School of Engineering 1. Signalbeschreibung im Zeitbereich SiSy, Signal, 1-1 Inhaltsverzeichnis 1.1Signalklassen * Kapitel 7.1.1 1.2Symmetrie-Eigenschaften

School ofEngineering1. Signalbeschreibung im Zeitbereich

SiSy, Signal, 1-1

Inhaltsverzeichnis

1.1 Signalklassen * Kapitel 7.1.1

1.2 Symmetrie-Eigenschaften von Signalen * Kapitel 7.1.2

1.3 Verschiebung und Dehnung eines Zeitsignals * Kapitel 7.3.3

1.4 Elementarsignale * Kapitel 7.3.2

1.5 Harmonische Funktionen * Kapitel 3.1.1, 3.1.5.1 und 3.1.5.2

1.6 Mittelwerte

Anhang A: Darstellung komplexer Zahlen

* Kories, Schmidt-Walter, „Taschenbuch der Elektrotechnik“, Verlag Harri Deutsch, 9. Auflage, 2010.

School ofEngineering1.1 Signalklassen

SiSy, Signal, 1-2

Periodische Signale• wiederholen sich abschnittsweise, sind wichtige Hilfssignale• für alle t gilt: x(t+T0) = x(t), wobei kleinstes T0 die Periode ist

• f0 = 1/T0 ist die Wiederhol- bzw. Grund-Frequenz

T0 t

2T0 -2T0 -T0

Nicht-periodische Signale• sind nicht periodisch nach obiger Definition, z.B.

t

x(t)

x(t)

x(t+nT0) = x(t) für alle t und Integer n

τ

A x(t) = A·e-t/τ für t ≥ 0

0 sonstA/e


SiSy, Signal, 1-3

Normierte Signalleistung und Signalenergie

• Momentanleistung p(t) = u(t)·i(t) = R·i2(t) = u2(t) / R

• Normierung auf R = 1Ω und auf 1V (bei einem Spannungssignal)=> x2(t) ist dimensionslos

• (mittlere) normierte SignalleistungBezeichnung manchmal auch Pn

• (mittlere) normierte SignalenergieBezeichnung manchmal auch En

(Energie = Leistung · Zeit)

T

Tdtx(t)

2T1

limT

P 2

dt2x(t)E


SiSy, Signal, 1-4

Leistungssignale• haben endliche normierte Signalleistung, d.h. 0 < P < ∞

bzw. unendliche normierte Signalenergie E = ∞• zeitlich unbegrenzte Signale ohne abklingende Amplitude• periodischen Signale sind Leistungssignale• (mittlere normierte) Leistung eines periodischen Signals

• Effektivwert bzw. RMS-Wert eines periodischen Signals(ist vom Scheitelwert Xp und von der Signalform (!) abhängig)

0

2

0 Tdt(t)x

T1P

Integral über 1 Periode T0

Pdt(t)xT1XX

0T

2

0rmseff Root-Mean-Square

School ofEngineering

Zeige dass das Signal x(t) = A·sin(2π·f0·t) die Leistung P = A2/2 hatund damit den Effektivwert Xrms = A/√2

Benutze trigonometrische Umformung: sin2(α) = 0.5 – 0.5·cos(2α) P = …

P = = A2/2

E = ∞T0 T0

FF

00 T

dt(t)2sT1

Beispiel: s(t) = A·sin(2πf0t-φ) ist ein Leistungssignal

2

1.1 SignalklassenSiSy, Signal, 1-5

Flächen F gleich gross mittlere Leistung


SiSy, Signal, 1-6

t τ

1

x(t) = e-t/ τ für t ≥ 00 für t < 0

1/e = 0.37

Beispiel eines Energiesignals: zeige dass x(t) Energie E = τ/2 hat

je grösser τ, desto langsamer ist der exponentielle Abfall der Amplitude bzw. desto grösser ist die Signal-Energie E

