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LeonhardEuler

HanspeterKra/DepartementMathema4kundInforma4kUniversitätBasel

unddiemoderneMathematik

VolkshochschulebeiderBasel

EineArbeitvonCharlesHermiteCharlesHermite,französischerMathema4ker,24.Dezember1822–14.Januar1901

JournalfürReineundAngewandteMathema4kBand59(1861),304-305

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Exkurs:LösenvonGleichungen

Quadra)scheGleichungen(bereitsimAltbabylonischenReichbekannt)

Idee:quadra4scheErgänzung:

KubischeGleichungen(FormelnvonCardano1545)

Exkurs:LösenvonGleichungen

GleichungenvomGrad>4?

ÉvaristeGalois(25.Okt.1811–31.Mai1832)

Gleichungen4.Grades:ebenfallsFormelnvonCardano(1545)

„EsgibtkeinegeschlossenenFormelfürdieLösungeneinerallgemeinenGleichungvomGradgrösserodergleich5!“

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ModerneForschungReduk)oneinerGleichungn-tenGradesaufeinfachereForm(z.B.möglichstvieleKoeffizienten=0;LeopoldKronecker,FelixKlein,...)

JoeBuhler&ZinovyReichstein(Composi4oMath.106(1997),159-179):„Esbrauchtmindestensn/2verschiedeneKoeffizienten.“

•  FormelvonHermite(1861):x5+ax3+bx+b=0

•  FormelvonJoubert(1867):x6+ax4+bx2+cx+c=0

Erklärung?

WerwarLeonhardEuler?

•  EinwohlbekannterBasler?•  EinweltberühmterAuslandschweizer?

•  DergrössteGelehrteseinerZeit?•  DerführendeWissenscha/lerdes18.Jahrhunderts?

•  Einerdergenialstenundproduk4vstenMathema4kerallerZeiten?

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oderDerMannmitderNachthaube?

DerMannaufderaltenZehnernote?

DerMannaufderBriefmarke?

DerAuslandschweizer

1707inBaselgeboren(15.April)1727Basel➙St.Petersburg

1741St.Petersburg➙Berlin

1766Berlin➙St.Petersburg

1783inSt.Petersburgverstorben(18.September)

„ErbliebseinerVaterstadtimmerengverbunden,istaberniedahinzurückgekehrt.“

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DerGelehrteundWissenscha/ler

FundamentaleBeiträgezurMathema4k,Op4k,Mechanik,AstronomieundTechnik

Über800wissenscha/licheArbeiten,etwa3000BriefevonundanEulerundrund40’000Manuskriptseiten

PhilosophischeundtheologischeBeiträge,sowiemehrereSchri/enzurMusiktheorie

DergenialeMathema4ker

VieleoriginelleAnsätzeundgrundlegendneueIdeen

EnormeBreiteundTiefeinderForschung

GrosseAusstrahlung

UnvergleichlicheSchaffenskra/

„EulerhatdieMathemaOkvonGrundaufrevoluOoniert!“

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Er„schaqe”neuemathema4scheTheorienundForschungsgebiete.

Er„nutzte”dieMathema4kundwendetesieüberallan.

ErliessdieganzeWeltanseinenGedankenundIdeen„teilhaben“.

ErwarinjederHinsicht„rein”UND„angewandt”.

UnderwaraucheinPrak4ker!

Euler:EinmodernerMathema4ker!

WasserkunstinSanssouci

Au/ragdesKönigs

EulersVorschlägeundBerechnungen

Aber:dieRohreplatzten!

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«Jevoulusfaireunjet-d'eauenmonJardin;leCiclopeEulercalculal'éffortdesroües,pourfairemonterl'eaudansunbassind'oùelledevoitretomberpardescanaux,afindejailliràSans-Souci.MonMoulinaétééxécutégéométriquement,etiln'apuéleverunegouted'eauàcinquantepasduBassin.VanitédesVanités;Vanitédelagéométrie.»FriedrichIIanVoltaire,25.Januar1778

DerSpovdesKönigs

„...zweitklassigalsPhysiker...?”

„Thephysicaluniversewasanoccasionformathema4cstoEuler,scarcelyathingofmuchinterestinitself;andiftheuniversefailedtofithisanalysisitwastheuniversewhichwasinerror.”(E.T.Bell1937)

„DergenialeMathema4kerEulerwarzweitklassigalsPhysiker...”(A.Hermann1991)

„WhenEulerappliedhisequa4onstodesignafountainforFredericktheGreatofPrussia,itfailedtowork...Unfortunately,heomivedtheeffectsoffric4on,withembarrassingprac4calconsequences.”(S.Perkovitz1999)

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EulersAu/rag„JeprendlalibertédevousaddressermesrecherchessurlaMachineHydrauliquedeSans-Soucy...jecrainsfortqu'ils'enfaudrabeaucoupqu'ellemonteàlahauteurqueLeRoysouhaite...“

