Kriterien zum 8. Potenzeharakter der Reste 3, 5 unti 7

Von FRANZ HALTEX-KOCH in Graz

(Eingegangen am 22. 8. 1968)

Einleitung und Zusammenfassung

Fiir den biquadratischen Restcharaher von 2, 3, 5 nnd 7 nach Primzahlen y -7 1 mod 4 lic~llnt man dic folgenden notwendigen und hinreichenden Kriterien (GAUSS [2]) :

Bct.rachtet man die Primzahlen p :-.t 1 mod 4 in ihrer eindeutigen Darstellurig

p = x? + 4 y2, SO ist biquadratische>r Rest mod p : a) 2 genau dann, wenn y b;~ ~~ 3 gonaii dann. ivenn y c ) .i grnau dann. wrnn y d) -~ 7 genau dann, wenn y . 0 mod 7 oder x -- 0 mod 7, d. h. venn

11 = x" + 196k2 oder p . 49z2 + 4 y'.

. 0 mod 2 , d. 11. wenn p = x? f 64 52 . 0 mod 3, d. h. wenn y = x? + 36 g?. 0 mod 5, d. h. wenn p = x2 + I00 g2.

Diwc Krit,clrictn wurdcri von HASSE [Ti] klassenkorpertheoretisch unternia,ucrt. U'ESTERN (71 bewirs I91 1 folgendes Kriteriuni Zuni 8. Potcnzchara,lrter von 2 : 2 ist genau dann 8. Potcnzrest nach cincr Primzahl p ~. 1 mod 8. wenn p die beiden

D;rrstc~llnngcn p = x? + 2-56 y' = u? + 32 l i z oder die beiden Darstellungen

p = x:! + fi4 yl = u'? + 8 v? mit u 7 v -1 1 mod 2

bcsitzt. Eine klassenkorpertheoretisclle Begrundung diescs Krittlriums wurde erstrnals von AIOXEH [I] gcgehcn, der auch noch ein ahnliches Kriterium fiir dcn 16. Potenzcharakter von 2 angab. HASSE [GI cntwickeltr einc allgemeine Theorie des 27L-tcn Potenzcharakters \"on 2 im Korpcr dtr 2n-t'en Einheitswurzeln, in der er zcigte, daB sich fiir n 1; 4 kein hin- rc.ichcndes Kritcrium im rationalen Zahlkorper angebcn 1aBt.

In der vorlicgenden Arbcit sollen notwendige und hinreichendc Kriterien fur den Y. Potenzcharaktcr dcr Reste 3, 5 und 7 angegeben werden. die sich auf Kongruenzeigen- scha,ft,cbn der Darstellungen ciner Primzahl p ~.: 1 mod 8 durch quadrat,ische Formen st,iLtzen. nabei wird naeh der ihuNERschcn Methodc dcr sukzessiven Konstruktion der zugehorigm Ideaiklassengruppen im Korpcr dcr 8. Einheitswurzeln vorgegnngen werden.

$ 1. Arithmetik im Korper der S. Einheitswurzeln

ni 4 1'2 + 1 - 2 Sei Q der Korper der rationalen Zahlen und [ == c! = _____ eine

2 primitive 8. Einheitswurzel. Sie genugt der irreduziblen Gleichung [ 4 + 1 = 0. k = &([) sei der Korper der 8. Einheitswurzeln. Er ist biquadratisch voni 11 M.lth. Naehr. 19T0,Bd. 44, H. 1-6

130 Halter-Koch, Krlterlen zuni 8 Potenzc har,tktci der Reste 3. 5 1111d 7

Typ (2,2) mi t quadratischen Teilkdrperii Q (i), Q (1'2) m d Q ( 1' - 2 ) . h b e i ist i = ;?, 1 2 = [ - 0 und 1'-2 [ + :). (1, (, <?, < I ) ist eiiic Ganzhcits- basis fur k &; alle ganzen Zahleri K E k haben die Form

- _-

(x = a + b ( + c [ j + d [ :

mit ganzratioiialen C I , b, c. d , wofur ich zur Ahkiirzuiig K = [ G , b , C , dl schreibe. Das Multiplikatioiisscliema in diesem vier.dirnerisioiialeii Veldor- ranin hat folgende Gestalt.

[ m i , 61, c i , d i l . La?, b', dil [A, B , C , BI, 1% e m

A - n,a, - c l c L - b , d L - d lb l

C = alel + cI a, + bibl - d i d l Lz = t t jb, + b ia i - c l d j -- d i c j

I) 1 aid2 + dial + bkc1 + ~ i h j .

1)ie Primzahlen 1' = 1 inod 8 zerfallen in k in vier verschiedencl Yrimidcale 1. Grades, elle ubrigen Primzahleii 1) =& 2 zerfallen in zwei verschiedcncx Primideale 2 Grades. p = 2 ist verz\icigt. wid m a r ist 2 z 94 mit

2 (1 - <).

k hat die Klassenzahl 1, alle ldcale [I roii k sirid Hauptideale 0 = (K).

Sr tze ich K = [a, 0 , c, d ] . so uird

A7(x) = (u' - C' + 2 b d)' + ( 2 (1 c - 0' + cl')' = (a' - 6' + C' - d?)? + 2 (a 11 + L d + (1 d - 6 c)' =- (4 + b' + c i + d ' ) ? - 2 (n b + c fl - ( I d + h c)'

Fiir Priniideale (K) 1. Grades sind das die entschridendeii l>arstelhingen &J. zugehorigeii Priiiizahl y =- S (K)

AiiDer deli 8. Einheitswurzeln ;"(Y - 0, 1 , . . , 7 ) besitzt k iioch die reelle Cirundeiiilieit F = 1 + 1'2 = 11. I 0, - 11 voii Q ( 1 2 ) .

