Leonhard Euler - gymliestal.ch · Euler soll dieses Werk seinem Gehilfen diktiert haben, ei-nem ehemaligen Schneidergesellen, der mathematisch zuvor völlig ungebildet das ganze Werk

Werkstatt „Euler und die Lösung der quadratischen Gleichung“

Werkstatt

Leonhard Euler und die Lösung der quadratischen Gleichungen

Im Jahr 1767 hat der Mathematiker Leonhard Euler (1707–

1783) das Buch „Vollständige Anleitung zu Algebra“ im

russischen Original veröffentlicht, 1770 folgte die deutsche

Erstauflage. Dieses Werk führt den absoluten Anfänger Schritt

für Schritt von den natürlichen Zahlen über die elementare

Gleichungslehre bis zu höheren Problemen der Algebra, welche

längst den Stoff des Gymnasiums übersteigen.

Euler soll dieses Werk seinem Gehilfen diktiert haben, ei-

nem ehemaligen Schneidergesellen, der mathematisch zuvor

völlig ungebildet das ganze Werk verstanden haben soll. Diese

Episode ist zwar eher zu den Legenden zu zählen. Aber Eulers

„Algebra“ gilt als didaktisch hervorragend aufgebaut, wurde in

viele verschiedene Sprachen übersetzt und lange als Lehrbuch verwendet.

In mehreren Kapiteln nimmt sich Euler dem Problem der quadratischen Gleichungen an. Natürlich ist

dieses Problem nicht von Euler das erste Mal bearbeitet worden. Die Lösungswege und –formeln sind

bereits sehr lange bekannt. Aber Euler führt sehr geschickt in die Problemstellung ein, zeigt verschiedene

Lösungswege und macht diverse praktische Beispiele, sodass Sie anhand dieses Werkes diese Kapitel be-

arbeiten können.

Anleitung zur Werkstatt

In dieser Werkstatt gibt es verschiedene Typen von Arbeitsblättern:

- Die obligatorischen Blätter (✰ oder ✰✰) müssen von allen Schülerinnen und Schülern erarbeitet

werden.

- Die freiwilligen Blätter (❀) sind als Ergänzung gedacht. Sie können aber müssen nicht gelöst werden.

- Die Blätter mit ✰ oder ❀ können in einer beliebigen Reihenfolge gelöst werden, aber alle mit ✰✰

setzen ein anderes Blatt mit ✰ voraus.

Das Arbeiten umfasst folgende Schritte:

- Ein Blatt wählen.

- Im Kontrollbogen das Datum eintragen.

- Das Blatt bearbeiten.

- Die Lösungen kontrollieren.

- Im Kontrollbogen das Blatt als erledigt abhaken.


Übersicht der Arbeitsblätter

✰ 1. Einfache quadratische Gleichungen

Gewisse quadratische Gleichungen sind ganz einfach lösbar. Aber welche?

✰ 2. Die Lösungsformel für alle quadratischen Gleichungen

Mit der Lösungsformel können Sie allen Gleichungen an den Kragen!

✰✰ 3. Gleichungen höheren Grades

Die Lösungsmethoden von quadratischen Gleichungen können auch für „höhere Aufgaben“ verwendet

werden.

✰ 4. Quadratische Gleichungen und die TI-CAS-Rechner

Ihr Taschenrechner kann quadratische Gleichungen schnell und elegant lösen.

✰✰ 5. Die Wahl der Methode

Ganz wichtig ist, im richtigen Moment die einfachste und günstigste Methode zu wählen. Hier treffen Sie auf

alle möglichen Formen von quadratischen Gleichungen.

✰✰ 6. Wurzelgleichungen

Wurzelgleichungen führen oft zu quadratischen Gleichungen. Wie löst man am besten Gleichungen dieses

Typs? Was gilt es zu beachten?

❀ 10. Eulers Biographie

Machen Sie sich mit dem Leben eines der ganz grossen Mathematiker vertraut.

