Kraefte am Hebel - konstuktions-web.infokonstuktions-web.info/downloads_sb/Kraefte_am_Hebel.pdf · 2 An einem 1,6 m langen zweiseitigem Hebel verhalten sich Gewichtskraft und Kraft

Uwe Rath Eckleinjarten 13a . 27580 Bremerhaven ℡ 0471 34126 [email protected]

rth . Kraefte_am_Hebel . 08.02.2009 Seite 1 von 15 Seite/n

5.5 Einfache Maschinen 5.5.1 Hebel Aufgaben mit Löser

1 Am 180 mm langen Hebelarm einer Blech-schere greifen 120 N an. Welche Schneidkraft wird am 20 mm langen Schneidarm wirksam?

Lösungsvorschlag

Nmm

mmNl

lFF

lFlFMM endrechtsdrehndlinksdrehe

108020

1801202

112

1122

=

⋅=

⋅=

⋅=⋅

=∑ ∑

2 An einem 1,6 m langen zweiseitigem Hebel verhalten sich Gewichtskraft und Kraft wie 3 : 5. Berechnen Sie die Hebellängen in cm.

Lösungsvorschlag

cm

cmll

llll

lll

ll

ll

ll

FF

ll

FF

lFlFMM

g

endrechtsdrehndlinksdrehe

1008

16058

558

5353535353

1

111

11

12

1

2

1

2

2

1

2

2

1

2211

=

⋅=

⋅=

=+⋅=

⋅=−

⋅=

=

==

=

⋅=⋅=

cmcmcmlll

6010016012

=−=−=

F1 = Fg F2

l2 l1



3 Welche Handkraft ist erforderlich, um eine 80 kg beladene Schubkarre fortzubewegen?

Lösungsvorschlag

NNmm

mmsmkg

llgm

llF

F

lFlFMM

g

g


379...8689,378

1160

56081,980 2

1

2

1

21

211

≈=

⋅⋅=

⋅⋅=

⋅=

⋅=⋅

=∑ ∑

4 Ein Sicherheitsventil soll bei 8 bar Kesseldruck

wirksam werden. Berechne die erforderliche Masse in kg. Lösungfshinweise:

kgN

smg

cmNbar

81,981,9

101

2

2

==

=

Lösungsvorschlag

kgkg

mmkgN

mmcmcmN

lgldp

lg

ldp

lglAp

m

lgmlAp

lFlF

MM

g


44,5...438,5

53081,94

50980

4

4

22

2

12

2

1

2

2

1

21

211

≈=

⋅⋅

⋅π⋅⋅=

⋅⋅⋅π⋅⋅

=

⋅

⋅π⋅

⋅=

⋅⋅⋅

=

⋅⋅=⋅⋅

⋅=⋅

=∑ ∑



5 Welcher Öldruck in bar wird im Zylinder mit einem Durchmesser von 20 mm wirksam, wenn am 460 mm langen Handhebel 180 N Handkraft angreifen?

Lösungsvorschlag

barcmNmmcmmmN

ldlF

ldlF

lAlFp

lFlAplFlF

MM endrechtsdrehndlinksdrehe

9,43

...2676,439

6044601804

44

2

2

22

11

2

211

2

11

112

1122

≈

=

⋅π⋅⋅⋅

=

⋅π⋅⋅⋅

=

⋅π⋅⋅

=⋅⋅

=

⋅=⋅⋅⋅=⋅

=∑ ∑

6 Ein zweiseitiger Hebel von 480 mm Gesamtlänge wird mit 260 N Handkraft belas-

tet. Welche Masse kann gehoben werden, wenn sich Kraft- und Lastarm wie 5 : 3 verhalten?

Lösunsvorschlag

kgkgNN

gFm

FgmF

ll

FF

lFlFMM

g

Last

Kraftg

KraftLastg

ndlinksdreheendrechtsdreh

2,44

81,93

260535

3535

2

2

2

≈

⋅

⋅=

⋅⋅

=

⋅=⋅=

==

⋅=⋅=

Fg

F2 = 260 N

l2 = lKraft l1 = lLast



7 Welche Spannung (N/mm2) tritt in der Zug-

stange auf, wenn am l1 = 630 mm langen Winkelhebel die Kraft F1 = 360 N angreifen?

Lösungsvorschlag

2

2

2

22

11

2

2

11

2

11

2

11

2

2

112

1122

25

...0669,25

641806303604

44

mmN

mmNmmmm

mmNdl

lF

dl

lFAllF

llF

A

AFl

lFF

lFlFMM

Z

Z

Z


≈

=

π⋅⋅⋅⋅

=

π⋅⋅⋅⋅

=

π⋅⋅

⋅=

⋅⋅

=σ

⋅=⋅σ

⋅σ=

⋅=

⋅=⋅=

B1 Bestimmen Sie die hervorgehobene

Größe F2.

Lösungsvorschlag

2

112

1122

llFF

lFlF


⋅=

⋅=⋅

=∑ ∑




Größe l1.

