Lagrange-Formalismus

• Warum Lagrange• Benötigte Begriffe

– Zwangsbedingungen (holonome)– Generalisierte Koordinaten

• Lagrange-Gleichungen– 1. Art (Bestimmung der Zwangskräfte)– 2. Art (Bestimmung der Bewegungsgleichungen) Euler-Lagrange-Gleichung

Variationsrechnung (Hamilton´s Wirkungsprinzip)

• Beispiel

Warum Lagrange

• Alternative zu NewtonWeiteres Werkzeug zur Bestimmung von Bewegungsgleichungen Aber beliebige Koordinaten wählbar

• Zwangsbedingungen leichter implementierbarExplizites Ausrechnen der Zwangskräfte relativ leicht möglichOder Elimination der Zwangskräfte durch generalisierte Koordinaten -> Reduktion der Dimension desProblems (Freiheitsgrade)

• Zu lösenden Gleichungen invariant unter KoordinatentransformationenBehalten immer die gleiche Form

• Bessere analytische Möglichkeiten(zB. Symmetrien <-> Erhaltungsgrößen ; Begriff der Gesamtenergie bei v-abhängigen Potentialen)

Benötigte Begriffe

• Holonome Zwangsbedingungen(griech.: „ganz gesetzlich“)

– Gleichungen zwischen den Ortskoordinaten(auch explizite Zeitabhängigkeit zugelassen)

– Darstellbar als vollständiges Differential einer Funktion

Generalisierte Koordinaten

• An das Problem angepasste Koordinaten

• Können die `Dimension des Problems` verringernJede Zwangsbedingung entspricht dem Festhalten einer generalisierten Koordinate-> Reduktion der Freiheitsgrade

Lagrange-Funktion

• L = T – VT … kin. Energie V … verallgemeinerte potentielle Energie

Die Lagrange-Gleichung(en)

• Lagrange-Gleichung erster Art

s …. Anzahl der Zwangsbedingungen Fk = 0 λk … Lagrange-Multiplikator Koordinatentransformation

L = T –V , Q = -∇VLagrange-Gleichung 2.Art (Euler-Lagrange-Glg.)