❀ 11. Eulers Werk

Eulers Gesamtwerk umfasst eine unglaubliche Anzahl von Arbeiten. Lernen Sie einige „Highlights“ kennen.

❀ 12. Eulers „Vollständige Anleitung zur Algebra“

Eulers Buch umfasst viele ganz unterschiedliche Kapitel. Sehen Sie, was sich ausser quadratischen Gleichungen

sonst noch findet.


1. Einfache quadratische Gleichungen ✰

Niqcht alle quadratischen Gleichungen sind schwierig zu lösen. Bei einigen fällt es sehr leicht, die zuge-

hörige Lösung zu finden.

• Reinquadratische Gleichungen

Tauchen in einer quadratischen Gleichung nur Terme mit x2, aber keine mit x auf, so redet man von

einer reinquadratischen Gleichung. Solche Gleichungen werden zuerst nach x2 aufgelöst. Anschliessend

wird links und rechts des Gleichungszeichens die Wurzel gezogen. Beachten Sie, dass die Gleichung zwei

Lösungen hat!

Beispiel:

3x2–33 = 111–x2

4x2 = 144

x2 = 36

x = ±6

= {±6}

• Einfache gemischt quadratische Gleichungen

Sind in einer quadratischen Gleichung Terme mit x2 und mit x, aber keine konstanten Terme vorhan-

den, so lässt sich die entsprechende Gleichung ebenfalls schnell durch Ausklammern lösen.

Beispiel:

x2–4x = 0

x·(x–4) = 0

x = 0 oder x–4 = 0

x = 4

= {0, 4}

Falls quadratische, lineare und konstante Terme vorkommen, so ist das Lösen einer quadratischen Glei-

chung nur dann einfach, wenn sich ein Klammeransatz finden lässt

Beispiel:

2x2+2x = x2+6x+12

x2–4x–12 = 0

(x–6)·(x+2) = 0

x–6 = 0 oder x+2 = 0

x = 6 oder x = –2

= {6, –2}

Ist ein solcher Ansatz nicht sichtbar, so hilft nur die allgemeine Lösungsformel, die auf dem nächsten

Blatt besprochen wird.

Aufgaben

1. Lesen Sie das Kapitel zu den reinquadratischen und den einfachen quadratischen Gleichungen aus

der „Algebra“ von Euler (Kp. 2.1.5, 67–70, Quelltexte S. 2)

2. Lösen Sie die Gleichungen nach x auf.


a) 100x2 = 16 b) 2x2 = 1 c) 4+x2 = 0

d) x2+1/9 = 5/9 e) 0.9x2–0.06 = 0.3 f) –1–

!

5 x2 = –1

g) (x+2)(x–2) = 12 h) 9x2–125 = 4x2 i) 4x2–(1–x2) = 0.5x2

j) (4–5x)2+45x = 80+5x k) 6(5x–7)2+7(3+10x)2 = 357 l) (x–3)(x+3) = –18

m) x2–8x = 0 n) x2+6x+6 = 1 o) x2+12x+12 = 4x–4

3. Versuchen Sie, die Textaufgaben, die Euler dem Kapitel über reinquadratische Gleichungen anfügt,

zuerst selbst zu lösen, und vergleichen Sie dann Ihre Lösung mit seiner. (Kp. 2.1.5, 71–75, Quelltexte

S. 3)


2. Die Lösungsformel für alle quadrat. Gleichungen ✰

Versagen die einfachen Methoden zur Lösung einer quadratischen Gleichung, so verwenden wir eine

Lösungsformel. Sie herzuleiten ist nicht ganz einfach, denn wir lösen den allgemeinst möglichen Fall!

!

ax2 + bx + c = 0 Durch a dividieren

!

x2 +ba

x +ca

= 0 Konstanten Term nach rechts bringen

!

x2 +ba

x =

!

