Lothar Papula Mathematik für Ingenieure und ... · Lothar Papula Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Klausur- und Übungsaufgaben Über 600 Aufgaben mit ausführlichen

Lothar Papula

Mathematik für Ingenieure und NaturwissenschaftlerKlausur- und ÜbungsaufgabenÜber 600 Aufgaben mit ausführlichen Lösungen zum Selbststudium und zur Prüfungsvorbereitung

3., durchgesehene und erweiterte Auflage

Mit 293 Abbildungen

STUDIUM

Bibliografische Information der Deutschen NationalbibliothekDie Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar.

1. Auflage 20042., durchgesehene und erweiterte Auflage 20073., durchgesehene und erweiterte Auflage 2008

Alle Rechte vorbehalten© Vieweg+Teubner |GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2008

Lektorat: Thomas Zipsner | Gabriele McLemore

Vieweg+Teubner ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media.www.viewegteubner.de

Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. JedeVerwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohneZustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere fürVervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherungund Verarbeitung in elektronischen Systemen.

Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werkberechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und dahervon jedermann benutzt werden dürften.

Technische Redaktion: Hartmut Kühn von Burgsdorff, WiesbadenUmschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, HeidelbergBilder: Graphik & Text Studio Dr. Wolfgang Zettlmeier, BarbingSatz: Druckhaus Thomas Müntzer GmbH, Bad LangensalzaDruck und buchbinderische Verarbeitung: Těšínská Tiskárna, a. s., TschechienGedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier.Printed in Czech Republic

ISBN 978-3-8348-0609-3

Vorwort

Entwicklung und Erwerb der Fähigkeit, die im Grundstudium vermittelten mathematischen Kennt-nisse auf Problemstellungen aus Naturwissenschaft und Technik erfolgreich anwenden zu können,sind ein wesentliches Ziel der Grundausbildung und somit zugleich auch Voraussetzung für ein er-folgreiches Studium. Dieses Ziel ist aber nur erreichbar durch ständiges und intensives Training(�ben), zumal die Defizite der Studienanfänger in den Grundlagenfächern wie Mathematik nach wievor enorm sind.

Die vorliegende Sammlung enthält über 600 ausführlich und vollständig gelöste �bungs- und Klau-suraufgaben und bietet dem Studienanfänger Hilfestellung und Unterstützung auf dem Wege zumgenannten Ziel. Dieses Buch ermöglicht

� als ständiger Begleiter zur Vorlesung das intensive Einüben und Vertiefen des Vorlesungs-stoffes,

� eine gezielte und optimale Vorbereitung auf die Prüfungen und Klausuren des Grundstudiums� und eignet sich in besonderem Maße zum Selbststudium.Die Lösung der Aufgaben wird dabei Schritt für Schritt vorgeführt, der Lösungsweg ist damit leichtnachvollziehbar. Alle verwendeten Regeln werden genannt und erklärt, wobei besondere Sorgfalt aufdie elementaren Rechenschritte gelegt wird. Denn die tägliche Arbeit mit den Anfangssemesternbringt es immer wieder zu Tage: Die größten Probleme treten meist im Bereich der Elementarma-thematik auf (Wer kann heutzutage noch fehlerfrei mit Logarithmen, Wurzeln und Potenzen umge-hen? Wie werden eigentlich Brüche addiert?). Daher werden in diesem Buch auch die beim Löseneiner Aufgabe auftretenden elementarmathematischen Probleme behandelt und alle nötigen Rechen-schritte besprochen.

Welche Stoffgebiete wurden berücksichtigt?

Die Auswahl der Stoffgebiete ist auf die Mathematikvorlesungen im Grundstudium abgestimmt.Zahlreiche der über 600 Aufgaben sind dabei anwendungsorientiert formuliert und beschreiben ein-fache Problemstellungen aus Naturwissenschaft und Technik. Berücksichtigt wurden folgende Gebiete:

� Funktionen und Kurven � Gewöhnliche Differentialgleichungen� Differentialrechnung � Laplace-Transformationen (im Zusammenhang mit

linearen Differentialgleichungen)� Integralrechnung� Vektorrechnung� Taylor- und Fourier-Reihen� Lineare Algebra� Partielle Differentiation

� Mehrfachintegrale

Veränderungen gegenüber der 2. Auflage

Es wurden weitere Aufgaben aufgenommen.

V

Ein Wort des Dankes . . .

