Gliederung der Vorlesung Festkörperelektronik

1. Grundlagen der Quantenphysik2. Elektronische Zustände3. Aufbau der Materie4. Elektronen in Kristallen5. Halbleiter6. Quantenstatistik7. Dotierte Halbleiter8. Der pn-Übergang

4.1 Vom Atom zum Molekül zum FestkörperVerallgemeinerung von zwei auf 1023 Atome

Vom Molekül zum Festkörper

Verallgemeinerung von zwei auf 1023 Atome

Potential eines Gitters

Viele Atome mit Abstand a und überlappenden PotentialenEs ergibt sich ein periodisches Gesamtpotential (gestrichelt).

Energiezustände des Gitters

Temperatur = 0 K:

Aufspaltung der Energiezustände

Für N Atome Aufspaltung in N Energiezustände

Diese energetisch nahezusammenliegendenZustände bilden “Bänder” von erlaubten Zuständen.

Komplexes Verhalten durchÜberkreuzungen

Abb.: Schema der Energieniveaus, wenn (fiktiv)aus unabhängigen Si-Atomen durch Verringerung des atomaren Abstandes ein Kristall gemacht wird.

4.2 Halbleiterkristalle

- chemische und physikalische Eigenschaften der Elemente sind durchihre Elektronenkonfiguration im Grundzustand sowie durchnaheliegende angeregte Zustände bestimmt

- z.B. Germanium Ge (32 Elektronen) und Silizium Si (14 Elektronen):- jeweils vier Elektronen in der äußersten Schale

Atome in Festkörpern

- Elektronen in der äußersten Schale gehen Verbindungen mit anderenAtomen ein (kovalente Bindung, teilweise ionisch bei unterschiedlichen Atomen, z.B. GaAs)

- Anordnung der Atome erfolgt so, dass die Gesamtenergie minimal wird

Dies ist oft gegeben, wenn eine Unterschalegefüllt wird.

Jedes Si- oder Ge-Atom geht Verbindungenmit vier weiteren Atomen ein.

Ordnung in FestkörpernJe nach Art der Herstellung können sich die Atome verschieden geordnet zu

Festkörpern zusammenschliessen.Kristalle: Die Atome sind periodisch angeordnet.Polykristalline Festkörper: Kristalline Bereiche, aber keine FernordnungAmorphe Festkörper: nur Nahordnung, keine Periodizität, keine Fernordnung.

kristallin polykristallin amorphSource: Wolfe, Holonyak, Stillman

- Halbleitermikroelektronik wird dominiert durch kristalline Siliziumchips- Halbleiteroptoelektronik wird dominiert durch Verbindungshalbleiter (mehr als ein Element)- polykristalline und amorphe Halbleiter bei großflächiger und kostengünstiger Elektronik

Ordnung in Festkörpern

Kristalliner Wafer Polykristalline Si-Solarzelle

Amorphe Dünnfilmtransistoren

→ Si-Mikroelektronik

3D-Kristallgitter

In 3D wird die Anordnung durch drei Gittervektoren a1, a2 und a3eindeutig beschrieben.

In 3D gibt es 14 verschiedene Kristallgitter.Die Grundeinheit muss nicht ein einzelnes Atom sein.Sie kann auch eine kompliziertere Einheit aus mehreren

Atomen sein.

simple cubiceinfach kubisch

(sc)

body-centered cubic kubisch raumzentriert

(bcc)

face-centered cubickubisch flächenzentriert

(fcc)

Source: B. Van

Zeghbroeck

Verbindungshalbleiter

Verbindungshalbleiter bilden sich ebenfalls nach der Regel, möglichstdie Unterschalen zu füllen.

Dadurch entstehen IV-IV, III-V und II-VI Halbleiter.Halbleiter aus zwei Elementen nennt man binäre Halbleiter.

Halbleiter aus drei Elementen nennt man ternäre Halbleiter.z.B. Al1-xGaxAs

Halbleiter aus vier Elementen nennt man quarternäre Halbleiter.z.B. In1-xGaxAs1-yPy

SiGe

Kristallstruktur von Si und Ge

Si und Ge bilden DiamantgitterDie Diamantstruktur hat ein fcc-Gitter mit einer Einheitszelle, die aus

zwei Atomen bei (0,0,0) und (1/4,1/4,1/4)a besteht. a ist die Länge der Einheitszelle.

