Kopfgeometrie zur Förderung des räumlichen ... · Kopfgeometrie zur Förderung des räumlichen Vorstellungsvermögens im Mathematikunterricht in der Sekundarstufe Head geometrics

Kopfgeometrie zur Förderung des räumlichen

Vorstellungsvermögens im Mathematikunterricht

in der Sekundarstufe

Head geometrics for the support of spatial ability in mathematics teaching in

secondary education

Verfasser: Marc Hohmann

Adresse: Felkeweg 7, 67346 Speyer

Matrikelnummer: 212200976

E-Mail: [email protected]

Studiengang: Bachelor of Education

Fach: Mathematik

Erstbetreuer: Frau Dr. Melanie Platz

Zweitbetreuer: Herr Prof. Dr. Jürgen Roth

Vorwort

Vorwort

Während des Studiums wurde mir in einer Vorlesung, welche die Didaktik der Geometrie

behandeln sollte, die Kopfgeometrie vorgestellt und dabei als eine der wichtigsten

Aktivitäten zur Förderung des räumlichen Vorstellungsvermögens benannt. Nach intensiver

Auseinandersetzung mit der Thematik, vor allem im Zuge einer modulumfassenden

mündlichen Prüfung, kam ich unter anderem auch mit dem Artikel Kopfgeometrie von

Kerst (1920) in Kontakt. Dieser weckte mein Interesse zur Kopfgeometrie, zum Lösen

vorstellungsbasierter, geometrischer Aufgaben und für ein Anwenden solcher Übungen im

Mathematikunterricht der Sekundarstufen. Nicht nur in der Theorie konnte ich meine

Kenntnisse erweitern, auch im privat, beim Präsentieren und Durchführen solcher Übungen,

sammelte ich schließlich viele Erfahrungen.

Der Gedanke, diese Arbeit über Kopfgeometrie, ihre Vor- und Nachteile, ihr Potenzial für den

Schüler und ihre Vielfalt an möglicher Übungen zu schreiben, entstand vor allem aus dem

Interesse an und dem Vergnügen mit ihr. Gleichzeitig bestand aber auch das Ziel, eine

Zusammenfassung historischer und aktueller Literaturrecherche zu erstellen, welche zudem

eine Vielzahl an möglicher kopfgeometrischer Übungen aus unterschiedlichen Werken für

den Mathematikunterricht übersichtlich zusammenfasst.

Besonders möchte ich mich bei meiner betreuenden Dozentin Frau Dr. Platz bedanken, die

mir stets für Fragen und bei Problemen zur Seite stand und gleichzeitig die Zeit und Mühen

auf sich nahm, sich intensiver mit meinen Entwürfen zu befassen.

Auch Herrn Prof. Dr. Roth möchte ich für die Vorlesung zu jenem Zeitpunkt danken, welche

mich schlussendlich auf dieses Thema aufmerksam gemacht hat.

Darüber hinaus gilt der Dank auch meinen Eltern, meiner Freundin, Alexina Bühler, und auch

meinen guten Freunden, Sabrina Dattge und Moritz Kopf. Durch ihre Tipps und Anregungen,

ihre stets aufgebrachte Geduld beim Mitmachen der Übungen und die Zeit, welche sie in

zahlreiche Stunden zum Korrekturlesen investierten, haben sie entscheidend zu dieser

Bachelorarbeit beigetragen. Vielen Dank!

2

Inhaltsübersicht

Inhaltsübersicht

1. Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2. Inhaltliche Einführung – Begriffsumfang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1 Räumliches Vorstellungsvermögen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Kopfgeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.1 Abgrenzung zum Kopfrechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.2 Aufbauvariationen der Kopfgeometrieaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3. Praktische Umsetzung in der Schule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.1 Stufe 1 – Gymnasiale Orientierungsstufe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2 Stufe 2 – Gymnasiale Mittelstufe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.3 Mathematische Vorstellungsübungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.4 Stufe 3 – Gymnasiale Oberstufe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4. Tipps & Hilfen für Lehrer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5. Legitimation der Kopfgeometrie für die Schule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.1 Vorteile und Gefahren der Kopfgeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.1.1 Vorteile und Ziele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.1.2 Gefahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.2 Darf ich Kopfgeometrie in der Schule betreiben? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.3 Trivia – Selbstheilungskräfte durch Mentaltraining . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

6. Resümee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

7. Anhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

8. Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3

Einleitung

1. Einleitung

Geometrie auf der niedrigsten Stufe, der nullten Stufe ist … die Erfassung des

Raumes. Und da wir von Erziehung des Kindes sprechen, ist es die Erfassung des

Raumes, in dem das Kind lebt, atmet, sich bewegt, den es kennen lernen muss, den es

erforschen und erobern muss, um besser in ihm leben, atmen und sich bewegen zu

können. (Freudenthal 1973, zit. nach Bruder, R. et al. 2015, S. 186)

Die Kopfgeometrie soll diesen Entwicklungsprozess unterstützen, indem sie dem Kind hilft,

sein räumliches Vorstellungsvermögen, eines der wichtigsten Grundlagen all dieser Aktivitä-

ten, zu entwickeln, zu trainieren und zu fördern. Deshalb beschäftigt sich diese Arbeit mit der

Kopfgeometrie, ihren charakteristischen Eigenschaften und der Möglichkeit ihres Einsatzes

im Mathematikunterricht in den Sekundarstufen durch eine Vielzahl an unterschiedlichen

Aufgaben. Die Kopfgeometrie legt dabei weniger Wert auf ein Automatisieren verschiedener

mathematischer Algorithmen oder auf ein Ausbilden von Handlungsabläufen – im Gegensatz

zum bekannten Kopfrechnen. Vielmehr dienen kopfgeometrische Aufgaben der Entwicklung,

dem Training und der Förderung des räumlichen Vorstellungsvermögens, einem Primärfaktor

der menschlichen Intelligenz. Gardner (1991, zit. nach Maier 1999b, S. 9) betont, dass ein gut

ausgebildetes räumliches Vorstellungsvermögen ein „unschätzbarer Vorteil in unserer Gesell-

schaft“ ist.

Die vorliegende Arbeit gliedert sich in fünf große Kapitel. Zunächst zeigt eine inhaltliche Ein-

führung den Begriff der Kopfgeometrie und dessen Umfang auf. Dabei werden zuerst das

räumliche Vorstellungsvermögen und dessen Subfaktoren dargestellt, wobei vor allem Linn &

Petersens (1985) und Thurstones (1938, 1935) Werke maßgebend sind. In beiden Werken

sind dazu Studien und Experimente herangezogen worden, um mögliche mentale Fähigkeiten

– die primary mental abilities – zu finden. Neben diesen Standardwerken haben weitere Au-

toren, wie Maier (1999a; 1999b) und Besuden (1984), großen Einfluss auf die Akzeptanz die-

ser primary mental abilities (dt.: primäre mentale Fähigkeiten, häufiger auch: Primärfaktoren

der Intelligenz).

4

Einleitung

Aufbauend darauf wird die Kopfgeometrie anhand einer klassischen Aufgabe vorgestellt, wo-

bei charakteristische Merkmale heraus gedeutet und mittels prägnanter Definitionen unter-

legt werden. Hierfür wurden vor allem Texte von Roth & Wittmann (2014) und Gimpel (1992)

verwendet. Kopfgeometrie und Kopfrechnen suggerieren aufgrund ihres Wortaufbaus viele

Gemeinsamkeiten. Aufgezeigt wird diese Fehlannahme anhand eines Beispiels aus einem

Schulbuch, bevor verschiedene methodische Vorgehensweisen bei kopfgeometrischen Übun-

gen aufgezeigt werden, mit welchen sich vor allem Senftleben (1996) intensiver befasste und

dabei eine klare Übersicht in seiner Explikation lieferte.

Nachdem nun die wichtigsten Begriffe und ihre charakteristischen Eigenschaften näher be-

leuchtet und dargestellt wurden, stehen im dritten Kapitel eine Vielzahl kopfgeometrischer

Aufgaben, teilweise in Verbindung mit Abbildungen, im Mittelpunkt. Hierbei wird auf eine

Einordnung in die verschiedenen Jahrgangsstufen, im Hinblick auf das Schwierigkeitsniveau,

geachtet. Die aufgeführten Aufgaben sollen jeweils kommentiert werden, wobei die Art der

Kopfgeometrieaufgabe, die Möglichkeit eines Einsatzes von Hilfsmitteln und die beanspruch-

ten Fähigkeiten des räumlichen Vorstellungsvermögens im Vordergrund stehen. Für diese

Sammlung wurde eine Vielzahl an historischer und aktueller Literatur herangezogen. Neben

Radatz & Rickmeyer (1991), Besuden (1984) und Degner & Kühl (1984) wurden vor allem

Auszüge aus Maier (1999b; 1999a; 1996) verwendet, dessen Forschungen und Ergebnisse

sich sicherlich als Meilensteine zählen lassen. Gegen Ende dieses Kapitels wird eine neue

Form mathematischer Kopfaufgaben, sog. mathematische Vorstellungsübungen, kurz vorge-

stellt, welche kopfgeometrische Aufgaben um fachliche Pointen erweitern und von Weber

(2010, 2007) propagiert werden.

Um den Einsatz von Kopfgeometrie bzw. von mathematischen Vorstellungsübungen im

Mathematikunterricht zu erleichtern, werden im vierten Kapitel einige Tipps und Hilfen für

Lehrer vorgeschlagen. Bereits Kerst (1920) stellte viele Bedingungen vor, welche von

Senftleben (1996) und weiteren Autoren ergänzend aufgezählt werden sollen.

Abschließend wird im fünften Kapitel zum einen der Fokus auf die Vorteile bzw. auf die Ge-

fahren gelenkt, welche die Kopfgeometrie im Unterricht mit sich bringen kann. Neben Roth &

Wittmann (2014) und Hammer (2011) wurden dabei zahlreiche weitere Quellen für diese

Sammlung herangezogen. Zum anderen erfolgt, mithilfe des Lehrplans der Sekundarstufe I

5

Einleitung

und II, eine Begründung für den Einsatz kopfgeometrischer Aufgaben, wobei Maier (1999b;

1999a; 1996) als großer Befürworter aufgeführt wird.

Das sechste Kapitel fasst die gesamten Gedanken dieser Arbeit kurz und prägnant zusammen

und gibt zugleich einen Ausblick und mögliche Ideen, wie bzw. in welche Richtung sich das

Thema Kopfgeometrie in der Schule weiterentwickeln wird.

Diese Arbeit verfolgt dabei drei Ziele: Erstens wird mittels einer ausführlichen Einführung der

Leser mit der Kopfgeometrie bekannt und vertraut gemacht. Er soll dazu animiert werden,

sich intensiver mit dem Thema auseinander zu setzen, Aufgaben zu entwickeln oder selbst-

ständig – im Idealfall als Lehrer im Mathematikunterricht – kopfgeometrische Übungen

durchzuführen. An vielen Stellen dieser Arbeit wird deutlich, welche Vorteile und Möglichkei-

ten der Einsatz von Kopfgeometrie in der Schule mit sich bringt und welche mathematischen

Ziele damit erfüllt werden können. Deshalb ist das zweite Ziel, die Notwendigkeit kopfgeome-

trischer Übungen im Mathematikunterricht in allen Jahrgangsstufen aufzuzeigen. Drittens

und das Hauptziel dieser Arbeit ist es, eine Sammlung historischer und aktueller Literaturre-

cherche zu erstellen, welche eine Vielzahl an möglicher kopfgeometrischer Übungen unter-

schiedlichen Schwierigkeitsgrades für den Mathematikunterricht aus verschiedenen Werken

übersichtlich zusammenfasst, um sowohl den Einstieg in das Thema zu erleichtern als auch

erste literarische Anregungen zu geben.

Hauptaugenmerk dieser Arbeit liegt auf dem Einsatz von Kopfgeometrie in der Schule, vor al -

lem im Mathematikunterricht. Eine detaillierte historische Entwicklung dieses Begriffes, wie

sie bspw. Royar & Streit (2006) oder auch Senftleben (1996) darstellen, bleibt unberücksich-

tigt. Auch eine umfassende Behandlung der mathematischen Vorstellungsübungen würde

den Umfang dieser Arbeit sprengen, weshalb dieses Thema auf die, für diese Arbeit, wich-

tigsten Aspekte reduziert wurde. Näheres lässt sich vor allem in unterschiedlichem Ausmaß

in Weber (2011b; 2011a; 2010; 2009; 2007) finden.

6

Inhaltliche Einführung – Begriffsumfang

Zu Beginn möchte ich darauf hinweisen, dass, zur besseren Lesbarkeit, auf geschlechtsspezifi-

sche Formulierungen verzichtet wurde. Selbstverständlich beziehen sich alle gewählten perso-

nenbezogenen Bezeichnungen auf beide Geschlechter, falls nicht explizit auf ein bestimmtes

Bezug genommen wird.

2. Inhaltliche Einführung – Begriffsumfang

Um über Kopfgeometrie sprechen zu können und diese auch sinnvoll in der Schule einzu-

setzen, bedarf es zu Beginn einiger Erläuterungen sowohl zu den Eigenschaften, als auch zum

strukturellen und inhaltlichen Aufbau der Kopfgeometrie. Denn was ist nun genau Kopfgeo-

metrie bzw. was sind ihre charakteristischen Eigenschaften? Gibt es verschiedene methodi-

sche Vorgehensweisen? Bevor eine Beantwortung der ersten Frage ausreichend erfolgen

kann, muss zunächst eine übergeordnete Ebene, die Ebene des räumlichen Vorstellungsver-

mögens, in den Fokus genommen werden. Der folgende Abschnitt orientiert sich vorrangig

an dieser Thematik.

2.1 Räumliches Vorstellungsvermögen

Thurstone gilt als Pionier der Intelligenzforschung. Er fand in seinen Untersuchungen mithilfe

der Faktorenanalyse von empirischen Daten heraus, dass sich die menschliche Intelligenz aus

insgesamt sieben Faktoren, den „primary mental abilities“, zusammensetzen lässt (Thurstone

1938). Neben dem räumlichen Vorstellungsvermögen oder auch Raumvorstellung (1) (engl.:

space) wurden weitere Primärfaktoren der Intelligenz wie das sprachliche Verständnis (2)

(verbal comprehension), die Wortflüssigkeit (3) (word fluency), die Rechengewandtheit (4)

(number), die Auffassungsschnelligkeit (5) (perceptual speed), die Merkfähigkeit (6) (associa-

tive memory) und das logisch-schlussfolgernde Denken (7) (reasoning) ermittelt (Thurstone

1938, S. 94f.; siehe hierzu auch Besuden 1984, S. 70ff.; Kubinger 2006, S. 12; Schaie 2010,

1286ff.; Weber 2011a; Maier 1999a, S. 18ff.).

Nun stellt sich die Frage, was unter räumlichem Vorstellungsvermögen verstanden werden

kann. Ilgner (1974, S. 693) definiert hierzu die räumliche Vorstellung als ein „sinnliches Ab-

bild, das ohne Präsenz des Objektes die räumliche Beschaffenheit und Lage des Gegenstan-

7


des widerspiegelt“. Eine weitere Möglichkeit liefert Besuden (1984, S. 66), indem er mehr auf

die Reproduzierbarkeit von Raumbezügen eingeht und definiert schließlich Raumvorstellung

als ein „durch geistige Verarbeitung (Verinnerlichung) von Wahrnehmungen an dinglichen

Gegenständen erworbenes Vermögen, das sich der Raumbezüge bewusst geworden ist und

diese reproduzieren kann.“

Räumliches Vorstellungsvermögen kann auf diese Weise sehr prägnant als die Fähigkeit des

„mentalen Operierens mit räumlichen Objekten“ (Franke 2007, S. 52) oder als „die Fähigkeit,

in der Vorstellung räumlich zu sehen und räumlich zu denken“ (Maier 1999a, S. 14) beschrie-

ben werden. Roth & Wittmann (2014, S. 147) betonen zudem zwei weitere Fähigkeiten: Eine

„aktive Umordnung von im Gedächtnis gespeicherten Vorstellungsbildern und die Fähigkeit,

in der Vorstellung aus vorhandenen Bildern neue zu entwickeln“ sind ebenfalls Aspekte des

räumlichen Vorstellungsvermögens.

Um im zwei- und dreidimensionalen Raum zu agieren, bedarf es einer Reihe von Fähigkeiten,

welche als Voraussetzungen für ein räumliches Vorstellungsvermögen unabdingbar sind.

Thurstone (1938) fand in seinen Forschungen weiter heraus, dass diese Intelligenzdimension

eine „sehr hohe Komplexität“ (Maier 1999b, S. 9) aufweist und sich in drei voneinander un-

abhängigen Subfaktoren zerlegen lässt:

Räumliche Beziehungen (spatial relations)

Veranschaulichung (visualization) und

räumliche Orientierung (spatial orientation).

Sowohl Franke (2007), Radatz & Rickmeyer (1991) als auch Besuden (1984), orientieren sich

an diesen drei von Thurstone begründeten Teilkomponenten. Linn & Petersen (1985, S.

1482ff.) hingegen deuteten in ihrer Metaanalyse drei ähnlich autarke Subfaktoren heraus

(vgl. hierzu auch Grüßing 2002):

Vorstellungsfähigkeit von Rotationen (mental rotation)

Veranschaulichung (spatial visualization) und

Räumliche Wahrnehmung (spatial perception).

8


Deutlich wird, dass die Teilkomponente der Veranschaulichung bei beiden Modellen auftritt,

was Maier (1999a, S. 50f.) dazu veranlasst, die Subfaktoren von Thurstones 3-Faktoren-

Analyse und die aus dem Kategoriensystem von Linn & Petersen zusammenzufassen. Er

beschreibt die Intelligenzdimension des räumlichen Vorstellungsvermögens mit fünf

Teilkomponenten (Maier 1999b, S. 9), wodurch ein „breites und tragfähiges Fundament zu

einem umfassenden und lückenlosen Trainingsprogramm zur Raumvorstellung geschaffen“

(ebd.) wird. Maier fasst diese fünf Komponenten anschaulich in einer Grafik (Tab. 1)

zusammen, indem er zum einen den Standpunkt der Person und zum anderen die Art des

Denkvorgangs (statisch oder dynamisch) miteinbezieht. Diese „Landkarte“ (ebd.) vermittelt

einen klaren Überblick über die verschiedenen Relationen der einzelnen Begriffe.

Standpunkt des Schülers Statische Denkvorgänge Dynamische Denkvorgänge

Schüler befindet sich außerhalb

Räumliche Beziehungen

Veranschaulichung/Visualisierung

Mentale Rotation

Schüler befindet sich innerhalb

Räumliche Wahrnehmung Räumliche

OrientierungRechts-Links-Unterscheidung

Während bei einem statischen Denkvorgang räumliche Relationen zwischen sich nicht

bewegten Objekten wahrgenommen werden, also keine Bewegungsvorstellung stattfindet,

findet bei einem dynamischen Denkvorgang eine Veränderung von „räumlichen Relationen

am Objekt bzw. zwischen den Objekten“ (Maier 1999b, S. 9) oder auch der räumlichen

Relation der Person zum Objekt statt.

Die Fähigkeit, rechts von links zu unterscheiden, ist ebenfalls ein statischer Denkvorgang und

reiht sich unter die räumliche Orientierung ein. Dabei befindet sich die Person „innerhalb“

der Situation und muss mit diesen beiden räumlichen Begriffen operieren und sich im Raum

orientieren.

Eine genaue Erläuterung und Vertiefung der verschiedenen Subfaktoren soll an dieser Stelle

nicht geschehen. Definitionen und Erklärungen unter Zuhilfenahme von Beispielen lassen

sich bspw. in Roth & Wittmann (2014; S. 148f.), Franke (2007, S. 55ff.), Grüßing (2002,

9

Tab. 1: Landkarte der Subfaktoren nach Maier (1999b, S. 14)


S. 37f.), Maier (1999b, S. 10ff. und 1999a, S. 51ff.), Radatz & Rickmeyer (1991, S. 17) und

auch Besuden (1984, S. 71) finden.

Räumliches Vorstellungsvermögen ist aber keinesfalls, wie man etwa vermuten könnte, das

Ergebnis passiv angesammelter Abbilder der Wirklichkeit, welche im Alltag durch visuelle

Wahrnehmung abgespeichert werden. Vielmehr beeinflussen alle Sinnesvorstellungen

sowohl sich gegenseitig, als auch das räumliche Vorstellungsvermögen in vielfältiger Art und

Weise, wodurch sich dieses zu einer „lebendigen dynamischen Fähigkeit“ (Ilgner 1974,

S. 694) entwickelt, die wiederum das mentale Operieren von Franke (2007) aufgreift.

„Die Raumvorstellung ist eine bedeutsame Komponente der menschlichen Intelligenz und

eine zentrale Fähigkeit, die unsere Wahrnehmung und Vorstellung von der Umwelt und

damit die Qualität der Interaktion mit ihr nachhaltig beeinflusst“ (Maier 1999b, S. 4).

Offensichtlich ist eine „leistungsfähige räumliche Intelligenz“ (Gardner 1991, zit. nach Maier

1999b, S. 9) eine unabdingbare Qualifikation, um in der Gesellschaft eine positive Stellung

einzunehmen.