Energiesignale• haben endliche normierte Signalenergie, d.h. 0 < E < ∞

bzw. verschwindende normierte Signalleistung P = 0 • zeitlich begrenzte Signale (z.B. Einzelpuls)

• zeitlich unbegrenztes Signal mit abklingender Amplituded.h. transiente Signale z.B. „Ausschwingvorgänge“

E = …

t τ

1 x(t)


SiSy, Signal, 1-7

kausale Signale• nehmen nur für t ≥ 0 von Null verschiedene Werte an• spielen nur eine Rolle im Zusammenhang mit kausalen Systemen

Kausalität

Ein kausales System reagiert erst dann mit einem Ausgangssignal, wenn ein Eingangssignal anliegt.

Die Stossantwort von kausalen Systemen verschwindet für t<0.

Technisch realisierbare Systeme sind kausal !

kausalesSystem

Stossanregung

t

kausale Stossantwort

t


Komplexe Signale• reelle Signale haben reellwertige Amplituden• komplexe Signale haben komplexwertige Amplituden

d.h. x(t) = xreal(t) + j·ximag(t) • praktische Signale sind reell, aber

manchmal hat die komplexe Darstellung Vorteile• Ix(t)I ist die Umhüllende bzw. Enveloppe• Beispiel: x(t) = e-t · ej2πfot wobei t ≥ 0 und f0 = 1 Hz


Ix(t)I Umhüllende

reelles Signal Re{x(t)}


Deterministische Signale• können exakt vorhergesagt und beschrieben werden• tragen keine Information, sind aber wichtige Hilfssignale

Stochastische Signale bzw. Zufallssignale• können nur mit stochastischen Kenngrössen wie z.B. Mittelwert

und Varianz der Amplitude, Korrelation usw. beschrieben werden• tragen Information oder stellen Rauschen dar

Musterverlauf(immer wieder

anderer Verlauf)

sin(2πf0t)

SiSy, Signal, 1-9/ V

/ V


t

x(t)

t

t

analoge Signale(zeit- und Amplituden-

wertkontinuierlich)

zeitdiskrete (wertkontinuierliche) Signale

digitale Signale(zeit- und wertdiskret,

Zahlenreihe)

Ts = 1/fs -Ts

Abtastung

Quantisierung

fs : Abtastrate [Samples/s], Abtastfrequenz [Hz]

AD

CSiSy, Signal, 1-10

x(nTs)

x[n]

Ts : Abtastperiode oder -intervall

Amplitude quantisiert


Ein Bild ist ein 2-dimensionales, digitales Signal 2-dimensionale Funktion f(x,y) der Ortskoordinaten (x,y)z.B. quantisierte Intensität (Helligkeit) in Funktion des Orts


x

y0 1 2 ... N-1

0

1

2

M-1

:

1 Pixel (Bildelement)

Matlab-Beispiel % Bild 16x16 Pixel, pixval=0: schwarz, pixval=64 weissX=[0*ones(8,8) 16*ones(8,8); 32*ones(8,8) 64*ones(8,8)]; image(X) colormap(gray);

8x8 Pixel


Ungerade bzw. anti-symmetrische Funktion• wenn für alle t gilt: x(-t) = -x(t)• Punktsymmetrie zum Ursprung • sin(.) ist eine ungerade Funktion

Gerade bzw. symmetrische Funktion• wenn für alle t gilt: x(-t) = x(t)• Spiegelsymmetrie zur vertikalen Achse• cos(.) ist eine gerade Funktion

t

x(t)

t

x(t)

1.2 SymmetrieeigenschaftenSiSy, Signal, 1-12

Achtung: die meisten Signale sind weder gerade noch ungerade• sind aber theoretisch in geraden und ungeraden Anteil zerlegbar

d.h. x(t) = xg(t) + xu(t)

