Konjugierte Operatoren und a-posteriori-Fehlerabschätzungen

Math. Nachr. 73, 315-333 (1976)

Konjugierte Operatoren und a-posteriori-Fehlerabschatzungen

Von HERBERT GAJEWSKI und KONRAD GROCER

(Eingegangen am 31. 1. 1975)

Einfiihrung

Bestimmt man die Losung einer Operatorgleichung naherungsweise mit Hilfe des GALERKIN-Verfahrens oder mit Hilfe eines Projektions-Iterations- verfahrens, so ist man an praktikablen a-posteriori-Fehlerabschatzungen inter- essiert, d. h. an Abschiitzungen fur die Abweichung einer gegebenen Niiherung von der exakten Losung. AUBIN und BURCHARD [2] haben die sogenannte Hyper- zirkelinethode von SYNGE [ 101 weiterentwickelt und derartige Fehlerabschatzungen fur Gleichungen mit stark rnonotonen Operatoren angegeben. Diese Fehler- abschatzungen sind nur dann befriedigend, wenn neben der Naherungslosung fur das eigentliche Problem eine Naherungslosung fur ein ,,konjugiertes" Problem bekannt ist.

I n der vorliegenden Arbeit werden wir zeigen, dalj es moglich ist, von eineni einheitlichen Grundgedanken ausgehend a-posteriori-Fehlerabschatzungen der beschriebenen Art fur niehtlineare stationare Gleichungen, pseudoparabolische Gleichungen und Evolutionsgleichungen anzugeben. Ein wesentliches Hilfsmittel ist dabei eine hinreiehend allgemeine Definition des Begriffs ,,konjugierter Operator". Da es in einer Reihe von Fallen moglich ist, verschiedene Aspekte ein und desselben physikalischen Sachverhalts mit Hilfe zueinander konjugierter Operatoren zu beschreiben, kann dieser Begriff auch ein gewisses selbstandiges Interesse beanspruchen.

Die Arbeit besteht aus funf Abschnitten. Im ersten Abschnitt fuhren wir spBter benotigte Begriffe und Bezeichnungen ein. Im zweiten Abschnitt definieren wir zunachst die Begriffe ,,konjugierter Operator" und ,,konjugiertes Problem". Daiiach beweisen wir einige einfache Eigenschaften konjugierter Probleme. Ini dritten Abschnitt geben wir fur stationare Gleichungen, fur pseudoparabolische Gleichungen und fur Evolutionsgleichungen Beispiele konjugierter Probleme an. Der vierte Abschnitt enthalt die bereits erwahnten a-posteriori-Fehlerabschat- zungen, die davon ausgehen, dalj sowohl fur die interessierende Aufgabe als auch fur eine dazu konjugierte Aufgabe Naherungslosungen gegeben sind. Im funften Abschnitt gehen wir auf den Spezialfall von Gleichungen mit Potentialoperatoren ein. Wir vergleichen die von GAJEWSKI [4] fur diesen Fall angegebenen a-posteriori- Fehlerabschatzungen rnit den Ergebnissen des vierten Abschnitts.

316 GajeaskiiGriiger, Konjugiertc: Operatoren

1. Bezeichnungen

Es seien S uncl 1-reelle lineare Riiunie. \Vir werden im folgenden zwischen (moglicherweise mehrdeutigen) Abbildungen von S in Y und ihren Graphen in X x Y keinen Unterschied machen. 1st A c X x Y, so benut,zen wir, wie ublich, folgende Bezeichnungen :

A-'={[y, T ] j [x, y ] ~ d ) ,

A + B = { [ T , y+x] I [x. y l f -4 , [z, z]EB} .

td ={[:K, ty] I [ x , 91~~4) fiir reelles t . Gilt A c X ' X und BcSX I': so setzt iiiiin

(1.2) 1st A c X X Y und Bc Y X Z ? so definiert. man B A c X X Z wie folgt : (1.3) B ~ 4 = { [ x , z ] / [ z , y ] ~ d uncl [ y , z ] E B furein yCY}. Fur die Gesamtheit der eindeutigen Abbildungen von X in Y schreiben wir (X-t Y ) . 1st A E (X - Y ) , so bezeichnen wir mit Ax, wie ublich, das Bild von x bei der Abbildung A .

ein B A N A C H - R ~ U I ~ , so bezeichnet X* den zu 9 dualen Raum. 1st X reflexiv, so identifizieren wir S unci X**. Fur den \Vert eines linearen Funktionals yEX* in1 Punkt zEX schreiben wir (y, z) oder (a:, y). Sind X und Y BANACH- Raume, so bezeichnen wir init f ( X , I') den in der iiblichen Weise normierten Raum der stetigen linearen Abbildungen von S i n Y . 1st KEY"(, Y ) , so schreiben wir fur den zu A' ndjungierten Operator aus Y(Y* , X*+, wie ublich, K*. Fur K g Y ( X , Y ) setzen wir (1.4) I m K = { h ' z \ z ~ S } , K e r K = { z E X IKz=O}. Ein Operator K € Y ( S , J T ) heifit normal auflosbar, wenn Im K ein abgeschlossener Unt.errauni von Y ist.

1st

I m folgenden bezeichne X stets einen B A N A C H - R ~ U ~ I . Definition 1.1. Eine Abbildung d c S x X* heil3t monoton, wenn gilt:

(1.5) (y1--y2, rf-zX2)?0 fiir [xi, y . J ~ i l : i=1: 2 . A c X x X* heiljt rnu~z~imril ni.omton~, wenn A monoton ist. und keine echte monotone Erweiterung von A existiert.

Definition 1.2. Eine Abbildung A E ( X - d * ) lieifit stark monoton, wenn gilt: (1.6) ( A q - A q , rl-x*)%nllz* -2& m=-0, v q , VxzEX . Die Za.hl m wird dabei als ,l;ronoton,iPkon.sfnnte yon A bezeichnet.

Definition 1.3. Ein Operator A E (S -S*) heiRt PoteiaticcZo~eru,tor, wenn ein Funktional Fc ( X - R I ) derart. existiert, dalj gilt

1 t -o t

(Ax, y)=lim ~ (F ( z + t y ) - F ( z ) ) V x , YyEX . ( 1 . 7 )

F wircl dam Potentin1 von A genannt.

