Korrekturen von G. Lekkas verarbeitet kleinere Korrekturen …dqtm/sisy/SiSy_Buch_ZHAW_Sep07/004... · 2007. 2. 7. · Signale + Systeme Abgetastete Signale Version 2.4 5 Bereits

Signale + Systeme Abgetastete Signale

Version 2.4 1

Titel: Darstellung und Analyse abgetasteter Signale

Titel-Kürzel: ABT

Autoren: Niklaus Schmid, sni

Koautor: U. Gysel, gys

Version: v2.0 31. Dezember 2005

v2.1 7. Januar 2006

Korrekturen von G. Lekkas verarbeitet

v2.2 10. Januar 2006

kleinere Korrekturen ausgeführt

v2.3 4. Februar 2006

kleinere Korrekturen auf den Seiten 2, 11, 20, 27 und 28 ausgeführt

v2.4 30. Januar 2007

kleiner Korrekturen


Version 2.4 2

Darstellung und Analyse abgetasteter Signale

1. EINSTIEG: BERÜHRUNGSLOSE ÜBERWACHUNG VON PATIENTEN ....................................................................3 2. ABTASTUNG ZEITKONTINUIERLICHER SIGNALE ................................................................................................4

2.1 Der Abtastvorgang......................................................................................................................................4 2.2 Das Spektrum des abgetasteten Signals ....................................................................................................7 2.3 Übergang zur idealen Abtastfunktion ......................................................................................................10 2.4 Übergang zur Zahlenfolge........................................................................................................................11

3. DIE DISKRETE FOURIERTRANSFORMATION......................................................................................................13 3.1 Das Linienspektrum eines abgetasteten Signals .....................................................................................13 3.2 Die inverse diskrete Fouriertransformation (IDFT)...............................................................................16 3.3 Der Fast-Fourier-Transformations (FFT)-Algorithmus ........................................................................18

4. FREQUENZANALYSE ABGETASTETER PERIODISCHER SIGNALE.......................................................................20 4.1 Problemstellung ........................................................................................................................................20 4.2 Die Auswirkungen des Zeitfensters ..........................................................................................................21 4.3 Auswirkungen einer Fensterfunktion .......................................................................................................22 4.4 Parameterwahl zur Spektrumsberechnung einer periodischen Zeitfunktion .....................................24 4.5 Ein zweiter Blick auf das Zeitfenster .......................................................................................................25 4.6 Vergleich zweier gebräuchlicher Fensterfunktionen ..............................................................................27 4.7 Praktische Hinweise zur Spektrumsberechnung .....................................................................................31

5. FREQUENZANALYSE ABGETASTETER APERIODISCHER SIGNALE ....................................................................33 5.1 Problemstellung ........................................................................................................................................33 5.2 Die Fouriertransformation aperiodischer Zahlenfolgen........................................................................34 5.3 Ein Vergleich der vier Fouriertransformationen ....................................................................................36 5.4 Anwendung der DFT als Approximation der FTD .................................................................................38

6. ZUSAMMENFASSUNG ........................................................................................................................................41


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Lernziele

Digitale Signale können auf geeigneten Medien (Fest- und Wechselplatten, Compact Disc, DVD etc.) ohne Informationsverlust abgespeichert und mit Rechnern automatisierbar verar-beitet werden. Deshalb wollen wir lernen, analoge Signale in eine von Rechnern lesbare Form zu bringen und sie zu analysieren.

Insbesondere wollen wir

• Die mathematische Abtastung verstehen

• Das Abtastintervall richtig wählen können

• Die Auswirkungen der Abtastung im Frequenzbereich (Spektrum) erkennen

• Bei periodischen und nichtperiodischen Signalen das Spektrum mit dem Computer berechnen können

• Wissen, wann eine Fensterfunktion bei der Spektrumsbeurteilung sinnvoll ist

Voraussetzungen

Sie benötigen zum Verständnis dieses Kapitels fundiertes Wissen über

• Die komplexe Fourierreihe

• Das Linienspektrum von periodischen Funktion, insbesondere von Impulsfolgen

• Die Definition der Deltafunktion (x), inkl. Dimension

• Die Fouriertransformation von Impulsen und Impulsfolgen

• Die Stossantwort und Frequenzgangfunktion

1. Einstieg: Berührungslose Überwachung von Patienten

Am Institut für Hygiene und Arbeitsphysiologie der ETHZ wurde vor einigen Jahren ein Dormograph entwickelt. Dieses Gerät erlaubt, Körperbewegung sowie Herz- und Atemfre-quenz einer schlafenden Person aufzuzeichnen. Entscheidender Vorteil des Dormographen gegenüber herkömmlichen, in der Schlafforschung eingesetzten Instrumenten ist der Um-stand, dass die Messung berührungsfrei geschieht. Dazu wird unter jedem Bettpfosten ein Drucksensor angebracht, der die äusserst kleinen, durch den Schlafenden verursachten Bewe-gungen des Bettes misst. Durch geeignete analoge Schaltungen mit anschliessender digitaler Datenverarbeitung lässt sich aus den Rohsignalen die gewünschte Information gewinnen.

Fig. 1 zeigt das Prinzipschema des Dormographen. Die Drucksensoren messen optisch die Bewegungen des Bettfusses und erzeugen ein analoges elektrisches Signal. Ein typisches Sen-sor-Rohsignal zeigt Fig. 2. Die Daten einer ganzen Nacht müssen gespeichert werden. Anschliessend sollen daraus Körperbewegungen sowie Herz- und Atemfrequenz in Funktion der Zeit extrahiert werden.


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Fig. 1 Prinzip des Dormographen

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Fig. 2 Typisches Sensor-Rohsignal des Dormographen

Zwei Fragen interessieren uns hier am Dormographen besonders:

• Wie wandeln wir das analoge Sensorsignal in eine Zahlenfolge oder Zeitreihe um, d.h. in eine Signalbeschreibung, welche ein Rechner speichern und verarbeiten kann, ohne wesentliche Information im Signal zu verlieren?

• Wie analysieren wir dieses Signal mit einem Rechner, damit wir daraus die gesuchten Informationen finden können.

Ähnliche Fragestellungen ergeben sich in sehr vielen anderen Anwendungen und sind daher von zentraler Bedeutung in der Erzeugung und Verarbeitung digitaler Signale. In diesem Kapitel wollen wir uns zuerst mit der Abtastung analoger Signale befassen und uns anschlies-send intensiv mit der Frequenzanalyse solcher digitaler Signale auseinandersetzen.

2. Abtastung zeitkontinuierlicher Signale

2.1 Der Abtastvorgang

Ein Rechner ist nicht in der Lage, kontinuierliche Signale aufzuzeichnen. Er kann nur Zahlen-werte oder andere Informationen in Form von Bitmustern speichern. Wir sind daher gezwun-gen, das kontinuierlich anfallende Signal in eine Folge von diskreten Zahlenwerten, in der Regel zu äquidistanten Zeitpunkten tn = n T mit n = ... , -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... zu wandeln.


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Bereits im Kapitel Signalformen und Systemtypen haben wir diese Signalart als digitale Signale kennen gelernt.

Entnehmen wir von einem analogen Signal zu diskreten Zeitpunkten Signalwerte oder Stichproben, nennen wir diesen Vorgang Abtastung (englisch sampling). In der Praxis wer-den fast ausschliesslich elektrische Spannungen abgetastet. Nichtelektrische Signale, wie z.B. die mechanische Bewegung des Bettfusses, müssen also zuerst in eine elektrische Spannung umgewandelt werden.

Den Abtastvorgang stellen wir uns so vor, dass ein für kurze Zeitmomente periodisch schliessender Schalter verwendet wird, Fig. 3. Damit werden schmale Ausschnitte aus dem kontinuierlichen Signal herausgeschnitten.1

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Fig. 3 Prinzip der Abtastung eines analogen Signals mit kurzen Impulsen

Mathematisch lässt sich die Abtastung mit einer Multiplikation beschreiben:

u

s(t) = u(t) r(t) (1)

Dabei besteht die Abtastfunktion r(t) aus einer Folge von kurzen Impulsen der Dauer T0 und mit dem Pulsabstand Ts. Damit wird die Abtastfrequenz fs (englisch sampling frequency)

fs =

1

Ts

(2)

Die Form des abgetasteten Signals lässt erkennen, dass man der idealen Abtastung zum einzelnen Zeitpunkt am nächsten kommt, wenn T0 des Abtastimpulses möglichst klein ist.

Die entscheidende Frage lautet, wie oft das Eingangssignal abgetastet werden muss, damit es genügend genau durch seine Abtastwerte dargestellt wird. Dazu betrachten wir Fig. 4, welche zwei Sinussignale mit einer Frequenz von fe1 = 2.5 Hz im Teil a) und von fe2 = 8.6 Hz im Teil b) zeigt. Beide Signale werden mit einer Abtastfrequenz von fs = 10 Hz abgetastet.

1 In der Praxis führt man den Abtastvorgang mit einer sog. Sample-and-Hold-Schaltung, auch S/H-Schaltung genannt, aus, welche die Momentanspannung zu Zeitpunkten im Abstand von Ts festhält. Diese während eines Teils von Ts

festgehaltene Spannung wird anschliessend im sog. Analog-Digital-Wandler, kurz A/D-Wandler, in ein digitales Wort

umgewandelt. Etwas ungenau bezeichnet man mit A/D-Wandler meist die Kombination von S/H-Schaltung und

eigentlichem A/D-Wandler.


