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Korrektur Tutoratsaufgaben V
Leider hat sich in Aufgabenblock 2, 8. der Fehlerteufel eingeschlichen. Die Kontrastgewichte in der Tabelle sollten folgendermaßen aussehen:
Auto Motorrad Fahrrad Zubehör
1/3 1/3 1/3 -3
0 1 -1 0
Memo: einfaktorielle Varianzanalyse
Was fällt euch noch ein?
Memo- Instrument für den Mittelwertsvergleich- Vorteile gegenüber dem t-Test: Vergleich von mehr als zwei Gruppen
mit einem Test bei gleichzeitiger Vermeidung einer Alpha-Fehler-Kummulierung
- Beruht mathematisch auf eine Zerlegung der Varianz in Gesamt-, Gruppen- und Fehlervarianz
- Eine Vorstufe der Varianz stellen dabei die Quadratsummen dar- Der F-Test relativiert die durch die Gruppenzugehörigkeit erklärte
Varianz an der Fehlervarianz- Die Effektgröße einer ANOVA lässt sich über Eta² bestimmen, dass
die erklärte Varianz an der Gesamtvarianz relativiert
Thema: Kontraste & post-hoc-Tests
Gliederung
I. Funktion von Kontrasten & post-hoc-Tests
II. Interpretation wichtiger post-hoc-Tests
III. Berechnung von Kontrasten
I. Funktion von Kontrasten & post-hoc-Tests
ANOVA: unspezifischer „overall-Test“
o Wenn Femp > Fkrit wird die H0 verworfen und damit die H1 angenommen.
o Es gilt also: μi ≠ μj, für mindestens ein Paar i, j
o Allerdings ist damit noch unklar, welche Mittelwerte sich unterscheiden.
strukturell bildhaft emotional
M1=5 M2=10 M3=12
? ?
?
Kontraste oder post-hoc-Tests
Kontraste oder post-hoc-Tests?
F-Test: signifikant?
keine Vermutung über Gruppenunterschiede
Vermutung über Gruppenunterschiede
post-hoc-Tests
Tukey-HSD-Test Scheffe-Test
paarweiser Vergleich von Mittelwerten
Vergleich von Mittel-wertskombinationen
Kontraste; ersetzen auch den F-Test
II. Interpretation wichtiger post-hoc-Tests
Post-hoc-Tests
o Bei signifikantem F-Wert können wir im Nachhinein prüfen, welche Mittelwerte sich unterscheiden.
o Es gibt verschiedene Verfahren hierzu. Eine besonderes hohe Teststärke haben:- Tukey‘s HSD (Honestly Significant Differences)- Scheffé-Test
Post-hoc-Tests: Tukey´s HSD
o Tukey‘s HSD beruht auf dem Vergleich der Mittelwertsdifferenzen
o Ihr müsst den Test nicht rechnen können aber wissen, wie man eine SPSS Ausgabe interpretiert
Mehrfachvergleiche
Abhängige Variable: mem
Tukey-HSD
-5.0000* 1.12546 .002 -8.0026 -1.9974
-7.0000* 1.12546 .000 -10.0026 -3.9974
5.0000* 1.12546 .002 1.9974 8.0026
-2.0000 1.12546 .219 -5.0026 1.0026
7.0000* 1.12546 .000 3.9974 10.0026
2.0000 1.12546 .219 -1.0026 5.0026
(J) bed2.00
3.00
1.00
3.00
1.00
2.00
(I) bed1.00
2.00
3.00
MittlereDifferenz (I-J)
Standardfehler Signifikanz Untergrenze Obergrenze
95% Konfidenzintervall
Basiert auf beobachteten Mittelwerten.
Die mittlere Differenz ist auf der Stufe .050 signifikant.*.
Tukey´s HSD in SPSS
Post-hoc-Vergleiche: Scheffé-Test
o Auch der Scheffé-Test beruht auf Mittelwertsvergleichen
o Analog zu Tukey‘s HSD langt es, wenn ihr eine SPSS-Ausgabe interpretieren könnt
o Der Scheffé-Test hat eine geringere Power als Tukey‘s HSD
Der Scheffe-Test in SPSS
Mehrfachvergleiche
Abhängige Variable: mem
Scheffé
-5.0000* 1.12546 .003 -8.1373 -1.8627
-7.0000* 1.12546 .000 -10.1373 -3.8627
5.0000* 1.12546 .003 1.8627 8.1373
-2.0000 1.12546 .246 -5.1373 1.1373
7.0000* 1.12546 .000 3.8627 10.1373
2.0000 1.12546 .246 -1.1373 5.1373
(J) bed2.00
3.00
1.00
3.00
1.00
2.00
(I) bed1.00
2.00
3.00
MittlereDifferenz (I-J)
Standardfehler Signifikanz Untergrenze Obergrenze
95% Konfidenzintervall
Basiert auf beobachteten Mittelwerten.
Die mittlere Differenz ist auf der Stufe .050 signifikant.*.
III. Berechnung von Kontrasten
Kontraste
o Bestehen vor der Datenerhebung Hypothesen, welche Gruppenmittelwerte sich unterscheiden, werden Kontraste formuliert
o Im Gegensatz zu post-hoc-Tests, prüfen Kontraste nur die a priori vermuteten Mittelwertsdifferenzen auf Signifikanz
Man kann Kontraste daher als geplante Mittelwertsvergleiche bezeichnen
DefinitionDer Kontrast Ψ ist die gewichtete Summe von p Populationsmittelwerten μj, in welcher mindestens ein Gewicht cj ungleich Null ist.
p
jjjc
1
Nominklatur für die Stichprobe:
p
jjj yc
1
ˆ
Voraussetzung: Die Summe aller Gewichte muss null ergeben.
p
jjc
1
0
Kontrast-Berechnung1. Hypothesen aufstellen
Können im Gegensatz zu post-hoc-Tests auch gerichtet sein!