Gajewski/Groger, Koiijugierte Operatoren 317

Definition 1.4. 1st F E (X --* Ri), so bezeichnet man das gemB13 der Vorschrift

P*(y)=sup ((y, z)-F@)) V Y E X " XE x

(1.8)

nuf X* erklarte Funktional F* als das zu F konjugierte Funktional. 1st S ein Intervall der reellen Achse, so bezeichnen wir mit L P ( X ; X ) , 1 s p -= 03,

den Raum der auf S definierten, zur p-ten Potenz integrierbaren Funktionen mit Werten in X. Der Rauni Lp(S; X) wird mit der Norm

versehen. Mit C ( S ; X ) bezeichnen wir den Raum der auf dem Intervall S definierten stetigen Funktionen init Werten in X, versehen mit der iiblichen Maxi- inumnorm.

2. Konjugierte Operatoren

Definition 2.1. U , U ' , V und V' seien beliebige BANACE-Raume. Eine Ab- bildung A c U X u' nennen wir konjugiert zu Bc V X V', wenn BANACH-Raume Y und Z sowie Abbildungen K , K', L, L' und M derart existieren, da13 folgendes gilt :

(2 .1) KEY(U, Y ) , K'EY(2, U' ) , LEY(V, Z ) , L'EY(Y, V ' ) , Mc Y xz; (2.2) I m K = K e r L', Irn L=Ker K';

(2.3) A = K'MK, B = L'M-iL . Die Aufgabe

Au30 , ?LEU,

nennen wir konjugiert zur Aufgabe

Bv30 , v E V , wenn A zu B konjugiert ist.

1st A konjugiert zu B, so ist offensichtlich auch B konjugiert zu A . Daher werden wir im folgenden haufig von zueinander konjugierten Abbildungen sprechen.

Satz 2.1. Sind A c U x IT' tcnd Bc V X V' zzceinander konjugiert, so gilt

OER(A)eOcR(B).

Beweis. Aus (2.1) - (3.3) folgt offensichtlich

OE R ( A ) e J f n (Im K x Ker K ' ) * 0

oIk1-T (Ker K' x I m K ) =+= 0

o M - l i l ( I m L x K e r L ' ) * 0 e O E R ( B ) .

318 Gajewski/Groger, Konjugierte Operatoren

Satz 2.2. Es seien die Voraussetzungen (2.1) - (2.3) erfiillt. Ist e i n e der Aufgaben Au 30, uE U , und Bv 30, vE V , eindeutig losbar, 80 folgt aus A u 3 0 , uE U , und Bv 3 0, v E V , d ie Beziehung

(2.4) [Ku, Lv]EJf . Beweis . Es sei etwa Bv30, zlc V , eindeutig losbar. 1st Aw30, so existiert ein

~ € 2 mit [ K u , z ] ~ B t und K’z=O. Wegen ( 2 . 2 ) existiert ein v,E V mit Lv f=z . Fur dieses vl gilt K Z L E M-lLvl , also ist Ker L’ n N - l L v , += 0 , d. h., O E L’M-lLvl. Da Bv3O nach Voraussetzung nur eine Losung vE V hat, ist v1 =v. Folglich ist z = Lv und somit [Ku, Lu] E iM. Damit ist Satz 2.2 bewiesen.

Lemma 2.1. E.s seien die Voraussetxungen (2 . i ) , (2.2) erfullt. AIiperdem seien 7 c Y und ~ E Z gegeben. Dann sind die durch

A,u=K’(M ( K U + ? ~ ) - [ ) V U E U , B,v=(L’M-i ( L w + ( ) - ~ ) V V E V

definierten Abbildungen A t c U x U’ m d B l c 1’ x 8‘ zueinander konjugiert.

B1= L’M; ‘L. Beweis. Setzt man Ml={[y-q, z -<] 1 [y, x ] c J f ) , so ist A l = K ’ M i K und

Bemerkung 2.1. Unter den Voraussetzungen von Lemma 2.1 sind die Aufgaben K’(M ( K u + a ) - 5 ) 3 0 , uE u ,

und L’(M-1 (Lw+5)-7)30 , V E v ,

genau dann losbar, wenn

M fl (Im K +q) x (Im L + 5 ) + 0 ist. Das ist aus den Beweisen von Satz 2.1 und Lemma 2.1 ersichtlich.

Bemerkung 2.2. 1st A =K’MK fur einen normal auflosbaren Operator K c l ( U , Y ) , einen Operator K ’ ~ z ( 2 , U’) und eine Abbildung Mc Y x Z , so kann man Riume V , V’ und Operatoren L, L‘ und B derart angeben, daB die Beziehungen (2.1) - (2.3) gelten. Man kann namlich

L Einbettung von I‘ in 2,

L’ kanonische Abbildung von Y auf V’

V=Ker K‘,

V‘ = Y/Im K , wahlen. DaB bei gegebener Darstellung A =K’MK die Raume V , V’ und die Operatoren L, L’ nicht notwendig so gewahlt werden miissen, wie hier angegeben, zeigen die Beispiele des folgenden Abschnitts.

3. Beispiele konjugierter Operatoren

Um die Tragweite des Begriffs ,,konjugierter Operator“ deutlich zu machen, geben wir in diesem Abschnitt eine Reihe von Beispielen an. Der Abschnitt gliedert sich in drei Teile. Im ersten Teil zeigen wir fur zwei typische stationare

Gajewski/Groger, Konjugierte Operatoren 319

Gleichungen, wje man konjugierte Probleme finden kann. Im zweiten Teil befassen wjr uns mit einem Gleichungstyp, der als Spezialfall die sogenannten pseudoparabolischen Gleichungen enthalt (vgl. [7], Kap. V). Fur Gleichungen dieses Typs geben wir konjugierte Probleme an, die sich in konkreten Fallen ebenso wie die Ausgangsgleichungen physikalisch interpretieren lassen. Im dritten Teil gehen wir auf Gleichungen ein, in denen ein maximal monotoner Operator auftritt, wie das beispielsweise bei Evolutionsgleichungen der Fall ist. It'ir zeigen, wie man auch fur derartige Gleichungen in einfacher Weise konjugierte Probleme finden kann.

