Lineare Systeme Mathematik 9. Jahrgang: Lineare Systeme GLEICHUNGSSYSTEME Weitergabe bzw. Vervielfältigung Diese Präsentation bietet einen Einstieg in

Mathematik 9. Jahrgang:

Lineare SystemeLineare Systeme

Diese Präsentation bietet einen Einstieg in den Themenbereich „Lineare Systeme“. Damit ist das Lösen so genannter GLEICHUNGSSYSTEMEGLEICHUNGSSYSTEME gemeint. Die Präsentation ist über die Homepage der Wilhelm-Raabe-Schule jederzeit frei zugänglich. Die Weitergabe bzw. VervielfältigungWeitergabe bzw. Vervielfältigung der Präsentation ist ausdrücklich erlaubt.

Selbstverständlich dürfen sich auch ELTERNELTERN bzw. NACHHILFELEHRKRÄFTENACHHILFELEHRKRÄFTE gern mit dieser Präsentation beschäftigen. Der Verfasser möchte alle Nutzer dazu ermutigen, sich ggf. zur Präsentation zu äußern und bittet darum, zu diesem Zweck die auf der Homepage der Wilhelm-Raabe-SchuleHomepage der Wilhelm-Raabe-Schule angegebenen Kontaktmöglichkeiten zu nutzen.

Bei der Herstellung der Präsentation wurde ausschließlich frei – kostenlos – zugängliche Software benutzt. WORDWORD und EXCELEXCEL sind über OPEN-OFFICE verfügbar. DynaGeoDynaGeo steht für Angehörige der Wilhelm-Raabe-Schule ohnehin frei zur Verfügung.



Für diese Präsentation gilt – genau wir für alle anderen Präsentationen im Fach Mathematik – der Grundsatz:

Nur ankucken nutzt gar nichts.Nur ankucken nutzt gar nichts.

Sinnvoll ist die Arbeit mit oder an dieser Präsentation nur dann, wenn jede Zeichnung selbst nachgezeichnet, jede Rechnung selbst nachgerechnet wird.

Es gibt kein Zaubermittel, um schlau zu werden. Das gelingt nur durch eigene Arbeit



Einige Anmerkungen, bevor wir mit dem Rechnen anfangen!

Die Gleichung „Die Gleichung „2x – 7 = 132x – 7 = 13“ hat genau eine Lösung: “ hat genau eine Lösung: x = 10x = 10

Die Gleichung „3x + y = 10“ hat viele Lösungen. Eine kleinen Teil dieser vielen Lösungen können wir in der Form einer Wertetabelle darstellen:(Dazu formen wir die Gleichung um in „y = -3x + 10“)

Noch besser wäre es natürlich, diese vielen Lösungen der Gleichung einfach zu zeichnen. Das ergibt – wie man in der neunten Klasse ganz sicher weiß – eine so genannte Gerade. Siehe dazu die Abbildung links ()

x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5y 25 22 19 16 13 10 7 4 1 -2 -5



Noch einige ganz praktische Anmerkungen – fast ohne RECHNEN:Noch einige ganz praktische Anmerkungen – fast ohne RECHNEN:

NR. 1 - Die Fläche eines Rechtecks beträgt 168 cm².oder

NR. 2 - Eine Gerade verläuft durch den Punkt P(4/2).oder

NR. 3 - Vater und Sohn sind zusammen 100 Jahre alt.oder

NR. 4 - Drei Portionen Pommes und vier Döner kosten zusammen 14,40 €.

oder – eine der Lieblingsaufgaben der Mathematiklehrer:

NR. 5 - Auf der Wiese tummeln sich Hühnchen und Kaninchen. Insgesamt sind es 88 Tierchen.

Wir prüfen diese Gleichungen auf den folgenden Seiten!



NR. 1 - Die Fläche eines Rechtecks beträgt 168 cm².

Das Rechteck kann man zeichnen:

Die Fläche beträgt 14 * 12 = 168 cm²

OKAYOKAY - Aber:Aber:

Gibt es noch andere Gibt es noch andere - passende –- passende –Rechtecke?Rechtecke?



Wie wäre es mit diesem Rechteck?

Fläche:

6 * 28 = 168 cm²

… oder mit diesem? Fläche:

7 * 24 = 168 cm²

… oder aber – ohne Zeichnung – mit

1 * 168 = 168 cm²

… oder mit 2 * 84 = 168 cm²

… oder mit 3 * 56 = 168 cm²

… oder mit 4 * 42 = 168 cm²

… oder … oder … oder !



NR. 2 - Eine Gerade verläuft durch den Punkt P(4/2).