"ca

Quadratisches Ergänzen

!

x +b2a

"

# $

%

& '

2

=

!

b2

4a2"

ca

Rechte Seite gleichnamig machen

!

x +b2a

"

# $

%

& '

2

=

!

b2 " 4ac

4a2

Jetzt wird auf beiden Seiten die Wurzel gezogen. Voraussetzung dafür ist, dass der Term b2–4ac grö-

sser oder gleich Null ist. Dieser Term heisst Diskriminante und entscheidet darüber, ob die Gleichung Lö-

sungen hat oder nicht.

Für b2–4ac > 0:

!

x +b2a

"

# $

%

& '

2

=

!

b2 " 4ac

4a2 Wurzel ziehen

!

x +b2a

=

!

±b2 " 4ac

2a

x1,2 =

!

"b ± b2 " 4ac2a

Es gibt zwei Lösungen.

Für b2–4ac = 0:

!

x +b2a

"

# $

%

& '

2

= 0 Wurzel ziehen und nach x auflösen

x =

!

"b2a

Es gibt eine Lösung.

Für b2–4ac < 0 hat die quadratische Gleichung keine Lösung.

Beispiel 1: 2x2–5x+1 = 0

Die Diskriminante ergibt D = (–5)2–4·2·1 = 17 > 0. Damit hat die Gleichung zwei Lösungen.

x1,2 =

!

5 ± 174

Beispiel 2: 3x2–x+5 = 0

Hier ist die Diskriminante D = (–1)2–4·3·5 = –59 negativ. Die Gleichung hat somit keine Lösungen.


Aufgaben

1. a) Lösen Sie die Gleichung 3x2+8x+2 = 0 durch Einsetzen der Koeffizienten in die Lösungsformel.

Bestimmen Sie zunächst die Diskriminante.

b) Führen Sie für die Gleichung aus Aufgabe a) Schritt für Schritt das quadratische Ergänzen durch,

wie es in der Herleitung beschrieben wird.

2. Lesen Sie Eulers Kapitel über die gemischtquadratische Gleichung (Kp. 2.1.6, 76–83, Quelltext S. 4).

Sehen Sie Unterschiede zum Lösungsweg oben?

3. Lösen Sie die Gleichung von Aufgabe 1 mit Eulers Methoden.

4. Finden Sie die Lösung der Gleichung durch quadratisches Ergänzen.

a) x2+8x+11 = 0 b) 2x2+12x+7 = 0 c) x2+3x+4 = 0

5. Bestimmen Sie die Lösung der Gleichung mit Hilfe der Lösungsformel (nicht quadratisch Ergänzen!)

a) x2+3 = 4x b) 8 = x2+2x c) 1–x = 30x2

d) 11x = 3+30x2 e) 12x2+2x = 9x2+9x–2 f) 10x2–120+6x = 98x–3x2–24

g) 5x–3–2x(3x–4) = 4 h) 10x2–7x = 7x2+4x+20 i) 3(5–2x) = x(12x–2)+10

6. Versuchen Sie, die Textaufgaben, die Euler dem Kapitel über gemischtquadratische Gleichungen

anfügt, zuerst selbst zu lösen, und vergleichen Sie dann Ihre Lösung mit seiner. (Kp. 2.1.6, 84–93,

Quelltext S. 5/6)


3. Gleichungen höheren Grades ✰✰

Die einfachen Lösungsmethoden und die Lösungsformel für quadratische Gleichungen können unter

bestimmten Voraussetzungen auch für Gleichungen höheren Grades verwendet werden.

Dies ist deswegen wichtig, weil das Lösen von allgemeinen Gleichungen dritten und vierten Grades

zwar noch mit entsprechenden Lösungsformeln möglich ist, diese aber ziemlich kompliziert sind. Für be-

liebige Gleichungen fünften Grades und höher gibt es überhaupt keine Lösungsformeln mehr. Da bleiben

nur nummerische Lösungsverfahren übrig.