Version 2.4 6

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Fig. 4 Zur minimalen Abtastfrequenz eines Signals, fe1 = 2.5 Hz, fe2 = 8.6 Hz, fs = 10 Hz

Ob bei der Abtastung nichts an Information des kontinuierlichen Signals verloren geht, er-fahren wir bei der sog. Rekonstruktion. Darunter versteht man die Wiederherstellung des analogen Signals aus seinen Abtastwerten. Ohne Kenntnisse der technischen Realisierung kann man sich vorstellen, man könne das analoge Signal durch Verbinden der Abtastwerte zurückgewinnen. Beim niederfrequenteren von Fig. 4a) scheint dies ohne weiteres möglich zu sein. Beim höherfrequenteren von Fig. 4b) ist dies nicht der Fall. Wenn man nur die Abtast-werte kennt, würde man ohne Vorkenntnisse des ursprünglichen Signals das gestrichelt ge-zeichnete rekonstruieren. Man spricht bei diesem Vorgang von Unterabtastfehler oder eng-lisch Aliasing, wobei auch im Deutschen fast ausschliesslich der englische Ausdruck ge-braucht wird. Die unerwünschten Signale, die man bei der Rekonstruktion des ursprünglichen Signals erhält, werden Aliassignale oder einfach kurz Alias' genannt. Die Schlüsselfrage lautet

Wie soll man die Parameter T0 und Ts der Abtastfunktion wählen, damit im abgetasteten Signal genügend Information zur Rekonstruktion vorhanden ist?

Wir beantworten diese Frage, indem wir einen Blick auf das Spektrum des abgetasteten Sig-nals werfen, das wir im nächsten Schritt berechnen.


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2.2 Das Spektrum des abgetasteten Signals

Wir führen die Berechnung beispielhaft mit einem analogen Eingangssignal bestehend aus zwei Cosinusanteilen der Frequenzen fe1 und fe2 durch (Fig. 5). Die Parameter des Eingangssignals u(t) und des Abtastsignal r(t) lauten:

u1(t) = 1V cos(2 fe1t) fe1 = 1 Hz u(t) = u1(t) + u2(t) mit

u2(t) = 1V cos(2 fe2t) fe2 = 2 Hz

r(t) mit Ts = 125 ms T0 = 12.5 ms fs = 8 Hz

Das Produkt von Eingangs- und Abtastsignal ist in Fig. 5 links unten dargestellt.

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Fig. 5 Links die Zeitsignale und rechts die Spektren von Eingangssignal, Abtastsignal

und abgetastetem Signal.


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Achtung

Die Spektren in Fig. 5 sind mit Diracstössen (Pfeilen) dargestellt, da es sich hier um dis-

krete Spektrallinien in Funktion der kontinuierlichen Frequenzvariablen f handelt, also die

Darstellung eines Dichtespektrums (siehe dazu das Kapitel Fouriertransformation). Im Gegensatz dazu erfolgt die übliche Darstellung von diskreten Spektren mit Zahlenfolgen

in Funktion des Laufparameters k der Harmonischen, die wir mit vertikalen Geraden mit

einem Punkt als Ende in eine grafische Darstellung eintragen. Allerdings ist es für dis-

krete Spektren oft sinnvoll, als Argument der Abszisse die Frequenz und nicht den Lauf-

parameter anzugeben. Dies gilt vor allem für die Präsentation von praktischen Berech-

nungen und Messungen. Dies bedeutet eine kleine Inkonsequenz, erleichtert aber oft die

Lesbarkeit der Spektren.

Das Spektrum des abgetasteten Signals lässt sich, wie im Kapitel Fouriertransformation gezeigt, elegant als Faltung der Spektren von Eingangs- und Abtastsignal berechnen. Es gilt:

z(t) = x(t) y(t) Z( ) =

1

2X ( )* Y ( ) (3)

oder z(t) = x(t) y(t) Z(f ) = X (f )* Y (f ) (4)

Neben dem Spektrum von u(t) brauchen wir noch jenes von r(t). Letzteres kennen wir aus dem Kapitel Fourierreihen. Für Impulse der Breite T0, der Periodendauer Ts und mit dem Spitzenwert A besteht es aus Spektrallinien im Abstand von fs mit den Werten

2

R[k] = AT0

Ts

sin(k T0

/Ts)

k T0

/Ts

(5)

Wendet man die Faltung auf die zweiseitigen Spektren des Eingangssignals und der Abtast-funktion (A = 1) an, so erhält man das in der rechten Spalte von Fig. 5 unten abgebildete Spektrum. Dabei fällt auf, dass das zweiseitige Spektrum des Eingangssignals periodisch mit dem Frequenzabstand fs wiederholt wird. Die Amplituden des nach k·fs verschobenen Ein-

gangsspektrums sind mit dem Faktor R[k] gewichtet, nehmen also gemäss Gl. (5) ab. Diese

Abnahme wird erst bei einem anderen Massstab der Frequenzachse deutlich erkennbar.

Dieses Resultat liefert uns die entscheidende Antwort auf die brennende Frage nach der minimalen Abtastfrequenz, auch Abtasttheorem, Nyquist-Kriterium oder Shannon-Theorem genannt:

2 Die konsequente Schreibweise für Spektrallinien eines kontinuierlichen, periodischen Signals x(t) in Funktion des

Laufparameters k ist X[k]. Dies steht im Gegensatz zur Schreibweise im Kapitel Fourierreihen, wo wir die Schreibweise X

k bzw. c

k verwendet haben. Wir werden die alte Schreibweise weiter verwenden, wenn dies zur

Unterscheidung von anderen hilfreich ist.


Version 2.4 9

Das abgetastete Signal enthält immer noch das unverfälschte Spektrum des Eingangssignals, falls die Abtastfrequenz grösser als das Doppelte der maximalen Eingangsfrequenz ist, oder

fs > 2 f

e,max

Wir erkennen nun aus dem Spektrum des abgetasteten Signals, Fig. 5, auch den notwendigen Schritt zur Rekonstruktion: Man gewinnt das ursprüngliche Signal aus dem abgetasteten wie-der zurück, indem man alle Frequenzkomponenten unterhalb fs/2 mit einem geeigneten Tief-passfilter herausfiltert. Da realisierbare Filter nicht unendlich steile Flanken besitzen, ist man

in der Praxis auf maximale Eingangsfrequenzen fe,max < 0.8 ... 0.9 fs/2 beschränkt. Als Bei-

spiel sei die Abtastung eines Audiosignals in CD-Qualität erwähnt mit fe,max = 20 kHz und

fs = 44.1 kHz oder fe,max = 0.907 fs/2.

Verletzt man das Abtasttheorem, so kommt es zu einer Überlappung des Eingangsspektrums mit solchen, die um k·fs verschoben sind. Es entsteht ein unerwünschtes Aliassignal

3 im zuläs-sigen Band des Eingangssignals. Es braucht also bereits vor der Abtastung ein Tiefpassfilter mit einer Grenzfrequenz bei fs/2. Wegen seiner Funktion wird es auch Antialiasfilter genannt.

Beispiel 1: Aliasfrequenzen im Beispiel von Fig. 4

Betrachtet man das Spektrum der abgetasteten Signale von Fig. 4 (siehe Fig. 6), so erkennt man die Spektrallinien der beiden Eingangssignale, aber auch die durch die Abtastung entstehenden gefalteten Spektren. Da fe2 > fs/2 ist, kommt ein Alias bei fs-fe2 = 1.4 Hz unterhalb von fs/2 = 5

Hz zu liegen. Es ist diese Frequenz, welche man bei der Rekonstruktion ohne weitere Vorkenntnisse aus den vorhandenen Abtastwerten gewinnt (siehe gestrichelte Sinusschwingung in Fig. 4b)

3 Aliassignale kennt jeder Laie, weiss aber nicht immer genau, wie sie entstehen. Ein typisches Beispiele sind die

berühmten rückwärts oder nur langsam drehenden Speichenräder im Film. Sie entstehen aufgrund der Wiedergabe des

Films mit einer diskreten Anzahl von Einzelbildern, welche einer Abtastung entspricht. Dreht sich das Rad von Bild zu

Bild näherungsweise um den Winkel, der zwischen zwei Speichen gebildet wird (oder Vielfache davon), so steht das

Rad für den Filmbetrachter nahezu still (ev. dreht es leicht vor- oder rückwärts).

Ein zweites Beispiel betrifft stroboskopische Drehzahlkontrollen, wie sie teilweise bei alten Plattenspielern eingebaut

waren. Dort wird ein Strichmuster auf dem Rand des Drehtellers mit einer Stroboskoplampe beleuchtet (abgetastet).

Stimmt die Drehzahl, so scheint das Strichmuster stillzustehen.

In beiden Fällen ist die Eingangsfrequenz näherungsweise oder völlig identisch mit der Abtastfrequenz und man

beobachtet einen Alias, der näherungsweise oder exakt bei f = 0 liegt.


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Fig. 6 Spektrum zu den Signalen im Beispiel von Fig. 4

2.3 Übergang zur idealen Abtastfunktion

Die Gewichtung der Spektrallinien des abgetasteten Signals mit R[k] vermindert die

Amplituden aller Frequenzkomponenten im abgetasteten Signal. Die Abschwächung um den Faktor T0/Ts lässt sich verhindern, wenn wir die Abtastfunktion mit A = Ts/T0 "verstärken". Der Abtastimpuls erhält dadurch die Fläche Ts (Fig. 7a). Schliesslich lassen wir die Impuls-dauer gegen null streben und erhalten so im Grenzfall als Abtastfunktion eine periodische Folge von Diracstössen mit dem Gewicht Ts (Fig. 7b).

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Fig. 7 Übergang von Abtastimpulsen endlicher Breite zur idealen Abtastfunktion und

zugehörige Spektren


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Diese ideale, dimensionslose Abtastfunktion lässt sich als

r(t) = Ts

t nTs( )

n=

+

(6)

schreiben und führt zu folgender mathematischen Beschreibung des Abtastvorganges:

us(t) = u(t) r(t) = T

su(t) t nT

s( )n=

+

= Ts

u(nTs) t nT

s( )n=

+

(7)

Das Spektrum der idealen Abtastfolge erhalten wir ebenfalls als Grenzübergang für

1 / T

0 aus dem Spektrum der Impulsfolge endlicher Breite (Fig. 7c). Das Ergebnis ist

eine periodische Folge von Spektrallinien mit dem Wert 1 bei den Frequenzen k·fs (Fig. 7d). Dieses Spektrum liesse sich natürlich auch direkt aus der Definition der Fourierreihen gewin-nen.

Das Spektrum eines abgetasteten Eingangssignals verändert sich durch die ideale Abtastung insofern, dass nun alle nach k·fs verschobenen Eingangsspektren genau gleich gross werden.