3.1

Beispiel 1. Es sei G c R? offen, beschrankt und einfach zusamnienhangend. IVir wahlen

1 1

P q U = Wi,P(G), u'= u*= W-I.9 (G), - + - = I , I < p < a ,

Y =(Lp(G))2, V = { W € W'*q(G) I J w U ~ X = O } ,

Z= Y* =(Lq(G))2 , V'= V* ,

B

Ku=gradu VuEU, K'z=K*z= -divz V z C Z ,

Dann ist die Bedingung (2.2) erfullt. Urn die Angaben zu vervollstandigen, definieren wir noch M c X X Z durch die Beziehung

(J!!Y) (x)=~(l?/(x)Ip-l) I Y ( ~ ) ( ' - ~ ~ ( x ) - 5 ( x ) VXEG, VgE Y ; hierbei bezeichnet 47 eine auf [0 , + -[ definierte stetige und beschrankte Funktion, I * 1 die EuliLIDische Norm in R2 und 6 ein gegebenes Element aus 2. Wir setzen voraus, daB p(.s) s in s strikt monoton ist. Die inverse Abbildung M-1 wird dann durch

(iJI-12) ( ~ ) = y ( j ~ ( ~ ) + 5 ' ~ ~ ) 1 * - ' ) ~ z ( x ) + i ( x ) l ~ - ' ( ~ ( x ) + c ( x ) ) VXEG, VZEZ,

gegeben; dabei ist y dadurch charakterisiert, da8 y(sq-') sP-' die zu q ~ ( s P - ' ) 8 P - l

inverse Funktion ist. Zur Randwertaufgabe (3.1) -div (q(lgradujP-') lgraduiP-'gradu-5')=0, uE W t * p ( G ) , ist also die Aufgabe

konjugiert. 1st der Rand r von G regular ([7], Def. 1.17, Kap. 11) und ist yE f(Cl(B))1, so gilt, wie man leicht zeigen kann,

(3.2) L*(y (ILv+cIq-') ILw+5'l*-2 ( L v + 5 ) ) = 0 , vE v ,

320 Gajen-ski/Groger, Konjugierte Operatoren

y, bezeichnet hierbei die Tangentialkoinponente von y auf I‘. Die Aufgabe (3.2) laBt sich daher formal ebenfalls als Randwertaufgabe schreiben.

Beispiel 2. G c R’ sei offen und beschrankt und besitze einen regularen Rand r. TI, . . . , r, seien die zusammenhlngenden Komponenten von r. Wir wahlen

Z:={uc TP”p(G)I J z L ~ z = O } , I i p < - , C‘= U* , G

IT= {v c W‘,q(G) , j” vdz = 0, ZI ri = c, , c, = const. i = 1, . . . , n} , 1” = P*,

Kt i=gradu Vi iCC, K ’ = K * . C

Dann ist die Bedingung ( 2 . 2 ) erfullt. Das kann man beispielsweise unter Benutzung der entsprerhenden Aussage fur Beispiel 1 beweisen. Wlhlt nian noch M wie in Beispiel 1, so sind K’HK und L’JI-IL zueinander konjugiert.

Bemerkung 3.1. Beschreibt man die elastisrh-plastische Deformation prisma- tischer Stiibe zuin einen niit Hilfe einer Spannungsfunktion und Zuni andern mit Hdfe einer Verwolbungsfunktion, so kommt man zu konjugierten Aufgaben- stellungen, wie sie in den Beispielen 1 und 2 angegeben worden sind (siehe etwa LANGENBACH [ 91 ) .

3.2

Lemma 3.1. Ee s e i e n d ie Vorazissetzungen (2 .1 ) itnd ( 2 . 2 ) erful l t . Ferner sei N c Y x Z und R E X ( Y, Y). D a m id fur beliebiges reelles r i . 0 zzi

( 3 . 3 )

der durch

(3.4) B,[v, x ] =[rL’X-1(Lv-z), N - ~ ~ - R M - ~ ( L v - ~ ) ] V[w, z ] E V X Z

definierte Operator B, c ( V x Z ) x ( T” x I’) konjztyiert.

Beweis . \Vir setzen V i = V X Z , V ; = V’X Y , Y l= I’x Y , Z,=ZxZ und definieren Kl €Y( U , YI), h’; cY(Z,, Z*’). L, cY( Y1, Zl), LicY( PI, V ; ) und M,c

A =K’ (M+I1.’R) Kc U X C’

c Y i X Z , durch Kilt =[Ku, RKu] VuE u , K&,, 22]=K’ ( Z i f Z 2 ) V“z,, z,]EZ,=ZXZ, &[V, z]=[Lv-z , 21 V [ U , 23E v,= v x z , L ; r Y l t Y 2 1 = [ r L ’ Y l , Y z - R Y , l v”yi, Y21E y,= Y x Y 9

Jf1= {“Yl, Y21, [Zl, 2213 I [Yi, 213E Jf, [Y2> 22IENJ .

Gajewski/Groger, Koxijugierte Operatoren 321

Die hier eingefuhrten Operatoren Ki , K;, . . . ubernehmen die Rolle, die in Ab- schnitt 2 die Operatoren K , K’, . . . gespielt haben. Es gilt offensichtlich A = = KiLWiK, und B,=L;iW;’Li. Unter Benutzung von (2.2) kann man aul3erdem leicht zeigen, da13 Im K1 =Ker L; und Im Li =Ker K; ist. Damit ist Lemma 3.1 bewiesen.

Lemma 3.2. Es seien die Voraussetzungen von Lemma 3.1 mit eindeutigen Abbildungen M und N erfiillt. Dariiber hinaus sei LE.Y(V, Y ) injektiv, wnd die Aufgabe Au= 0 besitze genau eine Losung uE U . Dann besitzt die konjzrgierte Aitfgabe B,[v, 21 30 genau eine Losung [v, z ] E V xZ, und es gilt

(3.5) Lv=(M+NR) Ku, z = N R K u . B e w e i s. Wir benutzen die gleichen Bezeirhnungen wie beim Beweis von

Leinma 3.1. 1st OEB,[v, 21, so gilt nach Satz 2.2

l-K,u, L I [ V , 211 E MI 7

d. h., es ist

[Ku, Lv-zIEM, [RKu, z ] E N . Daraus folgt (3.5). Da L injektiv ist, geht aus (3.5) hervor, da13 die Losung [v, z ] der Aufgabe Br[v, z ] 30 eindeutig bestimmt ist.

Bemerkung 3.2. Unter den Voraussetzungen von Leiiima 3.1 ist zu den1 Operator A =K’ (M+NTR) offensichtlich auch der Operator B= L’ (Jf + +A’R)-l Lc V X V’ konjugiert. Der Vorteil des durch (3.4) definierteii Operators B,. gegenuber B ist darinzu sehen, daB fur dss Rechnen mit B, nur die Kenntnis von X - 1 und N-1 erforderlich ist, nicht aber die Kenntnis von ( M + N R ) - I .