2 = (1 - <) ist das rinzige bei den spater zu untersuchenden Kdrprr-

- -

3

cxrweiteriingen k ( ] a ) (a = 3 5 , 5 ) nildverzweigte I'riinideal. Eine Zahl a = [a , b. c. d ] ist teilbar durrh

2, wenn (6 + b + c + d = 0 invd 2

22. wenn ( L 1- c = b + cl rL 0 inod 2 2:. weenn a = b = c 5 d mod 2 95, weiiii n 5 b = c = d = 0 mod 2

Q;, n enn a = b = c = d = 0 mod 2 iind ( I h + c + rl = 0 mod -t

uiid so fort.

Halter-Koch, I h t e i l m zum 8. Potenzchdrdkter der Reste 3, 5 und 7 131

Eine Basis der prinieiiRestklasseilgruppe mod Q7’ (n g 1) in k wird ge- geben durch die Zahlen l - (1 - ;)” mit l 5 v 5 2 ’ uiid v + 0 mod 2 oder v = 23 (HASSI 131, S. 237). Das ergibt folgende Basiseleinente:

A[ = [0, 1, O , O ] , A1 = [O, 3, - 3, I], 3q = [ 5 , 4 , - 10, 101,

A h = [ 3 5 , - 14, - 14, 341, 25 = [69, - 48, 0, 481.

Die folgende Tabelle gibt eiiie Ubersicht uber die Ordnnngeii der 1, niod E n .

n = 1 2 3 4 5 (i 7 8 9 1 0

1. I 1 2 4 4 8 8 8 8 5 8 A2 1 1 1 2 2 2 4 4 4 4 i., 1 1 1 1 1 6 2 2 2 4 I,, 1 1 1 1 1 3 1 2 2 2 I,, 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2

Die Einheiten geniigen den Kongruenzen ( = ill, E = ?L1 mod 910.

Q 2. -3 als 8. Yotenzrest

n’ach der sllgenieineii Klasseriliorpertheorie gilt : + 3 bzw. - 3 ist genau dann 8. Potenzrest nach einer Primzahl p = 1 mod 8, wenn die Primteiler

von p aus k in k (7 3) bzw. k (1’ r 3 ) voll zerfallen. Nur einer der beiden Palle, 4- 3 oder - 3, mu8 klasseiikorpertheoretisch erschlossen werden ; welrher, bleibt vorlaufig offen.

In k ist 3 = ( I + 1-2 ) (I - v- 2). Ich setze v, = 3 + 1- 2, v . = 1 - v- 2, b, = (v+) uiid 0. 7 (1; ). b, und b- sind Priniideale 2 . Grades; es ist 3 G b , b . und x ( b + ) = nT(b-) = 3‘.

Der Fuhrer fur k(] 3) k bzw. k ( 1 - 3 ) / k hat die Gestalt 3 = Y b, b - .

1- - -~

-

h - x --

Zur Bestimmung von n sind die zu deli Itlealklassengriippeii

3. mod s,, = 9’ b + b _ (v 2 0)

gehorigen Adj u nktionen aufzu su cheii .

der Ordnung 3 2 - 1 = 8. Die primen Restklassengrupp~n mod bT uncl mod U _ siiid zyklisch von

Eine Zahl K = [a , b , c, dJ ist teilbar durch

b,, wenn c = a - b iind d 3 - CI - b mod 3 ,

b _ , wenn c = u + b uiid d = cc - b mod 3 .

Sei z+ eine Prirnitiv~7urzrl mod b, und iz Pine Primitivwurzel mod b- . 0 *

132 Halter-Koch, Kriterieri zuni 8. Potenzc~hsrakter der Kestr 3, 5 und 'i

Da die Potenzen Ci(i = 0, 1, . . . , 7 ) sowohl mod D als auch mod b - samtlich inkongruent siiid, kanii ich 7c+ und nk auf

s I,

X+ = [mod b , ,

z- _= 5 mod bk,

z+ = 1 mod

z- = 1 mod

D-

8 r

D-

?-

fur geniigend hohes Y normieren . Die primen Rest'klassen mod D + t, dann in eindeutiger Basisdarstellung gegebeil durcli

I n dieser Darstellung ist E = nt 7cO mod D, b . .

Ich setze dabei die Basiseleniente ILi mod 2" anf Ibi 3 1 mod u ,. D voraus.

siiid

7cy ny mod D+D- (Y+, Y-. = 0, 1;. . . , 7 ) .

Damit bin ich in der Lage, die Idealklassengruppeii & zu konst,ruieren. noriniert'

Die 1dealklassen~rup~)eri 3, mod 8,

v = 0: Es ist go = b + b - . Durch Multiplikation niit den Einheiteii ,1;1 n mod b . und 81 5 = z' - - z" mod 0 - 0- 1aOt sich jede zii 2 prime Zahl cc E k auf v. E 1 mod 8(, oder 0: = ..ci n! mod 8,) iiormieren. so ist also zyklisch von der Ordnung 2 mit erzeugender Klasse

und C2 = H (Hauptklasse).

C = {(M); M E 7c: n! mod 5,,, 1

I n k ist 3 quadratischer Rest mod z8. dalier ist k ( v3 ) Klassenkorper

v = 2: Es ist S L = 2211, 13-. Durch Nirltiplikation mit den Einhciteii [ f mod $ ' b + b _ 1aOtsich jede z u 2 prime Zahl n E k nufn E ny n! mod 32 (vl- -= 0, 1,2,3) normieren. s1 ist also zyklisch von der Ordnung 4 mit erzeugeuder Klasse C und CI z H .

In der Hauptklasse von $2 steheii alle Primideale (a) rnit 0: = 1 mod B!. Fur c( = [a, b, c, d ] bedeutet das

zu so.

mod $2, .+[? = n- mod 2 2 b - urid E I > < ~ = nl

u = 1, IL + c = 1,

b 3 c E d 3 0 mod 3 b + d = 0 mod 2 .

