Kombinatorische Dyson-Schwinger-Gleichungenkreimer/wp-content/uploads/Fahrner.pdf · Kapitel 1 Einleitung In der vorliegenden Arbeit liegt das Hauptaugenmerk auf der Klassi kation

Kombinatorische Dyson-Schwinger-Gleichungen

MASTERARBEIT

zur Erlangung des akademischen Grades

Master of Science (M. Sc.)

im Fach Mathematik

eingereicht an der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät II

Institut für Mathematik Humboldt-Universität zu Berlin

von

Herrn Marius Fahrner geboren am 28.06.1986 in Frankfurt a. M.

Betreuung: 1. Herr Prof. Dr. Dirk Kreimer 2. Herr Prof. Dr. Remke Nanne Kloosterman eingereicht am: 17.01.2013

2

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 51.1 Danksagung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Physikalischer Hintergrund 72.1 Dyson-Schwinger-Gleichungen auf der Ebene von Feynman-Diagrammen . 72.2 Dyson-Schwinger-Gleichungen auf der Ebene von Wurzelbaumen . . . . . . 21

3 Kombinatorische Dyson-Schwinger-Gleichungen 293.1 Hopf-Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2 Kombinatorische Dyson-Schwinger-Gleichungen im eindimensionalen Fall . 33

3.2.1 Das Haupttheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2.2 Aus 2.) folgt 3.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2.3 Aus 4.) folgt 1.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.2.4 Isomorphieklassen von AN,α,β bzw. Aα,β . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.3 Kombinatorische Dyson-Schwinger-Gleichungen im mehrdimensionalen Fall 523.3.1 Systeme kombinatorischer Dyson-Schwinger-Gleichungen . . . . . . 523.3.2 Wann ist (S) Hopf? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.3.3 Beweis der Hinrichtung von Theorem 3.3.2.2 . . . . . . . . . . . . . 69

3.4 Abschließende Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.4.1 Der Versuch einer Quantisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4 Fazit 89

5 Literaturverzeichnis 91

3

4 INHALTSVERZEICHNIS

Kapitel 1

Einleitung

In der vorliegenden Arbeit liegt das Hauptaugenmerk auf der Klassifikation kombinatori-scher Dyson-Schwinger-Gleichungen, die nach den theoretischen Physikern Freeman JohnDyson und Julian Seymour Schwinger benannt sind. Die physikalische Motivation fur ei-ne solche Beschaftigung bilden die Dyson-Schwinger-Gleichungen, die Wechselwirkungenzwischen verschiedenen Teilchen beschreiben. Diese Gleichungen werden in Kapitel 2.1 be-schrieben. Da sich Dyson-Schwinger-Gleichungen aber schwer berechnen lassen, sucht mannach einem geeigneten Morphismus, um mit dessen Hilfe Dyson-Schwinger-Gleichungenin kombinatorische Dyson-Schwinger-Gleichungen zu uberfuhren. Eine Auseinanderset-zung mit dieser Thematik findet in Kapitel 2.2 statt. Kombinatorische Dyson-Schwinger-Gleichungen lassen sich nun sowohl im eindimensionalen Fall als auch im mehrdimensiona-len Fall untersuchen. Der eindimensionale Fall wird in Kapitel 3.2, der mehrdimensionalein Kapitel 3.3 behandelt. In beiden Fallen werden Kriterien angegeben, unter denen dievon den Losungen der kombinatorischen Dyson-Schwinger-Gleichungen erzeugten Alge-bren Hopf-Algebren (diese werden in Kapitel 3.1 definiert) sind, da nur solche kombina-torischen Dyson-Schwinger-Gleichungen auch physikalisch relevant sind. Sollte schließlichdie von der Losung einer kombinatorischen Dyson-Schwinger-Gleichung erzeugte Algebraeine Hopf-Algebra sein, so kann man sich fragen, ob mit Hilfe eines Drinfield-Twists ausdieser Hopf-Algebra eine neue Hopf-Algebra entstehen kann, deren Algebra-Struktur mitder alten Hopf-Algebra identisch ist. Dieser Frage wird in Kapitel 3.4 nachgegangen. Ausphysikalischer Sicht ist sie dadurch motiviert, dass sich - sollte man sie positiv beantworten- Ruckschlusse auf den Wirkungsquerschnitt des von der jeweiligen (kombinatorischen)Dyson-Schwinger-Gleichung beschriebenen Prozesses ziehen lassen.

5

6 KAPITEL 1. EINLEITUNG

1.1 Danksagung

Bedanken mochte ich mich zunachst bei meiner Familie, vor allem meinen Eltern, sowieCarolin fur ihre Unterstutzung. Außerdem danke ich Joao und Dirk fur ihre Engelsgeduldbei allen Latex-Problemen und last but not least Dirk Kreimer fur seine freundliche undimmer spannende Betreuung wahrend der Masterarbeit.

Kapitel 2

Physikalischer Hintergrund

In Kapitel 2 sei stets K ein Korper der Charakteristik null. In der gesamten Arbeit sei0 ∈ N. Wir behandeln in diesem Kapitel die aus der Quantenelektrodynamik bekanntenDyson-Schwinger-Gleichungen, die sich mittels eines geeigneten Morphismus auf kombi-natorische Dyson-Schwinger-Gleichungen, den Hauptgegenstand der vorliegenden Arbeit,ubertragen lassen. Ohne dabei auf Details einzugehen oder eingehender auf physikali-sche Zusammenhange hinzuweisen, wird versucht, den Weg von den Dyson-Schwinger-Gleichungen zu den kombinatorischen Dyson-Schwinger-Gleichungen zu skizzieren.

2.1 Dyson-Schwinger-Gleichungen auf der Ebene von

Feynman-Diagrammen

Bemerkung 2.1.1 In der Quantenelektrodynamik tauchen Gleichungen folgender Form(Dyson-Schwinger-Gleichungen) auf:

7

8 KAPITEL 2. PHYSIKALISCHER HINTERGRUND

�

=

�

(1−

�

)−1

=

�

+

�

+

�

+ · · · (2.1)

�

=

�

(1−

�

)−1

=

�

+

�

+

�

+ · · · (2.2)

2.1. DYSON-SCHWINGER-GLEICHUNGEN AUF DER EBENE VONFEYNMAN-DIAGRAMMEN

9

� (α) =� + α�+ α2

�+ · · · (2.3)

Hierbei symbolisieren

�

Eichbosonenlinien,

�

negativ

geladene Fermionenlinien und

�

positiv geladene Fermionenlinien. Bei-

spielsweise kann� den Prozess symbolisieren, in dem ein Elektron und ein

Positron (das Antiteilchen des Elektrons) aufeinandertreffen, sich gegenseitig vernichtenund dadurch - wegen des Energieerhaltungsprinzips - ein Photon erzeugen. Da ein sol-cher Vorgang auf verschiedene Weisen zustandekommen kann, summiert man uber allemoglichen Arten, in denen sich der Vorgang darstellen lasst. Zusatzlich gewichtet man


diese Arten noch - auf Basis wahrscheinlichkeitstheoretischer Uberlegungen - mit einemParameter 1 � α ∈ K bzw. αn, wobei n der Anzahl der Loops des jeweils gewichteten

Graphen entspricht [z.B. besitzt� zwei

Loops und wird daher mit α2 gewichtet]. Dies erklart die rechte Seite der Gleichungen

(2.1),(2.2) und (2.3). Man ist nun zunachst daran interessiert, die Boxen

�

bzw.

�

auf der rechten Seite der Gleichungen (2.1),(2.2) und (2.3) zu eli-

minieren. Um dieses Ziel zu erreichen, nutzt man aus, dass

�

(α) = α

�, (2.4)

�

(α) = α

�(2.5)

ist. Setzt man nun (2.4) und (2.5) in (2.1) ein, so erhalt man


11

�

(α) =

�

+ α

�

+ α2 (

�+

�+

�) + · · · (2.6)

Durch Einsetzen von (2.4),(2.5) und (2.6) in (2.2) erhalt man:


�

(α) =

�

+ α

�

+ α2 (

�

+

�

+

�

+

�

)

+ · · · (2.7)

Schließlich ergibt sich durch Einsetzen von (2.4),(2.5),(2.6) und (2.7) in (2.3):


13

� (α) =� + α�+ α2 (� +�+� +�+� +�+� ) + · · · (2.8)

Insbesondere ergibt sich auf fur hohere Ordnungen, dass die Boxen verschwinden und


somit, dass

�

(α) ,

�

(α) sowie� (α) ∈ L[α], wobei L die Menge

der Feynman-Diagramme (oder Feynman-Graphen) bezeichnet, sind. Wir konnen sogarauf die Menge der Feynman-Diagramme (oder Feynman-Graphen) einschranken, die ledig-lich aus Vertices, Fermionenlinien und Eichbosonenlinien bestehen und die letzte Aussagebleibt noch immer wahr. Diese Einschrankung von L bezeichnen wir mit L.

Beweis [10].

Definition 2.1.2 Sei G ∈ L und bezeichne EG,int die Menge der internen Linien vonG, EG,ext die Menge der externen Linien von G und VG die Menge der Vertices (Ereignis-punkte) von G. Dann ist das Gewicht W eines Feynman-Diagramms G wie folgt definiert:

W (G) =∑

e∈EG,int

w′(e)− 4(neG,int + nVG + 1),

wobei neG,int die Anzahl der internen Linien von G, nVG die Anzahl der Vertices von Gbezeichnet und w′ wie folgt definiert ist:1.) falls e eine innere Eichbosonenlinie ist, so ist w′(e) = 2 und2.) falls e eine innere Fermionenlinie ist, so ist w′(e) = 1.

Beispiel 2.1.3

W (� ) = 4 · 1 + 2 · 2− 4(6− 5 + 1) = 8− 8 = 0.


15

Definition 2.1.4 Ein Feynman-Diagramm G ∈ L heißt divergent ⇐⇒ W (G) ≤ 0.

Lemma 2.1.5 Sei G ∈ L und bezeichne k1 die Anzahl der externen Eichbosonenlini-en von G, sowie k2 die Anzahl der externen Fermionenlinien von G. Dann gilt:

W (G) = k1 +3

2k2 − 4.

Insbesondere hangt das Gewicht eines Feynman-Diagramms aus L nur von dessen exter-nen Linien ab.

Beweis Sei n die Anzahl der Linien von G ∈ L, k1 die Anzahl der externen Eichboso-nenlinien von G und k2 die Anzahl der externen Fermionenlinien von G, dann existierenn−k1

2interne Eichbosonenlinien und n− k2

2interne Fermionenlinien von G. Daher gilt nach

Definition 2.1.2:

W (G) = 2(n− k1

2) + n− k2

2− 4(

n− k1

2+ n− k2

2− n+ 1)

= n− k1 + n− k2

2− 2n+ 2k1 + 2k2 − 4

= k1 +3

2k2 − 4.

Korollar 2.1.6 Ein Feynman-Diagramm G ∈ L ist divergent ⇐⇒ G zwei oder vierexterne Eichbosonenlinien und keine externen Fermionenlinien oder zwei externe Fermio-nenlinien und keine externen Eichbosonenlinien oder zwei externe Fermionenlinien undeine externe Eichbosonenlinie besitzt.

Beweis Folgt unmittelbar aus Lemma 2.1.5.

Definition 2.1.7 Ein Subgraph S eines Feynman-Graphen G ist ein divergenter Teil-graph von G, d.h. ein Aus-Schnitt S von G, sodass W (S) ≤ 0 ist. Der Ko-Graph einesFeynman-Graphen G ist derjenige Graph, der entsteht, wenn man den inneren Teil allerSubgraphen von G zu einem Punkt zusammenzieht.


Beispiel 2.1.8 Sei γ =�.

Dann sehen der Subgraph γ1

von γ und der Ko-Graph γ2 von γ wie folgt aus: γ1 =

�

, γ2 =

�.

Definition 2.1.9 Sei S(G) die Menge der Subgraphen von G und sei Ks(G) derjeni-ge Graph, der entsteht, wenn man bezuglich G den inneren Teil des Subgraphen s ∈ S(G)von G zu einem Punkt zusammenzieht. Man definiert ∆Feynman

′ und ∆Feynman fur alleG ∈ L wie folgt:1.) ∆Feynman

′(G) :=∑

s∈S(G)

s⊗Ks(G) und

2.) ∆Feynman(G) := ⊗G+G⊗ + ∆Feynman′(G).

Hierbei bezeichnet ∈ L die Eins der Algebra L und kann je nach Kontext als

�

,


17

�

oder als� aufgefasst werden.

Wir konnen nun jedem G ∈ L einen Operator BG+ zuordnen. Die Definition dieses Opera-

tors ist allerdings etwas umstandlich.

Bemerkung 2.1.10 Sei G ∈ L, so ist BG+ : L 7−→ L wie folgt definiert:

1.) Sei wie in Definition 2.1.9. Dann ist BG+() = G.

2.) Sei 6= γ ∈ L, dann gilt:BG

+(γ) = Summe uber alle Moglichkeiten, γ in G einzusetzen, normiert in geeigneter Wei-se.Dabei setzt man γ in G ein, indem man Teilgraphen von G sucht, deren externe Liniendenen von γ entsprechen, um dann diese Teilgraphen durch γ zu ersetzen. Falls beispiels-

weise G =� und γ =

�

sind, so gilt (bis

auf eventuelle Normierung):

BG+(γ) =�.

Gleich werden wir sehen, dass in obigem

Fall die entsprechende Normierung, mit der wir uns in der nachfolgenden Bemerkungbeschaftigen werden, wegfallt.

Bemerkung 2.1.11 Fur jedes G ∈ L und jedes γ ∈ L muss BG+ so normiert werden,

dass

∆Feynman ◦BG+(γ) = BG

+(γ)⊗ + (id⊗BG+) ◦∆Feynman(γ)

gilt. Hierbei ist wie in Definition 2.1.9 bzw. Bemerkung 2.1.10 definiert.


Beispiel 2.1.12 Seien γ und G wie im Beispiel der Bemerkung 2.1.10. Dann ist

BG+(γ) = c� fur ein geeignetes c ∈ K. Es gilt aber

einerseits:

∆Feynman ◦BG+(γ) = ⊗ c� + c� ⊗

+

�

⊗ c�;

und andererseits:


19

BG+(γ)⊗ + (id⊗BG

+) ◦∆Feynman(γ) = c� ⊗

+ (id⊗BG+)(⊗

�

+

�

⊗ )

= ⊗ c�+ c� ⊗

+

�

⊗ c�.


Also ist c = 1 und BG+(γ) =�.

Bemerkung 2.1.13 In Bemerkung 2.1.1 haben wir gesehen, dass

�

(α) ,

�

(α) sowie�(α) ∈ L[α] sind. Es lassen sich diese drei Elemente allerdings noch naher bestimmen.

Wahlt man namlich F = 1−

�

, P = 1−

�

,

Q = (� )2(F ·P )−1, sowie M1 = {γ ∈ L/∆′Feynman(γ) = 0, res(γ) =

(�

,�

)}, M2 = {γ ∈ L/∆′Feynman(γ) = 0,

res(γ) = (�

,�

)} und M3 = {γ ∈ L/∆′Feynman(γ) = 0, res(γ) =

(�

,�

,�

)}, wobei res(γ) das Residuum von γ bezeichnet (d.h.

2.2. DYSON-SCHWINGER-GLEICHUNGEN AUF DER EBENE VON

WURZELBAUMEN21

seine externen Linien), so ergibt sich:

�

(α) = +∑γ∈M1

αb(γ)Bγ+(

�

(α)Qb(γ)(α))

�

(α) = +∑γ∈M2

αb(γ)Bγ+(

�

(α)Qb(γ)(α))

� (α) = +∑γ∈M3

αb(γ)Bγ+(� (α)Qb(γ)(α)),

wobei b(γ) gleich der Anzahl der Loops in γ fur jedes γ und wie in Definition 2.1.9 ist.

Beweis [10].

2.2 Dyson-Schwinger-Gleichungen auf der Ebene von

Wurzelbaumen

Unser nachstes Ziel besteht darin, einen geeigneten Morphismus zu finden, der Feynman-

Diagrammen aus L Wurzelbaume zuordnet, da man dadurch

�

(α) ,

�

(α) sowie� (α) auf der Ebene


der Wurzelbaume betrachten kann, was deren Berechnung um einiges vereinfacht. Hierzubenotigen wir jedoch zunachst einige Definitionen.

Definition 2.2.1 Ein planarer Baum Tp besteht aus einer Menge V (Tp) von Vertices undeiner Menge E(Tp) von Kanten, wobei jede Kante ep ∈ E(Tp) zwei Vertices tp,i, tp,j ∈ V (Tp)verbindet, sodass Tp zusammenhangend und zykelfrei ist und keine Kante sich mit eineranderen schneidet. Das Gewicht w von Tp ist gleich der Anzahl der Vertices von Tp.

Definition 2.2.2 Ein planarer Wurzelbaum ist ein Paar (Tp, rp), wobei Tp ein plana-rer Baum ist und rp ∈ V (Tp) ein ausgezeichneter Vertex, der Wurzel genannt wird.

Definition 2.2.3 Ein Isomorphismus Φ : (Tp, rp) → (T 1p , r

1p) zwischen planaren Wur-

zelbaumen ist eine Bijektion Φ : V (Tp)→ V (T 1p ), wobei

1.) Φ(rp) = r1p und

2.) eine Kante ep ∈ E(Tp) existiert, die vp ∈ V (Tp) mit wp ∈ V (Tp) verbindet ⇐⇒ eineKante e1

p ∈ E(T 1p ) existiert, die Φ(vp) mit Φ(wp) verbindet.

Definition 2.2.4 Wir nennen T einen Wurzelbaum, falls T eine Isomorphieklasse vonplanaren Wurzelbaumen reprasentiert.

Definition 2.2.5 Ein (planarer) dekorierter Wurzelbaum TD (bzw. Tp,D) ist ein (pla-narer) Wurzelbaum, wobei jeder Vertex eindeutig durch ein Element aus einer Menge Dbenannt ist. Die Menge der (planaren) Wurzelbaume bezeichnen wir mit T (bzw. TP), dieMenge der (planaren) dekorierten Wurzelbaume mit TD (bzw. TP,D).

Beispiel 2.2.6

a.) Wurzelbaume vom Gewicht ≤ 4:

� � � � � � �b.) planare Wurzelbaume vom Gewicht ≤ 4:

� � � � � � � �c.) planare dekorierte Wurzelbaume vom Gewicht ≤ 4:

�

a�a

b

�a

b c �a

b

c

�a

b c

d

�a

b c

d

.


WURZELBAUMEN23

Definition 2.2.7 Ein planarer Wurzelwald Fp ist die disjunkte Vereinigung planarerWurzelbaume. Man schreibt Fp = T1,pT2,p · · ·Tn,p, falls Fp die disjunkte Vereinigung derplanaren Wurzelbaume T1,p, · · · , Tn,p ∈ TP ist. Analog definiert man Wurzelwalder F , de-korierte Wurzelwalder FD bzw. planare dekorierte Wurzelwalder Fp,D. Die Menge der pla-naren Wurzelwalder wird mit FP , der Wurzelwalder mit F , der dekorierten Wurzelwaldermit FD und der planaren dekorierten Wurzelwalder mit FP,D bezeichnet. Das Gewichteines Wurzelwaldes ist gleich der Summe der Gewichte der Wurzelbaume, aus denen derWurzelwald besteht.

Aus Grunden der Einfachheit schreiben wir im Folgenden fur den Wurzelbaum mit nureinem Vertex stets ·, fur den Wurzelwald, der aus n Wurzelbaumen, die alle nur einenVertex besitzen, besteht, ·n und fur den dekorierten Wurzelbaum mit einem mit (z.B.) idekorierten Vertex ·i.

Definition 2.2.8 Die kommutative Connes-Kreimer Hopf-Algebra Hck ist die von derMenge der Wurzelbaume T erzeugte Algebra uber K. Die nicht-kommutative Connes-Kreimer Hopf-Algebra Hnck ist die von der Menge der planaren Wurzelbaume TP erzeugteAlgebra uber K. Als Vektorraum uber K wird Hck von der Menge der Wurzelwalder Fund Hnck von der Menge der planaren Wurzelwalder FP erzeugt. Offensichtlich ist Hck

kommutativ und Hnck nicht.

Definition 2.2.9 B+ : Hnck 7−→ lin(TP) ist derjenige Operator, der einen Wald aufdenjenigen Baum abbildet, der durch Hinzufugen einer Wurzel entsteht.

Beispiel 2.2.10

a.) B+( � ) = �b.) B+ (�

) = � .

Definition 2.2.11 Sei D eine nicht-leere, endliche Menge und i ∈ D. Man bezeich-net mit T iD ⊆ TD diejenige Menge der von D dekorierten Wurzelbaume, deren Wurzel miti dekoriert ist. Ein Element aus T iD wird als T iD geschrieben.

Definition 2.2.12 HD bezeichne die von TD erzeugte K-Algebra. Als K-Vektorraumwird HD von FD erzeugt.


Definition 2.2.13 B+d : HD 7−→ lin(T dD) ist derjenige Operator, der einem Wald FD =

T1,D · · ·Tn,D denjenigen Wurzelbaum zuordnet, der dadurch entsteht, dass man T1,D, · · · , Tn,D ∈TD an eine gemeinsame Wurzel d ∈ D bindet.

Beispiel 2.2.14

B+d ( �

a

b

) = �d

a

b

Wir konnen nun den Morphismus, der Feynman-Diagrammen aus L Wurzelbaume zu-ordnet, explizit angeben. Wie bereits im Falle von BG

+ (vgl. Bemerkung 2.1.10 und Be-merkung 2.1.11) ist die Definition jedoch recht umstandlich.

Definition 2.2.15 Man definiert die Vektorraummorphismenφ1 : L 7−→ lin(TP) und φ2 : L 7−→ lin(TD) wie folgt:Fur γ ∈ L ist φ1(γ) derjenige Baum, der auf folgende Weise konstruiert wird: Man stulptuber den Feynman-Graphen γ eine rechteckige Box (Uberbox), sodass der Feynman-Graphγ sich im Innern der Box befindet. Danach stulpt man noch uber jeden Subgraphen (undSub-Sub-Graphen, etc.) von γ eine rechteckige Box, sodass sich der entsprechende Sub-graph (bzw. Sub-Subgraph, etc.) im Innern dieser Box befindet. Anschließend setzt maneinen Punkt (Vertex) auf jede Box. Nun verbindet man den Punkt auf der Uberbox mitallen Punkten, die sich auf den Boxen befinden, die den jeweiligen Subgraphen von γ zu-geordnet sind. Falls notig, verbindet man nun noch die Punkte der Boxen der Subgraphenmit den Punkten der Boxen der jeweiligen Sub-Sub-Graphen, etc. Schließlich erhalt maneinen Wurzelbaum, wobei die Wurzel gerade derjenige Vertex ist, der auf der Uberboxsitzt.φ2(γ) ist strukturell der gleiche Baum wie φ1(γ) - mit dem Unterschied, dass die Verticesvon φ2(γ) dekoriert sind; und zwar wie folgt: Die Wurzel von φ2(γ) (also der Vertex aufder Uberbox) wird mit dem Ko-Graphen von γ dekoriert und alle anderen Vertices mitden Subgraphen (bzw. Sub-Sub-Graphen, etc.), die der Box zugeordnet sind, auf der siesich befinden.


