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Numerische Methoden fur Differentialgleichungen Wintersemester 2015/16
Explizites und implizites Euler-Verfahrenam Beispiel eines Rauber-Beute-Modells
Tobias Jahnke
Vorlesung Numerische Methoden fur Differentialgleichungen
Wintersemester 2015/16
Tobias Jahnke Karlsruher Institut fur Technologie
Numerische Methoden fur Differentialgleichungen Wintersemester 2015/16
Modellproblem: Rauber-Beute-Modell
Interaktion von Raubfischen und Beutefischen in einem Seeu Menge der Rauber, v Menge der Beutefische
u = −c3u2 + c4uv
v = c1v
− c2v2 − c4uv
Interpretation der Terme:
c1v Vermehrung der Beute−c2v2 “Soziale Reibung” unter den Beutefischen−c3u2 “Soziale Reibung” unter den Raubern±c4uv Rauber frisst Beute und vermehrt sich
Setze y :=
(uv
), erhalte y = f (y).
Tobias Jahnke Karlsruher Institut fur Technologie
Numerische Methoden fur Differentialgleichungen Wintersemester 2015/16
Modellproblem: Rauber-Beute-Modell
Interaktion von Raubfischen und Beutefischen in einem Seeu Menge der Rauber, v Menge der Beutefische
u = −c3u2 + c4uv
v = c1v
− c2v2 − c4uv
Interpretation der Terme:
c1v Vermehrung der Beute
−c2v2 “Soziale Reibung” unter den Beutefischen−c3u2 “Soziale Reibung” unter den Raubern±c4uv Rauber frisst Beute und vermehrt sich
Setze y :=
(uv
), erhalte y = f (y).
Tobias Jahnke Karlsruher Institut fur Technologie
Numerische Methoden fur Differentialgleichungen Wintersemester 2015/16
Modellproblem: Rauber-Beute-Modell
Interaktion von Raubfischen und Beutefischen in einem Seeu Menge der Rauber, v Menge der Beutefische
u = −c3u2 + c4uv
v = c1v − c2v2
− c4uv
Interpretation der Terme:
c1v Vermehrung der Beute−c2v2 “Soziale Reibung” unter den Beutefischen
−c3u2 “Soziale Reibung” unter den Raubern±c4uv Rauber frisst Beute und vermehrt sich
Setze y :=
(uv
), erhalte y = f (y).
Tobias Jahnke Karlsruher Institut fur Technologie
Numerische Methoden fur Differentialgleichungen Wintersemester 2015/16
Modellproblem: Rauber-Beute-Modell
Interaktion von Raubfischen und Beutefischen in einem Seeu Menge der Rauber, v Menge der Beutefische
u = −c3u2
+ c4uv
v = c1v − c2v2
− c4uv
Interpretation der Terme:
c1v Vermehrung der Beute−c2v2 “Soziale Reibung” unter den Beutefischen−c3u2 “Soziale Reibung” unter den Raubern
±c4uv Rauber frisst Beute und vermehrt sich
Setze y :=
(uv
), erhalte y = f (y).
Tobias Jahnke Karlsruher Institut fur Technologie
Numerische Methoden fur Differentialgleichungen Wintersemester 2015/16
Modellproblem: Rauber-Beute-Modell
Interaktion von Raubfischen und Beutefischen in einem Seeu Menge der Rauber, v Menge der Beutefische
u = −c3u2 + c4uv
v = c1v − c2v2 − c4uv
Interpretation der Terme:
c1v Vermehrung der Beute−c2v2 “Soziale Reibung” unter den Beutefischen−c3u2 “Soziale Reibung” unter den Raubern±c4uv Rauber frisst Beute und vermehrt sich
Setze y :=
(uv
), erhalte y = f (y).