(EuleranMaupertuis,21.September1749)

„CommeSaMajestéleRoydePrusse,NotretrèsgracieuxSouverain,areçulescalculsqueleprofesseurEulerLuiaadresséausujetdelaMachinedeSans-Soucyetqu'Elleenestfortcontente,SaMajestéveutbienluitémoignertoutlegré...“

(FriedrichII.anEuler,27.September1749)

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„Carsurlepiedqu'ellessetrouventactuellement,ilestbiencertain,qu'onn'éleveroitjamaisunegouved'eaujusqu'auréservoir,ettoutelaforceneseroitemployéequ'àladestruc4ondelamachineetdestuyaux.“

(EuleranFriedrichII,17.Oktober1749)

„Lavéritablecausedecefâcheuxaccidentconsistoituniquementencequelacapacitédespompesétoittropgrande,etàmoinsqu'onneladiminuetrèsconsidérablement,ouendiminuantleurdiamètreouleurhauteur,oulenombredesjeuxquirepondàuntourdemoulin,lamachineneserapasenétatdefourniruneseulegoûted'eaudansleréservoir.“

(EuleranMaupertuis,21.Oktober1749)

EulersWarnungen!

FazitEulersAnalysedesSanssouci-Problemswarkorrekt.SiebegründetediemoderneHydraulik.

Diedarausabgeleitetenprak4schenRegelnwurdenignoriert.

DasWasserkunst-ProjektinSanssoucischeiterte,weilderKönigunfähigePrak4kerpfuschenliessundvordenhohenAusgabenzurückschreckte.

EulersHydrodynamikberuhteaufjahrelangerErfahrungmitprak4schenProblemwiedeminSanssouci.

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EulersMathema4kDreiBeispiele

DasKönigsbergerBrückenproblem

DieEulerschePolyederformele-k+f=2

DerEulerscheSatzxϕ(n)=1modn

DasKönigsbergerBrückenproblem

Königsberg(Kaliningrad)amPregel,mitden7Brücken

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GibteseinenSpaziergangdurchKönigsberg,beidemmanjededer7Brückengenaueinmalüberschreitet?

Frage

ErsterVersuch:

ZweiterVersuch:

„Esscheintnichtzugehen!Aberwarumnichtundwiesiehtmandasein?“

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Graphentheorie

Defini)onEinGraphbestehtausPunkten(=Ecken),diedurchStrecken(=Kanten)verbundensind.

AllgemeinesProblemGegebeneinbeliebigerGraph.GibteseinenWegdurchdiesenGraphen,derjedeKantegenaueinmalbenutzt?

NotwendigeBedingung(„Valenzbedinung“):DieAnzahldervoneinerEckeausgehendenKantenistgerade,eventuellmitgenauzweiAusnahmen.

WaspassiertbeieinemsolchenSpaziergang?

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KönigsbergerBrückengraph

ErfülltdienotwendigeValenz-bedingungnicht!☛EsgibtdaherkeinensolchenSpaziergang!

SatzvonEuler:Valenzbedingungistauchhinreichend,umeinensolchenSpaziergangzufinden!

Beispiel:DasNikolaushaus

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DieEulerschenValenzbedingungensinderfüllt.EsgibtalsoeinensolchenSpaziergang!

AnwendungenderGraphentheorie

•  Transportprobleme

•  Naviga4onssysteme

•  Ökonomie(op4maleVerteilungen)

•  BauvonMikrochips

•  usw.

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Zusammenfassung

•  Ausgangspunkt:einprak4schesProblem

•  Ansatz:Abstrak4on(Reduk4onaufdasWesentliche)☛Graphen

•  Verallgemeinerung☛Lösung

•  Weiterentwicklung☛Graphentheorie

Neue,unvorhergeseheneundüberraschendeAnwendungen!

DiePolyederformel:e-k+f=2

PolyederoderVielflächner:konvexerKörper,derdurchVieleckebegrenztist.

Formel:e=AnzahlEcken,k=AnzahlKanten,f=AnzahlFlächen

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H+S=A+2

S=numerusangulorumsolidorumH=numerushedrarumA=numerusacierum

1Dreieck,5Vierecke,3Fünfeckee=12,k=19,f=9

UnregelmässigePolyeder

BriefanChris4anGoldbach(1750):H+S=A+2

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DerFussball

KlassischerFussball:Pentakisdodekaedermit12Fünfeckenund20Sechsecken

e=60=(60+120)/3k=90=(60+120)/2f=32=12+20☛e-k+f=2

Wasistdaransoerstaunlich?

•  SehreinfacheAussage,leichtnachprü�ar

•  UniverselleGül4gkeit•  GenialeIntui4on•  UngeahnteAuswirkungen:

Basisder„algebraischenTopologie”

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DerEulerscheSatz:xϕ(n)=1modn

•  ElementareZahlentheorie,gehtaufFermatzurück:xp=xmodp

•  AnspruchsvolleSpielerei?