Nun stellt sich also die Frage, ob es Möglichkeiten gibt, das räumliche Vorstellungsvermögen

zu fördern, es zu erweitern und zu schulen. Die Antwortet lautet: Ja!

Eine solche Möglichkeit, die Kopfgeometrie, soll nun vorgestellt werden.

Will der Lehrer die geometrischen Vorstellungskräfte des Kindes entwickeln, so muss

er sich entschließen, an geeigneten Stellen 'Kopfgeometrie' zu treiben. Diese Kopf

geometrie ist ebenso wichtig wie das Kopfrechnen. Nur sie ermöglicht die Entfaltung

der Kräfte der Raumanschauung, die […] das wichtigste Mittel sind, geometrische

Fragen zu lösen. (Breidenbach 1966, S. 56)

Der folgende Abschnitt greift die eingangs gestellte erste Frage auf und versucht dann die

Kopfgeometrie anhand kleiner Beispiele zu bekannten, denkbar analogen Begriffen abzu-

grenzen. Eine Erläuterung zum Aufbau kopfgeometrischer Aufgaben und möglicher methodi-

scher Vorgehensweisen soll im Anschluss als Antwort auf die verbleibende zweite Frage dar-

gestellt werden.

10


2.2 Kopfgeometrie

Aufgabe 1:

Bei einem herkömmlichen Spielwürfel beträgt die Augensumme gegenüberliegender Seiten

stets sieben. In der Ausgangsposition zeigt der Würfel schräg rechts die Ziffer 4, schräg links

die Ziffer 2 und oben ist die Ziffer 6 zu sehen.

Aufgabe: Kippe den Würfel in Gedanken erst nach hinten, dann nach links, schließlich noch

zwei mal nach vorn und einmal nach hinten.

Welche Augenzahlen kannst du jetzt erkennen?

Anhand dieser klassischen Kopfgeometrieaufgabe lassen sich erste charakteristische Eigen-

schaften der Kopfgeometrie aufzeigen.

Sowohl der Informationstext der Aufgabe als auch die Aufgabe selbst werden dem Schüler

nicht vorgelegt, sondern ihm nur verbal mitgeteilt. Zur Präsentation oder Veranschaulichung

der Aufgabenstellung werden keine Hilfsmittel wie ein Modell des Würfels, Skizzen oder

andere ähnliche Gegenstände verwendet. Das Bearbeiten der Aufgabe erfolgt ausschließlich

im Kopf, wobei ein geometrischer Sachverhalt, hier das Bewegen der Würfels, mental

visualisiert, manipuliert und neu entwickelt wird. Dadurch wird das Problem, nämlich die zu

beantwortende Frage, „vorstellungsbasiert“ (Weber 2011, S. 32) bearbeitet, wobei auf

bereits bekannte Vorstellungen, Erfahrungen und verinnerlichte Handlungen zurückgegriffen

werden muss, die dann in den Problemlösungsprozess mit einfließen. Dieser besteht aus

einer Vielzahl an Operationen wie „Dynamisierungen, Umstrukturierungen, Variationen,

Kombinationen“ (Royar & Streit 2006, S. 26) und Manipulationen. Die Präsentation der

Lösung wird, wie die Aufgabe selbst, verbal dargestellt.

Diese Form einer Kopfgeometrieaufgabe zeigt zum einen die klassische Charakteristik einer

solchen Aufgabe auf und spiegelt zum anderen die Grundgedanken der „Väter der

Kopfgeometrie“ (die vermutlich auf Kerst [1920] und Treutlein [1911] zurückgeht) wider.

Eine sehr prägnante Definition liefern Roth & Wittmann (2014, S. 151). Nach ihnen ist

Kopfgeometrie nichts Anderes, als „das Lösen geometrischer Aufgaben im Kopf, also ohne

Hilfsmittel. Es kann dabei nur auf eigene Vorstellungen und sprachlich formuliertes Wissen

über die vorkommenden Objekte zurückgegriffen werden“.

11


Eine etwas ältere und ausführlichere Definition lautet:

Kopfgeometrie ist 'hilfsmittelfreie' Geometrie, das heißt, wenn man sie betreibt,

dürfen gegenständliche Modelle oder [Skizzen] als Gedächtnisstützen nicht

verwendet werden. Bei ihr bilden einzig und allein Vorstellungen über geometrische

Objekte und sprachlich formuliertes Wissen über sie das 'Handwerkszeug' zum Lösen

geometrischer Aufgaben. […] Das Lösen geometrischer Aufgaben im Kopf erfordert

die Fähigkeit, sich geometrische Gebilde vorstellen zu können, ihre Lage, ihre

Größe und ihre Form zu variieren, sie zu kombinieren und dabei das Wissen über sie

anzuwenden. (Gimpel 1992, S. 257)

Sowohl Roth & Wittmann, als auch Gimpel sprechen in ihrer Definition das Lösen kopfgeo-

metrischer Aufgaben ohne Hilfsmittel bzw. hilfsmittelfrei an. Auch die Aspekte des sprachlich

formulierten Wissens und der eigenen Vorstellungen sind in beiden Aussagen zu finden. Im

Gegensatz zu Roth & Wittmann geht Gimpel jedoch noch konkreter auf das Lösen solcher

Aufgaben ein, indem er die Fähigkeiten, welche an die Subfaktoren des räumlichen Vorstel-

lungsvermögens erinnern, aufzählend darstellt.

Aufgrund dieses Zusatzes bevorzugt der Verfasser dieser Arbeit Gimpels Definition, da eben

nicht nur das hilfsmittelfreie Lösen unter Einbeziehung von sprachlich formuliertem Wissen

und eigenen Vorstellungen als charakteristische Merkmale genannt, sondern auch die dafür

benötigten grundlegenden Fähigkeiten aufgezeigt werden.

2.2.1 Abgrenzung zum Kopfrechnen

Kopfgeometrie bildet in der Geometrie das Pendant zum Kopfrechnen. Aber worin genau

liegt der Unterschied dieser beiden, vermeintlich ähnlichen Begriffe?

Während die Kopfgeometrie wie bereits oben beschrieben, bestimmte Fähigkeiten zum men-

talen Operieren und Vorstellungen über geometrische Objekte erfordert, werden beim Kopf-

rechnen „Algorithmen abgearbeitet, was bei elementaren Aufgaben als Fertigkeit ausgebildet

und damit automatisiert werden muss“ (Gimpel 1992, S. 257). Es besteht also keine inhaltli-

che „Analogie zwischen Kopfrechnen und Kopfgeometrie“ (Franke 2007, S. 66).

12


Das folgende Beispiel1, welches relativ einfach im Kopf zu lösen ist, soll diesen Unterschied

verdeutlichen:

Aufgabe 2:

Bestimmen Sie die Ableitung f ' ( x) von f (x )=5x5 .

Lösung:

1. Der Schüler kennt die zuvor gelernte Potenzregel

Für f (x)=xnmit n∈ℤ ist f ' ( x)=n⋅xn−1 und wendet diese auf die

Ausgangsfunktion für n=5 an,

2. die Zahl 5 wird mit der Potenz 5 multipliziert,

3. von der Potenz 5 wird anschließend 1 subtrahiert.

Eine solche klassische Kopfrechenaufgabe verdeutlicht, dass der Algorithmus und die trivia-

len Grundrechenaufgaben für die Lösung dieser Aufgabe zügig beherrscht werden. Mehrere

solcher Aufgaben gilt es dann als Hausaufgabe zu lösen, wodurch die bereits genannten Fer-

tigkeiten entwickelt werden, die für eine Automatisierung solcher Prozesse sorgen.

Kopfgeometrie versteht sich also als Fähigkeit, die mehr auf „Verstehen denn auf 'Beherr-

schen'“ (Streit & Pinkernell 2011, S. 4) abzielt, wohingegen das Kopfrechnen als eine Fertig -

keit zum Abrufen von „eingeschliffenen Handlungsabläufen“ (Gimpel 1992, S. 257) angese-

hen wird.

In den vergangenen Jahren haben sich einige methodisch unterschiedliche Vorgehensweisen

kopfgeometrischer Aufgaben aufgetan, die sich sowohl in der Phase der Aufgabenstellung als

auch in der Präsentationsphase unterscheiden. Senftleben (1996) versucht diese zu ordnen

und stellt die verschiedenen Arten in seiner Explikation dar. Eine Darlegung dieser soll im

weiteren Verlauf erfolgen.

1 In Anlehnung an Gimpel (1992, S. 258). Die Aufgabe ist aus o. V. (2007, S. 64) entnommen.

13


2.2.2 Aufbauvariationen der Kopfgeometrieaufgaben

Reine Kopfgeometrie

Die zu Beginn dieses Kapitels gestellte Kopfgeometrieaufgabe entspricht dem klassischen

Charakter und wird mit dem Begriff der reinen Kopfgeometrie verbunden. Diese zeichnet sich

durch ein Unterlassen jeglicher Hilfsmitteln, sowohl in der Phase der Aufgabenstellung, als

auch in der Präsentation, aus. Die Aufgabe wird verbal gestellt, anschließend folgt die Phase

des räumlichen Denkens, in welcher der Schüler mental im Kopf operiert. Die Lösung wird im

Anschluss wiederum mündlich mitgeteilt. Dabei findet eine „Rückübersetzung […] aus der

mentalen visuellen Repräsentation in den gegeben Wort-, Bild- und/oder Modellkontext der

Aufgabestellung“ (Roth 2011, S. 28) statt.

Dieses methodische Vorgehen lässt sich, in Anlehnung an Senftleben, in einer Tabelle über-

sichtlich zusammenstellen:

Phase 1 – Aufgabenstellung Phase 2 – Operieren im Kopf Phase 3 – Präsentation

Lehrer verbalisiert die geometrische Fragestellung.

Vorstellen, Problemlösen, mentales Operieren im Kopf ohne Hilfsmittel.

Ergebnispräsentation in verbaler Form.

Erste Aufgaben mit solchen Eigenschaften lassen sich bereits bei Diesterweg (1790-1866) fin-

den, der seine Seminare damit begann, dass das „Gas (Licht) ausgedreht“ (zit. nach Treutlein

1911, S. 113) werden sollte, um geometrische Aufgaben im Kopf zu lösen. Der Begriff der

Kopfgeometrie wurde schließlich als Pendant zum Kopfrechnen von Treutlein (ebd.) und

Kerst (1920) eingeführt. Neben Treutlein (1911), der die „innere Anschauung der betreffen-

den Körperformen“ als alleiniges Hilfsmittel für die Bearbeitung der Übungen vorgibt (edb.,

S. 113), spricht auch Kerst (1920) von der Fähigkeit, sich „geometrische Gebilde ohne sinnli-

che Hilfsmittel“ (ebd., S. 217) vorstellen zu können, wodurch dieser mit ihnen vertrauter wird

und in der Folge geschickter operieren kann. Er definiert die Kopfgeometrie daraufhin sehr

knapp als „Übungen, bei denen nur in der Phantasie, ohne Zeichnung oder Modell mit den

Gebilden gearbeitet wird“ (ebd., S. 217; Hervorhebung durch den Verfasser dieser Arbeit

2015). Auch Degner & Kühl (1984, S. 342) schließen sich diesen reformpädagogischen Gedan-

ken an und bevorzugen ein Bearbeiten der Kopfgeometrieaufgaben „im dunklen Raum“, wo-

bei der Lehrer „seine Hinweise und […] Fragen [...] ohne jede Gestik“ formuliert.

14

Tab. 2: Methodisches Vorgehen kopfgeometrischer Aufgaben nach Senftleben (1996, S. 54)


Die Würfelaufgabe verdeutlicht, dass zur Lösung solcher reiner kopfgeometrischer Aufgaben

konkrete Erfahrungen und Wissen über die zu behandelten Objekte vorhanden sein müssen,

etwa die Symmetrie eines Würfels, die Anzahl der Augen auf jeder Seite (falls dies nicht

bereits in der Aufgabenstellung formuliert wurde) und die Form der Seitenflächen bzw. des

ganzen Würfels.

Ein weiteres Beispiel2 hebt die Wichtigkeit von Erfahrungen und Wissen über entsprechende

geometrische Begriffe hervor:

Aufgabe 3:

Ein Rechteck steht auf einer horizontalen Geraden g.

Halbiere die Strecke BC, nenne den Mittelpunkt M. Verbinde D mit M und A mit M.

Welche Dreiecke siehst du?

Welche Dreiecke sind flächengleich?

Hier wird nochmals deutlich, dass eine solche Aufgabe ohne bereits gesammelte Erfahrungen

oder Wissen über die wesentlichen Eigenschaften (wie etwa Symmetrieeigenschaften,

Winkelgrößen, Seiten- und Längenverhältnisse, Anordnung der Punkte in einem Rechteck)

der Objekte nur schwer zu bewältigen ist.

Kopfgeometrie mit Hilfsmitteln in der Phase 1

In der Regel sind solche reinen Kopfgeometrieaufgaben ohne ein Repertoire an Wissen (diese

und weitere Voraussetzungen sollen im nachfolgenden Abschnitt kurz thematisiert werden)

über geometrische Sachverhalte nur schwer lösbar. Aus diesem Grund bietet es sich zum

Beispiel an, in der Phase der Aufgabenstellung geeignetes Material als Hilfestellung zur

Verfügung zu stellen. Die beiden übrigen Phasen verlaufen analog zu denen der reinen

Kopfgeometrie (vgl. S. 13f.) ab.

2 Vgl. hierzu Degner & Kühl 1984, S. 344.

15


Tabelle 3 soll hierzu einen groben Überblick geben:


Mithilfe von Gestik, Modellen, Körpernetzen, Gegenständen, Zeichnungen, Text, Bildern oder mit einem Dynamischen Geometrie-System (DGS) wird die verbal gestellte Aufgabe unterstützt.


Ergebnispräsentation in verbaler Form.

Bei dieser Methode werden unterstützende Hilfsmittel herangezogen, um die Aufgabenstel-

lung zu verdeutlichen, Informationen mitzuliefern oder aber auch, um diese zu konkretisie-

ren. Dazu könnte bspw. im vorangegangenen Beispiel in der ersten Phase ein Tafelbild oder

eine Zeichnung auf Folie, etwa auf dem Overhead-Projektor (OHP), verwendet werden. Eine

andere Möglichkeit bietet sich hier durch den Lehrer selbst an, welcher mithilfe von Stiften,

Teleskopzeigestäben oder seinen Armen die Anordnung des Rechtecks auf der Geraden im

Raum verdeutlichen kann. Aber auch konkrete Materialien können in der ersten Phase unter-

stützend wirken wie das folgende Beispiel (Abb. 1) aufzeigt:

Dabei wird das schwarze Objekt nach und nach enthüllt, wobei die Frage, um welches Vier-

eck es sich bei der jeweiligen Abbildung handeln könnte, im Vordergrund steht.

Diese Aufgabe ist ohne eine solche Abbildung nur schwer zu lösen, weshalb eine entspre-

chende Grafik, die Schritt für Schritt entweder am OHP oder mithilfe eines DGS dynamisch

verändert werden kann, unabdingbar ist. Auch wird hier wieder deutlich, dass eine Vielzahl

an Vorerfahrungen, wie etwa Kenntnisse zum Haus der Vierecke, mitgebracht werden müs-

sen, falls eine solche Abbildung nicht auch als Hilfsmittel in der ersten Phase zugelassen wird.

16

Abb. 1: Schrittweise Enthüllung eines Vierecks nach Maier (1996, S. 283)



Kopfgeometrie mit Hilfsmitteln in der Phase 3

Geht man nun wieder von der reinen Kopfgeometrie aus und nimmt in der dritten Phase

Hilfsmittel hinzu, kann eine Unterstützung der Schüler, die Defizite oder fehlende „Fähigkei-

ten im Verbalisieren bzw. im Benutzen fachsprachlicher Formulierungen und Symbolisierun-

gen“ (Senftleben 1996, S. 55) haben, in der Präsentation ihrer Ergebnisse erfolgen. Hierzu

eignen sich zum Beispiel, analog zu den Hilfsmitteln in Phase 1, konkrete Materialien, Zeich-

nungen und Grafiken, Gestiken oder verbale Äußerungen.


Lehrer verbalisiert die geometrische Fragestellung.


Mithilfe von Gestik, Modellen, Körpernetzen, Gegenständen, Zeichnungen, Bildern oder mit einem DGS wird die Lösung erläutert.Durch „Nachbauen“ mit Knete oder Papier kann der Schüler sein Ergebnis ebenfalls präsentieren.

Außerdem besteht die Möglichkeit, den Schüler sein Ergebnis, etwa mithilfe von „Knete“

(Senftleben 1996, S. 55), Papier und/oder Karton eigenständig nachbauen oder in einem DGS

selbst konstruieren zu lassen. Neben dieser unterstützenden Funktion hat ein eigenständiges

und aktiv-händisches (Nach-)bauen auch motivierende Effekte, da vor allem die Kreativität

der Schüler angesprochen wird. Bspw. könnte eine Präsentation der Ergebnisse aus Aufgabe

3 durch nachgebaute Objekte – etwa durch Formenplättchen oder Stäbchen – in dieser Pha-

se zentral sein.

Kopfgeometrie mit Hilfsmittel in Phase 1 und Phase 3


Mithilfe von Gestik, Modellen, Körpernetzen, Gegenständen, Zeichnungen, Text, Bildern oder mit einem DGS wird die verbal gestellte Aufgabe unterstützt.


Mithilfe von Gestik, Modellen, Körpernetzen, Gegenständen, Zeichnungen, Bildern oder mit einem DGS wird die Lösung erläutert.Durch „Nachbauen“ mit Knete oder Papier kann der Schüler sein Ergebnis ebenfalls präsentieren.

17




Denkbar wäre natürlich auch, Hilfsmittel sowohl in der ersten Phase, als auch in der Präsen-

tationsphase zuzulassen (vgl. Tab. 5, S. 17). Ein solches methodisches Vorgehen bietet sich

besonders bei Aufgaben an, die in der ersten Phase an konkrete Materialien zur Veranschau-

lichung gebunden sind und in der Präsentationsphase Hilfsmittel wie das Zeichnen von Skiz-

zen oder Modelle, an denen das Ergebnis gezeigt werden soll, erfordern.

Die Würfelpuzzle-Aufgabe (Abb. 2) ist an dieser Stelle figurativ:

Die abgebildete Grafik soll als Hilfsmittel in der Phase der Aufgabenstellung dienen. Mit der

Frage, welche der acht Teile sich zu einem Würfel zusammen setzen lassen, beginnt das

Operieren im Kopf. Im Anschluss können anhand konkreter Materialien, wie etwa der

Abbildung nachempfundene Holzblöcke, der Ergebnispräsentation nützen, wobei der Schüler

aktiv mit den Blöcken die jeweiligen Würfel zusammensetzt.

Senftleben (1996, S. 56) nennt in seiner Explikation eine weitere Phase. In dieser

Kontrollphase können die Schüler „selbstständig durch Handeln mit Material prüfen, ob ihr

kopfgeometrisch bestimmtes Resultat auch richtig ist“ (ebd.). Bei der oben aufgeführten

Würfelpuzzle-Aufgabe wäre die Phase mit dem eigenständigen Zusammensetzen eine solche

Kontrollphase, da hier die Resultate direkt an konkretem Material überprüft werden können.

18

Abb. 2: Würfelpuzzle nach Maier (1996, S. 282)

Praktische Umsetzung in der Schule

3. Praktische Umsetzung in der Schule

Nachdem im vorangegangenen Kapitel der Begriff der Kopfgeometrie näher beleuchtet, zu

bekannten, scheinbar analogen Begriffen abgegrenzt und ein Überblick über unterschiedliche

methodische Vorgehensweisen gegeben wurde, sollen in diesem Kapitel verschiedene Kopf-

geometrieaufgaben vorgestellt, kurz kommentiert und hinsichtlich ihres Schwierigkeitsnive-

aus eingeordnet werden.

3.1 Stufe 1 – Gymnasiale Orientierungsstufe

Kopfgeometrische Aufgaben dieses Schwierigkeitsniveaus sind den Klassenstufen 5 und 6 zu-

zuordnen. Zum Lösen solcher Aufgaben sind gewisse Grundkenntnisse zu geometrischen Ob-

jekten, wie etwa Winkelgrößen oder Seiten- und Längenverhältnisse, erforderlich. Zweidi-

mensionale Gebilde (Dreieck, Viereck, Quadrat, Rechteck, ...) und deren Eigenschaften, aber

auch einfache dreidimensionale Objekte sind den Schülern bekannt und bilden die Grundlage

zum mentalen Operieren.

A) Punktesalat

Aufgabe 4:

Welche vier Punkte können zu einem Quadrat verbunden werden?3

3 Diese und alle folgenden, vom Verfasser dieser Arbeit, erstellten Grafiken wurden mit dem DGS GeoGebra erstellt und sind, falls nicht anders vermerkt, als Arbeitsblätter auf der GeoGebraTube unter dem Link: http://tube.geogebra.org/hohmann zu finden.

19

Abb. 3: Punktesalat nach Franke (2007, S. 74. Erstellt durch den Verfasser dieser Arbeit 2015)


Bei dieser Aufgabe soll der Schüler vier geeignete Punkte finden, um ein Quadrat einzeichnen

zu können. Hierfür muss der Begriff Quadrat und dessen Eigenschaften auf der Stufe des

inhaltlichen Begriffsverständnisses bekannt sein.