In der Darstellung p = N ( a ) = (a? - c? + 2 b d ) ? t ( 2 n. c - b' + d?)? der zugehorigen Primzahl p wird 2n c - bl + d' = 0 mod 12, und daher be- kornmt p die Darstellung p = x? + 14492. Dus ist aber nach GAUSS not- wendig und hinreichend d a f ~ r , dal3 3 hiqiradrstisrher Rect mod p ist. Daher

ist k ( ):) Klassenkorper zu & .

Halter-Koch, Kriterien mini 8. Potenzcharakter der Reste 3, 5 und 7 133

v = 3: ES ist G j = Q J b + U - . Durch Multiplikation mit den Einheiten i” = I , mod 2 uiid ( 2 n niod 2 ’u- la& sich jede zu 2 prime Zahl v. E k auf v. = nyn! mod 8, (v, = 0, I, . . ., 7 ) normieren. s3 ist also zj-klisch von der Ordnung 8 mit erzeugeiider Klasse C und C8 = H . Der

Klassenkorper zu 3, hat die Form K = k (113 8 ~ 4 ) . Dabei ist 6 = + 1 oder 6 = - 1 uiid p eine der Zahlen 1, E , v+, E v,. DaD p + 1 gilt, zeigt das voii der Yrimzahl 577 stammende Primideal (a) = ([- 8, 3, 3, - 91). n’egen x = 1 mod 8: liegt (a) in der Haaptklasse. Nach 577 i e t aber lieder + 3 noch - 3 8. Potenzrest.

Nach dem Obigen ist k (1 3 6) sicher ein Teilkorper voii K ( l / t , i ’z)+).

E und v+ eiiid quadratische Reste mod 27, aber nicht mod 24; daher ist die zu K (1 E , pv-) gehorige Idealklassengruppe mod 90 erklarbar. I m Hin- blick auf spatere Anaendung sol1 aber zuerst noeh die Struktur vciii SIL un t ersuch t werden .

v = 4: Es ist s4 5 24 U~ U-. Thrch Multiplikation mit den Einheiten < 3 /Il mod 25, E (1 = mod 24 und E L z nf mod 24 b _ laat sicli jede zu 2 prime Zahla E k auf v. = n”,?n’-mod s4 (Y+ = 0, 1, . . ,, 7 ; Y- = 0, 1) normieren s4 ist also vorn Typ (8, 2 ) rnit erzeugenden Klassen C u i d

8 -

b

C’ = {(a); K = n: n! mod g4} tlnd C8 = C’2 = H .

Die ldealklassengruppe 3j wird in 34 durch C’ 3 13 definiert. AuBerdem lbesitzt der Klassenkorper zu s4 noch den durch 6’4 C’ = H definierten,

iuber k zyklischeii Korper 8. Grades K’ als Teilkorper, der sich als k (i’: 3) wweisen u ird.

v = 6: Es ist SG = 30 b, u . Durch Multiplikation mit den Eiiiheiten 1, - = JI mod 20, E (0 = ?,, mod 20 und cb ( 4 E ny mod 20 b _ laat sich jede :cu 2 prime Zahl a E k auf a = 3,;n”,fn’: mod g6 (Y = 0, 1; Y+ = 0, 1, . . ., 7 ; 11- = 0, 1) normieren. & ist also vom Typ (8, 2 , 2 ) mit erzeugenden Klassen c, C‘ ulla

D = { ( K ) ; K = lbj mod gG) Imd = C’J = DL = H .

Die Idealklassengruppe & mird in 3,, durch D = H definiert Der lllassenkorper zu s,] besitzt vier uber k zyklische Teilkorper 8. Grades,

die k (1 3) enthalten, und zwar /r

K , definiert durch K’, definiert durch K , definiei-t durch C4 D = C’ K’, defiiiiert durch C’i D =

D = C’ = H D = Ch C‘ 3 H

H C’ = H .

134 Halter-lioc.11, Kriterieri ~ i i m 8 . Poteriztliarakler der lteste 3, 5 iind 7

Niner der Korper K' , ET oder K' , ist drr ICcirper k ( 1 3 6) Die Entscheidung liefert das von der Primzahl 193 stammciide Primideal (u) = ([3, 4, 0, - 21). Wegen u = 7c: n! ii mod %o liegt ( 0 ) in der Klasse CC 1); da weder + 3 noel1 - 3 8. Potenzrest mod 193 ist, gehort CG JI riicht zu r Hauptklasse

der Erweiterung k (93 6) k . Daniit ist K' = k ( y 3 b ) erwiesen; die zu- gehorige Idealklassengruppe ist mod B,, erklarloar.

A n w e n d u n g d e r I d e a l k l a s s e n In C&betracbte ich diezuK' = k( 1 36) gehorige, durch C/. C' = H definierte Idealklassengruppe. Die Entscheidung zu 6 = - 1 liefert das von der Primzahl 9 3 i stamrnende Primideal

5

D

(K) = ([- 7, 2, 6, - 81)

- 1 12'egen CI --= 7 c i n - rnod s4 liegt ( u ) in de:. Klasse PG 6''. also in der Haupt- klasse der Erweiterung K' jk . 1)a wohl - 3. aber nicht + 3 8. Potenzrcxst mod 937 ist, ist 6 - - 1.

