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Analysis Differenzial- und Integralrechnung
Analysis besteht aus den wichtigen Disziplinen Differenzial- und Integralrechnung. Diese sind wichtig für Flächenberechnung und mathemati-sche Modelle.
Vektorgeometrie Analytische Geometrie
Teilgebiet der Geometrie, welche algebraische Methoden verwendet, um geometrische Proble-me zu lösen. Zentral sind dabei die Vektoren, pfeilartige Bewegungen in einem Raum.
Stochastik Wahrscheinlichkeitsrechnung, Kombinatorik
In der Wahrscheinlichkeitstheorie kann die Ein-trittswahrscheinlichkeit verschiedener Ereignisse bestimmt werden. Ein Teilgebiet ist die Kombina-torik, das Zählen von Kombinationen.
ALGEBRA
Funktionen 2 Brüche, Potenzen, Binomische Formeln 2
DIFFERENTIALRECHNUNG
Differenzenquotient 3 Differentialquotient / Ableitungsfunktion 3 Integralrechnung 4
VEKTORGEOMETRIE
Vektoren 5 Skalarprodukt 6 Geradengleichung 6 Lage zweier Vektoren 6 Vektorprodukt 7 Ebenen 7 Kugeln 8
STOCHASTIK
Wahrscheinlichkeitstheorie 9 Kombinatorik 10 Bedingte Wahrscheinlichkeit 10 Zufallsvariablen 10 Statistik 11 Bernoulli-Experiment 11 Binomialverteilung 11
Mathematik
Analysis, Vektorgeometrie, Stochastik
LibrarySALI
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saliorel.com/filesTitelbild lizenziert unter Creative Commons Zero, Unsplash
Vivien Kords
Inhaltsquelle: Fundamentum Mathematik und Physik, 9. Auf-lage, orell füssli, sowie Unterrichtsmaterialien von Patrick Gasser, Stephan Looser
ALGEBRA
Funktionen
Def. Eine Funktion ordnet jedem Element aus der Definitionsmenge nach einer bestimmten Regel, Form oder Vorgabe genau ein Element aus der Wertemenge zu.
– Lineare Funktion
– Quadratische Funktion
– Polynome z.B. Polynom 3. Grades
– Exponentialfunktion
– „Die Exponentationfunktion“ ist die Eulersche Zahl
– Logarithmusfuniktion Umkehrfkt. der Exponentialfkt.
– „Die Logarithmusfuniktion“
– Sinus, Cosinus, Tangens ist ein Winkel
– Arcussinus, Arccos., Arctan Output ist ein Winkel
Brüche, Potenzen, Binomische Formeln
f (x) = a x + bf (x) = a x2 + bx + cf (x) = a x3 + bx2 + cx + d
f (x) = ax
f (x) = ex e
f (x) = loga(x)f (x) = loge(x) = ln(x)
sin(x) cos(x) tan(x) x
sin−1(x) cos−1(x) tan−1(x)
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Analysis, Vektorgeometrie, Stochastik Mathematik
Brüche
Potenzregeln
Spezielle Potenzen
Wurzel und Potenz
Binomische Formeln
1.
2.
a−n =1an
a0 = 1
1.
2.
3.
ax ⋅ ay = ax+y
ax ⋅ bx = (a ⋅ b)x
(ax)y = a(x⋅y)
1.
2.
3.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
(a + b) * (a − b) = a2 − b2
1.
2.
3.
ab
⋅cd
=a ⋅ cb ⋅ d
ab
+cd
=a ⋅ db ⋅ d
+c ⋅ bb ⋅ d
=a ⋅ d + c ⋅ b
b ⋅ dabcd
=ab
⋅dc
k a = a1/k
DIFFERENTIALRECHNUNG
Differenzenquotient
Def. Man betrachtet die Funktion , die durch das Intervall definiert ist: Der Differenzenquotient berechnet die durchschnittliche/mittlere Änderungsrate der Funktion
im Intervall .
Der Differenzenquotient entspricht dabei:
– Geometrisch entspricht der Differenzenquotietnt der Steigung der Sekante durch die Punkte und
.
Differentialquotient / Ableitungsfunktion
Def. Der Differentialquotient einer Funktion ist die erste Ableitung und beschreibt die momentane Änderungsrate. Er entspricht dem Grenzwert der Differenzenquotienten mit .
Der Differentialquotient entspricht dabei:
– Geometrisch entspricht der Differentialquotient der Steigung der Tangente des Graphens am Punkt .
Der Differentialquotient bzw. die erste Ableitung wird von einer
Funktion wird als oder geschrieben. Wenn man diese Funktion erneut ableitet, erhält man
die zweite Ableitung , usw.