•  FermatscheVermutung:xn+yn=zn

istunlösbaringanzenZahlenx,y,zfürn>2.

☛EntwicklungdermodernenZahlentheorie

•  Nützlichkeit?Anwendungen?

DanielBernoullianNicolausFuss(Briefvom18.März1776)

«Cequevousmedites...estsansdouteinfinimentsublime;jeveuxparlerdubeauthéorèmedeM.Eulersurlesnombrespremiersetdesanouvelleméthodepourexaminertelnombrequ'onpropose,quelquegrandqu'ilpuisseêtre,s'ilestpremier,ounon.Cequevousvousêtesdonnélapeinedemediresurcevema4èrem'aparufortsub4letdignedenotregrandmaître.Maisnetrouvezvouspasquec'estpresquefairetropd'honneurauxnombrespremiersqued'yrépandretantderichesses,etnedoit-onaucunégardaugoûtraffinédenotresiècle?Jenelaissepasderendrejus4ceàtoutcequisortdevotreplumeetd'admirervosgrandesressourcespoursurmonterlesdifficultéslesplusépineuses,maisceveadmira4onseredoublequandlesujetpeutmeneràdesconnoissancesu4les.»

DanielBernoulli8.Februar1700–17.März1782

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Pythagoras!

a2+b2=c2 GanzzahligeLösungen?

42+32=52

☛LandvermessungimaltenÄgypten!

Sender Empfänger

Eingriffe von aussen

Öffentliche Leitung

Exkurs:InternetundöffentlicheNetzwerke

Manmussdavonausgehen,dassdieLeitungöffentlichistunddassalleverwendetenGeräteundVerfahrenbekanntsind.

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Problemevon„öffentlichen”Netzwerken

VertraulichkeitundSicherheit•  Geheimhaltung(Abhören)

•  AuthenOfizierung

•  Eindringen(„Hacken”)

Schutzmassnahmen

Klassisch:Kuriere,eingeschriebeneSendungen,Unterschri/,Ausweis,usw.

Digital:-GeheimhaltungdurchVerschlüsselung(Chiffrierung)-Authen4fizierungdurchdigitaleUnterschri/

FürdiedigitalenMethodenbrauchtesPasswörter!-  PersönlichePasswörter-  Streichlisten(einmaligerGebrauch)-  Kartenleser-  3-DSecure(SmartphonemitTransakt-App)usw.

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DigitaleVerschlüsselung(Chiffrierung)

EsgibtabsolutsichereChiffrierverfahren!

-Gemeinsamergeheimer„Schlüssel”fürSenderundEmpfänger

-RegelmässigeÄnderungdesSchlüssels

Problem:SchlüsselverwaltungundSchlüsselaustausch(vielePartner!)

„ÖffentlicheGeheimhaltung“PublicKeyCryptography

ÖffentlicherSchlüsseltausch(W.DiffieundM.E.Hellman,StanfordUniversity1976):

AustauscheinesgeheimenSchlüsselsübereineöffentlicheLeitung

RSA-Kryptosystem(R.Rivest,A.Shamir,L.Adleman1977):

ChiffrierungmitHilfeeinesöffentlichenSchlüssels,DechiffrierungnurmitgeheimemSchlüsselmöglich

BeideSystemeverwendenMethodenderelementarenZahlentheorieundsogenannte„Einweg-Funk4onen“.•  Diffie-Hellman:PotenzierenversusdiskreterLogarithmus•  RSA:ProduktgrosserPrimzahlen+Euler-Formel

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AnwendungenDiffie-HellmanKeyExchange•  On-lineZahlungen•  E-Banking•  E-Commerce•  E-Vo4ng(elektronischeAbs4mmungen)

RSA-Kryptosystem•  E-Mail(PGP-Algorithmus)•  ÜbermivlungvonPasswörtern•  DigitaleUnterschri/•  SignierenvonelektronischenDokumenten

Zusammenfassung

•  KryptographieundKodierungstheorie:BasisfürdensicherenDatenaustausch

•  BeruhenaufMethodenderelementarenZahlentheorie

•  EulerscheFormelspielteinewich4geRolle(z.B.beimRSA-Kryptosystem)

EineEntdeckungderelementarenZahlentheoriefindet250JahrespätereineerstaunlicheAnwendung,dieheuteim

täglichenLebeneinezentraleRollespielt!

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Bemerkungen

•  DiffieundHellmanwarennichtdieersten!(Bri4scherGeheimdienst:J.Ellis,C.Cocks,M.WilliamsonkanntendieMethodeschon1970!)

•  Quantum-Compu4ng(vielschnellereAlgorithmen!)

DieTes�rage

WaswürdenSieohneEulerunddieMathema4ktun?

Barzahlen!

VielenDankfürIhreAufmerksamkeit

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