2.4 Übergang zur Zahlenfolge

Die mathematische Beschreibung der Abtastung von Gl. (7) hat den Vorteil, dass sie eine auf der Zeitachse kontinuierliche Funktion darstellt. Auf sie kann die Fouriertransformation an-gewendet werden. Mit den Deltafunktionen der mathematischen Beschreibung kann ein Rechner natürlich nichts anfangen: er benötigt Zahlen. Für die Bearbeitung mit dem Rechner sind nur Zahlenfolgen geeignet.

Dazu wird die Impulsfolge us(t) mit Hilfe des eigentlichen A/D-Wandlers in eine Zahlenfolge bzw. eine Zeitreihe u[n] umgewandelt (Fig. 8). Die Zuordnung der Zahlen u[n] zum abgetasteten Signal us(t) erfolgt in der Regel so, dass der quantisierte Signal-Momentanwert zum Zeitpunkt der Abtastung als Zahl verwendet wird, also

u[n] = u(t = nTs) (8)

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Fig. 8 Das vollständige Schema des idealen Abtasters und A/D-Wandlers


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Achtung

Die Zahlenfolge u[n] unterscheiden wir sowohl grafisch als auch in der Schreibweise klar

von us(t). Letztere ist als Funktion der kontinuierlichen Zeitvariablen mit Diracstössen

dargestellt, während die Zahlenfolge u[n] in Funktion des Laufparameters n mit Geraden

mit Punkten dargestellt wird. Dies ist analog zur Unterscheidung der Linienspektren in

Funktion des Laufparameters k von Dichtespektren in Funktion von f.

Die Analyse der Zahlenreihe u[n] und die Beschreibung des Verhaltens von digitalen Syste-men ist nicht mehr mit den bekannten Methoden für kontinuierliche Signale und Systeme möglich. Dazu werden wir in einem späteren Kapitel neue Verfahren kennen lernen, zum Bei-spiel die Differenzengleichungen und die z-Transformation.

Beispiel 2 Zeitbeschreibung von diskreten Signalen

Es ist das abgetastete Signal von Fig. 9 mathematisch und als Zahlenfolge zu beschreiben.

Fig. 9 Beispiel eines abgetasteten

Signals

Mathematische Formulierung:

us(t) = T

su(nT

s) (t nT

s)

n= 1

3

= 0.2 mVs t + 0.1 ms( ) + 0.2 mVs t( ) + 0.2 mVs t 0.1 ms( )0.1 mVs t 0.2 ms( ) 0.1 mVs t 0.3 ms( )

Zahlenfolge:

u[n] = 2 2 2 -1 -1 0 V mit n = -1, 0, 1, 2, 3, 4

Beispiel 3 Abtastung eines Sinussignals

Die analoge Funktion u(t) = 3V cos 100s

1t( ) werde mit einem idealen Abtaster mit der

Abtastfrequenz fs = 1 kHz abgetastet (Ts = 1 ms).

Wie lautet die mathematische Formulierung des abgetasteten Signals us(t) allgemein und zum

Zeitmoment t = 3 Ts =3 ms ?

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Version 2.4 13

us(t) = T

su nT

s( ) t nTs( )n=

+

= Ts

3V cos 1001

nTs( ) t nTs( )

n=

+

= 3mVs cos 100s1

n Ts( ) t nTs( )

n=

+

und u

s(3T

s) = u

s(3ms) = 2.87 mVs (3 ms 3 ms) = 2.87 mVs (0)

3. Die diskrete Fouriertransformation

3.1 Das Linienspektrum eines abgetasteten Signals

Im letzten Abschnitt haben wir das Spektrum des abgetasteten Signals über die Spektren der Eingangssignale und der Abtastfunktion berechnet. In der Praxis verläuft der Weg aber an-ders. Im Beispiel des Dormographen werden die anfallenden Signale digitalisiert und an-schliessend geht es darum, aus den Zahlenreihen sichtbare oder versteckte Periodizitäten, z.B. die Atmungs- oder Herzfrequenz herauszulesen. Wir haben also keine a priori Kenntnisse über mögliche Frequenzanteile in unserer Zahlenreihe. Es geht um die Fourieranalyse des abgetasteten Signals.

Im Folgenden verwenden wir für diskrete Signale, also Zahlenreihen, analog zu den kontinu-ierlichen die allgemeinen Bezeichnungen u n[ ] für Eingangsgrössen, und x n[ ] oder y n[ ] für

Ausgangsgrössen. Das Subskript s für "abgetastet" lassen wir immer dann weg, wenn aus dem Zusammenhang klar hervorgeht, dass es sich um abgetastete Signale handelt oder dass es sich um die Abtastperiode T = Ts handelt. Wir gehen aus vom mathematisch beschriebenen, abgetasteten Signal

xs(t) = x(t) r(t) = T x(nT ) (t nT )

n=

+

(9)

Als nächstes stellt sich die Frage, welche Anzahl von Abtastwerten wir für unsere Analyse verwenden wollen. Für die Fourieranalyse kontinuierlicher Signale haben wir eine Periode der Grundschwingung des zu analysierenden Signals gewählt. Bei digitalen Signalen sind wir in der Regel durch die feste Abtastfrequenz gezwungen, Abtastwerte zu definierten Zeiten zu wählen. Im Moment gehen wir davon aus, dass wir nur N Abtastwerte verwenden. Unser Analyseintervall, auch Fensterbreite oder Zeitfenster genannt, ist daher

T

1 = N T (10)

und die Grundkreisfrequenz der Fourieranalyse

1=

2

NT (11)

Gl. (9) setzen wir ein in die Berechnungsformel für die Fourierkoeffizienten


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X k =1

T1

xs(t) e

jk1t

dt

0

T1

= 1

T1

T x(nT ) (t nT )

n=0

N 1

ejk

1nT

dt

0

T1

=1

T1

T x n

n=0

N 1

ejk

1nT

(t nT ) dt

0

T1

1 für jedes n 0,N 1

Dabei haben wir die Werte x(nT ) der kontinuierlichen Funktion x(t) ab der Stelle in dieser

Herleitung, wo sie zu den diskreten Abtastzeitpunkten nT vor das Integral bewegt werden,

nach Gl. (8) durch die Zahlenfolge x n ersetzt. Der resultierende Ausdruck kann

übersichtlicher geschrieben werden, wenn T

1 und 1 durch die Gl. (10) bzw. (11) ersetzt

werden. Wir erhalten so die diskrete Fouriertransformation (DFT)

X k =1

Nx n e

j2 kn

N

n=0

N 1

(12)

Achtung

Wie schon bei der kontinuierlichen Fourierreihe sind auch hier alle Fourierkoeffizienten

Spitzenwerte der zugehörigen Sinuskomponenten. Um die Schreibweise nicht zu über-lasten, wird aber meist das Spitzenwertzeichen weggelassen. Wir schreiben also statt

X̂ k[ ] nur X k[ ] .

Für den Teilausdruck s

nk = e

j2 kn

N , der in Gl. (12) auftritt, gilt der Zusammenhang:

s

nk + N = e

j2 (k+N )n

N = ej2 kn

N ej2 Nn

N = ej2 kn

N = sn

k (13)

Die Folge s

nk ist also periodisch mit der Periode N. Aus Gl. (12) und (13) folgt daraus für

die Fourierkoeffizienten:

X k + N =1

Nx n e

j2 (k+N )n

N

n=0

N 1

= 1

Nx k e

j2 kn

N

n=0

N 1

= X k (14)

Die Fourierkoeffizienten sind also selber periodisch mit der Periode N. Es genügt daher, wenn die ersten N Koeffizienten berechnet werden. Zudem fällt auf, dass genau gleich viele Koef-fizienten vorhanden sind wie Abtastwerte.


Version 2.4 15

Falls die Abtastwerte x n[ ] reell sind, gilt weiter

X k = 1

Nx n e

+ j2 kn

N

n=0

N 1

= 1

Nx n e

j2 kn

N

n=0

N 1*

= X*

k (15)

Die Fourierkoeffizienten mit negativem Laufparameter sind konjugiert komplex zu denjeni-gen mit positivem Laufparameter. Kombiniert man diese Eigenschaft mit der Periodizität der Fourierkoeffizienten, so findet man

X k = X

*N k (16)

Es genügt also bei reellen Abtastwerten, die Hälfte aller Koeffizienten X[k] gemäss Gl. (12) zu berechnen.

Beispiel 4 DFT einer gegebenen Zahlenfolge

Gegeben sei die folgende Zahlenfolge von 20 Abtastwerten, die mit einer Abtastperiode T = 1 ms gewonnen wurde (Fig. 10a):

x n = 0.900 0.775 0.702 0.873 0.752 0 -0.752{ -0.872 -0.702 -0.775

-0.900 -0.775 -0.702 -0.873 -0.752 0 0.752 0.873 0.702 0.775}

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Fig. 10 Beispiel 4: Abtastwerte und zugehöriges Spektrum

Diese Werte setzen wir in Gl. (12) ein und berechnen so die Fourierkoeffizienten

X k = 0 0.5 0 0.15 0 0.1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.1 0 0.15 0 0.5{ }

Aus T = 1 ms und N = 20 folgt f1 = 1/(N T ) = 50 Hz . Das Spektrum enthält Signalanteile bei

der Grundfrequenz f1 und den Vielfachen f3 und f5 sowie oberhalb von fs/2 die verschobenen Spektren aus dem Band -fs/2 < f < fs/2.

Betrachtet man die Abtastwerte etwas genauer, so erkennt man eine hohe Symmetrie. Tatsäch-lich entstand die Zahlenfolge durch Abtastung von exakt einer Periode des periodischen Signals

x(t) = 1 cos(2 50t) 0.3 cos(2 150t) + 0.2 cos(2 250t)


Version 2.4 16

(siehe Umhüllende der Abtastwerte in Fig. 10a). Die DFT liefert uns die im abgetasteten Signal steckenden drei Frequenzanteile |X[1]| = 0.5, |X[3]| = 0.15 und |X[5]| = 0.1.