WURZELBAUMEN25

Beispiel 2.2.16 Sei γ =� , dann ist

φ1(γ) = � . φ2(γ) ist strukturell der gleiche Baum wie φ1(γ) mit dem Un-

terschied, dass die Wurzel mit� und der andere Vertex mit

�

dekoriert sind.

Bemerkung 2.2.17 Indem man nun φ1 bzw. φ2 auf die Gleichungen (2.6), (2.7) und

(2.8) aus Bemerkung 2.1.1 anwendet, sieht man, dass φ1(

�

(α)) ,

φ1(

�

(α)) bzw. φ1(� (α)) als Reihe, die aus


Wurzelbaumen besteht und φ2(

�

(α)) , φ2(

�

(α)) bzw. φ2(� (α)) als Reihe, die aus dekorierten Wurzelbaumen

besteht, darstellbar sind (unter Berucksichtigung des Parameters α). Nun setzt man

φ1(� (α)) := X1,1, φ2(� (α)) := X1,2,

φ1(

�

(α)) := X2,1, φ2(

�

(α)) := X2,2,

φ1(

�

(α)) := X3,1 und φ2(

�

(α)) := X3,2.

Durch Anwenden von φ1 bzw. φ2 auf die drei Gleichungen aus Bemerkung 2.1.13 undnach eventueller Modifikation der Dekorierungen der Vertices (z.B. konnte man die De-korierungen vereinheitlichen, indem man die Vertices nicht mit Sub-Graphen oder Ko-Graphen eines bestimmten Graphen dekoriert, sondern mit den Residuen der jeweiligenSub-Graphen bzw. Ko-Graphen) erhalt man Gleichungen folgender Form:

X1,j = +B+(Pj(X1,1, X1,2, X1,3))

fur jedes 1 ≤ j ≤ 3, wobei Pj ∈ K[h1, h2, h3] ∀1 ≤ j ≤ 3 und φk(Feynmnan) = Wurzelbaum

fur jedes 1 ≤ k ≤ 2 sind.

X2,j = +B+tj

+(fj(X2,1, X2,2, X2,3))


WURZELBAUMEN27

fur jedes 1 ≤ j ≤ 3, wobei t1, t2, t3 geeignete Dekorierungen sind und fj ∈ K[h1, h2, h3]∀1 ≤ j ≤ 3 ist.Dieser Umstand motiviert eine eingehende Beschaftigung mit kombinatorischen Dyson-Schwinger-Gleichungen, wie sie in Kapitel 3 stattfinden wird.


Kapitel 3

KombinatorischeDyson-Schwinger-Gleichungen

In Kapitel 3.1 und 3.2 sei stets K ein Korper der Charakteristik null.

3.1 Hopf-Algebra

Da die physikalisch relevanten Algebren, die von den Losungen der Dyson-Schwinger-Gleichungen erzeugt werden (siehe Kapitel 3.2 f.), Hopf-Algebren sind, mussen wir unszunachst der (etwas verkurzten) Definition einer Hopf-Algebra widmen. Falls notig, wer-den wir jeden Vektorraum V uber K mit V ⊗ K bzw. jede lineare Abbildung f ∈Hom(V,W ) mit f ⊗ id identifizieren, ohne explizit darauf hinzuweisen.

Definition 3.1.1 Eine unitale, assoziative K-Algebra (A,m, u) besteht aus einem K-Vektorraum A, einem Produkt m ∈ Hom(A⊗ A,A) mit

m⊗ (id⊗m) = m⊗ (m⊗ id) (3.1)

und einer Funktion u ∈ Hom(K,A) mit

m ◦ (u⊗ id) = id = m ◦ (id⊗ u). (3.2)

Ein Morphismus zwischen unitalen Algebren (A,ma, ua) und (B,mb, ub) ist eine Abbil-dung ϕ ∈ Hom(A,B) derart, dass

ϕ ◦ma = mb ◦ (ϕ⊗ ϕ) (3.3)

ϕ ◦ ua = ub. (3.4)

Die Einheit ∈ A ist definiert uber u(1) = .

29

30 KAPITEL 3. KOMBINATORISCHE DYSON-SCHWINGER-GLEICHUNGEN

Definition 3.1.2 Eine ko-assoziative, ko-unitale Ko-Algebra (C,∆, ε) besteht aus einemK-Vektorraum C, einem Ko-Produkt ∆ ∈ Hom(C,C ⊗ C) mit

(id⊗∆) ◦∆ = (∆⊗ id) ◦∆ (3.5)

und einem Funktional ε ∈ Hom(C,K) mit

(ε⊗ id) ◦∆ = id = (id⊗ ε) ◦∆. (3.6)

ε heißt Ko-Einheit und ε−1(1) heißt Ko-Eins. Ein Morphismus zwischen ko-unitalen Ko-Algebren (C,∆c, εc) und (D,∆d, εd) ist eine Abbildung Ψ ∈ Hom(C,D), sodass

∆d ◦Ψ = (Ψ⊗Ψ) ◦∆c (3.7)

εd ◦Ψ = εc. (3.8)

Bemerkung 3.1.3 Seien (A,ma, ua) und (B,mb, ub) assoziative, unitale Algebren, soist A⊗B eine assoziative, unitale Algebra (A⊗B,ma⊗b, ua⊗b), wobei

ma⊗b = (ma ⊗mb) ◦ τ(2,3) (3.9)

ua⊗b = ua ⊗ ub. (3.10)

Analog gilt fur ko-unitale, ko-assoziative Ko-Algebren (C,∆c, εc) und (D,∆d, εd), dass(C ⊗D,∆c⊗d, εc⊗d) eine ko-unitale, ko-assoziative Ko-Algebra ist, wobei

∆c⊗d = τ(2,3) ◦ (∆c ⊗∆d) (3.11)

εc⊗d = εc ⊗ εd. (3.12)

Hierbei ist τ(2,3) ∈ Aut(V ⊗n) , wobeiτ(2,3)(v1 ⊗ v2 ⊗ v3 ⊗ v4 · · · ⊗ vn) = v1 ⊗ v3 ⊗ v2 ⊗ v4 · · · ⊗ vn.

Definition 3.1.4 Falls (H,m, u) eine unitale, assoziative Algebra und (H,∆, ε) eine ko-unitale, ko-assozaitive Ko-Algebra ist, so heißt (H,m, u,∆, ε) Bi-Algebra, falls1.) m ein Ko-Algebren-Morphismus ist ( ⇐⇒ ∆ ein Algebren-Morphismus ist),2.) u ein Ko-Algebren-Morphismus ist und3.) ε ein Algebren-Morphismus ist.

Definition 3.1.5 Eine Familie (Hn)n∈N aufsteigender Untervektorraume Hn ⊆ Hn+1

∀n ∈ N einer Bi-Algebra (H,m, u,∆, ε) heißt Filtrierung, falls1.) H =

∑n∈N

Hn

2.) ∀n ∈ N : ∆(Hn) ⊆∑

i+j=n

H i ⊗Hj =n∑i=0

H i ⊗Hn−i

3.1. HOPF-ALGEBRA 31

3.) ∀n, l ∈ N : m(Hn ⊗H l) ⊆ Hn+l.

Definition 3.1.6 Eine Bi-Algebra H heißt zusammenhangend ⇐⇒ eine Filtrierung H =∑n∈N

Hn mit H0 = K · existiert, wobei ∈ H die Eins der Algebra H ist.

Da wir fur die vorliegende Arbeit nicht die exakte Definition einer Hopf-Algebra benotigen,genugt die

Definition 3.1.7 Eine Hopf-Algebra ist eine Bi-Algebra (H,m, u,∆, ε) zusammen miteiner Abbildung S ∈ End(H), welche Antipode genannt wird. Fur Details siehe z.B. Ka-pitel 2.1 in [14].

Um zu prufen, ob eine Bi-Algebra auch eine Hopf-Algebra ist, muss man nicht zwangs-weise nach einer Antipode suchen. In manchen Fallen genugt das

Lemma 3.1.8 Jede zusammenhangende Bi-Algebra ist eine Hopf-Algebra.

Beweis Korollar 2.1.13 in [14].

Definition 3.1.9 Sei H eine Hopf-Algebra. Ein Element x ∈ H heißt primitiv, falls∆(x) = x⊗ + ⊗ x ist. Die Menge der primitiven Elemente von H bezeichnet man mitPrim(H).

Definition 3.1.10 Eine Graduierung einer Hopf-Algebra (H,m, u,∆, ε, S) ist eine Zerle-gung H = ⊕n∈NHn, sodass ∀l, n ∈ N gilt:1.) ∆(Hn) ⊆ ⊕i+j=nHi ⊗Hj = ⊕ni=0Hi ⊗Hn−i2.) m(Hn ⊗Hl) ⊆ Hn+l

3.) S(Hn) ⊆ Hn.Als Bi-Algebra (H,m, u,∆, ε) genugen Bedingungen 1 und 2. Des Weiteren sieht manleicht, dass jede Graduierung einer Bi-Algebra eine Filtrierung einer Bi-Algebra indu-ziert, indem man Hn = ⊕nk=0Hk setzt. Die letzte Aussage bleibt auch dann wahr, wennman jeweils Bi-Algebra durch Hopf-Algebra ersetzt. Fur Details siehe Kapitel 2.1 in [14].

Wir wollen nun zeigen, dass die in Definition 2.2.8 vorgestellte Algebra Hck tatsachlicheine Hopf-Algebra ist. Definiert man := ∅ ∈ Hck als den Baum ohne Vertices, u ∈Hom(K,Hck) durch u(λ) = λ · ∀λ ∈ K und das Produkt m :=

.∪ als disjunkte Vereini-

gung, so wird (H,.∪, u) zu einer assoziativen K-Algebra. Um Hck allerdings als Bi-Algebra

klassifizieren zu konnen, benotigt man zunachst ein Ko-Produkt.

Definition 3.1.11 Ein Schnitt c eines Wurzelbaumes T ist eine Auswahl an Kanten. EinSchnitt c heißt zulassig, falls bei jedem Pfad zwischen der Wurzel und einem beliebigen


anderen Vertex hochstens eine Kante geschnitten wird. Die Menge der zulassigen Schnittebezeichnen wir mit Adm(c). Da man formal auch den ganzen und den leeren Schnitt alszulassigen Schnitt klassifiziert, fuhren wir noch Adm∗(c) ein, wobei Adm∗(c) = Adm(c)\(leerer Schnitt, ganzer Schnitt) ist. Falls c ein zulassiger Schnitt von T ist, so bezeichnetman mit Rc(T ) ∈ T denjenigen Baum, der nach dem Schnitt die Wurzel enthalt und mitP c(T ) ∈ F den restlichen Teil des Baumes.

Lemma 3.1.12

∆ :

Hck 7−→ Hck ⊗Hck

T ∈ T 7−→ T ⊗ + ⊗ T +∑

c∈Adm∗(c)P c(T )⊗Rc(T )

ist ein multiplikatives, ko-assoziatives Ko-Produkt von Hck.

Beweis Proposition 2.3.4 in [14].

Definiert man noch das Funktional ε ∈ Hom(Hck, K) durch ε() = 1 sowie ε(F ) = 0,falls F ∈ F \ , so wird (Hck,

.∪, u,∆, ε) zu einer Bi-Algebra (die Bedingungen aus De-

finition 3.1.4 lassen sich leicht nachrechnen und ∆ ist aufgrund seiner Multiplikativitateindeutig durch die Einschrankung auf die Menge der Baume bestimmt). Außerdem istdurch Hck = ⊕n∈NHck,n, wobei Hck,0 = K · und Hck,n = lin(FN ) ∀n ∈ N\{0} mit FN =

{F ∈ F/w(F ) = n}, eine Graduierung von Hck gegeben. Folglich ist (Hck,.∪, u,∆, ε) eine

zusammenhangende Bi-Algebra und nach Lemma 3.1.8 eine Hopf-Algebra. Analog lasstsich zeigen, dass Hnck eine Hopf-Algebra ist.

Definition 3.1.13 Fur a ∈ Hck wahle val(a) = max{n ∈ N/a ∈ ⊕k≥nHck,k}. Fur a, b ∈Hck wahle d(a, b) = 2−val(a−b) mit der Konvention, dass 2−∞ = 0. d heißt Abstand aufHck und die durch d induzierte Topologie n-adische Topologie. Bezuglich der n-adischenTopologie lasst sich ein Abschluss Hck von Hck bestimmen. Formal ist Hck =

∏∞n=0Hck,n

und die Elemente aus Hck werden als∞∑n=0

an geschrieben; hierbei ist an ∈ Hck,n fur alle

n. Produkt sowie Ko-Produkt von Hck lassen sich auf den Abschluss von Hck fortsetzen.Analoges lasst sich uber den Abschluss von Hnck sagen. Fur Details siehe [3].

3.2. KOMBINATORISCHE DYSON-SCHWINGER-GLEICHUNGEN IMEINDIMENSIONALEN FALL

33

3.2 Kombinatorische Dyson-Schwinger-Gleichungen im

eindimensionalen Fall

3.2.1 Das Haupttheorem

Satz 3.2.1.1 Fur das Ko-Produkt ∆ von Hck gilt:

∆ ◦B+ = (Id⊗B+) ◦∆ +B+ ⊗ . (3.13)

Beweis [14].

Definition 3.2.1.2 Sei P ∈ K[h] und XP ∈ Hck (bzw. XP ∈ Hnck). Dann heißt

XP = B+(P (XP )) (3.14)

kombinatorische Dyson-Schwinger-Gleichung in der kommutativen (bzw. nicht kommuta-tiven) Connes-Kreimer Hopf-Algebra.

Proposition 3.2.1.3 Bezeichne K[h]1 = {f ∈ K[h]/f(h) = 1+∞∑n=1

anhn, an ∈ K ∀n ≥ 1}

und sei P (h) = 1 +∞∑k=1

pkhk, wobei pk ∈ K ∀k ≥ 1, d.h. P ∈ K[h]1. Dann gilt:

1.) Es existiert ein eindeutiges Element XP =∞∑n=1

an ∈ Hck, sodass XP = B+(P (XP )).

2.) Es existiert ein eindeutiges Element XP =∞∑n=1

an ∈ Hnck, sodass XP = B+(P (XP )).

Beweis Zu 1.) : Wahle XP =∞∑n=1

an, wobei an ∈ Hck,n ∀n ≥ 1. Dann ist jedes an

wie folgt rekursiv definiert:

a1 = ·

an+1 =n∑k=1

∑α1+···αk=n

pkB+(aα1 · · · aαk).

(3.15)

Dies beweist Existenz und Eindeutigkeit der Losung.Zu 2.): Analog.


Definition 3.2.1.41.) Die von (an)n≥1 erzeugte K-Unteralgebra von Hck bezeichnen wir mit AP .2.) Die von (an)n≥1 erzeugte K-Unteralgebra von Hnck bezeichnen wir mit AN,P .

Bemerkung 3.2.1.5 Falls P ∈ K[h]0 ist, so ist XP = 0 und falls P ∈ K[h]r fur0 6= r, 1 6= r und r ∈ K, so ist AP eine Hopf-Unteralgebra von Hck ⇐⇒ AQ mitQ = P − r + 1 (also Q ∈ K[h]1) eine Hopf-Unteralgebra von Hck ist. Demnach stelltder Fall, bei welchem der konstante Term der formalen Reihe P ∈ K[h] gleich 1 ist, kei-nen Spezialfall hinsichtlich der Frage, ob AP eine Hopf-Unteralgebra von Hck ist, dar.

Beweis Lemma 13 in [2].

Wir widmen uns nun dem Haupttheorem des Kapitels 3.2; genauer heißt dies, dass wirder Frage nachgehen, unter welchen Bedingungen AP bzw. AN,P Hopf-Algebren sind. DerBeweis dieses Theorems wird uns beinahe das gesamte Kapitel 3.2 hindurch beschaftigen.

Theorem 3.2.1.6 Sei P ∈ K[h]1, so sind folgende Aussagen aquivalent:1.) AN,P ist eine Hopf-Unteralgebra von Hnck.2.) AP ist eine Hopf-Unteralgebra von Hck.3.) Es existieren (α, β) ∈ K2 derart, dass P folgendes Differentialgleichungssystem erfullt:

Sα,β :

{(1− αβh)P ′(h) = αP (h)

P (0) = 1.

4.) Es existieren (α, β) ∈ K2 derart, dassP (h) = 1 , falls α = 0

P (h) = eαh , falls β = 0

P (h) = (1− αβh)−1β , falls αβ 6= 0.

Lemma 3.2.1.7 Die Implikation 1.) =⇒ 2.) in Theorem 3.2.1.6 ist wahr.

Beweis Sei ω : Hnck 7−→ Hck die Einbettung in die kommutative Connes-Kreimer Hopf-Algebra. Dann ist ω(Hnck) = Hck. Dies beweist die Aussage.

3.2.2 Aus 2.) folgt 3.)

Das Ziel dieses Unterabschnitts besteht darin, die Implikation 2.) =⇒ 3.) aus Theorem3.2.1.6 zu beweisen.


35

Lemma 3.2.2.1 Angenommen, AP sei eine Hopf-Unteralgebra von Hck. Dann gilt ent-weder:1.) P = 1 =⇒ XP = · und AP = K[·] oder2.) p1 6= 0 =⇒ an 6= 0 ∀n ≥ 1.

Beweis Zu 1.) : P = 1 =⇒ XP = B+() =⇒ XP = · =⇒ AP = K[·].Zu 2.) : Angenommen, P 6= 1 und p1 = 0, so existierte ein n ≥ 2 mit pn 6= 0. Wahle nminimal, dann ist a2 = a3 = · · · = an = 0 und an+1 = pnB

+(·n) nach (3.15). Nach Satz3.2.1.1 und da AP eine Hopf-Algebra ist, gilt nun:

∆ ◦B+(·n) = (Id⊗B+) ◦∆(·n) +B+(·n)⊗

= (Id⊗B+)(n∑k=0

(n

k

)) +B+(·n)⊗

=n∑k=0

(n

k

)·k ⊗B+(·n−k) +B+(·n)⊗ ∈ AP ⊗ AP ,

d.h. insbesondere, dass B+(·) = � ∈ AP ∩ lin(T ) = lin(an)n≥1. Demnach ist

a2 6= 0; ein Widerspruch.Wir konnen also annehmen, dass p1 6= 0. Aus (3.15) ergibt sich sofort: an+1 = 0 =⇒p1B

+(an) = 0 =⇒ an = 0 und somit wegen a1 = · und a2 6= 0 , dass auch an 6= 0 ∀n ≥ 3.

Setze Z :

{Hck 7−→ K

F ∈ F 7−→ δF,·

Z lasst sich auf Hck fortsetzen und es gilt ∀a, b ∈ Hck und fur die Ko-Eins ε :

Z(ab) = Z(a)ε(b) + ε(a)Z(b).

Lemma 3.2.2.2 Sei P ∈ K[h]1. Falls AP eine Hopf-Unteralgebra von Hck ist, so ist

(Z ⊗ Id) ◦∆(XP ) ∈ AP .

Beweis Da AP eine Hopf-Algebra ist, ist ∆(an) ∈ AP ⊗ AP ∀n ∈ N \ {0}. Dies be-weist die Aussage.


Definition 3.2.2.3 Wahle

{Z ′ = Z ⊗′ Id : Hck ⊗′ Hck :=

∏i,j∈NHck,i ⊗Hck,j 7−→ Hck

ε′ = ε⊗′ Id : Hck ⊗′ Hck 7−→ Hck

Dann gilt offensichtlich:

Z ′(ab) = Z ′(a)ε′(b) + ε′(a)Z ′(b).

Lemma 3.2.2.4 Fur P ∈ K[h]1 gilt:

Z ′ ◦∆(XP ) = B+(P ′(XP ) · (Z ⊗ Id) ◦∆(XP )) + Z(XP ).

Beweis

Z ′ ◦∆(XP ) = (Z ⊗ Id) ◦∆(B+(P (XP )))

= (Z ⊗ Id) ◦∆ ◦B+(∞∑n=0

pnXnp )

=∞∑n=0

pn(Z ⊗ Id) ◦ ((Id⊗B+) ◦∆(XnP ) +B+(Xn

p )⊗ )

=∞∑n=0

pn(Z ⊗B+) ◦∆(XP )n +∞∑n=0

pnZ(B+(Xnp ))

= B+(∞∑n=0

n · pnε′(∆(XP ))n−1Z ′ ◦∆(XP )) + Z(XP )

= B+(∞∑n=0

n · pnXn−1P Z ′ ◦∆(XP )) + Z(XP )

= B+(P ′(XP ) · (Z ⊗ Id) ◦∆(XP )) + Z(XP ).

Hierbei ergibt sich das dritte Gleichheitszeichen aus (3.13), das vierte aus der Multiplika-tivitat von ∆ und das vorletzte aus ε′(∆(XP )) = XP .

Definition 3.2.2.5 Wahle

LP :

{Hck 7−→ Hck

a 7−→ B+(P ′(XP )a).


37

Da fur jedes a ∈ Hck gilt, dass val(LP (a)) ≥ val(a) + 1, ist (Id− LP ) injektiv und somit(Id− LP ) invertierbar.

Proposition 3.2.2.6 Es gilt:

Z ′ ◦∆(XP ) = Z(XP )(Id− LP )−1() = (Id− LP )−1().

Beweis

Z ′ ◦∆(XP ) = LP ((Z ⊗ Id) ◦∆(XP )) + Z(XP )

⇐⇒(Id− LP )((Z ⊗ Id) ◦∆(XP )) = Z(XP )

⇐⇒Z ′ ◦∆(XP ) = Z(XP )(Id− LP )−1()

⇐⇒Z ′ ◦∆(XP ) = (Id− LP )−1().

Hierbei ergibt sich das erste Gleichheitszeichen aus Lemma 3.2.2.4.

Nach Lemma 3.2.2.2 ist Z ′ ◦∆(XP ) ∈ AP und somit ergibt sich mit Proposition 3.2.2.6direkt das

Korollar 3.2.2.7 Sei P ∈ K[h]1, dann ist (Id− LP )−1() ∈ AP .

Bemerkung 3.2.2.8 Nach Korollar 3.2.2.7 existieren (bk)k≥0 ∈ AP , sodass Y :=∞∑k=0

bk =

(Id− LP )−1(). Nach [3] ist jedes bk wie folgt rekursiv definiert:b0 = 1

bn+1 =n∑k=1

∑α1+···+αk=n

(k + 1)pk+1B+(aα1 · · · aαk) +

n∑k=1

∑α1+···+αk=n

kpkB+(bα1aα2 · · · aαk).

Insbesondere ist b1 = p1· ( jedes ai ist wie in (3.15) definiert).