Tobias Jahnke Karlsruher Institut fur Technologie
Numerische Methoden fur Differentialgleichungen Wintersemester 2015/16
Zusammenhang mit der Dahlquist’schen Testgleichung
Ausgangsgleichung:
y = f (y), f : Rd −→ Rd
Taylor:
f (y) = f (y?) + f ′(y?)(y − y?) +O(‖y − y?‖2),
Setze w := y − y? und ignoriere Terme hoherer Ordnung:
w = y = f (y) = f (y?) + f ′(y?)w
Nehme an, dass f ′(y?) ∈ Rd×d diagonalisierbar ist.Darstellung von w in der Eigenbasis fuhrt auf skalares Problem
q = λq + c (“Dahlquist + c”)
Tobias Jahnke Karlsruher Institut fur Technologie
Numerische Methoden fur Differentialgleichungen Wintersemester 2015/16
Zusammenhang mit der Dahlquist’schen Testgleichung
Ausgangsgleichung:
y = f (y), f : Rd −→ Rd
Taylor:
f (y) = f (y?) + f ′(y?)(y − y?) +O(‖y − y?‖2),
Setze w := y − y? und ignoriere Terme hoherer Ordnung:
w = y = f (y) = f (y?) + f ′(y?)w
Nehme an, dass f ′(y?) ∈ Rd×d diagonalisierbar ist.Darstellung von w in der Eigenbasis fuhrt auf skalares Problem
q = λq + c (“Dahlquist + c”)
Tobias Jahnke Karlsruher Institut fur Technologie
Numerische Methoden fur Differentialgleichungen Wintersemester 2015/16
Zusammenhang mit der Dahlquist’schen Testgleichung
Ausgangsgleichung:
y = f (y), f : Rd −→ Rd
Taylor:
f (y) = f (y?) + f ′(y?)(y − y?) +O(‖y − y?‖2),
Setze w := y − y? und ignoriere Terme hoherer Ordnung:
w = y = f (y) = f (y?) + f ′(y?)w
Nehme an, dass f ′(y?) ∈ Rd×d diagonalisierbar ist.Darstellung von w in der Eigenbasis fuhrt auf skalares Problem
q = λq + c (“Dahlquist + c”)
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Numerische Methoden fur Differentialgleichungen Wintersemester 2015/16
Beispiel 1
Anfangswerte: y0 =
(800
2000
)c1 = 4, c2 = 0.002, c3 = 0.2, c4 = 0.05
N Zeitschritte, N ∈ {200, 100, 80, 50}
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Numerische Methoden fur Differentialgleichungen Wintersemester 2015/16
Beispiel 1
0 0.5 1 1.5 2
Räu
ber
0
400
800
Expliziter Euler (N = 200)
0 0.5 1 1.5 2
0
400
800
Impliziter Euler (N = 200)
0 0.5 1 1.5 2
Beu
te
0
1000
2000
0 0.5 1 1.5 2
0
1000
2000
t0 0.5 1 1.5 2
-200
-100
0
t0 0.5 1 1.5 2
-200
-100
0
Dritte Zeile: Realteile der Eigenwerte von f ′(yn)
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Numerische Methoden fur Differentialgleichungen Wintersemester 2015/16
Beispiel 1
0 0.5 1 1.5 2
Räu
ber
0
400
800
Expliziter Euler (N = 100)
0 0.5 1 1.5 2
0
400
800
Impliziter Euler (N = 100)
0 0.5 1 1.5 2
Beu
te
0
1000
2000
0 0.5 1 1.5 2
0
1000
2000
t0 0.5 1 1.5 2
×106
0
10
20
t0 0.5 1 1.5 2
-200
-100
0
Expliziter Euler explodiert, impliziter Euler nicht
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Numerische Methoden fur Differentialgleichungen Wintersemester 2015/16
Beispiel 1
0 0.5 1 1.5 2
Räu
ber
0
400
800
Expliziter Euler (N = 80)
