Hochschule Mathematik Sem. AI1 Prof. Dr. ErhardtOffenburg Übungsblatt Nr. 3

WS 2011/12

Ausgabetermin: Donnerstag, 27. Oktober 2011Abgabetermin: Donnerstag, 3. November 2011, Beginn 2. Stunde

Resultate, die nicht weitestgehend zusammengefasst sind,erhalten Punkteabzug!

Aufgabe 1 (16 Punkte)

Lösen Sie nach x auf (Definitionsbereich beachten!):

a)x − a

x + a− x + a

x − a=

4a

x2 − a2b) 43x+3 − 26x+5 − 128 = 0

c) 92x+1 + 93 · 32x−4 − 81 = 0 d)√

2x − 3 = 5 −√

x + 5.5

Aufgabe 2 (16 Punkte)

Lösen Sie folgende Gleichungen nach den genannten Variablen auf:

a)u = u0e−

1

RC C =? b) ϕ = lnD0

D0 − d− 1

2D0 =?

c)T1

T2

=

(

p1

p2

)n−1

n

n =? d) y = yE

(

1 − e−t

τ

)

τ =?

Aufgabe 3 (16 Punkte)

Welche der folgenden Funktionen sind achsensymmetrisch, punktsymmetrisch oder nicht symmetrisch?

a) f(x) =x2 cosx + x sin x

x2 + 2b) f(x) =

3x3 + tanx

cotx

c) f(x) =2 − 3 cos(2x)

x − 2 sinxd) f(x) =

(x − a)(x + b)

(x + a)(x − b)

Aufgabe 4 (8 Punkte)

Gegeben ist die Kurve mit der Gleichung(x2 + y2)2 − 2xy = 0.a) Wie lautet die Gleichung in Polarkoordinaten?b) Skizzieren Sie den Kurvenverlauf auf Polarkoordinatenpapier.

Aufgabe 5 (5 Punkte)

Wie lautet die Gleichung der Ellipse9x2 + 16y2 = 144 in Polarkoordinaten? Schreiben Sie sie in der Formr = r(ϕ).

Aufgabe 6 (10 Punkte)

In einem Zahnrad mit den Zähnen nach innen läuft ein gewöhnliches Zahnrad mit genau dem halben Radius desäußeren Zahnrads (Abb. 1), so dass dessen Mitte auf einem Kreis um die Mitte des äußeren läuft. Das kleine Zahnradläuft im Uhrzeigersinn am inneren Rand des großen Zahnrads entlang. Auf was für einer Kurve bewegt sich dabei eineinzelner Zahn (rot) des inneren Zahnrades?Die letzte Aufgabe ist eine Bonusaufgabe!

Abbildung 1: Aufgabe 6: Zwei Zahnräder. Das kleine Zahnrad läuft im Uhrzeigersinn am inneren Rand des großen Zahnradsentlang

Lösung 1

a)

x − a

x + a− x + a

x − a=

4a

x2 − a2

(x − a)2 − (x + a)2

x2 − a2=

4a

x2 − a2

−4ax = 4a

x = −1

b)

43x+3 − 26x+5 − 128 = 0

64 · 43x − 32 · 26x = 128

64 · 43x − 32 · 43x = 128

32 · 43x = 128

43x = 4

x =1

3

c)

92x+1 + 93 · 32x−4 − 81 = 0

92x · 9 + 93 · 9x · 1

34− 81 = 0

92x · 9 + 9 · 9x − 81 = 0

92x + 9x − 9 = 0 subst.z = 9x

z2 + z − 9 = 0

z1/2 = −1

2±

√

1

4+ 9

= −1

2(1 ±

√37) Rücksubst.

→ x =1

ln 9· ln

[

1

2(−1 +

√37)

]

= 0.424

d)√

2x − 3 = 5 −√

x + 5.5

2x − 3 = 25 + x + 5.5 − 10 ·√

x + 5.5

10 ·√

x + 5.5 = 33.5 − x

100 · (x + 5.5) = (33.5 − x)2

x2 − 167x + 572.25 = 0

x1 = 3.5; x2 = 163.5

Probe:⇒ x1 ist Lösung,x2 ist keine Lösung

Lösung 2

a) u = u0e−

1

RC C =?

u = u0e−

1

RC

u

u0

= e−1

RC

lnu

u0

= − 1

RC

lnu − lnu0 = − 1

RC

lnu0 − lnu =1

RC

C =1

R(lnu0 − lnu)

b) ϕ = lnD0

D0 − d− 1

2D0 =?