Ableitungsregeln
Falls die Funktion f differenzierbar (Differentialquot. an Stelle x existiert) ist, gelten diese Regeln:
– Polynome: →
– Konstanter Faktor: →
– Summenregel: →
– Produktregel: →
– Quotientenregel: →
– Kettenregel: →
– Eulersche Zahl: →
– Logarithmusfunktion: →
f [a , b] = [a , a + h]
f [a , a + h]
f (b) − f (a)b − a
=f (a + h) − f (a)
h
P1(a | f (a))P2(a + h | f (a + h))
h → 0
limh→0
(f (a + h) − f (a)
h)
P(a | f (a))
f f ′� f (1)
f ′�′�
xn n ⋅ x(n−1)
c ⋅ g(x) c ⋅ g′�(x)g(x) + h(x) g′�(x) ⋅ h′�(x)g(x) ⋅ h(x) g(x) ⋅ h′�(x) + g′�(x) ⋅ h(x)g(x)h(x)
g′�(x) ⋅ h(x) − g(x) ⋅ h′ �(x)(h(x))2
g(h(x)) g′�(h(x)) ⋅ h′�(x)ex ex
ln(x) 1x
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Analysis, Vektorgeometrie, Stochastik Mathematik
Extrempunkte
– Tiefpunkte: und
– Hochpunkte: und
– Wendepunkte: und
– Sattelpunkte: und und
Kurvendiskussion Man untersucht den Graphen der Funktion auf bestimmte geometrische Eigenschaften.
– Dazu berechnet man immer zuerst die 1. und 2. Ableitung der Funktion .
– Die 1. Ableitung beschreibt die Steigung des Graphens der Funktion und; – die 2. Ableitung beschreibt wiederum die Steigung der 1. Ableitung, dies entspricht der Krümmun
des Graphens von .
Integralrechnung
Def. Das Integral berechnet die Flächenbilanz einer Funktion. Dazu wird in Theorie die Fläche unter dem Graphen in gleich grosse Rechtecke aufgeteilt, welche dann zusammengezählt werden. Wenn unendlich viele kleine Rechtecke gemacht werden ( und somit ), entspricht dies der genauen Flächenbilanz . 1
Mit der Stammfunktion kann das Integral berechnet werden. Wenn man die Stammfunktion
ableitet, erhält man die Funktion .
Das Integral kann so berechnet werden:
Spezielle Stammfkt. und Ableitungen Das Integral ist eine Flächenbilanz
Das Integrieren und Ableiten von Sinus & Cosinus Wenn eine Funktion negative Werte hat, funktioniert nach folgendem Muster (Pfeilrichtung gibt das Integral nicht eine Fläche, sondern entspricht Ableiten): eine Bilanz der Fläche an, von welcher die Flächeninhalte unter der x-Achse sub- trahiert wurden. Das Integral von diesem Sinus wäre beispielsweise 0:
f ′�(x) = 0 f ′�′�(x) > 0f ′�(x) = 0 f ′�′�(x) < 0
f ′�′�(x) = 0 f ′�′�′�(x) ≠ 0f ′�(x) = 0 f ′�′�(x) = 0 f ′�′�′�(x) ≠ 0
f
ff
f
n → ∞ Δx → 0
FF′� = f
∫b
a( f (x)) d x = [F(x)] = F(b) − F(a)
Auf die Berechnungsverfahren von Ober- und Untersumme wird hier bewusst verzichtet.1
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Analysis, Vektorgeometrie, Stochastik Mathematik
Fläche zwischen zwei Kurven
1. Ermitteln der Schnittpunkte Fläche wird an diesen Stellen begrenzt 2. Berechnen des Integrals
Unbestimmtes Integral Die Bedeutung von dx
Im Gegensatz zum bestimmten Integral hat das Das « » gibt an, nach welcher Variable unbestimmte Integral keine Integrationsgrenzen integriert werden muss. Andere Variablen und bezeichnet die Menge aller Stammfunktionen: werden wie Zahlen behandelt:
z.B.
Rotationsvolumen
Def. Deht man den Graphen einer Funktion um die -Achse, so ensteht ein Rotationskörper.
Volumenberechnung:
VEKTORGEOMETRIE
Vektoren
Def. Ein Vektor ist die Menge aller Pfeile mit gleicher Länge & gleicher Richtung. Einen Vektor mit der Länge nennt man Nullvektor. Ein Pfeil ist ein sog. Repräsentant des Vektors. Zwei Vektoren können eine Ebene aufspannen. Wenn drei in einer Ebene liegen, sind alle komplanar.