. . . an Frau Ivonne Voirin und Herrn Stefan Koob (beide studierten an der Fachhochschule Wiesba-den Maschinenbau) für zahlreiche wertvolle Hinweise,

. . . an Herrn Ewald Schmitt vom Vieweg-Verlag für die hervorragende Unterstützung bei der Erstel-lung dieses Werkes,

. . . an Herrn Hölzer und Herrn Wunderlich vom Druck- und Satzhaus „Thomas Müntzer“ für diesenausgezeichneten mathematischen Satz.

Wiesbaden, im Sommer 2008 Lothar Papula

Hinweise für den Benutzer

� Die �bungs- und Klausuraufgaben sind kapitelweise durchnummeriert.� Zu Beginn eines jeden Kapitels bzw. Abschnitts finden Sie Hinweise auf das Lehrbuch

„Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler“ (Band 1––3) sowie auf die Mathemati-sche Formelsammlung des Autors. Hier können Sie die zum Lösen der Aufgaben benötigtenmathematischen Hilfsmittel nachlesen und gegebenenfalls nacharbeiten. Beachten Sie auch dieweiteren nützlichen Informationen.

� Die vollständige Lösung der jeweiligen Aufgabe finden Sie direkt im Anschluss an die Auf-gabenstellung. So wird lästiges Blättern vermieden.

� Folgen Sie meiner Empfehlung:Versuchen Sie zunächst, die Aufgaben selbst zu lösen (Lösungsteil vorher abdecken). Skizzenerleichtern dabei in vielen Fällen den Lösungsweg. Vergleichen Sie dann Ihre Lösung mit derangegebenen Lösung. Sollten Sie bei einem Zwischenschritt „hängen bleiben“, so greifen Sie aufdie vorgegebene Lösung zurück und versuchen einen neuen Start. Denn auch aus Fehlern lerntman.

� Verwendete AbkürzungenBd. 1 ! Band 1 des Lehr- und Lernsystems „Mathematik für Ingenieure und Naturwissen-

schaftler“FS ! Mathematische FormelsammlungDgl ! DifferentialgleichungLGS ! Lineares Gleichungssystem

VI Hinweise für den Benutzer

A Funktionen und Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1 Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 Gebrochenrationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Trigonometrische Funktionen und Arkusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4 Exponential- und Logarithmusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5 Hyperbel- und Areafunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6 Funktionen und Kurven in Parameterdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

7 Funktionen und Kurven in Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

B Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

1 Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611.1 Produktregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

1.2 Quotientenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

1.3 Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

1.4 Kombinationen mehrerer Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

1.5 Logarithmische Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

1.6 Implizite Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

1.7 Differenzieren in der Parameterform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

1.8 Differenzieren in Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

2 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 892.1 Einfache Anwendungen in Physik und Technik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

2.2 Tangente und Normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

2.3 Linearisierung einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

2.4 Krümmung einer ebenen Kurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

2.5 Relative Extremwerte, Wende- und Sattelpunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

2.6 Kurvendiskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

2.7 Extremwertaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

2.8 Tangentenverfahren von Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

2.9 Grenzberechnung nach Bernoulli und de L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

C Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

1 Integration durch Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

2 Partielle Integration (Produktintegration) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

VII

Inhaltsverzeichnis

3 Integration einer echt gebrochenrationalen Funktiondurch Partialbruchzerlegung des Integranden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

4 Numerische Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

5 Anwendungen der Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

5.1 Flächeninhalt, Flächenschwerpunkt, Flächenträgheitsmomente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

5.2 Rotationskörper

(Volumen, Mantelfläche, Massenträgheitsmoment, Schwerpunkt) . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