0

0


Originalsignal x(t)

x(t+1s) Zeitverschiebung um 1s nach links

x(t-2s) Zeitverschiebung um 2s nach rechts

2·x(t) Skalierung (Verstärkung) mit 2

Quelle: Dr. S. Wyrsch

1.3 Verschiebung und DehnungSiSy, Signal, 1-13


Originalsignal x(t)

x(-t) (Zeit-) Spiegelung x(2t) (Zeit-) Stauchung mit Faktor 2

x(t/3) (Zeit-) Dehnung mit Faktor 3x(-(t-2s)) (Zeit-) Spiegelung und nachher(Zeit-) Verschiebung um 2s nach rechts

1.3 Verschiebung und DehnungSiSy, Signal, 1-14

School ofEngineering1.4 Elementarsignale

SiSy, Signal, 1-15

Für die Systembeschreibung wird die Reaktion auf Testsignale ermittelt.

Sprungfunktion, Schritt- oder Heaviside-Funktion (engl. unit step)

• u(t) wird oft als „Einschaltfunktion“ verwendet

• Matlab: heaviside()

u(t) = 1 für t > 01/2 für t = 0

0 für t < 0 t

x(t) = u(t-t0)

1

t t0

1

u(t)

R

Cx(t) y(t) 1V

t=t0

y(t)

System


SiSy, Signal, 1-16

Beispiel Rechteck-Puls der Breite τ

• Zusammenhang mit Sprungfunktion

t

1

rτ(t) = rect(t/τ)

τ/2 - τ/2 rτ(t) = 1 für ItI < τ/2

0 sonst

rτ(t) = u(t+τ/2) - u(t-τ/2) t

1 u(t+τ/2)

τ/2 - τ/2

-u(t-τ/2)

t

1

rect(t)

1/2 - 1/2

rect(t) = 1 für ItI < 1/2 0 sonst

Rechteck-Funktion

• Matlab rectpuls()


SiSy, Signal, 1-17

Dreieck-Puls

• Matlab tripuls()

t

1 Λ(t)

1-1

1t01tt1

(t)

Gauss-Impuls

• Matlab gauspuls()

t

1 Γ(t)2tπeΓ(t)

Fläche = 1


Dirac-Stoss, Dirac-Impuls, Dirac-Deltafunktion δ(t)

• ist keine Funktion, sondern eine Distribution

• Näherung als sehr kurzer Rechteck-Impuls mit sehr hoher Amplitude

• Darstellung als Pfeil, allenfalls mit „Gewicht“

t

1

2·r1/2(t)

1/2 -1/2

2

r1(t)

t

1

Fläche = 1

1dtδ(t)

δ(t) = lim n·r1/n(t)n→∞

1.4 ElementarsignaleSiSy, Signal, 1-18

δ(t) = 0 für t ≠ 0 der Wert für t=0 ist nicht definiert, aber


Der Dirac-Impuls ist die zentrale Testfunktion für Systeme!

Impulsantwort h(t) beschreibt ein LTI-System vollständig, siehe später

Eigenschaften des Dirac-Impulses

• Sieb- bzw. Ausblendeigenschaft

• Abtastung

• Ableitung der Einheitsschrittfunktion

0 0( ) ( ) ( )x t t t dt x t

t

δ(t-t0)x(t)

LTI-System

x(t) = δ(t)

t

y(t) = h(t)

tLTI: linear, time-invariant

x(t)·δ(t-t0) = x(t0)·δ(t-t0)δ(t) = du(t) / dt

1.4 ElementarsignaleSiSy, Signal, 1-19

Stossantwort


SiSy, Signal, 1-20

Signum-Funktion

• Matlab: sign()

Betragsfunktion

Ix(t)I = x(t) / sgn(x(t))

• Matlab: abs()

sgn(t) = 1 für t > 00 für t = 0

-1 für t < 0 t

1

sgn(t)