Beispiel 3. Es sei GC R? offen, beschrilnkt und einfach zusan~menI~an~end. S = [0, T] sei ein endliclies Interval1 der reellen Achse. Wir wahlen

C=L?(S; H t ( G ) ) , U‘=L?(S; H-l(CT()), Y = Z = L ? ( S ; (L?(G))?) ,

l‘,={v,~Hi(G) 1 Jv&k=O}, V = L * ( S ; V o ) , V’=Lz(S; V i ) . G

Weiter definieren wir KEY(U, Y ) , l i ’ ~ Y ( 2 , U’), L c Y ( V , Z), L’cY( I’, V’) und BEY( Y , Y) durch

(Xu) (t)=grad ~ ( t ) V tCS , VzcEC, K‘=K*,

(Lv) ( t ) = -;- ( t ) , - ( t ) VttES, VW€V, L’=L*, ( (:? ::i )


hierbei bezeichnen 9 und y auf [0, -[ definierte stetige beschrankte Funktionen: und 5 ist ein gegebenes Element \-on 2. \I% betrachten die Aufgabe

(3.6) K' (All+SR) Kt1 = 0, ,!(E C,T .

Fuhrt inan durch w ( t ) =

inan (3.6) in der etwas anschaulicheren Form

(3.7)

schreiben; w' bezeirhnet dabei die Ableitung nach f. Aufgaben dieser Form treten beispielsweise in der Viskoelastizitatstheorie auf (siehe etwa GAJEWSKI-ZACHA- RIAS [8]). Bei der getroffenen \\'ah1 von -11, .Y und R ist es im allgerneinen nicht moglich, den Operator ( M +SR)- 1 exylizit anzugeben, weil dazu die Losung einer nichtlinearen gewohnlichen Differentialgleichung erforderlich ware. Dem- gegeniiber lassen sich die Operatoren M - 1 und N-1 folgendermaBen darstellen :

~ ( s ) d.3 eine neue unbekannte Funktion w ein, so kann 0

-div (q(/gradw'l) grad zii'+y(lgrad w]) grad w-[)=O, w(0) = 0, W'E I? ,

( J f - 1 ~ ) ( f , x ) = ~ l i ( / ( ~ + i r ) ( t , z) / ) ( z+C) ( t , 2) V t C S , VXEQ, V z E Z , ( S - ' z ) ( t , x ) = w ~ ( Iz(t , r)l) z ( t , X ) ' i t € # , VXEG, VZEZ;

dabei ist pl dadurch oharakterisiert, daB pl(s) s die zu ~ ( s ) s inverse Funktion ist, und entsprechendes gilt fur yl. \\'ir nehmen hier der Einfachheit halber an, da13 p(s) s und y(s) s in s strikt monoton sind.

Die oben erklarten Operatoren K , K', L und L' geniigen, wie man leicht sieht (vgl. auch Beispiel l ) , der Bedingung (2.2). Each Lemma 3.1 ist zur Aufgabe (3.6) die folgende Aufgabe konjugiert :

(3.8)

Fur glatte y ist die Gleichung L'y = 0 zu einer Randwertaufgabe liquivalent (vgl. die entsprerhende Feststellung am SchluB von Beispiel 1). Daher kann die Auf- gabe (3.8) formal als Rand-Anfangswertaufgabe geschrieben werden. Deutet man (3.7) als Aufgabe der Viskoelastizitatstheorie, so gestattet die Aufgabe (3.8) ebenfalls eine physikalische Interpretation. Es ist moglich, die Aufgabe (3.8) auch direkt aus der phyikalischen Fragestellung abzuleiten.

V E V , Z E Z . I rL'pl ( /Lv - z + 51) (Lv - z + [) = 0 yl(Iz1) z - R ~ l i ( ~ L v - z + [ ~ ) (Lv-z +[) = O

3.3

Leniiiia 3.3. Es sei K c Y ( I ' , 1.). K'EY(Z , C') , Mc U x U' und Nc Y xZ. Dann i s t ; I [

(3.9) der Operutor (3.10) B = I \ ' - L + K J ? K ' ~ Z X 17 (init ~ = { [ - u i , - u ] 1 [ q c , w]gn/r)) konjugiert .

A = ,lI + K ' S K C I++ c"

,.

Gajewski/Groger, Icon jiigierte Operatoren 323

Beweis. Wir setzen Vl=Z, V ; = Y , Y I = U X Y , Z f = U ' X Z und definieren K , E2'( U , Y1) , K ; EY(Zt, U') , L, EY(V1, ZI), L; EY( Yf , V ; ) und MI c Y , x Z 1 durch

K ~ u = [ u , Ku] V u E U , K;[w, z]=w+K'z v [ w , ~ z ] E Z ~ = u ' X Z ,

Lp=[-K ' z , 23 V Z C vi=z, L;[% y]=y-Ku V[u, y]E Y1=UX Y , flfi= { [ [ t i , Y], [W, X I ] 1 [ U , w1EM7 [Y7 ZIEN} .

Dann gilt offensichtlich A = K;M,K, und B = L;M; 'L,. Aul3erdein kann iiian leicht zeigen, daB Im K , = Ker L; und Im Li =Ker K ; ist. Damit ist Lemma 3.3 bewiesen.

Lemma 3.4. Es seien die Voraussetzungen von L e m m a 3.3 mi t einer eindeutigen Abbildung N erfullt. Die Aiifgabe Au3O besitze genau eine Losung u c U . Danm besitzt die konjugierte Aiifgabe Bz3O genau eine Losung 2 6 2 , und es gilt

(3.11) z=NKu, -K'zEMu

Beweis . Wir benutzen die gleichen Bezeichnungen wie beim Beweis von Leniina 3.3. 1st O E Bz, so gilt nach Satz 2.2

[Kit4 4 2 1 E Mi , d. h., es ist

[u, - K'x] E M , [Ku, z ] E N . Daraus folgt (3.11) und damit die Eindeutigkeit von z .

U'ir wahlen fur eine reelle Zahl1* O und f E U' Beispiel 4. Es sei KEY"(, Y ) , K'EY(2, V ) und N c Y X Z . Es gqlte Uc U'.

Jfu=lbu-f VuE u . Nach Lemma 3.3 ist zur Aufgabe

(3.12) K'NKu+lu>f, U E U , die Aufgabe

(3.13)

konjugiert. Aufgaben der Form (3.12) und (3.13) haben AUBIN und BURCHARD [ Z ] im Zusanimenhang mit a-posteriori-Fehlerabschatzuiigen betrachtet (siehe auch A U B ~ N 111).