ϕ = lnD0

D0 − d− 1

2

ϕ +1

2= ln

D0

D0 − d

eϕ+ 1

2 =D0

D0 − d

(D0 − d)eϕ+ 1

2 = D0

D0(eϕ+ 1

2 − 1) = deϕ+ 1

2

D0 =deϕ+ 1

2

eϕ+ 1

2 − 1

c)T1

T2

=

(

p1

p2

)n−1

n

n =?

T1

T2

=

(

p1

p2

)

n−1

n

lnT1

T2

=n − 1

nln

(

p1

p2

)

lnT1 − lnT2 =n − 1

n(ln p1 − ln p2)

n(lnT1 − lnT2) = (n − 1)(ln p1 − ln p2)

n(lnT1 − ln T2 − ln p1 + ln p2) = ln p2 − ln p1

n =ln p2 − ln p1

lnT1 − ln T2 − ln p1 + ln p2

d) y = yE

(

1 − e−t

τ

)

τ =?

y = yE

(

1 − e−t

τ

)

yE − y = yEe−t

τ

yE − y

yE= e−

t

τ

lnyE − y

yE= − t

τ

ln(yE − y) − ln yE = − t

τ

τ = − t

ln(yE − y) − ln yE

τ =t

ln yE − ln(yE − y)

Lösung 3

a)

f(x) =x2 cosx + x sin x

x2 + 2

f(−x) =(−x)2 cos(−x) + (−x) sin(−x)

(−x)2 + 2

=x2 cosx + (−x)(− sin x)

x2 + 2

=x2 cosx + x sin x

x2 + 2= f(x) → die Funktion ist achsensymmetrisch

b)

f(x) =3x3 + tanx

cotx

f(−x) =3(−x)3 + tan(−x)

cot(−x)

=−3x3 − tanx

− cotx

=−(3x3 + tanx)

− cotx

=3x3 + tanx

cotx= f(x) → die Funktion ist achsensymmetrisch

c)

f(x) =2 − 3 cos(2x)

x − 2 sinx

f(−x) =2 − 3 cos(2 · (−x))

−x − 2 sin(−x)

=2 − 3 cos(2x)

−x + 2 sinx

=2 − 3 cos(2x)

−(x − 2 sinx)

= −2 − 3 cos(2x)

x − 2 sin x= −f(x) → die Funktion ist punktsymmetrisch

d)

f(x) =(x − a)(x + b)

(x + a)(x − b)

f(−x) =(−x − a)(−x + b)

(−x + a)(−x − b)

=−(x + a) · −(x − b)

−(x − a) · −(x + b)

=(x + a)(x − b)

(x − a)(x + b)

6= f(x) für a 6= b

6= −f(x) für a 6= b

→ die Funktion ist nicht symmetrisch füra 6= b

= f(x) für a = b → die Funktion ist achsensymmetrisch füra = b

Lösung 4

a) Transformationsgleichungen kartesisch⇐⇒ polar:x = r cosϕ

y = r sin ϕ

r =√

x2 + y2

ϕ = arctany

x

(x2 + y2)2 − 2xy = 0

r4 − 2r2 sin ϕ cosϕ = 0

→ r =√

2 sinϕ cos ϕ =√

sin(2ϕ)

b) Zeichnung siehe Abb. 2

0 0.25 0.5 0.75 1

Abbildung 2: Lösung 4:r(ϕ) =√

2 sin ϕ cos ϕ

Lösung 5

Transformationsgleichungen kartesisch=⇒ polar:x = r cosϕ

y = r sin ϕ

9r2 cos2 ϕ + 16r2 sin2 ϕ = 144

r =12

√

9 cos2 ϕ + 16 sin2 ϕ

=12

√

9 + 7 sin2 ϕ= r(ϕ)

Lösung 6

Die Kurve, auf welcher sich ein einzelner Zahn (rot) des inneren Zahnrades bewegt, ist eine Gerade. Abb. 3zeigt die Bewegung. Diese Anordnung kann man verwenden, um eine Kreisbewegung in eine geradlinige Bewegungüberzuführen.

Abbildung 3: Lösung 6: Kurve, auf welcher sich ein einzelner Zahn des inneren Zahnrades bewegt. Klicken Sie dieControlButtons, um die Animation zu sehen. (Zeichnung war nicht verlangt!)