Lösungsvorschlag

1

221

2211

FlFl


⋅=

⋅=⋅

=∑ ∑


Größe F1.

Lösungsvorschlag

1

22331

223311

221133

llFlF

F

lFlFlFlFlFlF


⋅−⋅=

⋅−⋅=⋅⋅+⋅=⋅

=∑ ∑


Größe l3.

Lösungsvorschlag

3

22113

221133

113322

FlFlF

l

lFlFlFlFlFlF


⋅−⋅=

⋅−⋅=⋅⋅=⋅+⋅

=∑ ∑




Größe F2.

Lösungsvorschlag

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )( )al

lFbalFlFF

lFbalFlFalFbalFlFlFalF

lFalFbalFlFMM endrechtsdrehndlinksdrehe

+⋅−++⋅+⋅

=

⋅−++⋅+⋅=+⋅++⋅+⋅=⋅++⋅⋅++⋅=++⋅+⋅

=∑ ∑

44312

44312

31442

44231

B6 Bestimmen Sie die

B6.1 hervorgehobene Größe F1

Lösungsvorschlag

alF

F

lFaFaFlF


21

21

12

⋅=

⋅=⋅⋅=⋅

=∑ ∑

B6.2 hervorgehobene Größe l1

1

21

211

112

FcFl

cFlFlFcF


⋅=

⋅=⋅⋅=⋅

=∑ ∑




Größe x.

Lösungsvorschlag

( )( )

( )5

35342211

35

33442211

5

334422113

3344221135

4422113533

FlFFFlFlF

lF

lFlFlFlFx

FlFlFlFlF

xl

lFlFlFlFxlFlFlFlFxlFlF


⋅−−+⋅+⋅=

−⋅−⋅+⋅+⋅

=

⋅−⋅+⋅+⋅=+

⋅−⋅+⋅+⋅=+⋅⋅+⋅+⋅=+⋅+⋅

=∑ ∑


Größe F1.

Lösungsvorschlag

Hinweis: Für das linksdrehende Moment wirkt nur die Kraftkomponente F‘2 am Hebelarm l2.

1

221

2211

1122

2'

22

'2

112'

2

60sin60sin

60sin

60sin60sin

llFF

lFlFlFlF

FFFF mitlFlF


°⋅⋅=

°⋅⋅=⋅⋅=°⋅⋅

°⋅=⇒=°⋅=⋅

=∑ ∑

F‘2 60°



B9 Berechnen Sie das Kraftmoment in Nm.

Lösungsvorschlag

NmmN

lFM

825,33225,0150

=⋅=

⋅=

B10 Berechnen Sie die „Presskraft“?

Lösungsvorschlag

( )N

Nm

mNl

lFF

lFlF


722

...0547,72286,0250,125,1210

1

221

2211

≈

=−⋅

=

⋅=

⋅=⋅

=∑ ∑

B11 Berechnen Sie die Schnittkraft.

„Presskraft“ F1

= F2

= l2

l1

= F1

= l1 = l2

Schnittkraft F2



Lösungsvorschlag Vgl. Aufgabe 1

Nmm

mmNl

lFF


64025

200802

112

1122

=

⋅=

⋅=

⋅=⋅

=∑ ∑

B12 Berechnen Sie die „Handkraft“.

Lösungsvorschlag

Vgl. Aufgabe 3

N

Nmm

mmNl

lFF

lFlFMM

g


205

...8148,2041350

3957001

21

2211

≈

=⋅

=

⋅=

⋅=⋅

=∑ ∑

„Handkraft“ F1 = l1

= l2

= F2 = Fg



B13 Berechnen Sie die Schneidkraft.

Lösungsvorschlag

N

Nmm

mmNl

lFF


566

...7142,56535

1651201

221

2211

≈

=⋅

=

⋅=

⋅=⋅

=∑ ∑

B14 B erechnen Sie die Hebellänge l.

Lösungsvorschlag

mm

mm

kgNkg

mmcmcmN

gmldp

gm

ldp

gmlAp

FlFl

lFlFlFlF

MM

g

g

g


4,375

...4150,35781,9214

7525,6200

44

22

222

2

222

22

22

≈

=⋅⋅

⋅π⋅⋅=

⋅⋅⋅π⋅⋅

=⋅

⋅π⋅

⋅=

⋅⋅⋅

=⋅

=

⋅=⋅

⋅=⋅

=∑ ∑

Schneidkraft F1 Handkraft F2

= l2 = l1

Fg

l2 =

F2 = p A



B15 Berechnen Sie die Kurbelkraft.

Lösungsvorschlag Hinweis: Die Wirkungslinie der am Griff der Kurbel angreifenden Kraft verläuft rechtwinklig zum Kurbelarm.

Nmm

mmkgNkg

Rrgm

RrF

F

rFRF

RFrF

MM

Kurbel

Welle

Kurbel

WellegKurbel

WellegKurbelKurbel

KurbelKurbelWelleg


2,196225

7581,960

≈

⋅⋅=

⋅⋅=

⋅=

⋅=⋅

⋅=⋅

=∑ ∑



B16 Berechnen Sie den Druck in bar.

