed. The uncertaintyachievable with this instrument is esti-mated.

1 Funktionsprinzip

Die physikalische GroÈ ûe Druck p wirduÈ blicherweise definiert als VerhaÈ ltnisaus der Normalkraft FN, die auf eine FlaÈ -che wirkt, und der GroÈ ûe der FlaÈ che A,also

p � FN

A�1�

Man kann den Druck entsprechend die-ser Definition messen. Bereits im Jahr1661 hat Otto von Guericke auf dieseWeise den atmosphaÈ rischen Druck be-stimmt (Abb. 1). Bei seinem Experimentpreût der aÈ uûere Luftdruck zwei Halbku-geln, deren wirksame QuerschnittsflaÈ -che (Durchmesser 39...55 cm) bekanntist, mit einer bestimmten Kraft zusam-men. Wird nun auf die untere Halbku-geln eine genuÈ gend groûe Zugkraftdurch das Gewicht von MassenstuÈ ckenausgeuÈ bt, so werden die beiden Halbku-gel auseinandergerissen.

Ebenfalls nach der Definitionsglei-chung des Drucks arbeiten die Kolben-manometer, die auch Druckwaagen ge-nannt werden. Derartige GeraÈ te be-stehen aus einem Kolben und einem Zy-linder, wobei beide Teile sehr praÈ zise zu-sammenpassend gefertigt sind. FuÈ r dieMeûeigenschaften dieser GeraÈ te ist dieFertigungsgenauigkeit entscheidend.Diese konnte in den letzten Jahrendurch EinfuÈ hrung neuer Werkstoffe und

durch verbesserte Bearbeitungsmetho-den wesentlich gesteigert werden.

Im folgenden wird die Bauform mit be-weglichem Kolben und festem Zylinderbetrachtet (Abb. 2). Auch die umge-kehrte Anordnung, die gleiche Eigen-schaften besitzt, wird in der Praxis ver-wendet. Im Betrieb schwebt der KolbenvoÈ llig frei, indem seine Gewichtskraft ge-rade durch die Druckkraft infolge der un-terschiedlichen DruÈ cke auf die beidenStirnseiten des Kolbens kompensiertwird. Zur Messung hoÈ herer DruÈ cke wer-

Vakuum in Forschung und Praxis (2000) Nr. 4 259±264Ó WILEY-VCH Verlag GmbH, D-69451 Weinheim, 2000

0947-076X/00/0408-0259/$17.50+.50/0 259

Abb. 1: O. v. Guerickes Galgenver-such zur Messung des atmosphaÈ ri-schen Luftdrucks.

den zusaÈ tzliche MassenstuÈ cke auf denKolben aufgelegt. Die wirkende Kraftist somit immer gleich der Schwerkraft,naÈ mlich FN �m�g und fuÈ r den Druckauf die untere StirnflaÈ che des Kolbensergibt sich:

p1 � Rm � gA� p2 �2�

FuÈ r den Einsatz als genaues Druckmeû-geraÈ t ist es wichtig, jegliche Reibungs-kraft in vertikaler Richtung (Achsenrich-tung) zu vermeiden. Deshalb darf mankeine uÈ bliche Dichtung zwischen Kol-ben und Zylinder verwenden. UÈ blich istein sehr enger Spalt zwischen beidenTeilen, der eine nahezu dichte Absper-rung bewirkt. Um ein Haften des Kol-bens an der Zylinderwand zu vermei-den, wird der Kolben in Rotation ver-setzt. Das StroÈ mungsverhalten des Ga-ses im Spalt bewirkt dann eine Zentrie-rung des Kolbens.

Aufgrund des Wirkungsprinzips mes-sen Kolbenmanometer den Differenz-druck. BetraÈ gt der Druck p2 oberhalbdes Kolbens z. B. AtmosphaÈ rendruck,so spricht man vom Betrieb im ¹gaugemodeª. In diesem Fall muû bei genauenMessungen der statische Auftrieb derMassen im Gas beruÈ cksichtigt werden.Wird der Druck p2 auf nahezu Null abge-senkt, so laÈ ût sich der Absolutdruckmessen, man spricht dann vom Betriebim ¹absolute modeª. In diesem Fall muûein geringer Restdruck p2 beruÈ cksichtigtwerden.