Beispiel 5 . Fur zwei HILBERT-Raume U o und Ho gelte U, ,cH,c r;: (alge- braisch und topologisch). Y,, sei ein weiterer HILBERT-Rmn1 und K ( , € f ( b',, Yo). Ferner sei S = [0 , T] ein beschranktes Interval1 der reellen Achse. Wir wahlen U = L ? ( S ; U,,) und Y = L2(S; Po) und definieren KCY(U, Y ) durch die Beziehung

(KU) (t)=K,u(t) V'tES, V U E U . ? I *

324 Gajewski/Griiger, Kon jugierte Operatoren

Zu gegebenein a € H,, erklaren wir Mc li X I;* folgendermden :

(3.14)

hierbei bezeiciiiiet u' die Ableitung von z(. i i i i Sinrie der Distributionen uber 10, T[ mit \\erten in U;. iVir setzen

J ! ! = { [ ? L , u'] I 2 1 E u, u'E u*, u(O)=a};

1

(3.15) (Rw) ( t ) = - -a+ j - W ( S ) d S Y t E S , VtuEC"=L'(S; L - ; ) . V

1st Xc Y x I'*? so ist nach Lemma 3.3 zum Anfangswertproblein

(3.16) ? / ' + K * X K U ~ O , uC c, , u ( O ) = c ~ ,

die *4ufgabe (3.17) S-'z+h'RK"Z>O, z~ Y*, RK%E C: , konjugiert. 1st a= - K:b, so kann man durch die Beziehung

t v ( l ) = b + J Z ( S ) d . S V t E S

0

eine neue Unbekamite z ~ 6 Y* einfuhren. Die Aufgabe (3 .17) gelit, dann iiber in

(3.18) A \ '- 'v'+Kh'*~30, v'EY*, h'*vE r;, v(O)=b .

Die zur ,4iifangswertaufgahe (3.16) konjugierte Aufgabe (3 .17) knnn in cliesern Sinne ebenfalls als Anf;Lngswertauf~;be mgesehen werden.

4. ~~--post,eriori-Fehlerabschatzunaeii

Genugt eine Abbildung A E (V-r C*) der Voraussetzung

(4.1) (BU1-A2C2, U 1 - ? l 2 ) Z C r (\lz/,-7LJ.J;r) l \ , t / , -2h.710- VZL1> V'USE I' z strikt' monoton wachsenci: a(0) =I) ~

uncl ist Awl, = 0. so lBI3t sicli, wie man leicht sieht ~ die Abweichung eines beliebigen Elements z( 6 Z' \-on ul, folgenderniaBen sbsrhiitzen :

j l 7 i - - u , ; J G ~ a - I ( \ \ A u l \ ~ , . ) . Diese Fehlerabschltzung koniiiit fur praktisclie Zwecke nur dann in Frage: wenn zu 2 i c U dlts Element AuE U* einfach gefunden werden kann und wenn sicli die Norin eines Elements aus li* in einfacher \\'eke berechnen la'I3t. Es gibt R'iiuine, in clenen die Bestimmung der Norin eines Elements die Losung einer niclittririalen Operatorgleirhung erfordert. Ein tppischer derartiger Rauni ist' cier zuiii Beispiel 1 geliorige Rauni F* = Tf- ' *q(G) . Diese Feststellung legt, es nnhe, nnrh anderen, prakt.ikablen Fehlerabschbtzungen zu suclien.

iVir werden in diesem Abschnjtt voraussetzen, dd3 reflexive B ~ n - ~ c ~ - R a u r n e U , V , Y undoperatoren h'EY(U, Y ) , K'EY( Y*> C*)! LEY'( 8, I?*) und L'€Y'( I'; V * ) gegeben sind, fur die folgendes gilt : (4.2) Im K = Ker L', Im L = Ker h-', Ker K = (01, Ker L = {I)) .


Dariiber hinaus werden wir annehmen, da13 sich die Norm eines beliebigen Ele- ments zE Y* einfach berechnen 1aI3t. Fur die in den Beispielen 1 - 3 auftretenden Raume Y* ist das der Fall.

Satz 4.1. Es sei A = K ' M K und B=L'M-iL f u r Operatoren KEY"(, Y ) , K'EY(Y*, U * ) , L E Y ( V , Y* ) und L'EY(Y, V * ) , die der Voraussetzurig (4.2) genugen , .tmd eine stetige Abbildung ME ( Y - Y*) . A'genuge der Voraussetzung (4.1). Dann gilt:

1. Es ist Au,=O fur genau ein uoE U und Bvo30 fur genau ein v,E V . 2 . Fur beliebiges U E U ist

(4.3) l l ~ c - ? ~ o l l v ~ ~ - ' (llK'llf(y*, C * ) llJfKu - L v [ ( p ) V V E V .

3. Azis ui+u, in U und vi+vo in V folgt lim IIXKui -Lwillyt = 0 i'M (4.4)

und danzit nuch

lim u-1 (llK'l~~y*, v7r) ljM~u,-LvillY*) = O , i-w (4.5)

d . h., e ine der fur IIu'i - uoIiu arbgebbaren Fehlerschranh-en konvergiert f u r i+m gegen 0.

Beweis. 1 . Die Existenz von genau einer Losung uo der Gleichung Azi,=O folgt aus bekannt'en Satzen uber Gleichungen mit inonotonen Operatoren (siehe et.wa [TI, Iia'p. 111, 9 2). Nach Satz 2.1 besitzt die konjugierte Aufgabe Bv030 eine Losung, und nnch Satz 2.2 gilt Lvo=MKu.,,. Wegen Ker L={O} folgt ciaraus die Einzigkeit von vo.

2 . Unter Benutzung von (4.1) und Im L=Ker K' erhalt man

a (llu - uoilu) IIu - uollc s ( A u -Azco, u -U<,)S (IK'MKull,, IIu - uol/v

5 1 1 ~ ' 1 ~ ( 1 , * , U * ) IIMKu-Lvll~-* JIu-u~IIu V V E V . Daraus folgt unmittelbar die Behauptung (4.3)

Stetigkeit, von I<, L und M ergibt sich 3 . \Tie bereits erwahnt, gilt Lvo=M.Kh'u0. &fit Hilfe dieser Beziehung und der

lini IIMR,tii - Lvi/jY* = I)HKuo -Lwoly* = 0 . 5-c-

Damit ist Satz 4.1 bewiesen.

Beinerkung 4.1. Satz 4.1 legt es nahe, gleichzeitig nach Naherungen der Losung uo der Aufgabe Auo=O und nach Naherungen der Losung der lionju- giert'en Aufgabe Bvo3O zu suchen. Es kommt dabei darauf an, Folgen (ui) und (vi) zii finden, fur die gilt: ui+uo in I J , vi+vo in V . Zur Bestirnmung derartiger Folgen eignen sich bei Vorliegen entsprechender Monotonie- und Stetigkeits- voraussetzungen das GALERKIN-\Terfahren sowie Iterationsverfahren, Projektions- It'erationsverfahren und Gradientenverfahren, wie sie etwa in [7] (Kap. 111, 3 3, 5 4.4) mgegeben morden sin&

326 Gsjewski/Groger, Konjugierte Operetoren

Bevor wir auf die Monotonie und Stetigkeitseigenschaften der in den Bei- spielen 1 - 3 des vorigen Abschnitts auftretenden Operatoren eingehen, formu- lieren wir einen Satz, der als Folgerung aus Satz 4.1 anzusehen ist. E r befal3t sich mit einem fur Anwendungen besonders wichtigen Spezialfall.