Nehmen wir an, AP sei eine Hopf-Algebra. Nach Bemerkung 3.2.2.8 ist bn ∈ (AP∩lin(TN ))= lin(an), wobei TN = {T ∈ T /w(T ) = n} ist; insbesondere existiert ein αn ∈ K derart,dass αnan = bn∀n ≥ 1.Vergleichen wir die Vorfaktoren von B+(an) fur an+1 und bn+1 :{

p1B+(an) fur an+1,

2p2B+(an) + p1B

+(bn) = (2p2 + p1αn)B+(an) fur bn+1.(3.16)

Wir unterscheiden nun zwischen den Fallen, in denen p1 6= 0 und denjenigen, in welchenp1 = 0 ist:


1. Fall: Angenommen, p1 6= 0.I.) Dann ist nach Lemma 3.2.2.2 an 6= 0 ∀n ∈ N \ {0} und somit αn fur jedes n ∈ N \ {0}eindeutig bestimmt. Es gilt nun wegen wegen a1 = ·, b1 = p1· und (3.16), dass{

α1 = p1,

αn+1 = 2p2p1

+ αn.

Per Induktion ergibt sich nun, dass

αn = p1 + 2p2

p1

(n− 1). (3.17)

II.) Betrachten wir die Koeffizienten von B+(·n) in an+1 und bn+1. Wir erhalten:{pn fur an+1,

(n+ 1)pn+1 + npnp1 fur bn+1.

Also gilt ∀n ∈ N \ {0} :

αn+1pn = (n+ 1)pn+1 + npnp1

⇐⇒(p1 + 2p2

p1

n)pn = (n+ 1)pn+1 + npnp1

⇐⇒p1pn = (n+ 1)pn+1 + (p1 − 2p2

p1

)npn. (3.18)

Hierbei ergibt sich die erste Aquivalenz aus (3.17). Des Weiteren gilt (3.18) auch fur n = 0,da p0 = 1. Nun gilt:

p1P (h) = p1(∞∑n=0

pnhn)

=∞∑n=0

[(n+ 1)pn+1 + (p1 − 2p2

p1

)npn]hn

=∞∑n=0

(n+ 1)pn+1hn + h

∞∑n=0

(p1 − 2p2

p1

)npnhn−1

= P ′(h) + (p1 − 2p2

p1

)hP ′(h). (3.19)

Hierbei ergibt sich das zweite Gleichheitszeichen aus (3.18). Wahle jetzt α = p1 undβ = 2p2

p21− 1. Einsetzen in (3.19) ergibt:

αP (h) = (1− αβh)P ′(h).


39

2. Fall: Angenommen, p1 = 0. Nach dem Beweis von Lemma 3.2.2.1 folgt aus der Eigen-schaft, dass AP eine Hopf-Algebra ist, dass pn = 0 ∀n ≥ 2 und somit, dass P (h) = 1.Wahle nun α = 0 und β beliebig, dann gilt:

αP (h) = (1− αβh)P ′(h).

Aus Fall 1 und Fall 2 erhalt man die

Proposition 3.2.2.9 Sei P ∈ K[h]1. Falls AP eine Hopf-Unteralgebra von Hck ist, soexistieren (α, β) ∈ K2 derart, dass{

αP (h) = (1− αβh)P ′(h)

P (0) = 1.

Wir beenden den Unterabschnitt, indem wir die Implikation 3.) =⇒ 4.) aus Theorem3.2.1.6 beweisen.

Proposition 3.2.2.10 Die Implikation 3.) =⇒ 4.) aus Theorem 3.2.1.6 ist wahr.

BeweisI.) Falls α = 0, so ist P ′(h) = 0 und wegen P (0) = 1 gilt P (h) = 1.

II.) Falls β = 0, so ist∞∑k=0

kpkhk−1 = α

∞∑k=0

pkhk und demnach

kpk = αpk−1.

Per Induktion ergibt sich, dass pk = αk

k!und somit P (h) =

∞∑k=0

(αh)k

k!= eαh.

III.) Angenommen αβ 6= 0. Dann gilt:

αP (h) = (1− αβh)P ′(h)

⇐⇒ P (h) = (1

α− βh)P ′(h)

⇐⇒∞∑k=0

pkhk =

1

α

∞∑k=0

kpkhk−1 − β

∞∑k=0

kpkhk

⇐⇒∞∑k=0

pk(1 + βk)hk =1

α

∞∑k=0

kpkhk−1

⇐⇒ pk−1(1 + β(k − 1)) =k

αpk

⇐⇒ pk = pk−1(α

k+ αβ − αβ

k) = pk−1α(

1

k+k − 1

kβ). (3.20)


Aus (3.20) ergibt sich, dass p1 = α und per Induktion, dass

pk = αk∏j=2

(α

j+ αβ − αβ

j) =

k∏j=1

(α

j+ αβ − αβ

j). (3.21)

Setzt man (3.21) in P ein, so erhalt man:

P (h) = 1 +∞∑k=1

k∏j=1

(α

j+ αβ − αβ

j)hk = (1− αβh)−

1β .

Aus I.), II.) und III.) folgt schließlich die Behauptung.

3.2.3 Aus 4.) folgt 1.)

Das Ziel dieses Abschnitts besteht darin, die Implikation 4.) =⇒ 1.) aus Theorem 3.2.1.6zu beweisen und somit dieses endgultig zu zeigen.

Notation 3.2.3.1 Seien (α, β) ∈ K2. Wir bezeichnen mit Pα,β ∈ K[h]1 diejenige Rei-he, fur die gilt:

P (h) = 1, falls α = 0

P (h) = eαh, falls β = 0

P (h) = (1− αβh)−1β , falls αβ 6= 0.

Der Einfachheit halber sei außerdem Aα,β = APα,β bzw AN,α,β = AN,Pα,β ; des Weiteren sei

XPα,β =∞∑n=1

an(α, β) sowie Pα,β =∞∑n=0

pn(α, β)hn. Offensichtlich gilt nach (3.20), dass

{p0(α, β) = 1

pn+1(α, β) = α 1+nβn+1

pn(α, β).

Definition 3.2.3.2I.) ∀i ∈ N \ {0} setze [i]β = (1 + β(i− 1)), d.h. insbesondere, dass [i]0 = 1 und [i]1 = i.II.) ∀i ∈ N\{0} setze [i]β! = [1]β[2]β · · · [i]β, d.h. insbesondere, dass [i]0! = 1 und [i]1! = i!.Außerdem wahle [0]β! = 1.


41

3.2.3.3 Lemma Fur alle n ∈ N gilt: pn(α, β) = αn[n]β !

n!.

Beweis Wir beweisen die Aussage per Induktion. Der Induktionsanfang ist klar. Neh-

men wir also an, pn−1(α, β) = αn−1 [n−1]β !

(n−1)!. Dann gilt:

pn(α, β) = α1 + (n− 1)β

npn−1(α, β)

= α1 + (n− 1)β

nαn−1 [n− 1]β!

(n− 1)!

= αn(1 + (n− 1)β)[n− 1]β!

n!

= αn[n]β[n− 1]β!

n!

= αn[n]β!

n!.

Hierbei folgt das zweite Gleichheitszeichen aus der Induktionsvoraussetzung.

Definition 3.2.3.4 Die Fruchtbarkeit eines Vertex v ∈ V (TP ), die wir mit a(v) be-zeichnen, ist gleich der Anzahl der von v auslaufenden Kanten. Wir definieren fur F ∈ FPF ! bzw. [F ]β! auf folgende Weise:

F ! =∏

s Vertex von F

(a(s))!

[F ]β! =∏

s Vertex von F

[a(s)]β!.

Es gilt z.B. fur F = T1 · · ·Tk, wobei Ti ∈ T ∀i bzw. F ∈ F :·! = 1

F ! = T1! · · ·Tk!B+(F )! = k!F !.

Und in ahnlicher Weise fur jedes β ∈ K:[·]β! = 1

[F ]β! = [T1]β! · · · [Tk]β!

B+(F )! = [k]β![F ]β!.


Definition 3.2.3.5 Fur alle n ∈ N \ {0} setze:

an(α, β) =∑

w(T )=n,T∈TP

aT (α, β)T.

Theorem 3.2.3.6 Fur alle T ∈ T ist

aT (α, β) = αw(T )−1 [T ]β!

T !.

Insbesondere sind aT (1, 0) = 1T !

, aT (1, 1) = 1, aT (0, β) = δT,· fur alle β ∈ K und

aT (1,−1) =

{0 , falls T keine Leiter ist ,

1 , falls T eine Leiter ist .

Dabei ist ein Baum T ∈ TP eine Leiter⇐⇒ ein n ∈ N\{0} existiert, sodass T = (B+)n().

Beweis Wir beweisen das Theorem durch Induktion uber das Gewicht von T . Fallsw(T ) = 1, so ist T = · und somit aT (α, β) = 1. Angenommen, die Aussage des Theoremssei wahr fur alle Baume T mit w(T ) ≤ n− 1. Nun wahle fur einen Baum T mit w(T ) = ngeeignete Baume T1 · · ·Tk ∈ TP , sodass T = B+(T1 · · ·Tk). Offensichtlich ist w(Ti) ≤ n−1∀i und es gilt:

aT (α, β) = pk(α, β)k∏j=1

aTj(α, β)

= αk[k]β!

k!

k∏j=1

αw(Tj)−1 [Tj]β!

Tj!

= αw(T1)+···+w(Tk) [T1 · · ·Tk]β![k]β!

(T1 · · ·Tk)!k!

= αw(T )−1 [B+(T1 · · ·Tk)]β!

B+(T1 · · ·Tk)!

= αw(T )−1 [T ]β!

T !.

Hierbei ergibt sich das zweite Gleichheitszeichen aus Lemma 3.2.3.3 zusammen mit derInduktionsvoraussetzung.


43

1.Fall: (α, β) = (1, 0). Dann ist aT (α, β) = 1w(T )−1 [T ]0!T !

= 1T !

.

2.Fall: (α, β) = (1, 1). Dann ist aT (α, β) = 1w(T )−1 [T ]1!T !

= 1.

3.Fall: (α, β) = (1, β). Dann ist aT (α, β) = 0w(T )−1 [T ]β !

T != δT,·.

4.Fall: (α, β) = (1,−1). Falls T eine Leiter ist, so ist [T ]−1! = [1]−1! = [1]−1 = 1 +

(−1)(1 − 1) = 1 und somit aT (α, β) = 1w(T )−1 [T ]−1!T !

= 1. Falls T keine Leiter ist, so ist[T ]−1! = [k]−1! fur ein k ≥ 2 und daher [T ]−1! = 0, d.h. aT (α, β) = 0.

Bemerkung 3.2.3.7 (Der Beweis von) Theorem 3.2.3.6 ist enorm aufschlussreich. Mankann sofort folgern, dass fur (α, β) = (1, 1) AN,α,β die von den Summen der planarenBaume vom Gewicht n erzeugte Algebra ist. Falls (α, β) = (1,−1), so istAN,α,β die von denLeitern erzeugte Algebra. Des Weiteren sieht man, dass fur (α, β) = (0, β) AN,α,β = K[·]ist.

Lemma 3.2.3.8 Seien P,Q ∈ K[h]1 und Q(h) = P (γh) fur ein γ ∈ K. Falls XP =∑n≥1

an,

so ist XQ =∑n≥1

γn−1an. Insbesondere ist AN,P = AN,Q, falls γ 6= 0.


Theorem 3.2.3.9 Seien (α, β) und (α′, β′) ∈ K2. Dann sind folgende Aussagen aquivalent:

1.) AN,α,β = AN,α′,β′ .2.) Aα,β = Aα′,β′ .3.) (β = β′ und αα′ 6= 0) oder (α = α′ = 0).

BeweisI.) Aus 1.) folgt 2.), da Aα,β ⊆ AN,α,β.

II.) Nach Theorem 3.2.3.6 gilt fur r1 = � , r2 =� und r3 =�

sowie ai = ai(α, β) bzw. a′i = ai(α′, β′) fur alle 1 ≤ i ≤ 3:

{a1 = ·, a2 = αr1, a3 = α2r2 + α2 1+β

2r3

a′1 = ·, a′2 = α′r1, a′3 = α′2r2 + α′2 1+β′

2r3.

Wegen Aα,β = Aα′,β′ existiert ein 0 6= γ ∈ K derart, dass

γa2 = a′2 ⇐⇒ γαr1 = α′r1

⇐⇒ γα = α′.


Also ist α = 0⇐⇒ α′ = 0. Falls αα′ 6= 0 ist, nutzen wir die Ko-Linearitat von a3 und a′3

aus. Demnach ist die Determinante von

(α2 α2 1+β

2

α′2 α′2 1+β′2

)gleich null und somit gilt:

0 =

∣∣∣∣α2 α2 1+β2

α′2 α′2 1+β′2

∣∣∣∣ =1

2α2α′

2(β − β′).

Also ist β = β′, da αα′ 6= 0 ist.III.) Nehmen wir zunachst an, α = α′ = 0. Dann ist nach Bemerkung 3.2.3.7 AN,α,β =AN,α′,β′ = K[·]. Sei andernfalls αα′ 6= 0 und β = β′. Dann existiert ein γ 6= 0, sodassα = γα′. Daher gilt:

Pα′,β′(γh) = (1− α

γβγh)−

1β = (1− αβh)−

1β = Pα,β(h).

Aus Lemma 3.2.3.8 folgt nun, dass AN,α,β = AN,α′,β′ .

Bemerkung 3.2.3.10 Wegen des vorangegangenen Theorems mussen wir hinsichtlichAN,α,β nur zwischen den Fallen α = 0 und α = 1 unterscheiden, da AN,1,β = AN,α,β, fallsα 6= 0.

Lemma 3.2.3.11 Seien k, n ∈ N \ {0}. Betrachte folgendes Element aus K[X1, · · · , Xn]:

Pk(X1, · · · , Xn) =∑

α1+···+αn=k

X1(X1 + 1) · · · (X1 + α1 − 1)

α1!· · ·

Xn(Xn + 1)(Xn + αn − 1)

αn!.

Fur S =n∑

m=1

Xm gilt:

Pk(X1, · · · , Xn) =

∏k−1j=0(S + j)

k!.


Bemerkung 3.2.3.12 Es existiert eine Bilinearform (·, ·) auf Hnck derart, dass

∀x1, x2, y ∈ Hnck : (x1 ⊗ x2,∆(y)) = (x1x2, y).

Diese Bilinearform (·, ·) definiert implizit eine Basis (eF )F∈Hnck wie folgt: (eF )F∈Hnck istdiejenige Basis von Hnck, fur die gilt, dass (eF , G) = δF,G ∀F,G ∈ Hnck. Eine Multiplika-tion fur die Elemente (eF )F∈Hnck wird in [6] geliefert.


45

Beweis Theorem 35 in [5].

Lemma 3.2.3.13 Seien F = T1 · · ·Tk, wobei T1, · · · , Tk ∈ T , und T ∈ T . Dann giltfur (eF )F∈Hnck und die Bilinearform (·, ·) aus Bemerkung 3.2.3.12:

Koeffizient von F ⊗ T in ∆(X1,β) = (eF ⊗ eT ,∆(X1,β))

= (eF eT , X1,β)

=∑

s, s = Verpflanzung von F auf T

(es, X1,β)

=∑

s, s = Verpflanzung von F auf T

[s]β!

s!.

Beweis [3].

Bemerkung 3.2.3.14 Wir mochten nun [s]β! bzw. s! naher klassifizieren. Sei hierzuF wie in Lemma 3.2.3.13, T ∈ T , w(T ) = n, s1, · · · , sn die Vertices von T , sowie fi die

Fruchtbarkeit der si. Sei (α1, · · · , αn) ∈ Nn derart, dassn∑i=1

αi = k. Betrachte diejenige

Verpflanzung von F auf T , bei welcher αi - viele Baume von F auf si fur alle i verpflanztwerden. Falls s eine solche Verpflanzung ist, so gilt:{

[s]β! = [T ]β![T1]β! · · · [Tk]β![f1+α1]β !···[fn+αn]β !

[f1]β !···[fn]β !

s! = T !T1! · · ·Tk! (f1+α1)!···(fn+αn)!f1!···fn!

.

Außerdem ist die Anzahl solcher Verpflanzungen s von F auf T gleich:(f1 + α1

α1

)· · ·(fn + αnαn

).

Fur Details siehe [3].

Lemma 3.2.3.15 Sei s = (f1 + 1β) + · · ·+ (fn + 1

β), wobei fi wie in Bemerkung 3.2.3.14

fur jedes i ist und seien F und T ebenfalls wie in Bemerkung 3.2.3.14. Sei außerdem Swie in Lemma 3.2.3.11; dann gilt:

Koeffizient von F ⊗ T in ∆(X1,β) =[T ]β!

T !

k∏i=1

[Ti]β!

Ti!βk∏k−1

j=0(S + j)

k!.


Beweis Wahle xi = fi + 1β

fur alle 1 ≤ i ≤ n. Dann gilt nach Lemma 3.2.3.13:

Koeffizient von F ⊗ T in ∆(X1,β) =∑

s,s Verpflanzung von F auf T

[s]β !

s!

=∑

α1+···αn=k

(f1+α1

α1

)· · ·(fn+αnαn

) [T ]β ![T1]β !···[Tk]β ![f1+α1]β !···[fn+αn]β !

[f1]β !···[fn]β !

T !T1!···Tk!(f1+α1)!···(fn+αn)!

f1!···fn!

=∑

α1+···αn=k

[T ]β !

T !

[T1]β !

T1!· · · [Tk]β !

Tk!

[f1+α1]β !···[fn+αn]β !

[f1]β !α1!···[fn]β !αn!

=[T ]β !

T !

∏ki=1

[Ti]β !

Ti!

∑α1+···αn=k

∏ni=1

1αi!

[fi+αi]β !

[fi]β !

=[T ]β !

T !

∏ki=1

[Ti]β !

Ti!

∑α1+···+αn=k

∏ki=1

(1+fiβ)···(1+(fi+αi−1)β)αi!

=[T ]β !

T !

∏ki=1

[Ti]β !

Ti!

∑α1+···+αn=k

∏ki=1 β

αi xi(xi+1)···(xi+αi−1)αi!

=[T ]β !

T !

∏ki=1

[Ti]β !

Ti!βkPk(X1, · · · , Xn)

=[T ]β !

T !

∏ki=1

[Ti]β !

Ti!βk

∏k−1j=0 (S+j)

k!.

Hierbei wurde Pk(X1, · · · , Xn) =∑

α1+···+αn=k

X1(X1+1)···(X1+α1−1)α1!

· · · Xn(Xn+1)···(Xn+αn−1)αn!

wie in Lemma 3.2.3.11 gewahlt. Außerdem ergibt sich das zweite Gleichheitszeichen ausBemerkung 3.2.3.14 und das letzte aus Lemma 3.2.3.11.

Lemma 3.2.3.16 Fur s = x1 + · · ·xn mit xi = fi + 1β

gilt:

s = n(1 +1

β)− 1.

Beweis Es gilt:

s = x1 + · · ·+ xn = f1 + · · · fn +n

β= Anzahl der Kanten von T +

n

β

= n− 1 +n

β= n(1 +

1

β)− 1.


47

Aus Lemma 3.2.3.15 und Lemma 3.2.3.16 ergibt sich nun die

Proposition 3.2.3.17 Es gilt:

∆(X1,β) =∞∑n=1

(1− βX1,β)−n( 1β+1

)+1 ⊗ an(1, β) + X1,β ⊗ .

Beweis Wahle fur alle k ≥ 1 und s wie in Lemma 3.2.3.16: Qk(s) = s(s+1)···(s+k−1)k!

=Qk(w(T )(1 + 1

β)− 1) und Q0(s) = 1. Dann gilt:

∆(X1,β) =∞∑k=0

∑F=T1···Tk,T∈T

[T ]β!

T !

k∏i=1

[Ti]β!

Ti!βkQk(s)F ⊗ T + X1,β ⊗

=∞∑k=0

∑F=T1···Tk,T

[T ]β!

T !

k∏i=1

[Ti]β!

Ti!βkQk(w(T )(1 +

1

β)− 1)F ⊗ T + X1,β ⊗

=∞∑k=0

∞∑n=1

∑F=T1···Tk,T :w(T )=n

[T ]β!

T !

k∏i=1

[Ti]β!

Ti!βkQk(n(1 +

1

β)− 1)F ⊗ T + X1,β ⊗

=∞∑k=0

∞∑n=1

∑F=T1···Tk

[T1 · · ·Tk]β!

(T1 · · ·Tk)!βkQk(n(1 +

1

β)− 1)F ⊗

∑T :w(T )=n

[T ]β!

T !T + X1,β ⊗

=∞∑k=0

∞∑n=1

∑F=T1···Tk

βkQk(n(1 +1

β)− 1)

[F ]β!

F !F ⊗ an(1, β) + X1,β ⊗

=∞∑n=1

∞∑k=0

Qk(n(1 +1

β)− 1)βkXk

1,β ⊗ an(1, β) + X1,β ⊗

=∞∑n=1

(1− βX1,β)−n( 1β+1

)+1 ⊗ an(1, β) + X1,β ⊗ .

Hierbei ergibt sich das erste Gleichheitszeichen aus Lemma 3.2.3.15, das funfte aus Theo-rem 3.2.3.6 und das sechste ebenfalls aus Theorem 3.2.3.6.

Bemerkung 3.2.3.18 Da (1−βX1,β)r ∈ AN,1,β ∀r ∈ K ist, ist ∆(X1,β) ∈ AN,1,β⊗AN,1,β.Damit ist AN,1,β eine Unteralgebra sowie eine Ko-Unteralgebra von Hnck (fur die Multi-plikation, die Einheit sowie die Ko-Einheit ist nichts nachzuweisen). Nun lasst sich nach-rechnen, dass AN,1,β eine Bi-Algebra ist. Durch AN,P = ⊕i∈NAN,P,i ist eine Graduierungvon AN,P gegeben, wobei AN,P,0 = K · und AN,P,i = lin(FN,P,i), wobei FN,P,i = die


Menge der Walder mit Gewicht i, die sich aus den Kombinationen der (aj)1≤j≤i ergeben,ist. Also ist AN,1,β eine zusammenhangende Bi-Algebra und somit nach Lemma 3.1.8 eineHopf-Algebra, d.h. eine Hopf-Unteralgebra von Hnck. Falls α = 0 ist, so ist AN,α,β = K[·]und es gibt nichts zu diskutieren.

Bemerkung 3.2.3.19 Durch Lemma 3.2.1.7, Proposition 3.2.2.9, Proposition 3.2.2.10und Bemerkung 3.2.3.18 ist das Theorem 3.2.1.6 endgultig bewiesen.

3.2.4 Isomorphieklassen von AN,α,β bzw. Aα,β

Wir mochten den eindimensionalen Fall der Dyson-Schwinger-Gleichungen abschließen,indem wir AN,α,β bzw. Aα,β in Abhangigkeit von (α, β) ∈ K2 drei Isomorphieklassen zu-ordnen und sie mit weiteren Hopf-Algebren vergleichen.

Definition 3.2.4.1 B− : lin(TP) 7−→ Hnck bezeichne die Inverse vonB+ : Hnck 7−→ lin(TP).

