Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer ...matthies/Material/WiSe17/Kapitel01.pdf · Der Vektor # p ist die orthogonale Projektion des Vektors # v auf den Vektor # u. Unter

Fakultät Mathematik Institut für Numerische Mathematik

LINEARE ALGEBRA UNDANALYSIS FÜR FUNKTIONENEINER VARIABLEN

1. Vektorrechnung und Geometrie

Prof. Dr. Gunar Matthies

Wintersemester 2017/18

Mengenbegriff

Definition (Naiver Mengenbegriff nach Georg Cantor)

Eine Menge ist eine Zusammenfassung von wohlbestimmten, wohl-unterscheidbaren Objekten unserer Anschauung oder unseres Den-kens zu einem Ganzen. Die Objekte der Menge werden Elementeder Menge genannt.

G. Matthies Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen 2/54

Häufig auftretende Mengen

N = Menge der natürlichen ZahlenN0 = N ∪ {0} = Menge der natürlichen Zahlen und 0Z = Menge der ganzen ZahlenQ = Menge der rationalen Zahlen (=Brüche)R = Menge der reellen Zahlen

R+ = Menge der positiven reellen ZahlenR+

0 = Menge der nichtnegativen reellen ZahlenR− = Menge der negativen ZahlenR−

0 = Menge der nichtpositiven ZahlenZusammenhang

N ⊂ N0 ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R


Intervalle und Halbgeraden

Seien a, b ∈ R mit a ≤ b. Dann setzen wir

• Intervalle[a, b] := {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} (abgeschlossen)(a, b) := {x ∈ R : a < x < b} (offen)[a, b) := {x ∈ R : a ≤ x < b} (rechts halboffen)(a, b] := {x ∈ R : a < x ≤ b} (links halboffen)

• Halbgeraden oder Strahlen[a,∞) := {x ∈ R : a ≤ x} (abgeschlossene Halbgerade)

(−∞, b] := {x ∈ R : x ≤ b} (abgeschlossene Halbgerade)(a,∞) := {x ∈ R : a < x} (offene Halbgerade)

(−∞, b) := {x ∈ R : x < b} (offene Halbgerade)

andere Schreibweise:(a, b) =]a, b[


Kartesisches Koordinatensystem


Punkte und Vektoren I

Zu je zwei verschiedenen Punkten P und Q des Raumes gibt esgenau eine Parallelverschiebung des Raumes, die P auf Q abbildet.Diese Parallelverschiebung wird mit dem Pfeil

# »

PQ bezeichnet. DerPfeil

# »

PQ mitP = (px , py , pz), Q = (qx , qy , qz)

legt mittels

#»v =

vxvyvz

:=

qx − pxqy − pyqz − pz

einen Vektor #»v fest. Der Vektorpfeil wird später auch weggelassen.

Der Pfeil# »

PQ stellt eine Realisierung des Vektors #»v dar.

Zwei gleich lange und gleich gerichtetete Pfeile stellen den gleichenVektor dar.


Punkte und Vektoren II

Ein spezieller Vektor ist der Nullvektor

#»0 =

000

.

Er entspricht der Nichtverschiebung des Raumes.

Der zu #»v gleich lange, aber entgegengesetzte Vektor wird mit − #»vbezeichnet. Er macht die durch #»v bewirkte Verschiebung wiederrückgängig.

Für jeden Vektor #»v =

vxvyvz

ist − #»v =

−vx−vy−vz


Punkte und Vektoren III

Definition

Die Menge aller Vektoren des dreidimensionalen Raumes bezeich-nen wir mit R3. Die Menge aller Vektoren der Ebene bezeichnenwir mit R2.

Bemerkung

Vektoren des Raumes besitzen 3 Komponenten, Vektoren in derEbene haben 2 Komponenten.

Die Vektoren der Ebene R2 können als Vektoren des Raums R3

aufgefasst werden, indem die dritte Komponente auf 0 gesetztwird.


Ortsvektoren und geometrische Grundbegriffe

Definition

Die Pfeile# »

OP mit dem Koordinatenursprung O heißen Ortspfeileoder Ortsvektoren. Der durch

# »

OP dargestellte Vektor #»r hat alsKomponenten die Koordinaten von P .