Als Fluid werden bei kleinen DruÈ ckenGase (meist Luft oder Stickstoff) ver-wendet, die eine geringe ViskositaÈ t ha-ben und damit nur geringe Reibungs-kraÈ fte bewirken. Bei hohen DruÈ ckenwerden spezielle OÈ le eingesetzt, derenViskositaÈ t genuÈ gend klein fuÈ r eine gerin-ge Reibung und genuÈ gend groû fuÈ r einekleine Leckage ist. Im Folgenden wirdnur der Fall von Gasen als Fluid betrach-tet. Diese werden als kompressibles Me-dium bei isothermen Bedingungen be-trachtet. Unter diesen Bedingungen istdas Volumen einer bestimmten Gas-menge umgekehrt proportional zumDruck und die ViskositaÈ t ist praktischdruckunabhaÈ ngig.

Eine kompetente Darstellung desStandes der Technik und sorgfaÈ ltige Ana-lysen der metrologischen Eigenschaftenunter BeruÈ cksichtigung der verschiede-nen StoÈ reffekte findet sich in der Fachli-teratur [1, 2, 3]. In der vorliegenden Ver-oÈ ffentlichung wird eine einfuÈ hrende Be-handlung mit elementarer Behandlungder GasstroÈ mung praÈ sentiert.

2 Berechnung der GasstroÈ -mung im Ringspalt

Bei der Berechnung der StroÈ mung wirddavon ausgegangen, daû die GasstroÈ -mung im Spalt zwischen Kolben und Zy-linder laminar ist und dem NewtonschenReibungsansatz folgt. Nach diesem An-satz ist die Reibungskraft FR zwischenzwei (tatsaÈ chlichen oder gedachten) FlaÈ -chen A, die sich im Abstand dz gegen-einander mit der Relativgeschwindig-keit dv bewegen, gegeben durch:

FR � g � A � dv

dz�3�

Die im Folgenden angenommene Geo-metrie und verwendete Bezeichnungsind in Abb. 3 gezeigt. Kolben und Zylin-der haben die ideale Geometrie von ko-axialen Kreiszylindern mit den Durch-messern dK bzw. dZ. Man kann einenmittleren Durchmesser d und eine Spalt-breite s einfuÈ hren:

d � 1/2 (dZ + dK) (4a)

s � 1/2 (dZ ± dK) (4b)

Bei Kolbenmanometern ist die Spalt-breite immer sehr klein gegen die Durch-

messer von Kolben und Zylinder, alsos�d. Daher werden in der folgendenRechnung nur Terme in erster Ordnungin s / d beruÈ cksichtigt, waÈ hrend TermehoÈ herer Ordnung vernachlaÈ ssigt werden.

Infolge des Druckunterschiedes aufden beiden StirnflaÈ chen des Kolbens er-gibt sich eine StroÈ mung der Richtungparallel zu Achse. Die StroÈ mungsge-schwindigkeit haÈ ngt sowohl von der lon-gitudinalen als auch von der radialenPosition ab. FuÈ r ein bestimmtes kleinesLaÈ ngenelement d`, uÈ ber dem ein Druckdp abfaÈ llt, laÈ ût sich die radiale Verteilungder StroÈ mungsgeschwindigkeit aus derBedingung herleiten, daû die KraÈ ftedurch den Druckabfall und durch innereReibung (Gleichung 3) betragsmaÈ ûiggleich sind. Unter BeruÈ cksichtigungder Randbedingungen v(1¤2 dK) �v(1¤2 dZ) � 0 erhaÈ lt man:

v�r�� ÿ1

2 � g �dp

d`� �r ÿ1=2dZ���r ÿ1=2dK� �5�

260 Vakuum in Forschung und Praxis (2000) Nr. 4

Abb. 2: Schnittzeichnung des vor-handenen Kolbenmanometers.

Abb. 3: Bezeichnungen fuÈ r die Be-rechnung der GasstroÈ mung.

