Lektion 4a: Folgen, Konvergenz, Grenzwertedpraesent.at/anatut20/praesentation_L04ab_-_Reelle_und... · 2020. 11. 22. · Darstellungen • Aufzählend: Für endliche oder periodische

Lektion 4a:

Folgen, Konvergenz, Grenzwerte

Folgen in ℝ und ℂ, Darstellung von Folgen,

Definition der Konvergenz, Grenzwerte

Tutorium zur Analysis 1 - David Präsent 20W – L04b: Folgen

Was sind Folgen?

• Definition: Eine (unendliche) Folge reller (bzw. komplexer) Zahlen ist eine Funktion �: ℕ → ℝ (bzw. ℂ)

• Mit �� ∈ℕ bzw. mit ��, � , … � ist die Folge (Englisch: sequence) als Ganzes gemeint.

• Für einen Funktionswert schreibt man �� statt �� und nennt ihn �-tes Folgenglied.

• Ein Argument � ∈ ℕ wird typischerweise als Index bezeichnet.

• Bemerkungen:

• Mit den natürlichen Zahlen als Definitionsmenge wird automatisch eine Ordnung induziert.

• Im Wesentlichen ist eine Folge eine geordnete Liste von Zahlen.

• Die Null kann in der Definitionsmenge enthalten sein, oder nicht.

• Auch Funktionen �: � → ℝ (bzw. ℂ) mit � ⊆ ℕ werden als Folgen bezeichnet.

• Ebenfalls möglich: Folgen von anderen Objekten anstelle von Zahlen (z.B. Folgen von Intervallen oder von Funktionen).


Darstellungen

• Aufzählend: Für endliche oder periodische Folgen, sowie solche mit einem offensichtlichen Bildungsgesetz.

Beispiele: �� ∈ℕ � 0, 1, 0, 1, 0 … � oder �� ∈ℕ � 1, 4, 7, 10, 13, … �

• Explizit: Man kann alle Folgenglieder durch eine oder mehrere Formeln darstellen.

Beispiel: �� ∈ℕ gegeben durch �� 1 � ⋅�

�

• Rekursiv: Aus einem gegebenen Folgenglied werden alle anderen iterativ berechnet.

Beispiel: �� ∈ℕ�ist für ∈ ℝ! gegeben durch ��!� �

�

�� "

#

$%und �& �


Beispiel: Rekursive Berechnung eines Kreditrückzahlungsplans mit Excel

Ein Darlehen über 25 000 € soll bei monatlicher Verzinsung beimZinssatz von monatlich 0,2 % in gleichen Raten von 800 € pro Monatbeglichen werden. Wann ist der Kredit so abbezahlt?

Antwort: Nach 33 Raten (letzte Rate ist geringer)


Konvergenz

Die Konvergenz ist ein Hauptuntersuchungsmerkmal von Folgen und für die Analysis zentral!

• Definition: Eine Folge *� �∈ℕ komplexer Zahlen heißt konvergent mit Grenzwert +, genau dann, wenn gilt:

∀- . 0 ∃01 ∈ ℕ ∀� 2 01 ∶ *� � � 4 -

Lies: „Eine Folge ist genau dann konvergent, wenn man für jede positive Fehlerschranke - einen

passenden Index 01 finden kann, sodass alle nachfolgenden Folgenglieder in der Umgebung

von � liegen und deren Abstand zu � kleiner als - ist.“

Egal wie klein man diese --Umgebung zu � wählt: wenn die Folge gegen � konvergiert, dann

liegen trotzdem fast alle Folgenglieder in der Umgebung (bis auf endlich viele vor dem Index 01).


Vorstellung zur Definition


Re

Im

ℂ

ℝ

0

ℂ

Re

Im

° �

Erinnerung: *� �∈ℕ konvergiert gegen � ∈ ℤ, g.d.w.

∀- . 0 ∃01 ∈ ℕ ∀� 2 01 ∶ *� � � 4 -

Alternative Darstellung für reellwertige Folgen durch den Funktionsgraphen


ℝ

�

��

Erinnerung: � �∈ℕ konvergiert gegen � ∈ ℝ, g.d.w.

∀- . 0 ∃01 ∈ ℕ ∀� 2 01 ∶ � � � 4 -

�

� " -

� � -

Bemerkungen

• Für „Die Folge *� �∈ℕ konvergiert mit Grenzwert (Limes) �“ schreibt man: lim�→=

*� � � oder *� �→=

�

• Hat eine Folge *� �∈ℕ komplexer Zahlen den Grenzwert 0, dann nennt man sie Nullfolge.

• Existiert der Grenzwert einer Folge *� �∈ℕ nicht, dann nennt man sie divergent.

• Z.B., wenn die Folgenglieder unbeschränkt anwachsen/abfallen.

• Oder bei manchen Folgen, die ein alternierendes Verhalten aufweisen (siehe auch: Häufungspunkt).

• Alle Eigenschaften, die für komplexe Folgen gelten, sind auch für reelle Folgen erfüllt.

• Der Grund: ℝ ist in ℂ eingebettet.

• Der Aufbau der Analysis mithilfe von Grenzwerten geht zurück auf Cauchy,

die sog. Epsilontik auf Weierstraß.


Augustin-Louis Cauchy

(1789 – 1857)

Karl Weierstraß

(1815 – 1897)

Beispiel

Es sei � �∈ℕ eine konvergente Folge reeller Zahlen mit Grenzwert � . 1. Zeige, dass lim�→=

�?� � 0.


See you in part 2!