Die räumliche Beziehung als Subfaktor des räumlichen Vorstellungsvermögens wird bei dieser

Aufgabe in erster Linie beansprucht, indem die Fähigkeit, räumliche Beziehungen von

mehreren Objekten (in diesem Fall Punkte) zu erfassen, gefordert wird.

Um das Anforderungsniveau zu erhöhen, könnte man bspw. weitere Objekte, wie etwa ein

regelmäßiges Sechseck oder ein gleichseitiges Dreieck, suchen lassen oder weitere Punkte

hinzunehmen, welche das Suchen nach bestimmten Polygonen erschwert.

B) Kippen einer Streichholzschachtel

Aufgabe 5:

Kippe die Streichholzschachtel nach hinten, nach rechts und anschließend wieder nach

hinten.

Wie liegt die Streichholzschachtel am Ende bzw. welche Seite der Schachtel ist sichtbar?

20

Abb. 4: Kippen einer Streichholzschachtel nach Besuden (2006a, S. 32)


Diese Streichholzschachtel-Aufgabe nach Besuden (2006a, S. 32; siehe hierzu auch Radatz &

Rickmeyer 1991, S. 58; Besuden 1984, S. 63 und 68) als „Ausbildung räumlichen Denkens“

(Besuden 2006a, S. 32) leitet spielerisch eine Auseinandersetzung mit dem zu bewegenden

Objekt auf mentaler Phase ein. Der auffordernde Spielcharakter wirkt dabei unterstützend

und motiviert den Schüler zum aktiven Handeln.

Zu Beginn der Aufgabenstellung wird die oben abgebildete Grafik dem Schüler als Hilfsmittel

zur Veranschaulichung vorgelegt. Im Anschluss an die zweite Phase soll nun das Ergebnis ver-

bal dargestellt werden; es ist also die Methode der Kopfgeometrie mit Hilfsmitteln in der

Phase 1 (vgl. Tab. 3, S. 15). Denkbar wäre natürlich auch, durch verbale Formulierung der

Aufgabe das Bild der Streichholzschachtel mental zu projizieren. Man hätte nun eine reine

Kopfgeometrieaufgabe (vgl. Tab. 2, S. 14), wodurch sich das Anforderungsniveau wesentlich

anheben würde.

Während bei der Punktesalat-Aufgabe (Aufgabe 4) die Komponente der räumlichen Bezie-

hungen mehr gefordert wird, steht hier der Aspekt der mentalen Rotation, also „die Fähig-

keit, sich Rotationen von zwei- oder dreidimensionalen Objekten vorstellen zu können“ (Roth

& Wittmann 2014, S. 148) deutlich im Vordergrund.

Eine ähnliche Aufgabe, in welcher es ebenfalls um die mentale Rotation geht, stellen Royar &

Streit (2006, Kopiervorlage 7) vor. Hierbei soll ein Quader, welcher auf jeder Seite anders

gefärbt ist, nach einer vorgegebenen Reihenfolge gekippt werden. Zum Schluss soll, analog

zur Streichholzschachtel-Aufgabe, die Endposition angegeben werden.

C) Orientierungsübungen

Aufgabe 6:

Beschreibe den Weg vom Eingang des Schulgebäudes zum Klassenraum, vom Klassenraum

zum Lehrerzimmer, dann zur Turnhalle und schließlich zur Toilette.

(Radatz & Rickmeyer 1991, S. 144)

21


Aufgabe 7:

Gegeben ist ein Quadrat ABCD. A liegt unten links, B unten rechts, C oben rechts und D oben

links. Zeichne die Diagonalen AC und BD. Ein Spielwürfel gibt uns Bescheid, wie wir gehen

sollen. Folgende Ereignisse können auftreten:

1: Bewege dich nach rechts oder links zum nächsten Punkt.

2: Bewege dich nach oben oder unten zum nächsten Punkt.

3: Bewege dich auf der Diagonalen zum nächsten Punkt.

4, 5 und 6: Pause.

Wie kommt man mit einem Wurf von A nach C?

Wir beginnen in D und würfeln 1, 3, 1, 6, 2. Wo gelangen wir hin?

Wie kommen wir mit drei Würfen von A nach B? (nach Degner & Kühl 1984, S. 343)

Grundgedanke dieser beiden Übungen ist die Entwicklung und Ausbildung der räumlichen

Orientierung. Diese bezeichnet das räumlich richtige Einordnen der eigenen Person in die

Umwelt oder anders gesagt, die „Fähigkeit, den Standort der eigenen Person, also die

Perspektive, unter der etwas betrachtet wird, zu ändern“ (Roth & Wittmann 2014, S. 149;

Hervorhebung durch den Verfasser dieser Arbeit 2015).

In Aufgabe 6 wird eine Wanderung im Kopf durchgeführt. Dabei gibt es einen Startpunkt, von

welchem die Aufgabe aus startet. Die Wanderroute wird dem aktiven Schüler vom Lehrer,

oder auch von einem Partner während einer Gruppenarbeitsphase, mit Worten vorgetragen.

Die Augen des aktiven Schülers sind dabei geschlossen. Diese Aufgabenstellung ist keinesfalls

an eine schulische Umgebung gebunden, sondern ist in der Wahl der Wanderroute frei

wählbar. Denkbar wären bspw. Wanderungen auf dem Schulweg, zu Hause, im eigenen

Klassenraum oder eine bestimmte Route eines Klassenausfluges. Grundlegende

Voraussetzung ist aber, dass dem Schüler die Umgebung bereits bekannt ist, da sonst ins

Leere gewandert wird.

Die Wanderung am Kantenmodell gleicht in ihrem strukturellen Aufbau der Aufgabe 6, je-

doch ist der Hauptunterschied eine mentale Projektion eines bestimmten geometrischen Ob-

jektes, welches zuvor ebenfalls bekannt sein muss. Auch hier wird die Aufgabenstellung wie-

der verbal vorgetragen. In der aktiven Phase sind verschiedene methodische Vorgehenswei-

22


sen denkbar, die durch die Beantwortung folgender Fragen festgelegt werden: Wer führt das

Würfeln aus? Welche Hilfsmittel (Luftzeichnen) sind erlaubt? Kann diese kopfgeometrische

Aufgabe als Wiederholung, bspw. nach der Einführung des Quadrats, in der darauffolgenden

Unterrichtsstunde eingesetzt werden? Bei beiden Aufgaben bietet sich außerdem eine Kon-

trollphase an (vgl. S. 18), dabei zeichnen die Schüler ihre Wanderroute auf Papier. Wird die

jeweilige Aufgabe vom Lehrer der ganzen Klasse vorgetragen, können am Ende dieser vierten

Phase die Ergebnisse gesammelt und im Klassengespräch überprüft und diskutiert werden.

Eine weitere Orientierungsübung, die allerdings deutlich schwieriger ist und deshalb erst ab

der Mittelstufe zu empfehlen ist, stellt der Irrgarten dar. Diese Aufgabe, welche im besonde-

rem Maße die Fähigkeit der räumlichen Orientierung beansprucht, schlägt Fahse (2015,

S. 32ff.) unter anderem als vorbereitende Kopfgeometrieübung für das Erkunden Archimedi-

scher Körper über den Bau der Ecken, das erst ab der 9. Jahrgangsstufe aufgegriffen werden

sollte, vor.

D) Würfelschnitte

Aufgabe 8:

Schneide einen Kartoffelwürfel (Abb. 5) mit einem geraden Schnitt in zwei beliebige Teile.

Welche Formen treten als Schnittflächen auf? (Radatz & Rickmeyer 1991, S. 53)

23

Abb. 5: Würfelschnitt nach Breidenbach (1966, S. 74; Abbildung aus Radatz & Rickmeyer 1991, S. 53)


Aufgabe 9:

Welche Formen können hergestellt werden, wenn man ein quadratisches Stück Papier nur

mit einem geraden Schnitt zerteilen darf? (Trill-Zimmermann 2014)

Charakteristische Eigenschaft und zugleich auch Grundvoraussetzung für die erfolgreiche Be-

arbeitung dieser zwei kopfgeometrischen Aufgaben ist die zur Bearbeitung benötigte „Fähig-

keit, sich gedanklich Aktivitäten wie […] Schneiden von räumlichen Objekten oder Objekttei-

len vorstellen zu können“ (Roth & Wittmann 2014, S. 148). Hiermit ist die Fähigkeit der Ver-

anschaulichung gemeint, welche, als weitere Teilkomponente des räumlichen Vorstellungs-

vermögens, bereits oben genannt wurde.

Trill-Zimmermann spricht in ihrer Aufgabe, in der ein Stück Papier mit einem Schnitt zerteilt

werden soll, das zweidimensionale Denken an. Die vier möglichen Ereignisse, die auftreten

können, setzen sich aus den drei klassischen, zweidimensionalen Objekten (Dreieck, Viereck

und Fünfeck) zusammen. Dabei können folgende Ergebnisse auftreten:

Zwei Vierecke beim Schnitt von einer Seite zur gegenüberliegenden Seite (1), zwei

(kongruente) Dreiecke, wenn von einer Ecke zur gegenüberliegenden Ecke geschnitten wird

(2), ein Dreieck und ein Viereck beim Schnitt von einer Seite zur einer Ecke (3) und wird der

Schnitt von einer Seite zur benachbarten Seite durchgeführt, werden ein Dreieck und ein

Fünfeck entstehen (4). Diese Aufgabe benutzt in keiner ihrer Phasen unterstützende

Hilfsmittel, weshalb sie auch als eine reine Kopfgeometrieaufgabe angesehen werden kann.

Jedoch bietet sich in der Phase der Aufgabenstellung eine Darstellung durch die Lehrkraft an,

welche die konkreten Materialien vor der Klasse hochhält, um die Ausgangssituation zu

veranschaulichen bzw. die verbale Aufgabenstellung zu unterstützen. Um die Schwierigkeit zu

erhöhen, kann bspw. ein weiterer Schnitt eingefügt werden oder das quadratische Papier

wird durch ein fünf- oder dreieckiges ersetzt. Auch eine Kontrollphase lässt sich an die

Präsentationsphase anschließen, in der eine Überprüfung der gezeichneten Ergebnisse im

Plenum wesentlich ist.

Während sich Trill-Zimmermann in der Ebene befindet, gehen Radatz & Rickmeyer über in

das dreidimensionale Denken. Das methodische Vorgehen kann bei dem Kartoffelwürfel

analog zur Ebene beschrieben werden. Sowohl die visuelle Unterstützung durch den Lehrer,

24


als auch die Erhöhung der Schwierigkeit durch Verwenden geeigneter anderer Körper ist bei

dieser Aufgabe ohne Weiteres denkbar. Allerdings muss hier davon abgesehen werden,

dreidimensionale Aufgaben zu Beginn der Sekundarstufe I zu stellen, da die dafür benötigten

Voraussetzungen zum Operieren im Raum noch nicht bei allen Schülern vorhandenen sind.

Eine Kontrollphase wäre an dieser Stelle nicht sinnvoll, da in dieser Jahrgangsstufe mit hoher

Wahrscheinlichkeit nicht alle Schüler über die Fähigkeit verfügen, ihre dreidimensionalen

Vorstellungen auf eine zweidimensionale Ebene, also das Papier, zu übertragen bzw. diese

mit einem Stift zu zeichnen.

Neben dem Schneiden gehören noch zwei weitere Aktivitäten, das Verschieben und das Fal-

ten, zur Fähigkeit der Veranschaulichung von räumlichen Objekten bzw. Objektteilen (Roth &

Wittmann 2014, S. 148). Aufgaben zum Falten und Schneiden (Brenninger 2007, zit. nach

Brandl 2010b; Maier 1996; Radatz & Rickmeyer 1991), bei denen ein Stück Papier nach ein-

oder mehrmaligem Falten geschnitten wird und im Anschluss gefragt wird, welche Scheren-

schnitte entstehen, fördern ebenfalls die Fähigkeit der Veranschaulichung. Auch das Zuord-

nen von Körpernetzen zu gegebenen Schrägbildern (Vohns 2007, zit. nach Brandl 2010b; Ra-

datz & Rickmeyer 1991; Besuden 1984) reiht sich in die Aufgabenvariationen dieses Subfak-

tors mit ein.

3.2 Stufe 2 – Gymnasiale Mittelstufe

Aufbauend auf der Kopfgeometrie der Stufe 1 sollen im nachfolgenden Abschnitt weitere

kopfgeometrische Übungen vorgestellt werden, welche deutlich mehr Erfahrungen und Fä-

higkeiten voraussetzen. Hierzu gehört, im Gegensatz zur Stufe 1, vor allem das dreidimensio-

nale Denken und Operieren mit Körpern im Raum. Während in den vorangegangenen kopf-

geometrischen Aufgaben stets nur eine Teilkomponente beansprucht wurde, können auf die-

ser Stufe gleich mehrere zur Bearbeitung einer Aufgabe unabdingbar sein, wie die folgende

Aufgabe aufzeigt:

25


A) Würfelschnitte im Raum

Aufgabe 10:

Ist die Deckfläche der geschnittenen Würfel (Abb. 6) mit einem geraden Schnitt zu erzeugen?

Welche Form hat diese Deckfläche? (Maier 1996, S. 281)

Anknüpfend an die Würfelschnitt-Aufgabe von Breidenbach (1966) wird hier ebenfalls der

Faktor der Veranschaulichung angesprochen, da die Aktivität des Schneidens wieder mental

projiziert werden muss. Aber auch die Fähigkeit der mentalen Rotation bzw. der räumlichen

Orientierung kann hier von Vorteil sein, um das zerschnittene Objekt mental zu drehen

(move objekt) bzw. den eigenen Standpunkt um das Objekt zu variieren (move self). Beide

Bearbeitungsstrategien (nach Maresch 2013, S. 4) sind denkbar und können gleichermaßen

zum Erfolg führen. Auf welche Bearbeitungsstrategie der Schüler zurückgreift, hängt von ver-

schiedenen Parametern, bspw. vom Schwierigkeitsgrad und der Komplexität der Aufgabe, ab,

die Maresch (ebd. S. 5) in seinem Aufsatz beschreibt.

Während diese Aufgabenstellung von einer Abbildung zur Veranschaulichung abhängt, be-

schreibt Besuden (2006b, S. 52ff.) einen Weg, wieder auf die reine Kopfgeometrie zurückzu-

greifen, indem er sowohl den Körper als auch die Schnitte mental projizieren lässt:

26

Abb. 6: Würfelschnitte nach Maier (1996, S. 281)


Aufgabe 11:

1) Denkt euch vom Quader ein Teilstück so abgeschnitten, dass als Schnittfigur ein

gleichschenkliges Dreieck entsteht. Spannt ein Gummiband entsprechend dort herum.

2) Verändert das gleichschenklige Dreieck so, dass es gleichseitig wird. Wie liegen jetzt die

drei Ecken auf den Kanten des Quaders? Kann hierbei auch ein rechtwinkliges Dreieck

entstehen?

3) Zieht die Spitze des Dreiecks herunter bis über die Ecke des Quaders. Wie heißt die dabei

entstehende Schnittfigur? Kann so auch ein Rechteck entstehen?

4) Markiert einen rechteckigen Schnitt am Quader, bei dem man das Gummiband nicht mit

den Händen festhalten braucht.

5) Spannt einen quadratischen Schnitt. Verändert den Schnitt zu einer Raute. Kann man den

Schnitt auch so verändern, dass eine Drachenfigur entsteht?

6) Macht aus dem rautenförmigen Schnitt ein Parallelogramm.

7) Macht aus dem rautenförmigen Schnitt ein Fünfeck.

8) Verändert den fünfeckigen Schnitt zu einem Sechseck. (nach Besuden 2006b, S. 52ff.)

Bei dieser Aufgabe über ebene Schnitte am Quader wird schnell klar, wieso sie als Aufgabe in

der gymnasialen Mittelstufe einzuordnen ist. Neben der Fähigkeit der Veranschaulichung und

der mentalen Rotation wird zudem Wissen über die entsprechenden Körper und deren Ei-

genschaften, vorausgesetzt. Auch die zeitliche Länge der Aufgabe erfordert über einen länge-

ren Zeitraum eine ruhige Arbeitsatmosphäre und eine ununterbrochene Aufmerksamkeit so-

wohl von den Schülern, als auch von der Lehrkraft, welche die Aufgabe vorliest.

Denkbar wäre außerdem, in der Präsentationsphase bestimmte Netze der Körper zeichnen

zu lassen und die durchzuführenden Schnitte farblich zu markieren. In einer anschließenden

Kontrollphase könnten dann die Ergebnisse geprüft oder anhand konkreter Materialien

(Körper und Gummibänder) verifiziert werden. Besuden betont hierbei aber, dass eine

„Übertragung in die Zeichenebene […] die oder der Unterrichtende entscheiden [muss]“

(Besuden 2006b, S. 52). Ein Einsatz von Zeichnungen in der Präsentationsphase ist also stark

von der jeweiligen Lerngruppe abhängig.

27


Besuden stellt zudem weitere Aufgabenstellungen, wie ebene Schnitte am Dreikantenprisma,

horizontale Schnitte am Würfel, der auf einer Ecke steht oder ebene Schnitte an gewölbten

Körpern vor (Besuden 2006b, S. 54). Diese unterscheiden sich sowohl in ihrem Anforderungs-

niveau, als auch in den dafür benötigten Voraussetzungen und Fähigkeiten von der Quader-

Aufgabe (vgl. S. 27).

Aufgabe 12:

Ein Würfel sei so auf einer Kante gestellt, dass eine

Raumdiagonale senkrecht zur Unterlage steht.

Nun wird der Würfel auf halber Höhe parallel zur

Unterlage durchgeschnitten.

Welche Schnittfigur ergibt sich?4

(Hammer 2011, S. 27; Weber 2010, S. 76-80)

Auch diese Aufgabe greift in erster Linie den Aspekt des mentalen Schneidens als eine Fähig-

keit der Veranschaulichung auf. Außerdem können weitere Teilkomponenten des räumlichen

Vorstellungsvermögens ebenfalls am Lösungsprozess der Aufgabe beteiligt sein. Um sich

einen optimalen Überblick über die einzelnen Objektteile zu verschaffen, kann es von Vorteil

sein, den Würfel in eine für sich geeignetere Position rotieren zu lassen, oder aber auch sich

selbst um den Würfel neu zu positionieren – etwa um einen Blick von oben auf den Würfel zu

bekommen und so die einzelnen Schneideprozesse zu verfolgen. Zudem spielt die Fähigkeit,

sich räumliche Beziehungen der Objektteile, wie bspw. die Relation einzelner Strecken oder

Punkte zueinander, vorzustellen und mit diesen mental zu operieren, eine wichtige Rolle.

Neben der mentalen Vorstellungsfähigkeit haben weitere Faktoren, wie „geometrisches und

logisches Wissen“ (Hammer 2011, S. 27), eine entscheidende Relevanz im Lösungsprozess.

4 Diese Grafik ist lediglich als Abbildung zur Veranschaulichung – nicht als Arbeitsblatt – auf der GeoGebraTube unter dem Link: http://tube.geogebra.org/m/1597043 zu finden.

28

Abb. 7: Schnittfigur am Würfel auf einer Ecke nach Hammer (2011, S. 27); Erstellt durch den

Verfasser dieser Arbeit (2015)


Wie in der kopfgeometrischen Aufgabe von Besuden (vgl. S. 27) ist es auch hier möglich, die

gesamte Aufgabe auf mentaler Ebene, ohne darstellende Hilfsmittel in der ersten Phase, be-

arbeiten zu lassen. Je nach Lerngruppe kann ein Zeichnen des Ergebnisses als Hilfsmittel in

der Präsentationsphase ebenfalls angeboten werden, welches wiederum in einer Kontroll-

phase im Plenum überprüft werden kann. Verschiedene Problemlösestrategien (Maresch

2013) können im Anschluss besprochen und hinsichtlich ihrer Effektivität diskutiert werden.

Aufgabe 13:

Einem Würfel werden alle Ecken abgeschnitten.

Wie viele Ecken hat das neue Gebilde? (Streit & Pinkernell 2011, S. 5)

Auch hier ist wieder eine Rotation des Objektes bzw. des eigenen Standpunktes zur Lösung

der Aufgabe sinnvoll, um sich gegebenenfalls einen optimalen Überblick über die im Kopf

durchgeführten Operationen zu machen. Streit & Pinkernell (2011, S. 5) betonen zudem:

„Wer sich einen Würfel vorstellen und diesen im Kopf verändern kann, bringt die

notwendigen Voraussetzungen zur Bearbeitung dieser Aufgabe mit.“ Das Wissen über

Symmetrieeigenschaften des Würfels kann als unabdingbare Voraussetzung in diesem

Lösungsprozess genannt werden.

Die Autoren bemerken in ihrem Werk außerdem, dass unterschiedliche Ergebnisse auftreten

können. Diese sind abhängig von der Tiefe des Einschnittes. Die Möglichkeit der verschiede-

nen Lösungen, je nach Aktivität in der zweiten Phase, kann Grundlage zu einer Diskussion in

der Klasse sein und zu weiteren Fragen und/oder Untersuchungen führen.

29


B) Polyedernetze

Aufgabe 14:

Unten siehst du ein Netz eines Polyeders.

Welcher Polyeder entsteht, wenn du das Netz zusammensetzt?