Die beiden hier gezeigten Möglichkeiten beruhen darauf, eine Gleichung dritten oder vierten Grades

auf eine zweiten Grades zurückzuführen. Für diese stehen dann alle Lösungsmethoden der quadratischen

Gleichungen zur Verfügung, also vorallem der Klammeransatz oder die Lösungsformel.

Erster Fall: Zerlegen von Gleichungen in binomische Faktoren

Beispiel:

x3+5x2–6x = 0

x·(x2+5x–6) = 0

x·(x+6)·(x–1) = 0

x = 0 oder x = –6

oder x = 1

= {0, –6, 1}

Zweiter Fall: Lösen von biquadratischen Gleichungen durch Substitution

Beispiel:

x4+5x2–6 = 0 Ersetzen von x2 durch y (Substitution)

y2+5y–6 = 0 Quadratische Gleichung in y lösen

(y+6)·(y–1) = 0

y = –6 oder y = 1

x2 = –6 oder x2 = 1

keine Lösung x = ±1

= {±1}

Das Rücksetzten der Substitution darf nicht vergessen werden! Nicht y sondern x ist die Lösungsvaria-

ble.

Aufgaben

1. Lösen Sie die Gleichung nach x auf.

a) x3–9x = 0 b) x3+8x2–9x = 0 c) 3x3–4x2–4x = 0

2. Lösen Sie die Gleichung nach x auf.

a) x4–13x2+36 = 0 b) 12x4–x2–20 = 0 c) 2x4+7.86x2–1.28 = 0

d) (x2–14)2 = 5(6x2–49) e) x4–11x2+18 = 0 f)

!

2x + 3 + 2 " (2x + 3) = 55


4. Quadrat. Gleichungen und der HP–20s ✰

Mit Hilfe der Diskriminanten und der Lösungsformel lassen sich alle quadratischen Gleichungen nach

dem gleichen Schema lösen. Solche Lösungswege lassen sich leicht in Programme umsetzten, sei es mit

dem Taschenrechner oder einem Computer (Tabellenkalkulation, Programmiersprache).

Der HP–20S macht es uns besonders einfach. Er hat bereits ein Programm zur Lösung von

quadratischen Gleichungen eingebaut. Wir müssen es nur laden.

• Programmmodus einschalten (PRGM)

• Altes Programm löschen (CLPRGM)

• Programm für quadratische Gleichungen laden (LOAD E)

• Programmmodus verlassen

Eine quadratische Gleichung ist jetzt nur noch in die Form ax2+bx+c=0 zu bringen. Dann können die

Koeffizienten eingegeben und die Lösung berechnet werden.

Beispiel: 7x2+8x–9 = 0

Tätigkeit Anzeige

7 eingeben und XEQ A drücken. 7.0000

8 eingeben und XEQ B drücken. 8.0000

–9 eingeben und XEQ C drücken. –9.0000

Erste Lösung mit XEQ D anfordern. 0.6983

Zweite Lösung mit R/S anfordern. –1.8412

Wie reagiert der Taschenrechner, wenn eine Gleichung keine Lösung hat? Der HP–20S gibt in diesem

Fall die sog. komplexen Lösungen aus, die für uns aber keine Bedeutung haben. Unter dem ersten

Lösungswert erscheint dann ein Doppelpunkt (:).

Beispiel: 7x2+8x+9 = 0

Aufgaben

1. Lösen Sie die Gleichung mit dem Taschenrechnerprogramm des HP–20S.

a) 11x2–111x–1111 = 0 b) 2x2+22x–222 = 0 c) 33x2–333x+3333 = 0

2. a) Programmieren Sie mit einem Tabellenkalkulationsprogramm (ClarisWorks, Excel) eine Tabelle,

mit der eine quadratische Gleichung gelöst werden kann. Die Koeffizienten a, b und c werden in

je eine Zelle eingegeben. In weiteren Zellen werden dann die Diskriminante und — falls

vorhanden — die Lösungen berechnet.

b) Schreiben Sie mit ThinkPASCAL ein Programm, welches eine quadratische Gleichung löst. Der

Benutzer soll a, b und c eingeben können. Das Programm berechnet dann die Diskriminante und

— falls vorhanden — die Lösungen.