Kollineare Vektoren (zu einander parallel)
Gegenvektoren (entgegenges. Richtung)
Vektor zum Mittelpunkt einer Strecke .
Komponentendarstellung Länge/Betrag eines Vektors Vektor zw. zwei Punkten
Addition/Subtraktion zweier Vektoren funktioniert durch das Addieren/Subtrahieren ihrer Komponenten.
f (x) = g(x)
∫b
a( f (x)) d x − ∫
b
a(g(x)) d x
x
∫ ( f (x))d x = F(x) + c ∫b
a(u ⋅ v2) du =
12
u2 ⋅ v2
f x
V = π∫b
a( f (x)2) d x
b = k ⋅ ab = − am = 0.5 a + 0.5 b
a = (xyz) | a | = a2 + b2 + c2
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Analysis, Vektorgeometrie, Stochastik Mathematik
Quadrieren vor Integrieren Die Funktion muss vor dem Integrieren quadriert werden.
!
Ist das Integral negativ, muss der Betrag davon genommen werden, falls die Fläche gesucht ist.
A B =Ax − BxAy − By
Az − Bz
Skalarprodukt
Def. Definiert als .
– ist der Winkel, der entsteht, wenn die Vektoren und vom gleichen Punkt ausgehen.
– Es gilt .
– Wenn gilt, dann sind die Vektoren senkrecht zueinander.
Geradengleichung
wobei der Stützvektor und der Richtungsvektor ist.
– Für kann jede reelle Zahl einsetzten, um erhält alle Ortsvektoren (& Punkte) auf der Geraden zu erhalten.
– Will man eine Gerade durch zwei Punkte und bestimmen, wählt man
als Stützvektor und als Richtungsvektor.
– Man spricht auch von der Parametergleichung einer Gerade. Jeder Punkt auf der Gerade ist von
der Form
Spurpunkte einer Geraden
– Geraden schneiden meist verschiedene Ebenen, die Schnittpunkte nennt man Durchstosspunkte. – Durchstosspunkt mit zx-Ebene:
– Durchstosspunkt mit xy-Ebene:
– Durchstosspunkt mit yz-Ebene:
Lage zweier Vektoren
a ∘ b = | a | ⋅ | b | ⋅ cos(φ) = a x + by + cz
φ a b
φ = cos−1(a x + by + cz
|a | ⋅ |b |)
a ∘ b = 0
g : r = a + t ⋅ v a = O A v
t
A(a |b |c) B(x |y |z) OAABg
P(a + t (x − a) |b + t (y − b) |c + t (z − c))
S1(x |0 |z)S2(x |y |0)S3(0 |y |z)
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Analysis, Vektorgeometrie, Stochastik Mathematik
Lage von Geradenim Koordinatensystem
Ist der Stützvektor �� ein vielfa-ches des Richtungsvektors, dann geht die Gerade durch den Nullpunkt.
Ist im Richtungsvektor eine Komponente gleich null, dann ist die Gerade zu einer Ebene parallel, z.B:
ist parallel zur yz- Ebene
Sind im Richtungsvektor zwei Komponenten gleich null, dann ist die Gerade zu einer Koordina-tenachse parallel, z.B:
ist parallel zur z- Achse
b = (0yz)
b = (00z)
Vektorprodukt
Def. Ordnet zwei Vektoren und einen neuen Vektor (im Folgenden zu abgekürzt), der drei Eigenschaften besitzt:
– Der neue Vektor steht senkrecht auf und .
– Die Länge des Vektors entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das und aufspannen.
– Die Vektoren , und bilden ein Rechtssystem (1. Vektor = Daumen, 2. Vekt. = Zeigefinger, Vektorprodukt = Mittelfinger; das Vektorprodukt ist antikommutativ!)
Berechnung
Beide Vektoren nebeneinander und zweimal untereinander aufschreiben,
die erste und letzte Zeile streichen und dann übers
Kreuz Produkt minus Produkt (s. Abbildung rechts).
Abstand Punkt-Gerade
Die Vektoren �� und spannen ein Parallelogramm auf, A ist der
Stützpunkt und �� der Richtungsvektor der Geraden.