Die DFT ergibt in diesem Beispiel exakt die Fourierkoeffizienten, die wir auch von einer Fourieranalyse des kontinuierlichen Signals erhalten hätten. Zusätzlich kommen die gefalteten Spektren dazu. Das Spektrum wird periodisch, wie wir das schon im ersten Abschnitt gesehen haben.

Neu bei der DFT ist die Tatsache, dass wir nur N Spektrallinien erhalten, nämlich aus-schliesslich Vielfache von

f1= 1/(N T ) . Welche Folgen dies auf die Analyse eines Signals

hat, dessen Spektrum nicht nur Vielfache von f1 enthält, wollen wir später betrachten.

3.2 Die inverse diskrete Fouriertransformation (IDFT)

Nach der Theorie der Fourierreihen lässt sich das Zeitsignal wieder aus den komplexen Spektralkomponenten regenerieren, wenn man alle Harmonischen zusammenzählt, also eine Fouriersynthese durchführt:

x(t) = X k ejk

1t

k =

Bei einem periodischen Linienspektrum erhalten wir

x nT( ) = X k e jk 1nTk=

+

= X k e

j2 kn

N

k=

+

(17)

Da unser Spektrum aber periodisch ist, genügt es, für einen Zeitwert die N Koeffizienten einer Spektrumsperiode zu addieren. Zusätzlich schreiben wir die Signalwerte, die wir nur für die ursprünglichen Abtastzeitpunkte berechnen, als Zahlenfolge. So erhalten wir die inverse diskrete Fouriertransformation (IDFT)

x n = X k e

j2 kn

N

k=0

N 1

(18)

Dass nur N Summanden nötig sind, um einen Zeitwert wieder zu erhalten, wird deutlich, wenn in der Gl. (18) die Fourierkoeffizienten X[k] durch die DFT-Summe von Gl. (12) ausge-drückt werden:

x m = X k e

j2 km

N

k=0

N 1

= 1

Nx n e

j2 kn

N

n=0

N 1

e

j2 km

N

k=0

N 1

(19)

Diese Doppelsumme kann umgeschrieben werden zu


Version 2.4 17

x m = x n1

Ne

j2 k( m n )

N

k=0

N 1

P

n=0

N 1

(20)

Dabei nimmt der hintere Teil "P" der Summe die folgenden Werte an:

P =0, falls m nN ,falls m=n{

Der 2. Fall kann an einigen Beispielen einfach gezeigt werden. So gilt für N = 4 und m-n = 1

P = e0+ e

j2 + e j + e

j3

2 = 0

Es entstehen vier Einheitszeiger, die sich gesamthaft aufheben, da sie einen regelmässigen Stern ergeben. Dies gilt für alle denkbaren Kombinationen von N, m und n.

Von Gl. (20) bleiben also nur die folgenden Summanden übrig:

x m = x n1

NN =

n=m

x n = m

Weiter ist es unwesentlich, welchen Ausschnitt aus dem periodischen Spektrum wir für die IDFT verwenden. Wir könnten auch schreiben

x n = X k e

j2 kn

N

k=l

N +l 1

Um dies zu zeigen, tauschen wir in der IDFT Gl. (18) den Summanden mit X[k] durch jenen mit X[k+N] aus, die nach Gl. (14) identisch sind.

Beispiel 5 DFT eines periodischen digitalen Signals

Es soll die DFT der periodischen Rechteckspannung von Fig. 11 berechnet und das Spektrum skizzieren werden.

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Fig. 11 Digitale Rechteckspannung mit N = 8 und der abgetasteten kontinuierlichen Spannung (gestrichelt), Ts = 0.1 s, fs = 10 Hz, T1 = 0.8 s = Periodendauer = Fensterbreite

Es ist immer sinnvoll, sich ein Bild von dem zu erwartenden Ergebnis zu machen. Dazu skiz-zieren wir die kontinuierliche Spannung, welche durch Abtastung zu unserer Abtastfolge wird (gestrichelt in Fig. 11). Dieses kontinuierliche Signal muss symmetrisch zu den Abtastwerten liegen und ist daher um T1/16 gegenüber einem Rechtecksignal mit positivem Sprung bei t = 0


Version 2.4 18

verschoben. Das zugehörige Spektrum (siehe Kapitel Fourierreihen) besitzt ausschliesslich ungerade Harmonische mit den Koeffizienten

u

0 = A / 2, U

k =

A

k und U

k = 90° + k 22.5°, k = 1, 3, 5, ....

oder in Zahlen

U0= 5 V , U

1 = 3.183 V -67.5°, U

3 = 1.061 V 22.5°

U5 = 0.636 V 22.5°, U

7 = 0.455 V 67.5°

Die Phasenverschiebung erklärt sich aus der Zeitverschiebung des kontinuierlichen Rechtecksig-nals von -3T1/16 gegenüber dem zeitlich symmetrischen, geraden Signal.

Nun berechnen wir die DFT des abgetasteten Signals und erhalten die Fourierkoeffizienten

U 0 = 5 V , U 1 = U

*7 = 3.266 V -67.5° und 3 = U

*5 = 1.353 V 22.5°

Ein Vergleich dieses Ergebnisses mit den ersten sieben Werten der kontinuierlichen Fourierreihe zeigt markante Unterschiede (Fig. 12).

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Fig. 12 Spektren zu den Spannungen von Fig. 11, a) abgetastete und b) kontinuierliche

Rechteckspannung

Die Phasen beider Spektren sind identisch. Das Amplitudenspektrum des digitalen Signals ist periodisch mit der Periode N = 8, d.h. bereits ab der 5. Harmonischen wiederholt sich das Spektrum. So ist es nicht überraschend, dass die 3. Harmonische des digitalen Signals schon merklich von jener des kontinuierlichen abweicht. Der Grund liegt in der sehr ungenauen Nach-bildung des kontinuierlichen Signals mit seinen Sprüngen durch nur 8 Abtastwerte. Umgekehrt muss das Spektrum des digitalen Signals nur in der Lage sein, die 8 Abtastwerte zu rekon-struieren, was es auch kann.

3.3 Der Fast-Fourier-Transformations (FFT)-Algorithmus

Die in den letzten beiden Abschnitten kennen gelernten Algorithmen DFT und IDFT zur Be-rechnung des Spektrums von digitalen Signalen (von sog. Zeitreihen) benötigen bei grossen


Version 2.4 19

Signalausschnitten (grosser Zahl N von Abtastwerten) viel Rechenzeit, wie die folgende Überlegung zeigt.

Die DFT-Gleichung (12) besteht aus einer Summe von komplexen Exponentialfunktionen multipliziert mit den reellen Werten der Zeitfolge. Für einen Frequenzpunkt sind minimal 2 N Multiplikationen und 2 ( N 1) Additionen durchzuführen, wenn wir die vorberechne-

ten N Werte der Exponentialfunktion und den 1/N-Faktor in Tabellen ablegen. Für ein ganzes Spektrum sind wegen der Symmetrie der Koeffizienten Gl. (16) N/2 Frequenzlinien zu berechnen. Für ein ganzes DFT-Spektrum sind also ungefähr N/2 x 2N = N2 Multiplikationen und Akkumulationen nötig (englisch MAC).

Zahlenbeispiel: Wollen wir ein Signal mit 1000 Stützwerten transformieren, so benötigen wir 1 Million MAC, bei 10'000 Stützwerten bereits 100 Millionen.

Die Mathematiker J.W. Cooley und J.W. Tukey publizierten 1965 ein Verfahren, um den Re-chenaufwand zu reduzieren. Später folgten von anderen Autoren noch weitere Algorithmen. Alle basieren auf der Idee, die DFT einer Zahlenfolge in eine Summe von DFT's über Teile der ursprünglichen Zahlenfolge zu zerlegen. Im einfachsten Fall, wenn N eine Zweierpotenz

ist, lässt sich so der Rechenaufwand auf nur noch N log

2(N ) reellen MAC-Operationen

reduzieren. Für N = 1000 ergibt dies noch ca. 10000 MAC, eine drastische Reduktion des Aufwandes.

Diese schnellen Algorithmen werden Fast-Fourier-Transform oder FFT bzw. in der inver-sen Ausführung IFFT genannt. Implementationen dieser Algorithmen finden sich nicht nur in allen Mathematik-Computerprogrammen wie Matlab oder Mathcad, sondern überall dort, wo rechnerisch und ev. sogar in Echtzeit eine DFT oder IDFT bestimmt werden muss, z.B. in Messgeräten oder Analysegeräten. In Matlab lauten die entsprechenden Befehle fft(x) und ifft(x). Zur Berechnung des Spektrums zum Beispiel 4 (Fig. 10) genügt folglich das Matlabprogramm:

%ABT Beispiel 4

x=[ 0.9000 0.7747 0.7017 0.8731 0.7517 0 -0.7517 ...

-0.8731 -0.7017 -0.7747 -0.9000 - 0.7747 -0.7017 ...

-0.8731 -0.7517 -0.0000 0.7517 0.8731 0.7017 0.7747]

k=0:1:19;

xf=fft(x,20)/20; %FFT berechnen inkl. Faktor 1/N

xfr=real(xf) %Realteil wählen, da xf rein reell ist,

stem(k,xfr)

grid

Achtung

Matlab fügt den Faktor 1/N der IDFT statt der DFT hinzu. Damit die mit Matlab be-

rechneten Werte mit unsern theoretischen Resultaten übereinstimmen, sind bei der DFT

die berechneten Werte noch durch N zu dividieren bzw. bei der IDFT die Ergebnisse mit

dem Faktor N zu multiplizieren.


Version 2.4 20

4. Frequenzanalyse abgetasteter periodischer Signale

4.1 Problemstellung

Zur Überwachung eines Patienten haben wir unter der Matratze seines Bettes einen Drucksen-sor angebracht. Das Sensorsignal wird laufend mit einer Taktfrequenz von 200 Hz erfasst und soll digital ausgewertet werden. In Fig. 13 ist ein ca. 3 Sekunden langer Signalausschnitt sichtbar. Die deutlich sichtbaren Ausschläge werden vor allem durch die Herzbewegung erzeugt. Näherungsweise ist das Signal periodisch mit einer Periodendauer von ca. 1 s.