Wie viele Ecken und Flächen hat dieser Polyeder? (nach Berendonk 2014, S. 10)

Würfelnetze, Quadernetze und das Netz einer Pyramide werden bereits in der Orientierungs-

stufe kennengelernt und zu Beginn der Mittelstufe weiter vertieft. Dabei wird sowohl das

Auffalten eines Körpers in sein Netz, als auch die umgekehrte Richtung, wobei eine Zuord-

nung vom Netz zu dem dazugehörenden Körper stattfindet, thematisiert.

Auch diese Aufgabe greift Letzteres auf, bei welcher der Schüler das Polyedernetz vor sich

sieht und auf mentaler Ebene den Körper zusammensetzen muss.

Offensichtlich kann diese Aufgabe nicht dem Aufgabentyp der reinen Kopfgeometrie zuge-

ordnet werden, da die abgebildete Grafik in der Phase der Aufgabenstellung als bildhafte Un-

terstützung eingesetzt wird. Während in der zweiten Phase der Schüler anhand des Netzes

den Körper mental projiziert, kann in der Präsentationsphase das Ergebnis, welcher Polyeder

entsteht, durch eine mündliche Mitteilung stattfinden. Soll das Ergebnis auf einer zeichneri-

schen Ebene präsentiert werden, kann zu Beginn eine weitere Frage, bspw.: „Kannst du den

Polyeder skizzieren?“, im Mittelpunkt stehen. Die so entstandenen Zeichnungen können mit

den Ergebnissen aus der zweiten Frage der Aufgabe in einem Klassengespräch diskutiert und

miteinander verknüpft werden. Mithilfe weiterer Anschlussfragen zu anderen Polyedern,

30

Abb. 8: Polyedernetz nach Berendonk (2014, S. 10)


deren Ecken-, Kanten- und Flächenanzahl, kann der Eulersche Polyedersatz mit der Klasse er-

arbeitet werden.

Neben der Fähigkeit, sich das Polyedernetz auf mentaler Ebene veranschaulichen zu können,

werden für die Bearbeitung dieser Aufgabe, welche Berendonk ab der 9. Klassenstufe

empfiehlt, weitere benötigt. Vor allem das mentale Rotieren des Netzes bzw. der einzelnen

Objektteile spielt eine große und wichtige Rolle, ebenso wie die Fähigkeit, räumliche

Beziehungen einzelner Objektteile gedanklich zu erfassen, um so den Polyeder korrekt zu

konstruieren.

C) Entartungen am Quadrat

Aufgabe 15:

Stelle dir ein Quadrat ABCD vor. Was für

Figuren entstehen, wenn du den Punkt C

des Quadrates wie folgt bewegst:

1) längs einer Quadratseite zur

Nachbarecke,

2) auf die Nachbarecke zu,

3) auf der Diagonalen, auf welcher der

Punkt C liegt, in Richtung des

Mittelpunktes des Quadrats,

4) soweit, dass der Punkt C auf M liegt?

(nach Vogler 1967, S. 53)

31

Abb. 9: Entartungen am Quadrat nach Vogler (1967, S. 53; Erstellt durch den Verfasser dieser Arbeit 2015)


Aufgabe 16:

Stelle dir ein Quadrat ABCD vor. Was für Figuren entstehen, wenn du die gegenüberliegenden

Punkte A und C des Quadrates wie folgt bewegst:

1) auf ihrer Diagonalen um die gleiche (ungleiche) Strecke nach außen,

2) auf ihrer Diagonalen um die gleiche (ungleiche) Strecke nach innen,

3) auf zwei Gegenseiten in gleicher (entgegengesetzter) Richtung um gleiche Strecken,

4) auf zwei Gegenseiten in gleicher (entgegengesetzter) Richtung um ungleiche Strecken,

5) auf zwei Nachbarseiten um gleiche (ungleiche) Strecken aufeinander zu?

6) Welche Sonderfälle sind bei den jeweiligen Aufgaben möglich? (nach Vogler 1967, S. 53)

Wie bereits oben dargelegt, besitzt das Verschieben als eine Aktivität der Veranschaulichung

eine ebenso bedeutsame Relevanz. Diese beiden Aufgaben (Abb. 9 und Abb. 10) sollen auf

diesen Aspekt etwas genauer eingehen.

Grundgedanke (in Anlehnung an Roth 2006) dieser Aufgaben ist das Verschieben eines Punk-

tes bzw. zweier gegenüberliegender Punkte an einem Quadrat auf vorgegebenen Wegen, wo-

bei, mittels eines DGS (hier: GeoGebra), verschiedene Grundvorstellungen zu geometrischen

Begriffen und Sachverhalten entwickelt oder genutzt werden, um diese zu vertiefen bzw. zu

verfestigen (Roth 2011, S. 29). Sowohl Abb. 9 als auch Abb. 10 wurden mithilfe von GeoGe-

32

Abb. 10: Entartungen am Quadrat nach Vogler (1967, S. 53; Erstellt durch den Verfasser dieser Arbeit 2015)


bra erstellt und mit den jeweiligen Aufgabenstellungen als dynamische Arbeitsblätter auf die

GeoGebraTube hochgeladen. Diese Abbildungen könnten mögliche Vorstellungsbilder der

Schüler sein, die während des verbalen Vortragens im Kopf entstehen und mit denen mental

operiert werden muss. Die Schüler haben zudem die Möglichkeit, zu einem späterem Zeit-

punkt auf diese Arbeitsblätter zurückzugreifen, da diese auf der GeoGebraTube frei zugäng-

lich sind und mit ihnen eigenständig gearbeitet werden kann. Dieses Aufgabenformat orien-

tiert sich auf der einen Seite an Roth (2006), welcher eine solche kopfgeometrische Aufgabe

anhand der Dreiecksgrundformen5 beschreibt, auf der anderen Seite an der von Vogler

(1967) vorgestellten, zahlreichen geometrischen (Kopf-)Aufgaben.

Sowohl Aufgabe 1, als auch Aufgabe 2 sind dabei als reine Kopfgeometrieaufgaben ohne

Hilfsmittel in einer Phase zu lösen. Um bewegliches Denken zu trainieren bzw. zu fördern und

für einen möglichst reibungslosen Lernprozess müssen allerdings bestimmte Grundvorstel-

lungen zu verschiedenen Vierecken (Quadrat, Rechteck, Raute, Trapez und Drachen) oder

aber auch zu anderen geometrischen Objekten (Dreieck) bereits von den Schülern aufgebaut

worden sein.

Die Abbildungen können jedoch zusätzlich als bildhafte Unterstützung der Aufgabenstellung

in der ersten Phase durch den Lehrer und/oder als Hilfsmittel in der Präsentationsphase

dienen. Wird das DGS zur Erläuterung der Ergebnisse in dieser dritten Phase herangezogen,

bietet es sich an, in einem Klassengespräch die verschiedenen Ergebnisse, bspw. mittels

digitalem Whiteboard, zu diskutieren. Davor kann eine kurze Austauschphase mit

Partnerarbeit, in welcher sich zwei Schüler ihre Ergebnisse mit oder ohne Zuhilfenahme von

Hilfsmitteln vortragen, eingeschoben werden oder es wird direkt nach der zweiten Phase mit

einem Klassengespräch begonnen.

Ein besonders wichtiger Aspekt, den Roth (2006) anspricht, ist das Prinzip des operativen,

entdeckenden und produktiven Übens, welcher sich durch die Verwendung eines DGS

anbietet. Denkbar wäre bspw. eine anfangs verbal gestellte Aufgabe, welche nicht alle der in

Aufgabe 15 bzw. Aufgabe 16 (vgl. S. 31 bzw. S. 32) abgebildeten Fragen enthält. Eine solche

Übung soll nun mithilfe der klassischen Kopfgeometrie gelöst und im Anschluss auf verbaler

5 Entsprechendes Material lässt sich auf http://www.juergen-roth.de/dynageo/dreiecksgrundformen/ einsehen. Zugriff am 23. September 2015.

33


Ebene präsentiert werden. Im weiteren Verlauf kann eine schülerzentrierte Übungsphase

stattfinden, in welcher die Schüler sich eigenständig mit weiteren Aufgabenstellungen

auseinander setzen. Diese Phase „soll sie dabei unterstützen, den Umfang dieser Begriffe

sowie deren gegenseitige Beziehungen zu erfassen und die Fähigkeit auszubilden, bei

Problemlösungen flexibel mit ihnen zu arbeiten“ (Roth 2006, S. 1).

D) Körperdrehungen

Aufgabe 17:

Der obere Körper besteht aus fünf Würfel. Dieser Körper wird gedreht.

Welcher der unten abgebildeten Körper kann sich ergeben?6 (ISB 2004)

Diese Aufgabe, welche auch Hammer (2011, S. 25) in seinem Artikel über Aufgabenideen zur

Kopfgeometrie erwähnt und sich dabei zu einer Verbreitung solcher Aufgaben in der Schule

äußert, thematisiert weniger den in den vorangegangenen Aufgaben genannten Subfaktor

der Veranschaulichung. Ausschlaggebend bei dieser Aufgabe ist die Fähigkeit der mentalen

Rotation. Aber auch die Anordnung und Position der einzelnen Würfel gilt es räumlich zu

erfassen bzw. es besteht ebenfalls die Möglichkeit, die Strategie move self anzuwenden, sich

also um die oben abgebildeten Körper zu bewegen und diese von außen zu betrachten. Für

den Lösungsprozess können also ebenso Fähigkeiten der räumlichen Beziehungen bzw. der

6 In Anlehnung an den Bayerischen Mathematiktest für die Jahrgangsstufe 8 oder Gymnasien (BMT8 2004). Aufgabengruppe (A).

34

Abb. 11: Körperdrehungen nach ISB 2004 – Aufgabengruppe A (S. 1)


räumlichen Orientierung von Vorteil sein und positiv auf die Bearbeitung der Aufgabe

einwirken.

Grundgedanke dieser einfachen Aufgabe zur mentalen Rotation von Körpern, wie Hammer

(2011) sie beschreibt, ist es, die vier übrigen Körper mental rotieren zu lassen, sodass sie mit

dem Ausgangskörper übereinstimmen. Dabei muss darauf geachtet werden, dass der Körper

selbst nicht verändert wird, bspw. durch eine Positionsveränderung der einzelnen Würfel.

Diese Aufgabe lässt sich offensichtlich nicht ohne Hilfsmittel in der ersten Phase bewältigen,

da die jeweiligen Körper präsentiert und während der zweiten Phase stets betrachtet werden

müssen. Ein Anzeigen und Erläutern des Ergebnisses auf der Grafik ist in der letzten Phase

möglich. Hier bietet es sich vor allem an, den Schüler erklären zu lassen, wieso die übrigen

Körper nicht zum Ausgangskörper passen und mit welcher Strategie er zu diesem Ergebnis

gelangte.

Aufgabe 18:

Welchen Würfel erhältst du durch Drehen des Hauptwürfels? (Nydegger 2015, S. 45)

Wie in Aufgabe 17 ist der Grundgedanke wieder das Rotieren von Körpern auf mentaler Ebe-

ne. Hierbei sollen die abgebildeten Würfel so gedreht werden, dass sie nach Möglichkeit mit

dem Hauptwürfel sowohl in den abgebildeten Buchstaben, als auch in deren Anordnung

übereinstimmen.

Nydegger (2015) schlägt in ihrer Unterrichtsgestaltung zu Drehungen vor, dass jeder Schüler

zu Beginn einen Holzwürfel erhält, den es dann gilt, entsprechend einer Vorlage des

Hauptwürfels, zu beschriften. Diesem Vorschlag soll sich hier angeschlossen werden, da

35

Abb. 12: Drehen zum Hauptwürfel nach Nydegger (2015, S. 45)


zuvor eine aktive Auseinandersetzung auf einer händischen Ebene mit dem Würfel und

dessen Anordnungen der Buchstaben stattfinden kann. Im nächsten Schritt wird den

Schülern dann die oben abgebildete Grafik mit der entsprechenden Fragestellung ausgeteilt.

Während Nydegger ihren Schülern die Möglichkeit gibt, die Würfel während der zweiten

Phase in der Hand zu halten, empfiehlt der Verfasser dieser Arbeit einen anderen

methodischen Weg. Um eine möglichst hilfsmittelfreie zweite Phase zu erhalten, soll der

beschriftete Würfel auf dem Tisch entsprechend der ausgeteilten Abbildung vor dem Schüler

fest platziert werden.

Auch Maier (1999a, S. 64) stellt eine solche Würfeltest-Aufgabe (Abb. 13) vor. Diese

unterscheidet sich von Nydeggers Übung nur darin, dass sie Buchstaben vorgibt. Maier

hingegen verwendet keine Buchstaben, sondern benutzt einfache, geometrische Formen wie

Punkte, Striche, Pfeile und Vierecke. Während auf einer Seite des Würfels nur ein Buchstabe,

also ein Merkmal, zu beachten ist (Nydegger), befinden sich bei Maier mehrere dieser

Merkmale auf einer Würfelfläche, wodurch der Schwierigkeitsgrad erhöht wird, da gleich

mehrere Konfigurationen in Beziehung gebracht werden müssen.

Durch mentale Operationen, wie das Erfassen räumlicher Konfigurationen (räumliche Bezie-

hungen) der Würfel, Rotation der Würfel (move object) oder der eigenen Orientierung im

Raum (move self), ohne Zuhilfenahme des Würfels oder der Hände, wird schließlich ein Er-

gebnis generiert. Dieses und die „verschiedenen Vorgehensweisen werden im Plenum vergli-

chen und diskutiert“ (Nydegger 2015, S. 45). Dabei können verschiedene Bearbeitungsstrate-

36

Abb. 13: Würfeltest nach Maier (1999a, S. 64)


gien (Maresch 2013) aufgegriffen und hinsichtlich ihrer Effektivität besprochen werden.

Denkbar wären Fragen, ob der gesamte Würfel mit dem Hauptwürfel (whole approach) ver-

glichen wurde, oder bspw. die Anordnung der jeweiligen Buchstaben miteinander (part ap-

proach). Auch Fragen nach verifizierenden oder falsifizierenden Strategien im Lösungsprozess

können in einem Klassengespräch im Mittelpunkt stehen.

Aufgabe 19:

Welche der acht abgebildeten Teile lassen sich zu einem ganzen Würfel zusammensetzen?

(Maier 1996, S. 282)

Diese Aufgabe soll, wie vorangegangene Aufgaben zur Rotation, ebenfalls die Fähigkeit för-

dern, sich Bewegungen und Drehungen an zwei- und dreidimensionalen Körpern vorstellen

bzw. mit diesen im Kopf operieren zu können.

Während in Aufgabe 18 lediglich der jeweilige Körper mental rotiert und mit dem Hauptwür-

fel auf eine entsprechende Gemeinsamkeit überprüft werden sollte, müssen in diesem Fall

gleich zwei Aktivitäten vor einem Vergleich stattfinden. Zu Beginn sucht sich der Schüler

einen der oben abgebildeten Würfelteile aus. Eine auf visuellen Wahrnehmungen basierende

37

Abb. 14: Würfelpuzzle nach Maier (1996, S. 282)


Projektion muss, ebenso wie die Oberfläche des Würfelteils, im Kopf vorhanden und als be-

wegbares Objekt abgespeichert sein. Ist dieser erste Schritt abgeschlossen, wird ein zweites

Würfelteil betrachtet. Auch für dieses schließt sich ein analoger Vorgang an. Erst wenn beide

Teile abgespeichert sind, kann ein Vergleich und eine Überprüfung auf ihre Zusammensetz-

barkeit stattfinden. Hierbei spielt vor allem die Fähigkeit der mentalen Rotation eine große

Rolle, aber auch räumliche Beziehungen der jeweiligen Teile müssen erfasst werden.

Bei dieser Aufgabe wird schnell klar, dass sie deutlich komplexer als bisherige kopfgeometri-

sche Übungen zu Rotationen sind, weshalb sie Maier (1996, S. 282) nicht umsonst als eine

knifflige Aufgabe beschreibt.

Als kopfgeometrische Aufgabe ist sie vor allem an eine bildhafte Unterstützung in der Phase

der Aufgabenstellung gebunden, in welcher die Schüler die Würfelteile betrachten. Auch in

der Präsentationsphase sollte ein Hilfsmittel für eine Erläuterung der Lösung zur Verfügung

stehen. Der Schüler sollte zudem aufgefordert werden, nicht nur zu erklären, wieso zwei ge-

nannte Teile zueinander passen, sondern auch begründen können, wieso andere diese Anfor-

derungen nicht erfüllen. An dieser Stelle bietet sich zudem wieder die Möglichkeit, in einem

Klassengespräch angewandte Bearbeitungsstrategien (Maresch 2013, S. 3f.) zu besprechen.

Hier könnte vor allem die holistische Strategie (whole approah) bzw. die analytische Strategie

(part approah) aufgegriffen werden.

E) Beziehungen am Körper

Aufgabe 20:

Man stelle sich in der Grundfläche eines Würfels eine Diagonale und in seiner Deckfläche eine

zweite Diagonale vor, die zur ersten windschief verläuft.

Was für ein Körper entsteht, wenn man jeden Eckpunkt der einen Diagonalen mit den beiden

Endpunkten der anderen Diagonalen verbindet? (nach Gimpel 1992, S. 262)

Aufgabe 21:

Was für ein Körper entsteht, wenn man die Mittelpunkte der Seitenfläche eines Tetraeders

miteinander verbindet? (nach Gimpel 1992, S. 262)

38


„Qualifikationen räumlicher Beziehungen […] bestehen im Erfassen räumlicher Konfiguratio-

nen zwischen mehreren Objekten oder Objektteilen“ (Maier 1999b, S. 12). Dieser Subfaktor

ist Grundgedanke dieser Aufgaben, in welchen es darum geht, Veränderungen an einem Kör-

per „statischer Natur“ (Maier 1999a, S. 38) vorzunehmen. Im Gegensatz zu den vorangegan-

genen Aufgaben steht hier nicht das Vorstellen von Bewegungen im Vordergrund, sondern

vielmehr das richtige Erfassen von „räumlichen Beziehungen zwischen selbst unbewegten

Gegenständen“ (Pawlik 1976, zit. nach Maier 1999a, S. 38), nachdem bereits eine Bewegung

oder Veränderung am Objekt vorgenommen wurde.

In diesen Aufgaben geht es zuerst darum, sich einen Körper und die gegebenen Strecken bzw.

Punkte vorzustellen. Im weiteren Verlauf werden nun Veränderungen an diesen Körpern

vorgenommen, was dazu führt, dass neue Objekte oder Körper entstehen, welche es nun gilt,

zu präsentieren. Voraussetzung für ein erfolgreiches Bearbeiten dieser Aufgaben ist vor allem

das Wissen über die auftretenden Körper (Würfel, Tetraeder) sowie deren Eigenschaften.

Diese Übungen reihen sich in die Gruppe der reinen Kopfgeometrie ein, da sowohl in der

Phase der Aufgabenstellung, welche verbal durch den Lehrer oder durch einen Partner

mitgeteilt werden kann, als auch in der Präsentationsphase keine Hilfsmittel oder unterstüt-

zende Abbildungen erlaubt sind.

Sollten dennoch Schwierigkeiten im Lösungsprozess auftreten, besteht die Möglichkeit, in

der ersten Phase eine selbst erstellte Skizze zur Veranschaulichung zu erlauben. Denkbar

wäre auch eine Partnerarbeit als Präsentationsphase, in der eine Erläuterung der Ergebnisse,

bspw. dem Banknachbarn, entweder anhand einer Zeichnung, verbal und/oder mit Gestik,

wesentlich ist. Eine nachgestellte Kontrollphase in einem Klassengespräch könnte Anlass für

weitere Fragen sein oder als Überleitung zu weiteren Körpern dienen.

39


F) 3-Tafelbilder

Aufgabe 22:

Betrachte die verschiedenen Bilder in Abb. 15.

Können solche Körper existieren und wenn ja, kannst du ihre Form beschreiben?

(nach Maier 1996, S. 282)

Diese Aufgabe, welche sich an der darstellenden Geometrie, also dem Verfahren der Geome-

trie, dreidimensionale Objekte aus dem Raum auf eine zweidimensionale Ebene zu projizie-

ren, orientiert, fordert von den Schülern sehr stark das räumliche Vorstellungsvermögen. Vor

allem die beiden Subfaktoren Veranschaulichung und räumliche Beziehungen werden in be-

sonderem Maße beansprucht (Maier 1999a, S. 167).

Grundgedanke besteht hierin, die oben abgebildeten 3-Tafelbilder zu betrachten – es ist also

ein unterstützendes Hilfsmittel zur Veranschaulichung notwendig –, sie im Kopf zu projizieren

und schließlich herauszufinden, ob und wie ein reales Objekt darstellbar ist. Dazu muss aller-

dings zuerst bekannt sein, welche der verschiedenen Ansichten welcher Perspektive zuzuord-

nen ist (links oben: Vorderansicht oder Frontalperspektive; rechts oben: Seitenansicht; links

unten: Draufsicht).

40

Abb. 15: 3-Tafelbilder nach Maier (1996, S. 282)


Sind diese Voraussetzungen gegeben, wird mithilfe der abgebildeten zweidimensionalen Flä-

chen versucht, mental ein dreidimensionales Gebilde zu erzeugen, welches die Anforderun-

gen aller drei Perspektiven erfüllt.