• Rechenregeln für Grenzwerte

• Einige wichtige Grenzwerte

• Konvergenzkriterien

• Majorantenkriterium

• Einschließungssatz

• Monotoniekriterium

• Konvergenz von rekursiven Folgen


Lektion 4b:

Grenzwerte und

Konvergenzkriterien für Folgen

Wichtige Grenzwerte und Rechenregeln für Grenzwerte,

Majoranten, Einschließungs- und Monotoniekriterium


Rechenregeln für Grenzwerte

• Sind �� ∈ℕ und �� ∈ℕ konvergente Folgen komplexer Zahlen mit den Grenzwerten � und �, dann gilt:

1. lim�→=

�� @ �� @ �

2. lim�→=

�� ⋅ �� ⋅ �

• Insbesondere gilt für die konstante Folge �� , dass lim�→=

� ⋅ �� ⋅ �

3. lim�→=

A%

B% �

A

Bund fast alle �� C 0, falls zusätzlich � C 0

4. lim�→=

�� |�|

5. lim�→=

Re �� Re�� und lim�→=

Im �� Im��

6. lim�→=

�� E

� �E für F ∈ ℚ


Vorsicht: für F ∈ ℚ ∖ ℤ (also Potenzen von Wurzeln) spielt eventuell das Vorzeichen von �� eine Rolle.

Beweis zu Regel 6

6. lim�→=

�� E

� �E für F ∈ ℚ

Wir beweisen als Übung nun die folgenden Spezialfälle:

i. F � I ∈ ℕ

ii. F � �I ∈ ℤ ∖ ℕ

iii. F ��


Wichtige Grenzwerte

1.�

�J → 0 für alle F ∈ ℚ!

2. �% → 1 für alle � ∈ ℝ!

3. �E% → 1 für alle F ∈ ℚ!

• Insbesondere gilt: �% → 1 (Der allgemeine Fall folgt aus diesem Spezialfall)

4. Für sogenannte geometrische Folgen � � F� gilt: wenn F 4 1, dann ist lim�→=

F� � 0 .

• Für F � 1 ist die Folge konstant und konvergiert trivialerweise gegen 1

• Für F . 1 divergieren alle geometrischen Folgen

5. Für I ∈ ℕ und � ∈ ℤ mit � . 1 gilt: lim�→=

�K

$% � 0


Noch ein paar Definitionen

• Definition:

• Eine Folge *� �∈ℕ heißt beschränkt, wenn es eine positive Zahl L 4 ∞ gibt, sodass ∀� ∈ ℕ: *� N L.

• Eine reelle Folge � �∈ℕ heißt monoton wachsend (bzw. fallend), wenn ∀� ∈ ℕ: �!� 2 � (bzw. �!� N �).

• Man nennt � �∈ℕ streng monoton wachsend (bzw. fallend), wenn ∀� ∈ ℕ: �!� . � (bzw. �!� 4 �).

• Zwei komplexe Folgen *� �∈ℕ und �� ∈ℕ heißen asymptotisch gleich, wenn lim�→=

O%

$%� 1 (schreib: *� ≃ ��)

• Vorsicht! Es muss nicht gelten, dass lim�→=

*� � �� 0 .


Konvergenzkriterien (1)

Majorantenkriterium: Wenn es zu einer Folge *� �∈ℕ komplexer Zahlen eine Nullfolge �� ∈ℕ und

eine Zahl � ∈ ℂ und ein 0 ∈ ℕ gibt, sodass für alle � 2 0 gilt, dass

*� � � N �� ,

dann konvergiert *�� gegen �.

Beispiel: Zeige, dass *� �∈ℕ mit *� ≔ R "�⋅S%

%konvergiert.



Einschließungssatz: (Majorantenkriterium für reelle Folgen)

Für eine Folge � �∈ℕ reeller Zahlen gilt: Wenn es zwei konvergente Folgen �� ∈ℕ

und �� ∈ℕ mit lim �� lim �� : T gibt, dann konvergiert � ebenfalls gegen T,

wenn bis auf endlich viele Ausnahmen gilt, dass

�� N � N ��

Beispiel: Man zeige, dass � �∈ℕ mit � � 1 �?� %

�U!�konvergiert und bestimme den Grenzwert.


„Sandwich-Theorem“

„Einzwicklemma“

„Satz von den zwei Polizisten und dem Betrunkenen“

(insbesondere, wenn entweder�� oder �� konstant ist)


Monotoniekriterium: Wenn eine Folge � �∈ℕ reeller Zahlen beschränkt und monoton ist, dann

ist sie auch konvergent. (bis auf endlich viele Ausnahmen)

• Umgekehrt gilt das nicht! Zwar ist jede konvergente Folge beschränkt, aber nicht zwingend Monoton.

• Gegenbeispiel:

• Das Monotoniekriterium eignet sich in vielen Fällen, um die Konvergenz von rekursiven Folgen zu prüfen.

• Ebenso ist der Einschließungssatz bzw. das Majorantenkriterium generell gut dafür geeignet.


Beispiel zu rekursiven Folgen

Sei � �∈ℕ gegeben durch �!� � F ⋅ � " V und & � 6V für F �X

Yund V . 0.

Prüfe die Folge auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert �.


Beispiel zu rekursiven Folgen

Sei � �∈ℕ gegeben durch �!� � F ⋅ � " V und & � 6V für F �X

Yund V . 0.

Prüfe die Folge auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert �.

Wertvolle Übung: Wie verhält es sich mit Konvergenz und Grenzwert, falls V . 0, & . 0 und 0 4 F 4 1 beliebig sind?

Was passiert, wenn F . 1 und V 4 0 für verschiedene Werte für &?


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