Definition 3.2.4.2 Es sei bn(α, β) = B−(an+1(α, β)) fur alle n ∈ N. Außerdem sei

Y (α, β) =∞∑n=0

bn(α, β).

Lemma 3.2.4.3 Es gilt fur alle (α, β) ∈ K2:

Y (α, β) = (1− βXα,β)−1β .

Außerdem ist bn(α, β) ∈ AN,α,β ∀n ∈ N und (bn)n∈N eine Menge an Erzeugern von AN,α,βfur α 6= 0. Speziell gilt fur alle (α, β) ∈ K2 und alle n ≥ 1 :

bn(α, β) = αan(α, β) + Walder mit mehr als zwei Baumen.

Beweis [3].

Proposition 3.2.4.4 Sei α = 1, dann gilt:

∆(Y (1, β)) =∞∑n=0

Y (1, β)n(β+1)+1 ⊗ bn(1, β).


49

Beweis Proposition 16 in [3].

Definition 3.2.4.5 Seien β und β′ 6= −1. Wahle γ = β+1β′+1

und

Z(1, β) = Y (1, β)γ =∞∑k=0

cn(1, β).

Lemma 3.2.4.6 Seien β und β′ 6= −1, sowie γ wie in Definition 3.2.4.5; dann gilt :cn ∈ AN,α,β und vom Grade n bezuglich der Graduierung aus Bemerkung 3.2.3.18.Speziell gilt fur alle n ≥ 1 :

cn(1, β) = γbn(1, γ) + Walder mit mehr als zwei Baumen.

Insbesondere ist (cn)n∈N eine Menge an Erzeugern von A1,β.

Beweis [3].

Lemma 3.2.4.7 Seien β und β′ 6= −1. Dann gilt:

∆(Z1,β) =∞∑l=0

Z(1, β)l(β′+1)+1 ⊗ cl(1, β).

Beweis [3].

Proposition 3.2.4.8 Seien β und β′ 6= −1, so ist AN,1,β ∼= AN,1,β′ .

Beweis Nach Lemma 3.2.4.3 und Lemma 3.2.4.6 erzeugen (bn(1, β′))n∈N AN,1,β′ und(cn(1, β))n∈N AN,1,β. Daher genugt es zu zeigen, dass der Algebren-Morphismus

φ :

{AN,1,β′ 7−→ AN,1,β

bn(1, β′) 7−→ cn(1, β)

ein Hopf-Algebren-Morphismus ist. Einerseits gilt:

∆ ◦ φ(Y (1, β′)) = ∆(Z(1, β))

=∞∑l=0

Z(1, β)l(β′+1)+1 ⊗ cl(1, β).


Hierbei ergibt sich das letzte Gleichheitszeichen aus Lemma 3.2.4.7.Andererseits gilt:

(φ⊗ φ) ◦∆(Y (1, β′)) = (φ⊗ φ)(∞∑l=0

Y (1, β′)l(β′+1)+1 ⊗ bl(1, β

′))

=∞∑l=0

Z(1, β)l(β′+1)+1 ⊗ cl(1, β).

Somit ergibt sich, dass ∆◦φ(Y (1, β′)) = (φ⊗φ)◦∆(Y (1, β′)) . Also ist φ ein Ko-Algebren-Morphismus und somit ein Bi-Algebren-Morphismus. Da Bi-Algebren-Morphismen zwi-schen Hopf-Algebren Hopf-Algebren-Morphismen sind, ist φ ein Hopf-Algebren-Morphismus.

Korollar 3.2.4.9 Es existieren drei Isomorphieklassen der AN,α,β :I.) Falls α = 0, so ist AN,α,β = K[·]. K[·] ist kommutativ und ko-kommutativ.II.) Falls β = −1 und α 6= 0, so ist AN.α,β die von den Leitern erzeugte Hopf-Unteralgebravon Hnck. Diese ist ko-kommutativ, aber nicht kommutativ.III.) Falls α 6= 0 und β 6= −1, so ist AN,α,β die von der Summe der planaren Wurzelbaumevom Gewicht n erzeugte Hopf-Unteralgebra von Hnck. Diese ist weder kommutativ nochko-kommutativ.

Beweis Folgt unmittelbar aus Proposition 3.2.4.8, Theorem 3.2.3.9 und Bemerkung 3.2.3.7.

Definition 3.2.4.10 Sei

G = {h+∑n≥1

anhn+1 ∈ K[h]}.

Dann ist die Faa di Bruno Hopf-Algebra in einer Variablen, HFdB, der Polynomring inden Variablen Yi, i ∈ N \ {0}, wobei:

Yi :

G 7−→ K

h+∑n≥1

anhn+1 7−→ ai.

Bemerkung 3.2.4.11 Nach [3] ist HFdB eine kommuative, nicht ko-kommutative, gra-duierte, zusammenhangende Hopf-Algebra mit homogenen Komponenten Yi vom Gradei fur alle i. Das Ko-Produkt von HFdB,∆HFdB , ist wie folgt definiert:

∆HFdB(f)(P ⊗Q) = f(Q ◦ P )∀f ∈ HFdb, P,Q ∈ G.

Die zu HFdb duale Algebra H∗FdB ist eine zusammenhangende, ko-kommutative, nicht kom-mutative Hopf-Algebra und nach dem Cartier-Milnor-Moore-Theorem isomorph zu der


51

einhullenden Algebra der primitiven Elemente von H∗FdB, U(Prim(H∗FdB)) (siehe Lemma7 in [5]). Eine Basis von Prim(H∗FdB) ist durch (Zi)i∈N\{0} gegeben, wobei

Zi :

HFdB 7−→ K

Y α11 · · ·Y

αkk 7−→ 0 , falls α1 + · · ·+ αk ≥ 2

Yj 7−→ δi,j.

P rim(H∗FdB) ist auch eine Lie-Algebra, wobei die Lie-Klammer [·, ·]F durch

[Zi, Zj]F = (j − i)Zi+j∀i, j ∈ N \ {0} (3.22)

gegeben ist. Fur Details siehe [3].

Korollar 3.2.4.12 Es existieren drei Isomorphieklassen fur Aα,β :I.) Falls α = 0, so ist Aα,β = K[·]. Diese ist sowohl kommutativ, als auch ko-kommutativ.II.) Falls α 6= 0 und β = −1, so ist Aα,β die von den Leitern erzeugte Hopf-Unteralgebravon Hck. Diese ist sowohl kommutativ, als auch ko-kommutativ.III.) Falls α 6= 0 und β 6= −1, so ist Aα,β isomorph zu HFdB. Diese ist kommutativ, abernicht ko-kommutativ.

Beweis Da Aα,β die Abelianisierung von AN,α,β ist, gilt: AN,α,β ∼= AN,α′,β′ =⇒ Aα,β ∼=Aα′,β′ . Nach Bemerkung 3.2.3.7 ist A0,β = K[·]. Nach Theorem 3.2.3.6 ist A1,−1 (und somitallgemein Aα,−1 fur α 6= 0) die von den Leitern erzeugte Hopf-Unteralgebra von Hck. Die-se ist kommutativ und ko-kommutativ. Sollten wir zeigen konnen, dass A1,β fur β 6= −1(und somit allgemein Aα,β fur α 6= 0 und β 6= −1) isomorph zu HFdB ist, so konnen wirschließen, dass A1,β fur β 6= −1 nicht ko-kommutativ ist, weil HFdB nicht ko-kommutativist und somit, dass A1,β fur β 6= −1 nicht isomorph zu A1,−1 ist.Wir betrachten hierzu die zu A1,β duale Hopf-Algebra A∗1,β fur β 6= −1. A∗1,β ist eine zu-sammenhangende, graduierte Hopf-Algebra und ko-kommutativ, weil A1,β kommutativ ist.Nach dem Cartier-Milnor-Moore-Theorem ist demnach A∗1,β isomorph zu U(Prim(A∗1,β)).Nach [3] ist die Basis von Prim(A∗1,β) gleich (Tn)n∈N\{0}, wobei

Tn :

Prim(A1,β) 7−→ K

aα11 · · · a

αkk 7−→ 0 , falls

k∑j=1

aj ≥ 2

am 7−→ δm,n.

Zeigen wir nun, dass

λ :

{Prim(A∗1,β) 7−→ Prim(H∗FdB)

Tn 7−→ (1 + β)Zn


fur β 6= −1 ein Lie-Algebren-Isomorphismus ist. Nach [3] existiert fur Prim(A∗1,β) mitβ 6= −1 eine Lie-Klammer [·, ·]A derart, dass fur alle Ti und Tj , i, j ∈ N \ {0}, gilt, dass

[Ti, Tj]A = (i− j)Ti+j. (3.23)

Also gilt mit (3.23) einerseits:

λ([Ti, Tj]A) = λ((i− j)(1 + β)Ti+j)

= (i− j)(1 + β)2Zi+j

und mit (3.22) andererseits:

[λ(Ti), λ(Tj)]F = [(1 + β)Zi, (1 + β)Zj]F

= (i− j)(1 + β)2Zi+j.

Folglich ist λ([Ti, Tj]A) = [λ(Ti), λ(Tj)]F und λ ein Lie-Algebren-Isomorphismus. Also istwegen A∗1,β

∼= U(Prim(A∗1,β)) fur β 6= −1 bzw. H∗FdB∼= U(Prim(H∗FdB)) auch A∗1,β iso-

morph zu H∗FdB und somit A1,β isomorph zu HFdB, falls β 6= −1.

3.3 Kombinatorische Dyson-Schwinger-Gleichungen im

mehrdimensionalen Fall

In Kapitel 3.3 sei stets K ein kommutativer Korper der Charakteristik null.

3.3.1 Systeme kombinatorischer Dyson-Schwinger-Gleichungen

So nichts anderes gesagt, sei stets D = {1, · · · , n} und fi ∈ K[X1, · · · , Xn] fur alle i ∈ D.Vollig analog zu Abschnitt 3.1 definiert man Produkt, Einheit, Ko-Produkt, Ko-Einheit,Graduierung und Abschluss von HD und zeigt, dass HD eine Hopf-Algebra ist. Den Ab-schluss von HD bezeichnet man mit HD.

Definition 3.3.1.1 Das zu (fi(X1, · · · , Xn))i∈D assoziierte System von kombinatorischenDyson-Schwinger-Gleichungen (SDSE), das wir mit (S) bezeichnen, ist wie folgt definiert:

∀i ∈ D : Xi = B+i (fi(X1, · · · , Xn)),

wobei Xi ∈ HD fur alle i ∈ D ist.

3.3. KOMBINATORISCHE DYSON-SCHWINGER-GLEICHUNGEN IMMEHRDIMENSIONALEN FALL

53

Notation 3.3.1.2I.) Da fi ∈ K[X1, · · · , Xn] ∀i ∈ D ist, konnen wir fur alle i ∈ D

fi(x1, · · · , xn) =∑

p1,··· ,pn

a(i)(p1,··· ,pn)x

p11 · · ·xpnn ,

wobei pi ∈ N und a(i)(p1,··· ,pn) ∈ K fur jedes i ∈ D ist, schreiben.

II.) Sei 1 ≤ j, k ≤ n. Wir setzen εj = (0, · · · , 1, · · · , 0), wobei 1 an der j-ten Stelle liegt

und wahlen ∀i ∈ D: a(i)j = a

(i)εj und a

(i)j,k = a

(i)εj+εk

.

Bemerkung 3.3.1.3 Im Folgenden werden wir fur jedes i ∈ D fi = const. ausschließen.Falls namlich fi ∈ K, so ist Xi einfach ein Vielfaches von ·i. Spater werden wir sogar fest-stellen, dass fi ∈ K[X1, · · · , Xn]1 vorausgesetzt werden kann, wobei K[X1, · · · , Xn]1 dieMenge der Polynome in n Variablen bezeichnet, welche konstanten Term gleich 1 besitzen.

Proposition 3.3.1.4 Sei (S) ein SDSE. Dann existiert eine eindeutige Losung (xi)i∈D ∈(HD)n.

Beweis Falls (x1, · · · , xn) eine Losung von (S) ist, so ist xi ein linearer Span von de-korierten Wurzelbaumen mit Wurzel i, weil B+

i (x) ∈ lin(T iD) fur alle x ∈ HD ist. Daherexistiert eine Darstellung

xi =∑t∈T iD

att

mit at ∈ K. Da t ∈ T iD ist, existieren Baume ti,1, · · · , ti,qi fur alle i ∈ D, wobei ti,j ∈ T iDfur jedes 1 ≤ j ≤ qi verschiedene Baume bezeichnet, welche mit der Wurzel i dekoriertwurden, sodass

t = B+i (t

p1,11,1 · · · t

p1,q11,q1· · · tpn,1n,1 · · · tpn,qnn,qn ) (3.24)

mit pa,b ∈ N. Sei t wie in (3.24), so sind die at wie folgt rekursiv definiert:

at = (n∏i=1

(pi,1 + · · ·+ pi,qi)!

pi,1! · · · pi,qi !)a

(i)(p1,1+···+p1,q1 ,··· ,pn,1+···+pn,qn )a

p1,1t1,1 · · · a

pn,qntn,qn

. (3.25)

Dies beweist Existenz und Eindeutigkeit.

Definition 3.3.1.5 Sei (S) ein SDSE und (x1, · · · , xn) ∈ (HD)n seine eindeutige Losung.Analog zum eindimensionalen Fall lasst sich xi als xi =

∑k≥1

xi(k), wobei xi(k) ∈ lin(T iD)

homogene Komponeneten vom Grade k sind, darstellen. Wir bezeichnen mit H(S) die Un-teralgebra von HD, die von den homogenen Komponenten (xi(k))1≤i≤n,k≥1 erzeugt wird.


Falls H(S) eine Hopf-Unteralgebra von HD ist, so sagt man, (S) sei Hopf.

Bemerkung 3.3.1.6 Wie im eindimensionalen Fall sind wir daran interessiert, welcheBedingungen an das SDSE (S) gestellt werden mussen, damit es Hopf ist. Hierzu stellenwir zunachst einige Manipulationen, die man an einem SDSE (S) vollziehen kann, vor.

Definition 3.3.1.7 Sei (S) das zu (fi(X1, · · · , Xn))1≤i≤n assoziierte SDSE. Man sagt, (S ′)sei ein durch Variablenanderung von (S) entstandenes SDSE, falls von null verschiedeneSkalare λi und µi fur alle 1 ≤ i ≤ n existieren, sodass (S ′) das zu (λifi(µ1X1, · · · , µnXn))1≤i≤nassoziierte SDSE ist.

Proposition 3.3.1.8 Sei (S) ein SDSE und (S ′) ein durch Variablenanderung von (S)entstandenes SDSE. Dann ist (S) Hopf ⇐⇒ (S ′) Hopf ist.

Beweis Sei D = {1, · · · , n}, (S) das zu (fi(X1, · · · , Xn))i∈D assoziierte SDSE und (S ′)das zu (λifi(µ1X1, · · · , µnXn))i∈D assoziierte SDSE, wobei λi, µi 6= 0 fur alle i. Betrachtenun den Hopf-Algebren-Automorphismus

Φ :

{HD 7−→ HD

F ∈ FD 7−→ (λ1µ1)n1(F ) · · · (λnµn)nn(F )F,

wobei ni(F ) gleich der Anzahl der Vertices von F ist, welche mit i dekoriert wurden.Wir zeigen nun, dass Φ(H(S)) = H(S′) ist. Dann folgt daraus, dass Φ ein Hopf-Algebren-Automorphismus ist, sofort die Behauptung. Es gilt nun aber einerseits fur alle F ∈ FDund alle i ∈ D, dass

µiλiB+i ◦ Φ(F ) = µiλiB

+i ((µ1λ1)n1(F ) · · · (µnλn)nn(F )F )

= (µ1λ1)n1(F ) · · · (µiλi)ni(F )+1 · · · (µnλn)nn(F ) ◦B+i (F )

= Φ ◦B+i (F )

und andererseits folgt hieraus fur Yi = 1λi

Φ(xi), wobei (x1, · · · , xn) ∈ (HD)n die eindeutigeLosung von (S) ist, dass

Yi =1

λiΦ(xi) =

1

λiΦ(B+

i (fi(x1, · · · , xn)))

=1

λiλiµiB

+i ◦ Φ(fi(x1, · · · , xn))

= µiB+i (fi(Φ(x1), · · · ,Φ(xn)))

= µiB+i (fi(λ1Y1, · · · , λnYn))

= B+i (µifi(λ1Y1, · · · , λnYn)),


55

wobei bei der drittletzten Gleichheit benutzt wurde, dassfi(Φ(x1), · · · ,Φ(xn)) = Φ(fi(x1, · · · , xn)). Aus Yi = B+

i (µifi(λ1Y1, · · ·λnYn)) fur allei ∈ D geht nun hervor, dass (Y1, · · · , Yn) ∈ (HD)n die eindeutige Losung von (S ′) istund somit insbesondere, dass Φ(H(S)) = H(S′) .

Definition 3.3.1.9 Sei (S) das zu (fi(X1, · · · , Xn))i∈D assoziierte SDSE. (S ′) heißt dasdurch Beschrankung (auf D′) entstandene SDSE von (S), falls (S ′) das zu(fi(Xj, j ∈ D)Xj=0,∀j /∈D′)i∈D′ assoziierte SDSE ist, wobei D′ ⊆ D und D′ 6= ∅.

Proposition 3.3.1.10 Seien (S) und (S ′) wie in Definition 3.3.1.9. Falls (S) Hopf ist,so ist auch (S ′) Hopf.

Beweis Sei Φ : HD 7−→ HD′ derjenige Morphismus, welcher alls Elemente aus HD,die minderstens einen Vertex besitzen, der mit einem Element aus D \ D′ dekoriert ist,auf 0 schickt und alle anderen auf sich selbst (falls D = D′, so ist Φ = Id). Dann istΦ offensichtlich ein Hopf-Algebren-Morphismus und Φ(H(S)) = H(S′). Dies beweist dieAussage.

Definition 3.3.1.11 Sei (S) das zu (fi(X1, · · · , Xn))i∈D assoziierte SDSE und (S ′) daszu (f ′k(Xj, j ∈ J))k∈J assoziierte SDSE , wobei J =

⋃i∈D Ji mit Ji ∩ Jj = ∅ ⇐⇒ i 6= j

ist und fur alle i ∈ D und alle x ∈ Ji gilt, dass f ′x = fi(∑y∈Jj

Xy, j ∈ D). Dann heißt (S ′)

Erweiterung von (S).

Proposition 3.3.1.12 Sei (S) ein SDSE und (S ′) eine Erweiterung von (S). Dann ist(S) genau dann Hopf, wenn (S ′) Hopf ist.


Definition 3.3.1.13 Sei (S) ein zu (fi(X1, · · · , Xn))i∈D assoziiertes Hopf-SDSE und0 /∈ D. Sei (S ′) ein zu (fi(Xj, j ∈ D ∪ {0}))i∈D∪{0} assoziiertes SDSE, wobei

1.) f0(X0, · · · , Xn) = 1 +∑i∈D

a(0)i Xi (d.h. auch f0 ist unabhangig von X0) und

2.) falls i, j ∈ D(0) = {j ∈ D/a(0)j 6= 0}, so ist fi = fj.

Dann heißt (S ′) Ausdehnung von (S).

Proposition 3.3.1.14 Sei (S ′) eine Ausdehnung von (S). Dann ist (S ′) Hopf.


Bemerkung 3.3.1.15 Aus dem Beweis der vorangegangenen Proposition geht auch her-


vor, dass, falls (S) das zu (fi(X1, · · · , Xn))i∈D assoziiertes SDSE mit 0 /∈ D ist und (S ′)ein zu (fi(Xj, j ∈ D ∪ {0}))i∈D∪{0} assoziiertes Hopf-SDSE, wobei

f0(X0, · · · , Xn) = 1+∑i∈D

a(0)i Xi ist, folgende beide Eigenschaften abgeleitet werden konnen:

1.) (S) ist Hopf,2.) ∀i, j ∈ D(0) gilt: fi = fj.

Beispiel 3.3.1.161.) Variablenanderung:

(S) :

X1 = B+

1 (f1(X1, X2, X3))

X2 = B+2 (f2(X1, X2, X3))

X3 = B+3 (f3(X1, X2, X3)).

(S ′) :

X1 = B+

1 (3f1(2X1, X2,14X3))

X2 = B+2 (f2(2X1, X2,

14X3))

X3 = B+3 (1

7f3(2X1, X2,

14X3)).

(S ′) ist ein durch Variablenanderung von (S) entstandenes SDSE.

2.) Beschrankung:

(S) :

X1 = B+

1 (f1(X1, X2, X3))

X2 = B+2 (f2(X1, X2, X3))

X3 = B+3 (f3(X1, X2, X3)).

(S ′) :

{X1 = B+

1 (f1(X1, X2, 0))

X2 = B+2 (f2(X1, X2, 0)).

(S ′) ist ein durch Beschrankung (auf D′ = {1, 2}) entstandenes SDSE von (S).


57

3.) Erweiterung:

(S) :

X1 = B+

1 (f1(X1, X2, X3))

X2 = B+2 (f2(X1, X2, X3))

X3 = B+3 (f3(X1, X2, X3)).

(S ′) :

X1 = B+1 (f1(X1 +X2, X3, X4 +X5))

X2 = B+2 (f1(X1 +X2, X3, X4 +X5))

X3 = B+3 (f2(X1 +X2, X3, X4 +X5))

X4 = B+4 (f3(X1 +X2, X3, X4 +X5))

X5 = B+5 (f3(X1 +X2, X3, X4 +X5)).

(S ′) ist eine Erweiterung von (S), wobei J = J1 ∪ J2 ∪ J3 und J1 = {1, 2} , J2 = {3} undJ3 = {4, 5}.

4a.) Ausdehnung:

(S) :

X1 = B+

1 (f1(X1, X2, X3))

X2 = B+2 (f1(X1, X2, X3))

X3 = B+3 (f2(X1, X2, X3)).

(S ′) :

X0 = B+

0 (1 + 2X1 + 3X2)

X1 = B+1 (f1(X1, X2, X3))

X2 = B+2 (f1(X1, X2, X3))

X3 = B+3 (f2(X1, X2, X3)).

Falls (S) Hopf ist und f1 6= f2 ist, so ist (S ′) eine Ausdehnung von (S).

4b.) Ausdehnung:

(S) :

X1 = B+

1 (f1(X1, X2, X3))

X2 = B+2 (f2(X1, X2, X3))

X3 = B+3 (f3(X1, X2, X3)).


wobei (S) Hopf ist und fi 6= fj ⇐⇒ i 6= j.

(S ′) :

X0 = B+

0 (1 + 3X2)

X1 = B+1 (f1(X1, X2, X3))

X2 = B+2 (f2(X1, X2, X3))

X3 = B+3 (f3(X1, X2, X3)).

(S ′) ist eine Ausdehnung von (S). Man kann an diesem Beispiel auch erkennen, dass dieBedingung 2.) aus Definition 3.3.1.13 leer ist, falls D(0) aus nur einem Element besteht.