Neben der oben genannten Subfaktoren spielen beim mentalen Operieren ebenso die

Fähigkeit der mentalen Rotation und der räumlichen Orientierung im Bearbeitungsprozess

eine nicht zu verachtende Rolle. Durch Rotieren des Körpers kann überprüft werden, ob die

entsprechenden Flächen den geforderten Schatten werfen und durch Wechseln des eigenen

Standpunktes wird schlussendlich das Ergebnis aus den verschiedenen Perspektiven

betrachtet, überprüft und korrigiert.

Da die Aufgabenstellung auch explizit danach fragt, ob es möglich ist, eine solche Form zu

beschreiben, wäre es zudem denkbar, im Anschluss eine Präsentationsphase anzustellen, in

der die Schüler ihre Ergebnisse zeichnerisch darstellen und erläutern können.

Aufgabe 23:

A) Typ Problemlösen – Schattenbilder eines Körpers [S. 65]7

1) Stellen Sie sich einen Tisch vor, der in einer Zimmerecke steht. Darüber schwebt eine große

Kugel. Diese Kugel wird von sehr weit oben mit einer hellen Lampe beleuchtet.

Wie sieht das nach unten auf den Tisch geworfene Schattenbild der Kugel aus und welche

Form hat es?

2) Bearbeiten Sie nun die Kugel, und zwar wie folgt: Nach unten soll immer noch derselbe

Schatten geworfen werden. Neu soll jedoch bei der Beleuchtung von der Seite ein

quadratischer Schatten auf die Wand neben dem Tisch geworfen werden.

Wie muss die Kugel dazu bearbeitet werden?

3) Ist es möglich, die Form weiterzubearbeiten, sodass der entstehende Körper einen

dreieckigen Schatten nach hinten wirft, wenn er von vorne beleuchtet wird?

4) Was haben Sie sich im Laufe der Vorstellungsübung vorgestellt?

(Weber 2010, S. 151f.)

7 Aufgrund der Textlänge dieser mathematischen Vorstellungsübungen wurde bei den nachfolgenden Aufgaben auf eine zitierte Darstellung verzichtet. Diese sind im Anhang dieser Arbeit auf den jeweils in eckigen Klammern stehenden Seiten zu finden.

41


Auffallend ist hier, dass sich diese Aufgabe sowohl in ihrer Fragestellung, als auch von dem,

was im Kopf projiziert wird, von den bisherigen kopfgeometrischen Aufgaben deutlich unter-

scheiden. Trotz des sehr ähnlichen strukturellen Aufbaus (Minimal- und Luxusvariante in

Weber 2010, S. 28-32) und der vielen Gemeinsamkeiten – wie die mentale Projektion von Bil-

dern und Objekten, die Rotation des Objektes bzw. Variation des eigenen Standpunktes, das

Erfassen von räumlichen Konfigurationen und Veränderungen mehrerer Objekte oder Objekt-

teile – zur Kopfgeometrie, muss dieser Aufgabentyp, grundlegend von dieser unterschieden

und abgegrenzt werden.

Bevor diese Aufgabe kommentiert wird, soll ein kurzer Überblick über diese mathematische

Vorstellungsübung erfolgen. Mithilfe einer prägnanten Definition und unter Verwendung cha-

rakteristischer Merkmale werden die Unterschiede dieser beiden wohl ähnlichen Begriffe im

Folgenden kurz dargestellt und erörtert.

3.3 Mathematische Vorstellungsübungen

Ich versuche mir Mathe-Aufgaben bildlicher vorzustellen, was mir auch hilft, diese

einfacher zu lösen. (Schüler, Klasse GE11, zit. nach Weber 2007, S. 67)

Ein großer Fürsprecher und wohl auch Begründer dieses Begriffes (dieser lässt sich erstmals

1998 finden) ist Weber. Er stellt in seinen zahlreichen Arbeiten und Werken (siehe hierzu

besonders: 2010; 2009; 2007) unter anderem verschiedene, zum Großteil auch im Unterricht

erprobte, Übungen vor, welche eine Vielzahl von Themen aus der Mathematik, nicht nur aus

der Geometrie, aufgreifen. Dabei stehen Fragen wie „Wie berechnen Sie zwei mal zwei?

(Weber 2010, S. 41) und „Wie stellen Sie sich das vor?“ (ebd.) im Vordergrund.

42


Weber findet 2007 die passenden Worte, um den Begriff der mathematischen Vorstellungs-

übungen sehr treffend zu charakterisieren:

Vorstellungsübungen beschreiben einen einfachen, aber reichhaltigen mathemati-

schen Sachverhalt. Dieser Sachverhalt ist in den Kontext realer Gegenstände und Tä-

tigkeiten eingekleidet. Der Text der Vorstellungsübung leitet dazu an, sich diesen

Kontext vorzustellen und ihn gedanklich zu erkunden. Die Zuhörerinnen und Zuhörer

ziehen die dabei entstehenden individuellen Vorstellungen heran und entwickeln sie

weiter, um eine vorgegebene mathematische Frage zu beantworten. Dies geschieht

ohne äußere Hilfs- und Darstellungsmittel. (Weber 2010, S. 14)

Aus dieser Definition geht hervor, dass mathematische Vorstellungsübungen versuchen,

mathematische Fragen zu beantworten. Dies soll ohne Gegenstände oder ähnliche Hilfsmittel

wie Abbildungen und Grafiken (welche die individuelle Vorstellung verfälschen würden, da

angenommen werden könnte, dass die Vorstellung der Abbildung entsprechen müsse)

stattfinden – ähnlich der Kopfgeometrie. Dennoch gibt es Unterschiede zwischen diesen

verwandten Begriffe. Weber zeigt im weiteren Verlauf seiner Einführung drei grundlegende

Punkte auf, welche den Unterschied klarstellen sollen:

(1) Im Gegensatz zur Kopfgeometrie ähneln mathematische Vorstellungsübungen mehr

der Kopfmathematik (Streit & Pinkernell 2011, Streit & Weber 2011, Hammer 2011),

da diese auch „nicht geometrische Inhalte“ (Weber 2010, S. 15) thematisieren. Ist der

Inhalt auf einer mentalen Ebene visualisierbar, können konkrete Fragestellungen auch

aus Themengebieten der „Arithmetik, Algebra oder Analysis“ (ebd.) stammen.

(2) Vorstellungsübungen bieten Vorstellungshilfen an. „Sie regen […] das Erkunden und

die Konstruktion mathematischer Objekte an sowie das Argumentieren und plausible

Schließen. Mit diesen heuristischen Prozessen gehen Vorstellungsübungen über das

bloße Lösen anspruchsvoller Aufgaben hinaus“ (ebd.). Während die Kopfgeometrie

also als Förderung und zum Training des räumlichen Vorstellungsvermögens gesehen

wird, lernen Schüler beim Bearbeiten mathematischer Vorstellungsübungen „neue

Inhalte, weil sie an ihrem eigenen schon vorhandenen und einem spezifischen

43


Bereich zugeordneten mathematischen Wissensnetz weiter anknüpfen“ (Weber 2010,

S. 15).

(3) Mathematische Vorstellungsübungen greifen real aufgebaute Vorstellungen der

Schüler aus dem Alltag auf – wie etwa das Beleuchten einer schwebenden Kugel von

oben (vgl. S. 41) – und entwickeln diese weiter, wohingegen in der Kopfgeometrie die

individuellen Vorstellungen sehr eng an die gegebene Aufgabenstellung gebunden ist,

wodurch ein Transfer auf Alltagsvorstellungen also nur bedingt ermöglicht wird.

Durch ein solches Aufgreifen individuell aufgebauter, realer Vorstellungen ist es den

Schülern schließlich möglich, darauf beim Bearbeiten ähnlicher Aufgaben zurückzu-

greifen, wodurch die subjektive Schwierigkeit der Aufgabe sinkt (vgl. das Zitat des

Schülers S. 42).

Da also nicht nur geometrische Sachverhalte in mathematischen Vorstellungsübungen be-

handelt werden, sondern auch Inhalte anderer mathematischer Teilgebiete, spielen neben

dem räumlichen Vorstellungsvermögen auch „mathematische Basiskenntnisse und gegen-

standsbezogenes Wissen hier eine genauso große Rolle“ (ebd.).

Kopfgeometrie und mathematische Vorstellungsübungen überschneiden sich zwar in vielerlei

Hinsicht, „weil sie jedoch auf benennbare fachliche Inhalte und Prozesse zielen“ (ebd., S. 16),

also eine fachliche Pointe haben, sind mathematische Vorstellungsübungen klar von der

Kopfgeometrie zu trennen.

Nachdem nun dieser neue Aufgabentyp genauer dargestellt und erläutert wurde, soll die

zuvor beschriebene Aufgabe 23 (vgl. S. 41) kommentiert werden. Führt man diese Übung

selbst durch, wird schnell klar, dass eine Reihe an Fähigkeiten für eine erfolgreiche

Bewältigung der Aufgabe unabdingbar sind.

Neben der oben genannten Fähigkeit der mentalen Rotation, der räumlichen Orientierung

oder der Erfassung räumlicher Beziehungen ist auch die Veranschaulichung im Problemlöse-

prozess von Vorteil. Um „die Senkrechte und Waagrechte [des entstehenden Körpers eindeu-

tig zu] identifizieren“ (Roth & Wittmann 2014, S. 148), ist die Fähigkeit der räumlichen Wahr-

nehmung als ein weiterer Subfaktor des räumlichen Vorstellungsvermögens zu nennen.

44


Weber (2010, S. 151) beschreibt diese Aufgabe als eine anspruchsvolle Vorstellungsübung

und ordnet sie in die Klassenstufen 9 bis 11 ein. Dies lässt sich zum einen an den oben

genannten, benötigten Fähigkeiten begründen. Andererseits sind weitere, mathematische

Kenntnisse und gegenstandsbezogenes Wissen Voraussetzung. Um einen solchen Körper und

dessen Schattenbild sich vorstellen zu können, muss erstens bekannt sein, dass der Schatten

einer Kugel stets eine Kreisfläche ergibt, unabhängig von dem Standpunkt der Lichtquelle.

Zweitens müssen die Schüler die zwei unterschiedlichen Schattenbild-Projektionen kennen,

die sich beim Beleuchten eines geraden Kreiszylinders ergeben. Diese genannten

Grundkenntnisse werden bereits in der 3-Tafelbilder-Aufgabe (vgl. S. 40) aufgebaut und

vertieft, weshalb sich diese Vorstellungsübung als eine weiterführende Fragestellung

besonders eignet.

Über weiterführende Fragen besteht zudem die Möglichkeit, den Inhalt dieser Vorstellungs-

übung auf höhere Jahrgangsstufen auszudehnen. Bspw. kann mit der Frage: „Gibt es eigent-

lich einen Körper, der – wird er auf drei senkrecht zueinander stehende Flächen normalproji -

ziert – kreisförmige Umrisse hat und trotzdem keine Kugel ist?“ (Weber 2010, S. 152) der In-

halt der Übung weiter vertieft oder die Angabe einer Volumenformel über einen explorativen

oder experimentellen Zugang, etwa über das Vergleichen der Volumina ähnlicher Körper

oder das Bauen mit geeigneter Knetmasse, in einem Klassengespräch ermittelt werden.

Wie bereits oben angedeutet, haben mathematische Vorstellungsübungen als charakteristi-

sches Merkmal, im Gegensatz zu kopfgeometrischen Aufgaben, stets eine mathematische

Kernidee bzw. eine fachliche Pointe, die an bereits vorhandenes mathematisches Wissen an-

knüpft. Diese besteht hier darin, bspw. aufbauend auf einer 3-Tafelbilder-Aufgabe, einen Kör-

per zu finden, der verschiedene Schattenbilder in drei Raumrichtungen wirft.

Obwohl sie eine mathematische Vorstellungsübung ist, kann ein Vergleich mit den verschie-

denen methodischen Variationen der Kopfgeometrie angestrebt werden. Die Aufgabenstel-

lung wird in der Regel von der Lehrkraft mündlich vorgetragen und nach einer Phase des

mentalen Operierens gelangt der Schüler zu einem Ergebnis. Dieses kann er ebenfalls wieder

verbal mitteilen oder anhand einer Zeichnung präsentieren. In einer Kontrollphase bzw. in ei-

ner „Phase der Besprechung und der Reflexion“ (Luxusvariante; Weber 2010, S. 32) können

die Ergebnisse überprüft – etwa mithilfe einer Lampe, die auf ein aus Knetmasse gebildetes

45


Objekt leuchtet und an die dahinterliegende Wand im Klassensaal einen Schatten wirft – und

diskutiert bzw. individuelle Vorstellungen ausgetauscht und weiterentwickelt werden. Auch

die Behandlung der Abschlussfrage zum individuellen Vorstellungsaufbau, welche die Selbst-

reflexion anregt und zu einem großen Mitteilungsbedürfnis und Neugier führt (ebd., S. 22),

kann in dieser Phase erfolgen.

3.4 Stufe 3 – Gymnasiale Oberstufe

Betrachtet man historische und aktuelle Literatur zum Thema Kopfgeometrie, findet man

eine Vielzahl an kopfgeometrischer Übungen sowohl für die Primar-, als auch für die Orien-

tierungsstufe. Diese Aufgaben lassen sich mit einigen Änderungen auch sehr gut in weiter-

führenden Jahrgängen einsetzen. Je höher allerdings die Jahrgänge, desto schwieriger wird

es, geeignetes Material für die Schüler zu finden, welches sich optimal und zielbringend im

Unterricht einsetzen lässt. Nur wenige Autoren (Fahse 2015; Berendonk 2014; Maier 1996)

bieten Übungen an, die sich bis in die Oberstufe übertragen lassen. Sicherlich besteht die

Möglichkeit, einige kopfgeometrische Aufgaben aus der Sekundarstufe I durch Differenzie-

rung, Erweiterung der Fragestellung, welche komplexere Vorstellungsbilder produzieren –

bspw. das Zusammensetzen von Polyedernetzen wie das eines Ikosaedersterns – oder durch

weiterführende mathematische Fragestellungen auf das Niveau der Sekundarstufe II auszu-

dehnen. Die Anzahl solcher kopfgeometrischen Aufgaben wird allerdings keinesfalls hoch

ausfallen.

Weber (2011b; 2011a; 2010; 2007) reagiert auf diesen Umstand und propagiert dabei die

mathematischen Vorstellungsübungen. In diesem Zusammenhang stellt er eine Vielzahl an

verschiedenen Übungen vor, die sich unter anderem auch für die Jahrgangsstufen der

Sekundarstufe II eignen und, wie oben zuvor beschrieben, viele Gemeinsamkeiten mit der

Kopfgeometrie haben.

Weber unterscheidet vier verschiedenen Typen8 von Vorstellungsübungen – Aufbau, Pro-

blemlösen, Begründung und Paradoxon. Aufgabe 23 (vgl. S. 41) ist eine sehr offen gestellte

Übung, deren Fragestellung keine konkrete Strategie zur Lösung suggeriert und deshalb dem

8 Eine ausführliche Erläuterung der vier verschiedenen Vorstellungstypen und ihrem Zusammenhang mit heuristischen Prozessen lässt sich in Weber (2007, S. 60f. und 2010, S. 22f.) nachlesen.

46


Schüler die Möglichkeit bietet, eigene Ideen oder Vermutungen zu äußern. Sie spricht das

Experimentieren und Vermuten (Weber 2010, S. 61) an und ist daher dem Typ Problemlösen

zuzuordnen. Im folgenden Abschnitt sollen daher die übrigen drei Typen anhand einer Aufga-

be exemplarisch, als Pendant zur Kopfgeometrie, dargestellt und – wie bereits in vorangegan-

genen Abschnitten – kommentiert werden.

Aufgabe 24:

B) Typ Aufbau – Konstruktion eines Tesseraktes [S. 66]

Im Gegensatz zum Problemlösen wird in dieser Aufgabe eine detaillierte Anleitung zur

mentalen Konstruktion eines Objektes oder eine Situation gegeben, also eine Art

Konstruktionsbeschreibung. Die Eigenschaft einer Konstruktionsbeschreibung ist das

charakteristische Merkmal einer solchen Aufgabe, die dem Typ Aufbau entspricht. Das

Objekt wird schließlich für das Beantworten der Frage herangezogen und hinsichtlich seiner

Eigenschaften untersucht und erkundet.

Grundlage dieser Übung ist der Subfaktor der Veranschaulichung, hier vor allem die

Fähigkeit, sich Verschiebungen von räumlichen Objekten bzw. Objektteilen vorstellen zu

können. Dabei bildet ein Punkt in der nullten Dimension die Ausgangslage, welcher Schritt für

Schritt in eine bis dahin noch nicht benutzte Dimension verschoben wird. Über den Punkt

wird mittels einer Leuchtspur eine Strecke (zweite Dimension), ein Würfel (dritte Dimension)

und schließlich ein Hyperwürfel – auch Tesserakt (vierte Dimension9) genannt – erzeugt.

Neben der Verschiebung werden für das Bearbeiten dieser Aufgabe weitere Fähigkeiten be-

nötigt. So ist bspw. eine mentale Rotation der anfangs zwei- und später drei- und vierdimen-

sionalen Objekte, oder eine räumliche Variation des Standpunktes für ein optimales Verfol-

gen der Lichtspur ebenso wichtig.

Der Mensch ist von Natur aus an ein – maximal – dreidimensionales Bild gewöhnt. Das Vor-

dringen in höhere Dimensionen bzw. die mentale Projektion vierdimensionaler Objekte ge-

schieht daher bei dieser Übung nur auf explorativer Weise. Aufgrund des Aufbaus dieser

Übung wird dem Schüler eine Annäherung an den entstehenden Polychor (auch 4-dimensio-

nales Polytop genannt) ermöglicht.

9 Anmerkung des Verfassers: Diese Dimension wird, auf der Grundlage von Einsteins Relativitätstheorie, auch als Raumzeit bezeichnet.

47


Gegen Ende dieser mathematischen Vorstellungsübung wird nach den Ecken der einzelnen

Körper gefragt. Den Schülern sind die verschiedenen Objektteile, wie Ecken, Kanten und

Flächen, der entstehenden Objekte bis zum Würfel in dieser Jahrgangsstufe bekannt. Auch

wenn eine vierdimensionale Projektion nur wenigen Schülern gelingt, so könnte an dieser

Stelle, bspw. in einem Klassengespräch, einerseits die zentrale Frage sein, welche

Vorstellungen während der Übung entstanden. Aufgrund der bis dahin ungewohnten und

unbekannten Dimension entstehen viele unterschiedliche Bilder, welche die Neugier anderer

Schüler wecken und so zu einem großen Mitteilungsbedürfnis seitens der Schüler führen.

Andererseits kann eine Diskussion zur Lösung der Fragestellung, durch welche Objektteile

der Tesserakt begrenzt ist und wie viele davon jeweils vorhanden sind, beitragen. Dabei

können Analogien zu den vorangegangenen Objekten hergestellt, aber auch, auf Grundlage

dieser Aufgabe, andere Polychore, wie etwa das Pentachoron, hinsichtlich ihrer

Gemeinsamkeiten untersucht werden.

Denkbar wären auch weiterführende Fragen, wobei der Eulersche Polyedersatz wieder

aufgegriffen und eine Verallgemeinerung dieses Polychor im Mittelpunkt stehen könnte.

Weber empfiehlt diese sehr anspruchsvolle Aufgabe frühestens ab der Jahrgangsstufe 11 mit

den Schülern zu bearbeiten. Dafür sprechen vor allem drei Gründe. Erstens entspricht die

gesamte Übung dem Schema der reinen Kopfgeometrie, es werden also in keiner der Phasen

unterstützende Hilfsmittel herangezogen. Zweitens ist eine Vielzahl an räumlich-mentalen

Fähigkeiten von Nöten, die in ihrem Umfang deutlich ausgeprägt sein sollten, um bei dieser

verbal gestellten Aufgabe nicht den Anschluss während der Aufgabenstellung zu verlieren

bzw. in der Phase des mentalen Operierens mit diesem entstandenen Objekt zu arbeiten. Der

dritte und gleichzeitig auch der entscheidendste Punkt ist, dass in dieser Aufgabe die vierte

Dimension behandelt wird. Diese ist, wie bereits oben beschrieben, weder im Alltag der

Schüler präsent, noch wird sie im Lehrplan der Sekundarstufe II10 aufgegriffen.

Dennoch eignet sich diese Übung für ein Training des räumlichen Vorstellungsvermögens, da

hier fast alle Subfaktoren angesprochen und individuelle Vorstellungen aufgegriffen und

vertieft werden.

10 Ministerium für Bildung, Wissenschaft und Weiterbildung Rheinland-Pfalz. (1998). Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach. Jahrgangsstufen 11 bis 13 der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe). Mainz.

48


Die Kernidee, einen vierdimensionalen Hyperwürfel durch geeignete Verschiebung eines

dreidimensionalen Würfels zu erzeugen, beschreibt zudem den prozessualen Charakter von

Mathematik (Weber 2010, S. 23) und ermöglicht den Schülern, explorativ neue

mathematische Inhalte kennen zu lernen.