Die Aufgabe ist spielend leicht lösbar. Koordinatensystem zeichnen – Punkt eintragen – Gerade zeichnen

…. und noch eine Gerade … und noch eine Gerade … und noch eine ………

Welches mag nur die richtige

Gerade sein?



NR. 3 - Vater und Sohn sind zusammen 100 Jahre alt.

Diese Aufgabe ist am abenteuerlichsten – wie überlegen gemeinsam:

1.)1.) Der Vater ist 51 Jahre alt, dann …..Der Vater ist 51 Jahre alt, dann …..2.)2.) Der Vater ist 99 Jahre alt, dann …..Der Vater ist 99 Jahre alt, dann …..3.)3.) Der Vater ist 30 Jahre alt, dann …..Der Vater ist 30 Jahre alt, dann …..

4.)4.) Der Vater ist 120 Jahre alt, dann …..Der Vater ist 120 Jahre alt, dann …..

Bitte prüfe alle vier Varianten!

Natürlich gibt es auch vernünftige Lösungen: Vater 65 Jahre – Sohn 35 Jahreoder Vater 68 Jahre – Sohn 32 Jahreoder Vater 62 Jahre – Sohn 38 Jahre



NR. 4 - Drei Portionen Pommes und vier Döner kosten zusammen 14,40 €.

+

3 * 1,20 + 4 * 2,70 = 14,40 €

3 * 0,60 + 4 * 3,15 = 14,40 €

3 * 4,00 + 4 * 0,60 = 14,40 €

3 * 1,00 + 4 * 2,85 = 14,40 €

3 * gratis + 4 * 3,60 = 14,40 €

Was gilt denn nun?Was gilt denn nun?



NR. 5 - Auf der Wiese tummeln sich Hühnchen und Kaninchen. Insgesamt sind es 88 Tierchen.

Wir machen etwas MATHEMATIK und übersetzen diese Aussage in MATHEMATISCHMATHEMATISCH:

h + k = 88Wenn nur ein Huhn da ist, müssen es 87 Kaninchen sein. Wenn nur zwei Hühner da sind, müssen es 86 Kaninchen sein. Wenn nur 3 Hühner da sind, müssen es 85 Kaninchen sein. Wenn nur 4 Hühner da sind, müssen es 84 Kaninchen sein. Wenn nur 5 Hühner da sind, müssen es 83 Kaninchen sein. Wenn nur 6 Hühner da sind, müssen es 82 Kaninchen sein. Wenn nur 7 Hühner da sind, müssen es 81 Kaninchen sein. Wenn nur 8 Hühner da sind, müssen es 80 Kaninchen sein. Wenn nur 9 Hühner da sind, müssen es 79 Kaninchen sein. Wenn nur zehn Hühner da sind, müssen es 78 Kaninchen sein.

Und trotz des langes Textes sind wir nicht ein Stück schlauer geworden.



Merke:Viele Aussagen sind Viele Aussagen sind nichtnicht eindeutig eindeutig lösbarlösbar, weil es , weil es

eine große Anzahl richtiger Lösungen gibt.eine große Anzahl richtiger Lösungen gibt.

Um eine eindeutige Lösung zu erhalten, Um eine eindeutige Lösung zu erhalten,

braucht man eine braucht man eine

zweite Aussage.zweite Aussage.



Die Fläche eines Rechtecks beträgt 168 cm².Die Fläche eines Rechtecks beträgt 168 cm².

+Der Umfang dieses Rechtecks ist 62 cm groß.Der Umfang dieses Rechtecks ist 62 cm groß.

Lösung: Die Länge a sei 24 cm; die Breite b sei 7 cm.Lösung: Die Länge a sei 24 cm; die Breite b sei 7 cm.

A = 24 * 7 = A = 24 * 7 = 168 cm²168 cm² u u = 2 * 24 + 2 * 7= 2 * 24 + 2 * 7

= 48 + 14 = 48 + 14

= = 62 cm62 cm

Wir beschäftigen uns in Kürze damit, wie diese Werte Wir beschäftigen uns in Kürze damit, wie diese Werte ausgerechnet werden können.ausgerechnet werden können.



Eine Gerade verläuft durch den Punkt P(4/2) +

und den Punkt Q (-2/5) und den Punkt Q (-2/5)

Lösung:Lösung: Von den vielen ( blauen ) GeradenVon den vielen ( blauen ) Geradendurch den Punkt P geht nur eine durch den Punkt P geht nur eine einzige auch durch Q.einzige auch durch Q.

Es ist die rote Gerade.Es ist die rote Gerade.