Definition 3.3.1.17 Sei (S) ein zu (fi(X1, · · · , Xn))i∈D assoziiertes SDSE. G(S) bezeichneden zu (S) assoziierten Graphen, der folgende Eigenschaften besitzt:1.) die Vertices von G(S) sind die Elemente aus D;

2.) es existiert eine Kante von i nach j (i, j ∈ D) ⇐⇒ ∂fi∂xj6= 0.

Bemerkung 3.3.1.181.) Falls ∂fi

∂xi6= 0, so heißt der Vertex i selbstabhangig. Dies bedeutet, dass der Graph G(S)

eine Loop beim Vertex i enthalt.2.) Falls G(S) als Graph zusammenhangend ist, so sagen wir, (S) sei zusammenhangend.

Bemerkung 3.3.1.19 Falls (S) nicht zusammenhangend ist, so ist (S) die Vereinigungvon zusammenhangenden SDSE (S1), · · · , (Sk) mit einer disjunkten Menge an Variablen.Daher ist H(S)

∼= HS1 ⊗ · · · ⊗ HSk und somit (S) genau dann Hopf, wenn die (Si) furalle 1 ≤ i ≤ k Hopf sind. Wir wollen daher im Folgenden annehmen, dass (S) zusam-menhangend ist, sofern nichts anderes gesagt wird.

Bemerkung 3.3.1.20 Sei (S) ein SDSE und G(S) der zu (S) assoziierte Graph. EinVertex j ∈ D heißt direkter Nachkomme von i ∈ D, falls eine Kante von i nach j existiert(in diesem Fall heißt i direkter Vorfahre von j). Ein Vertex j ∈ D heißt Nachkomme voni ∈ D, falls ein Pfad von i nach j existiert (in diesem Fall heißt i Vorfahre von j). Manschreibt i→ j, falls j ein direkte Nachkomme von i ist.

Definition 3.3.1.21 Sei (S) ein Hopf SDSE und i ∈ D. Man sagt, i sei ein Ausdeh-nungsvertex, falls die Begrenzung von (S) auf J ∪ {i} eine Ausweitung der Begrenzungvon (S) auf J ist, wobei J die Menge der Nachkommen von i bezeichnet.

Lemma 3.3.1.22 Sei (S) ein zu (fi(X1, · · · , Xn))i∈D assoziiertes Hopf-SDSE und(x1, · · · , xn) ∈ (HD)n seine eindeutige Losung. Falls fi(0, · · · , 0) = 0, so ist xi = 0.

Beweis Falls fi(0, · · · , 0) = 0, so ist ·i /∈ H(S). Nun sind die Terme von fi ⊗ ·i in ∆(xi)


59

wegen ∆(xi) = ∆(B+i (fi(x1, · · · , xn))) gleich fi(x1, · · · , xn)⊗·i ∈ H(S)⊗H(S). Da ·i /∈ H(S)

ist, muss fi(x1, · · · , xn) = 0 sein und folglich xi = 0.

Korollar 3.3.1.23 Sei (S) ein zu (fi(X1, · · · , Xn))i∈D assoziiertes Hopf-SDSE und (S ′)die Begrenzung von (S) auf D \ {i}. Falls fi(0, · · · , 0) = 0, so ist H(S) = H(S′).

Da nach Proposition 3.3.1.8 ein SDSE genau dann Hopf ist, wenn es nach VariablenanderungHopf ist, konnen wir bei der Frage, ob ein SDSE Hopf ist ohne Einschrankung davon aus-gehen, dass der konstante Term von fi fur alle i ∈ D gleich 1 ist.

3.3.2 Wann ist (S) Hopf?

Wir kommen nun zu der Hauptaussage uber die Klassifizierung von Systemen kombi-natorischer Dyson-Schwinger-Gleichungen, die wir in Theorem 3.3.2.2 erfahren werden.Ahnlich wie im eindimensionalen Fall wird uns der Beweis dieses Theorems einige Zeitbeschaftigen.

Definition 3.3.2.1 Fur alle β ∈ K wahle

Fβ(h) =∞∑k=0

(1 + β) · · · (1 + β(k − 1))

k!=

{(1− βh)−

1β , falls β 6= 0

eh , falls β = 0.

Theorem 3.3.2.2 Sei (S) ein zu (fi(X1, · · · , Xn))i∈D assoziiertes, zusammenhangendesSDSE. Dann ist (S) genau dann Hopf, falls einer der beiden folgenden Aussagen gilt:1.) (S) ist ein ausgedehntes, multizyklisches SDSE, d.h. es existiert eine ZerlegungD = D1 ∪ · · · ∪Dn, wobei i ∈ ZmodnZ, sodass

I.)∀i ∈ Dk : fi(X1, · · · , Xn) = 1 +∑

j∈Dk+1

a(i)j Xj und

II.) falls i und i′ einen gemeinsamen direkten Vorfahren in G(S) besitzen, so ist fi = fi′ .D.h. insbesondere, dass dann i und i′ auch dieselben direkten Nachkommen besitzen.

2.) (S) ist ein (ausgedehntes) Fundamentalsystem, d.h. es existiert eine Zerlegung

D = (⋃i∈I0

Ji) ∪ (⋃i∈J0

Ji) ∪K0 ∪ I1 ∪ J1 ∪ J2,

wobeiI.) K0, I1, J1 und J2 leer sein konnen.


II.) I0 ∪ J0 6= ∅ undIII.) ∀i ∈ I0 ∪ J0 ist Ji 6= ∅.IV.) Bis auf Variablenanderung gilt fur die f ′is:

a.) ∀x ∈ I0 ∃βx ∈ K derart, dass fur alle i ∈ Jx gilt:

fi(X1, · · · , Xn) = Fβx(∑j∈Jx

Xj)∏

y∈I0\{x}

F βy1+βy

((1 + βy)∑j∈Jy

Xj)∏y∈J0

F1(∑j∈Jy

Xj).

b.)∀x ∈ J0,∀i ∈ Jx gilt:

fi(X1, · · · , Xn) =∏y∈I0

F βy1+βy

((1 + βy)∑j∈Jy

Xj)∏

y∈J0\{x}

F1(∑j∈Jy

Xj).

c.)∀i ∈ K0 gilt:

fi(X1, · · · , Xn) =∏y∈I0

F βy1+βy

((1 + βy)∑j∈Jy

Xj)∏y∈J0

F1(∑y∈Jy

Xj).

d.) ∀i ∈ I1 existiert ein vi ∈ K und eine Familie von Skalaren (a(i)j )j∈I0∪J0∪K0 , sodass

(vi 6= 1) oder (∃j ∈ J0 : a(i)j 6= 1) oder (∃j ∈ K0 : a

(i)j 6= 0) oder (∃j ∈ I0 : a

(i)j 6= 1 + βj),

sodass fur vi 6= 0 gilt:

fi(X1, · · · , Xn) =1

vi

∏y∈I0,a(i)y 6=0

F βy

via(i)y

(via(i)y

∑j∈Jy ,a(i)y 6=0

Xj)∏y∈J0

F 1

via(i)y

(via(i)y

∑j∈Jy

Xj)

∏j∈K0

F0(via(i)j Xj) + 1− 1

vi

und fur vi = 0:

fi(X1, · · · , Xn) = −∑y∈I0

a(i)y

βyln(1−

∑j∈Jy

Xj)−∑y∈J0

a(i)y ln(1−

∑j∈Jy

Xj) +∑j∈K0

a(i)j Xj + 1.

e.) ∀i ∈ J1 existiert ein vi ∈ K \ {0} und eine Familie von Skalaren (a(i)j )j∈I0∪J0∪K0∪I1 mit

den drei folgenden Eigenschaften:I.) I

(i)1 = {j ∈ I1/a

(i)j 6= 0} ist nicht leer.

II.) ∀j ∈ I(i)1 ist vj = 1 und

III.) ∀j, k ∈ I(i)1 ist fj = fk. Insbesondere wahlen wir b

(i)t = a

(j)t fur alle j ∈ I(i)

1 und alle


61

t ∈ I0 ∪ J0 ∪K0.Dann gilt:

fi(X1, · · · , Xn) =1

vi

∏y∈I0

F βy

b(i)y −1−βy

((b(i)y − 1− βy)

∑j∈Jy

Xj)∏y∈J0

F βy

b(i)y −1

((b(i)y − 1)

∑j∈Jy

Xj)

∏j∈K0

F0(b(i)j Xj) +

∑j∈I(i)1

a(i)j X1 + 1− 1

vi.

f.) I2 = {h1, · · · , hm} und fur alle 1 ≤ k ≤ m existiert eine Menge

I(hk) ⊆ (⋃i∈I0

Ji) ∪ (⋃i∈J0

Ji) ∪K0 ∪ I1 ∪ J1 ∪ {h1, · · · , hk−1}

und eine Familie von von null verschiedenen Skalaren (a(hk)j )j∈I(hk) derart, dass ∀i, j ∈ I(hk)

fi = fj gilt. Dann gilt:

fhk(X1, · · · , Xn) = 1 +∑

j∈I(hk)a

(hk)j Xj.

Die Elemente aus I2 sind Ausdehnungsvertices. Falls I2 = ∅ und somit die Bedingung f.)entfallt, so heißt (S) nicht ausgedehntes Fundamentalsystem, sondern einfach nur Funda-mentalsystem.

Der Rest dieses Unterabschnittes sowie der nachste Unterabschnitt sind dem Beweis desTheorems 3.3.2.2 gewidmet. Wir beginnen mit der Ruckrichtung.

Lemma 3.3.2.3 Sei D eine nicht-leere Menge, V ein K-Untervektorraum von V ect(TD)und A eine von V erzeugte K-Unteralgebra von HD. Dann ist A eine Hopf-Unteralgebravon V ⇐⇒ die beiden folgenden Aussagen erfullt sind:

1.) ∀d ∈ D : (f·d ⊗ Id) ◦∆(V ) ⊆ V +K.2.) ∀d ∈ D : (Id⊗ f·d) ◦∆(V ) ⊆ A,wobei ∆ das Ko-Produkt von HD bezeichnet und f·d die folgende lineare Abbildung ist:

f·d :

{HD 7−→ K

t1 · · · tn 7−→ δt1···tn,·d .



Proposition 3.3.2.4 Sei (S) ein SDSE. (S) ist genau dann Hopf, wenn ∀i, j ∈ D und furalle n ≥ 1 Skalare λn

(i,j) existieren, sodass fur alle t′ ∈ T iD(n) gilt:

∑t∈T iD(n+1)

nj(t, t′)at = λ(i,j)

n at′ ,

wobei at wie in Proposition 3.3.1.4 definiert ist, T iD(n) die Menge der mit D dekoriertenWurzelbaume vom Gewicht n bezeichnet, welche mit der Wurzel i dekoriert wurden undnj(t, t

′) die Anzahl der mit j dekorierten Bluten l von t bezeichnet, sodass man, falls manl von t abschneidet, t′ erhalt.

Beweis Angenommen, (S) sei Hopf. Dann ist H(S) eine Hopf-Unteralgebra von HD. DaH(S) als Algebra von einem K-Vektorraum V = (V ect(xi(n)), i ∈ D,n ≥ 1) ⊆ V ect(TD)erzeugt wird, lasst sich Lemma 3.3.2.3 anwenden. Insbesondere ist sowohl(f·j ⊗ Id) ◦∆(xi(n + 1)) aus H(S), als auch ein linearer Span von Baumen vom Grade nmit einer mit i dekorierten Wurzel. Letzteres, da xi(n+ 1) ein linearer Span von Baumenmit Wurzel i ist und ersteres aufgrund der Definition von f·j . Insbesondere existiert ein

λ(i,j)n ∈ K, sodass

(f·j ⊗ Id) ◦∆(xi(n+ 1)) = λ(i,j)n xi(n) =

∑t′∈T iD(n)

λ(i,j)n at′t

′.

Außerdem gilt nach der Definition des Ko-Produkts, dass

(f·j ⊗ Id) ◦∆(xi(n+ 1)) = (f·j ⊗ Id) ◦∆(∑

t∈T iD(n+1)

att)

=∑

t∈T iD(n+1)

at(f·j ⊗ Id) ◦∆(t)

=∑

t∈T iD(n+1),t′∈T iD(n)

nj(t, t′)att

′.

Ein Koeffizientenvergleich liefert nun unmittelbar, dass fur alle t′ ∈ T iD(n) gilt:∑t∈T iD(n+1)

nj(t, t′)at = λ(i,j)

n at′ .

Dies beweist die Hinrichtung; beweisen wir nun die Ruckrichtung. Nach Voraussetzungund der Defintion des Ko-Produkts gilt fur jedes i, j ∈ D und jedes n ≥ 2, dass:


63

(f·j ⊗ Id) ◦∆(xi(n)) =∑

t∈T iD(n),t′∈T iD(n−1)

nj(t, t′)att

′

=∑

t′∈T iD(n−1)

λ(i,j)n−1at′t

′

= λ(i,j)n−1xi(n− 1) ∈ V.

Außerdem ist (f·j ⊗ Id) ◦∆(xi(1)) = δi,j ∈ K und somit

(f·j ⊗ Id) ◦∆(V ) ⊆ V +K. (3.26)

Des Weiteren gilt:

(Id⊗ f·j) ◦∆(Xi) = (Id⊗ f·j) ◦∆(B+i (fi(X1, · · · , Xn)))

= (Id⊗ f·j) ◦ ((Id⊗B+i ) ◦∆(fi(X1, · · · , Xn))

+ (B+i ⊗ )(fi(X1, · · · , Xn)))

= δi,jfi(X1, · · · , Xn) ∈ H(S).

Hierbei folgt das vorletzte Gleichheitszeichen aus Satz 3.2.1.1. Insbesondere ergibt sichalso, dass

(Id⊗ f·j) ◦∆(V ) ⊆ H(S). (3.27)

Aus (3.26) und (3.27) ergibt sich mit Lemma 3.3.2.3, dass H(S) eine Hopf-Unteralgebravon HD ist und somit die Ruckrichtung.

Proposition 3.3.2.5 Sei (S) ein SDSE und D = {1, · · · , n}. Dann ist (S) Hopf ⇐⇒die beiden folgenden Bedingungen erfullt sind:

1.) Es existieren Skalare λ(i,j)n derart, dass fur alle 1 ≤ i, j ≤ n und alle (p1, · · · , pn) ∈ Nn

gilt:

a(i)(p1,··· ,pj+1,··· ,pn) =

1

pj + 1(λ

(i,j)p1+···pn+1 −

∑l∈D

pla(l)j )a

(i)(p1,··· ,pn).

2.) Fur alle p ≥ 1, alle i, j, d1, · · · , dp ∈ D, sodass a(i)(p1,··· ,pn) 6= 0, wobei pi gleich der

Anzahl der d′ks, die gleich i sind, ist und fur alle n1, · · · , np ≥ 1 gilt:

λ(i,j)n1+···+np+1 = λ

(i,j)p+1 +

p∑l=1

(λ(dl,j)nl− a(dl)

j ).



Bemerkung 3.3.2.6 Falls Skalare bj und a(i)j existieren, sodass λ

(i,j)n = bj(n−1)+a

(i)j fur

alle n ≥ 1 und alle i, j ∈ D, so ist die zweite Bedingung aus Proposition 3.3.2.5 erfullt.

Beweis Es gilt:

λ(i,j)n1+···+np+1 = bj(n1 + · · ·np) + a

(i)j

= bjp+ a(i)j +

p∑l=1

bj(nl − 1)

= bjp+ a(i)j +

p∑l=1

(bj(nl − 1) + a(dl)j − a(dl)

j )

= λ(i,j)p+1 +

p∑l=1


j ).

Theorem 3.3.2.7 Sei n ≥ 2. Dann ist das zu (fi(X1, · · · , Xn))i∈D assoziierte SDSE(S) Hopf, wobei

f1(X1, · · · , Xn) = 1 +X2

f2(X1, · · · , Xn) = 1 +X3

fn−1(X1, · · ·Xn) = 1 +Xn

fn(X1, · · · , Xn) = 1 +X1.

Beweis Identifiziere D = {1, · · · , n} und ZmodnZ mit der Bijektion i 7−→ i. Danngilt fur alle N ≥ 1 und alle 1 ≤ i ≤ n, dass

xi(N) = B+i◦B+

i+1◦ · · · ◦B+

i+N−1(),

wobei (x1, · · · , xn) die eindeutige Losung von (S) bezeichnet. Nach der obigen Rechnungist xi(N) eine Leiter und da jeder mogliche Schnitt einer Leiter auch ein zulassiger ist,gilt:

∆(xi(N)) = xi(N)⊗ + ⊗ xi(N) +i+N−1∑k=i

xk+1(N)⊗ xi(k).


65

Und somit:

∆(xi) =∞∑N=1

xi(N)⊗ + ⊗ xi(N) +i+N−1∑k=i

xk+1(N)⊗ xi(k)

= xi ⊗ + ⊗ xi +∞∑N=1

xi+N ⊗ xi(N).

Insbesondere ist also ∆(xi) ∈ H(S) fur alle i und somit ∆ ein Ko-Produkt von H(S).Da man nun analog zum eindimesionalen Fall leicht zeigen kann, dass H(S) eine zusam-menhangende Bi-Algebra ist, lasst sich mit Lemma 3.1.8 folgern, dass H(S) eine Hopf-Algebra ist.

Korollar 3.3.2.8 Sei (S) wie in Theorem 3.3.2.2 1.), d.h. (S) ist ein zusammenhangendes,ausgedehntes, multizyklisches SDSE. Dann ist (S) Hopf.

BeweisI.) Wahle J = J1 ∪ · · · ∪ Jn, wobei i ∈ ZmodnZ fur alle 1 ≤ i ≤ n ist und Jk ={jk,1, · · · , jk,nk}. Falls fur alle i ∈ Jk, 1 ≤ k ≤ n, gilt, dass

fi(Xj; j ∈ J) =∑j∈Jk+1

1 +Xj

ist, so ist das zu (fi(X1, · · · , Xjn,nn))i∈J assoziierte SDSE (S) eine Erweiterung des SDSE

aus Theorem 3.3.2.7.II.) Sei (S) das SDSE aus I.). Dann ist das zu

(fi(a(1)

2X1, · · · , a(1)

2Xj1,n1

, · · · , a(k)

k+1Xjk,1

, · · · , a(k)

k+1Xjk,n

k

, · · · , a(n)

n+1Xn,nn))i∈J .

assoziierte SDSE (S ′) ein durch Variablenanderung von (S) entstandenes SDSE. Schließ-lich ist das SDSE aus Theorem 3.3.2.2 1.) eine Ausdehnung von (S ′). Mit Proposition3.3.1.8, Proposition 3.3.1.12 und Proposition 3.3.1.14 folgt nun die Behauptung.

Theorem 3.3.2.9 Sei D eine Menge mit einer Zerlegung D = I0∪J0∪K0∪I1∪J1, sodass:

I.) I0, J0, K0, I1, J1 leer sein konnen undII.)I0 ∪ J0 nicht leer ist.

Dann ist das in folgender Weise definierte, zu (fi(Xj, j ∈ D))i∈D assoziierte SDSE, wobeio.E. D = {1, · · · , n} ist, Hopf:


1.) Fur alle i ∈ I0 existiert ein βi ∈ K derart, dass

fi(X1, · · · , Xn) = Fβi(Xi)∏

j∈I0\{i}

F βj1+βj

((1 + βj)Xj)∏j∈J0

Fi(Xj).

2.) Fur alle i ∈ J0 gilt:

fi(X1, · · · , Xn) =∏j∈I0

F βj1+βj

((1 + βj)Xj)∏

j∈J0\{i}

F1(Xj).

3.) Fur alle i ∈ K0 gilt:

fi(X1, · · · , Xn) =∏j∈I0

F βj1+βj

((1 + βj)Xj)∏j∈J0

F1(Xj).

4.) Fur alle i ∈ I1 existiert ein vi ∈ K und eine Familie von Skalaren (a(i)j )j∈I0∪J0∪K0

derart, dass (vi 6= 1) oder (∃j ∈ I0 : a(i)j 6= 1 + βj) oder (∃j ∈ J0 : a

(i)j 6= 1) oder

(∃j ∈ K0 : a(i)j 6= 0). Dann gilt, falls vi 6= 0, dass

fi(X1, · · · , Xn) =1

vi

∏j∈I0

F βj

via(i)j

(via(i)j Xj)

∏j∈J0

F 1

via(i)j

(via(i)j Xj)

∏j∈K0

F0(via(i)j Xj) + 1− 1

vi.

Und falls vi = 0, dass

fi(X1, · · · , Xn) = −∑j∈I0

a(i)j

βjln(1−Xj)−

∑j∈J0

a(i)j ln(1−Xj) +

∑j∈K0

a(i)j Xj + 1.

5.) Fur alle i ∈ J1 existiert ein vi ∈ K\{0} und eine Familie von Skalaren (a(i)j )j∈I0∪J0∪K0∪I1

mit folgenden Eigenschaften:a.) I

(i)1 = {j ∈ I1/a

(i)j 6= 0} ist nicht leer.

b.) ∀j ∈ I(i)1 ist vj = 1.

c.) ∀j, k ∈ I(i)1 ist fj = fk. Insbesondere setzen wir b

(i)t = a

(j)t fur alle j ∈ I

(i)1 und alle

t ∈ I0 ∪ J0 ∪K0.Dann gilt:

fi(X1, · · · , Xn) =1

vi

∏j∈I0

F βj

b(i)j−1−βj

((b(i)j − 1− βj)Xj)

∏j∈J0

F 1

b(i)j−1

((b(i)j − 1)Xj)

∏j∈K0

F0(b(i)j Xj) +

∑j∈I(i)1

a(i)j X1 + 1− 1

vi,


67

wobei Fx immer wie in Definition 3.3.2.1 ist.

Beweis Wir weisen die Bedingungen aus Proposition 3.3.2.5 nach. Wahle hierzu

λ(i,j)n =

{a

(i)j , falls n = 1,

a′(i)j + bj(n− 1) , falls n ≥ 2,

wobei a(j)i , a′

(j)i und bj (in genau dieser Reihenfolge) in den folgenden drei Tabellen defi-

niert sind und in den ersten beiden Tabellen stets die linke Zeile fur die i-te Komponenteund die obere Spalte fur die j-te Komponente von a

(j)i bzw. a′

(j)i stehen und in der dritten

Tabelle die obere Spalte fur die j-te Komponente von bj steht (z.B. ist a′(j)i = vja

(j)i , falls

i ∈ I0 und j ∈ I1 ist und bj = 1 + βj fur j ∈ I0):

∈ I0 ∈ J0 ∈ K0 ∈ I1 ∈ J1

∈ I0 (1 + βi)− δi,jβi 1 + βi 1 + βi a(j)i

b(j)i −1−βi

vj

∈ J0 1 1− δi,j 1 a(j)i

b(j)i −1

vj

∈ K0 0 0 0 a(j)i

b(j)i

vj

∈ I1 0 0 0 0 a(j)i

∈ J1 0 0 0 0 0

∈ I0 ∈ J0 ∈ K0 ∈ I1 ∈ J1

∈ I0 (1 + βi)− δi,jβi 1 + βi 1 + βi vja(j)i b

(j)i − 1− βi

∈ J0 1 1− δi,j 1 vja(j)i b

(j)i − 1

∈ K0 0 0 0 vja(j)i b

(j)i

∈ I1 0 0 0 0 0∈ J1 0 0 0 0 0

∈ I0 ∈ J0 ∈ K0 ∈ I1 ∈ J1

bj 1 + βj 1 0 0 0

Wir zeigen zunachst, dass Bedingung 2 aus Proposition 3.3.2.5 erfullt ist. Nach der Ta-belle ist a

(i)j 6= a′

(i)j in den folgenden sieben Fallen:

1.Fall: j ∈ I0, i ∈ J1 und vi 6= 1.2.Fall: j ∈ J0, i ∈ J1 und vi 6= 1.3.Fall: j ∈ K0, i ∈ J1 und vi 6= 1.4.Fall: j ∈ I1, i ∈ J1 und a

(i)j 6= 0.