Aufgabe 25:

C) Typ Begründung – Ein Dreieck mit drei rechten Winkeln [S. 67]

Diese Aufgabe wurde auch im Laufe der Auseinandersetzung mit verschiedenen Vorstellungs-

übungen bei einigen Personen im privaten Umkreis erprobt. Dabei ging die Behauptung vor-

aus, dass ein Dreieck eine Innenwinkelsumme von mehr als 180°, im Spezialfall sogar drei

rechte Winkel, haben könne. Allen Testpersonen war aus der Schulzeit das Gegenteil wohl be-

kannt. Im Laufe der Vorstellungsübung, beim Begehen der Erdoberfläche und der Erläute-

rung kam es aber schließlich aufgrund des widersprüchlichen Ergebnisses zu bereits beste-

hendem Wissen zu einem Aha-Effekt und der Behauptung wurde die Glaubwürdigkeit zuge-

sprochen. Grundgedanke dieses Aufgabentyps ist also das Ermöglichen eines plausiblen

Schließens (Weber 2010, S. 61), wodurch dem Zuhörer bzw. dem Schüler klar wird, dass die

Behauptung Sinn macht (ebd.).

Auch beim Begehen der mental projizierten kleinen Erde werden wieder verschiedene

Teilkomponenten des räumlichen Vorstellungsvermögens angesprochen und gefordert. Zu

Beginn der Aufgabenstellung soll eine kleinere Erde erstellt werden, die sich mittels mentaler

Rotation in ihrer Lage variiert lässt. Hinzu kommt vor allem die Fähigkeit der räumlichen

Orientierung (vgl. hierzu auch die Orientierungsübungen, S. 21f.). Dabei muss die eigene

Person auf dem kleinen Planeten im Kopf bewegt werden, wobei die Perspektive, der

Standort der Person und das vorgestellte Bild sich ständig verändern.

Nach der verbal gestellten Aufgabe und der Phase des Operierens im Kopf können in einem

Klassengespräch die verschiedenen Vorstellungen angesprochen werden. Hierbei können

verschiedene Aspekte, welche bereits in der Aufgabenstellung zentral waren, wieder

aufgegriffen werden. Fragen nach der Größe des abgeschrittenen Winkels am Äquator oder

dem Aussehen des entstehenden Objektes bzw. der entstehenden Bilder während der Übung

können dabei Grundlage für weitere Überlegungen sein oder zu einer Diskussion führen, in

49


welcher die Schüler ihre verschiedene Vorstellungen aufgrund der Neugier gegenüber

anderen mitteilen möchten. Auch diese Phase kann auf einer verbalen Ebene stattfinden,

wodurch diese Übung dem klassischen Charakter der reinen Kopfgeometrie entspräche.

Mithilfe eines Globusʼ oder eines Apfels (Weber 2010, S. 200) als unterstützende Hilfsmittel

können die unterschiedlichen Vorstellungen zur Innenwinkelsumme – abhängig von der

abgeschrittenen Strecke am Äquator – dargestellt und begründet werden.

Diese mathematische Vorstellungsübung, die zum einen die räumliche Orientierung schult,

zum anderen aber auch einen neuen mathematischen Sachverhalt vorstellt und gleichzeitig

eine plausible Begründung dafür liefert, ordnet Weber in die Jahrgangsstufe 11 bis 12 ein.

Neben der oben genannten Fähigkeit der räumlichen Orientierung sind also weitere

Vorkenntnisse wichtig. Die Schüler sollten zuvor Erfahrungen mit kopfgeometrischen

Aufgaben oder Vorstellungsübungen zur räumlichen Orientierung – vor allem zu runden,

kugel-ähnlichen Objekten – gesammelt haben. Auch das Wissen über die Innenwinkelsumme

ebener Dreiecke – durch eine entsprechende Vorstellungsübung, bspw. über das Begehen

eines Ebenen Dreiecks (Weber 2007, S. 28), realisierbar – ist hier entscheidend, da genau

dieses mithilfe der Übung erweitert und zugleich plausibel gemacht werden soll. Dies kann

ebenfalls über werden.

Aufgabe 26:

D) Typ Paradoxon – Die Endlichkeit des Universums [S. 68f.]

Bei dieser Vorstellungsübung werden bekannte Erfahrungen aufgegriffen, infrage gestellt,

hinterfragt und gehen schließlich gegen den gesunden Verstand bzw. gegen ein bereits über

einen längeren Zeitraum aufgebautes Verständnis von Dingen oder Sachverhalten, wodurch

in der Regel ein Widerspruch, ein Paradoxon, erzeugt wird. Während Aufbau-Übungen eine

Konstruktionsbeschreibung eines Sachverhalts liefern oder Begründungs-Übungen ein plausi-

bles Schließens forcieren, liegt bei einer Paradoxon-Übung der Fokus darauf, einen „kogniti-

ven Konflikt [zu] verursachen, um über Alltagserfahrungen und mathematische Schulkennt-

nisse hinauszugehen, um Fragen zu stellen oder erkenntnistheoretische Diskussionen anzu-

stoßen“ (Weber 2010, S. 61).

50


Analog zur Konstruktion eines Tesseraktes wird hier Schritt für Schritt, explorativ von

Dimension zu Dimension, ein Gebilde erstellt, mit welchem Operationen auf mentaler Ebene

vorgenommen werden. Zentral sind dabei vor allem Fähigkeiten der mentalen Rotation –

Drehen und Bewegen des Objektes – und der räumlichen Orientierung – Variation des

Standortes bzw. der Perspektive.

Während bei vorangegangenen Vorstellungsübungen eine Hinzunahme von Hilfsmitteln zur

Veranschaulichung oder zur Begründung in der Präsentationsphase bzw. in der Phase der Be-

sprechung und der Reflexion möglich war, ist eine solche Unterstützung bei dieser Aufgabe

nur schwer möglich. Der vergleichsweise lange Aufgabentext wird in der ersten Phase wieder

verbal vorgetragen, wobei auf kleinere Pausen zwischen den jeweiligen Dimensionsabschnit-

ten geachtet werden muss. Vor allem in diesen Pausen und der anschließenden zweiten Pha-

se findet das mentale Operieren im Kopf statt, wobei der Schüler eigenständig seine vorge-

stellte Welt erkundet und gleichzeitig hinterfragt. Die Fragen am Ende jedes Abschnittes kön-

nen entweder zu diesem Zeitpunkt kurz gestellt und von den Schülern beantwortet oder am

Ende der Vorstellungsübung im Plenum erneut aufgenommen und besprochen werden.

Diese Aufgabe, die Weber (2010, S. 220ff.) als eine sehr anspruchsvolle Übung der Jahrgangs-

stufen 10 bis 12 klassifiziert, wird viele Schüler an ihre Grenzen des räumlichen Vorstellungs-

vermögens stoßen lassen, da sie einen Aspekt anspricht und hinterfragt, welcher aus der

Schulzeit vielen selbstverständlich erscheint. Diese Unendlichkeit des Universums erscheint

sicher trivial, wenn man bedenkt, dass sich der Mensch im Alltag lediglich in zwei, manchmal

auch in drei Raumdimensionen fortbewegt. Aufgrund dieser Erfahrungen des Alltagsmen-

schen, vor allem der Schüler, ist es nicht verwunderlich, dass auf ein unendliches und nicht

offenes Universum geschlossen wird. Desto mehr sollte beim Bearbeiten dieser Aufgabe im

Unterricht auf die Erfahrungen der Schüler in dieser Hinsicht Rücksicht genommen werden.

Kopfgeometrische Übungen oder auch Vorstellungsübungen zur Unendlichkeit, wie etwa die

Paradoxon-Übung Hilberts Hotel (Weber 2007, S. 28f.), können als Vorbereitung nützlich sein,

um die Schüler für ein Spielen mit der Unendlichkeit zu sensibilisieren.

51

Tipps & Hilfen für Lehrer

4. Tipps & Hilfen für Lehrer

Im vorangegangenen Kapitel wurde eine Vielzahl an kopfgeometrischer Aufgaben und

mathematischer Vorstellungsübungen für den Unterricht ab der Jahrgangsstufe 5 vorgestellt

und jeweils kommentiert. Möchte man solche Übungen zur Förderung des räumlichen

Vorstellungsvermögens in den Unterricht integrieren, muss zuvor auf verschiedene Dinge

geachtet werden. Dieses Kapitel soll Hilfen vorstellen, die einen Einsatz dieser Übungen im

Unterricht erleichtern, um zugleich den Lern- bzw. Trainingserfolg zu steigern.

• „Die Operation ist nichts anderes als ein Handeln; es ist ein wirkliches Handeln, das

sich innerlich vollzieht und 'reversibel' geworden ist“ (Piaget 1967, S. 72). Bevor also

auf einer Ebene ohne unterstützende Hilfsmittel, als reine Kopfgeometrie, operiert

wird, muss nach Piaget der Schüler zuvor mit wirklichem, realen Materialien hantiert

haben. Diese verinnerlichten, koordinierten und reversibel gewordenen Operationen

bilden schließlich die Grundlage für ein Operieren im Kopf (vgl. hierzu auch Maier

1996, S. 277 und Besuden 1984, S. 79).

• Auch auf äußere Gegebenheiten im Klassenraum ist zu achten. Die Tafel sollte wäh-

rend der Übung leer sein und auch auf den Bänken darf nichts liegen (Kerst 1920, S.

219). Degner & Kühl (1984, S. 342) setzen zudem eine „allgemeine Aufmerksamkeit“

voraus.

• Werden zum ersten Mal kopfgeometrische Übungen im Unterricht behandelt, sollten

Aufgaben verwendet werden, die sich „gut visualisieren lassen“ (Streit & Pinkernell

2011, S. 7), um den Einstieg zu erleichtern.

• Um einer Überforderung seitens der Schüler entgegen zu wirken, empfiehlt es sich zu

Beginn, den Einsatz von Hilfsmitteln, etwa Abbildungen, Grafiken, Bilder und Zeich-

nungen oder auch die Möglichkeit, „vorstellend kinästhetisch“ (Maier 1996, S. 279) zu

arbeiten , zu erlauben. Ein Verzicht auf diese Hilfen sollte allerdings nach einer Einge-

wöhnungsphase möglichst zügig stattfinden, um die Übung komplett auf mentaler

Ebene durchführen zu können, was Senftleben (1992, S. 260) wie folgt beschreibt:

„Ein vorsichtiger, systematisch gesteigerter, zeitweiser Entzug dieses Mittels führt

zweifellos zur Entwicklung eines zunehmend besseren Raumvorstellungsvermögens.“

52


Dagegen sind Hilfsmittel aber auch zur Differenzierung einsetzbar, wobei das Ergebnis

zuerst erläutert werden soll und anschließend Hilfsmittel zur Überprüfung herangezo-

gen dienen können (Streit & Pinkernell 2011, S. 8).

• Streit & Pinkernell (2011, S. 8), Brandl (2010), Maier (1999a, S. 296), Senftleben

(1996, S. 71) und auch Kerst (1920, S. 217) empfehlen eine regelmäßige Durchführung

kopfgeometrischer Übungen, bspw. zu Beginn der Stunde (maximal 15 Minuten).

Wichtig ist hierbei, dass das Schwierigkeitsniveau von Übung zu Übung behutsam

gesteigert wird, um möglichst viele Schüler mitnehmen zu können.

• Sind die Schüler erst einmal an diesen neuen Aufgabentyp gewohnt, kann das

„Schließen der Augen während der gedanklichen Auseinandersetzung mit der

Aufgabe“ (Streit & Pinkernell 2011, S. 8; vgl. auch Maier 1996, S. 279) eingeführt

werden, um die Konzentration zu erleichtern, wodurch der Fokus auf dem mentalen

Operieren liegt. Denkbar wäre hier auch eine Abdunklung des Raumes, was sowohl

Kerst (1920) als auch Treutlein (1911) schon vorschlugen.

• Wie bereits in Aufgabe 26 (vgl. S. 55f.) angesprochen, können Zwischenergebnisse in

kleineren Pausen diskutiert und überprüft werden. Diese Hilfe, aber auch Haltepunk-

te […], Redundanzen (Streit & Weber 2011, S. 10) und auch das Erlauben von Zwi-

schenfragen (Brandl 2010) kann leistungsschwächere Schüler unterstützen, damit sie

nicht den Anschluss verlieren bzw. der Kontakt zu ihnen nicht abreißt (Kerst 1920, S.

219).

• Damit das Gesagte bei den Schülern auch richtig ankommt, empfehlen Streit & Weber

(2011, S. 10), auf eine „Einfachheit und zugleich Anschaulichkeit der Sprache“ zu ach-

ten. Handlungsanweisungen, ein direktes Ansprechen (Du-Form), Verbformen im Prä-

sens und Indikativ und bildhafte Begriffe und Vergleiche sind dabei grundlegend. Des

Weiteren sollte die mündlich gestellte Aufgabe stets „zeitlich und kausal logisch kor-

rekt“ (ebd.; vgl. auch Brandl 2010), „leicht verständlich […], nicht zu komplex“ (Maier

1996, S. 280) und „motivierend“ (Maier 1999b, S. 14) sein. Der Lehrer sollte dabei auf

Gestik möglichst verzichten und überflüssige Wörter vermeiden (Kerst 1920, S. 219).

• Auch ein Verzicht auf feste Zeitvorgaben kann von Vorteil sein, um die Schüler nicht

unter Druck zu setzen (Streit & Pinkernell 2011, S. 8; Brandl 2010).

53


• Roth (2011, S. 31) betont, dass „eine intensive Auseinandersetzung, aber keine

Vollständigkeit der Lösung gefordert ist“. Es sollte dabei mehr Wert auf das Operieren

im Kopf, statt auf das Ergebnis gelegt werden. Kerst (1920, S. 223) zeigt zudem auf,

dass von einer „Zensierung der Leistungen […] abzusehen“ ist, wodurch die Schüler

sich freier und experimenteller mit der Übung auseinandersetzen und die eigentliche

Intention stärker in den Vordergrund rückt. Maier (1996, S. 279) fordert zudem, die

„Wahl und auch die Abwahl“ argumentativ begründen zu lassen, da auf diese Weise

die Schüler sich noch intensiver mit der Sprache und der verbalen Darstellung des

kopfgeometrischen Denkvorgangs auseinander setzen und diesen reflektieren

müssen.

• In der Phase der Präsentation oder in der Kontrollphase sollten den Schülern Kontroll-

möglichkeiten zur Verfügung stehen (Brandl 2010; Maier 1999a, S. 296f.). Ist es dem

Schüler auch nicht nach intensiven kopfgeometrischen Bemühungen möglich, eine

Lösung zu finden, sollte es ihm gestattet sein, mithilfe eines Stiftes die Lösung auf

dem Papier zu finden (Gimpel 1992, S. 259f.). Bevor allerdings ein Arbeiten mit „kon-

kretem Material oder das Anfertigen von Hilfszeichnungen“ (Maier 1996, S. 278) zu-

gelassen wird, sollten Lösungshilfen oder Lösungsvorschläge als Kontrollinformation

angeboten werden, von denen nur eine Lösung richtig ist (vgl. hierzu auch Roth &

Wittmann, S. 154). Daneben sind auch Kontrollfragen des Lehrers denkbar, welche die

„Vorstellungen festigen oder ggf. korrigieren“ (ebd., S. 279) können.

54

Legitimation der Kopfgeometrie für die Schule

5. Legitimation der Kopfgeometrie für die Schule

In dieser Arbeit wird an vielen Stellen der Nutzen kopfgeometrischer Aufgaben für eine

Förderung des räumlichen Vorstellungsvermögens aufgezeigt. Daneben lassen sich noch eine

Reihe weiterer Vorteile, welche sich positiv und nachhaltig auf die Schüler auswirken

könnten, finden. Jedoch ist bisher nicht die Frage geklärt, ob Kopfgeometrie überhaupt mit

den Schüler betrieben werden darf bzw. ob es dafür eine curriculare Grundlage gibt.

Abschließend sollen in diesem Kapitel deshalb zwei Fragen im Fokus stehen:

(1) Welche weiteren Vorteile (aber auch Gefahren) können kopfgeometrische Aufgaben

in der Schule mit sich bringen?

(2) Darf ich Kopfgeometrie in der Schule betreiben?

5.1 Vorteile und Gefahren der Kopfgeometrie

Sowohl die Vorzüge als auch die Gefahren, welche durch ein Verwenden der Kopfgeometrie

bzw. von Vorstellungsübungen in der Schule auftreten können, sollen in diesem Abschnitt

kurz dargestellt werden. Auf eine ausführliche Erläuterung wurde aus platztechnischen

Gründen verzichtet.11

5.1.1 Vorteile und Ziele

• Der Schüler hat „das Gefühl selbstständiger Betätigung“ (Kerst 1920, S. 223). Er

„fühlt, dass etwas Ansehliches von ihm verlangt wird und er fühlt auch, dass er es

leisten kann“ (ebd.).

• Mathematische Anschlussfragen ermöglichen eine „vertiefte Auseinandersetzung mit

geometrischen Fragestellungen“ (Hammer 2011, S. 25).

• Kopfgeometrische Aufgaben dienen dem „Aufbau und Anwenden von Grundvorstel-

lungen zu geometrischen Begriffen und Sachverhalten“ (Roth 2011, S. 28).

• Kopfgeometrische Aufgaben ermöglichen ein „differenziertes Arbeiten“ (Senftleben

1996, S. 71) und erlauben „individuelle Diagnosen des Leistungsstandes“ (Roth 2011,

S. 29).

11 Zum Nachschlagen und Weiterlesen sei auf die jeweils angegebene Literatur verwiesen.

55


• Kopfgeometrie stellt ein neues, unbekanntes methodisches Vorgehen dar, welches

dem Schülern sicher nicht all zu vertraut ist. Sowohl der Inhalt als auch die Thematik

an sich können durch „aktiv-entdeckendes Lernen“ (Senftleben 1996, S. 71) „motivie-

rend“ (Maier 1999b, S. 14) sein, die „Kreativität fördern“ (Brandl 2010) und „Spaß an

der Mathematik mit sich bringen“ (ebd.) bzw. „Freude am Umgang mit der Geometrie

wecken und erhalten“ (Degner & Kühl 1984, S. 346).

• Verinnerlichte Vorstellungen oder „adäquate mentale Modelle“ (Roth & Wittmann

2014, S. 147) werden unterstützend zum Problemlösen eingesetzt, wobei auf sie

zurückgegriffen und an ihnen gedankliche Veränderungen vorgenommen werden

(Hammer 2011, S. 27; Streit & Pinkernell 2011, S. 5; Weber 2010, S. 21 und auch

Gimpel 1992, S. 263).

• Grave & Müller (2011, S. 40) heben hervor, dass solche Übungen dem Schüler als

„Gelegenheit zur Wiederholung und zur Selbstdiagnose“ dienen können.

• Der bisherige Stand, das „kalkülorientierte Arbeiten“ (Hammer 2011, S. 27), über-

wiegt durch ein Einsetzen solcher Aufgaben, in der Folge durch ein „anschauliches,

kopfgeometrisches Verstehen“ (Kerst 1920, S. 218), weniger stark.

• Roth (2011, S. 29; 2005, S. 14 und S. 85ff.) nennt als weiteren Vorteil das Training und

die Förderung des Beweglichen Denkens, das nach ihm drei Aspekte enthält: In eine

Konfiguration Bewegung hineinsehen und damit argumentieren, die Gesamtkonfigu-

ration erfassen und analysieren und das Änderungsverhalten erfassen und beschrei-

ben (vgl. hierzu auch Brandl 2010).

• Durch einen regelmäßigen Einsatz „gewinnt der Schüler an Sicherheit im Erfassen und

im Gebrauch der Fachsprache“ (Roth 2011, S. 28; Senftleben 1992, S. 260) und im

„Anwenden bisher erlernten Wissens“ (Hammer 2011, S. 27).

• Des Weiteren zählt Maier (1999a, S. 299; vgl. hierzu auch Degner & Kühl 1984, S. 343)

weitere allgemeine Lernziele auf, die die Kopfgeometrie in einem hohen Maße an-

sprechen: „Anleitung zur sorgfältigen Informationsaufnahme und Informationsverar-

beitung, Aufbau einer gesteigerten Lernmotivation [...], Training des Intelligenzfaktors

Merkfähigkeit [...], Training der Konzentrationsfähigkeit und die Förderung der Kreati-

vität“.

56


• Auch zwei der allgemeinen Ziele des Geometrieunterrichts – mithilfe der Geometrie

die (Um-)Welt erschließen und mit Geometrie Problemlösen lernen (Roth &Wittmann

2014, S. 17) – lassen sich in kopfgeometrischen Übungen verwirklichen.

Maier (1999a, S. 123ff.) zeigt zudem auf, in welchen Bereichen räumliches Vorstellungsver-

mögen ebenso unabdingbar ist. Neben einer fächerübergreifenden Relevanz – im Geogra-

phieunterricht, im Chemie- und Physikunterricht, im Werk- und Technikunterricht, in der Bil-

denden Kunst, in Biologie, im Sport- und sogar im Deutschunterricht ist es von Bedeutung –

zeigt Maier (ebd., S. 128ff.) den besonderen Stellenwert der Raumvorstellung in anderen Be-

reichen der Mathematik, bspw. in der Arithmetik und in der Algebra, auf. Auch andere Mög-

lichkeiten des räumlichen Vorstellungsvermögens stellt Maier (1999b, S. 6) deutlich klar,

wenn er deren Ausbildung als eine Möglichkeit sieht, Dyskalkulie zu therapieren. Daneben

betont er, dass zwischen der Raumvorstellung und der Legasthenie ein hoher Zusammen-

hang besteht. Nicht nur im schulischen Bereich ist das räumliche Vorstellungsvermögen be-

deutsam, auch im beruflichen Bereich – bspw. in der Medizin, beim Technischen Zeichnen, in

der Wissenschaft, bei handwerklichen Berufen (Mechaniker, Fliesenleger, Schreiner, …), im

Städtebau, in der Technik und anderen händischen Tätigkeiten – ist dieser Faktor unabding-

bar. Abschließend erwähnt Maier (1999a, S. 147ff.) noch den privaten Bereich und den Stra-

ßenverkehr, in denen ebenso ein räumliches Vorstellungsvermögen nicht wegzudenken ist.