4. Quadrat. Gleichungen und die TI-CAS-Rechner ✰

Mit Hilfe der Diskriminanten und der Lösungsformel lassen sich alle quadratischen Gleichungen nach

dem gleichen Schema lösen. Solche Lösungswege lassen sich leicht in Programme umsetzten, sei es mit

dem Taschenrechner oder einem Computer (Tabellenkalkulation, Programmiersprache).

Der Rechner können jede quadratische Gleichung mit dem Befehl solve() oder zeros() lösen.

Beispiel: 7x2+8x–9 = 0

Darstellung auf einem TI-89

Aufgaben

1. Lösen Sie die Gleichung mit den Befehlen solve() und zeros() des TI–89.

a) 11x2–111x–1111 = 0 b) 2x2+22x–222 = 0 c) 33x2–333x+3333 = 0

2.❀ Lösen Sie die quadratische Gleichung mit dem Taschenrechner, in dem Sie die Methode des

quadratischen Ergänzens verwenden.

a) 2x2+5x–18 = 0 b) x2+x+1 = 0

3. a) Programmieren Sie mit einem Tabellenkalkulationsprogramm eine Tabelle, mit der eine

quadratische Gleichung gelöst werden kann. Die Koeffizienten a, b und c werden in je eine Zelle

eingegeben. In weiteren Zellen werden dann die Diskriminante und — falls vorhanden — die

Lösungen berechnet.

b) Schreiben Sie für den TI–89 eine Funktion, welche durch Eingabe von a, b und c die Lösung(en)

bestimmt. Das Programm soll auch eine vernünftige Antwort geben, wenn es keine Lösungen

gibt.

Aufruf: QUADGL(2,5,–18)

Antwort: {2,-9/2}


5. Die Wahl der Methode ✰

Auf den Blättern 4, 5 und 7 haben Sie im Wesentlichen vier Methoden zur Lösung einer quadratischen

Gleichung kennengelernt. Jede dieser Methoden hat ihre Vor- und Nachteile.

Methode Vorteil Nachteil

Klammeransatz bzw.

Ausklammern

Einfach und schnell Nur für günstige Gleichungen

Quadratisches Ergänzen Für alle Gleichungen Sehr aufwändig

Lösungsformel Für alle Gleichungen Mittelmässig aufwändig

Taschenrechnerprogramm Schnell und für alle Gleichungen Taschenrechner nötig

Was nun?

Ich empfehle Ihnen, eine quadratische Gleichung, für welche Sie einen Klammeransatz schnell (d.h.

in weniger als einer Minute) finden können, mit dieser Methode zu lösen. Besonders gute Kandidatinnen

sind Gleichungen, in denen der Koeffizient des quadratischen Terms (die Zahl a) gleich 1 ist.

Ist kein Klammeransatz sichtbar, so verwenden Sie die Lösungsformel oder den Taschenrechner, je

nach dem, was Ihnen zur Verfügung steht.

Der einzige Sinn und Zweck des quadratischen Ergänzens besteht darin, dass diese Methode zeigt, wie

die allgemeine Lösungsformel hergeleitet wird. Wer das quadratische Ergänzen versteht, hat auch die

allgemeine Herleitung begriffen. Im rechnerischen Alltag spielt sie keine Rolle.

Aufgaben

1. Lösen Sie die Gleichung ohne den Taschenrechner.

a) 2x2+2 = 2x b) 1=15x+3x2 c) 3x2+54x+243 = 0

d) 8x3+5x2+2x = 0 e) x4+5x2+6 = 0 f) 3x2+7x = 6

2. Bei den folgenden Aufgaben kommt die Lösungsvariable im Nenner vor. Deswegen fehlen gewisse

Zahlen in der Definitionsmenge und kommen folglich auch als Lösung nicht in Frage.

a)

!