Vater und Sohn sind zusammen 100 Jahre alt.

+Der Sohn ist 28 Jahre jünger als sein Vater.

Lösung: Vater ist 64 Jahre – Sohn ist 36.

Beweis: 64 + 36 = 10064 + 36 = 100 (Vater und Sohn sind zusammen 100 Jahre alt.)

36 = 64 - 2836 = 64 - 28 (Der Sohn ist 28 Jahre jünger als sein Vater.)



Problem:

Wie wird die Lösung Wie wird die Lösung ausgerechnet?ausgerechnet?

Dazu prüfen wir zunächst Aufgaben aus der Geometrie, die wir auch zeichnen Dazu prüfen wir zunächst Aufgaben aus der Geometrie, die wir auch zeichnen können. Denn beim Zeichnen kann man sofort erkennen, ob eine Lösung richtig können. Denn beim Zeichnen kann man sofort erkennen, ob eine Lösung richtig

ist oder nicht.ist oder nicht.



Die Aufgabe:

Eine Gerade verläuft durch die Punkte

A(-3/5) und B(6/-1).

Wie lautet die Funktionsgleichung dieser Geraden?



Eine Gerade verläuft durch die Punkte A(-3/5) und B(6/-1).

Die beiden Punkte kann man zeichnen:

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

-2

-1

1

2

3

4

5

6

x

y

A (-3

| 5)

B (6

| -1)



Eine Gerade verläuft durch die Punkte A(-3/5) und B(6/-1).Die beiden Punkte kann man zeichnen und durch eine Gerade verbinden:

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

x

y

A (-3

| 5)

B (6

| -1)



-6 -5 -4 -3 -2 -1 1

1

2

3

4

5

6

x

y

A (-3

| 5)

-2

3

Lösung aus der Zeichnung ablesen:

y = mx + b

b = 3 ; m = -2/3

also:

3

3

2 xy



Eine Gerade verläuft durch die Punkte A(-3/5) und B(6/-1).

Rechnung:

1.) 5 = -3 m + b b = 5 + 3 m

2.) -1 = 6 m + b b = -1 – 6 m

b = b also: 5 + 3 m = -1 – 6 m

sortieren: 3 m + 6 m = -1 – 5

zusammenfassen: 9 m = - 6

ausrechnen: m = -6/9 = -2/3

und: b = 5 + 3*(-2/3) = 5 – 2 = 3



Ein zweites Beispiel:

Die Geraden y = - 0,5 x + 3y = - 0,5 x + 3

und y = 2 x - 2y = 2 x - 2

haben genau einen Schnittpunkt, der in der Zeichnung haben genau einen Schnittpunkt, der in der Zeichnung sofort erkennbar ist.sofort erkennbar ist.



-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

S

(2 | 2)

y = - 0,5 x + 3y = - 0,5 x + 3

y = 2 x - 2y = 2 x - 2



Es ist der Punkt S(2/2).

y = - 0,5 x + 3 y = - 0,5 x + 3 undund y = 2 x - 2y = 2 x - 2

haben an diesem Punkt den gleichen x-Wert und den haben an diesem Punkt den gleichen x-Wert und den gleichen y-Wert:gleichen y-Wert:

y y = = yy

Also: Also: - 0,5 x + 3- 0,5 x + 3 = = 2 x - 22 x - 2

... und das kann man ausrechnen:... und das kann man ausrechnen:



- 0,5 x + 3 - 0,5 x + 3 = 2 x - 2= 2 x - 2Sortieren nach demSortieren nach dem„„Aschenpuddel-Prinzip“:Aschenpuddel-Prinzip“: - 0,5 x – 2 x- 0,5 x – 2 x = - 2 – 3= - 2 – 3Zusammenfassen:Zusammenfassen: -2,5 x-2,5 x = - 5= - 5

Dividieren:Dividieren: xx = 2= 2

Einsetzen:Einsetzen: y y = 2 * 2 - 2= 2 * 2 - 2Ausrechnen:Ausrechnen: yy = 2= 2

Also:Also: S ( 2 / 2 )S ( 2 / 2 )



Zeichnung und Rechnung führen

also zum gleichen Ergebnis!



Es ist möglich, auch Gleichungen mit zwei Unbekannten auszurechen, wenn dazu auch zwei Gleichungen vorhanden sind. Also:

(1)(1) Vater und Sohn sind zusammen 100 Jahre alt.Vater und Sohn sind zusammen 100 Jahre alt.(2)(2) Der Sohn ist 28 Jahre jünger als sein Vater.Der Sohn ist 28 Jahre jünger als sein Vater.