Die Klassen 11 und CG C' von 3,> bilden die Hauptklasse der zu K' gehorigen Tdealklassengruppe. Ein Primideal ( K ) liegt genau dann in dieser Hauptklasse, wenn u E 1 niod 25 und entneder u = 1 mod b, b- oder a = z: JG! mod b, b gilt Fur CI = [a, b , c , d ] Fedentet das

a = 1, b * c - cl = 0 niod 2

und entweder

CL = 1 ,

CL = b 2 , c --= 0, d 3 1 niod 3 .

b = c 5 d = 0 mod 3 oder

In der Darstellung p = A'(.) = (a' - c j 4- 2 h cl)' + (2 I I r - b' + dl )? der zugehorigeri Primzahl p wird 2 n c - b' + cl' = 0 mod 12, und daher bekommt p die Darstellung p = xj + 144 y'. Das gilt aber auch fur die

Primideale in den Klassen C< und C', die der dein Korper k ( 1 3) zugeord- neten Hauptklasse angehoren Zum Uiitersrhied von dicsen henotige ich die zweite Darstellung vori p in der Form

4 -

iy, = (a' - b' + C' - d')' f 2 (a b + c d + I I d - b c)'.

Hier wird wieder in allcn Fallen (6 Z, + c d + a d - b c = 0 mod 6, p be- kornmt die Darstellung p = ul + 7 2 d: nun betrxchte ich die Restklasseii von x und ?c mod 12. Es ist

in H : IL̂ = 1, 26 e E 1 mod I 2

in Ch ('' u = 5 rnod 12

in C'c: .L: = 5, ' I I = 1 mod 12 in (": z = 1, ZL = 5 mod 12.

x L 5 ,

Halter-Kocli, Kriterien zum 8. Potenzcharakter der Keste 3, 5 nnd 7 136

Bcmicksichtigt nian iioch die Invariaiiz der Darstellungen T , = x ’ + 1 4 4 ~ / ’ = ~ ’ + 7 2 ~ ’

bei den Substitutionen x 7 - IL’ und u + - ZL, so erhalt man:

K r i t e r i u m ziirn 8. P o t e n e c h a r a k t e r v o n - 3 : - 3 ist genau dann ti Potenzrest nach einer Primzahl p = 1 mod 8. wenn p die Darstellungen ,I, = 12:) + 1-1-4 ?j2 nnd 1) = Z C ~ + 7 2 01 besitzt und auI3erdem eine der beiden Rongruenzen 12: + ZL = 0 mod 12 oder x - u = 0 mod 12 erfullt ist 1st - 3 n w hiqiiadratischer Rest mod p . so ist eine der Kongnenzcn

erfullt . 1 + u = 6 mod 12 oder -L - u = 6 mod 12

5 3. 6 als 8. Potenzrest

S a c h der allgemeirieri Klassenkorpertheorie gilt: + 5 bzw. - 5 ist ~ c n a u dann 8. Potenzrest, nach einer Primzahl p = 1 mod 8, wenn die

f i i h/ Frirnteiler ki von y aus k in k ( 1 5) bzw. k (1. - 6) voll zerfallen. Nar einer cler beiden Falle, + 5 oder - 5, mu13 klassenkorpertheoretisch erschlosseii werden ; welcher, bleibt vorldufig offen.

In k ist 5 = (1 + 2 i) (1 - 2 i). Ich setze II, = 1 + 2 i, v- = 1 - 2 i, 0 = (v-) i int l b = (v-). U + und b - sind Primidealc 2 . Grades; es ist 5 k1, U- tilld S ( U + ) = X(U ) = 5’.

8 R

Der Fuhrer fiir k ( I 5 ) l k bzw. k (1 - 5 ) i k hat die Gestalt 5 = 2’‘ U, b-. Znr Bcstiriimung von n sind die zu den Ideallilasseiigrupl~eii

n -5, mod 8% = Q ” b + 0- (v 2 0 )

8‘ 111 origeii Ad j unkt i onen aufzusuchen .

dcr Ordiiurig 5’ - 1 = 24. Die primen Restklassengruppen mod b, und mod ti

Eine Zahl x = [a, h , c, d ] ist teilbur durch

sind zyklidcli voii

u . U C I I I ~ c == 2 c( und d = 2 b mod 5 n , wenn c = 3 (1 und d = 3 b mod 5 .

8,-i 5t

na die Poteiizen ( F [)‘ (i = 0, I, . . . , 23) sowohl mod U, als auch mod b samtliche iiikongruent sind, kann ich z, urid 7 ~ - auf

eirie Primitivwurzel mod u , und x- eine Prirnitivmurzel mod U-.

136 Halter-Koch, Kriterien zuni 8. Pot,rnzcharakter der Reste 3, 5 und 7

fur geniigend hohes Y iiormieren. Die primen Restklasseii mod b dann in eindeutiger Basisdarstellung gegeben durch

(v+, v- = 0, 1, . . ., 2 3 ) .

siiid

zz”,+n”’mod 13, b- i i ’ In dieser Darstellung ist t = xyx.??. mod 0, b- und ( = x+ n. ’ mod 11, U-.

Damit bin ich wieder in der Lage, die Idealklasseiigruppen $,, zu kon- struieren. Ich setze dabei die Basiselemente 1, mod 2’ auf I, , 5 1 mod U, 0- iiorrniert voraus.

Die Idealklassengriippen 3, mod &

Y = 0: Es ist 8,) = b + b . Durch Multiylikation mit den Einheiteii t < = ,z- mod und 8 : ;J = nti no mod D, U _ lal3t sich jede zu 2 primc Zahl o! E k auf a = xv:n! mod 8 0 (Y, : 0, I, . . ., 11) normieren. so ist also zyklisch voii der Ordnung 12 mit erzcugender Klasse

C = ((u); 01 = x: xf mod 33 ulid C“ = H .

In k ist 5 yuadratischer Rest mod 2 8 , dsher ist k ( k 5 ) Teilkorper dcs Klassenkorpers zu 30. Die zugehorige Idealklasserigrirppe wird in 2,, dirrch C‘ = H definiert.