5.1.2 Gefahren

Werden solche Aufgaben allerdings über einen längeren Zeitraum betrieben, wobei einzig

und allein der Fokus nur auf einem Training des Vorstellungsvermögens bzw. ihr „Gewinn pri-

mär in der 'Steigerung der räumlichen Intelligenz'“ (Weber 2011a, S. 2) liegt, gleichen sich

solche kopfgeometrische Aufgaben schnell „an Intelligenzaufgaben an mit dem Ergebnis,

dass mathematische Themen und deren Verständnis zu kurz kommen“ (Weber 2011a, S. 2f.).

Es kommt – wie beim Kopfrechnen – zum Einschleifen von Algorithmen. Dadurch wächst die

Gefahr, dass das eigentliche Ziel schnell aus den Augen verloren wird und kopfgeometrische

Aufgaben „erinnern dann eher an Vorstellungstraining oder Gehirnjogging“ (Weber 2011b,

S. 32; Hervorhebung durch den Verfasser dieser Arbeit 2015).

57


Vogler (1967, S. 3) spricht einen weiteren wichtigen Aspekt an. Kopfgeometrische Aufgaben

dienen keinesfalls dem Klären „geometrischer Sachverhalte“, sondern sollen „als Wiederho-

lung und immanente Übung bekannte Sachverhalte festigen und vertiefen helfen“. Kopfgeo-

metrie ist also nicht dafür geeignet, in ein neues, den Schülern unbekanntes, Thema einzu-

steigen.

Kopfgeometrische Aufgaben benötigen Zeit, in der Regel sollten dafür 10 bis 15 Minuten in

der Unterrichtsstunde eingeplant werden. Aus der Praxis ist allerdings bekannt, dass oftmals

allein die Zeit für die im Lehrplan vorgegebenen Inhalte nur bedingt ausreicht. Lietzmann

(1924) zeigt auf, dass hierbei besondere Vorsicht geboten ist, „wenn nicht soviel Zeit zur

Verfügung steht“ (zit. nach Degner & Kühl 1984, S. 342).

5.2 Darf ich Kopfgeometrie in der Schule betreiben?

Weder im Lehrplan der Sekundarstufe I (2007) noch im Lehrplan der Sekundarstufe II (1998)

für Rheinland-Pfalz wird die Kopfgeometrie bzw. kopfgeometrische Aufgaben an irgendeiner

Stelle explizit erwähnt, obwohl die Entwicklung und Förderung eines räumlichen Vorstel-

lungsvermögens als eines der Leitideen in den jeweiligen Abschnitten genannt wird.

Während für die Orientierungsstufe in L3: Raum und Form wenigstens von einer Weiterent-

wicklung des räumlichen Vorstellungsvermögens durch Handeln mit geeigneten Materialien

(Lehrplan der Sekundarstufe I 2007, S. 30) gesprochen wird, sind in der 9. und 10. Jahrgangs -

stufe planimetrische, stereometrische und zeichnerische Aktivitäten oder das Üben im Um-

gang mit einer Formelsammlung zentral (ebd., S. 89). Lediglich durch die Herstellung ver-

schiedener Körper und einen Wechsel der Darstellungen soll das räumliche Vorstellungsver-

mögen geschult werden (ebd.). Auch für die gymnasiale Oberstufe ist eine Entwicklung der

Raumvorstellung nur im Abschnitt Wahlpflichtgebiet 1: Geraden und Ebenen im Raum

(Grundfach) (Lehrplan der Sekundarstufe II 1998, S. 31ff.) bzw. im Abschnitt Wahlpflichtge-

biet 1: Vektorielle analytische Geometrie (Leistungsfach) (ebd., S. 57ff.) dargestellt – in ande-

ren Wahlpflichtgebieten hingegen gar nicht. Das Zeichnen von Geraden und Ebenen im Raum

soll bei den Schülern zur Förderung des räumlichen Vorstellungsvermögens

beitragen, kopfgeometrische Aufgaben oder Vorstellungsübungen bleiben unerwähnt. Im An-

hang (S. 81) lässt sich jedoch, in Verbindung mit der Bildenden Kunst, immerhin eine fächer-

58


übergreifende Möglichkeit finden, welche die Raumwahrnehmung und die Raumdarstellung

explizit nennt und in Bezug zu räumlichen Perspektiven setzt.

Es stehen also sowohl in der Sekundarstufe I als auch in der Sekundarstufe II überwiegend

zeichnerische Aktivitäten, bei denen die Raumvorstellung nur in geringem Maße beansprucht

wird, im Vordergrund (vgl. hierzu auch Maier 1996, S. 276f.). Und auch bei planimetrischen

bzw. stereometrischen Berechnungen werden „räumlich-visuelle Anforderungen häufig in

hohem Maße vermieden“ (Maier 1999b, S. 8). Es wird schnell erkennbar, dass die Lehrpläne

„nicht oder nur eingeschränkt dazu geeignet sind, das räumliche Vorstellungsvermögen ziel-

gerichtet zu schulen“ (ebd.).

Obwohl keine curriculare Grundlage für den Einsatz von Kopfgeometrie in der Schule zu fin-

den ist, zeigen die Vorzüge und Vorteile im vorangegangenen Abschnitt, der immer größer

gewordene Fundus an kopfgeometrischen Aufgaben – auch die Erweiterung auf die Sekun-

darstufe II durch Webers Vorstellungsübungen – und die Möglichkeit der Verwirklichung all-

gemeiner mathematischer Lernziele, dass „jeder Lehrer, der das räumliche Vorstellungsver-

mögen seiner Schüler nachhaltig entwickeln will, kopfgeometrische Übungen in seinen Un-

terricht einbeziehen muss“ (Maier 1996, S. 277; Hervorhebung durch den Verfasser dieser

Arbeit 2015). Maier (1999b, S. 4) betont zudem weiter: „Es ist stark zu vermuten, dass eine

[…] räumliche Geometrie, deren Primärziel die effektive Aus- und Weiterbildung unserer

räumlichen Intelligenz ist, zu einer markanten Erweiterung schulisch ausgewogener Bildung

führen würde und somit für unser Bildungssystem von erstrangiger Bedeutung wäre.“ Auch

Graumann (1982) stellt die Wichtigkeit und Dringlichkeit der Kopfgeometrie in der Schule dar

und verweist dabei auf die bereits oben genannte Möglichkeit, die Gedächtnis- und Konzen-

trationsfähigkeit zu schulen.

59


5.3 Trivia – Selbstheilungskräfte durch Mentaltraining

Unsere Gedanken haben einen direkten Einfluss darauf, wie unser Gehirn mit dem

übrigen Körper kommuniziert. (Lipton 2015, zit. nach o. V. 2015, S. 73)

Dean Ornish, ein amerikanischer Kardiologe, beschreibt in dem Artikel Wie das Gehirn den

Körper heilt (o. V. 2015, S. 73), wie das menschliche Gehirn durch Selbstheilungskräfte

Krankheiten oder andere Beschwerden reduzieren oder diese auch komplett beseitigen kann.

Dabei fordert er seine Patienten auf, „sich mittels Bildern in das Innere ihres Körpers

hineinzuversetzen“ (ebd.). Seine Ergebnisse zeigen, dass sich bspw. verstopfte Adern durch

diese Vorstellung wieder öffnen lassen. Auch weitere positive Effekte, wie die Produktion

neuer Herzzellen und folglich der Reparatur des Herzens, sind beachtenswerte

Möglichkeiten, welche sich durch Ornishs Mentaltraining ergeben können. Um ein solches

Mentaltraining durchführen zu können, sind, neben einem Wissen über das Aussehen der

inneren Organe des Menschen, eine Reihe von Fähigkeiten des räumlichen

Vorstellungsvermögens notwendig. Auch hier bieten sich sicherlich vorbereitende –

kopfgeometrische – Übungen an, um dieses zu trainieren. Ornishs Ergebnisse zeigen die

Wichtigkeit und vor allem auch den sinnvollen Nutzen eines gut ausgebildeten räumlichen

Vorstellungsvermögens auf. Wird dieses optimal trainiert und gefördert, besteht in Zukunft

womöglich die Chance, dass sich der Mensch mittels eigener Gedanken selbst heilen bzw.

Krankheiten und Beschwerden bis auf ein Minimum reduzieren kann. Auch wenn diese

Theorien zur Zeit noch sehr utopisch klingen mögen, so hätte eine solche Entwicklung

sicherlich weitreichende Auswirkungen für die Behandlung von Symptomen und Krankheiten

– vor allem aber auch im kardialen Bereich, da dieser besonders im Alter sehr anfällig ist.

Diesem Gedanke ist in dem Artikel nur ein kleiner Bereich gewidmet, trotzdem sollte diesem

Thema keineswegs weniger Beachtung geschenkt werden. Nach seinem Studium und der

anschließenden Promotion in Medizin war er als Assistenzarzt tätig. Schon während seines

Studiums beschäftigte Ornish sich mit der Forschung von Herzerkrankungen, welche er unter

anderem als Mitglied der medizinischen Fakultät der Universität in Kalifornien weiterhin

fortführt. Da er sich schon sehr früh mit der Erforschung von Herzerkrankungen beschäftigte

60


und auch deshalb als nicht unbekannt auf diesem Gebiet gilt, sind seiner Theorien und

Forschungen sicherlich Beachtung zu schenken – vor allem im Hinblick auf die bereits oben

genannten Heilungsmöglichkeiten, die sich durch ein solches Mentaltraining ergeben.

Darüber hinaus trägt sein beachtenswerter Werdegang12 zweifellos zu einer Bekräftigung

dieser Theorien bei und lassen weitere und intensivere Forschungen auf diesem Gebiet

erahnen.

12 Dabei sei auf seine offizielle Homepage http://deanornish.com/about/ verwiesen. Zugriff am 30. September 2015. Dort lässt sich Weiteres über seinen beruflichen Werdegang, seine Forschungen, seine Arbeit als Autor und seine Tätigkeiten als Berater finden.

61

Resümee

6. Resümee

Neben dem sprachlichen Verständnis, der Wortflüssigkeit, der Rechengewandtheit, der Auf-

fassungsschnelligkeit, der Merkfähigkeit und dem logisch-schlussfolgerndem Denken ist das

räumliche Vorstellungsvermögen ein wichtiger Primärfaktor der menschlichen Intelligenz.

Dieses lässt sich kurz als die Fähigkeit des mentalen Operierens mit räumlichen Objekten be-

schreiben. Zudem spielt das aktive Umordnen von gespeicherten Vorstellungen und das Ent-

wickeln neuer Bilder aus bereits vorhandenen eine ebenso entscheidende Rolle. Das räumli-

che Vorstellungsvermögen setzt sich, mit Verweis auf aktuelle Literatur, wiederum aus fünf

autarken Teilkomponenten zusammen. Diese Teilfähigkeiten (räumliche Wahrnehmung, Ver-

anschaulichung, mentale Rotation, räumliche Beziehungen erkennen und räumliche Orientie-

rung) lassen sich mittels der Kopfgeometrie trainieren und fördern.

Während das Kopfrechnen im Mathematikunterricht für ein Automatisieren von Rechenalgo-

rithmen und somit als Fertigkeit für ein Abrufen eingeschliffener Handlungsabläufe angese-

hen wird, ist eine analoge Zuschreibung für die Kopfgeometrie unzutreffend. Diese legt mehr

Wert auf ein Verstehen als auf ein Beherrschen und im Gegensatz zu ihrem Verwandten wer-

den für das Lösen einer kopfgeometrischen Aufgabe bestimmte Fähigkeiten – das Vorstellen

geometrischer Gebilde, wobei diese in ihrer Lage, Größe und Form variiert, kombiniert und

dabei mit dem individuellen Wissen verknüpft werden – benötigt.

Beim Einsatz von Kopfgeometrie im Unterricht kann auf vier methodisch-unterschiedliche

Vorgehensweisen zurückgegriffen werden, die sich, je nachdem ob und wann unterstützende

Hilfsmittel zu Verwendung kommen, voneinander unterscheiden. Dabei findet die zweite

Phase (Phase der Aufgabenstellung = Phase 1; Präsentationsphase = Phase 3), die Phase des

mentalen Operierens, bei allen vier Möglichkeiten ausschließlich im Kopf statt. Um die Ergeb-

nisse im Plenum nach einer Übung zu sammeln, kann eine vierte Phase als Kontrollphase an-

geknüpft werden, in der weitere Fragen aufgeworfen und als Diskussionsgrundlage dienen

können.

In dieser Arbeit stelle ich eine Sammlung unterschiedlicher Übungen aus aktueller und histo-

rischer Literatur vor, wobei eine Zuordnung dieser anhand ihres Schwierigkeitsniveaus und

der zur Bearbeitung benötigten Fähigkeiten zu den Jahrgangsstufen der Sekundarstufen er-

62

Resümee

folgt. Während für die Sekundarstufe in vielen Werken ausreichend Beispiele, Aufgaben und

Anregungen vorhanden sind, nimmt die Anzahl an Vorschlägen beim Übergang auf das

Niveau der Sekundarstufe II deutlich ab. Um dem entgegen zu wirken, werden mathemati-

sche Vorstellungsübungen propagiert. Ähnlich der Kopfgeometrie ist es auch bei diesen Auf-

gaben das Ziel, weitestgehend ohne Gegenstände oder Hilfsmittel auf einer mentalen Ebene

zu einem Ergebnis zu gelangen. Jedoch wird hier unter anderem eine fachliche Pointe ange-

strebt, welche dem Schüler zu neuer Einsicht verhelfen soll, indem diese auf bereits vorhan-

denes – auch nicht-geometrisches – Wissen aufbauen. Durch Letzteres ist es möglich, kom-

plexere Aufgaben, dem Niveau der Sekundarstufe II angemessen, zu stellen, da neben der

Geometrie auch andere Bereiche aus der Mathematik aufgegriffen und mit eingebunden

werden können.

Nun bleibt die Frage, wie sich dieses Thema wohl in Zukunft entwickeln wird. Eine konkrete

Antwort auf diese Frage ist sicherlich schwer zu geben, jedoch können Vermutungen

angestellt werden, welche eine positive Richtung offenbaren.

Der Begriff der Kopfgeometrie wurde zu Beginn des 20. Jh. zum ersten Mal erwähnt. Seitdem

wurden Studien und Untersuchungen – auch in der Praxis – durchgeführt, die Kopfgeometrie

wurde definiert und gegen andere Verwandte aus der Mathematik abgegrenzt. Es wurden

methodische Wege dargestellt, Hilfsmittel für den Unterricht aufgezeigt und zahlreiche Auf-

gaben für fast alle Jahrgangsstufen entwickelt. Aus der Gefahr, dass kopfgeometrische Aufga-

ben einem Gehirnjogging gleichen könnten, gingen mathematische Vorstellungsübungen

hervor.

Auf der Grundlage dieser Entwicklungen der letzten Jahre, dem Drängen auf die Wichtigkeit

einer gut ausgebildeten räumlichen Vorstellungsfähigkeit für das alltägliche Leben und der

aktuellen Literatur zum Thema Kopfgeometrie in der Schule darf vermutet werden, dass die

Mathematikdidaktik an diesen Methoden – Kopfgeometrie und mathematische Vorstellungs-

übungen – festhalten und weiterhin einen stärkeren Einsatz in der Schule propagieren wird.

Beide Typen haben ihre Vorteile und stellen die wichtigsten Mittel für die Entwicklung, für

das Training und für die Förderung des räumlichen Vorstellungsvermögens der Schüler dar.

Sowohl die Vielfalt an Aufgaben als auch die Zahl praxiserprobter Untersuchungen wird si-

63

Resümee

cherlich in den nächsten Jahren weiter zunehmen. Denkbar wäre auch eine Erweiterung

kopfgeometrischer Übungen auf das Niveau der Sekundarstufe II, um auch hier einen Beitrag

leisten zu können.

Royar & Streit (2006) stellen außerdem eine Möglichkeit vor, Kopfgeometrie in einem

„größeren thematischen Zusammenhang einzubetten“ (ebd., S. 27). In ihrem Lernzirkel

können, „ausgehend von strukturierten Anweisungen, die affektive Herangehensweisen

zulassen, […] Einsichten und […] Wissen vertieft sowie (neue) Zusammenhänge mit Hilfe

eigener Tätigkeiten erschlossen und entdeckt“ (ebd., S. 31) werden. Auch diese Idee lässt sich

sicherlich in Zukunft weiterhin verfolgen.

Persönliches Fazit

Der Einsatz von Kopfgeometrie im Mathematikunterricht ist – bei richtiger Anwendung – mit

vielen Vorzügen verbunden. Kopfgeometrie gilt als eines der wichtigsten Mitteln, das räumli-

che Vorstellungsvermögen in der Schule zu entwickeln, zu trainieren und zu fördern. Dieses

hat nicht nur im Mathematikunterricht, sondern auch in anderen Fächern einen großen Stel-

lenwert. Darüber hinaus besitzen auch einzelne Teilkomponenten im Alltag eine große Rele-

vanz – sei es im Beruf, im privaten Bereich bei Aktivitäten des alltäglichen Lebens (Einparken

des Autos, Bewegung, Essen, Haushalt, …) oder sogar bei der Therapie von Krankheiten oder

Lernschwächen wie Dyskalkulie und Legasthenie.

Meines Erachtens nach sind genau aus diesen Gründen kopfgeometrische Aufgaben, nicht

nur wegen ihres motivierenden Faktors13, als ein Grundbestandteil der täglichen Mathemati-

kübungen dringend notwendig und unabdingbar, um das räumliche Vorstellungsvermögen

auszubilden, da dieses in jedweder Lebens- und Alltagssituation von Belangen ist.

13 Das Vergnügen beim Bearbeiten kopfgeometrischer Übungen und die Motivation, sich mit geometrischen – auch aus der jeweiligen Schulzeit eher unbeliebten – Sachverhalten auseinander zu setzen, war an vielen Stellen beim Ausprobieren verschiedener Aufgaben mit Personen aus dem privaten Umkreis immer wieder zu beobachten.

64

Anhang

7. Anhang

Aufgabe 23:

A) Typ Problemlösen – Schattenbilder eines Körpers

1) Stellen Sie sich einen Tisch vor, der in einer Zimmerecke steht. Darüber schwebt eine große

Kugel. Diese Kugel wird von sehr weit oben mit einer hellen Lampe beleuchtet.

Wie sieht das nach unten auf den Tisch geworfene Schattenbild der Kugel aus und welche

Form hat es?

2) Bearbeiten Sie nun die Kugel, und zwar wie folgt: Nach unten soll immer noch derselbe

Schatten geworfen werden. Neu soll jedoch bei der Beleuchtung von der Seite ein

quadratischer Schatten auf die Wand neben dem Tisch geworfen werden.

Wie muss die Kugel dazu bearbeitet werden?

3) Ist es möglich, die Form weiterzubearbeiten, sodass der entstehende Körper einen

dreieckigen Schatten nach hinten wirft, wenn er von vorne beleuchtet wird?

4) Was haben Sie sich im Laufe der Vorstellungsübung vorgestellt?

(Weber 2010, S. 151f.)

65

Anhang

Aufgabe 24:

B) Typ Aufbau – Konstruktion eines Tesseraktes

Stellen Sie sich einen Punkt vor, der in einem dunklen Zimmer hell leuchtet. Dieses Licht hat

die besondere Eigenschaft, dass es dort, wo es sich durchbewegt hat, eine Leuchtspur

hinterlässt, die nicht mehr erlischt.

1) In einem ersten Schritt verschieben Sie den Punkt geradlinig eine Handbreit nach rechts.

Sie erhalten als Leuchtspur eine Strecke von einer Handbreit Länge.

2) Als nächstes schieben Sie diese leuchtende Strecke eine Handbreit von sich weg, senkrecht

nach hinten. Als Leuchtspur entsteht ein Quadrat, welches als Fläche leuchtet.

3) Nun verschieben Sie ihr leuchtendes Quadrat um eine Handbreit in eine Richtung, die Sie

bis jetzt noch nicht genutzt haben, nämlich senkrecht nach oben. So entsteht als Leuchtspur

ein Würfel.

4) Zum Schluss versuchen Sie nun sorgfältig, den Würfel in eine weitere Raumrichtung zu

schieben, die Sie bis jetzt noch nicht genutzt haben. Sie erhalten als Leuchtspur ein weiteres

leuchtendes Objekt.

Können Sie es sehen?

Die leuchtende Strecke hatte zwei Endpunkte, das Quadrat hatte vier.

Wie viele Ecken hat schließlich der Würfel und wie viel hat vermutlich das zuletzt beschrieben

leuchtende Objekt?