P = (px , py , pz) ←→ #»r =# »

OP =

pxpypz

Definition

• Zwei Vektoren #»u und #»v heißen kollinear, wenn sie, jeweils imKoordinatenursprung O angetragen, auf einer Geraden liegen.

• Drei Vektoren #»u , #»v , #»w heißen komplanar, wenn sie, jeweils imKoordinatenursprung O angetragen, in einer Ebene liegen.


Summe, Differenz und Skalarmultiplikation

Definition

Seien #»u =

uxuyuz

, #»v =

vxvyvz

zwei Vektoren des R3 und λ ∈ R.

Dann definieren wir durch

#»u + #»v :=

ux + vxuy + vyuz + vz

, #»u − #»v :=

ux − vxuy − vyuz − vz

die Summe und die Differenz. Das skalare Vielfache ist durch

λ #»u :=

λuxλuyλuz

erklärt. Insbesondere gilt: (−1) #»u = − #»u .


Geometrische Interpretation


Rechenregeln für Vektoraddition und Skalarmultiplikation

Für alle #»u , #»v , #»w ∈ R3 und alle λ, µ ∈ R gelten1. ( #»u + #»v ) + #»w = #»u + ( #»v + #»w ) (Assoziativgesetz)

2. #»u + #»v = #»v + #»u (Kommutativgesetz)

3. Zu jedem Paar #»u , #»v ∈ R3 gibt es genau einen Vektor #»z ∈ R3

mit #»u + #»z = #»v , nämlich #»z = #»v − #»u .

4. (λµ) #»u = λ(µ #»u ) (skalares Assoziativgesetz)

5. λ( #»u + #»v ) = λ #»u + λ #»v (Distributivgesetz)

6. (λ+ µ) #»u = λ #»u + µ #»u (Distributivgesetz)


Länge oder Betrag eines Vektors

| #»v | :=√v2x + v2

y + v2z


Rechenregeln für Beträge von Vektoren

Für alle #»u , #»v ∈ R3 und alle λ ∈ R gelten:1. |λ #»u | = |λ| | #»u |

2. | #»u | = 0⇔ #»u =

000

3. | #»u + #»v | ≤ | #»u |+ | #»v | (Dreiecksungleichung)


Einheitsvektoren

Definition

Einen Vektor #»e ∈ R3 mit | #»e | = 1 nennen wir Einheitsvektor.

Sei #»v ∈ R3 \ { #»0 } ein beliebiger vom Nullvektor verschiedener

Vektor. Dann ist#»e #»v :=

1| #»v |

#»v

der in Richtung #»v weisende Einheitsvektor.

Jeder Vektor #»v ∈ R3 \ { #»0 } lässt sich durch seine Länge | #»v | und

seine Richtung #»e #»v gemäß#»v = | #»v | #»e #»v

darstellen.

Dem Nullvektor#»0 kann keine Richtung zugeordnet werden.


Koordinateneinheitsvektoren

Koordinateneinheitsvektoren im dreidimensionalen Raum R3

#»ex = #»e1=#»i =

100

, #»ey = #»e2=#»j =

010

, #»ez = #»e3=#»

k =

001

Darstellung von Vektoren

#»u =

uxuyuz

⇔ #»u = ux#»ex + uy

#»ey + uz#»ez

⇔ #»u = ux#»e1 + uy

#»e2 + uz#»e3

⇔ #»u = ux#»i + uy

#»j + uz

#»

k


Winkel zwischen Vektoren I

Definition

Trägt man in einem Punkt P zwei vom Nullvektor verschiedeneVektoren #»u und #»v an, so nennt man den kleineren der beiden po-sitiv gemessenen Winkel, die die Pfeile #»u und #»v im Scheitel P bil-den, den Winkel zwischen #»u und #»v . Kurz schreiben wir ^( #»u , #»v ).