Aus dieser Gleichung kann man den Vo-lumenstrom an der Stelle des betrachte-ten LaÈ ngenelements durch IntegrationuÈ ber die QuerschnittsflaÈ che des Ring-spalts herleiten (vgl. auch die Formel inder Mitte von S. 189 von Ref. 1):

dV

dt� p

12� dg� dp

d`� s3 �6�

FuÈ r den pV-Durchfluû durch den Ring-spalt, der im betrachteten Fall der iso-thermen StroÈ mung eines idealen GasesuÈ ber die gesamte LaÈ nge konstant ist, er-haÈ lt man schlieûlich:

qpV � p24� p

21 ÿ p2

2

`� dg� s3 �7�

Das ist die bekannte Formel fuÈ r den pV-Durchfluû durch einen Spalt bei viskoserStroÈ mung (z. B. Formel 19 in [4], Formel2.85 in [5]).

Eine Folge der GasstroÈ mung ist dieWandreibung des Gases, die zu einernach oben gerichteten Kraft auf den Kol-ben fuÈ hrt. Diese Reibungskraft laÈ ût sichebenfalls durch den Newtonschen An-satz berechnen. FuÈ r ein kurzes LaÈ ngen-element d` des Kolbens, das die Mantel-flaÈ che dA � p � dK � d` hat, ergibt sich:

dFR � g � dA � dv

dr�8�

wobei die Ableitung dv/dr an der Steller � 1¤2dK zu nehmen ist. IntegrationuÈ ber die LaÈ nge d` liefert schlieûlich diegesamte longitudinale Kraft durch dieGasreibung:

FR �1=2 � p � dK � s � �p1 ÿ p2� �9�

Interessanterweise kuÈ rzt sich bei derBerechnung der Reibungskraft (Glei-chung 9) die ViskositaÈ t heraus, da einGas mit kleiner ViskositaÈ t zwar schnel-ler stroÈ mt als ein Gas mit hoher Viskosi-taÈ t, aber wegen der geringeren Rei-bungskraft bei gleicher Geschwindig-keit letztendlich die gleiche Reibungs-kraft bewirkt. Somit ist die Kraft durchGasreibung unabhaÈ ngig vom verwende-ten Gas.

Im stationaÈ ren Schwebezustand desKolbens ist seine Gewichtskraft gleichder Summe aus Kraft infolge der Druck-differenz auf seinen beiden Stirnseitenund der soeben errechneten Kraft infol-ge der Reibung an seiner MantelflaÈ che,also:

Rm � g �1=4 � p � d2K � �p1 ÿ p2�

� 1=2 � p � dK � s � �p1 ÿ ps� �10a�

� 1=4 � p � �d2 ÿ s2� � �p1 ÿ p2� �10b�

� �1=4 � p � d2 � �p1 ÿ p2� �10c�

In Gleichung (10b) geht die Schlitzbreitenur mit s2, also in zweiter Ordnung in s/dein, und ist somit wegen der Bedingungs� d vernachlaÈ ssigbar. Gleichung (10c)zeigt, daû man als wirksame FlaÈ chenicht die StirnflaÈ che des Kolbens son-dern die StirnflaÈ che des Kolbens plushalbe QuerschnittsflaÈ che des Spaltesnehmen muû. Es ist allgemein uÈ blich,diese SummenflaÈ che zu nehmen undals effektive (also wirksame) FlaÈ che Abezeichnen. Man kann diesen Sachver-halt auch so ausdruÈ cken: In der Mittedes Ringspaltes ist der Geschwindig-keitsgradient dv/dr gleich Null, man hathier eine neutrale FlaÈ che. Das Kolben-manometer funktioniert so, als ob es ei-nen fiktiven Kolben besitzt, dessenStirnflaÈ che sich bis zum Radius der neu-tralen FlaÈ che erstreckt.

Schlieûlich ist zu beruÈ cksichtigen, daûAÈ nderungen der Temperatur infolge derthermischen Ausdehnung von Kolbenund Zylinder eine AÈ nderung der effekti-ven FlaÈ che bewirken. Wird diese FlaÈ chebei einer Bezugstemperatur W � 20 8Czu A0 bestimmt, so ergibt sich schlieû-lich fuÈ r den Druck:

p1� Rm � gA0 � �1��aK� aZ� � �Wÿ 208C�� � p2

�11�

Hier sind aK und aZ die thermischen LaÈ n-genausdehnungskoeffizienten von Kol-ben und Zylinder.