2. Kontrastgewichte cj formulieren
3. Voraussetzungen prüfen:– Ist Summe aller Gewichte = 0?
– sind Kontraste unabhängig?
4. Kontraste berechnen:
5. Signifikanzprüfung per t-Test
p
jjc
1
0
)Ψ( estvartdf
ˆ
p
jjj cc
121 0
p
jjj yc
1
ˆ
Kontrastgewichte (Kodierung)
Kontrast A B C D
1. A vs. B 1 -1 0 0
2. A,B vs. C,D 1/2 1/2 -1/2 -1/2
3. A,B,C vs. D 1/3 1/3 1/3 -1
Die Kontrastkodierung zeigt die Gewichte für die Mittelwerte:
Voraussetzung prüfen: Addieren sich die Gewichte in jeder Zeile zu null?
Unabhängigkeit
o Alle formulierten Kontraste müssen paarweise unabhängig sein.
o Nur bei unabhängigen Kontrasten wird eineα-Fehler Kumulierung verhindert.
o Zwei Kontraste sind unabhängig, wenn gilt:
p
jjj cc
121 0
Unabhängigkeit: Beispiel I
Die Unabhängigkeit muss paarweise überprüft werden:
1 und 2?
1 und 3?
2 und 3?
Kontrast A B C D
1. A vs. B 1 -1 0 0
2. A,B vs. C,D 1/2 1/2 -1/2 -1/2
3. A,B,C vs. D 1/3 1/3 1/3 -1
4
121 0
2
10
2
10
2
11
2
11
jjj cc
4
131 010
3
10
3
11
3
11
jjj cc
67.02
1
6
1
6
1
6
1
12
1
3
1
2
1
3
1
2
1
3
1
2
14
132
jjj cc
ok
ok
X
Unabhängigkeit: Beispiel II
Die Unabhängigkeit muss paarweise überprüft werden:
1 und 2?
1 und 3?
2 und 3?
Kontrast A B C D
1. A vs. B 1 -1 0 0
2. A,B vs. C,D 1/2 1/2 -1/2 -1/2
3. C vs. D 0 0 1 -1
4
121 0
2
10
2
10
2
11
2
11
jjj cc
4
131 010
3
10
3
11
3
11
jjj cc
012
11
2
10
2
10
2
14
132
jjj cc
ok
ok
ok
Berechnung der Kontraste
Kontrast 1: A vs. B
DCBA yyyy 00)1(1ˆ1
Kontrast 2: A & B vs. C & D
DCBA yyyy
2
1
2
1
2
1
2
1ˆ2
Kontrast 3: A & B & C vs. D
DCBA yyyy
1
3
1
3
1
3
1ˆ3
SignifikanzprüfungKontraste werden mit einem t-Test auf Signifikanz überprüft:
p
j j
jwithin n
cMSestvar
pNdf
mit
)Ψ( estvart
1
2
ˆ
:
ˆ
ˆ H0:Der Kontrast ist gleich 0, bzw. die Mittelwerte unterscheiden sich nicht.
H1:Der Kontrast ist ungleich Null, bzw. die Mittelwerte unterscheiden sich.
Analog zu den post-hoc-Tests müsst ihr Kontraste nicht von Hand berechnen sondern lediglich in SPSS mit ihnen arbeiten können.
Kontrast (Mittelwertsdifferenz)
Standardfehler des Kontrasts
Kontraste in SPSS
Ist dieser Kontrast signifikant?
Kommt darauf an, ob eine ungerichtete oder eine gerichtete Hypothese formuliert war…
Kontraste vs. post-hoc-Tests
Eine ANOVA sagt uns lediglich, ob sich mindestens zwei Gruppen unterscheidenUm herauszufinden welche dies sind, gibt es zwei Möglichkeiten:
1. Post-hoc-Tests, falls vor der Datenerhebung keine Hypothesen bestehen (exploratives Vorgehen)
2. Kontraste, falls vor der Datenerhebung bereits Hypothesen bestanden (hypothesengeleitetes Vorgehen); Kontraste ersetzen auch den F-TestBezüglich der Power gilt: Kontraste > Tukey‘s > SchefféFür Freiburger gilt daher der Merksatz: KTS
Unterschiede
mögliche Anzahl = p-1
Leonhart (2008) S. 327
Mögliche und unabhängige Kontraste
Bei p Gruppen können p - 1 unabhängige Kontraste gebildet werden.
Rechenbeispiel Kontraste
Datensatz & Hypothesen
Hypothesen:a. Therapiemethoden wirken im Vergleich zur Kontrollgruppe.b. Psychotherapien wirken besser als medikamentöse Therapie.c. Es gibt einen Unterschied zwischen Psychotherapien.
Kontrast-Gewichte
ok
ok
ok
Unabhängigkeit
ok
ok
ok
Wie viele unabhängige Kontraste sind hier möglich?
p - 1 = 4 – 1 = 3
Kontrast-Errechnung
93,94,2118,123
111
3
16,10
3
1ˆ
A
24,2108,12)1(112
16,10
2
1ˆ
B
4,04,2108,12011)1(6,101ˆ C
Signifikanzprüfung
Welche Informationen benötigen wir noch?
N
n
MSwithin
tkrit
Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit!