Definition

Zwei Vektoren #»u und #»v heißen orthogonal oder senkrecht, wenn^( #»u , #»v ) = π/2 gilt. Aus praktischen Überlegungen legen wir zu-sätzlich fest, dass der Nullvektor orthogonal zu jedem beliebigenVektor #»u ∈ R3 ist.


Winkel zwischen Vektoren II

Kosinussatz∣∣ #»v − #»u∣∣2 =

∣∣ #»u∣∣2 + ∣∣ #»v

∣∣2 − 2∣∣ #»u∣∣ ∣∣ #»v

∣∣ cos(ϕ)ergibt umgestellt

3∑i=1

uivi =∣∣ #»u∣∣ ∣∣ #»v

∣∣ cos(ϕ)


Skalarprodukt

Definition

Seien #»u , #»v ∈ R3 Vektoren. Dann nennen wir

#»u · #»v :=3∑

i=1

uivi

Skalarprodukt (oder inneres Produkt) der Vektoren #»u und #»v .

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist eine Zahl (ein Skalar).

Bemerkung

In einigen Büchern wird statt #»u · #»v nur #»u #»v geschrieben, was aberungenau ist und zu Missverständnissen führen kann.


Rechenregeln für Skalarprodukte

Für #»u , #»v , #»w ∈ R3 und λ ∈ R gelten:1. #»u · #»v = #»v · #»u

2. ( #»u + #»v ) · #»w = #»u · #»w + #»v · #»w

3. λ( #»u · #»v ) = (λ #»u ) · #»v = #»u · (λ #»v )

4. #»u · #»u = | #»u |2

Aus 1. und 2. folgt( #»u + #»v ) · ( #»w + #»z ) = #»u · #»w + #»u · #»z + #»v · #»w + #»v · #»z

für alle #»u , #»v , #»w , #»z ∈ R3

Im Allgemeinen gilt für Vektoren #»u , #»v , #»w ∈ R3

( #»u · #»v ) #»w 6= #»u ( #»v · #»w ).


Eigenschaften des Skalarprodukts I

Nach Herleitung gilt für beliebige Vektoren #»u , #»v ∈ R3 \ { #»0 }

cos(ϕ) =#»u · #»v

| #»u | | #»v |,

wenn ϕ = ^( #»u , #»v ) der Winkel zwischen #»u und #»v ist.

Folgerung

Für #»u , #»v ∈ R3 \ { #»0 } gelten

• #»u · #»v > 0, falls ϕ ∈ [0, π/2),• #»u · #»v = 0, falls ϕ = π/2,• #»u · #»v < 0, falls ϕ ∈ (π/2, π],

wobei ϕ = ^( #»u , #»v ) ist.

Ist mindestens einer der beiden Vektoren #»u und #»v gleich demNullvektor

#»0 , dann kann kein Winkel ϕ definiert werden.


Eigenschaften des Skalarprodukts II

Folgerung

Die Vektoren #»u und #»v stehen genau dann senkrecht aufeinander,wenn #»u · #»v = 0 gilt.

Für die Koordinateneinheitsvektoren gelten#»ex · #»ex = #»ey · #»ey = #»ez · #»ez = 1

und#»ex · #»ey = #»ey · #»ez = #»ez · #»ex = 0.

Cauchy-Schwarz-Ungleichung∣∣ #»u · #»v∣∣ ≤ ∣∣ #»u

∣∣ ∣∣ #»v∣∣

für alle #»u , #»v ∈ R3



#»u · #»v = | #»u | | #»v | cos(ϕ)= | #»u | | #»p |

#»u · #»v = | #»u | | #»v | cos(ϕ)= −| #»u | | #»v | cos(π − ϕ)= −| #»u | | #»p |

Der Vektor #»p ist die orthogonale Projektion des Vektors #»v aufden Vektor #»u . Unter Beachtung der Orientierung (Vorzeichen!)lässt sich das Skalarprodukt #»u · #»v aus dem Produkt der Beträgevon #»u und #»p berechnen.


Unmöglichkeit der Umkehrung des Skalarprodukts

Es gibt keine Umkehrung des Skalarprodukts, d. h., es ist nichtmöglich, aus der Kenntnis des Vektors #»u und des Skalarproduktes#»u · #»v auf einen eindeutigen Vektor #»v zu schließen.