Der anliegende Druck bewirkt eineVerformung von Kolben und Zylinder,wodurch die Spaltbreite groÈ ûer wird.Die GroÈ ûe dieses Effekts haÈ ngt von de-ren Bauformen und den ElastizitaÈ tsmo-duln der Materialien ab, Abb. 4 zeigtein Beispiel. Bei DruÈ cken bis zu einigenBar kann dieser Effekt jedoch vernach-laÈ ssigt werden.

3 Effekte der GroÈ ûe desRingspaltes

Die Breite des Ringspaltes zwischenKolben und Zylinder geht nicht direktin die Druckmessung ein, wie oben ge-zeigt wurde. Sie beeinfluût jedoch denGasstrom durch den Spalt (Leckage) so-wie die Abbremsung der Kolbenrotation.Beide Effekte sollen nun berechnet wer-den.

Der Leckagestrom wurde bereits aus-gerechnet (Gleichung 7). ExperimentelllaÈ ût sich dieser Strom leicht dadurch er-mitteln, daû der Kolben allmaÈ hlich sinkt,wenn kein Gas auf der Druckseite (p1)nachgeliefert wird. Die Sinkgeschwin-digkeit des Kolbens errechnet sich zu:

dz

dt� 1

A� dV

dt

� 1p=4d2

� qpV

p1

� 1

6� p

21 ÿ p2

2

p1� s3

p � d � ` �12�

Nun zur Abbremsung der Kolbenrotati-on. Das bremsende Drehmoment M in-folge der Gasreibung errechnet sichals Produkt aus Hebelarm (1¤2 dK � 1¤2 d)und tangentialer Wandreibungskraft zu:

M �1=2 � d � FR

�1=2 � d � g � AWand � dvrot

dr�13�

Vakuum in Forschung und Praxis (2000) Nr. 4 261

Abb. 4: Elastische Verformung einesKolbenmanometers bei hohen Ar-beitsdruÈ cken, berechnet durch Fi-nite-Elemente-Analyse (nach Ref. 11).

Mit der WandflaÈ che A � p �d � ` und derTangentialgeschwindigkeit der Rotationvrot � p � n �d, die uÈ ber die Streckedr � s abfaÈ llt, ergibt sich (vgl. auch dieFormel in der unteren HaÈ lfte von S.189 von Ref. 1):

M � p2

2� g � ` � n � d

3

s�14�

In dieser Gleichung bezeichnet n dieDrehzahl der Kolbenrotation. BetraÈ gtdas MassentraÈ gheitsmoment des Kol-bens J, dann errechnet sich fuÈ r die resul-tierende relative Abbremsung:

1

n� dn

dt� ÿ 1

n� M

2 � p � J

� ÿp4� g � ` � d

3

s � J �15�

4 HandelsuÈ bliche GeraÈ te

Kolbenmanometer werden weltweit vonwenigen, hierauf spezialisierten Firmengefertigt. GeraÈ te fuÈ r hohe DruÈ cke besit-zen einen kleinen Kolben (Durchmessernur wenige mm), auf den hohe KraÈ ftewirken. Hier ist die durch den Druck ver-ursachte Deformation erheblich, auchwenn Werkstoffe mit hoÈ chster HaÈ rte(z. B. Wolframkarbid) verwendet wer-den. Abb. 4 zeigt berechnete Deforma-tionen bei einem derartigen GeraÈ t mit3,2 mm Kolbendurchmesser.

Bei GeraÈ ten fuÈ r AtmosphaÈ rendruckbzw. Grobvakuum hat der Kolben ty-pisch wenige Zentimeter Durchmesser.Ein derartiges GeraÈ t ist unten in Kapitel5 detaillierter beschrieben.

Eine interessante Neuentwicklung istein Kolbenmanometer der Firma Fur-ness Controls, das speziell fuÈ r sehrkleine DruÈ cke (Feinvakuumbereich) aus-gelegt ist. Der Kolbendurchmesser istvergleichsweise sehr groû ± je nach Ge-raÈ teversion bis zu etwa 100 mm. Die Be-stimmung der Druckkraft erfolgt nichtdurch Auflegen von Gewichten, son-dern mittels einer hochwertigen Analy-senwaage. Die Waage erlaubt ein Austa-rieren des Eigengewichtes des Kolbens,so daû man auch DruÈ cke messen kann,die kleiner sind als zum Heben des Kol-bens erforderlich. Eine Kontrolle derWaage kann im Betrieb durch Auflegenvon MassenstuÈ cken erfolgen. Eine Be-