Satz 4.2. Es se i A = K * X K und B=L*Jf-lL f u r Operatoren h'cY(C, Y ) , LEY( V , Y") und ME ( Y --c Y*), die folgeizden Voraicssetzzzingen g e n u g e n :

(4.6) Im K = Ker L*, llKzc\(,- = l l ~ i l l r VuE C', IILvllr-. = ( I V \ ( ~ ~ VeE V , (4.7) (A~y,-Jfy?, Y I - Y 2 ) = llYl-y*ll;., m=-O, VY,, v Y . E J - , (4.8) ( A ~ I - ' z ~ - x - ' z ~ . z, -zz, )snL* llzl-zz2\/;.*, m"rO, v z i , v Z ? E J - * .

Dann gilt :

1. Es ist Azin=O f u r genau ein 2. Fur hPliPhigP.9 7 i C l J ist

C und Bvn=O fur genau e i n v , ~ 17.

1 \lu - - L ~ I / ~ S - /lA1fKu -LV~\~ .* V'vC T' .

172 (4.9)

Fur beliebiges vc V ist

1

?n * 3. Aus Pli+?ln in U und t',+vo in V folgt

a - 3 a 1*-#-=

(4.10) ~ I V - V , , ~ \ ~ S - I ~ M - ' L w - K u ~ ~ ~ - VNE C .

lim IIMKii,-Lv I / ~ -1im ~ ~ ~ ~ ~ - ~ L v ~ - ~ ~ z i ~ ~ ~ ~ = O .

\Vir koininen nun, wie angekundigt, auf die Beisyiele 1 - 3 des vorigen Ab-

1. Nimnt man in Beispiel 1 an, daB p g 2 ist und dalj die den Operator M schnitts zuriick.

definierende Funktion rp der Behngung

(4.11) m,, E-qYS(p(f) E-rp(7) q ) (5-?])S??l1(t-?])!, W?"=-O, v5, v q n o ,

geniigt, SO sind, wie man zeigen kann, die Voraussetzungen von Satz 4.1 erfiillt. Insbesondere gilt

d. h., die Voraussetzung (4.1) ist mit ~(6) = ( ~ ~ - ' e r f U l l t . Die Fehlerabschat-

zung (4.3) erhalt die Form


1st p = 2 und gilt (4.11), so sind fur dasBeispiel1 die Voraussetzungen von Satz 4.2 erfullt. W e man unter Benutzung von Lemma 4.14, Kap. 111, aus 171 leicht, be-

1 mi

weisen kann, darf man fur die hier behandelte Aufgabe in (4.8) m* = - wahlen.

2 . Fur Beispiel 2 gelten sinngemal3 die gleichen Bussagen wie fur Beispiel 1,

wenn man IjuIIu= ( ]grad uIp dz); wahlt. C

3. Wir nehmen an, daIj die in Beispiel 3 auftretenden Funktionen 9 und y folgenden Bedingungen genugen :

(4.12) m o ( 5 - q ) 2 5 ( ~ ( 5 ) 5 - q ~ ( q ) q ) ( l - - q ) s m 1 ( 5 - ~ ) ~ , mo=-O, Vl - , VrE[O.-[, Iv(0 E-y(q ) 911 s n l It-q1 V5, Vqr~[o,-[.

D a m jst ME ( Y - Y ) stark inonoton und LIPSCHITZ-Stetig und N € (Y- Y ) LIPSCHITZ-Stetig. Fuhrt man in u =L?(S; &(a)) anstelle der ublichen Norm (vgl. (1.19)) die Norm

I

(4.13) I I U ~ ~ ~ , ~ = ( ~l l e -k8zd (8 )11~A(G) ds)' V u € U S

ein und definiert man fur I'=L*(S; ( D ( G ) ) ? ) analog eine Norm l l * \ l I - , k , so erhalt -

RE ( Y -t Y) die LIPSCHITZ-Konskmte und M + N R wird stark monoton,

wenn inan x̂ >- wahlt (siehe hierzu [73, Kap. VII, 3 1). Fur k > - , sind Tn; Tn; .

2% 2m0 daher die Voraussetzungen von Satz 4.1 erfullt. Die Fehlerabschatzung (4.3) erhalt, wie man zeigen kann, die Form

(4.14) 1 1% -

llzi -uoIIu, ks ------= (IIMKu -Lv +z\/$, + IINRKu -z& k) * mo-& T

V21€V, V Z E Y

{vgl. die Definition von Ki, L,, N1 usw. im Beweis von Lemma 3.1). .Wlr kommen nun zu Fehlerabschatzungen fur die in Beispiel 3 erhaltene

konjugierte Aufgabe (3.8). Um Satz 4.1 verwenden zu konnen, nehmen wir wie friiher an, da13 neben (4.12) folgendes gilt:

(4.15) y ( t ) E-y (q ) q z 0 fur E>q%-O.

AuBerdem fuhren wir auf V=L2(X; V,) eine zu (4.13) analoge Norm l \ * l \ v , k ein. Dann gilt fur den durch (3.4) definierten Operator B, im SpezialfalldesBeispiels 3 :

(Br[vf? '11 - Br[v2 , '21, ['I, '11 - ['27 '21)

= r (M-1 (Lv,-z,)-iM-I (Lvz-z*), L (vi-v2))

+ (3- 121 - N - 12 2-R (M-1 ( L v i - ~ i ) - M - i ( L v ~ - x ~ ) ) , z ~ - z $

328 Gajenski/Groger, Konjugierte Operatoren

Aus dieser Abschatzung geht hervor, daB-B, fur liinreichend kleines r und hin- reichend grofies k stark inonoton ist . B, ist, offensichtlich auch LIPSCHITZ-Stetig. Bezeichnen wir mit' [vo, zo] die Losung der *4u€gahe B,.[v,,, z,,] = 0, so erhBlt die Ab- schat'zung (4.3) die Form

(4.16) lit? - + 112 -z , ) / / : . ,~ S c ( \ \ i l l - I (LO - 2 ) - h'~\1:~,~ + IIN-l~ - RKu[l?.,,) Y U E U ; dabei ist c eine 17011 r und k sbhangende Konstante, cLe explizit angegeben werdeii kann

(vgl. die Definition von K , , L,, Xi USW. in1 Beweis von Lemma 3.1) .