5.Fall: j ∈ I0, i ∈ I1 und vi 6= 1.6.Fall: j ∈ J0, i ∈ I1 und vi 6= 1.7.Fall: j ∈ K0, i ∈ I1 und vi 6= 1.


Nun ist aber fur i ∈ J1 a(i)(p1,··· ,pn) = 0, falls ein l ∈ I1 ∪ J1 existiert, sodass pl 6= 0. Al-

so mussen die dk′s aus Bedingung 2, Proposition 3.3.2.5 alle aus (K0 ∪ J0 ∪ I0) sein.

Falls dk ∈ K0 ∪ J0 ∪ I0 ist, so ist a(dk)j = a′

(dk)j ∀j ∈ D. Somit gilt ∀i ∈ J1,∀j ∈

I0 ∪ J0 ∪K0 ∪ I1,∀p ≥ 1,∀d1, · · · , dp ∈ I0 ∪ J0 ∪K0:

λ(i,j)p+1 +

p∑l=1


j ) = pbj + a′(i)j + (d1 + · · ·+ dp − p)bj +

p∑l=1

(a′(dl)j − a(dl)

j )

= (d1 + · · ·+ dp)bj + a′(i)j = λ

(i,j)n1+···np+1. (3.28)

Falls i ∈ I1 ist, so ist a(i)(p1,··· ,pn) = 0, falls ein l ∈ (I1∪J1)\I(i)

1 existiert, sodass pl 6= 0. Also

mussen die dk′s aus (K0∪J0∪I0∪I(i)

1 ) sein. Falls dk ∈ K0∪I0∪J0 ist, so zeigt man analogzu (3.28), dass die Bedingung 2 aus Proposition 3.3.2.5 fur i ∈ I1 und j ∈ I0 ∪ J0 ∪ K0

erfullt ist. Falls dk ∈ I(i)1 ist, so ist ebenfalls a

(i)j = a′

(i)j ∀j ∈ J0∪ I0∪K0, da in diesem Fall

vdl = 1 ist. Nun zeigt man ebenso analog zu (3.28), dass die Bedingung 2 aus Proposition3.3.2.5 erfullt ist. Also ist in allen sieben Fallen die Bedingung 2 aus Proposition 3.3.2.5erfullt. In allen anderen Fallen ist a

(i)j = a′

(i)j und dann folgt unmittelbar aus Bemerkung

3.3.2.6, dass die Bedingung 2 aus Proposition 3.3.2.5 erfullt ist.Es bleibt, die Bedingung 1 aus Proposition 3.3.2.5 nachzuweisen. Sei hierzu beispielsweisei ∈ J1, j ∈ I0 und (p1, · · · , pn) ∈ Nn \ {(0, · · · , 0)}. Dann gilt:

λ(i,j)p1+···pn+1 −

n∑l=1

a(l)j pl = (p1 + · · · pn + 1− 1)bj + a′

(i)j −

∑l∈I0∪J0∪K0

a(l)j pl −

∑l∈I1∪J1

a(l)j pl

=n∑l=1

pl(1 + βj) + b(i)j − 1− βj

−∑

l∈I0∪J0∪K0

(1 + βj)pl + βjpj −∑

l∈I1∪J1

a(l)j pl

= b(i)j − 1− βj + βjpj +

∑l∈I1∪J1

(1 + βj − a(l)j )pl. (3.29)

Falls ein l ∈ (I1 ∪ J1) \ I(i)1 existiert, sodass pl = 0, so ist a

(i)(p1,··· ,pj+1,··· ,pn) = a

(i)(p1,··· ,pn) = 0,

wie sich sofort aus 5.) ergibt und es gibt nichts zu zeigen. Nehmen wir also an, pl 6= 0

∀l ∈ (I1 ∪ J1) \ I(i)1 . Dann gilt nach (3.29):

λ(i,j)p1+···pn+1 −

n∑l=1

a(l)j pl = b

(i)j − 1− βj + βjpj +

∑l∈I(i)1

(1 + βj − a(l)j )pl

= b(i)j − 1− βj + βjpj + (1 + βj − b(i)

j )∑l∈I(i)1

pl. (3.30)


69

Nun unterscheidet man zwischen den Fallen∑l∈I(i)1

pl = 0,∑l∈I(i)1

pl = 1 und∑l∈I(i)1

pl ≥ 2. Mit

(3.30) ergibt sich jeweils, dass

a(i)(p1,··· ,pj+1,··· ,pn) = 1

pj+1(λp1+···+pn+1 −

∑l∈D

a(l)j pl)a

(i)(p1,··· ,pn). Die anderen Falle lassen sich

ahnlich berechnen. Fur Details siehe Theorem 30 in [2].

Bemerkung 3.3.2.10 Ein Fundamentalsystem (S) wie in Theorem 3.3.2.2 2.) ist eineErweiterung eines SDSE wie in Theorem 3.3.2.9. Also ist (S) nach Proposition 3.3.1.12Hopf. Seien I0, K0, J0, I1, J1 und I2 = {x1, · · · , xn} wie in Theorem 3.3.2.2 2.). Dann istdas zu (

⋃i∈I0 Ji) ∪ (

⋃i∈J0 Ji) ∪ I1 ∪ J1 ∪ K0 ∪ {x1, · · · , xi} assoziierte SDSE eine Aus-

dehnung des zu (⋃i∈I0 Ji) ∪ (

⋃i∈J0 Ji) ∪ I1 ∪ J1 ∪K0 ∪ {x1, · · · , xi−1} assoziierten SDSE

fur alle 1 ≤ i ≤ n. Somit lasst sich mit Proposition 3.3.1.14 sukzessive folgern, dass daszu (

⋃i∈I0 Ji) ∪ (

⋃i∈J0 Ji) ∪ I1 ∪ J1 ∪ K0 ∪ I2 assoziierte SDSE Hopf ist. Also sind so-

wohl (ausgedehnte) Fundamentalsysteme, als auch - nach Korollar 3.3.2.8 - ausgedehnte,multizyklische SDSE Hopf. Somit ist die Ruckrichtung von Theorem 3.3.2.2 bewiesen.

3.3.3 Beweis der Hinrichtung von Theorem 3.3.2.2

Das Ziel dieses Abschnitts besteht darin, die Hinrichtung des Theorems 3.3.2.2 zu beweisenund dieses damit endgultig zu zeigen. Hierfur zeigen wir zunachst, in welcher Beziehungλ

(i,j)n aus Proposition 3.3.2.4 zu a

(i)(p1,··· ,pn) steht.

Lemma 3.3.3.1 Angenommen, (S) sei Hopf und i ∈ D = {1, · · · , n}. Dann gilt:1.) Fur jeden Pfad i = i1 → i2 → · · · → iN mit ik ∈ D ∀1 ≤ k ≤ N gilt:

λ(i,j)n = a

(iN )j +

N−1∑p=1

(1 + δj,ip+1)a

(ip)j,ip+1

a(ip)ip+1

;

insbesondere ist also λ(i,j)1 = a

(i)j .

2.) ∀p1, · · · , pn ∈ N gilt:

a(i)(p1,··· ,pj+1,··· ,pn) =

1

pj + 1(λ

(i,j)p1+···+pn+1 −

n∑l=1

pla(l)j )a

(i)(p1,··· ,pn).


Bemerkung 3.3.3.2 Aus Lemma 3.3.3.1 ergibt sich unmittelbar, dass, falls (S) Hopf

ist, aus a(i)(p1,··· ,pn) = 0 folgt, dass a

(i)(l1,··· ,ln) = 0 ist fur alle (l1, · · · , ln) ∈ Nn, fur die li ≥ pi

∀1 ≤ i ≤ n ist. Insbesondere existiert, da fi = const. fur alle i ausgeschlossen wurde, fur


jedes 1 ≤ i ≤ n ein 1 ≤ j ≤ n derart, dass a(i)j 6= 0 ist. Es gilt sogar ∀i, j ∈ G(S), dass

a(i)j 6= 0 ⇐⇒ i→ j.

Proposition 3.3.3.3 Es gelten folgende drei Aussagen:1.) Seien i, j ∈ G(S), sodass j kein Nachkomme von i ist. Dann ist λ

(i,j)N = 0 ∀N ∈ N.

2.) Sei (S) Hopf mit einer Menge an Vertices I und sei (S ′) Hopf mit einer Menge anVertices J . Dann ist (S ′) eine Erweiterung von (S) ⇐⇒ J =

⋃i∈I Ji fur gewisse Ji und

falls ∀x ∈ Ji, y ∈ Jj und alle N ≥ 1 gilt:

λ(i,j)N = λ

(x,y)N .

3.) Sei i ∈ D, sodass

fi(X1, · · · , Xn) = 1 +∑j∈D

a(i)j Xj.

Dann gilt fur alle direkten Nachkommen i′ von i, fur alle j ∈ D und alle N ≥ 1:

λ(i,j)N+1 = λ

(i′,j)N .

Insbesondere gilt, dass fi′ = fk, falls i′ und k beide direkte Nachkommen von i sind.

Beweis1.) Nach Bemerkung 3.3.3.2 existiert eine Folge i → i2 → · · · → iN fur jedes N ∈ Nund gewisse Elemente i, i2, · · · , iN ∈ D. Also ist a

(ik)ik+16= 0 ∀1 ≤ k ≤ N − 1. Da j kein

Nachkomme von i ist, ist j kein direkter Nachkomme von i, i2, · · · , iN , also ist a(iN )j = 0

und a(ik)j,ik+1

= 0 ∀1 ≤ k ≤ N − 1. Aus Lemma 3.3.3.1 1.) folgt nun unmittelbar, dass

λ(i,j)N = 0 ∀N ≥ 1 ist.

2.) Wahle xi ∈ Ji. Angenommen (S ′) sei eine Erweiterung von (S) und i→ i2 → · · · → iNsei ein Pfad mit i, i1, · · · , iN ∈ I, dann ist x = xi1 → xi2 → · · · → xiN ebenfalls ein Pfadund es gilt nach Lemma 3.3.3.1 1.):

λ(i,j)N = a

(iN )j +

N−1∑p=1

(1 + δj,ip+1)a

(ip)j,ip+1

a(ip)ip+1

= a(xiN )xj +

N−1∑p=1

(1 + δj,ip+1)a

(xip+1)

xj ,xip+1

a(xip )xip+1

= λ(xi,xj)N .

Dies beweist die Hinrichtung; zeigen wir nun die Ruckrichtung.Wir betrachten hierzu eine Erweiterung (S) von (S), wobei (S) eine Menge an Vertices

J =⋃i∈I Ji besitzt. Dann sind die Koeffizienten λ

(i,j)N von (S ′) und (S) gleich. Nach


71

Lemma 3.3.3.1 2.) sind dann aber auch (S ′) und (S) gleich.

3.) Betrachten wir einen Pfad i0 = i → i′ = i1 → i2 → · · · → iN . Dann ist a(ik)ik+16= 0

∀1 ≤ k ≤ N − 1. Außerdem ist nach der Definition von fi a(i)j,i′ = 0. Nach Lemma 3.3.3.1

gilt nun:

λ(i,j)N+1 = a

(iN )j +

N−1∑p=0

(1 + δj,ip+1)a

(ip)j,ip+1

a(ip)ip+1

= a(iN )j +

N−1∑p=1

(1 + δj,ip+1)a

(ip)j,ip+1

a(ip)ip+1

= λ(i′,j)N .

Falls also i′ und k direkte Nachkommen von i sind, so gilt ∀t ∈ D und alle N ≥ 1, dass

λ(i′,t)N = λ

(k,t)N und somit nach Lemma 3.3.3.1 2.), dass fi′ = fk.

Proposition 3.3.2.5 gibt zwei Kriterien an, durch die ein SDSE dahingehend untersuchtwerden kann, ob es Hopf ist. In Bemerkung 3.3.2.6 haben wir gesehen, dass das zweiteKriterium bereits dann erfullt ist, wenn Skalare bj und a

(i)j existieren, sodass

λ(i,j)N = bj(N − 1) + a

(i)j fur alle N ≥ 1 und alle i, j ∈ D ist. Dieser Umstand motiviert die

Definition 3.3.3.4 Sei (S) ein Hopf SDSE und i ∈ G(S). i heißt vom Level ≤ M , falls

fur jeden Vertex j ∈ G(S) Skalare b(i)j und a

(i)j existieren, sodass fur alle N M gilt:

λ(i,j)N = bj(N − 1) + a

(i)j .

Der Vertex i heißt vom Level M , falls i vom Level ≤M ist aber nicht vom Level ≤M−1.Um zu prufen, ob i vom Level ≤M ist, genugt es die Nachkommen j von i zu betrachten,da fur diejenigen j ∈ G(S), die keine Nachkommen von i sind, nach Proposition 3.3.3.3 1.)

immer b(i)j = a

(i)j = 0 gewahlt werden kann.

Proposition 3.3.3.5 Sei (S) ein Hopf SDSE, i ∈ G(S) und j ein direkter Nachkom-me von i. Dann gilt:1.) i besitzt Level 0 oder 1 ⇐⇒ j besitzt Level 0.2.) Sei M ≥ 2; dann besitzt i Level M ⇐⇒ j besitzt Level M − 1.

Außerdem gilt in diesem Fall, dass b(i)k = b

(j)k ∀k ∈ D ist.

Beweis Sei i ∈ G(S) und j ein direkter Nachkomme von i. Da (S) Hopf ist, gilt nach

Proposition 3.3.2.5 2.) mit p = 1 und d1 = j, da a(i)j 6= 0, fur alle l ∈ G(S) und alle N ≥ 1:

λ(i,l)N+1 = λ

(i,l)2 + λ

(j,l)N − a(j)

l . (3.31)

Also gilt fur alle M ≥ 1, dass i vom Level ≤ M ist, falls j vom Level ≤ M − 1 ist.Außerdem gilt nach (3.31), dass b

(i)l = b

(j)l ∀l ∈ G(S). Die Aussagen 1.) und 2.) folgen nun

durch Fallunterscheidung. Fur Details siehe Proposition 21 in [2].


Korollar 3.3.3.6 Sei (S) ein zusammenhangendes Hopf SDSE. Dann ist jeder Vertexvon G(S) von endlichem Level, falls nur ein Vertex von G(S) von endlichem Level ist. In

diesem Fall hangt b(i)j lediglich von j ab. Somit lasst sich bj anstelle von b

(i)j schreiben.

Lemma 3.3.3.7 Sei (S) ein zusammenhangendes Hopf SDSE und j ∈ G(S) von end-lichem Level. Falls ein i ∈ G(S) existiert, sodass i kein Nachkomme von j ist, dann istbj = 0.

Beweis Nach Proposition 3.3.3.3 1.) ist λ(i,j)N = 0 ∀N ≥ 1. Nach Korollar 3.3.3.6 ist

j von endlichem Level und b(i)j = bj. Sei j vom Level M . Dann ist ∀N M :

0 = λ(i,j)N = bj(N − 1) + a

(i)j .

Also ist bj = 0.

Lemma 3.3.3.8 Sei (S) ein zu (fi(X1, · · · , Xn))i∈D assoziiertes Hopf SDSE und i ∈ G(S).Angenommen, es existierte ein Vertex j ∈ G(S), sodassI.) j ein Nachkomme von i ist undII.) jeder orientierte Pfad von i nach j die Lange ≥ 3 besitzt.

Dann ist fi(X1, · · · , Xn) = 1 +∑i→l

a(i)l Xl.

Beweis Sei D = {1, · · · , n} und sei L die minimale Lange des orientierten Pfades voni nach j, d.h. L ≥ 3. Sei xi =

∑t∈T iD

att wie in Proposition 3.3.1.4. und i → i1 → · · · →

iL−1 → j ein orientierter Pfad von i nach j. Dann ist nach dem Beweis von Proposition3.3.1.4

fur k = �i

j

i1 ak 6= 0 und at = 0 fur einen Baum t, der die Lange L+ 1

besitzt, keine Leiter ist und einen mit j dekorierten Vertex hat, da andererseits ein Pfadder Lange ≤ L − 1 von i nach j existierte. Also beinhaltet die homogene Komponentevon xi vom Grade L+ 1, xi(L+ 1), lediglich solche mit j dekorierten Baume, die Leiternsind. Nach Proposition 3.3.2.4 gilt fur alle t ∈ T iD(L):

λ(i,j)L at′ =

∑t∈T iD(L+1)

nj(t, t′)at. (3.32)

Nach obigen Bemerkungen existiert eine Leiter t′, sodass nj(t, t′) 6= 0 und at 6= 0 sind


73

[wahle t =�i

j

i1 und t′ =�i

iL−1

i1 ]; also sind sowohl λ(i,j)L 6= 0, als auch

at′ 6= 0. Andererseits ist, falls t′ keine Leiter ist und t eine Leiter ist, nj(t, t′) = 0. Und wenn

weder t′ noch t Leitern sind und nj(t, t′) 6= 0 ist, so ist at = 0 nach obigen Uberlegungen.

Also ist, da λ(i,j)L 6= 0 ist, at′ = 0 nach (3.32). Demnach ist xi(L) ein linearer Span von

Leitern. Wie im Beweis von Theorem 3.3.2.7 kann man bei Betrachtung des Ko-Produktsvon xi(L), ∆(xi(L)), ableiten, dass xi(p) ein linearer Span von Leitern fur jedes p ≤ L ist.Da L ≥ 3 ist, ist also insbesondere xi(3) ein linearer Span von Leitern. Nun ist aber nach

Proposition 3.3.1.4 mit r1 = �i

l

m

und r2 =�i

l m :

xi(3) =∑l,m∈D

a(i)l a

(l)m r1 +

∑l≤m;l,m∈D

al,m(i)r2.

Also ist a(i)l,m = 0 ∀l,m ∈ D. Nach Bemerkung 3.3.3.2 besitzt daher fi nur Terme vom

Grade ≤ 1.

Proposition 3.3.3.9 Sei (S) ein Hopf SDSE und i ∈ G(S) vom Level ≥ 2. Dann isti ein Ausdehnungsvertex.


Definition 3.3.3.10 Sei (S), abgesehen von Variablenanderung, eine Erweiterung einesSystems wie in Theorem 3.3.2.7 (d.h. (S) ist ein multizyklisches SDSE). Dann heißt der zu(S) assoziierte Graph G(S) n-Multizykel, falls D = D1 ∪ · · · ∪Dn. Falls n = 2, so existierteine Kante von i nach j, i, j ∈ G(S), ⇐⇒ eine Kante von j nach i existiert.

Bemerkung 3.3.3.11 Sei (S) ein System wie in Theorem 3.3.2.9 mit D = J0. Dann ist (S)ein zu (fi)i∈J0 assoziiertes Hopf SDSE, wobei fi(X1, · · · , Xn) =

∏j 6=i(1 −Xj)

−1 ∀i ∈ J0.Ein zu einem solchen System assoziierter Graph G(S) ist ein vollstandiger Graph ohneselbstabhangige Vertices, d.h. es existiert eine Kante von i nach j ⇐⇒ i 6= j ∀i, j ∈ G(S).Insbesondere gilt fur J0 = {1, 2}, dass G(S) gleich 1↔ 2 ist (vgl. 2-Multizykel aus Defini-tion 3.3.3.10).

Definition 3.3.3.12 Ein SDSE heißt quasi-vollstandig, falls (S) - bis auf Variablenanderung- eine Erweiterung eines Systems aus Bemerkung 3.3.3.11 ist. Der zu (S) assoziierte GraphG(S) heißt quasi-vollstandig. Sei (S ′) ein SDSE wie in Bemerkung 3.3.3.11 und G(S′) gleich


1 ↔ 2. Bemerke, dass, falls (S) - bis auf Variablenanderung - eine Erweiterung von (S ′)ist, G(S) ein 2-Multizykel wie in Definition 3.3.3.10 ist.

Lemma 3.3.3.13 Sei (S) ein zu (fi(X1, · · · , Xn))i∈D assoziiertes Hopf SDSE und i ∈ Dderart, dass a

(i)i = 0. Seien j, k, l ∈ D, sodass a

(i)j 6= 0, a

(j)k 6= 0 und a

(i)l 6= 0. Dann ist

a(i)k 6= 0 oder a

(l)k 6= 0.


Proposition 3.3.3.14 Sei (S) ein Hopf SDSE, sodass G(S) ein n-Multizykel ist, wobein ≥ 3. Dann ist (S) ein multizyklisches SDSE.

Beweis Sei D = D1 ∪ · · · ∪ Dn die Menge der Vertices von G(S) und i ∈ ZmodnZ∀1 ≤ i ≤ n. Da nach Voraussetzung n ≥ 3 ist, gilt nach Lemma 3.3.3.8 mit i = j,dass fi(X1, · · · , Xn) = 1 +

∑i→j

a(i)j Xj ist. Seien j, j′ ∈ Dm und sei i ∈ Dm−1. Dann ist

i ein direkter Vorfahre von j und j′. Nach Proposition 3.3.3.3 3.) ist daher fj = fj′ .

Insbesondere ist a(j)k = a

(j′)k fur alle k ∈ Dm+1. Da G(S) ein Multizykel ist, ist demnach

fi(X1, · · · , Xn) = 1 +∑

k∈Dm+1

a(j)k Xk ∀i ∈ Dm. Nachdem wir fur Xk

1

a(j)k

Xk eingesetzt ha-

ben, ergibt sich schließlich, dass fi(X1, · · · , Xn) = 1 +∑

k∈Dm+1

Xk fur alle i ∈ Dm. Fur alle

anderen Vertices argumentiert man analog; also ist (S) multizyklisch.

Proposition 3.3.3.15 Sei (S) ein Hopf SDSE, sodass G(S) ein M -quasi-vollstandigerGraph ist. Dann ist (S) ein 2-multizyklisches oder ein quasi-vollstandiges SDSE.


Bemerkung 3.3.3.16 Da ein 2-quasi-vollstandiger Graph ein 2-Multizykel ist, kann manfolgern, dass (S) Hopf ist, falls G(S) ein Multizykel oder ein quasi-vollstandiger Graph ist.