sonderheit dieses GeraÈ tes ist, daû derKolben nicht rotiert sondern von einerfederelastischen Halterung parallel ge-fuÈ hrt wird. Diese LoÈ sung konnte ge-waÈ hlt werden, da der Ringspalt zwi-schen Kolben und Zylinder im Vakuum-bereich wegen des schlechteren StroÈ -mungsleitwerts groÈ ûer gewaÈ hlt werdendarf. Nach Hersteller wird eine relativeUnsicherheit besser als 0,01 % bei Ab-solutdruÈ cken von 1 bis 70 mbar er-reicht. Zu kleinen DruÈ cken hin wird dieUnsicherheit durch die AufloÈ sung von2�10-5 mbar begrenzt.

5 Daten eines tatsaÈ chlichenGeraÈ ts

Im Labor fuÈ r Vakuumtechnik der Fach-hochschule Gieûen-Friedberg ist einKolbenmanometer (Modell 6100) desbritischen Herstellers PressurementsLtd. vorhanden. Das Kolben-Zylinder-System hat einen Durchmesser dK �dZ �16 mm, die wirksame HoÈ he be-traÈ gt ` � 38,5 mm. Die Spaltweite ist zu-naÈ chst nicht bekannt, ein typischer Wertderartiger GeraÈ te liegt in der GroÈ ûenord-nung s � 1 lm.

Der kleinste einstellbare Differenz-druck betraÈ gt (p1 ± p2) � 30 mbar undist durch das Eigengewicht desKolbens begrenzt, das einschlieûlichder permanent montierten Kompo-nenten fuÈ r HoÈ henanschlag und Mas-senstuÈ ckaufnahme ca. 61,7 g betraÈ gt.Der groÈ ûte einstellbare DifferenzdruckbetraÈ gt 2000 mbar und wird durchAuflegen zusaÈ tzlicher GewichtsstuÈ cke(Masse insgesamt ca. 4116,2 g) reali-siert.

Die vom Hersteller mitgelieferte Vaku-umglocke besteht aus einem Kunststoff-rohr mit Aluminiumdeckel, ferner befin-det sich der Elektromotor zum Antriebder Kolbenrotation im Vakuumsystemder Glocke. Zum Pumpen wird eine imLabor vorhandene, zweistufigen Dreh-schieberpumpe (NennsaugvermoÈ gen32 m3/h) verwendet. Nach einer relativkurzen Pumpzeit von einer bis wenigenMinuten, was typisch fuÈ r den Einsatzbei Kalibrierungen ist, wird ein Restgas-druck vom etwa 0,02 mbar gemessen.Der tatsaÈ chliche Gasanfall laÈ ût sich ex-perimentell bestimmen, indem die Pum-pe uÈ ber ein Ventil abgetrennt wird undder zeitliche Druckanstieg in der Glockegemessen wird. Ein typischer Meûwert

ist qpV � 0,06 mbar�l/s. Dieser Gasan-fall resultiert hauptsaÈ chlich aus demAusgasen der Glocke, waÈ hrend der Lek-kagestrom durch den Ringspalt des Kol-ben-Zylinder-Systems klein hiergegenist, wie eine rechnerische AbschaÈ tzungzeigt (siehe unten) und wie auch ausder experimentellen Beobachtungfolgt, daû der Gasanfall praktisch unab-haÈ ngig vom Kolbendruck p2 ist.

Kunststoffe geben bekanntlich groûeMengen von Gas ab, das hauptsaÈ chlichaus Wasserdampf besteht. Typisch isteine flaÈ chenbezogene Gasabgaberatenach wenigen Minuten von 1�10-4

mbar�l/(s�cm2) [6]. FuÈ r das Kunststoff-rohr der vorhanden Vakuumglocke er-rechnet sich hieraus ein Gasabgabe-strom qpV � 0,08 mbar�l/s. Dieser grobabgeschaÈ tzte Wert stimmt gut mit demexperimentellen Meûwert uÈ berein. Ausdem gemessenen Restgasdruck p2

und dem gemessenen Gasanfall qpV er-rechnet sich ein tatsaÈ chlich an der Vaku-umglocke vorhandenes SaugvermoÈ gender Pumpe von 11 m3/h. Dieses betraÈ gtsomit nur ein Drittel des Nennsaugver-moÈ gens, was vermutlich auf StroÈ mungs-verluste in der Anschluûleitung (40 mmNennweite und 1 m LaÈ nge) und Saugver-moÈ gensabfall in NaÈ he des Pumpen-enddrucks zuruÈ ckzufuÈ hren ist.