Lösungsvorschlag Lösungsansatz: Das Hebelsystem wird in zwei Hebel (Hebel 1 mit dem Drehpunkt A und Hebel 2 mit dem Drehpunkt B) zerlegt.

Für den Hebel 1 mit dem Drehpunkt A gilt:

2

112

1122

llFF

lFlFMM rechtslinks

⋅=

⋅=⋅=

Für den Hebel 2 mit dem Drehpunkt B gilt:

42

33

4

233

4

33

4

33

4

334

4433

4

4ldlF

ldlF

lAlF

p

llF

Ap

llF

F

lFlFMM rechtslinks

⋅π⋅⋅⋅

=⋅

π⋅⋅

=⋅⋅

=

⋅=⋅

⋅=

⋅=⋅=

Mit F3 = - F2 folgt:

( ) ( )

barcmN

mmmmcmmmmmN

lldllF

ld

ll

lF

ldlF

ldlF

p

7,190...3463,1907

320380192013201504

44

44

2

2

242

311

42

32

11

42

32

42

33

−≈−=

⋅⋅π⋅⋅⋅⋅

−=

⋅⋅π⋅⋅⋅⋅

−=⋅π⋅

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅−⋅

⋅π⋅⋅−⋅

=⋅π⋅⋅⋅

=

= F1

= F2

= l2

= l1

= F3

= F4

= l4

= l3

A

B



Wissen – Erkennen – Werten a) Erläutern Sie den Begriff Kraftmoment (Drehmoment):

Wirkt eine Kraft auf einen drehbaren starren Körper, so erzeugt sie ein Kraftmoment, wenn die Wirkungslinie der Kraft nicht durch den Drehpunkt verläuft. Grafisch stellt das Kraftmoment die Fläche des Parallelogramms dar, das

mit der Kraft F und dem Hebelarm

r gebildet wird.

Wenn

M Kraftmoment,

F wirkende Kraft,

r Abstand Drehpunkt A - Angriffspunkt der Kraft F ,

l Senkrechter Abstand Drehpunkt A – Wirkungslinie der Kraft F ,

α Winkel zwischen den Wirkungslinien F (Richtungspfeil) und r (Rich-tungspfeil),

dann gilt α⋅⋅=⋅= sinrFlFM

oder in vektorieller Schreibweise

FrM ×=

Drehmoment: Bewirkt die Veränderung der Drehzahl eines drehbaren Kör-pers, wenn: α⋅= JM (J: Massenträgheitsmoment; α: Winkelbeschleunigung)

b) Welchen Einfluss haben Kraft und Hebelarm auf das Drehmoment?

Aus der Formel α⋅⋅=⋅= sinrFlFM (vgl. Frage a) folgt:

• das Drehmoment ist bei gleichem Hebelarm r und gleichem Winkel α

zwischen den Wirkungslinien F und r proportional zur wirkenden Kraft

F ;

• das Drehmoment ist bei gleicher Kraft F und gleichem Winkel α zwischen

den Wirkungslinien F und r proportional zum Hebelarm r ;

• bei gleichem Hebelarm r und gleicher Kraft F nimmt das Drehmoment

mit steigendem Winkel α zwischen den Wirkungslinien F und r zu. Das größte Drehmoment ergibt sich für α = 90° (-1 <= sin α <= 1).

α⋅=

=

=α

sin

sin

rlrlHYGK



c) Erläutern Sie die Bezeichnung „wirksame Hebellänge“?

Die „wirksame Hebellänge“ ist der senkrechte Abstand der Wirkungslinie der Kraft vom Drehpunkt (vgl. Frage a).

d) Begründen Sie, wann sich ein Hebel im Gleichgewicht befindet.

Wirkt eine Kraft auf einen drehbaren starren Körper, so erzeugt sie ein Drehmoment, wenn die Wirkungslinie der Kraft nicht durch den Drehpunkt verläuft. Je nach Richtung der Kraft mit dem zugehörigen Hebelarm wirkt diese Kraft auf den Hebelarm rechts- oder linksdrehend (im Uhrzeiger- oder ent-gegen dem Uhrzeigersinn). Ein Hebel ist dann im Gleichge-wicht, wenn die Summen der links- und rechtsdrehenden Kraftmomen-te gleich groß sind.

∑ ∑= endrechtsdrehndlinksdrehe MM

∑ = 0M

e) Nennen Sie Anwendungsbeispiele für ein- und zweiseitige Hebel.

Einseitiger Hebel Zweiseitiger Hebel

Tafelschere Handblechschere (vgl. Aufg. 1)

Berechnung Auflagerkräfte für einen Brückenkran

Baukran



Einseitiger Hebel Zweiseitiger Hebel

Schubkarre (vgl. Aufg. 3) Brechstange

Sicherheitsventil (vgl. Aufg. 4) Kurbelkraft (vgl. Aufg. B15)

Der menschliche Arm als Hebel Pumpenschwengel

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