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Fig. 13 Ausschnitt aus dem Signal eines Bettsensors

Die Auswertung der Messwerte soll laufend Aufschluss über die Herzfrequenz des Patienten geben. Dazu sollen die Resultate in regelmässigen Abständen auf einem Monitor dargestellt werden. Es ist nahe liegend, die abgetasteten Zahlenwerte mit einem "FFT-Analysator" zu verarbeiten.

Wir machen einen Versuch und nehmen an, der FFT-Analysator sei so eingestellt, dass sein Zeitfenster ungefähr eine ganze Periode aus diesem Signal auswähle. Zudem wählen wir in diesem Fenster nur 50 äquidistante Abtastwerte aus, um Rechenzeit zu sparen, also nur jeden 4. Wert. Die für unsere Analyse massgebende Abtastfrequenz beträgt damit neu nur noch fs = 50 Hz. Das Resultat ist in Fig. 14 dargestellt, allerdings nur bis zur halben Abtastfre-quenz. Dies ist bei Messgeräten üblich, da alle DFT-Spektren reeller Signale symmetrisch bezüglich der halben Abtastfrequenz sind.

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Fig. 14 Anzeige des FFT-Analysators für den Bettsensor bei einer Fenstergrösse von 1 s und 50 Abtastwerten (fs = 50 Hz, f1 = 1 Hz)


Version 2.4 21

Dieses Ergebnis scheint in etwa mit einer intuitiven Abschätzung überein zu stimmen. Es tritt eine kleine Gleichspannung auf. Dann findet man die 4. bis 9. Harmonische relativ stark aus-geprägt. Von Auge würde man sagen, es ist die 8. Harmonische, welche am stärksten auftritt. Zu diesem Ergebnis stellen sich einige Fragen:

• Haben wir den Zeitausschnitt T1 sinnvoll gewählt? Wie wirkt sich dieser auf das Ergebnis aus?

• Wie steht es mit der Anzahl der gewählten Abtastwerte in diesem Fenster? Sollten wir alle oder mindestens einen grösseren Teil der von der Datenerfassung erzeugten Ab-tastwerte verwenden?

Um Antworten auf diese entscheidenden Fragen zu finden, wollen wir im nächsten Abschnitt einen einfachen, im Voraus bekannten Fall betrachten.

4.2 Die Auswirkungen des Zeitfensters

Wir kehren nochmals zurück zum Beispiel 4. Dort haben wir eine Folge von 20 Abtastwerten eines periodischen Signals analysiert. Wir haben dabei bewusst die Abtastwerte exakt aus einer Periode dieses Signals gewählt. Beim Signal unseres Bettsensors dürfte es schwierig sein, diese Bedingung immer einzuhalten. Erstens ist die Abtastrate im Gerät meist fest einge-stellt. Zweitens können wir nicht annehmen, die Herzfrequenz des Patienten bleibe immer konstant. Wir müssen also damit rechnen, dass wir nicht genau eine Periode oder allenfalls ein Vielfaches davon für unsere Analyse erwischen.

Um uns einen Einblick zu verschaffen in die Auswirkungen einer Abtastfolge, die nicht genau einer Periode eines periodischen digitalen Signals entspricht, nehmen wir ein einziges Cosi-nussignal der Frequenz f0. In Fig. 15a) werden für die DFT exakt 16 Abtastwerte verwendet, welche genau einer Periode entsprechen. Wie schon in Beispiel 4 liefert uns die DFT hier exakt die Frequenz der Sinusschwingung bei f0, welche gleich der Grundfrequenz f1 = 1/T1 der DFT ist. Verwenden wir für die DFT aber 5/4 einer Periode mit 20 statt 16 Abtastwerten, so erhalten wir das Spektrum von Fig. 15b).

Da wir eine grösserer Anzahl Abtastpunkte bei gleich bleibender Abtastfrequenz gewählt haben, ist die Grundfrequenz im neuen Spektrum kleiner als im alten, nämlich

f1' =1

T1'=

1

1.25 T1= 0.8 f1 = 0.8 f0 = neuer Linienabstand

Weil die DFT aber nur Spektrallinien bei Vielfachen der Grundfrequenz ergibt, kommt die tatsächlich im digitalen Signal vorhandene Frequenz im Spektrum nicht vor. Das neue Spektrum ergibt also nur ungefähr einen Anhaltspunkt, wie die spektrale Verteilung aussieht. Die beiden Spektrallinien bei f1' = 0.8 f0 und f2' = 1.6f0, welche der tatsächlich vorhandenen Linie am nächsten liegen, sind am stärksten. Aus der Tatsache, dass die Linie bei f1' stärker als jene bei f2' ist, können wir schliessen, dass die tatsächlich vorhandene Spektrallinie näher bei f1' als bei f2' liegt. Weitere im Spektrum vorhandene Harmonische klingen zunehmend ab. Auch die Amplituden der stärksten Spektrallinien sind kleiner geworden, da sich die Leistung des Signals auf mehrere Harmonische verteilt.


Version 2.4 22

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Fig. 15 DFT eines Cosinussignals, wenn die Fenstergrösse von T1 = Periodendauer auf

T1' =1.25 T1 vergrössert wird

Man spricht hier von einem verschmierten Spektrum, da aus einer Spektrallinie mehrere werden. Man kann nur noch aus der Grösse und der Frequenz der stärksten Linien sagen, wo etwa eine einzelne Spektrallinie liegt. Zusätzlich entstehen viele Nebenlinien, man spricht vom Lecken. Beide Effekte sind unerwünscht und sollen reduziert werden.

Die DFT wird also in den meisten Fällen nur eine Approximation des realen Spektrums liefern, das wir berechnen könnten, wenn die Funktion analytisch vorliegen würde. Dem Grund dafür wollen wir im nächsten Abschnitt nachgehen.

4.3 Auswirkungen einer Fensterfunktion

Wir kommen den Fehlern des mit der DFT berechneten Spektrums auf die Spur, wenn wir uns überlegen, welches digitale Signal x'[n] als Rücktransformation des Spektrums von Fig. 15d) entsteht. Dieses ist in Fig. 16b) der ursprünglichen Folge x[n] gegenüber gestellt.

Die DFT mit ihrem periodischen Linienspektrum ist immer die Transformierte eines periodi-schen Signals. Das im Zeitfenster T1' abgetastete Signal bildet die Grundperiode für die peri-odische Fortsetzung von Fig. 15d). Damit erhält das so analysierte Signal einen Sprung, der zu zusätzlichen Harmonischen führen muss. Diese Unstetigkeit tritt nicht auf, wenn wir das Zeitfenster exakt als Vielfaches der effektiv vorhandenen Periodendauer wählen. Wie wir schon gesehen haben, ist dies in der Praxis oft nicht möglich. Wir müssen versuchen die Un-stetigkeit ohne Kenntnis der Periodendauer zu beseitigen. Dies ist realisierbar mit sog. Fensterfunktionen, mit denen das Signal zu den Fenstergrenzen hin auf null abgeschwächt


Version 2.4 23

wird. Eine einfache Fensterfunktion ist eine sin2 -Funktion, auch Hanning-Fenster genannt

(Fig. 16c)

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Fig. 16 a) Ursprüngliches digitales Signal b) vom FFT-Analysator mit dem Zeitfenster T1' ausgewertetes Signal, c) Fensterfunktion und d) gefenstertes Signal

w(t) = 2 sin2(t

T1

) = 1 cos(2 t

T1

) (21)

oder als Zahlenfolge für N Abtastwerte:


Version 2.4 24

w n = 2 sin2(n

N) = 1 cos(

2 n

N) (22)

Mit dieser Fensterfunktion gewichten wir die Abtastwerte x'[n] von Fig. 16b) und erhalten so eine an den Fenstergrenzen stetige Folge xdp'[n] (Fig. 16d)

Das zugehörige Spektrum (Fig. 17) zeigt eine gewisse Verbesserung, indem die Harmoni-schen ab k = 4 jetzt praktisch verschwunden sind. Trotzdem ist das Bild noch nicht befriedi-gend, da die im Spektrum vorhandenen Frequenzen auch jetzt nicht mit der im Signal vor-kommenden übereinstimmen. Diese Ungenauigkeit lässt sich nur reduzieren, indem wir die Frequenzauflösung verbessern, d.h. die Fensterlänge vergrössern.

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Fig. 17 Spektrum der gewichteten Abtastwerte von Fig. 16d)

4.4 Parameterwahl zur Spektrumsberechnung einer periodischen Zeitfunktion

Aus den vorstehenden Erkenntnissen können wir einige Kriterien für die Wahl der Abtastfre-quenz und die Anzahl Messpunkte festgelegen:

- Abtastfrequenz: Um eine Frequenzgang-Unterabtastung zu vermeiden, muss fs so

gross gewählt werden, dass bei fs/2 die zu erwartende Frequenz-

komponente vernachlässigbar klein ist (z.B. < 1% der Grundharmo-nischen). Bei Bedarf ist das Eingangssignal mit einem Vorfilter (Antialiasfilter) in der Bandbreite auf fs/2 zu begrenzen.

- Fensterlänge: Die Grundfrequenz der DFT f1 = 1 (N T ) = f

s/N , also der Kehr-

wert der Fensterlänge ergibt die Frequenzauflösung im Spektrum. Wenn

f1 ca. 5...7 Mal kleiner als die geschätzte Signalgrundfre-

quenz gewählt wird, so haben die Spektrallinien einerseits einen er-kennbaren Abstand. Andererseits ist die Frequenzauflösung genau genug, sodass eine starke diskrete Spektrallinie im Spektrum durch nahe genug liegende Linien erkennbar wird.

Die Fensterlänge soll möglichst genau als Vielfaches der Signalperi-ode gewählt werden. So bildet ein Aneinanderreihen der Fensteraus-schnitte am besten die ursprüngliche periodische Signalfolge nach.