Durch selbst durchgefuÈ hrte einfacheUmbauten konnten der Gasanfall undder Restgasdruck erheblich verringertwerden [12].

Der Leckagestrom des Kolben-Zylin-der-Systems wurde in einem Experi-ment gemessen, um die Breite desRingspaltes zu bestimmen. Dabei wur-den fuÈ r die Sinkgeschwindigkeit folgen-de Werte erhalten:1. Messung bei p1 � 2 bar, p2 � 1 bar:

Sinkgeschwindigkeit:dz/dt � 0,28 mm/min

2. Messung bei p1 � 3 bar, p2 � 1 bar:Sinkgeschwindigkeit:dz/dt � 0,52 mm/min

Die Daten wurden mit Luft bei Raumtem-peratur erhalten (g � 18,2�10-6 Pa�s). DieSinkgeschwindigkeiten war praktischgleich, wenn der Kolben rotierte odernicht rotierte.

Aus den Meûwerten errechnet sichunter Benutzung von Gleichung (7) einLeckagestrom durch den Ringspaltvon 0,002 mbar�l/s (1. Messung) bzw.0,005 mbar�l/s (2. Messung). Unter Be-nutzung von Gleichung (12) ergibt sichaus beiden Messungen uÈ bereinstim-mend eine Spaltbreite s � 1,8 lm. Die-

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ser Wert ist als oberer Grenzwert anzu-sehen, da jede Undichtigkeit (z. B. in derVerrohrung) ebenfalls zu einem Fallendes Kolbens fuÈ hrt.

Weiterhin wurde an dem GeraÈ t die Ab-bremsung der Kolbenrotation gemes-sen, um auch hieraus die Spaltbreitezu bestimmen. Die Abbremsung iststark von der Sauberkeit abhaÈ ngig, dakleinste Partikel im Luftspalt bereitseine deutliche Abbremsung bewirkenund eine Gasreibung vortaÈ uschen. DieMessung wurde nach sorgfaÈ ltigem Put-zen vorgenommen. Dabei war ein Mas-senstuÈ ck fuÈ r 1000 mbar aufgelegt, des-sen MassentraÈ gheitsmoment sich ausMasse und Form zu J � 7,4�10-3

kg�m2 berechnet. Ferner betrugen dieDruÈ cke p1 � 2 bar und p2 � 1 bar. Diegemessene zeitliche Abnahme derDrehzahl ist in Abb. 5 gezeigt. Aus denMeûdaten ergibt sich:1. Wert bei einer mittleren Drehzahl

n � 0,74 s±1 :Drehzahlabnahme:dn/dt � ±3,3�10-4s±2.

2. Wert bei einer mittleren Drehzahln � 0,46 s±1:Drehzahlabnahme:dn/dt � -2,0�10±4s-2.

Unter Benutzung von Gleichung (15)folgt aus beiden Daten eine Spaltbreites � 0,7 lm. Dieser Wert ist als untereGrenze anzusehen, da Staubpartikelim Spalt und Gasreibung des rotieren-den MassenstuÈ cks in der umgebendenLuft ebenfalls eine Abbremsung bewir-ken.

Aus den experimentellen Daten fuÈ r dieSinkgeschwindigkeit und die Abbrem-der Rotation ergibt sich somit, daû dieSpaltbreite zwischen 0,7 und 1,8 lmliegt. FuÈ r eine genauere Angabe derSpaltbreite muÈ ûte man moÈ gliche StoÈ ref-fekte ausschlieûen koÈ nnen. Hierzu ge-hoÈ ren eine Variation der SpaltbreiteuÈ ber LaÈ nge und Umfang des Kolbenssowie eine Verkippung oder PraÈ zessi-onsbewegung des Kolbens, wie in Ref.1 diskutiert.