Definition 3.3.3.17 Sei G ein Graph. Man sagt, G sei symmetrisch, falls G keine selbst-abhangigen Vertices besitzt und fur i 6= j (i, j ∈ G(S)) eine Kante von i nach j existiert⇐⇒ eine Kante von j nach i existiert. Falls G(S) symmetrisch ist, so sagt man auch, (S)sei symmetrisch.

Theorem 3.3.3.18 Sei (S) ein zusammenhangendes, symmetrisches Hopf SDSE. Dannist (S) 2-multizyklisch oder quasi-vollstandig.

Beweis Nach Proposition 3.3.3.15 genugt es zu zeigen, dassG(S) einM -quasi-vollstandiger


75

Graph ist (M ≥ 2). Betrachten wir hierzu einen M -quasi vollstandigen, maximalen Sub-graphen G′ von G(S). G

′ existiert (nicht notwendigerweise eindeutig), da G(S) symmetrischund zusammenhangend ist und somit irgendwelche Vertices i, j ∈ G(S), i 6= j, existieren,sodass eine Kante von i nach j und eine Kante von j nach i existieren.Nehmen wir an, G(S) 6= G′. Da G(S) zusammenhangend ist, existiert ein i ∈ G(S) \ G′,sodass i mit einem Vertex j ∈ G′ verbunden ist. Sei D′ = D1

′ ∪ · · · ∪ DM′ die Menge

der Vertices von G′. Falls i mit j ∈ Dp′ verbunden ist, so ist i mit allen Vertices aus Dp

′

verbunden. Sei j′ ∈ Dp′ ein beliebiger anderer Vertex und j 6= j′; sei außerdem k ∈ Dq

′

mit q 6= p. Falls i mit k verbunden ist, so folgt aus Lemma 3.3.3.13, dass j mit i verbundenist, da j′ nicht mit j verbunden ist. Falls i nicht mit k verbunden ist, so folgt ebenfallsaus Lemma 3.3.3.13, dass j mit i verbunden ist. Nehmen wir nun an, i sei weder mitDp1

′ noch mit Dp2′ verbunden, wobei p1 6= p2 ist. Sei nun k′ ∈ Dp1

′ und l ∈ Dp2′; wegen

p1 6= p2, p1 6= p und p2 6= p sind j, k′ und l alle miteinander verbunden. Nach Lemma3.3.3.13 ist dann aber k′ oder l mit i verbunden; ein Widerspruch. Also existiert hochstensein 1 ≤ t ≤M , sodass i nicht mit Dt

′ verbunden ist.1.Fall: i ist mit jedem Dt

′ verbunden. Dann ware G′ ∪ {i} ein M + 1-quasi-vollstandigerGraph mit D′ = D1

′ ∪ · · · ∪DM′ ∪ {i}; ein Widerspruch zur Maximalitat von G′.

2.Fall: Es existiert genau ein 1 ≤ t ≤M , sodass i nicht mit Dt′ verbunden ist. Nach even-

tuellem Umnummerieren konnen wir annehmen, i sei nicht mit DM′ verbunden. Dann

ware G′ ∪ {i} ein M -quasi-vollstandiger Graph mit D′ = D1′ ∪ · · · ∪ (DM

′ ∪ {i}). Auchdies widerspricht der Maximalitat von G′.Also ist G(S) = G′ und somit G(S) ein M -quasi-vollstandiger Graph (M ≥ 2).

Proposition 3.3.3.19 Sei (S ′) ein Hopf SDSE, i ∈ G(S′) ein selbstabhangiger Vertex.Sei (S) ein durch Beschrankung auf D′ von (S ′) entstandenes SDSE, wobeiD′ = {j ∈ G(S′)/j ist Nachkomme von i}∪{i} ist. Dann ist (S) ein fundamentales SDSE,wobei K0 = I1 = J1 = ∅.


Korollar 3.3.3.20 Sei (S) ein zusammenhangendes SDSE, sodass jeder Vertex von G(S)

der Nachkomme eines selbstabhangigen Vertex ist. Dann ist (S) fundamental mit K0 =I1 = J1 = ∅.

Beweis Sei x ein selbstabhangiger Vertex von (S). Nach Proposition 3.3.3.19 ist dasSDSE, das zu (fi)i∈I assoziiert ist, wobei I aus x und all seinen Nachkommen besteht,

fundamental mit K0 = I1 = J1 = ∅. Wir setzen I = I(x)0 ∪J

(x)0 und I

(x)0 = I

(x)0,1 ∪I

(x)0,2 , wobei

I(x)0,1 = {y ∈ I(x)

0 /βy 6= −1} und I(x)0,2 = {y ∈ I(x)

0 /βy = −1}.


Hierbei ist βy wie in Theorem 3.3.2.2 2.) definiert. Dann sind die direkten Nachkommen

von y ∈ I(x)0,2 die Elemente aus I

(x)0,1 , die Elemente aus J

(x)0 und x. Die direkten Nachkom-

men von z ∈ I(x)0,1 sind die Elemente aus I

(x)0,1 und aus J

(x)0 . Die direkten Nachkommen

von x′ ∈ J(x)0 \ {x} sind die Elemente aus I

(x)0,1 und die Elemente aus J

(x)0 \ {x}. Eine

Fallunterscheidung zeigt nun, dass (S) fundamental ist mit K0 = I1 = J1 = ∅. Fur Detailssiehe Korollar 42 in [2].

Lemma 3.3.3.21 Sei (S) ein Hopf SDSE, das einen Multizykel mit VerticesI = I1 ∪ · · · ∪ IM , wobei k ∈ ZmodMZ fur alle 1 ≤ k ≤ M ist, enthalt, so besitzt jedernicht selbstabhangige Vertex von G(S) einen direkten Nachkommen in hochstens einem Ik.


Lemma 3.3.3.22 Sei (S) ein Hopf SDSE, sodass jeder Vertex von G(S) einen direk-ten Vorfahren besitzt und sei i ∈ G(S). Dann1.) ist i ein Nachkomme eines selbstabhangigen Vertex oder2.) i gehort zu einem Multizykel von G(S) oder3.) i gehort zu einem symmetrischen Subgraphen von G(S).

Beweis Wir beweisen zunachst, dass i ∈ G(S) der Nachkomme eines Vertex, der zueinem Zykel von G(S) gehort, ist. Da jeder Vertex einen direkten Vorfahren besitzt,lasst sich eine Folge (xl)l≥0 definieren, sodass x0 = i und xl+1 der Vorfahre von xlist. Da G(S) endlich ist, existieren 0 ≤ l � m, sodass xl = xm ist. Dann ist aberxl ← xl+1 ← · · · ← xm+1 ← xm = xl ein Zykel von G(S) und i der Nachkomme je-des Vertex dieses Zykels. Sei nun G′ := x1 → x2 → · · · → xs → xs+1 = x1 ein Zykel,sodass i der Nachkomme eines Vertex von G′ ist und sei außerdem s minimal gewahlt(d.h. es existiert kein 2 ≤ t ≤ s, sodass xt = x1). Aus der Minimalitat von s ergibt sichebenso, dass keine Kante von xl nach xm existiert, falls m 6= l + 1 und 1 ≤ l ≤ m, wobeix1 = xs+1 wie oben angenommen wird. Wir unterscheiden nun drei Falle:1. Fall: s = 1. Dann ist x1 selbstabhangig und somit i der Nachkomme eines selbst-abhangigen Vertex.2. Fall: s = 2. Dann gilt x1 ↔ x2. Da i der Nachkomme des Zykels x1 ↔ x2 ist, exi-stiert {y1, · · · , yt−1}, sodass (o.E.) y1 der Nachkomme von x1 ist, yl der Nachkomme vonyl−1 fur jedes 2 ≤ l ≤ t − 1 und i der Nachkomme von yt−1 ist, wobei t ≥ 1 minimalgewahlt wird. Aus der Minimalitat von s folgt, dass keine selbstabhangigen Vertices in{x1, x2, y1, · · · , yt−1, i} existieren, da sonst s = 1 ware und aus der Minimalitat von t folgt,dass keine Kanten von yk nach y ∀1 ≤ k ≤ t existieren, falls m 6= k + 1, wobei yt = igewahlt wurde. Nun lasst sich immer wieder Lemma 3.3.3.13 anwenden. Es ergibt sichsukzessive, dass eine Kante von y1 nach x1, von yl nach yl−1 ∀ 2 ≤ l ≤ t − 1 und vonyt−1 nach i existiert. Also bilden die Vertices {x1, x2, y1, · · · , yt−1, i} einen symmetrischen


77

Subgraphen von G(S).3. Fall: s ≥ 3. Dann bildet der Subgraph von G(S), der aus den Vertices {x1, · · · , xs}besteht, einen Multizykel. Sei G′ ein maximaler Multizykel der Lange s von G(S), sodassi der Nachkomme eines Vertex von G′ ist. Wir bezeichnen mit I ′ die Menge der Verticesvon G′. Angenommen, i /∈ I ′. Da i der Nachkomme eines Vertex von G′ ist, existiereny1, · · · , yt−1, yt = i ∈ G(S), sodass x1 → y1 → · · · → yt−1 → yt = i, wobei t ≥ 1 undx1 ∈ I ′. Nach eventuellem Umnummerieren kann man annehmen, dass x1 ∈ I1

′ ist, wobeiI ′ = I1

′ ∪ · · · ∪ Is′, wobei k ∈ ZmodsZ fur alle 1 ≤ k ≤ s ist. Nach Lemma 3.3.3.13 isty1 ein direkter Nachkomme eines jeden Vertex aus I1

′ und der direkte Vorganger einesjeden Vertex aus I3

′. Da y1 wegen s 6= 1 kein selbstabhangiger Vertex ist, kann man mitLemma 3.3.3.21 folgern, dass y1 kein direkter Vorfahre eines Vertex aus Ik

′ ist , falls k 6= 3.Außerdem folgt aus der Minimalitat von s, dass y1 kein direkter Nachkomme eines Vertexaus Ir

′ ist, falls r 6= 1 ist. Also ist I ′∪{y1} = I1′∪ (I2

′∪{y1})∪I3′∪· · ·∪Is′ ein Multizykel

der Lange s, sodass i ein Nachkomme eines Vertex von I ′ ∪{y1} ist; dies widerspricht derMaximalitat von G′. Also ist i ∈ I ′.

Korollar 3.3.3.23 Sei (S) ein zusammenhangendes Hopf SDSE, sodass jeder Vertex vonG(S) einen direkten Vorfahren besitzt. Dann ist1.) jeder Vertex von G(S) der Nachkomme eines selbstabhangigen Vertex und somit (S)fundamental oder2.) (S) quasi-vollstandig und somit fundamental oder3.) (S) multizyklisch.

Beweis Wir unterscheiden zwischen zwei Fallen:1. Fall: Jeder Vertex von G(S) ist der Nachkomme eines selbstabhangigen Vertex. Dannist (S) nach Korollar 3.3.3.20 fundamental mit K0 = J1 = I1 = ∅.2. Fall: Es existiert ein Vertex i ∈ G(S), der nicht Nachkomme eines selbstabhangigenVertex ist. Nach Lemma 3.3.3.22 gehort dann i entweder zu einem Multizykel oder zueinem symmetrischen Subgraphen von G(S).a.) Angenommen, i ∈ G(S) gehort zu einem Multizykel von G(S). Wie im Beweis vonLemma 3.3.3.22 3.) kann man aus Lemma 3.3.3.13 und der Eigenschaft, dass (S) zusam-menhangend ist, folgern, dass G(S) ein M -Multizykel mit M ≥ 3 ist. Nach Proposition3.3.3.14 ist dann aber (S) multizyklisch.b.) Angenommen, i ∈ G(S) gehort zu einem symmetrischen Subgraphen von G(S). Wieim Beweis von Lemma 3.3.3.22 2.) kann man aus Lemma 3.3.3.13 und der Eigenschaft,dass (S) zusammenhangend ist, folgern, dass G(S) ein quasi-vollstandiger Graph ist. NachProposition 3.3.3.15 ist dann aber (S) ein 2-multizyklisches oder ein quasi-vollstandigesSDSE; d.h. (S) ist multizyklisch oder fundamental.

Korollar 3.3.3.24 Sei (S) ein zu (fi)i∈D assoziiertes, zusammenhangendes Hopf SDSE.Dann existiert eine Folge (Gi)0≤i≤k von Subgraphen von G(S) derart, dass


1.) das zu den (fi)i∈G0 assoziierte SDSE (S0) fundamental oder multizyklisch ist und2.) Gk = G(S) ist und3.) ∀0 ≤ i ≤ k − 1 Gi+1 = G(i) ∪ {t} ist, wobei t ein nicht-selbstabhangiger Vertex, derkeinen Vorfahren in Gi besitzt, ist.Falls G0 fundamental ist, so ist jeder Vertex von G(S) von endlichem Level und falls G0

multizyklisch ist, so ist kein Vertex von G(S) von endlichem Level.

Beweis Korollar 48 in [2].

Die beiden folgenden Theoreme beweisen die Ruckrichtung des Theorems 3.3.2.2 endgultig.

Theorem 3.3.3.25 Sei (S) ein zu (fi)i∈D assoziiertes, zusammenhangendes Hopf SDSE,welches ein n-multizyklisches SDSE enthalt. Dann existiert eine ZerlegungD = I1∪· · ·∪In,wobei k ∈ ZmodnZ fur alle 1 ≤ k ≤ n ist, mit den folgenden Eigenschaften:1.) Falls x ∈ Ik, so liegen all seine direkten Nachkommen in Ik+1.2.) Falls x und x′ einen gemeinsamen direkten Vorfahren besitzen, so besitzen sie dieselbendirekten Nachkommen. Außerdem gilt fur alle x ∈ D:

fx(X1, · · · , Xt) = 1 +∑x→y

a(x)y Xy

fur D = {1, · · · , t}. Falls x und x′ einen gemeinsamen direkten Vorfahren besitzen, so istfx = fx′ . Insbesondere ist also (S) ein ausgedehntes multizyklisches SDSE wie in Theorem3.3.2.2 1.).

Beweis Wir wahlen (Gi)0≤i≤k wie in Korollar 3.3.3.24. Falls G(S) = G0, so ist (S) multi-zyklisch und es gibt nichts zu zeigen. Wir beweisen nun die Aussage des Theorems durchInduktion uber k. Sei also die Aussage fur t = 0, · · · , k − 1 bewiesen und bezeichne (S ′)die Beschrankung von (S) auf Gk−1 und sei G(S) = Gk = Gk−1 ∪ {x}. Nach Vorausset-zung existiert eine Zerlegung der zu (S ′) gehorigen Vertices D′ = I1

′ ∪ · · · ∪ In′ mit dengeforderten Eigenschaften. Wir unterteilen den Beweis nun in mehrere Abschnitte.1. Schritt: Wir zeigen, dass ein 1 ≤ m ≤ n existiert, sodass alle direkten Nachkommenvon x in Im liegen. Angenommen, dies ware nicht der Fall. Dann existierten direkte Nach-kommen y und z von x derart, dass y ∈ Ik und z ∈ Il mit k 6= l. Bezeichne y′ ∈ Ik+1

bzw. z′ ∈ Il+1 direkte Nachkommen von y bzw. z. Dann sind nach Lemma 3.3.3.13 y′

und z′ direkte Nachkommen von x, da weder y′ ein direkter Nachkomme von z, noch z′

ein direkter Nachkomme von y ist, da k 6= l nach Voraussetzung gilt. Also lassen sich yund z durch y′ und z′ ersetzen. Indem man nun Lemma 3.3.3.13 immer wieder anwendet,kann man folgern, dass Nachkommen y und z von x existieren, sodass y ∈ Ij und z ∈ Ir,mit j 6= r und y und z gehoren beide zu dem Multizykel. Da x nach Voraussetzungnicht selbstabhangig ist, bildet diese Aussage einen Widerspruch zu Lemma 3.3.3.21. Alsoexistiert ein 1 ≤ m ≤ n derart, dass alle Nachkommen von x in Im liegen. Wahle nun


79

Il = Il′, falls l 6= m− 1 und Im−1 = Im−1

′∪{x}. Dann ist D = I1∪· · ·∪In und Bedingung1 erfullt.2. Schritt: Wir beweisen nun die zweite Aussage des Theorems und unterscheiden dabeizwischen zwei Fallen.1. Fall: Angenommen, (S) enthalt einen n-Multizykel mit n ≥ 3. Dann existiert ein orien-tierter Pfad x→ xm → xm+1 → · · ·xm+n−1 fur xi ∈ Ii′ nach Schritt 1 und es existiert keinkurzerer Pfad von x nach xm+n−1. Proposition 3.3.3.3 3.) und Lemma 3.3.3.8 beweisennun die Gultigkeit der zweiten Bedingung.2. Fall: Angenommen, (S) enthalt einen n-Multizykel mit n = 2. Seien 1, · · · , p die direk-ten Nachkommen von x und sei 0 ein direkter Nachkomme von 1. Da 1, · · · , p alle in Im

′

fur ein 1 ≤ m ≤ 2 liegen, sind sie keine direkten Nachkommen von 1. Nun gilt aber nachProposition 3.3.2.4 analog zum Beweis von Lemma 3.3.3.1 1.) mit

r1 = �x

1

0

, r2 = B+x ( �

1

0

0

) , r3 = B+x (�

1

0 0 ) und

r4 = �x

0 1

0

:

λ(x,0)3 ar1 = ar2 + 2ar3 + ar4 = 0, (3.33)

da a(1)0,0 = 0 nach Induktionsvoraussetzung ist, und somit, dass λ

(x,0)3 = 0 ist, da ar1 6= 0

ist. Aus (3.33) und Proposition 3.3.2.4 folgt nun mit r5 =�x

1 1 und

r6 = �x

1 1

0

, dass

0 = λ(x,0)3 ar5 = ar6 (3.34)

und somit, dass a(x)1,1 = 0 ist. Analog folgt, dass a

(x)k,k = 0 ist fur alle 2 ≤ k ≤ p. Betrachten

wir uns nun i, j mit 1 ≤ i < j ≤ p. Dann gilt fur r7 = �x

i

:

λ(x,i)2 ar7 = 0 (3.35)

und somit, dass λ(x,i)2 = 0 ist, da ar7 6= 0 ist. Aus (3.35) folgt aber nun fur r8 = �

x

j


und r9 = �x

j

i

, dass

0 = λ(x,i)2 ar8 = ar9 (3.36)

und somit, dass a(x)i,j = 0 ist. Also ergibt sich aus (3.34), (3.36) und Bemerkung 3.3.3.2,

dass fx die gewunschte Form besitzt und somit zusammen mit der Induktionsvorausset-zung, dass fd ∀d ∈ D die gewunschte Form besitzt. Schließlich impliziert Proposition3.3.3.3, dass fd = fd′ ∀d ∈ D ist, falls d und d′ einen gemeinsamen Vorfahren besitzen.

Theorem 3.3.3.26 Sei (S) ein zusammenhangendes Hopf SDSE, sodass jeder Vertexvon (S) endliches Level besitzt. Dann erhalt man (S) aus einem Fundamentalsystem undendlich vielen (womoglich keinen) Ausdehnungen. Ein solches System ist ein (ausgedehn-tes) Fundamentalsystem wie in Theorem 3.3.2.2 2.).

Beweis Sei (S) ein zusammenhangendes Hopf SDSE, sodass jeder Vertex von (S) endli-ches Level besitzt. Wir wahlen die Notationen wie in Korollar 3.3.3.24. Nach diesem ist(S0) fundamental, da jeder Vertex von (S) endliches Level besitzt. Falls also k = 0, d.h.G0 = G(S), so ist nichts zu zeigen. Mit Hilfe von Theorem 3.3.2.9, Korollar 3.3.3.24, Pro-position 3.3.3.9 und Proposition 3.3.2.5 beweist man nun das Theorem durch Induktionuber k. Fur Details siehe Theorem 50 in [2].

Bemerkung 3.3.3.27 Nach Korollar 3.3.3.24 gilt fur ein zusammenhangendes Hopf SDSE(S), dass (S) entweder einen Multizykel enthalt oder jeder Vertex von (S) von endlichemLevel ist. Also decken Theorem 3.3.3.25 und Theorem 3.3.3.26 alle moglichen Falle ab unddie Hinrichtung von Theorem 3.3.2.2 ist bewiesen. Zusammen mit Bemerkung 3.3.2.10 istschließlich Theorem 3.3.2.2 endgultig bewiesen.

3.4 Abschließende Bemerkungen

In Kapitel 3.4 sei stets K ein kommutativer Korper der Charakteristik null.

3.4.1 Der Versuch einer Quantisierung

Nachdem wir uns nun eine langere Zeit damit befasst haben, unter welchen Umstandendie Losungen der Dyson-Schwinger-Gleichungen Hopf-Algebren erzeugen, mochten wiruns nun detaillierter der Struktur dieser Hopf-Algebren widmen. Genauer mochten wiruns damit befassen, wie man durch Anderung der Antipode und des Ko-Produkts einer

3.4. ABSCHLIESSENDE BEMERKUNGEN 81

Hopf-Algebra eine neue Hopf-Algebra erzeugen kann und der Frage nachgehen, ob sichein solches Verfahren auch auf die von den Losungen der Dyson-Schwinger-Gleichungenerzeugten Hopf-Algebren anwenden lasst. Hierzu fuhren wir zunachst die verallgemeinerteWitt-Algebra ein, da fur diese bekannt ist, wie sich Ko-Produkt und Antipode verandernkonnen, damit eine neue Hopf-Algebra entsteht.

Definition 3.4.1.1 Sei n ≥ 1, ∂i = xi∂∂xi

und T = ⊕ni=1Z∂i. Dann heißt

W = K[x1, x−11 , · · · , xn, x−1

n ]⊗ZT verallgemeinerte Witt-Algebra. Man schreibt furα = (α1, · · · , αn) ∈ Kn und x = x1 · · ·xn immer xα = xα1

1 · · ·xαnn . Setzt man außerdemxα∂ = xα ⊗Z ∂ fur jedes ∂ ∈ T , so ist W = SpanK{xα∂/α ∈ Zn, ∂ ∈ T}.

Bemerkung 3.4.1.2 W ist eine unendlich dimensionale Lie-Algebra uber K mit einerLie-Klammer, die wie folgt definiert ist:

[xα∂, xβ∂′] = xα+β(∂(β)∂′ − ∂′(α)∂)∀α, β ∈ Zn, ∂, ∂′ ∈ T,

wobei ∂(β) =n∑i=1

αiβi ∈ Z ist, falls ∂ =n∑i=1

αi∂i und β = (β1, · · · , βn) ∈ Zn sind. Außer-

dem gilt:1.) ∂(α) = 0 ∀∂ ∈ T =⇒ α = 0 und2.) ∂(α) = 0 ∀α ∈ Zn =⇒ ∂ = 0.

Beweis [9].

Proposition 3.4.1.3 Es existiert eine triangulare Lie-Bi-Algebra-Struktur auf W , welchedurch die klassische Yang-Baxter r-Matrix r := ∂0⊗xγ∂0

′−xγ∂0′⊗∂0 fur ∂0, ∂0

′ ∈ T, γ ∈ Zngegeben ist, wobei [∂0, x

γ∂0′] = ∂0(γ)xγ∂0

′ ist.