#»u · #»v = | #»u | | #»p | = #»u · #»w


Richtungskosinus

Sei #»e ∈ R3 ein Einheitsvektor, d. h. | #»e | = 1.

Ist #»v ein Einheitsvektor, dann giltcos(α) = vx , cos(β) = vy , cos(γ) = vz .


Rechtssystem

Definition

Das Tripel ( #»u , #»v , #»w ) von Vektoren #»u , #»v , #»w ∈ R3 wird Rechts-system genannt, wenn sich die Vektoren #»u , #»v und #»w in dieserReihenfolge dem Daumen, dem Zeigefinger und dem Mittelfingerder rechten Hand zu ordnen lassen, also der Rechte-Hand-Regelgenügen.

Bemerkung

Das Vektorentripel ( #»ex ,#»ey ,

#»ez) bildet ein Rechtssystem.

Das Vektorentripel ( #»ex ,#»ez ,

#»ey ) bildet kein Rechtssystem.


Vektorprodukt

Definition

Seien #»u , #»v ∈ R3 zwei vom Nullvektor#»0 verschiedene, nicht kol-

lineare Vektoren. Dann ist das Vektorprodukt (oder Kreuzproduktoder äußeres Produkt) #»u × #»v der Vektor des R3, der1. zu #»u und #»v orthogonal ist,2. einen Betrag besitzt, der dem Flächeninhalt des von #»u und

#»v aufgespannten Parallelogramms entspricht,3. das Tripel ( #»u , #»v , #»u × #»v ) zum Rechtssystem macht.

Ist #»u =#»0 oder #»v =

#»0 oder sind #»u und #»v Vielfache voneinander,

dann wird #»u × #»v =#»0 gesetzt.



Es gilt:F =

∣∣ #»u × #»v∣∣ = ∣∣ #»u

∣∣ ∣∣ #»v∣∣ sin(ϕ)


Rechenregeln für Vektorprodukte I

Für alle #»u , #»v , #»w ∈ R3 und alle λ ∈ R gelten:1. #»u × #»v = − #»v × #»u (Antikommutativität)

2. #»u × ( #»v + #»w ) = #»u × #»v + #»u × #»w (Distributivität)

3. λ( #»u × #»v ) = (λ #»u )× #»v = #»u × (λ #»v )

4. #»u × #»u =#»0 , #»u × #»

0 =#»0 ,

#»0 × #»u =

#»0

5. | #»u × #»v |2 = | #»u |2 | #»v |2 − ( #»u · #»v )2


Rechenregeln für Vektorprodukte II

Folgerung

Für Vektoren #»u , #»v , #»w , #»z ∈ R3 gelten• ( #»u + #»v )× #»w = #»u × #»w + #»v × #»w

• ( #»u + #»v )× ( #»w + #»z ) = #»u × #»w + #»u × #»z + #»v × #»w + #»v × #»z

Bemerkung

Im Allgemeinen gilt#»u × ( #»v × #»w ) 6= ( #»u × #»v )× #»w .


Berechnung des Vektorprodukts

Geometrische Überlegungen liefern für die Koordinateneinheitsvektoren#»ex × #»ey = #»ez ,

#»ey × #»ez = #»ex ,#»ez × #»ex = #»ey ,

#»ey × #»ex = − #»ez ,#»ez × #»ey = − #»ex ,

#»ex × #»ez = − #»ey

Unter Ausnutzung der Rechenregeln erhalten wir für

#»u =

uxuyuz

, #»v =

vxvyvz

die Darstellung

#»u × #»v =

uyvz − uzvyuzvx − uxvzuxvy − uyvx

.


Regel von Sarrus

#»u × #»v =

uyvz − uzvyuzvx − uxvzuxvy − uyvx

= (uyvz−uzvy ) #»ex + (uzvx−uxvz) #»ey + (uxvy−uyvx) #»ez

Produkte entlang der roten Linien mit positvem Vorzeichen undProdukte entlang der blauen Linien mit negativem Vorzeichen ver-sehen und aufaddieren.