Bemerkung 4.2. Eine Abschiitzung ctes Felilers einer Naherung bei der in Beispiel 5 behandelten Anfangsmertaufgabe ist aus zwei Grunden nicht in der gleichen \Teise moglich wie in den vorangegangenen Beispielen :

1 . Zur Aufgabe gehort cier durch

X,=("u, y], [Zi': z ] ] I U E li, u'E u*, 21(0)=u, [y, ZIEN}

definierte Operator Xic ( U x Y) x (U* x Y*) (vgl. den Boweis von Leniina 3.3), und ciieser Operator ist selbst dnnn nicht stetig, wenn N als stetig vorausgeset.zt wird.

2 . Der beiiii Beweis von Lenima 3.3 benutzte Raum 2, ist hier gleich U* x Y*- Die Berechnung der Korn1 eines Elements in Zi erfordert daher eine Korm- berechnung in C*, und diese ist, wie wir. zu Beginn festgestellt hatten, haufig nicht in einfacher '\\'eke nioglich.

Unter welchen T'oraussetzungen nian dennoch zu einer prakt'ikablen Fehler- abschiitzung konimen kann, zeigt der folgende Satz.

Satz 4.3. U , H und Y = Y* seien H I L B E R T - R a u m e . Es gelte Uc H c U* uiad

( 4 . I i ) \ \ u \ ! ~ s ~ J I Z L J I ~ VZLE C .

..Vc C X I-* sei ma.xi.rn~ol rnou,oton ziiul A'€ ( Y + 1') ge?tuge der Voruzissetzwng

(1.18) (XYi-Xy?, Yi-Yz)gn jlyi-y211;- 9 n>c)) vy17 VYZEY7 < A T - f 2 ~ - - x - ~ z ~ , z ~ - Z * ) z n * \ [Z i -z*( / : . , .)L*>O, Y Z i , V22E 1'.


Ferner sei K CY( U , Y ) ein Operator mi t der Eigenschaft

(4.19) IIK'2hIIy=]l~llg VuE u . D a n n gilt:

1 . Die Aufgabe (4.20) MU^+ K*NKuo30, u,,E U , besitzt genazc eine Losung uo.

(4.21) N-izo+K&K*zo30, zoE Y , (mit * ! = { [ - W , -u] 1 [u, w]ElM}) besitzt genau eine Losung zo.

( H x H ) ist

2. Die nahh Lemma 3.3 xu (4.20) konjugierte Aafgabe A

3. Fur beli'ebiges [u, w] E M 1 I / z c - z L ~ ~ ~ ~ s ; (Y (l~+K*zll,+IINKu-z//.) V Z E Y m i t K * z € H .

4. Aim ,ui-tug in Y , K*zi+ K%, i.n H folgt

(4.22)

U , wi+ -K*NKuo in H , [ui, M n ( H x H ) , zi-+zo' in

lint IIwi+ K*zilIH= lim IINKu,-xiIlY=O . i+Ce i+m

Beweis. 1. Unter den gegebenen Voraussetzungen ist K*NK eine stark nionotone LIPSCHITZ-stetige Abbildung von LT in CT*. Die Existenz von genau einer Losung 'uo der Aufgabe (4.20) folgt daher aus einem bekannten Ergebnis von BROWDER [3].

2. Die eindeut.ige Losbarkeit der Aufgabe (4.21) folgt aus Lemma 3.4. 3. Es sei [,7t, w]EiW n ( H X W ) und z E Y , K*zEH. Dann gilt

n ~lu-u011~=n (lK7~--~i~~1121.~(NKu-NKu~, Ku-Kuo) = (li*NIs'~, - K*NKuo, u - uo) 5 (741 + K*NKtc, u - u{j)

=(w+K*z+K* ( N K u - x ) , u - l c o )

5 (Y IIW + K*zIlIl+ P K U -4lp) IIU - UoIIo . s ( / I w + K*zIIo* + 1INK.u - ~ l l y ) 1 1 ~ ~ -uoIIu

4. \;l'egen (3.1 1) gilt unter den gegebenen Voraussetzungen

lini llw, +K*zillH = I/ - K*NKuo + K*z& = 0 i-C.3

und

lim ~ ~ ~ V K U - ~ ~ / ~ ~ = /IATKU,,-Z~//~.=O . i-.-D.

Dunlit ist Sntz 4.3 hen. Tiesen.

Bemerkung 4.3. Die Brauchbarkeit. von Satz 4.3 hiingt wesentlich davon ab, ob inan Folgen (ui), (wi) und (zi) mit den in Punkt' 4. aufgefuhrten Eigenschnften finden knnn. Fur die in Beispiel 5 angegebene Aufgabenstellung (3.16) ist das unter gewissen Regularitatsvoraussetzungen tatsachlich der Fall. Fur diese

330 Gajen.ski;'Groger, Konjugierte Operatoren

Aufgabe kann man (u , ) . (20,) und (2,) init Hilfe des GALERKIN-Verfahrens oder eiiies Projekt ions-IterittionsverfaIirens best ininien (vgl. GAJEWSKI-GROGER [5], Satz 3.3 und Satz 3.3, sowie GAJEM-SKI-GROGER [6], Satz 2.3 und Satz 3.3). Durch eine leichte Modifikation des Beweises von 3. kann inan bei dieser Aufgabe neben der Abschatzung fur j/u - - ? / , , I t r = 1 1 ~ - /(,,/I auch eine Abschatzung fiir 1/11 - uollc(s;IIo) angeben. Ersetzt man in der Aufgttbe (3.16) die Abbildung fM durch N = {[u, ti'] [ I ( € Ir, tc'c IT*, 7/(0) = u ( T ) ) (d. h., fragt inan nach periodisclien Lo- sungen), so ist es unter ahnlichen Regularitatsvoraussetzungen ebenfalls moglich, geeignete Folgen ( t i h ) , (w,) und (zi) zu bestinimen.

Bemerkung 4.4. Fur die konjugierte Aufgabe (4.21) gilt unter den Voraus- setzungen von Satz 4.3, wie man leicht zeigen kann, die folgende Fehlerabschat- zung :

L3S, G )

Diese Abschatzung ist brauchbar, wenn man eine Naherungsfolge (xi) mit den Eigerischaften zi+zo in I.' und KAWK*zj-+ - K - l z o in Y finden kann. Das ist im Falle der Aufgabe (3.17) beispielsweise niit Hilfe des GALERKIN-Verfahrens oder eines Projekt ions-Iteratjonsverfahrens nioglich, wenn eine sogenannte ,,spezielle Basis'' zur Verfiigung steht (vgl. GAJEWSKI-GROGER [6], Abschnitt 4). Die Fehlerabschatzung (4.23) koinnit ohne Bestiininung von Naherungslosungen fur die Busgangsaufgabe (4.20) aus.