Flächen und Volumenberechnungen
– Fläche Parallelogramm:
– Fläche Dreieck:
– Spatprodukt:
– Volumen dreiseitige Pyramide:
– Abstand zweier Windschiefer Geraden
Ebenen
Eine Ebene kann festgelegt werden durch:
– Drei nicht auf einer Gerade liegende Punkte
– Eine Gerade & einen Punkt (nicht auf Gerade)
– zwei parallele/schneidende Geraden
– Vektor senkrecht zur Ebene & Punkt in Ebene
a b a × b c
c a bc a b
a b c
AP
| v × A P |
| v × A P | ⋅12
| ( a × b ) ∘ c |
| ( a × b ) ∘ c | ⋅16
( m × n ) ∘ A B| m × n |
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Analysis, Vektorgeometrie, Stochastik Mathematik
Normalvektor: Steht senkrecht zur Ebene
Komplanar: Ein Vektor steht parallel zur Ebene Parametergleichung:
Koordinatengleichung:
wobei a, b, c die Komponenten des Normalenvektors sind
E : (xyz) = (
abc) + t ⋅ (
uvw) + s ⋅ (
xyz)
E : a x + by + cz + d = 0
d =| v × AP |
| v |
Spatprodukt
Geraden g (Stützpunkt A, Richtungsvek. m) und h (B und n)
Neigungswinkel Ebene-Gerade
Berechnung des stumpfen Winkels zwischen Richtungsvektor der Gerade und Normalenvektor:
Hessesche Normalform
Def. Die Hessesche Normalform einer Ebene mit Koordinatengleichung hat die Form:
Um den Abstand eines Punktes zu einer Ebene zu berechnen, kann die HNF verwendet werden:
Kugeln
Def. Eine Kugel ist die Menge aller Punkte, die von einem Mittelpunkt den gleichen Abstand haben.
Da jeder Punkt den gleichen Abstand zu hat, wird die Kugelgleichung so beschrieben:
Lage von Punkt-Kugel kann mit Einsetzen in die Kugelgleichung bestimmt werden:
– Punkt innerhalb der Kugel <
– Punkt auf Kugel =
– Punkt ausserhalb Kugel >
Lage von Gerade-Kugel kann mit Einsetzen eines Punkt in die Kugelgleichung bestimmt werden:
– Passante keine Lösung – Tangente 1 Lösung – Sekante 2 Lösungen
Lage von Ebene-Kugel kann mit der HNF und dem Kugelmittelpunkt bestimmt werden:
– Schneiden sich nicht >
– Berühren sich = Die Ebene ist eine „Tangentialebene“ der Kugel
– Schneiden sich < Ein Schnittkreis entsteht .2
sin(α) = |n ∘ v
| n | | v ||
a x + bx + cz + k = 0
E :a x + by + cz + k
a2 + b2 + c2= 0
d = |au + bv + c w + k
a2 + b2 + c2|
M rP M
r2 = (x − u)2 + (y − v)2 + (z − w)2
r2
r2
r2
d r2
d r2
d r2
Der Schnittkreis kann mit berechnet werden (Pythagoras). Der Mittelpunkt des Schnittkreises ist der 2
Durchstosspunkt des Lotes der Ebene E durch den Kreismittelpunkt.Seite von 8 11
Analysis, Vektorgeometrie, Stochastik Mathematik
Lage Ebene-Gerade
r′�2 + d2 = r2
STOCHASTIK
Wahrscheinlichkeitstheorie
Def. Zufällige Ereignisse sind nicht berechenbar, doch es kann mittels Wahrscheinlichkeitstheorie ermittelt werden, mit welcher Wahrscheinlichkeit diese eintreffen.
Zufallsexperiment Bedingungen vorgegeben, beliebig oft wiederholbar, zufälliger Ausgang Ergebnis, Mögliche Resultate eines Zufallsexperiments Ergebnismenge, Menge aller möglichen Resultate
Ereignis ist ein Ereignis (Versch. Ergebnisse können zum gleichen Ereignis führen)
Sicheres Ereignis Ereignis , welches mit = 1 eintreffen wird (Leere Menge wird nie eintreffen)
Gegenereignis Alle gegenteiligen Ereignisse von A: mit Wahrscheinlichkeit
Laplace-Versuch Bei einem Laplace-Versuch ist jedes Ergebnis gleich wahrscheinlich (günstige über alle Ergebnisse).
Wahrscheinlichkeitsverteilung: Axiome – Alle Ereignisse haben eine Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1.
– Das sichere Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit 1.