Spatprodukt

Definition

Für je drei Vektoren #»u , #»v , #»w ∈ R3 ist durch[ #»u , #»v , #»w ] := ( #»u × #»v ) · #»w

das Spatprodukt definiert.


Eigenschaften des Spatprodukts

• Für die Koordinateneinheitsvektoren #»ex , #»ey und #»ez stellt derSpat einen Würfel mit Kantenlänge 1 dar. Es gilt

[ #»ex ,#»ey ,

#»ez ] = ( #»ex × #»ey ) · #»ez = #»ez · #»ez = 1.• Da ( #»u × #»v ) zu #»u und #»v orthogonal ist, gilt[ #»u , #»v , #»u ] = ( #»u× #»v )· #»u = 0, [ #»u , #»v , #»v ] = ( #»u× #»v )· #»v = 0.

• Für beliebige Vektoren #»u , #»v , #»w ∈ R3 gelten[ #»u , #»v , #»w ]=[ #»v , #»w , #»u ]=[ #»w , #»u , #»v ] (zyklisches Vertauschen)und

[ #»u , #»v , #»w ] = −[ #»u , #»w , #»v ].

• VSpat =∣∣[ #»u , #»v , #»w ]

∣∣, VTetraeder =16

∣∣[ #»u , #»v , #»w ]∣∣


Geraden im Raum I

Gegeben seien ein Punkt P0 = (ax , ay , az) mit zugehörigem Orts-vektor #»r0 =

# »

OP0 und ein Vektor

#»s =

sxsysz

.

Wir betrachten die Gerade durch P0 in Richtung #»s . Wenn P einbeliebiger Punkt auf der Gerade ist, dann gilt für den zugehörigenOrtsvektor #»r =

# »

OP , dass es einen reellen Parameter λ derart gibt,dass

#»r = #»r0 + λ #»sgilt. Wir nennen #»r0 den Aufpunkt und #»s die Richtung bzw. denRichtungsvektor der Geraden. Diese Geradendarstellung wird alsPunkt-Richtungsform bezeichnet.


Geraden im Raum II

Gegeben seien zwei verschiedene Punkte P0 und P1 einer Geraden.

Dann lässt sich die Richtung bzw. der Richtungsvektor der Geradendurch

# »

P0P1 festlegen.

Wird mit #»r0 =# »

OP0 wieder der Ortsvektor von P0 bezeichnet, danngilt für einen beliebigen Punkt P der Geraden mit zugehörigemOrtsvektor #»r die Beziehung

#»r = #»r0 + λ# »

P0P1

mit dem reellen Parameter λ.

Dies ist die Zwei-Punkte-Form der Geradengleichung.


Geradengleichung

g : #»r = #»r0 + λ #»s =# »

OP0 + λ# »

P0P1, λ ∈ REine Veränderung des Aufpunktes bewirkt eine Parallelverschie-bung der Geraden. Ändert sich die Richtung, so wird die Geradegedreht, wobei P0 bzw. #»r0 fest bleibt.


Lot auf eine Gerade I


Lot auf eine Gerade II

Gegeben: Punkt P1, Gerade gGesucht: Fußpunkt P∗ des Lots von P1 auf gLösung:• P1 hat Ortsvektor #»r1 =

# »

OP1, P∗ den Ortsvektor #»r ∗

• #»r = #»r0 + λ #»s , λ ∈ R mit Richtungsvektor #»s und #»r0 =# »

OP0

• für kürzesten Abstand:# »

P∗P1 senkrecht zu #»s

⇒ 0 = (# »

P∗P1) · #»s = ( #»r1 − #»r ∗) · #»s

• da P∗ auf g : es gibt Parameter λ∗ mit#»r ∗ =

# »

OP∗ = #»r0 + λ∗ #»s

• Einsetzen: 0 = ( #»r1−( #»r0+λ∗ #»s )) · #»s = ( #»r1− #»r0) · #»s −λ∗ #»s · #»s