-1

Beispiel: Ix(t)I = Icos(2π·f0·t)I wobei f0 = 1 kHz

keine Elementarsignale, aber wichtige Hilfsfunktionen

School ofEngineering1.5 Harmonische Funktionen

SiSy, Signal, 1-21

• spielen eine zentrale Rolle in der Fourier-Spektralanalyse• sind Eigen- oder Resonanzfrequenz von linearen Systemen

Lösungen der SchwingungsgleichungBeispiel Feder-Pendel ungedämpft (http://de.wikipedia.org/wiki/Harmonischer_Oszillator)

m

Feder-konstante k

Ruhelage

Kraft F = Masse m mal Beschleunigung d2x(t)/dt2

F = m · d2x(t)/dt2 = - k · x(t)

m · d2x(t)/dt2 + k · x(t) = 0

Schwingungsgleichung: d2x(t)/dt2 + (ω0)2 · x(t) = 0 wobei (ω0)2 = k/m

Eine mögliche Lösung: x(t) = A·sin(ω0·t+φ0)

x(t) und 2. Ableitung sind bis auf einen Faktor identisch

Demo: http://de.wikipedia.org/wiki/Schwingung

!

http://de.wikipedia.org/wiki/Harmonischer_Oszillator

http://de.wikipedia.org/wiki/Schwingung

School ofEngineering1.5 Harmonische Funktionen

SiSy, Signal, 1-22

Sinus- und Kosinus-Funktionen

A Amplitude auch Scheitelwert oder Peak-Wert Xp genannt

ω0 Kreisfrequenz in [rad/s], ω0 = 2π·f0 wobei

f0 die Frequenz in Hz = 1/s bezeichnet und

T0 = 1/f0 = 2π / ω0 die Periodendauer ist

φ0 (Null-) Phase Zeit-Verschiebung / -Offset Δt0 = -φ0 / ω0

x(t) = A·sin(ω0t+φ0)

x̂

T0

A

Δt0

Momentanwert

A·sin(φ0)


Exponentialfunktion mit imaginärem Exponenten: x(t) = ejωot

• auch eine Lösung der (ungedämpften) Schwingungsgleichung

• x(t) = ejω0t = cos(ω0·t) + j·sin(ω0·t)

• Umhüllende (Enveloppe) Ix(t)I = 1

1.5 Harmonische FunktionenSiSy, Signal, 1-23


Exponentialfunktion mit komplexen Exponenten x(t) = A·est

• Lösung der (gedämpften) Schwingungsgleichung

d2x(t)/dt2 + 2·ξ·ω0 · dx(t)/dt + (ω0)2 · x(t) = 0

wobei ξ: Dämpfungskonstante, ω0: Schwingkreisfrequenz

• Amplitude A = IAI·ejφ0, “Frequenz” s = σ + jω0

• Realteil von s bestimmt die Form der Signal-Enveloppe

Ix(t)I = IAI·eσt

• Imaginärteil von s, d.h. ω0 = 2π·f0, bestimmt die Frequenz

x(t) = IAI·eσt · ejω0t+φ0 = IAI·eσt · [cos(ω0t+φ0) + j·sin(ω0t+φ0)]

σ<0 gedämpfte Schwingung

σ=0 harmonische Schwingungσ>0 angefachte Schwingung




Beispiel komplexe Schwingung (seltene Darstellung)




Beispiel komplexe Schwingung (häufige Darstellung)



sinc-Funktion•ist eigentlich keine harmonische Funktion•wichtige Funktion in der Fourier-Analyse

• Matlab: sinc()

0t10tt)(π/t)sin(π

(t)sinc 00f0

ff

1/(π·f0·t)

T0 = 1/f0

Nullstellen bei Vielfachen von T0


School ofEngineering1.6 Mittelwertbegriffe

SiSy, Signal, 1-28

Linearer Mittelwert (Gleichanteil) bzw. "DC-Wert"