Beweis [9].

Bemerkung 3.4.1.4 Aus Proposition 3.4.1.3 folgt, dass die klassische Yang-Baxter r-Matrix r eindeutig als antisymmetrischer Tensor zweier unterschiedlicher Elemente ∂0 undxγ∂0

′ ausgedruckt werden kann, welche bis auf Skalare [∂0, xγ∂0′] = ∂0(γ)xγ∂0

′ erfullen.Daher genugt es, zwei unterschiedliche Elemente h := 1

∂0(γ)∂0 und e := ∂0(γ)xγ∂0

′ zu

finden, die [h, e] = e erfullen, sofern ∂0(γ) 6= 0 ist.

Definition 3.4.1.5 Bezeichne Di = ∂∂xi

, dann ist

W+ = SpanK{xαDi/α ∈ Nn, 1 ≤ i ≤ n}. Identifiziert man xαDi mit xα−εi∂i, so kann W+

als Lie-Unteralgebra von W betrachtet werden (als ihr positiver Part).


Definition 3.4.1.6 Sei (A,m, i,∆0, ε0, S0) eine Hopf-Algebra uber einem kommutativenRing. Ein Drinfield-Twist F auf A ist ein invertierbares Element aus A⊗ A derart, dass

(F ⊗ )(∆0 ⊗ Id)(F) = (⊗F)(Id⊗∆0)(F) und

(ε0 ⊗ Id)(F) = = (Id⊗ ε0)(F).

Lemma 3.4.1.7 Sei F ein Drinfield-Twist auf (A,m, i,∆0, ε0, S0). Dann istw = m(Id⊗ S0)(F) in A invertierbar und es gilt: w−1 = m(S0 ⊗ Id)(F−1).Definiert man ∆ : A 7−→ A⊗ A und S : A 7−→ A durch

∆(a) = F∆0(a)F−1 und S(a) = wS0(a)w−1∀a ∈ A,

so ist mit ε0 = ε eine neue Hopf-Algebra (A,m, i,∆, ε, S) entstanden. Diese heißt diedurch den Drinfield-Twist F getwistete Hopf-Algebra von A.

Beweis [9].

Definition 3.4.1.8 Angenommen, L sei eine triangulare Lie-Bi-Algebra uber K mit klas-sischer Yang-Baxter r-Matrix r und U(L) sei die universelle, einhullende Algebra von Lmit der Hopf-Algebra-Struktur (U(L),m, i,∆0, ε0, S0). Dann heißt U(L)[t] Quantisierungvon U(L) durch einen Drinfield-Twist F uber U(L)[t], falls U(L)[t]/tU(L)[t] ∼= U(L) istund F durch die klassische Yang-Baxter r-Matrix r bestimmt werden kann.

Wir mochten nun einen Drinfield-Twist F bestimmen, sodass U(W )[t] eine Quantisie-rung von U(W ) durch einen Drinfield-Twist F uber U(W )[t] ist. Hierzu benotigen wirzunachst einige Definitionen.

Definition 3.4.1.9 Sei x ein Element aus einer unitalen R-Algebra, wobei R ein Ring istund sei a ∈ R. Dann setzt man:

x(n)a = (x+ a)(x+ a+ 1) · · · (x+ a+ n− 1) und x(n) := x

(n)0

x[n]a = (x+ a)(x+ a− 1) · · · (x+ a− n+ 1) und x[n] := x

[n]0 .

Definition 3.4.1.10 Seien h und e wie in Bemerkung 3.4.1.4 und (U(W ),m, i,∆0, ε0, S0)die Standard-Hopf-Algebra-Struktur von U(W ) (wir unterscheiden im Folgenden nichtzwischen (U(W ),m, i,∆0, ε0, S0) und (U(W )[t],m, i,∆0, ε0, S0)), d.h. fur das Ko-Produkt,


die Ko-Einheit sowie die Antipode gelten fur alle α ∈ Zn und alle ∂ ∈ T :

∆0(xα∂) = xα∂ ⊗ + ⊗ xα∂S0(xα∂) = −xα∂ε0(xα∂) = 0.

Fur a ∈ K wahlt man:

Fa =∞∑r=0

(−1)r

r!h[r]a ⊗ ertr und Fa =

∞∑r=0

1

r!h(r)a ⊗ ertr sowie

ua = (S0 ⊗ Id)(Fa) und va = m(Id⊗ S0)(Fa).

Außerdem wahlt man: F = F0, F = F0, u = u0 und v = v0.

Lemma 3.4.1.11 Fur a, b ∈ K ist FaFb = ⊗ ( − et)a−b und vaub = ( − et)−a−b.Insbesondere sind Fa und ua fur alle a ∈ K invertierbar mit Fa−1 = Fa und u−1

a = v−a;d.h. fur a = 0, dass F−1 = F und u−1 = v sind.

Beweis [9].

Proposition 3.4.1.12 F =∞∑r=0

(−1)r

r!h[r] ⊗ ertr ist ein Drinfield-Twist auf U(W )[t], d.h.

es gelten:

(F ⊗ )(∆0 ⊗ Id)(F) = (⊗F)(Id⊗∆0)(F) und

(ε0 ⊗ Id)(F) = = (Id⊗ ε0)(F).

Beweis [9].

Wie man leicht erkennen kann, ist der Drinfield-Twist F durch die klassische Yang-Baxterr-Matrix r bestimmt. Daher lasst sich U(W ) quantisieren.

Theorem 3.4.1.13 Wahle zwei unterschiedliche Elemente h := 1∂0(γ)

∂0 und e := ∂0(γ)xγ∂0′,

wobei ∂0(γ) 6= 0 und [h, e] = e sind. Dann existiert eine nicht kommutative und nicht ko-kommutative Hopf-Algebra-Struktur(U(W )[t],m, i,∆, ε, S) von U(W )[t] mit U(W )[t]/tU(W )[t] ∼= U(W ) derart, dass das Pro-dukt, die Einheit und die Ko-Einheit von U(W )[t] bezuglich der Standard-Hopf-Algebra-Struktur (vgl. Definition 3.4.1.10) nicht geandert werden, aber das Ko-Produkt und die


Antipode durch den Drinfield-Twist F aus Proposition 3.4.1.12 auf folgende Weise defor-miert werden:

∆(xα∂) = xα∂ ⊗ (− et)∂0(α)∂0(γ) +

∞∑l=0

(−1)lh(l) ⊗ (− et)−l · xα+lγ(Al∂ −Bl∂0′)tl

S(xα∂) = −(− et)−∂0(α)∂0(γ) · (

∞∑l=0

xα+lγ(Al∂ −Bl∂0′) · h(l)

1 tl),

wobei α ∈ Zn, Al = ∂0(γ)l

l!

∏l−1j=0 ∂0

′(α + jγ), Bl = ∂0(γ)∂(γ)Al−1, A0 = 1 und B0 = 0 sind.

Beweis [9].

Wir beenden mit Theorem 3.4.1.13 den Exkurs zu verallgemeinerten Witt-Algebren undwenden uns nun der Frage zu, ob die bisherigen Ergebnisse auch fur die von den Losungender Dyson-Schwinger-Gleichungen erzeugten Hopf-Algebren fruchtbar gemacht werdenkonnen. Hierzu benotigen wir allerdings zunachst einige Voruberlegungen.

Bemerkung 3.4.1.14 Sei HD wie in Kapitel 3.3 und H∗D die zu HD duale Algebra.Dann besitzt Prim(H∗D) eine Basis (ft)t∈TD , wobei

ft :

HD 7−→ K

t1 · · · tn 7−→

{0 , falls n 6= 1

δt,t1 , falls n = 1.

Außerdem ist Prim(H∗D) eine Pra-Lie-Algebra, d.h. Prim(H∗D) ist eine Lie-Algebra miteiner Lie-Klammer, die wie folgt definiert ist:

[x, y] = x ∗ y − y ∗ x ∀x, y ∈ Prim(H∗D),

wobei ∗ ein bilineares Produkt auf Prim(H∗D) ist, fur das

(x ∗ y) ∗ z − x ∗ (y ∗ z) = (y ∗ x) ∗ z − y ∗ (x ∗ z) ∀x, y, z ∈ Prim(H∗D)

gilt. Man kann fur Prim(H∗D) ∗ sogar explizit angeben; es gilt fur alle f, g ∈ Prim(H∗D)und alle t ∈ TD, dass f ∗ g das eindeutige Element aus Prim(H∗D) ist, fur das

(f ∗ g)(t) = (f ⊗ g) ◦ (Π⊗ Π) ◦∆(t)

gilt, wobei ∆ das Ko-Produkt von HD bezeichnet und Π die Projektion auf V ect(TD) ist,die auf den Waldern, die keine Baume sind, verschwindet. Es gilt also fur alle t, t′ ∈ TD,dass

ft ∗ ft′ =∑t∈TD

n(t, t′; t)ft,


wobei n(t, t′; t) die Anzahl der zulassigen Schnitte c von t bezeichnet, fur die P c(t) = tund Rc(t) = t′ sind (fur P c(t) bzw. Rc(t) vgl. Definition 3.1.11).

Beweis [7].

Bemerkung 3.4.1.15 Sei (S) ein Hopf SDSE, H(S) wie in Kapitel 3.3, H∗(S) die zu H(S)

duale Algebra und g(S) = Prim(H∗(S)). Da g(S) eine Lie-Unteralgebra von Prim(H∗D)bildet, gilt fur die Lie-Klammer von g(S):

[f, g] = f ∗ g − g ∗ f ∀f, g ∈ g(S).

Hierbei ist ∗, eingeschrankt auf g(S), wie in Bemerkung 3.4.1.14 definiert.

Proposition 3.4.1.16 Sei (S) ein Hopf SDSE, g(S) = Prim(H∗(S)) und (fi(k))i∈D,k≥1 eineBasis von g(S). Dann ist das Pra-Lie-Produkt zweier Elemente dieser Basis in folgenderWeise gegeben:

fj(l) ∗ fi(k) = λ(i,j)k fi(k + l),

wobei λ(i,j)k wie in Proposition 3.3.2.4 definiert ist.

Beweis [7].

Aus dem Beweis von Theorem 3.3.2.9 geht hervor, dass fur ein Fundamentalsystem (S)

λ(i,j)n =

{a

(i)j , falls n = 1

a′(i)j + bj(n− 1) , falls n ≥ 2,

wobei a′(i)j , a

(i)j und bj wie in den Tabellen dieses Beweises bestimmt sind. Aus diesen

Tabellen geht außerdem hervor, dass λ(i,j)n = n · bj gilt, falls (S) ein Fundamentalsystem

mit I1 = J1 = I2 = ∅ ist (vgl. hierzu auch [7]). Daher gilt fur ein Fundamentalsystem (S)mit I1 = J1 = I2 = ∅ fur alle i, j ∈ D, k, l ≥ 1, dass

[fj(l), fi(k)] = fj(l) ∗ fi(k)− fi(k) ∗ fj(l)= λ

(i,j)k fi(k + l)− λ(j,i)

l fj(k + l)

= bjkfi(k + l)− bilfj(k + l)

ist. Nach diesen Voruberlegungen erhalten wir das wichtige


Lemma 3.4.1.17 Sei (S) ein Fundamentalsystem mit I1 = J1 = I2 = ∅. Dann ist derVektorraummorphismus

Φ :

{g(S) 7−→ W

fi(k) 7−→ bi(x1 · · ·xn)kxi∂∂xi

ein Lie-Algebren-Morphismus. Φ ist injektiv ⇐⇒ bi 6= 0 fur alle i ∈ D ist.

Beweis Es gilt einerseits, dass

Φ([fj(l), fi(k)]) = Φ(bjkfi(k + l)− bilfj(k + l))

= bjkΦ(fi(k + l))− bilΦ(fj(k + l))

= bjkbi(x1 · · ·xn)k+lxi∂

∂xi− bilbj(x1 · · ·xn)k+lxj

∂

∂xj

und andererseits, dass

[Φ(fj(l)),Φ(fi(k))] = [bj(x1 · · ·xn)lxj∂

∂xj, bi(x1 · · ·xn)kxi

∂

∂xi]

= bjbi[(x1 · · ·xn)lxj∂

∂xj, (x1 · · ·xn)kxi

∂

∂xi]

= bjbi(x1 · · · xn)k+l(kxi∂

∂xi− lxj

∂

∂xj)

= bjkbi(x1 · · ·xn)k+lxi∂

∂xi− bilbj(x1 · · ·xn)k+lxj

∂

∂xj

ist. Hierbei folgt das vorletzte Gleichheitszeichen aus Bemerkung 3.4.1.2. Es ergibt sich da-her, dass Φ([fj(l), fi(k)]) = [Φ(fj(l)),Φ(fi(k))] ist; also ist Φ ein Lie-Algebren-Morphismus.Offensichtlich ist Φ(fj(l)) = 0⇐⇒ bj = 0 und somit Φ injektiv ⇐⇒ bj 6= 0 fur alle j ∈ Dist.

Bemerkung 3.4.1.18 Falls Φ aus voriger Bemerkung injektiv ist, d.h. falls bj 6= 0 ∀j ∈ Dist, so kann g(S) mit einer Lie-Unteralgebra von W bzw. W+ identifiziert werden. Nun ließesich versuchen, den Drinfield-Twist F aus Proposition 3.4.1.12 bezuglich W bzw. U(W ),d.h. mit t = 1, zu benutzen, um mittels Φ bzw. Φ−1, wobei Φ : g(S) 7−→ Φ(g(S)) undΦ(x) = Φ(x) ∀x ∈ g(S) ist, einen Drinfield-Twist F = (Φ−1⊗Φ−1)(F) auf g(S) zu konstru-ieren. Mit diesem Drinfield-Twist F konnte man dann wie im Falle der verallgemeinertenWitt-Algebra W (vgl. Theorem 3.4.1.13) ∆ sowie S, wobei ∆ die Einschrankung von ∆auf g(S) und S die Einschrankung von S auf g(S) bezeichnet und ∆ bzw. S das Ko-Produktbzw. die Antipode von H∗(S) sind, mittels F twisten und wegen U(g(S)) = H∗(S) diese get-wisteten Elemente auch auf H∗(S) und schließlich auf H(S) ubertragen; dadurch wurde also


eine neue Hopf-Algebra-Struktur auf H(S) entstehen. Mehr noch: Da der Drinfield-TwistF aus Proposition 3.4.1.12 durch die klassische Yang-Baxter r-Matrix r bestimmt ist,konnte man den modifizierten Drinfield-Twist F , der fur die neue Hopf-Algebra-Strukturvon g(S) verantwortlich ware, in Beziehung zu einer neuen Yang-Baxter r-Matrix r brin-gen; diese entstunde dadurch, dass man die Yang-Baxter r-Matrix r von W auf Φ−1⊗Φ−1

anwendete. Betrachtet man allerdings den Drinfield-Twist F aus Proposition 3.4.1.12 ge-nauer, so scheitert unser Vorhaben daran, dass kein x ∈ g(S) existiert, sodass Φ(x) = hist. Somit lasst sich F nicht mittels Φ−1 ⊗ Φ−1 zu einem Drinfield-Twist F auf g(S)

umwandeln (weil F nicht im Bild von Φ ⊗ Φ liegt). Man konnte nun statt h und e(vgl. Propostion 3.4.1.12) Elemente h = x1 · · ·xn · h und e = xγ−1 · e wahlen; dannlagen h und e im Bild von Φ. Allerdings konnten h und e - im Gegensatz zu h und e- nicht unmittelbar mit der klassischen Yang-Baxter r-Matrix r aus Proposition 3.4.1.3in Verbindung gebracht werden (vgl. Bemerkung 3.4.1.4). Des Weiteren musste man ersteinen Drinfield-Twist fur W in Abhangigkeit von h und e konstruieren, da ein solchersich nicht einfach aus dem Drinfield-Twist aus Proposition 3.4.1.12 gewinnen ließe. Einenahere Beschaftigung mit dieser Thematik wurde den Rahmen dieser Arbeit sprengen.Es bleibt jedoch festzuhalten, dass die Uberlegungen zu verallgemeinerten Witt-Algebren(Definition 3.4.1.1 bis Theorem 3.4.1.13) zusammen mit dem Lie-Algebren-Morphismus Φaus Lemma 3.4.1.17 sowie den Aussagen aus Bemerkung 3.4.1.18 eine nutzliche Grundlagefur ein weiteres Forschungsvorhaben bilden, das sich zum Ziel setzt, aus einer bekanntenHopf-Algebren-Struktur von H(S) eine neue zu gewinnen. Fur ein solches Vorhaben warees auch denkbar, nach neuen Lie-Algebren-Morphismen zwischen g(S) (oder H(S) oderH∗(S)) und W zu suchen, um auf diese Weise - unter Zuhilfenahme von Definition 3.4.1.1

bis Theorem 3.4.1.13 und den Uberlegungen aus Bemerkung 3.4.1.18 - aus einer bekanntenHopf-Algebra-Struktur von H(S) eine neue zu konstruieren.


Kapitel 4

Fazit

Bei der Beschaftigung mit kombinatorischen Dyson-Schwinger-Gleichungen im eindimen-sionalen Fall ergab sich, dass die von der Losung einer kombinatorischen Dyson-Schwinger-Gleichung erzeugte Algebra sowohl im kommutativen als auch im nicht-kommutativenFall genau dann eine Hopf-Algebra ist, wenn die formale Reihe, von der die kombinatori-sche Dyson-Schwinger-Gleichung abhangt, einem sehr einfachen partiellen Differentialglei-chungssystem, welches von Parametern α und β abhangt, genugt. Dies erlaubte es uns, dievon den Losungen der kombinatorischen Dyson-Schwinger-Gleichungen erzeugten Hopf-Algebren (sowohl im kommutativen als auch im nicht-kommutativen Fall) hinsichtlichder gerade erwahnten Parameter α und β zu klassifizieren und sie schließlich in drei Iso-morphieklassen zu unterteilen. Im Falle der Systeme kombinatorischer Dyson-Schwinger-Gleichungen fanden wir heraus, dass die von den Losungen der kombinatorischen Dyson-Schwinger-Gleichungen erzeugten Algebren genau dann Hopf-Algebren sind, wenn das Sy-stem der kombinatorischen Dyson-Schwinger-Gleichungen - sollte es zusammenhangendsein - ausgedehnt multizyklisch oder (ausgedehnt) fundamental ist. Da sich alle Systemekombinatorischer Dyson-Schwinger-Gleichungen aus zusammenhangenden Systemen kom-binatorischer Dyson-Schwinger-Gleichungen erzeugen lassen, kann man den Fall, in demdas System einer kombinatorischen Dyson-Schwinger-Gleichung unzusammenhangend ist,auf mehrere zusammenhangende Falle zuruckfuhren. Schließlich scheiterte das Vorhaben- ausgehend von einem Drinfield-Twist der verallgemeinerten Witt-Algebra - mittels einesgeeigneten Morphismus aus einer von der Losung (eines Systems) einer kombinatorischenDyson-Schwinger-Gleichung erzeugten Hopf-Algebra eine neue Hopf-Algebra zu erzeugen,deren Algebren-Struktur mit der alten identisch ist. Dies war auf die spezielle Beschaffen-heit des Morphismus bzw. des Drinfield-Twists zuruckzufuhren. Allerdings lassen sich dieUberlegungen aus Kapitel 3.4 eventuell doch dazu verwenden, aus einer Hopf-Algebra-Struktur eine neue zu gewinnen, wenn man zusatzlich noch den entsprechenden Morphis-mus und/oder den Drinfield-Twist aus Kapitel 3.4 auf geeigente Weise modifiziert.

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90 KAPITEL 4. FAZIT

Wer von euch kann zugleich lachen und erhoben sein? Wer auf den hochsten Bergensteigt, der lacht uber alle Trauer-Spiele und Trauer-Ernste.Friedrich Nietzsche, Also sprach Zarathustra, Vom Lesen und Schreiben

Kapitel 5

Literaturverzeichnis

[1] Laurie M.Brown, Renormalization - from Lorentz to Landau (and beyond), 1993, Springer-Verlag, New York.

[2] Loic Foissy, Classification of systems of combinatorial Dyson-Schwinger equations in theHopf algebras of decorated rooted trees, Advances in Mathematics 224 (2010), 2094-2150.

[3] Loic Foissy, Faa di Bruno subalgebras of the Hopf algebra of planar trees from combinatorialDyson-Schwinger equations, Advances in Mathematics 218 (2008), 136-162.

[4] Loic Foissy, Hopf subalgebras of the Hopf algebra of rooted trees coming from Dyson-Schwingerequations and Faa di Bruno Lie algebras, Motives, QFT and PsDO, Clay Math. Proc. 12(2010), 189-210.

[5] Loic Foissy, Les algebres de Hopf des arbres enracines decores I, Bull. Sci. Math. 126(2002),no.3, 193-239.

[6] Loic Foissy, Les algebres de Hopf des arbres enracines decores II, Bull. Sci. Math. 126(2002),no.4, 249-288.

[7] Loic Foissy, Lie algebras associated to systems of Dyson-Schwinger equations, Adv. Math.226(2011), no.6, 4702-4730.

[8] Bettina Grauel, Dyson-Schwinger Gleichungen und die Hopf-Algebra von Wurzelbaumen.Eine Einfuhrung, Bachelorarbeit bei Dirk Kreimer, August 2011.

[9] Naihong Hu and Xiuling Wang, Quantizations of generalized-Witt algebra and of Jacobson-Witt algebra in the modular case, J. Algebra 312(2007), no.2, 902-929.

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92 KAPITEL 5. LITERATURVERZEICHNIS

[10] Dirk Kreimer, Personliche Notizen und Gesprach.

[11] Dirk Kreimer, Three Etudes in QFT, contribution to the Int. congress Math. Phys.,Prague 2009.

[12] Martin Luders, Baumfakultaten und kombinatorische Dyson-Schwinger-Gleichungen,Bachelorarbeit bei Dirk Kreimer, November 2011.

[13] John W. Milnor and John C. Moore, On the structure of Hopf algebras, Ann. ofMath.(2) 81 (1965), 211-264.

[14] Erik Panzer, Hopf-algebraic renormalization of Kreimers toy model, Masterarbeit beiDirk Kreimer, Februar 2012.

[15] Herbert Voß, Mathematiksatz mit Latex, 2009, Lehmanns Media, Berlin.

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Selbstandigkeitserklarung

Ich erklare, dass ich die vorliegende Arbeit selbstandig und nur unter Verwendung derangegebenen Quellen und Hilfsmittel angefertigt habe und ich zum ersten Mal eine Ma-sterarbeit in diesem Studiengang einreiche.

Berlin, den 17.1.2013

Einverstandniserklarung

Hiermit erklare ich mich einverstanden, dass ein Exemplar meiner Masterarbeit in derBibliothek des Institutus fur Mathematik verbleibt.

Berlin, den 17.1.2013

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Kombinatorische Dyson-Schwinger-Gleichungenkreimer/wp-content/uploads/Fahrner.pdf · Kapitel 1 Einleitung In der vorliegenden Arbeit liegt das Hauptaugenmerk auf der Klassi kation