Y = 2: Es ist 8 2 = 22 U, b-. Dureh Arultiplikation mit den Eiiiheiten = ill mod 2 2 , E - ) 5’ 5 nf mod 22 0- ~ind € 1 5’ = xk’ n! mod $22 U+ D- lafit

sich jede zu 2 prime Zahl cc E ZC auf a == x”,f:-inod s1 (v, = 0 , 1 , . . ., 31; v - 0 , 1 ) normieren 32 ist also vom Typ (12, 2) mit erzeugenden Klasseii C und

C‘ = ( ( a ) ; a = n’ + n- ’ mod 32) und C“ zz C’l = H .

30 wird in 31 durch C‘ = H definiert, und daher ist k( 115) Klassen- korper zur durch C? E C’ = H definierten Idealklassengruppe. Uer Klassen- korper z u 32 besitzt zwei uber E biquadratische eyklische Korper.; die zit-

gehorigen Idealklassengruppen werden durch C“ = C’ = H und C2 C’ =- 11 definiert. Die durch C’C’ = H definierte Hauptklssse setzt sich ails den Klassen H , C? C’, Pi, CG C‘, C* und CJO C’ von S1 zusammeii. Fiir Prim- ideale ( a ) = ( [u, b, c, d ] ) aus diesen Klassen wird

2 a c - b’+ dL = Omod5.

Andererseits ist wegen a = 1 mod 22 n + c = 1, b + d = Omod2

also aucli 2 ic c, - 6’ + dL =- 0 mod 4 Die zupehorige Primzalil

p = S ( a ) = (a‘ - c2 + 2btZ)’ + (2 u c - b’ + d”)’

Halter-Koch, Kriterien ziirii 8. Potenzcharakter der Reste 3, 5 und 7 137

hekommt daher die Darstelluiig p = x? ,+ 400 92. Das ist aber riach GAUSS notwendig und hinreichend dafiir, daD 5 biquadratischer Rest mod p ist.

Daher ist k (v5) Klassenkorper zur durch C' C' = H defiaierten Ideal- klassengruppe in &. Da t i + und K yuadratische Reste mod 27, aber iiicht mod 2s sind, sind k (v<) uiid L (v;) Teilkorper des Klassenkorpers zu 3..

Y = 4: Es ist s1 = $ 4 U, b-. Durch Multiplikation mit den Einheiten mod 24 und ~4 ['t = n! mod 240- lafit sidi jede zu 2

prime Za'hl 0: E k auf' CI = n'?,+,:- rmd z4 ( v , = 0, 1, . . . , 2 3 ; 11- = 0, 1, 2, 3) iiorniieren. & i s t also vom Typ (24, 4) mit erzeugenden Klassen C uiid C' und niit. Cz'h = C'/& = H .

S2 mird in & durch Cl? = C'2 = H definiert, und daher ist k ($5) Iila.ssenkorper zur durch C.6 = C" C' = H in 34 definierten Idealklasseii- :<ruppe. Der Klasseiikorper zu $$ enthiilt zsvei uber k zyklische Korper

:8. Grades, die k (15) eiithalt'en, iiiimlich den durch Cz C' = H definierten Korper K und den durch C"C' = H definie.rten Korper K' . K und K'

sind von der Form k (1 5 Sph ) mit 6 ;=I + 1 oder 6 = - I und ,u = 1, E , v+ odel+ e 0,. Sicher ist k (;!a) ein Teilkorper voii K ( I /&) oder K'( fF) , d. h. die zugeordiiete Idealklassengruppe ist mod 2'; erklarbar. Es wird sicli aloer

sogar .I< = k (1'5) ergeben.

4 -

= LI mod 25, e ,'z =

4

p

S ,-

v = 6: 6 s ist 86 = cfj b + u ~. Durch Multiplikation mit den Einheiten

z,u c, prime Zahl 0: E k auf cc = 1.; ..r",+'': mod 8,; (v = 0, 1 ; Y+ = 0, 1, . . . , 23; v = 0, 1, . . . , 7 ) norniieren. sci i s t also vom Typ (24, 8, 2 ) niit erzeugenden Klassen C , 6'' und

-~ - ~ ILL mod 2(;!", E 5" G I,., mod gfj und E? ( 4 = n! mod 26 b . 1aDt sich jede

D = { ( x ) ; x = 1.:: niod &J 1,iiid rllit C'h = C'8 = D' == H .

Die Idealklassengruppe $ I wird in $(i definiert durch C". = D = H . 1)er Klassenkorper zu s6 enthiilt vier uber k zyklische Teilkorper 8. Grades,

die k (1'5) enthalten, uiid zwar 4 . - ~

K , definiert durch C'C' = C'4 = D = H R', defiriiert durch C'; C' = C ' t = D = H R , defiiiiert durch C'C' = C"D = H R', definiert durch C' = C'' D = H .

8 ;

E:iner dieser vier Korper ist der Korper k (1 5 6). In C'' D steht das von der Priiiizahl 5441 stainmeiide Primideal

( x ) = ([- 5 , 2 , 8, - 81) ( a = I L l z: rr! mod &,);

138 Halter-Iioch, Kriterien zum 8. Potrn7c.haraktcr der Jtestc 3. .i iintl 5

llach 6441 ist aber weder + 6 noch - 5 8. Potenzrest. I n der Klasst Ct1 C" steht das von der Primzahl 8449 stammendc Primideal

( a ) = ([5, 4, 8. 41) ( a E z: n! inod

nach 6449 ist ebenfalls weder + 5 nocli - 5 8. Potenzrcst. Dainit ist

I< k ( I 6 6) bewiesen ; die zugehorige l d e ~ ~ l k l a s s e i i ~ r i ~ p ~ ~ ~ ist mod s4 erklarbar.

S -

\

A i l m e n d u n g d e r I d e a l k l a s s e n . In $4 betrnclite icli die zu f< = k ( 1 5 0) gehiirige, durch C' C' = H definierte 1 dealklassengruppe. Die Entscheidung zii 0 = + I liefert das von 669 stainmende Priniideal

( . ) = ( [ 7 , 0 , - 6 , - 81).