Sinkgeschwindigkeit und Abbrem-haÈ ngen von den gewaÈ hlten DruÈ cken p1

und p2 ab. Unter den Bedingungen derAbb. 5 schwebt der Kolben mehrere Mi-nuten, bis er infolge des Gasverlustesauf der Unterlage aufsetzt, wenn nichtGas nachgefuÈ llt wird. Interessanterwei-se ist die Abbremsung so gering, daûder Kolben nach 20 min nach dem An-treiben noch mit etwa der halben An-fangsdrehzahl rotiert.

6 Meûunsicherheit

FuÈ r die Anwendung des Kolbenmano-meters als PraÈ zisions-DruckmeûgeraÈ tist die Meûunsicherheit entscheidend.Um eine geringe Unsicherheit zu errei-chen, muÈ ssen alle zur Berechnung desDrucks in Gleichung (11) eingehendenGroÈ ûen mit kleiner Unsicherheit be-kannt sein. Die Massen von Kolbenund GewichtsstuÈ cken lassen sich mitAnalysenwaagen mit hoher Genauig-keit bestimmen und bereiten kein Pro-blem. Die lokale Fallbeschleunigung istz. B. aus Daten der Landesvermessung-saÈ mter sehr genau bekannt. Die thermi-sche Korrektur bereitet ebenfalls keinProblem, da meist bei Temperaturen ge-arbeitet wird, die von der Bezugstempe-ratur 20 8C nur um wenige 8C abwei-chen.

Ein ernsthaftes Problem stellt jedochdie Messung der wirksamen Quer-schnittsflaÈ che A0 dar, da diese mit ho-her Genauigkeit erfolgen muû und zu-dem die tatsaÈ chliche Geometrien vonKolben und Zylinder von einem idealenKreiszylinder mehr oder weniger starkabweichen. Es gibt Untersuchungen,bei denen mit hohem Aufwand die geo-metrischen Formen von Kolben und Zy-linder praÈ zise bestimmt wurden [1, 3],Dieser Aufwand ist zu hoch, um jedeseinzelne GeraÈ t zu vermessen. ManschlaÈ gt daher in der Praxis meist einenanderen Weg ein, naÈ mlich die Kalibrie-rung des Kolbenmanometers gegenein anderes NormalgeraÈ t, wodurch diewirksame QuerschnittsflaÈ che indirektbestimmt wird [7]. Als NormalgeraÈ te eig-nen sich PraÈ zisions-Quecksilber-Mano-

meter oder Kolbenmanometer mit ge-nau bekannter QuerschnittsflaÈ che.Durch diesen Weg des GeraÈ tever-gleichs wird zudem die im gesetzlichenMeûwesen geforderte RuÈ ckfuÈ hrbarkeitauf nationale Normale gewaÈ hrleistet,wenn das verwendete NormalgeraÈ tdurch ein Zertifikat des Deutschen Kali-brierdienstes oder der Physikalisch-Technischen Bundesanstalt charakteri-siert ist.

Die einzelnen Unsicherheiten fuÈ r dasan der Fachhochschule Gieûen-Fried-berg vorhandene Kolbenmanometerbei Messungen des Absolutdrucks sol-len nun quantitativ betrachtet werden.Alle angegeben Unsicherheiten bezie-hen sich auf den 2r ± Vertrauensbe-reich, wie in Richtlinien gefordert [8].a) Die oÈ rtliche Fallbeschleunigung im

Laboratorium betraÈ gt:g � (9,8108 � 0,0002) m/s2.

b) Die Korrektur auf thermische Aus-dehnung des Kolben-Zylinder-Sy-stems betraÈ gt gemaÈ û Kalibrier-schein der PTB [9]:aK + aZ � (22 � 2)�10-6 K-1

Bei einer Temperaturunsicherheit von0,5 K resultiert hieraus eine relativeDruckunsicherheit von 1�10-5.