Version 2.4 25

- Anzahl Messpunkte: Nachdem die Abtastfrequenz und die Fensterlänge gewählt sind, ist N gegeben. Bei der FFT wird vorteilhaft auf die nächste Zweierpo-tenz gerundet. In manchen praktischen Fällen ist dies nicht genau er-reichbar, da die Anzahl der Messpunkte für N = 2k (mit k = 1, 2, 3 ...) nur grob anpassbar ist. Dies gilt meistens auch für die Wahl der Abtastfrequenz. In diesen Fällen wird die gemessene Zeitfunktion mit einer Fensterfunktion wie gezeigt gewichtet. So werden Signal-sprünge zwischen den sich periodisch wiederholenden Fensteraus-schnitten vermieden.

4.5 Ein zweiter Blick auf das Zeitfenster

Nach dieser pragmatischen Einführung in die Auswirkungen des Zeitfensters auf das mit der DFT berechnete Spektrum, wollen wir einen genaueren, theoretisch fundierten Blick darauf werfen. Wir machen dies anhand unseres Sinussignals von Fig. 15. Die Auswahl der Abtast-werte für die DFT können wir im Zeitbereich als Multiplikation der periodischen Folge mit einer Fensterfunktion beschreiben. Diese Multiplikation im Zeitbereich entspricht, wie bereits gezeigt, einer Faltung im Frequenzbereich. In Fig. 18 verfolgen wir die einzelnen Schritte vom analogen, abgetasteten Signal xs(t) bis zum Signal xdp(t), welches die DFT analysiert.

Neben den Schritten im Zeitbereich wie in Fig. 16, verfolgen wir diese hier parallel dazu auch im Frequenzbereich. Bei allen Darstellungen in Fig. 18 handelt es sich um kontinuierliche Zeitfunktionen und Dichtespektren. Wir müssen daher die Abtastwerte im Zeitbereich mit Diracstössen schreiben. Ebenso müssen wir diskrete Spektrallinien mit Diracstössen darstel-len. Dafür können wir Zeitfunktionen multiplizieren, was nach Gl. (3) oder (4) einer Faltung der zugehörigen Spektren entspricht.

Die Auswahl der N Abtastwerte aus dem Zeitfenster der Dauer T1 können wir als Multiplika-tion des abgetasteten Signals xs mit einer Rechteckfunktion w(t) beschreiben (Fig. 18b). Das Spektrum der gefensterten Abtastwerte erhalten wir als Faltung der Einzelspektren (Fig. 18c):

X da (f ) = X s(f ) W (f ) (23)

Das Spektrum des Rechteckfensters hat, abgesehen von einer zusätzlichen Phasenverschie-bung, den bekannten sin(x)/x-Verlauf.

Bei Xda(f) handelt es sich um ein periodisches Dichtespektrum. Wie schon bei den kontinu-ierlichen Funktionen sind auch bei abgetasteten Signalen die Spektren einmaliger, aperiodi-scher Vorgänge kontinuierlich, also Dichtespektren. Neu ist nun, dass durch die Abtastung diese periodisch werden. Man spricht hier von der Fouriertransformation eines diskreten Signals (FTD) oder englisch Discrete Time Fouriertransform (DTFT). Wir werden diese im letzten Teil dieses Kapitels noch genauer ansehen, wenn wir uns mit der Frequenzanalyse abgetasteter, aperiodischer Signale befassen.

Der Übergang von diesem Zwischenprodukt zur DFT unseres abgetasteten Signals beschrei-ben wir als periodische Wiederholung des ausgeschnittenen Zeitfensters. Im Zeitbereich lässt sich dies als Faltung von xda(t) mit einer periodischen Folge von Diracstössen im Abstand von T1 beschreiben (Fig. 18d). Im Frequenzbereich entspricht dies der Multiplikation der Spektren, also


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Fig. 18 Zur Entstehung des Spektrums einer DFT: a) Spektrum des abgetasteten Sig-

nals, b) Reckteckfenster mit seinem Spektrum, c) gefensterte abgetastete Funk-

tion, d) periodische Diracstösse mit ihrem Spektrum und e) gefensterte und pe-

riodisch wiederholtes Fenster mit ihrem Spektrum

x

dp(t) = x

da(t) s(t)

X dp (f ) = X da (f ) S(f ) (24)

Wir können diesen Vorgang auch als Abtastung des kontinuierlichen Spektrums Xda(f) mit der Funktion S(f) beschreiben.


Version 2.4 27

Über diesen scheinbaren Umweg erhalten wir das periodische Spektrum, welches wir mit der DFT berechnen. Wir erkennen nun, warum das Spektrum bei T1 T0 mehr als die eine ge-wünschte Linie ergibt. Durch die Fensterung werden die Spektrallinien in Fig. 18a) mit dem Spektrum des Fensters von Fig. 18b) verbreitert, Fig. 18c). Im allgemeinen Fall tasten wir mit der DFT dieses Dichtespektrum an beliebigen Stellen ab. Nur im Falle T1 = m·T0 mit m = ganze Zahl fallen alle spektralen Abtastfrequenzen von S(f) mit Ausnahme der in Fig. 18a) gezeigten auf Nullstellen von Xda(f).

Dank dieser Analyse erkennen wir geeignete Massnahmen zur Reduktion der unerwünschten Spektrallinien in der DFT:

• Eine grosse Fensterlänge verschmälert das sin(x)/x-Spektrum des Zeitfensters.

• Fensterfunktionen mit einem rasch abklingenden Spektrum (kleinere Nebenlappen) reduzieren die Nebenlinien in der DFT weiter.

Unser bereits bekanntes Hanningfenster hat genau diese Eigenschaft.

4.6 Vergleich zweier gebräuchlicher Fensterfunktionen

Neben dem Reckteckfenster werden zahlreiche andere Fensterfunktionen verwendet. Wir be-schränken uns hier auf zwei davon: das Hanning-Fenster und das Kaiser-Bessel-Fenster. Ihre Graphen sind in Fig. 19 und ihre Funktionen in Tabelle 1 zusammengestellt.

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Version 2.4 28

Wie der Name besagt, beruht das Kaiser-Bessel-Fenster auf einer Approximation von Bes-selfunktionen, womit die Berechnungen beschleunigt werden. Trotzdem ist der Rechenauf-wand für das Kaiser-Bessel-Fenster grösser als für das Hanning-Fenster.

Die Spektren der zwei Fenster inkl. des Rechteckfensters sind in den Figuren Fig. 20a) bis c) wiedergegeben. Dabei sieht man deutlich die kleinen Seitenlappen insbesondere des Kaiser-Bessel-Fensters gegenüber dem Rechteckfenster, welche das Lecken dieser beiden Fenster stark reduzieren. Das Hanning-Fenster bietet einen guten Kompromiss zwischen Frequenzse-lektion und Leckrate. Das Kaiser-Bessel-Fenster mit seinen sehr kleinen Seitenlappen ist gut geeignet, um Frequenzkomponenten mit grossen Amplitudenunterschieden zu trennen auf Kosten einer etwas schlechteren Frequenzselektivität (der Hauptlappen ist breiter als beim Hanningfenster).

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Version 2.4 29

der korrekt wiedergegeben wird. Da Abtastwerte am Rande des Fensters abgeschwächt wer-den, müssen Spektralanteile in der Mitte des Fensters angehoben werden. So ergeben sich die Maximalwerte von 2.0 und 2.48 der Hanning- bzw. Kaiser-Bessel-Fensterfunktion.

Beispiel 6 Einfluss der Fenster auf die Analyse von Sinussignalen

In diesem Beispiel zeigen wir den Einfluss der drei Fensterfunktionen auf die Analyse eines Co-sinussignals von 8 bzw. 8.5 Perioden innerhalb der Fensterlänge von 1 s, also Frequenzen von 8 Hz bzw. 8.5 Hz. Die Abtastfrequenz beträgt fs = 128 Hz. Im Falle des linken Signals mit

fe = 8 Hz entspricht die Abtastperiode exakt einem Vielfachen der Periodendauer. Dann ergibt

das Rechteckfenster die korrekte Spektrallinie (Fig. 21).

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Version 2.4 30

Mit den beiden andern Fenstern findet selbst in diesem Fall eine Verschmierung statt, wie die Bilder c) und d) zeigen. Dies ist der Preis, den man dafür bezahlt, dass die Spektren für fe = 8.5 Hz mit dem Hanning- und Kaiser-Bessel-Fenster wesentlich besser die korrekte Spekt-

rallinie bei 8.5 Hz anzeigen.

Die Amplituden der benachbarten Spektrallinien bei 8 und 9 Hz sind in allen drei Fällen etwas reduziert. Die richtige Amplitude des Signals kann man nur abschätzen, indem man die Umhüllende der vorhandenen Linien einzeichnet.

Neben den beiden gezeigten Fenstern gibt es eine ganze Reihe anderer Fensterfunktionen mit anderen Vor- und Nachteilen.

Beispiel 7 Einfluss auf die Analyse eines Zweiton-Signals

Durch das Verschmieren der Spektrallinien wird es schwierig, Sinussignale mit nahe beieinander liegenden Frequenzen und einem grossen Amplitudenunterschied auseinander zu halten. Wir zei-gen den Einfluss der drei Fenster auf folgendes Signal:

x(t) = 1 cos(2 f

e1t) + 0.01 cos(2 f

e2t) mit f

e1 = 8.5 Hz und f

e2 = 13.5 Hz

Dieses Signal tasten wir mit fs = 128 Hz ab. Im Spektrum mit dem Rechteckfenster (Fig. 22a)

verschwindet die schwache Spektrallinie von fe2 völlig in den verschmierten Linien des starken

Signals bei fe1. Bei den beiden andern Fenstern (Fig. 22b) und c) wird die schwache Spektralli-

nie sichtbar, besonders beim Kaiser-Bessel-Fenster.