• Umstellen und #»s · #»s = | #»s |2 nutzen: λ∗ =( #»r1 − #»r0) · #»s

| #»s |2• #»r ∗ durch Einsetzen von λ∗ bestimmen


Abstand zu einer Geraden I


Abstand zu einer Geraden II

Darstellung der Fläche F des Parallelogramms• Betrag des Vektorprodukts

F =∣∣∣ # »

P0P1 × #»s∣∣∣

• Produkt aus der Höhe d und der Länge der Grundseite #»s

F = d | #»s |Gleichsetzen liefert

d | #»s | =∣∣∣ # »

P0P1 × #»s∣∣∣ ,

was zu

d =

∣∣∣ # »

P0P1 × #»s∣∣∣

| #»s |=|( #»r1 − #»r0)× #»s |

| #»s |führt.


Lage von Geraden zueinander

Gegeben: Gerade g1 : #»r = #»r1 + λ #»s1, λ ∈ R,Gerade g2 : #»r = #»r2 + µ #»s2, µ ∈ R

Gesucht: gegenseitige Lage der beiden Geraden

mögliche Fälle:• #»s1 und #»s2 sind kollinear:

* #»r1 ∈ g2 ⇔ g1 und g2 sind identisch* #»r1 6∈ g2 ⇔ g1 und g2 sind parallel, aber nicht identisch

• #»s1 und #»s2 sind nicht kollinear:* Die Geraden g1 und g2 schneiden sich.⇔ Es gibt Parameter λ, µ ∈ R mit

#»r1 + λ #»s1 = #»r2 + µ #»s2.

* Die Geraden g1 und g2 sind zueinander windschief.


Abstand zweier Geraden


Gesucht: Abstand der beiden GeradenLösung:• #»s1 und #»s2 sind kollinear

* #»r1 ∈ g2⇒ Abstand ist 0

* #»r1 6∈ g2⇒ Abstand gleich Abstand eines beliebigen Punktes vong2 zu g1


Abstand zweier Geraden


Gesucht: Abstand der beiden GeradenLösung:• #»s1 und #»s2 sind nicht kollinear

* Der kürzeste Abstand liegt dann vor, wenn wir #»u ∈ g1und #»v ∈ g2 derart gefunden haben, dass die Verbin-dungsstrecke #»u− #»v senkrecht auf den beiden Richtungs-vektoren #»s1 und #»s2 steht.

* Da #»w := #»s1 × #»s2 6=#»0 nach der Definition des Vektor-

produkts senkrecht auf #»s1 und #»s2 steht, muss #»u − #»v einVielfaches von #»w sein.

* Es muss also#»u − #»v = ( #»r1 + λ #»s1)− ( #»r2 + µ #»s2) = ν #»w

gelten (LGS für λ, µ und ν).


Abstand zweier windschiefer Geraden I


Abstand zweier windschiefer Geraden II

Darstellung des Spatvolumenns V• Spatprodukt

V =∣∣[ #»s1,

#»s2,#»r1 − #»r2]

∣∣• Produkt aus der Höhe d und dem Inhalt F der Grundfläche

V = F d = | #»s1 × #»s2| dGleichsetzen und Umstellen liefert

d =

∣∣[ #»s1,#»s2,

#»r1 − #»r2]∣∣

| #»s1 × #»s2|Mit dieser Methode kann der Abstand direkt bestimmt werden.Allerdings erfordert das Bestimmen der Punkte, die den kürzestenAbstand realisieren, weitere Rechnungen.


Ebenen im Raum

Gegeben: Punkt P0 mit Ortsvektor #»r0 =# »

OP0,zwei nicht kollineare Vektoren #»s1,

#»s2 ∈ R3

Gesucht: Ortsvektor #»r eines beliebigen Punktes P der Ebenedurch P0, die von #»s1 und #»s2 aufgespannt wird

Lösung: E : #»r = #»r0 + λ #»s1 + µ #»s2, λ, µ ∈ R

Gegeben: Punkte P0,P1,P2, die nicht auf einer Geraden liegenGesucht: Ebene E durch diese drei PunkteLösung: E : #»r = #»r0 + λ #»s1 + µ #»s2, λ, µ ∈ R

mit #»s1 =# »

P0P1,#»s2 =

# »

P0P2,#»r0 =

# »

OP0


Normalenvektor

Definition

Jeder Vektor #»n 6= #»0 , der senkrecht auf den beiden Richtungs-

vektoren #»s1 und #»s2 der Ebene E steht, heißt Normalenvektor derEbene E . Ein Normalenvektor #»n mit | #»n | = 1 heißt Einheitsnor-malenvektor oder Normaleneinheitsvektor.