\\'egen GC 5 7~: TC ' mod 5, liegt ( a ) in der Klasse C' C'. also in dci- Haupt- klasse der Erweiteriing K i k . 11% wohl + 5, aher nicht - 3 8. Potenzrest mod 569 ist., ist A = + 1.

81 In der zu k (1 5) gehorigeii, grirppe liegen folgende Klassen

H Cl C' C8 C"' C' (; I0 C'

Sei a - Lu, b c . d ] , ( a ) ein Prirnidenl erstcn Charles uiid

y = N ( a ) = (a1 - c? + 2 b d)' f (2 (1 c - 0' + clj)'

die ziigehorige Primzahl. Dann wird in allen obeii aufgefiihrtcii Klassrii

2 n c - b' + d' =- 0 rnod 20

also p - n.1 + 400 y?. 1)as gilt aber auch fur die Primideale i i i i s folpenden Klasseii von 3, .

(' 11, C' ! c4 C" 6 7 ' C i h C' I

PI' C'G C' Clh CY'l CYI8 C' 1

( '10 C" (7' C'1 C' C ' : .

J )elm diese gehoren iioch zur Haiiptklasse der Idealklasseiigruppe zu

A( 15). und die Uarstellung p = x1 + 400 y' ist iiach G-\ L'SS notMeiidig imd liinreichend fur den k)iquadratischen RePtcharakter voil 5 nach Prinizahlen p = 1 mod 8 Ich betrachte nun wieder die Darstelluiig von p in der Form p = ( n l - b' + c j - d l ) ? + 2 (a h + c cl + ( I d ~ h c ) ' . TTegeii a = 1 mod 2 I wird n = I , b .Z c = d = 0 mod 2 also LI b I c rl + /I cl - h c = 0 mod 2

Es gibt nun eirieii mod 20 eincleutig bestiiiiiiiteil Faktor x ;> 0 init u = & i: .r mod 20. T.:s ist z = 1 oder x ~ 3 niod 20 fur allc Yririiidealc

/,

~11d p = U J + 8 V '

Halter Koc h, Krrtcrien cnn1 8 Potenzch,iraktel drr Ke\te 3 3 und 7 139

iiis dcr Hauptklarse der ldealklassetigruppe zu E (1 j), und es ist ic = 5

ocler z = 9 mod 20 fur alle ubrigea Klasseii der Hauptklasse zu k ( ] 5) I)abei ist die Iiivarianz der Darstellniigen p = IC? + 400 y’ urid y = u? + 8 2 1 bei den Substitutionen z + - IC uiid t c - t c bmejts berucksichtigt. Damit ist gem onnen .

x -

4 -

K r i t e r i u m z u m 8 P o t e r i z c h a r a k t e r voii ,j + 5 ist geiiau danii S Potenzrest iiach einer Yrimzahl 11 1 mod 8. wenn p die J)arstelluiipeii p = 1.2 + 400 y’ und p = tc1 + 8 c? besitzt iind auflerdern eine der vier Koiigruenzen u + T = 0 mod 2 0 . zc - 5 5 0 mod 20, zc + 3 2 0 mod 20 udcr zc - 3 x = 0 mod 20 erfullt ist.

1st r> ni1r biquadratixher Rect mod p . so ist pine der Koriprueiizen ?( + L = 10 mod 20, oder u - 3 2 = 10 mod 20 e r f~dl t

?L - IC = 10 mod 20. ze + 3 TC = 10 mod 20

$ 4. - 2 als 8. Poterizrcst

Kach dei- allgemeinen Klasaeiikdrl~ertlieorie gilt. + ‘i bzw - ’i ist geiiau dsnn 8. Potenzrest nacli einer Prinizahl p = 1 mod 8, uenn dic

Priniteiler p von p nus k in k ( / ‘ i ) bzw. k ( l - 7 ) voIl zedallen. Nur eirier der beiden Falle, + i oder - 7 , mu13 klassenkorpertlieoretisrh erschlosseii w erdeii ; a elcher bleibt vorlaufig offen.

= 3 - 12. ti = (vJ) und b = (v ). U, wid u sirid Prtmideale 2 . Cracles: es ist 7 u , und A’(u,) = s ( n ) = 7 2 .

I)er Fuhrer fur k ( ? 7 ) , k bzw. E ( 1 - 7 ) , k hat die Gestalt 8 - $?‘n- D .

h - 8

In k ist i = ( 3 + I/2) ( 3 - 1.3) . Ich setze u, = 3 + 12. v

h - -

Ziir Bestimmnng \on n siiid die zu deli IdealBlassen~ruppeii 3% mod ;3-L = 2’’ b T n- (Y 0)

pehorigen Adjuriktionen arrtzusiichen.

der Ordnung 7’ - 1 = 48. r)ie primen Restklasseiiffruppeii mod b, nnd mod t1- sintl zyk1isc~l.i voii

Eine Zahl Q = [a, 6. C , d ] ist teilbar durcli b,, wenn a - 3 h + c, = 3 n - b + rl = O niod ‘i u- . weim CI +- 3 b + c = 3 a + b - d = 0 mod 7 .

ist qiiadratischer Rest mod b, b - . urid zwar jst [ 3 , 4, 1, I]’ = [ mod b l t1 Uiiter ].’fmod b , b - sol1 die Restklasse [3. 4, 1 11 mod b , b- verstandeii n erden. Sei zT eine Priniitivn urzel mod 0 , und z- eine Primitiva urzel mod u-. Da die Potenzeii ( E IT)’ ( v = 0, 1. . . . , 45) sowohl mod D+ als auch

140 Halter-Koch. Kriterlen L i i m 8. Potenzcharakter der Reeste 3, 5 und 7

mod 0- siimtliche inkongruent sind, kann ich s c ~ wid ;7_ auf

CY 1

n_ = 61': mod b , ;1: = 1 mod -- b-

f i x genugend hohes v norrniercii. Die prinien Restklassen iiiod U, b- bind danii in eindeutiger Basisdarstellung pcgebeii durch

n:+d'-mod 0, b- (v-, Y _ = 0 1, . . 45)