0 0.5 1 1.5 2
0
400
800
Impliziter Euler (N = 80)
0 0.5 1 1.5 2
Beu
te
0
1000
2000
0 0.5 1 1.5 2
0
1000
2000
t0 0.5 1 1.5 2
×108
0
2
4
t0 0.5 1 1.5 2
-200
-100
0
Expliziter Euler explodiert, impliziter Euler nicht
Tobias Jahnke Karlsruher Institut fur Technologie
Numerische Methoden fur Differentialgleichungen Wintersemester 2015/16
Beispiel 1
0 0.5 1 1.5 2
Räu
ber
0
400
800
Expliziter Euler (N = 50)
0 0.5 1 1.5 2
0
400
800
Impliziter Euler (N = 50)
0 0.5 1 1.5 2
Beu
te
0
1000
2000
0 0.5 1 1.5 2
0
1000
2000
t0 0.5 1 1.5 2
×108
0
5
10
t0 0.5 1 1.5 2
-200
0
200
Expliziter Euler explodiert, impliziter Euler nicht
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Numerische Methoden fur Differentialgleichungen Wintersemester 2015/16
Beispiel 2
Anfangswerte: y0 =
(100
2000
)Gleiche Parameter
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Numerische Methoden fur Differentialgleichungen Wintersemester 2015/16
Beispiel 2
0 0.5 1 1.5 2
Räu
ber
0
200
400Expliziter Euler (N = 200)
0 0.5 1 1.5 2
0
200
400Impliziter Euler (N = 200)
0 0.5 1 1.5 2
Beu
te
0
1000
2000
0 0.5 1 1.5 2
0
1000
2000
t0 0.5 1 1.5 2
-100
0
100
t0 0.5 1 1.5 2
-100
0
100
Dritte Zeile: Realteile der Eigenwerte von f ′(yn)
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Numerische Methoden fur Differentialgleichungen Wintersemester 2015/16
Beispiel 2
0 0.5 1 1.5 2
Räu
ber
0
200
400Expliziter Euler (N = 100)
0 0.5 1 1.5 2
0
200
400Impliziter Euler (N = 100)
0 0.5 1 1.5 2
Beu
te
0
1000
2000
0 0.5 1 1.5 2
0
1000
2000
t0 0.5 1 1.5 2
-100
0
100
t0 0.5 1 1.5 2
-100
0
100
Dritte Zeile: Realteile der Eigenwerte von f ′(yn)
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Numerische Methoden fur Differentialgleichungen Wintersemester 2015/16
Beispiel 2
0 0.5 1 1.5 2
Räu
ber
0
200
400Expliziter Euler (N = 80)
0 0.5 1 1.5 2
0
200
400Impliziter Euler (N = 80)
0 0.5 1 1.5 2
Beu
te
0
1000
2000
0 0.5 1 1.5 2
0
1000
2000
t0 0.5 1 1.5 2
×108
0
2
4
t0 0.5 1 1.5 2
-100
0
100
Expliziter Euler explodiert, impliziter Euler nicht
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Numerische Methoden fur Differentialgleichungen Wintersemester 2015/16
Beispiel 2
0 0.5 1 1.5 2
Räu
ber
0
200
400Expliziter Euler (N = 50)
0 0.5 1 1.5 2
0
200
400Impliziter Euler (N = 50)
0 0.5 1 1.5 2
Beu
te
0
1000
2000
0 0.5 1 1.5 2
0
1000
2000
t0 0.5 1 1.5 2
×106
0
2
4
t0 0.5 1 1.5 2
-200
0
200
Expliziter Euler explodiert, impliziter Euler nicht
Tobias Jahnke Karlsruher Institut fur Technologie
Numerische Methoden fur Differentialgleichungen Wintersemester 2015/16
Explizites und implizites Euler-Verfahrenam Beispiel eines Rauber-Beute-Modells
Tobias Jahnke
Vorlesung Numerische Methoden fur Differentialgleichungen
Wintersemester 2015/16
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