Einkristallwachstum: Czochralski-Verfahren

-für gute Transporteigenschaften isteinkristallines Material erforderlich

Bruchstücke von poly-Si werden unter Schutzgas aufgeschmolzen

(TS=1415 °C)

Eintauchen eines einkristallinen Keims

einkristallines Wachstum unterZieh- und Drehbewegungen

Wachstum von einkristallinen Stäben

Einkristallwachstum: Czochralski-Verfahren

-für gute Transporteigenschaften isteinkristallines Material erforderlich

Bruchstücke von poly-Si werden unter Schutzgas aufgeschmolzen

(TS=1415 °C)

Eintauchen eines einkristallinen Keims

einkristallines Wachstum unterZieh- und Drehbewegungen

Wachstum von einkristallinen StäbenAbbildung eines einkristallinenSi-Stabes

Methoden der Epitaxie: MBE

Molekularstrahlepitaxie (molecular beam epitaxy, MBE)

Verdampfung der Elemente aus fester Quelle im Ultrahochvakuum (10-10 mbar)

4.3 Periodische Potentiale

Periodische Anordnung von Atomen → Periodisches Potential V(x)

Schematische Darstellung eines quantenmechanischen Elektrons in einem periodischen Potential eines kristallinen Festkörpers

Drastische Effekte, wenn die halbe Wellenlänge der Elektronen (oder ein ganzzahliges Vielfaches) gleich der Periode des Potentials ist

Ausbildung von stehenden Wellen

Vom freien Elektron zum Kristallelektron

E

-π/a π/a

a a aeinfallendesElektron

gestreuteTeilwellen

Dispersionsrelation des freien Elektrons

2 2

2kEm

= Konstruktive Überlagerung der Teilwellen falls λ/2=a

oder k=π/a

Vom freien Elektron zum Kristallelektron

c) Ψ*Ψ(x) obere „Bandkante“

b) Ψ*Ψ(x) untere „Bandkante“

-bei einer Wellenlänge zwei qualitativ unterschiedliche Möglichkeiten die stehende Welle im Verhältnis zu den Atomrümpfen zu platzieren.

Dispersionsrelation des Kristallelektrons

Aufspaltung der Parabeläste bei IkI=π/a, Ausbildung von

stehenden Wellen

Vom freien Elektron zum Kristallelektron

Gittervektoren:

n xR na nae= =

„Reziproker“ Gittervektor:

2xK e

aπ

=2

n xK n eaπ

=

Periodische Bandstruktur

Es genügt, den Bereich von -0.5K bis 0.5K darzustellen. Diesen Bereichnennt man die erste Brillouin-Zone.

EinfachereDarstellung

Gegenüberstellung freie Elektronen ↔ Bloch-Elektronen

Reduktion auf die erste Brillouin-ZoneFreie Elektronen Bloch-Elektronen

ka

( ) eikrk rΨ =

Klassifizierung nach dem Wellenvektor: Klassifizierung nach reduziertem Wellenvektor k und Bandindex n:

( ) ( )ikrnk nkr e u rΨ =

( ) ( )nk nku r u r R= +

mit

2

0

( )2kkEm

=

(gitterperiodische Funktion)

Bloch-Elektronen

( ) ( )ikrnk nkr e u rΨ =

http://fermi.la.asu.edu/ccli/applets/kp/kp.html

Richtungsabhängigkeit des Potentials

Bisher haben wir nicht bedacht, dass das Potential für die verschiedenenRaumrichtungen verschieden ist.

Nehmen wir z.B. an wir haben ein 2D-Gitter. Die Atome sind entlang derX-Richtung näher zusammen als entlang der L-Richtung.

Daher erwarten wir, dass durch den unterschiedlichen Potentialverlaufauch die Energiezustände unterschiedlich sind.

z.B. beim quadratischen Gitter in 2D:

Γ

LX

L: K=(1,1)

Γ: K=(0,0)

X: K=(0,1)

Richtungsabhängigkeit des Potentials

In der Tat zeigen Berechnungen, dass die Energiezuständerichtungsabhängig sind.

Oft werden deshalb in einem Bandstruktur-Diagramm die Energiezustände für verschiedene relevante Richtungen gezeigt:

XK=(0,1)

ΓK=(0,0)

Lk=K(1,1)

Γ(0,0)

ΓL X

Bandstruktur von Silizium

Darstellung der Eigenzustände in Bandstrukturen. Gibt wieder dieAbhängigkeit von ω (bzw. E) von k an. Allerdings handelt es sich nicht mehr um einzelne ebeneWellen sondern um komplexeÜberlagerungen.

Die neuen Eigenzustände heissen Blochzustände.

Bandstruktur von Germanium

Bandstruktur von GaAs