Beide Aussagen sind Gleichungen:

(1)(1) v + s = 100v + s = 100(2)(2) s = v - 28s = v - 28

Für die Berechnung dieses Systems – mehr als eine Gleichung Für die Berechnung dieses Systems – mehr als eine Gleichung nennt man ein System – gibt es mehrere Verfahren:nennt man ein System – gibt es mehrere Verfahren:



Einsetzen:In dem Gleichungssystem (1)(1) v + s = 100v + s = 100

(2)(2) s = v – 28s = v – 28ist die Gleichung (2) bereits nach „ist die Gleichung (2) bereits nach „ss“ aufgelöst. s hat den Wert „“ aufgelöst. s hat den Wert „v - 28v - 28“.“.Diesen Wert stellt man in Gleichung (1) genau an die Stelle des „s“.Diesen Wert stellt man in Gleichung (1) genau an die Stelle des „s“.

Aus „ v + Aus „ v + ss = 100“ wird damit = 100“ wird damit (1)(1) v + v + v – 28v – 28 = 100 = 100ausrechnen zuausrechnen zu (1)(1) 2v = 1282v = 128dividieren dividieren (1) (1) v = 64v = 64

Antwort: Papa ist 64 Jahre alt. Der Sohn ist 64-28 Antwort: Papa ist 64 Jahre alt. Der Sohn ist 64-28 Jahre alt – also ist der Sohn 36 Jahre.Jahre alt – also ist der Sohn 36 Jahre.



Es gibt drei unterschiedliche Verfahren, lineare Systeme Es gibt drei unterschiedliche Verfahren, lineare Systeme

– – also zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten –also zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten –

auszurechnen:auszurechnen:

Gleichsetzen!Gleichsetzen!

Einsetzen!Einsetzen!

Addieren!Addieren!

Und dies zeigen wir anhand der weltberühmten Piratenaufgabe Und dies zeigen wir anhand der weltberühmten Piratenaufgabe ..



Räuber und Piraten nehmen an einem großen Gelage teil. Räuber und Piraten nehmen an einem großen Gelage teil.

Jeder der anwesenden Räuber isst Jeder der anwesenden Räuber isst 4 Hähnchen4 Hähnchen

und trinkt und trinkt 5 Bier5 Bier. .

Ein Pirat dagegen isst nur Ein Pirat dagegen isst nur 3 Hähnchen3 Hähnchen, ,

trinkt dafür aber trinkt dafür aber 7 Bier7 Bier..

Zusammen werden bei dem großen Mahl Zusammen werden bei dem großen Mahl 65 Hühnchen65 Hühnchen

gegessen und gegessen und 117 Bier117 Bier getrunken. getrunken.



Es ist unbekannt, wie viele Räuber und wie Es ist unbekannt, wie viele Räuber und wie viele Piraten an dem Fest beteiligt sind.viele Piraten an dem Fest beteiligt sind.

Deshalb:Deshalb:

RÄUBER – xRÄUBER – xPIRATEN - yPIRATEN - y



Die Biergleichung:Die Biergleichung:

RÄUBER * 5 und PIRAT * 7

ergibt zusammen 117

5x + 7y = 1175x + 7y = 117



Die Hähnchengleichung:Die Hähnchengleichung:

RÄUBER * 4 und PIRAT * 3

ergibt zusammen 65

4x + 3y = 654x + 3y = 65







Dieses Verfahren Dieses Verfahren ist am kürzesten ist am kürzesten – dafür ist die – dafür ist die Gefahr, einen Gefahr, einen Vorzeichenfehler Vorzeichenfehler zu machen, zu machen, relativ groß.relativ groß.



Zur Übung folgen in genau gleicher Form noch zwei Zur Übung folgen in genau gleicher Form noch zwei Varianten der weltberühmten Bauernhofgleichung:Varianten der weltberühmten Bauernhofgleichung:

1.1. Auf einem Bauernhof tummeln sich bunt Auf einem Bauernhof tummeln sich bunt durcheinander Entchen und Kaninchen. Der Bauer zählt durcheinander Entchen und Kaninchen. Der Bauer zählt 120 Köpfchen und 340 Beinchen.120 Köpfchen und 340 Beinchen.

2.2. Auf einem Bauernhof tummeln sich bunt Auf einem Bauernhof tummeln sich bunt durcheinander Schweinchen und Täubchen. Die durcheinander Schweinchen und Täubchen. Die Bäuerin zählt 89 Köpfchen und 240 Beinchen.Bäuerin zählt 89 Köpfchen und 240 Beinchen.

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