Bemerkung

Nach den Eigenschaften des Vektorprodukts ist #»s1 × #»s2 ein Nor-malenvektor jeder Ebene E , die durch #»s1 und #»s2 aufgespannt wird.Es lässt sich zeigen, dass jeder Normalenvektor von E ein Vielfa-ches von #»s1 × #»s2 ist.


Hessesche Normalform I


Hessesche Normalform II

Gegeben: Ebene E : #»r = #»r0 + λ #»s1 + µ #»s2, λ, µ ∈ R, mitNormaleneinheitsvektor #»n

Nach der Definition des Normalenvektors gilt für #»r ∈ E :#»r · #»n = ( #»r0 + λ #»s1 + µ #»s2) · #»n

= #»r0 · #»n + λ #»s1 · #»n︸︷︷︸= 0

+µ #»s2 · #»n︸︷︷︸= 0

= #»r0 · #»n

Der Normaleneinheitsvektor #»n sei so gewählt, dass er vom Ur-sprung zur Ebene zeigt. Dann gilt für #»r ∈ E :

% := #»r · #»n = | #»r | | #»n | cos(ϕ) = | #»r | cos(ϕ) ≥ 0,wobei ϕ den Winkel zwischen #»r und #»n bezeichnet.


Hessesche Normalform III

Hessesche Normalform der Ebene E :#»n · #»r = % bzw. nxx + nyy + nzz = %

mit

#»n =

nxnynz

, #»r =

xyz

,

wobei #»n ein Einheitsvektor ist, alson2x + n2

y + n2z = 1

erfüllt ist.


Allgemeine Koordinatenform einer Ebene

Gegeben seien a, b, c , d ∈ R mitabc

6= #»0

Dann heißtax + by + cz = d ,

allgemeine Koordinatendarstellung einer Ebene. Der Vektorabc

ist Normalenvektor von E , hat aber nicht notwendig die Länge 1.


Lot auf eine Ebene

Ebene E : #»r = #»r0 + λ #»s1 + µ #»s2, λ, µ ∈ R, #»w := #»s1 × #»s2

Löse LGS #»r1 − ( #»r0 + λ∗ #»s1 + µ∗ #»s2) = ν #»w für λ∗, µ∗, ν ∈ RAbstand von P1 zu E : d = |ν #»w |G. Matthies Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen 52/54

Abstand zu einer Ebene

Ebene in Hessescher Normalform #»n · #»r = % mit % := #»n · #»r0

d =∣∣ #»n · ( #»r1 − #»r0)

∣∣ = | #»n · #»r1 − %| = |nxpx + nypy + nzpz − %|


Schnittgerade zweier Ebenen

Gegeben: zwei Ebenen in Hessescher NormalformE1 : #»n1 · #»r = %1, E2 : #»n2 · #»r = %2

Sind die Normaleneinheitsvektoren #»n1 und #»n2 nicht kollinear, dannschneiden sich die beiden Ebenen E1 und E2 in einer Geraden g .

Der Richtungsvektor #»s von g muss in E1 und E2 liegen. Damitmuss er senkrecht auf beiden Vektoren #»n1 und #»n2 stehen. Somitlässt sich #»s = #»n1 × #»n2 wählen.

Zur Bestimmung eines Aufpunktes wird eine beliebige Lösung (x , y , z)des linearen Gleichungssystems

n1xx + n1yy + n1zz = %1, n2xx + n2yy + n2zz = %2,

ermittelt.

Es genügt, wenn die Ebenen in allgemeiner Koordinatenform ge-geben sind.G. Matthies Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen 54/54

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