In dieser Darstellung ist t = sc?' TZ!' mod U + u

struieren. Ich setze dabei die Basiselemente 2, mod 2' auf I.? = 1 mod 17, u n ormiert voraus.

und < = n: 771. mod u k. Darriit bin irh wieder in der Lage. die Idealklasseiigruppen 3, zu koii-

Die ldealklassengruppeii 3" mod %v

v = 0: Es ist so = U, D-. Uurch 3lultiplikation niit den Einheiteii F ; E n"od b- und = n':n! mod 13, 0 - lafit sich jede zu I! prime %ah1 a k auf a = n","? mod go (Y, -= 0, 1, . , 2 3 ; v _ - 0, 1 ) normieren. 3,, i a t also vom Typ (24, 2 ) mit erzeugendtri Klassen

C = { ( a ) ; a = ni n! mods , , ]

C' = ( ( K ) ; 0. f sc: sc! inodS,,}

urid mit C 2 4 = C" 1 H . I n k siiid w + , ( j . und 7 quadratisrhe Reste mod 28. 1)aher sind k ( ~ ~ ~ ) .

k ( 1 . ~ ) und k (fy) Tejlkorper des Klussenkorpers zu 3,). Die quadratischen Teilkorper des Klassenkorpers ZLI So werden iii & durch die Kongruenz- relationen C = H , C' C' = H und C' = C' = f€ definient In C lie@ das von 521 stammende Primideal (K) = ( [ 2 , 1, 3 , - 31) (X = n: n! mod 5,)); 7 ist quadratischer Nichtrest) mod 522. In C' C' liegt das von 241 stanimende Primideal ( a ) = ([- 2, 1, 0. 41) ( a = n f n! mod 50); 5 ist quadratischer Nichtrest mod 241. Daher i s t k ( 1'7) Klassenkorper zur durch C' E C' = H in 3" definierteii ldealklasseiigruppe Fur ein Primideal ( a ) = ( [ a , 6, c , d ] ) aus der Hauptklasse zu k (v?) gilt:

Genaudannist a2 - c 2 + 2 b d = Omod'i, wenn ( K ) E C ' @ + ' ( ~ = 0, 1 , . , 3 ) oder ( a ) E CHe+b C'

Genau dann ist 2 u c - 6' + d' = 0 mod 7 , wmii ( v ) E PhP (e = 0, 1, . . . . 5) oder (K) E Cqe+'C'

(0 = 0, 1, . . ., 5 ) .

( e = 0, 1, . . , 5 ) .

Halter-Koch, Kriterieii zum 8. PottenzcharaMer der Reste 3, 5 und 7 141

Fur die zugehorige Primzahl p = I?(@.) = ( ( ( 2 - ~1 + 2 b d)? + ( 2 a c - 62 + #)?

bedeutet das : Genau dann bekonimt y die Darstellung p = x2 + 4 9 ~ 2 , wenxi ( a ) in

der Hauptklabse der durch C? C’ = N in so definierten Idealklassengruppe liegt. Nach GAUSS ist 7 genau dann biquadrtttischer Rest mod p . wenn p

die Darstellung p = xj + 49 y2 hat. Daher ist k (1 7 ) Klassenkorper zur durch C-l C’ = H in 3(, definierten Idealklassengruppe.

. Durch Nultiplikation mit den Einheiten i = A, mod 22, E [’ 3 ,z‘ - mod 22 0- tii id E’, = ~ 1 , ” n‘: mod 2’ D- b _ lafit sich lied? zu i? prime Zahl K E k auf K = n’_+ 3’: mod B1 (v, = 0. 1, . . , 2 3 ; 1) - = 0, 1, 2, 3) normieren. 3, ist also voin Typ (24, 4) mit erzengenden Klassen C und C’ uiid mit C” = C’h = B. 3,, wird in sl durch C’’ = H defiiiiert ; daher ist k (1117) Klassenkorper

zur durch C4 = C’c” = H in s2 definierten Idealklassengruppe. Der Klassenkorper zu 3. enthalt zwei uber k zyklische Korper 8. Grades, die

1. (1 5) enthalten, namlich den durch C’’ C’ = H definierten Korper K und den durch C8 = Co C’ = H definierten Korper K‘. K und K’ sind von der

Yoriii k (1’7 6 p ) mit i, = + I oder h = - 1 und p = I, L , V , oder E L , .

Sicher ist k ( y 5 6) ein Teilkorper von K ( E ) oder K’(1 e), d. h. die zugehorige ldealklassengruppe ist mod 20 erklarbar. Es w i r d sich aber sogar

4 -

v -- 2: Es ist s2 = $ 2 U,

4

4

8

-

8

K ’ = k ( I - 7 ) erg ehen .

v = 6: Es ist &, =- 21) b, b- . Durch Multiplikation rnit den Einheiten = IL1 mod 211 und E ? ( 4 = nx - mod 26 b - lafit sich jede

., 4 i : . . , 7 ) normieren. sh ist also vom T3 p (48, 8, 2) rnit erzeugenden

D = { ( a ) ; a = A , mod ’&J

A I mod $ 0 , 6

zii 2 prime Zahlcc. E k auf o! = iynv: n’zmod $jb (v = 0, 1; Y, = 0, 1, . v = 0, 1, Xlassen C, C’ und

~ lnd mit C48 = C’8 = B? = H Die Idealklassengruppe s2 wird in Sb definiert durch C’4 = C’h = D = H .