c) Die wirksame KolbenflaÈ che A0 hatden WertA0 � (0,201 893� 0,000 020)�10-3 m2

gemaÈ û Zertifikat des Herstellers [10],A0 � (0,201 894� 0,000 013)�10-3 m2

gemaÈ û Kalibrierschein der PTB [9].d) Der Restgasdruck p2 in der Vakuum-

glocke betraÈ gt typisch 0,02 mbar undwird mit einem kalibrierten WaÈ rmelei-tungs-Vakuummeter gemessen. DieUnsicherheit des Restdrucks liegtbei 0,01 mbar. Die angegebene Unsi-cherheit ist recht hoch, da auch dieGaszusammensetzung beruÈ cksich-tigt werden muû: Das Restgas be-steht vermutlich hauptsaÈ chlich ausWasserdampf, waÈ hrend das verwen-dete WaÈ rmeleitungs-VakuummeterfuÈ r Stickstoff kalibriert ist. Bei einerMeûreihe mit dem Kolbenmanome-ter ist der Restgasdruck recht gutkonstant, so daû ein Fehler bei derMessung des Restgasdrucks ledig-lich zu einer NullpunktverschiebungfuÈ hrt.

e) Eine weitere Unsicherheitsquelle istdie Wiederholbarkeit der Druckein-stellung, d. h. die UÈ bereinstimmungaufeinanderfolgender Druckerzeu-gungen unter gleichen Bedingun-gen. Diese Unsicherheitsquelle er-

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Abb. 5: Abnahme der Drehzahl desfrei rotierenden Kolbens mit der Zeit(experimentelle Bedingungen sieheText).

scheint zwar nicht in Gleichung (11),muû jedoch beruÈ cksichtigt werden.Um diese Unsicherheit zu bestim-men, wurden wiederholte Vergleichedes Kolbenmanometers gegen einkapazitives MembranmanometerdurchgefuÈ hrt. Es ergab sich eine Wie-derholbarkeit von 0,016 mbar. DieserWert beinhaltet sowohl die Wieder-holbarkeit des Membranmanome-ters als auch des Kolbenmanome-ters. Im Kalibrierschein des Kolben-manometers [9] wird eine absoluteUnsicherheit von 0,012 mbar ange-geben.

Es gibt also zwei Arten von BeitraÈ genzur Gesamtunsicherheit: Die Unsicher-heiten a), b) und c) sind proportionalzum Druck, die Unsicherheiten d) unde) sind unabhaÈ ngig vom Druck. GemaÈ ûder Richtlinien [8] sind die einzelnen un-korrelierten BeitraÈ ge zur Gesamtunsi-cherheit quadratisch zu addieren. Da-mit ergibt sich folgendes Ergebnis fuÈ rdie Meûunsicherheit des vorhandenenKolbenmanometers:

(Dp)2 � (7�10-5 � p)2 + (0,01 mbar)2 (16)

Dieser Wert ist sicherlich als konservativzu bewerten. Mit derartigen GeraÈ ten las-sen sich erheblich kleinere Unsicherhei-ten erreichen, wenn die eingehendenGroÈ ûen und StoÈ reffekte sehr sorgfaÈ ltigevaluiert werden [3]. FuÈ r die Anwen-dung des Kolbenmanometers aus Aus-gangsgeraÈ t zur Aufbau einer Druck-skala im Vakuumbereich ist die angege-bene Unsicherheit jedoch voÈ llig ausrei-chend.

Danksagungen

Wertvolle VerbesserungsvorschlaÈ ge fuÈ rdas Manuskript stammen von Dr. J. JaÈ -ger und Dipl.-Ing. M. KloÈ fkorn.

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[7] European cooperation for Accredi-tation of Laboratories, RichtlinieEAL-G26: Calibration of PressureBalances (1997)

[8] Richtlinien DKD-3 und DKD-3 E1(1998)

[9] PTB Kalibrierschein 0003 PTB 97(1999)

[10] Pressurements calibration certifi-cate No. R 3431 (1996)

[11] W. Sabuga, Elastic Distortion Cal-culations at PTB on a PTB 400MPa Pressure Balance as Part ofEUROMET Project 256, PTB-Be-richt W-60 (1995), zitiert von J. JaÈ -ger, DKD aktuell, S. 4 (1/1997)

[12] W. Jitschin, Vakuum in Forschungund Praxis 12, 191 (3/2000)

Kurzbiografie

Wolfgang Jitschin, Jahrgang 1951, pro-movierte 1977 in Physik an der Universi-taÈ t Bonn. Seit 1989 ist er Professor fuÈ rPhysik und Vakuumtechnik an der Fach-hochschule Gieûen-Friedberg.

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