GTR-Tipps Lage zweier Ebenen mit GTR

vlukaxE rrrr ++=:1 ; nsmrbxErrrr++=:2

Gleichsetzen ergibt: nsmrbvluka rrrrrr

++=++ Ordnen: abnsmrvluk r

rrrrr=+

LGS aufstellen, 3x5-Matrix hat... i. ... keine Lsung: 1E und 2E sind echt parallel.

ii. ... unendlich viele Lsungen, ein Parameter frei whlbar: Schnittgerade iii. ... unendlich viele Lsungen, Nullzeile (zwei Parameter frei whlbar): 21 EE =

zu i:

+

+

=

121

85

5

201

:1 lkxEr ;

+

+

=

231

31

2

321

:2 srxEr

umgeformte Matrix: k l r s 5 1 -2 1 0 -5 2 1 -3 2 8 1 -3 2 1

LGS in 3x5-Matrix A, rref(A) und Frac ergibt Koeffizientenschema. k l r s

1 0 31 31 0 0 1 31 32 0 0 0 0 0 1

Aus der 3. Zeile folgt, dass das LGS keine Lsung hat:

ist nicht lsbar, 10000 =+++ srlk1E und sind echt parallel. 2E

zu ii:

+

+

=

25

5

421

201

:1 lkxEr ;

+

+

=

231

31

2

321

:2 srxEr

umgeformte Matrix: k l r s 1 5 -2 1 0 2 -5 1 -3 2 4 2 -3 2 1

LGS in 3x5-Matrix B, rref(B) und Frac ergibt

k l r s 1 0 0 -2 15

17

0 1 0 -1 31 0 0 1 -4 5

7

Aus der 3. Zeile folgt 574 = sr bzw. sr 4

57+=

r in einsetzen ergibt Schnittgerade: 2E

+

++

=

231

31

2)4

57(

321

: ssxg r bzw.

ssx

ssx

ssx

2125213

34572

85

141

3

2

1

++=

+=

++=

oder

sx

sx

sx

105

3653

75

19

3

2

1

+=

=

+=

.

Es ergibt sich die Schnittgerade

+

=

101

7:

536535

19

sxg r

zu iii:

+

+

=

25

5

421

201

:1 lkxEr ;

+

+

=

231

31

2

321

:2 srxEr

umgeformte Matrix: k l r s 1 5 -2 1 -4 2 -5 1 -3 7 4 2 -3 2 -7

LGS in 3x5-Matrix B, rref(C) und Frac ergibt

k l r s 1 0 31 31 -1 0 1 31 32 1 0 0 0 0 0

Smtliche Positionen in der 3. Zeile sind Null. Damit sind zwei Parameter frei whlbar, beim Gleichsetzen entsteht somit eine Ebene, in der beide Ebenen liegen, also ist . 21 EE =

Hn/Bo 10/2008