Was haben Sie sich im Laufe der Vorstellungsübung vorgestellt?

(nach Weber 2010, S. 115f.)

66

Anhang

Aufgabe 25:

C) Typ Begründung – Ein Dreieck mit drei rechten Winkeln

Stellen Sie sich vor, auf einem kleinen, kugelrunden Planeten zu leben. Er ist so groß, dass Sie

in einem Tag bequem einmal darum herum spazieren können. Auch er hat einen Nord- und

Südpol, einen Äquator und Himmelsrichtungen, genau wie wir es von unserer Erde gewohnt

sind. Zudem sei Ihr Planet so beschaffen, dass er überall begehbar ist.

1) Stellen Sie sich vor, Sie wohnen in einem Haus am Südpol. Jetzt begeben Sie sich von dort

aus auf einen Spaziergang. Sie gehen also vor Ihr Haus, blicken in irgendeine Richtung und

spazieren los, immer geradeaus nach Norden, bis an den Äquator.

2) Dort ruhen Sie sich einen Moment aus. Dann drehen Sie sich um eine Vierteldrehung nach

rechts und gehen exakt am Äquator entlang, Schritt für Schritt, immer geradeaus.

3) Nach einer Weile sind Sie so müde, dass Sie sich entschließen, auf dem kürzesten Weg

heimzukehren: Sie drehen sich also erneut um eine Vierteldrehung nach rechts und gehen

geradeaus, in Richtung Süden, heimwärts.

4) Während Sie sich Ihrem Haus am Südpol nähern, fällt Ihnen auf, dass Sie sich ihm aus einer

anderen Richtung nähern, als wie Sie es am Morgen verlassen haben.

Wie groß ist der Winkel insgesamt, um den Sie sich bei ihren beiden Drehungen am Äquator

nach rechts gedreht haben?

Wie sieht die Figur aus, entlang der Sie spaziert sind?

5) Vergegenwärtigen Sie sich alles noch einmal, was Ihnen während der Vorstellungsübung

durch den Kopf ging:

Was für einen Spaziergang haben Sie unternommen?


(nach Weber 2010, S. 201f.)

67

Anhang

Aufgabe 26:

D) Typ Paradoxon – Die Endlichkeit des Universums

1) Stellen Sie sich vor, dass Ihre Welt die einer Geraden ist. Sie leben auf einem sehr langen,

straff gespannten Seil. Auf Ihrem Seil haben Sie nur wenig Bewegungsmöglichkeiten:

Bewegen Sie sich auf dem Seil ein bisschen vorwärts und bewegen Sie sich ein bisschen

rückwärts.

2) Stellen Sie sich zusätzlich vor, dass das Seil unendlich lang ist. Beginnen Sie, sich in eine der

beiden Richtungen zu bewegen, immer weiter. Garantiert kommen sie nie mehr zum

Ausgangspunkt zurück.

3) Stellen Sie sich jetzt vor, dass Ihr Seil nicht unendlich lang ist, sondern einfach sehr, sehr

lang ist. Es schließt sich zu einem riesigen Kreis.

4) Beginnen Sie, sich in eine der beiden Richtungen zu bewegen.

Was passiert, wenn Sie sich lange genug in die eingeschlagene Richtung weiterbewegen?

Kehren Sie irgendwann einmal zum Ausgangspunkt zurück oder nicht?

5) Stellen Sie sich nur vor, Sie seien ein Lebewesen, das in einer Fläche wohnt, ähnlich einem

Schatten: Bewegen Sie sich in Ihrer flachen Welt zuerst ein paar Schritte vorwärts und ein

paar Schritte rückwärts, dann ein paar Schritte nach links und dann ein paar Schritte nach

rechts.

6) Stellen Sie sich zusätzlich vor, dass ihre Wohnfläche riesig groß ist und aus einer unendlich

großen Ebene besteht.

7) Beginnen Sie, sich in Ihrer flachen Welt in eine feste Richtung geradeaus fortzubewegen,

immer weiter, immer weiter. Sie kehren gewiss nie mehr zum Ausgangspunkt zurück.

8) Stellen Sie sich jetzt vor, dass ihre Fläche zwar groß, aber leicht gekrümmt ist und sich zu

einer riesigen Kugeloberfläche schließt.

9) Bewegen Sie sich in eine feste Richtung Ihrer Kugeloberflächen-Welt fort, immer weiter

und weiter.

Was passiert nun, wenn Sie sich lange genug bewegen?


68

Anhang

10) Sie und ich, wir leben in einem Universum, in dem wir uns nicht nur vorwärts bzw.

rückwärts und unabhängig davon nach links bzw. nach rechts bewegen können, sondern

zusätzlich nach oben bzw. unten.

11) Üblicherweise nehmen wir an, dass unser Universum unendlich groß ist: Stellen Sie sich

vor, Sie starten mit einem Raumschiff von der Erde aus hinaus ins Weltall. Sie fliegen immer

kerzengerade von der Erde weg. Dann kommen Sie nie mehr zur Erde zurück.

12) Jetzt stellen Sie sich zum Schluss vor, dass unser Universum geschlossen ist, so wie schon

das zum Kreis gekrümmte Seil bzw. die zur Kugeloberfläche gebogene Fläche auch

geschlossen waren.

13) Fliegen sie nun ins Weltall hinaus, immer kerzengerade mit festen Kurs, immer weiter.

Was passiert nun, wenn sie lange genug in die eingeschlagene Richtung weiterfliegen?



(nach Weber 2007, S. 220f.; 2010, S. 30)

69

Literaturverzeichnis

8. Literaturverzeichnis

Gedruckte Quellen

Berendonk, S. (2014). Polyedernetze. In MatheWelt. Im Land des Eulerschen Polyedersatze 184 (9f.).

Seelze-Velber: Friedrich Verlag.

Besuden, H. (1984). Knoten, Würfel, Ornamente. Aufsätze zur Geometrie in Grund- und

Hauptschulen In Hayen, J. (Hrsg.) Knoten, Würfel, Ornamente. Aufsätze zur Geometrie in

Grund- und Hauptschulen Stuttgart: Klett Verlag.

Besuden, H. (2006a). Kippfolgen mit einer Streichholzschachtel. Zum Vergnügen und zur

Ausbildung räumlichen Denkens. In mathematik lehren. Sammelband Geometrie (32-35).


Besuden, H. (2006b). Operieren mit Gummibändern. Ebene Schnitte an geometrischen Körpern. In

mathematik lehren. Sammelband Geometrie (52-56). Seelze-Velber: Friedrich Verlag.

Breidenbach, W. (1966). Raumlehre in der Volksschule (10. Auflage). Hannover: Hermann Schroedel

Verlag.

Bruder, R. et al. (Hrsg.) (2015). Handbuch der Mathematikdidaktik. Berlin, Heidelberg: Springer

Spektrum.

Degner, R. & Kühl, J. (1984). Kopfgeometrie. In Der mathematische und naturwissenschaftliche

Unterricht 37 (342-347). Bonn: Ferdinand Dümmlers Verlag.

Fahse, C. (2015). Endlich 18 und vollzählig. Archimedische Körper über den Bau der Ecken

erkunden. In mathematik lehren. Mathe 3D – Raumgeometrie unterrichten 190 (32-35).


Franke, M. (2007). Didaktik der Geometrie in der Grundschule. In Padberg, F. (Hrsg.) Didaktik der

Geometrie in der Grundschule (2. Auflage). Berlin, Heidelberg: Spektrum Akademischer

Verlag.

Gimpel, M. (1992). Was ist und was soll Kopfgeometrie?. In Mathematik in der Schule 30 (257-265).

Berlin: Pädagogischer Zeitschriftenverlag GmbH & Co.

Grave, B. & Müller, R. (2011). Kopfübungen für die Oberstufe. Übungen zur Basissicherung auch

diagnostisch nutzen. In mathematik lehren. Kopfmathematik 167 (38ff.). Seelze-Velber:

Hammer, C. (2011). Immer mal wieder …. Aufgabenideen zur Kopfgeometrie. In mathematik

lehren. Kopfmathematik 167 (24ff.). Seelze-Velber: Friedrich Verlag.

70


Ilgner, K. (1974). Die Entwicklung des räumlichen Vorstellungsvermögens von Klasse 1 bis 10. In

Mathematik in der Schule 12 (693-714). Berlin: Volk und Wissen Volkseigener Verlag.

Kerst, B. (1920). Kopfgeometrie. In Zeitschrift für mathematischen und naturwissenschaftlichen

Unterricht aller Schulgattungen 51 (217-223). Berlin, Leipzig: B. G. Teubner Verlag.

o. V. (2007). Lambacher Schweizer. Mathematik für Gymnasien. Gesamtband Oberstufe mit CAS

(Ausgabe B). Stuttgart: Ernst Klett Verlag.

o. V. (2015). Wie das Gehirn den Körper heilt. In Welt der Wunder. Der Atlas der verbotenen Orte 7

(73). Hamburg: Heinrich Bauer Verlag.

Kubinger, K. D. (2006). Psychologische Diagnostik. Theorie und Praxis psychologischen

Diagnostizierens (2., überarbeitete und erweiterte Auflage) (12 und 198-201). Göttingen:

Hogrefe Verlag.

Maier, P. H. (1996). Kopfgeometrie – Handlungsorientierte und visuelle Aufgabenstellungen. In

Mathematik in der Schule 34 (278-284). Berlin: Pädagogischer Zeitschriftenverlag.

Maier, P. H. (1999a). Räumliches Vorstellungsvermögen. Ein theoretischer Abriss des Phänomens

räumliches Vorstellungsvermögen. Donauwörth: Auer Verlag GmbH.

Maier, P. H. (1999b). Raumgeometrie mit Raumvorstellung – Thesen zur Neustrukturierung des

Geometrieunterrichts. In Der Mathematikunterricht 45 (4-18). Seelze-Velber: Friedrich Verlag.

Nydegger, A. (2015). Training zur Kopfgeometrie. Übungsset zur Förderung des räumlichen

Vorstellungsvermögens ab Klasse 7. In mathematik lehren. Mathe 3D – Raumgeometrie

unterrichten 190 (44f.). Seelze-Velber: Friedrich Verlag.

Piaget, J. (1967). Die Genese der Zahl beim Kind. In Rechenunterricht und Zahlbegriff. Die

Entwicklung des kindlichen Zahlbegriffs und ihre Bedeutung für den Rechenunterricht (3.

Auflage) (50-72). Braunschweig: Westermann Verlag.

Piaget, J. & Inhelder, B. (1971). Die Entwicklung des räumlichen Denkens beim Kinde. Stuttgart: Ernst

Klett Verlag.

Radatz, H. & Rickmeyer, K. (1991). Handbuch für den Geometrieunterricht an Grundschulen.

Hannover: Schroedel Schulbuchverlag.

Roth, J. (2011). Geometrie im Kopf. Bewegliches Denken nutzen und fördern. In mathematik

lehren. Kopfmathematik 167 (28-31). Seelze-Velber: Friedrich Verlag.

Roth, J. & Wittmann, G. (2014). Ebene Figuren und Körper. In Didaktik der Geometrie für die

Sekundarstufe I (2., verbesserte Auflage) (123-156). Berlin, Heidelberg: Springer Spektrum.

Royar, T. & Streit, C. (2006). Kopfgeometrie im Lernzirkel. In Praxis der Mathematik in der Schule. Fit

in Form: Produktives Üben in der Geometrie 12 (26-31). Hallbergmoos: Aulis Verlag.

71


Senftleben, H.-G. (1996). Erkundungen zur Kopfgeometrie (unter besonderer Beachtung der

Einbeziehung kopfgeometrischer Aufgaben in den Mathematikunterricht der Grundschule). In

Journal für Mathematik-Didaktik 17 (49-72). Heidelberg: Springer Verlag.

Senftleben, H.G. (2011). Wege zur Kopfgeometrie. Grundlagen und Lernvoraussetzungen. In

mathematik lehren. Kopfmathematik 167 (19-24). Seelze-Velber: Friedrich Verlag.

Streit, C. & Pinkernell, G. (2011). Mathematik im Kopf. Ansätze für nachhaltigen,

schüleraktivierenden Unterricht. In mathematik lehren. Kopfmathematik 167 (2-9).


Streit, C. & Weber, C. (2011). Kopfmathematische Aufgaben. Aus Schulbuchaufgaben selbst

entwickeln – wie geht’s?. In mathematik lehren. Kopfmathematik 167 (10-14). Seelze-Velber:

Friedrich Verlag.

Thurstone, L. L. (1938). Primary Mental Abilities (Midway Reprint 1975). Chicago: University of

Chicago Press.

Vogler, M. (1967). Geometrie-Aufgaben im Kopf zu lösen. Frankfurt am Main: Moritz Diesterweg

Verlag.

Weber, C. (2007). Mathematische Vorstellungsübungen bilden. Praxis und Theorie von

Vorstellungsübungen im Mathematikunterricht der Sekundarstufe II. Bern: h.e.p. Verlag.

Weber, C. (2010). Mathematische Vorstellungsübungen im Unterricht. Ein Handbuch für das

Gymnasium. Seelze-Velber: Klett/Kallmayer.

Weber, C. (2011b). Vorstellungsübungen. Kopfmathematik, die auf unterschiedliche Prozesse zielt. In

mathematik lehren. Kopfmathematik 167 (32-36). Seelze-Velber: Friedrich Verlag.

Friedrich Verlag.

Weigand, H.-G. (2014). Ziele des Geometrieunterrichts. In Didaktik der Geometrie für die

Sekundarstufe I (2., verbesserte Auflage) (13-33). Berlin, Heidelberg: Springer Spektrum.

72


Ungedruckte Quellen:

Brandl, B. (2010a). Förderung des räumlichen Vorstellungsvermögens. Vortrag auf dem 12.

Bayreuther Mathematikwochenende. Online im Internet unter http://www.did.mat.uni-

bayreuth.de/~werner/geonext/mathewochenende2010/vortrag_brandl/Material%20f

%C3%BCr%20TN/Vortrag_SW.pdf zu finden. Zugriff am 29. Juni 2015.

Brandl, B. (2010b). Beispiele für Kopfgeometrieaufgaben (mit Lösungen). Zusammengestellt von Birgit

Brandl. Online im Internet unter http://www.did.mat.uni-bayreuth.de/

~werner/geonext/mathewochenende2010/vortrag_brandl/Material%20f%C3%BCr

%20TN/ zu finden. Zugriff am 11. September 2015.

Brandl, B. (2011). Das räumliche Vorstellungsvermögen im Mathematikunterricht fördern. In

Beiträge zum Mathematikunterricht 2011 Digital (135-136). Online im Internet unter

http://www.mathematik.tudortmund.de/ieem/bzmu2011/BzMU11_Gesamtdatei.pdf zu

finden. Zugriff am 29. Juni 2015.

Graumann, G. (1982). Es muss wieder mehr Kopfrechnen und Kopfgeometrie betrieben

werden!. In Beiträge zum Mathematikunterricht: Vorträge auf der 16. Bundestagung für

Didaktik der Mathematik (135). Online im Internet unter http://pub.uni-bielefeld.de/

publication/1780239 zu finden. Zugriff am 29. Juni 2015.

Grüßing, M. (2002). Wie viel Raumvorstellung braucht man für Raumvorstellungsaufgaben?

Strategien von Grundschulkindern bei der Bewältigung räumlich-geometrischer

Anforderungen 34.2 (37-45). Online im Internet unter http://subs.emis.de/journals/ZDM/

zdm022a1.pdf zu finden. Zugriff am 21. August 2015.

ISB (2004). Bayerischer Mathematiktest für die Jahrgangsstufe 8 oder Gymnasien (BMT8 2004).

Gruppe (A). München: Staatsinstitut für Schulqualität und Bildungsforschung. Online im

Internet unter http://www.isb.bayern.de/gymnasium/leistungserhebungen/jahrgangs

stufenarbeiten-gymnasium/mathematik/2004/ zu finden. Zugriff am 11. September 2015.

Linn, M. C. & Petersen, A. C. (1985). Emergence and Characterization of Sex Differences in Spatial

Ability: A Meta-Analysis. In Child development 6 (1479-1498). Hoboken, New Jersey: Wiley

Online Library. Erhältlich über das Landesbibliothekszentrum Rheinland-Pfalz (den Ausdruck

kann man nach einer Anmeldung im Landesbibliothekszentrum Rheinland-Pfalz und nach

dem Kauf von TANs als Zahlungsmittel bestellen).

Maresch, H. J. (2013). Strategien für die Bearbeitung von Raumvorstellungsaufgaben. Online im

Internet unter http://www.geotic.at/docs/Strategien-bei-der-Bearbeitung-von-

Raumvorstellungsaufgaben-Maresch-Guenter.pdf zu finden. Zugriff am 22. Juni 2015.

73


Ministerium für Bildung, Wissenschaft und Weiterbildung Rheinland-Pfalz. (1998). Lehrplan

Mathematik. Grund- und Leistungsfach. Jahrgangsstufen 11 bis 13 der gymnasialen

Oberstufe (Mainzer Studienstufe). Mainz: Ministerium für Bildung, Wissenschaft und

Weiterbildung Rheinland-Pfalz.Online im Internet unter http://lehrplaene.bildung-rp.de zu

finden. Zugriff am 13. August 2015.

Ministerium für Bildung, Wissenschaft, Jugend und Kultur Rheinland-Pfalz. (2007). Rahmenlehrplan

Mathematik. Klassenstufen 5-9/10. Mainz: Ministerium für Bildung, Wissenschaft, Jugend

und Kultur Rheinland-Pfalz. Online im Internet unter http://lehrplaene.bildungrp.de zu

finden. Zugriff am 28. Mai 2015.

Roth, J. (2005). Bewegliches Denken im Mathematikunterricht. Dissertation zur Erlangung des

naturwissenschaftlichen Doktorgrades der Bayerischen Julius-Maximilians-Universität

Würzburg. Online im Internet unter http://www.dms.uni-landau.de/roth/

veroeffentlichungen/bewegliches_denken/roth_bewegliches_denken_im_mu.pdf zu finden.

Zugriff am 14. September 2015.

Roth, J. (2006). Dreiecksgrundformen – Horizonterweiterung durch operatives, entdeckendes und

produktives Üben. Online im Internet unter http://www.dms.uni-landau.de/roth/

veroeffentlichungen/dreiecksgrundformen/roth_dreiecksgrundformen.pdf zu finden. Zugriff

am 7. September 2015.

Roth, J. (2014). Didaktik der Geometrie. Kapitel I: Ziele und Inhalte. Online im Internet unter

http://www.juergen-roth.de/lehre/did_geometrie/material.html zu finden. Zugriff am 29.

Oktober 2014.

Schaie, K. W. (2010). Primary mental abilities. In Corsini encyclopedia of psychology. (4., Auflage)

(725-727). Hoboken, New Jersey: Wiley Online Library. Online im Internet unter

https://sharepoint.washington.edu/uwsom/sls/Documents/2010/Schaie-Corsini-

Encyclopedia-v3.pdf zu finden. Zugriff am 2. August 2015.

Thurstone, L. L. (1935). THE VECTOR OF MINDS. MULTIPLE-FACTOR ANALYSIS FOR THE ISOLATION OF

PRIMARY TRAITS. Online im Internet unter https://archive.org/details/

vectorsofmindmul010122mbp zu finden. Zugriff am 31. August 2015.

Treutlein, P. (1911). Der Geometrische Anschauungsunterricht. Als Unterstufe Eines Zweistufigen

Geometrischen Unterrichtes An Hoheren Schulen. Online im Internet unter

http://quod.lib.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath;idno=ABN2464.0001.001 zu

finden. Zugriff am 3. September 2015.

74


Trill-Zimmermann, M. (2014). Kopfgeometrie – Von der Handlung in den Kopf. Online zu

finden unter http://bildungsserver.berlin-brandenburg.de/fileadmin/bbb/

unterricht/faecher/naturwissenschaften/mint/iMINT-Akademie/iMINT-

Grundschule/Powerpoint_Kopfgeometrie_Trill-Zimmermann.ppt.pdf zu finden. Zugriff am

29. Juni 2015.

Weber, C. (2009). Mathematische Vorstellungsübungen für die Oberstufe. Vom Aufbau individueller

Vorstellungen zur Bildung gemeinschaftlichen Wissens. Online im Internet unter

http://www.fhnw.ch/personen/christof-weber/dateien/Weber_2009_MVUe.pdf zu finden.

Zugriff am 16. September 2015.

Weber, C. (2011a). Kopfgeometrie – ein Aufgabenformat wandelt sich. Online im Internet unter

https://eldorado.tu-dortmund.de/handle/2003/32279 zu finden. Zugriff am 29. Juni 2015.

75

Eidesstattliche Erklärung

Eidesstattliche Erklärung

Hiermit bestätige ich, dass die vorliegende Arbeit von mir selbstständig verfasst wurde und

ich keine anderen als die angegebenen Hilfsmittel – insbesondere keine im Literaturverzeich-

nis nicht benannten Internetquellen – benutzt habe und die Arbeit von mir vorher nicht in ei -

nem anderen Prüfungsverfahren eingereicht wurde. Die eingereichte schriftliche Fassung

entspricht der auf dem elektronischen Speichermedium.

____________________________ ____________________________

Ort, Datum Unterschrift des Verfassers