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Fig. 22 Spektren der Überlagerung von zwei nahe beieinander liegenden Sinusschwingungen

mit 40 dB Amplitudendifferenz (Beträge relativ zur Amplitude des Signals in dB)

Ein Blick auf das Spektrum des Kaiser-Bessel-Fensters (Fig. 20) zeigt, dass zwei nahe beieinan-der liegende Spektrallinien im Abstand f getrennt werden können, falls mindestens 4 oder 5 Spektrallinien der DFT dazwischen liegen. Deren Abstand beträgt bekanntlich 1/T1. Die Fens-

terdauer T1 muss also folgende Bedingung erfüllen:


Version 2.4 31

T1 >

1

6 f (25)

4.7 Praktische Hinweise zur Spektrumsberechnung

Bei allen Berechnungen eines Spektrums mit der DFT (bzw. FFT) ist es sinnvoll, eine Re-chenerwartung (oder Messerwartung, wenn es sich um ein Messgerät mit FFT handelt) zu erstellen. Mit etwas Systematik kann dies ohne grossen Aufwand erfolgen.

Weiss man ungefähr, bei welcher Frequenz oder welchen Frequenzen sich Signalanteile be-finden, so empfiehlt sich folgendes Vorgehen:

1. Abtastfrequenz fs wählen, so dass das Abtasttheorem erfüllt ist

2. Anzahl Zeitwerte für die Analyse wählen, für eine effiziente Berechnung ist eine Zweierpotenz optimal

3. Fensterfunktion wählen auf Grund des ev. bekannten minimalen Abstandes der Signal-frequenzen, Gl. (25)

4. Skizze des Spektrums vorbereiten, beginnend mit der Frequenzachse von 0 bis fs/2 und Marken im f1-Raster.

5. Spektrum der Fensterfunktion einzeichnen mit Zentrum bei der Signalfrequenz oder den Signalfrequenzen.

6. Sichtbare Spektrallinien von 0 bis fs/2 eintragen.

Beispiel 8 Abschätzung und Berechnung eines einfachen Spektrums

Das soeben skizzierte Vorgehen soll anhand der Berechnung des Spektrums einer harmonischen Spannung mit fe = 25 Hz und Amplitude 1 V demonstriert werden.

1. fs = 160 Hz oder T

s= 1/160 s

2. N = 16 und damit

T

1= N T

s = 16/160 = 0.1 Hz

Linienabstand im Spektrum

f = f1 = 1/T

1 = 10 Hz

3. Fensterfunktion = Rechteckfenster (keine)

4. Die Skizze für das Spektrum mit der Frequenzachse von 0 bis 80 Hz wird vorbereitet (Fig. 23)

5. In dieses Koordinatensystem wird die Fensterfunktion eingezeichnet

6. Schliesslich folgt das berechnete Spektrum. Man beachte, dass das Maximum der Haupt-keule der Fensterfunktion dem halben Spitzenwert der Amplituden der Spannung ent-spricht, da wir jeweils nur eine Hälfte des zweiseitigen Spektrums zeichnen.


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Fig. 23 Spektrum zum Beispiel 8

Bei unbekannten Signalen wird es schwieriger, das zu erwartende Spektrum zu skizzieren. Dann wird es notwendig, mit den Parametern Abtastfrequenz, Fensterlänge und Fensterfunk-tion zu experimentieren. Wählt man allerdings kein Rechteckfenster und eine genügend grosse Fensterlänge, so erhält man meist auch ohne Abschätzung des Spektrums interpretier-bare Resultate, wie das nächste Beispiel zeigt.

Beispiel 9 Signal mit zwei Frequenzen und grosser Fensterlänge

Das Spektrum von zwei gleich grossen Signalen mit den Spitzenwerten 1 und den Frequenzen fe1 = 8.5 Hz und fe2 = 13.5. Hz werde mit einer FFT mit den Parametern fs = 32 Hz, N = 256

und einem Hanning-Fenster analysiert. Das Resultat kann auch ohne Rechenerwartung

interpretiert werden (

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Fig. 24).

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Fig. 24 Spektrum zum Beispiel 9


Version 2.4 33

Eine Vergrösserung der Fensterlänge macht allerdings nur dann einen Sinn, wenn das Signal unverändert bleibt. Dies ist z.B. bei einem Audiosignal, das von gesprochener Sprache oder einem Musikinstrument kommt, nicht der Fall. Fig. 25 zeigt ein Beispiel eines Klarinetten-spiels mit zwei Fensterlängen von 16 ms und 128 ms und einer Abtastfrequenz von 8 kHz.

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Fig. 25 Spektrum eines Klarinettenklangs mit zwei unterschiedlichen Fensterlängen

In solchen Fällen ist die Frequenzbeschreibung nur sinnvoll, wenn sie wiederholend über kurze Zeitausschnitte durchgeführt wird. Man trägt dann das Ergebnis sowohl als Funktion der Frequenz wie auch der Zeit auf und nennt die Darstellung Kurzzeitspektrum. Bei Audio-signalen wird üblicherweise mit Zeitfenstern von ca. 10 ms gearbeitet.

5. Frequenzanalyse abgetasteter aperiodischer Signale

5.1 Problemstellung

In den beiden Kapiteln Stossantwort und Faltung sowie Stationäres Verhalten haben wir gelernt, lineare Systeme mit der Stossantwort oder der Frequenzgangfunktion zu cha-rakterisieren. Die Frequenzgangfunktion misst man mit einer harmonischen Anregung bei allen interessierenden Frequenzen. Die Stossantwort erhält man mit einem genügend schma-len Impuls (eigentlich einem Diracstoss) als Anregung.

Die beiden Systemantworten Frequenzgangfunktion und Stossantwort sind über die Fourier-transformation miteinander verknüpft (Fig. 26). Die Stossantwort hat den Vorteil, dass sie mit einer Messung gewonnen werden kann. Die Frequenzgangfunktion kann dafür einfacher be-urteilt werden. Es sollte nun möglich sein, die gemessene diskrete Stossantwort auf einfache Weise numerisch zu transformieren. Dabei stellen sich insbesondere die Fragen:


Version 2.4 34

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Fig. 26 Verknüpfung von Stossantwort und Frequenzgangfunktion,

min = kleinste Zeitkonstante im System

• Können wir die benötigte Fouriertransformation mit dem DFT-Algorithmus durchfüh-ren, obwohl die Stossantwort ein einmaliger Vorgang ist, also eine aperiodische Funk-tion?

• Wenn ja: wie wählen wir die Parameter für die DFT-Berechnung, d.h. Abtastfrequenz, Fensterfunktion und Fensterlänge?

Um Antworten auf diese Fragen zu finden, wollen wir die DFT-Eigenschaften mit denjenigen der benötigten Fouriertransformation eines aperiodischen Vorgangs vergleichen.

5.2 Die Fouriertransformation aperiodischer Zahlenfolgen

Bereits in Abschnitt 4.5, insbesondere in Fig. 18 haben wir gesehen, dass die Fouriertransfor-mierte einer aperiodischen Zahlenfolge ein kontinuierliches, aber periodisches Dichtespekt-rum ergibt. Zuerst soll diese Transformation für eine beliebige Zahlenfolge x[n] formuliert werden.

In die Definitionsgleichung für die Fouriertransformation dürfen nur kontinuierliche Signale eingetragen werden. Wir greifen daher für die Abtastfolge auf die Schreibweise von Gl. (9) zurück. Wenn xs(t) die zu x[n] gehörende kontinuierliche Abtastfolge bezeichnet, dann gilt:

X (f ) = xs(t) e j2 f tdt

+

= T x(nT ) (t nT )

n=

+

e j2 f tdt

+

= T

n=

+

x(nT ) (t nT ) e j2 f tdt

+

= T x nT

n=

+

e j2 f nT

In dieser Gleichung haben wir wieder die Summenbildung und das Integral vertauscht, sowie die Ausblendeigenschaften der Diracfunktion benützt. Aus mehreren Gründen lässt man den Faktor T weg und erhält so die Fouriertransformierte des diskreten Signals (FTD)4

4 Man beachte, dass nur mit dem Faktor T die Einheit des Spektrums korrekt ist. Es ist nun diese Form der Diskreten

Fouriertransformation, welche z.B. Matlab direkt berechnet, natürlich beschränkt auf eine endliche Zahlenfolge.


Version 2.4 35

X (f ) = x n

n=

+

e j2 f nT (26)

Diese Funktion ist periodisch mit fs = 1/T, wie wir schon in Fig. 18 festgestellt haben. Werten wir nun diese Funktion mit Blick auf Fig. 18e) bei den Frequenzen

kf

1 = k

fs

N, k = 0, 1, 2, ..... ,N 1 (27)

aus, so erhalten wir

X (kfs

N) = x nT

n=0

N 1

ej2 k

fs

NnT

= x nT

n=0

N 1

ej2 k

fs

NnT

oder wenn wir den Ausdruck vereinfacht nur noch mit den Laufparametern k und n schreiben:

X k = x n

n=0

N 1

e j2 knT /N , k = 0, 1, 2, ..... ,N 1 (28)

Dieser Ausdruck ist, bis auf den fehlenden Faktor 1/N, identisch mit der DFT von Gl. (12). Wir erhalten so das wichtige Ergebnis

Die DFT liefert, abgesehen von einem Faktor 1/N, Abtastwerte der Fouriertrans-formierten eines diskreten Signals (FTD) bei den Frequenzen kfs/N.

Wir können also die DFT gebrauchen, um numerisch die Fouriertransformierte eines aperiodi-schen Signals, insbesondere auch einer Impulsantwort zu berechnen. Dabei müssen wir aller-dings die Parameter so wählen, dass die Periodizität der FTD keinen grossen Einfluss hat. Bevor wir diese Aufgabe anpacken, sei noch die inverse FTD angegeben.

Die Umkehrung von Gl. (26) lautet:

x n = T X (f ) e j2 fnT

fs

/ 2

+ fs

/ 2

df (29)

Den Beweis führt man in gleicher Weise wie jenen für die inverse DFT, Gl. (19) und (20).


Version 2.4 36

5.3 Ein Vergleich der vier Fouriertransformationen

Es lohnt sich an dieser Stelle, die verschiedenen Fouriertransformationen bzw. –reihen, es sind im Ganzen vier, miteinander zu vergleichen. Wir kennen nun Spektren periodischer und aperiodischer Signale, sowohl in kontinuierlicher und diskreter Form.