5x "2

"3 =2x " 4

5 b)

!

x + 3x

"5 =x

x "2 c)

!

3x "2x "3

+2x "3x + 7

= 5

d)

!

2xx " 4

+3x

x + 4=

4 x2 " x + 4( )x2 "16

e)

!

3x2 + 25

x2 "25+

5" x5 + x

=2x

x "5

3. a) Wissen Sie auswendig, wie Ihr Rechner quadratische Gleichungen lösen kann? Falls nein, so

führen Sie die nötigen Schritte nochmals aus.

b) Kontrollieren Sie einige der Aufgaben von 1 mit dem Taschenrechner.


6. Wurzelgleichungen ✰✰

Treten in einer Gleichung Wurzeln der Lösungsvariablen auf, so besteht in der Regel die effizienteste

Methode zur Auflösung der Gleichung darin, die gesamte Gleichung zu quadrieren. Oft entstehen dabei

quadratische Gleichungen, die mit den bekannten Möglichkeiten gelöst werden können. Einige Dinge gilt

es speziell zu beachten. Vorallem können am Schluss Lösungen auftauchen, welche die ursprüngliche

Gleichung nicht erfüllen.

Beispiel:

!

2x + x + 6 = 3 = {x∈| x ≥ –6}

Zuerst wird die Wurzel separiert, anschliessend quadriert.

!

x + 6 = 3–2x

x+6 = (3–2x)2

x+6 = 9–12x+4x2

Die entstandene quadratische Gleichung wird wie üblich nach x aufgelöst.

4x2–13x+3 = 0

x1 = 3

x2 = 1/4

Da das Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist, müssen die berechneten Lösungen (beide gehören

der Definitionsmenge an!) zur Überprüfung in die ursprüngliche Gleichung eingesetzt werden.

2·3+

!

3 + 6 = 6+3 = 9 ≠ 3 ✗

2·1/4+

!

1/4 + 6 = 1/2+5/2 = 3 ✓

= {1/4}.

Tatsächlich hält nur eine der beiden Lösungen der quadratischen Gleichung dem Test in der

Wurzelgleichung Stand. Sie ist das einzige Element der Lösungsmenge.

Eine andere Möglichkeit, eine Wurzelgleichung zu lösen, ist eine Substitution.

Beispiel:

!

x ·(5+

!

x ) = 36

Zuerst ersetzen wir

!

x durch eine neue Variable u und lösen die enstandene Gleichung nach u auf.

u·(5+u) = 36

u2+5u–36 = 0

u1 = 4

u2 = –9

Jetzt müssen wir die Substitution wieder rückgängig machen.


!

x = 4 ⇒ x = 16

!

x = –9 ✗

= {16}.

Auch hier führen nicht alle Lösungen der Gleichung in u zu einer Lösung für x.

Diese Gleichung könnten Sie auch durch Quadrieren lösen. Allerdings müssten Sie zweimal quadrieren,

da nach dem ersten Mal noch eine Wurzel übrig bleibt.

Bemerkung: In Eulers „Algebra“ findet sich kein Kapitel, das sich diesem Problem widmet.

Aufgaben

1. Bestimmen Sie alle Lösungen der Wurzelgleichungen. Benützen Sie den Taschenrechner erst, wenn

Sie eine quadratische Gleichung erzeugt haben.

a) 2·(2–x) = 3·

!

3" x b) 1–2x–

!

3" 4x = 0

c)

!

2x3 "6x +5 = –x2–x+3 d)

!

x " 4 +3 = x–

!

x " 4

2. a)

!

3x +1–

!

4x +5 +1 = 0 b)

!

x + 9"11 x "7 = 4

c) 2

!

x +

!

3

x = 7 d) x+(

!

x +4)2 = (

!

x +8)2

Documents

Leonhard Euler - gymliestal.ch · Euler soll dieses Werk seinem Gehilfen diktiert haben, ei-nem ehemaligen Schneidergesellen, der mathematisch zuvor völlig ungebildet das ganze Werk