– Für zwei diskunkte Ereignisse (keine gemeinsamen Elemente) gilt: Weitere von den Axionen ableitbare Regeln:
Wahrscheinlichkeit der leeren Menge
Wahrscheinlichkeit eines Gegenereignis
Vereinigungsmenge zweier disj. Ereignisse
Gesetz der grossen Zahlen
Die relative Häufigkeit wird berechnet, indem die Anzahl der Beobachtungen mit einem
Merkmal A durch die Gesamtanzahl teilt → Dies entspricht nicht der Wahrscheinlichkeit, nähert
sich aber an an, je mehr das Experiment wiederholt wird.
wi
Ω
A ∈ ΩΩ p
A = Ω\ A 1 − P (A )
P(A) =|A ||Ω |
P(wi) =1
|Ω |
A ∈ Ω
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
P({}) = 0P(A ) = 1 − P(A)P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
P(A)
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Analysis, Vektorgeometrie, Stochastik Mathematik
Wahrscheinlichkeit steigt nicht
Nur weil ein Ereignis selten eintritt, bedeutet das nicht, dass die Wahrscheinlichkeit steigt, dass es bei der nächsten Durchführung eintritt.
i
Disjunkte Ereignisse
Zwei Ereignisse (oder Teilmengen) sind disjunkt, wenn sie keine gemeinsamen Elemente haben, ihre Schnittmenge also die leere Menge ist.
*
Kombinatorik
Def. Die Kombinatorik befasst sich mit dem Abzählen von möglichen Kombinationen.
Die folgende Tabelle illustriert die Anzahl Möglichkeiten bei Ziehungen bei Elementen.
Permutation ohne Zurücklegen
Wenn alle Elemente gezogen werden: z.B. („Fakultät“) bedeutet
Falls davon einige einige nicht unterscheidbar sind:
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Def. Unser Informationsstand kann die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses beeinflussen. Wenn wir
zwei Ereignisse haben und wissen, dass eintreten wird, dann erhöht sich die Wahrscheinlichkeit
dass eintreten wird (sofern diese nicht völlig unabhängig voneinander sind).
Zufallsvariablen
Def. Eine Zufallsvariable ist eine Funktion, welche jedem Ereignis eine reelle Zahl zuordnet. Man interssiert sich dafür, mit welcher Wahrscheinlichkeit bestimmte Werte eintreten (z.B. Gewinnbetrag bei einem Glückspiel) anstelle der tatsächlichen Ergebnisse.
Erwartungswert einer Zufallsvariabel
Beim Erwartungswert werden die erwartete Werte (z.B. 50 Fr. Gewinn) mit deren Eintretenswahrscheinl. Ein Spiel ist „fair“, wenn zutrifft. multipliziert, und alle diese Werte summiert.
Varianz
mit
Standardabweichung
k n
n! 3! 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 6n!
n1! ⋅ n2! ⋅ . . .
AB
P[A |B] =P[A ∩ B]
P[B]
E[X ] = x1 ⋅ P(X1) + . . . + xn ⋅ P(Xn)
E [X ] = 0
Var[X ] = (x1 − z)2 ⋅ P(x1) + . . . + (xn − z)2 ⋅ P(xn) E [X ] = z
σ = Var[X ]Seite von 10 11
Analysis, Vektorgeometrie, Stochastik Mathematik
mit Zurücklegen ohne Zurücklegen
Reihenfolge wichtig
Reihenfolge unwichtig
nk n!(n − k)!
(nk)(n + k − 1
k )
Statistik
Def. Die beschreibende Statistik befasst sich um Gegensatz zur Wahrscheinlichkeitstheorie mit dem Umgang von gesammelten Daten anstatt der Vorhersagt des Eintretens von Ergebnissen.
Mittelwert
Varianz
Standardabweichung
Bernoulli-Experiment
Def. Bei einem Bernoulli-Experiment gibt es nur zwei Ergebnisse: = {Erfolg, Misserfolg}
Die Erfolgswahrscheinlichkeit ist und die Misserfolgswahrscheinlichkeit somit .
Ein Zufallsexperiment unterliegt der Bernoulli-Verteilung, falls sie dem Erfolg den Wert 1 und einem Misserfolg den Wert 0 zuordnet.
Binomialverteilung
Def. Wenn ein Bernoulli-Experiment mal wiederholt wird und die Wahrscheinlichkeit immer gleich
bleibt (Durchgänge unabhängig voneinander) und als Anzahl Erfolge mit Erfolgswahrscheinlich-
keit definiert wird, dann ist binomial verteilt:
Die Wahrscheinlichkeit kann dann mittels Anzahl Kombinationen, Erfolgs-, und Misserfolgswahrscheinlichkeit ermittelt werden:
x =x1 + x2 + . . . + xn
n
s2 =(x1 − x )2 + . . . + (xn − x )2
n − 1
s = s2
Ωp q = 1 − p
nX
p X
X ∼ binom(n , p)
P(X = k) = (nk) ⋅ pk ⋅ qn−k
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