Zur Illustration der folgenden Darstellung verwenden wir ein bezüglich t = 0 symmetrisches Signal mit 5 Abtastwerten, wobei diejenigen auf den Grenzen nur den halben Wert des Recht-ecksignals aufweisen. Die vier Signale und ihre zugehörigen Spektren sind in Fig. 27a) bis d) dargestellt. Zur besseren Unterscheidung führen wir folgende, teils schon früher benützte Be-zeichnungen ein:

1. Zeitkontinuierliches und periodisches Signal mit seinen Fourierkoeffizienten (FR)

xp (t ) X p k[ ] = ck( )

2. Zeitkontinuierliches und aperiodisches Signal mit seiner Fouriertransformierten (FT)

xa (t ) Xa( f )

3. Zeitdiskretes und periodisches Signal und seine Fouriertransformierte (DFT)

xdp n[ ] Xdp k[ ]

4. Zeitdiskretes und aperiodisches Signal und seine Fouriertransformierte (FDT)

xda n[ ] Xda ( f )

Zusätzlich seien einige Bezeichnungen nochmals aufgeführt:

fs = Abtastfrequenz

T = 1/fs = Abtastintervall

T1 = Periodendauer bei periodischen Signalen

f1 = 1/T1 = Grundfrequenz bzw. Linienabstand der Fourierreihe und der DFT bei periodischen Signalen

N = Anzahl Abtastpunkte bzw. Spektrallinien pro Periode


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Fig. 27 Vergleich der Transformationen von kontinuierlichen und abgetasteten periodi-

schen und aperiodischen Signalen

Die Teilfiguren a) und b) zeigen die bekannte Fourierreihe des periodischen Rechtecksignals und die Fouriertransformation des einmaligen Rechteckimpulses. Die Umhüllende der Fou-rierkoeffizienten des periodischen Signals ist die Fouriertransformierte des aperiodischen. In unserm Beispiel des einmaligen Rechteckimpulses xa(t) der Breite T0 ist dies die bekannte Funktion

Xa ( f ) = X0T0sin( f T0 )

fT0 (30)

Daraus erhalten wir die einzelnen Spektrallinien des periodischen Signals als


Version 2.4 38

X p k = 1

T1

X a (k f1) = 1

T1

X a (k

T1

) (31)

Die Figuren c) und d) zeigen nun diesen Zusammenhang nochmals für diskrete Signale. Beide Spektren sind periodisch mit fs. Zudem entspricht die Umhüllende des Spektrums des periodi-schen Signals dem Spektrum des aperiodischen, wie wir in Gl.(28) festgestellt haben (abgese-hen vom Faktor 1/N). Es gilt also:

U dp k =

1

NU da (k

fs

N) =

1

NU da (

k

NT) (32)

Besonders wichtig ist noch die Ähnlichkeit der periodischen und aperiodischen Spektren mindestens für Frequenzen f < fs/2. Diese Ähnlichkeit ist umso ausgeprägter, je grösser die Periodendauer T1 im Vergleich zur Dauer des aperiodischen Signals ist. Wir nützen diese Eigenschaft aus, um mit Hilfe der DFT die Fouriertransformierte aperiodischer Signale zu approximieren.

Interessant ist weiter die folgende Dualität, die wir in der Matrix von Tabelle 2 zusammenfas-sen, aber natürlich auch aus Fig. 27 erkennen.

Signal periodisch aperiodisch

kontinuierlich FR FT aperiodisch

diskret DFT FTD periodisch

diskret kontinuierlich Spektrum

Tabelle 2 Dualität der vier Fouriertransformationen (-reihen)

Diese Tabelle liest man wie folgt: Die Fourierreihe und ihre Umkehrung verbindet ein konti-nuierliches und periodisches Signal mit einem diskreten und aperiodischen Spektrum. Dual dazu verknüpft die FTD ein kontinuierliches und periodisches Spektrum mit einem diskreten und aperiodischen Signal.

5.4 Anwendung der DFT als Approximation der FTD

Die Fouriertransformierte eines aperiodischen Signals kann, wie erwähnt, mit der DFT aus Abtastwerten näherungsweise berechnet werden. Voraussetzung dafür ist, dass die Fenster-länge TN grösser als die Signaldauer ist. Der FFT-Analysator interpretiert dabei das ge-messene, nichtperiodische Signal als Grundperiode einer periodischen Funktion. Es gilt nä-herungsweise

X a (k

fs

N) TN X dp k , k = 0,1,2,3 ...... N /2 1 (33)


Version 2.4 39

Den Skalierungsfaktor TN liest man aus Fig. 27 aus den Spitzenwerten der Spektren ab. Je kleiner T ist bzw. je grösser fs ist, umso geringer ist die Gefahr von unerwünschten Alias-signalen.

Der Einsatz der verschiedenen Fensterfunktionen ist in diesem Falle höchstens schädlich, man setzt also keine Fensterfunktion (d.h. ein Recheckfenster) ein.

Damit sind wir in der Lage, die in Abschnitt 5.1 aufgeworfene Aufgabe der numerischen Be-rechnung der Frequenzgangfunktion aus der Stossantwort mit Hilfe der DFT zu lösen.

Beispiel 10 Berechnung der Frequenzgangfunktion aus der abgetasteten Stossantwort

Gegeben sei die diskret gemessene Stossantwort eines Systems, die mit einer Taktfrequenz von fs = 1 kHz abgetastet wurde. Das System überträgt Spannungen und wurde mit einem Impuls mit

der Höhe 1V und der Dauer

T =T =1

fs

angeregt. Dieser Impuls hat das Gewicht = 1V ·1ms

= 10-3 mVs und ist damit um den Faktor 1000 kleiner als das Gewicht des Diracstosses, welches für die Stossantwort definitionsgemäss verwendet werden muss. Das Resultat ist später um den Faktor 1/ zu korrigieren.

Fig. 28 zeigt die ersten 101 von gesamthaft N = 1024 gemessenen Abtastwerten der Stossant-wort. Dank der langen Messdauer besteht keine Gefahr von Aliassignalen und Abweichungen der DFT von der FT sind vernachlässigbar. Nun führen wir mit allen Messpunkten eine DFT durch, welche noch mit dem Faktor NT/ skaliert werden muss.

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Fig. 28 Stossantwort eines Systems, gemessen mit einer Abtastfrequenz fs = 1 kHz

Ein geeignetes Matlabfile, falls die Messdaten in der Datei 'stossbeispiel.dat' gespeichert sind, lautet:

%Frequenzgang

g=dlmread('stossbeispiel.dat','\t');

n1=length(g)

t=0:n1-1;

t1=0:100;

figure(1)


Version 2.4 40

stem(t1,g(1:101),'ro-') %Darstellung der 101 ersten Abtastwerte

gf=fft(g); %Berechnung der FFT

figure(2)

stem(t1,abs(gf(1:101)),'bo-') %101 erste Werte des Amplitudengangs

grid

figure(3)

stem(t1,angle(gf(1:101))*180/pi,'bo-') %101 erste Werte des Phasengangs

Man beachte, dass in dieser Datei der Faktor N bei der Berechnung der DFT fehlt. In Matlab fehlt der Faktor 1/N bei der FFT in Gl. (12). Daher ist das Resultat der FFT-Routine von Matlab, mit Ausnahme des Faktors T/ , der hier exakt 1 wird, gerade korrekt (Fig. 29).

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Fig. 29 Via DFT berechnete Frequenzgangfunktion der Systemantwort, N = 1024, Fenster-

breite T1 = N ·Ts = 1.024 s, Linienabstand

f = f1 = 1/T = 0.977 Hz

Der berechnete Frequenzgang verläuft bis ca. 10·f1 horizontal und sinkt dann kontinuierlich auf

null ab. Offenbar handelt es sich bei diesem System um einen Tiefpass mit einer Grenzfrequenz von ca. 20 Hz. Auf Grund des Phasenganges mit einer totalen Phasendrehung von -360º kann man noch eine Aussage über die Ordnung des Systems machen: Die Ordnung des Nennerpoly-noms von G(j ) ist um 4 höher als die des Zählerpolynoms.


Version 2.4 41

6. Zusammenfassung

Abtasttheorem

Abtastfrequenz fs und maximale Frequenz des Eingangssignals fe,max

fs > 2 f

e,max

Diskrete Fouriertransformation (DFT)

X k =1

Nx n e

j2 kn

N

n=0

N 1

Inverse Diskrete Fouriertransformation (IDFT)

x n = X k ej2 kn

N

k=0

N 1

Fouriertransformation eines diskreten, aperiodischen Signals (FTD)

X (f ) = x n

n=

+

e j2 f nT

Inverse Fouriertransformation eines diskreten, aperiodischen Signals (IFTD)

x n = T X (f ) e j2 fnT

fs

/ 2

+ fs

/ 2

df


Version 2.4 42

Fensterfunktionen

Fensterfunktion w(t) für 0 t T

1 = N T bzw.

w(n) für 0 n N 1

Hanning

2 sin2(t

T1

) = 1 cos(2 t

T1

)

2 sin2(n

N) = 1 cos(

2 n

N)

Kaiser-Bessel

1 1.24cos2 t

T1

+ 0.244cos4 t

T1

0.00305cos6 t

T1

1 1.24cos2 n

N+ 0.244cos

4 n

N0.00305cos

6 n

N

/ColorImageDict > /JPEG2000ColorACSImageDict > /JPEG2000ColorImageDict > /AntiAliasGrayImages false /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 300 /GrayImageDepth -1 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict > /GrayImageDict > /JPEG2000GrayACSImageDict > /JPEG2000GrayImageDict > /AntiAliasMonoImages false /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict > /AllowPSXObjects false /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName (http://www.color.org) /PDFXTrapped /Unknown

/Description >>> setdistillerparams> setpagedevice

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Korrekturen von G. Lekkas verarbeitet kleinere Korrekturen …dqtm/sisy/SiSy_Buch_ZHAW_Sep07/004... · 2007. 2. 7. · Signale + Systeme Abgetastete Signale Version 2.4 5 Bereits