Bemerkung 4.5.Ist in L*,, eine Basis aus Eigenfunkt'ionen des Operators K$Ko bekannt, so kann inan unter den Voraussetzungen von Satz 4.3 fiir GALERKIN- Naherungen und Projektions-Iterationsnalierungen der Losung der Aufgabe (3.1 6), die dieser Basis entsprechen, ebenfalls Fehlerabschatzungen angeben, die ohne Bestiininung von Kaherungslosungen der konjugierten Aufgabe (3.17) aus- komrnen. Darauf sol1 liier nicht naher eingegangen werden.

,5. Potentialitat und a-posteriori-Fehlerahschatziingen

\Vir befassen uns in diesein Absclinitt, init konjugierten 0perat.oren A = K*MK und B= L*M-IL, fiir die der Operator N Potent,ialoperator ist. Fur derartige Operatoren ist' von GAJEWSKI [4] und unter etwas einfacheren Voraussetzungen von GAJEWSKI-GROGER-ZACHARIAS ['i] (Kap. 111, 5 4.5) eine a-posteriori-Fehler- abschatzung angegeben worden, die wesentlich von der Potentialitat von M Gebrauch macht. In diesem Abschnitt verallgemeinern wir die in [ 7 ] bewiesene Fehlerabschatzung geringfugig und vergleichen das Resultat nii t den1 von Satz 4.1 (bzw. Satz 4.2).

Satz 5.1. Es se.i A = K * X K wad B=L*iM-fL far Operatoren KE2'P(UI, Y ) , LEY( V , Y * ) und M E ( Y - Y*) mit folgenden Eigenschaften:

Gajewski,'GrBger, Konjugierte Operatoren 33 1

(5.1) Im K = K e r L*, liKullv=lizclir. VuE U , i\Lwllr*=ilflII1r V W E T' ,

(5.2) (My,-illy2, yI-y2)~mlly,-y211$, rn>O, p z 2 , Vy,, Vy2C17, ( 5 . 3 ) Da,nu gi l t :

1 . Jf-1~ (Y*- Y) ist stetig und be.sitzt das Potential F * ; dabei bezeichnet F* das z u F konjugierte Funkt ional .

2 . Es gibt genau e i n uoC U mit Au(, = 0 u?Ld genaric e i x W O E V mit Bvc, = 0. 3. Fur beliebiges U E U ist

Jf ist stetig und besitzt dns P o t e d a l F.

1 ?,

(5.4) l 1 7 L - ~ L , l l r ~ ( ~ m ( F ( K ~ ~ ) + F * ( L ~ ) ) ) vvE v . 4. AUS ui-+un in U und vi+vn in V f d g t

lim (F(Ku,)+F*(Lw,))=O . 2 - 0 0

Bemerkung 5.1. Man darf annehmen, daB die Funktionale F und F* die folgenden Dsrstellungen besitzen :

i

F(Y) = j- (M(tY), Y) dt V Y E Y 9

0

(siehe [7], Bemerkung 4.1 und Satz 4.9, Kap. 111). Da M-1 in konkreten Fallen sls bekannt angesehen werden darf, handelt es sich bei (5.4) tatsachlich U I ~ I eine praktikable Fehlersbschatzung.

Bewe i s von S a t z 5.1. 1. Die erste Behauptung von Satz 5.1 folgt nus Satz 2.2 und Satz 4.9, Kap. 111, in [7].

2. Die zweite Behauptung ist bereits in Satz 4.1 bewiesen worden. 3. Auf Grund von Satz 4.10 und Lemma 4.1, Kap. 111, in [7] gilt unter den

gegebenen Vorausset zungen F ( K u ) +F*(Lv) % F ( K u ) - F(KUn)

1

= ](N (Krro+tK (u-U")), K (u-2Cg))dt

= J (K*M (KU(, + 1K7r - Mu,) - K*2ClKu(l, 21 - u,) at

0

= / ( K * X (Ku, + tK71 - tKu,), u - t r ( J dt V

1

(I 1


4. Unter Benutzung der Stetigkeitvon F u n d F* sowie von Satz 4.10, Kap. 111, aus ['i] ergibt sich

liin ( F ( K ~ ( , ) + F * ( L ' L . ) ) = F ( K ~ , , ) +F*(Lvo)=O. L-m

Damit ist Satz 5.1 bewiesen.

Lemma 5.1. linter den Vorawsetzzii~ge?~ V O ~ L Satz 5.1 gi l t

1 1 1 ( 5 . 5 ) F ( K u ) +F* (Lv) I ~ IIMKu-LvjlP,7* V u E u, V V E v, - + - = 1 .

qrnq-' P q Beweis. AUS (5.2) folgt, wie man svfort sieht,

V q , Vz2E Y*. )"- (5.6) \\x- 12, - *lf- l z~ j / r 5

Unter Benutzung von (5.6) und der Beziehung I m K = K e r L* ergibt sich (vgl- auch [7], Lemma 4.1 und Satz 4.9):

P(Kzc) +P*(Lv) =P*(Lc) -F*(MKzr) + ( * % x u , K u ) =F*(Lc) - F * ( M K u ) +(HKu-Lw, Ku)

= j ( J 1 - J ( M K n + t (LV-XKzl)) , Lv--lIKu) dt (I

+ (ICIKZL - LZ', K71) I

Daiiiit ist Leniina 5.1 bewieseii.

Beiiierkung 5.2. Il-egen (5.5) kann die Absehatzung (5.4) zur folgenden Ab- schiitzung vergrobert werden :

1

Denigegenuber folgt unter clen Voraussetzungen von Satz 5.1 aus (4.3) die Ab- schiitzung

Gajewski,’Groger, Konjugierte Operatoren 333

Fur p = 2 stinimen (5.7) und (5.8) uberein. Die Fehlerabschatzung (5.4) ist also fur p=2 mindestens so gut wie die von Satz 4.1. Der Satz 4.11, Kap. 111, in [7] kaun dalier als Verschiirfung von Satz 4.2 fur den Fall eines Potentialopera-

tors i%! angesehen werden. Fur p = - 2 ist (5.4) hochstens urn den Faktor ( p - 1)% schlechter als (5 .8) , inoglicherweise aber auch besser.

1

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