• eines Signals

• eines periodischen Signals

Quadratischer Mittelwert (mittlere normierte Leistung Pn)

• eines Leistungs-Signals

• eines periodischen Signals

T/2

T/2dtx(t)

T1

limT

X0

0

00

Tdtx(t)

T1X

Integral über 1 Periode T0

= X

T/2

T/2dt(t)2x

T1

limT

X2

0

2

0

2

Tdt(t)x

T1X


SiSy, Signal, 1-29

Beispiele• DC-Signal DC-Wert Leistung

x(t) = A X0 = A X2 = A2

• Sinus-Signal

x(t) = A·sin(2π·f0·t+φ) X0 = 0 X2 = A2/2

• Sinus-Betrag-Signal

x(t) = A·Isin(2π·f0·t)I X0 = (2/π)·A X2 = A2/2

X0 = 0.6366·A


2T/2

T/2

2eff Xtd(t)x

T1X

1.6 MittelwertbegriffeSiSy, Signal, 1-30

Effektivwert• engl. Begriff "Root-Mean-Square-Value" beschreibt die Berechnung

• periodisches Signal = √P = XRMS

Beispiele• Sinus-Signal x(t) = A·sin(2π·f0·t+φ) Xeff = Xrms = A/√2

• Periodisches Rechtecksignal Xeff = Xrms = A


SiSy, Signal, 1-31

Varianz• mittlere quadratische Abweichung vom Mittel- bzw. DC-Wert

• periodisches Signal

Standardabweichung• σ = √Var(x)

Nützliche Identität

Matlab mean(), var(), std()

dtXx(t)T1Var(x(t))

0T

20

0

2022 XXσVar(x(t))


z = a + j∙b z* = a - j∙b konjugiert komplexe Zahl

Kartesische Darstellung

a = Re{z} = (z + z*) / 2

Real- und Imaginär-Teil von z

b = Im{z} = (z - z*) / 2j

Anhang A: Darstellung komplexer ZahlenSiSy, Signal, 1-32

z = r·ejφ

Polardarstellung

r

j·r

a

φj·b

z = r·ejφ = a+j·b

Betrag r = IzI = √ a2+b2

b = r·sin(φ)

r

a = r·cos(φ)

Phase φ = arctan (b/a)


z = ejφ

Polardarstellung, wenn r = 1

1

j

a

φj·b

z = ejφ = a+j·b

z = a + j·b wobei

a = cos(φ) und b = sin(φ)

Anhang A: Darstellung komplexer ZahlenSiSy, Signal, 1-33

cos(φ) = (ejφ + e-jφ) / 2

sin(φ) = (ejφ - e-jφ) / 2j

Euler-Formeln

ejφ = cos(φ) + j·sin(φ)

Beweis: Re{z} = (z + z*) / 2 wobei z = ejφ

Beweis: Im{z} = (z - z*) / 2j wobei z = ejφ

School ofEngineeringAnhang A: Darstellung komplexer Zahlen

SiSy, Signal, 1-34

z·z* = r·ejφ · r·e-jφ = r2 = IzI2

Produkt von komplexen Zahlen in Polarform

z1·z2 = r1·ejφ1 · r2·ejφ2 = r·ejφ r = r1·r2 φ = φ1 + φ2

z1/z2 = r1·ejφ1 / (r2·ejφ2) = r·ejφ r = r1 / r2 φ = φ1 - φ2

Beispiel

z1 = 1+j = √2·ejπ/4

z1

z = z1·z2 = √2·ejπ/4 · √2·e-jπ/4 = 2

z2 = 1-j = √2·e-jπ/4

z2

z = z1/z2 = √2·ejπ/4 / (√2·e-jπ/4) = ejπ/2

z = z1·z2 = (1+j)·(1-j) = 12-j2 = 2

z = z1/z2 = (1+j)2 / [(1-j)(1+j)]

= (1+j)2/2 = 2j/2 = j

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