I)er Klassenkorper zu & entlhlt vier uber E zpklisehe Teilkorper 8. Grades,

die k( 17) enthalten. und zwar /t

h‘ , definiert durch C‘h = C’C’ -- D = H K’, definiert durch C8 I 0 C’ = D = H R , definiert durch ( ‘8 = CJ C’ = C’LD 3 II K’, defiiiiert d ~ u c h C‘ = C”] C’ = C” D 3 H .

142

FJiner dieser vier Korper ist der Borper k (\ 7 (s) 111

Halter-Koch, Krlterwn ztim 8. Poteri~charalit,rr der Rcste 3. 5 und 5

C"' D = (C1 C') I6 . (G'1 D) I = (CO C')O . C" Jj

steht das von der Primzahl 449 stanitmetide Primideal

(a) = ([- 157, - 70, 25G, - 2921) ( x = n?zn mod &,);

iiacli 449 ist aber neder + i iioch - 7 8 I'otenzrest. In

C'IG'iD = ( C - ! C ' ) I . D

stelit das von der Priinzalil 1009 starnmeiide Primideal

( K ) = ([- 89, 36, 140, 1621) (9 = n? 7 ~ 1 mod 8,J; iiacli 1009 ist ebeiifalls veder + 7 iioch - 7 8. Poteiizrest. Damit ist

K' = k ( 1 7 S) bewiesen ; die zugehorige Ideallilasseiigrirppe ist rnod s1 erklarhar .

+

A n w e n d u n g d e r I d e a l k l a s s e n . lii betrachte icli die zu \

K' = k (1'7 h )

gehorige, durrh C* = 0 C' = H definierte Idealklassengruppe Die Ent- scheiduiig zii 6 7 - 1 lrefert das voii der Yrimzahl 457 stammende Prim- ideal ( K ) = ([a, - 3, 1, - 31) U'egen a = z y 31 mod 8' liegt (.) j i i der Klasse Cj4 C' = (0 C') . C', also jii der Hauptklasse der Erweiteruiig K' k Da wohl - 7 , aber niclit + 'i 8. Potetizrcst mod 3-57 ist ist 6 - - 1.

P C" L H definierten Ideal- 111 der zu k (hl'- 7 ) gehorigeii. durch P lilassengruppe liegen folgende Klasseii \ oil :? iii der Hauptklasse :

H C' CI? c'i ( 7 1 8 (7' I

c* 6' I 4 (;' "2" C" C'' C' I

c I0 c1-! C' ( J I C"' C'II C" I

Sei a = [a , F, c , d ] . ( u ) ein Primideal 1 ( h a d m uiid

1' = X(V) = (LI' - C' + 2 F (1)' + ( 2 c - 6' + d')?

die zugehorige Priinzahl. Daiin wird i n alleii obeii aufgefillirtcti Klasseii

CL-! - c j + 2 b d =_ 0 mod 7

2 a c - 6' + d ' T 0 mod 7 . oder

Andrrerseits ist wgei i x = 1 mod 22 stets 2 a c - 6' +- d? = 0 mod 4, p hut also die Darstellung p 39 5 1 + 1 G yl oder 73 = n 1 + 784 y'. Das

143 Halter-Korli, Xriterlerl zum 8. Poteiizcliarakter der Reste 3, 5 und 7

gilt. aber auch fur die Primideale aus folgenden Klasse~i voii 3": c r, c LO 67' CI" C" c22 c':)

@" C" C' C K C" C". (J':!.

c I:! CL8 C' C" CLi C':l

Demi diese gehoreii noch zur Hauptklasse der Idealklassengruppe z u

k ( 1 7) , uiid die Existenz eiiier der Darstellungen, p = 49 xz + 16 y? oder p = xz + i 8 4 y", ist nach GAVSS riotwendig und liiiireichend fur dcn kli-

quadratischen Restcharakter voii 7 iiach Primzalilen p = 1 mod 8. loh hetrachte iiun wieder die Darstellung von p in der .Form

c ,-

p = (a' - 6' + c? - d?)z + 2 ( a b + c d + a d - b c)? .

IVegeii CL = 1. mod 22 ist a + c = 1 und b + d = 0 mod 2 , also a b + c d + a d - b c = Oinod2

Illld p = PC" + 8 v". 8. -

Gehort iiuii (K) ziir Hauptlilasse der Idealklassengruppe zu k (1 7 ) , so gilt: 1st p = 49 xz + 16 92, so ist u + 0 mod 7 und ZI + 0 mod 7 .

1st p = zz + 784 y!, so ist, u = 0 mod 7 oder z.1 0 mod 7 . 'r

( M o r t ( x ) niir zur H.auptklaese der Idealklassengruppe zu k ( I 7 ) , so gilt:

Tst p = 49 x? + 16 y?; so ist' u E 0 inod 7 oder v = 0 mod 7 . 1st p = x? + 784 yz, so ist u + 0 rnod 7 itrid v + 0 mod 7 .

I lamit ist gewoniieii :

rest, iiach eiiier Priinzahl p = 1 rnod 8, so hat p die Uarstellriiigeii I i r i t~e r i i im z u m 8. P o t , e n z c h a r a k t e r voii - 7. 1st - i 8. Potcnz-

p =; 49 xz + 16 y" = 2 ~ 2 + 8 v:! T) == ~1 + 784 yz = u:! + 8 ~ 2 .

oder

:I) 1st p 49 2 2 + 16 92 = u? + 8 v X , so ist - T genau dam1 8. Putciiz-

1st 7 iiiir biquadratischerRest mod p : so ist u == 0 rnod 7 oder v i 0 niod 7 . lj) 1st p = z:! + 784 y2 = u! + 8 19, so ist - 7 genau danii 8. Poteiiz-

1st 7 iiiir biquadratischer Rest mod p , so ist u + 0 mod 7 uiid v 3~ 0 mod 7.

rest mod p , wenii u + 0 mod 7 iind v + 0 mod 7 ist.

rest, inod y, wenn eiitweder u = 0 mod 7 oder v = 0 mod 7 ist.

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