5.3 Bogenlänge, lineare und quadratische Mittelwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

5.4 Arbeitsgrößen, Bewegungen (Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung) . . . . . . . . . . 203

D Taylor- und Fourier-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

1 Potenzreihenentwickungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

1.1 Mac Laurin’sche und Taylor-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

1.2 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

2 Fourier-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

E Partielle Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

1 Partielle Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

2 Differentiation nach einem Parameter (Kettenregel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

3 Implizite Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

4 Totales oder vollständiges Differential einer Funktion

(mit einfachen Anwendungen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

5 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

5.1 Linearisierung einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

5.2 Lineare Fehlerfortpflanzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

5.3 Relative Extremwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

5.4 Extremwertaufgaben mit und ohne Nebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

F Mehrfachintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

1 Doppelintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

1.1 Doppelintegrale in kartesischen Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

1.2 Doppelintegrale in Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

2 Dreifachintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

2.1 Dreifachintegrale in kartesischen Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

2.2 Dreifachintegrale in Zylinderkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

VIII Inhaltsverzeichnis

G Gewöhnliche Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357

1 Differentialgleichungen 1. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357

1.1 Differentialgleichungen mit trennbaren Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357

1.2 Integration einer Differentialgleichung durch Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365

1.3 Lineare Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375

1.4 Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381

1.5 Exakte Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393

2 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten . . . . . . . . . 401

2.1 Homogene lineare Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401

2.2 Inhomogene lineare Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405

3 Integration von Differentialgleichungen 2. Ordnung durch Substitution . . . . . . . . . . . 425

4 Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten 429

4.1 Homogene lineare Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429

4.2 Inhomogene lineare Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433

5 Lösung linearer Anfangswertprobleme mit Hilfe der Laplace-Transformation 440

5.1 Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten . . . . . . . 440

5.2 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten . . . . . . . 447

H Vektorrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452

1 Vektoroperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452

2 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465

I Lineare Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489

1 Matrizen und Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489

1.1 Rechenoperationen mit Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489

1.2 Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497

1.3 Spezielle Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511

2 Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531

3 Eigenwertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553

Inhaltsverzeichnis IX

A Funktionen und Kurven

Hinweise für das gesamte Kapitel

Kürzen eines gemeinsamen Faktors wird durch Grauunterlegung gekennzeichnet.

1 Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen)

Hinweise

Lehrbuch: Band 1, Kapitel III.5

Formelsammlung: Kapitel III.4

A1

Zerlegen Sie die folgenden ganzrationalen Funktionen (Polynomfunktionen) in Linearfaktoren :

a) y ¼ � 2 x 3 þ 20 x 2 � 24 x � 144b) y ¼ 2 x 4 þ 12 x 3 � 44 x þ 30c) y ¼ 3 x 5 þ 3 x 4 � 36 x 3 � 36 x 2 þ 81 x þ 81d) y ¼ x 5 þ 4 x 4 þ 4 x 3 � 6 x 2 � 37 x � 30

Lösungsweg: Durch Probieren eine Nullstelle bestimmen, dann das Polynom mit Hilfe des Horner-Schemas reduzie-ren. Das Verfahren so lange wiederholen, bis man auf eine quadratische Gleichung stößt, aus der man die restlichenNullstellen erhält. Fehlen Potenzen (ist also das Polynom unvollständig), so sind im Horner-Schema die entsprechendenKoeffizienten gleich Null zu setzen.

a) Eine Nullstelle liegt bei x 1 ¼ � 2; das Polynom ist vollständig:

� 2 20 � 24 � 144x 1 ¼ � 2 4 � 48 144

� 2 24 � 72 0 ) 1. reduziertes Polynom: � 2 x 2 þ 24 x � 72

Restliche Nullstellen: � 2 x 2 þ 24 x � 72 ¼ 0 j : ð� 2Þ ) x 2 � 12 x þ 36 ¼ 0 )

x 2=3 ¼ 6 �ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi36 � 36p

¼ 6 �ffiffiffi0p¼ 6 � 0 ¼ 6

Nullstellen: x 1 ¼ � 2 ; x 2 ¼ 6 ; x 3 ¼ 6

Produktform (Zerlegung in Linearfaktoren):

y ¼ � 2 ðx þ 2Þ ðx � 6Þ ðx � 6Þ ¼ � 2 ðx þ 2Þ ðx � 6Þ 2

1

b) Eine Nullstelle liegt bei x 1 ¼ 1; das Polynom ist unvollständig (es fehlt das quadratische Glied):

2 12 0 � 44 30x 1 ¼ 1 2 14 14 � 30

2 14 14 � 30 0 ) 1. reduziertes Polynom: 2 x 3 þ 14 x 2 þ 14 x � 30

Eine weitere Nullstelle liegt bei x 2 ¼ 1; das 1. reduzierte Polynom ist vollständig :

2 14 14 � 30x 2 ¼ 1 2 16 30

2 16 30 0 ) 2. reduziertes Polynom: 2 x 2 þ 16 x þ 30

Restliche Nullstellen: 2 x 2 þ 16 x þ 30 ¼ 0 j : 2 ) x 2 þ 8 x þ 15 ¼ 0 )

x 3=4 ¼ � 4 �ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi16 � 15p

¼ � 4 �ffiffiffi1p¼ � 4 � 1 ) x 3 ¼ � 3 ; x 4 ¼ � 5

Nullstellen: x 1 ¼ 1 ; x 2 ¼ 1 ; x 3 ¼ � 3 ; x 4 ¼ � 5


y ¼ 2 ðx � 1Þ ðx � 1Þ ðx þ 3Þ ðx þ 5Þ ¼ 2 ðx � 1Þ 2 ðx þ 3Þ ðx þ 5Þ

c) Eine Nullstelle liegt bei x 1 ¼ � 1; das Polynom ist vollständig:

3 3 � 36 � 36 81 81x 1 ¼ � 1 � 3 0 36 0 � 81

3 0 � 36 0 81 0 ) 1. reduziertes Polynom: 3 x 4 � 36 x 2 þ 81

Die restlichen Nullstellen erhalten wir aus der bi-quadratischen Gleichung 3 x 4 � 36 x 2 þ 81 ¼ 0; die wir durchdie Substitution u ¼ x 2 wie folgt lösen:

3 x 4 � 36 x 2 þ 81 ¼ 0 j : 3 ) x 4 � 12 x 2 þ 27 ¼ 0 ) u 2 � 12 u þ 27 ¼ 0 )u 1=2 ¼ 6 �

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi36 � 27p

¼ 6 �ffiffiffi9p¼ 6 � 3 ) u 1 ¼ 9 ; u 2 ¼ 3

Rücksubstitution: x 2 ¼ u 1 ¼ 9 ) x 2=3 ¼ � 3 ; x 2 ¼ u 2 ¼ 3 ) x 4=5 ¼ �ffiffiffi3p

Nullstellen: x 1 ¼ � 1 ; x 2 ¼ 3 ; x 3 ¼ � 3 ; x 4 ¼ffiffiffi3p

; x 5 ¼ �ffiffiffi3p


y ¼ 3 ðx þ 1Þ ðx � 3Þ ðx þ 3Þ ðx �ffiffiffi3pÞ ðx þ

ffiffiffi3pÞ

d) Eine Nullstelle liegt bei x 1 ¼ � 1 ; das Polynom ist vollständig :

1 4 4 � 6 � 37 � 30x 1 ¼ � 1 � 1 � 3 � 1 7 30

1 3 1 � 7 � 30 0 ) 1. reduziertes Polynom:x 4 þ 3 x 3 þ x 2 � 7 x � 30

2 A Funktionen und Kurven

Eine weitere Nullstelle liegt bei x 2 ¼ 2 ; das 1. reduzierte Polynom ist vollständig:

1 3 1 � 7 � 30x 2 ¼ 2 2 10 22 30

1 5 11 15 0 ) 2. reduziertes Polynom: x 3 þ 5 x 2 þ 11 x þ 15

Eine weitere Nullstelle liegt bei x 3 ¼ � 3 ; das 2. reduzierte Polynom ist vollständig :

1 5 11 15

x 3 ¼ � 3 � 3 � 6 � 151 2 5 0 ) 3. reduziertes Polynom: x 2 þ 2 x þ 5

Es gibt keine weiteren Nullstellen, da die Gleichung x 2 þ 2 x þ 5 ¼ 0 keine reellen Lösungen hat. Der quadrati-sche Faktor x 2 þ 2 x þ 5 lässt sich daher nicht weiter zerlegen.


y ¼ ðx þ 1Þ ðx � 2Þ ðx þ 3Þ ðx 2 þ 2 x þ 5Þ

A2Wie lautet die Gleichung der in Bild A-1

skizzierten Polynomfunktion 3. Grades?

Bei x 1 ¼ � 3 liegt eine doppelte Nullstelle (relatives Minimum, Berührungspunkt), eine weitere einfache Nullstellegibt es bei x 2 (noch unbekannt, 0 < x 2 < 3). Wir verwenden den Produktansatz (Zerlegung in Linearfaktoren)

y ¼ a ðx þ 3Þ 2 ðx � x 2Þ ðmit a 6¼ 0Þund bestimmen die noch unbekannten Konstanten a und x 2 aus der Schnittstelle der Kurve mit der y-Achse unddem Kurvenpunkt A wie folgt:

y ðx ¼ 0Þ ¼ 36 ) a ð3Þ 2 ð� x 2Þ ¼ � 9 a x 2 ¼ 36 j : ð� 9Þ ) ðIÞ a x 2 ¼ � 4A ¼ ð3 ; � 72Þ ) a ð3 þ 3Þ 2 ð3 � x 2Þ ¼ 36 a ð3 � x 2Þ ¼ � 72 j : 36 ) ðIIÞ a ð3 � x 2Þ ¼ � 2

Gleichung (I) in Gleichung (II) einsetzen:

ðIIÞ ) a ð3 � x 2Þ ¼ 3 a � a x 2|{z} ¼ 3 a þ 4 ¼ � 2 ) 3 a ¼ � 6 ) a ¼ � 2� 4

ðIÞ ) a x 2 ¼ � 4 ) � 2 x 2 ¼ � 4 ) x 2 ¼ 2

Ergebnis: y ¼ � 2 ðx þ 3Þ 2 ðx � 2Þ ¼ � 2 ðx 2 þ 6 x þ 9Þ ðx � 2Þ ¼¼ � 2 ðx 3 þ 6 x 2 þ 9 x � 2 x 2 � 12 x � 18Þ ¼ � 2 ðx 3 þ 4 x 2 � 3 x � 18Þ

1 Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen) 3

y

x

3

–3

–72 A

36

Bild A-1

A3

y ¼ 2 x 3 þ 12 x 2 þ 19 x þ 9

a) Zeigen Sie mit Hilfe einer Koordinatentransformation , dass diese ganzrationale Funktion bezüglich des

Kurvenpunktes A ¼ ð� 2 ; 3Þ punktsymmetrisch verläuft.b) Wo liegen die Nullstellen?

c) Wie lautet die Produktdarstellung?

a) Wir führen eine Parallelverschiebung des x; y-Koordinatensystems durch und wählen dabei den Punkt A als Null-punkt des neuen u; v-Koordinatensystems. Die Transformationsgleichungen können wir an Hand einer Skizze direktablesen (Bild A-2):

u ¼ x þ 2 ; v ¼ y � 3bzw.

x ¼ u � 2 ; y ¼ v þ 3

Gleichung der Polynomfunktion im neuen u; v-System ðx durch u � 2 ; y durch v þ 3 ersetzenÞ :y ¼ 2 x 3 þ 12 x 2 þ 19 x þ 9 )

v þ 3 ¼ 2 ðu � 2Þ 3 þ 12 ðu � 2Þ 2 þ 19 ðu � 2Þ þ 9 ¼¼ 2 ðu 3 � 6 u 2 þ 12 u � 8Þ þ 12 ðu 2 � 4 u þ 4Þ þ 19 u � 38 þ 9 ¼¼ 2 u 3 � 12 u 2 þ 24 u � 16 þ 12 u 2 � 48 u þ 48 þ 19 u � 29 ¼ 2 u 3 � 5 u þ 3

Ergebnis: v ¼ f ðuÞ ¼ 2 u 3 � 5 uDiese Funktion enthält nur ungerade Potenzen (ungerade Funktion) und verläuft somit punktsymmetrisch :

f ð� uÞ ¼ 2 ð� uÞ 3 � 5 ð� uÞ ¼ � 2 u 3 þ 5 u ¼ � ð2 u 3 � 5 uÞ|fflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflffl} ¼ � f ðuÞf ðuÞ

b) Durch Probieren finden wir eine Nullstelle bei x 1 ¼ � 1 : Mit dem Horner-Schema erhalten wir das 1. reduziertePolynom und daraus die restlichen Nullstellen:

2 12 19 9

x 1 ¼ � 1 � 2 � 10 � 92 10 9 0 ) 1. reduziertes Polynom: 2 x 2 þ 10 x þ 9

Restliche Nullstellen: 2 x 2 þ 10 x þ 9 ¼ 0 j : 2 ) x 2 þ 5 x þ 4;5 ¼ 0 )

x 2=3 ¼ � 2;5 �ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi6;25 � 4;5

p¼ � 2;5 �

ffiffiffiffiffiffiffiffiffi1;75

p¼ � 2;5 � 1;3229 ) x 2 ¼ � 1;1771 ; x 3 ¼ � 3;8229

Nullstellen: x 1 ¼ � 1 ; x 2 ¼ � 1;1771 ; x 3 ¼ � 3;8229

c) Produktdarstellung: y ¼ 2 ðx þ 1Þ ðx þ 1;1771Þ ðx þ 3;8229Þ


A

0

P

v

v

xx

y

yu

u

2

3

–2

3

Bild A-2

A4Die Flugbahn eines Geschosses laute wie folgt:

y ¼ � 158ðx 2 � 100 x � 416Þ ðx; y in mÞ

(Abschussort: x ¼ 0Þ . Bestimmen Sie Flugweite W und Steighöhe (maximale Höhe) H .

Die Flugbahn ist eine nach unten geöffnete Parabel (Bild A-3). Wir berechnen zunächst die Nullstellen und den Schei-telpunkt S ¼ ðx 0; y 0Þ der Parabel und daraus dann die gesuchten Größen.

Nullstellen: y ¼ 0 )x 2 � 100 x � 416 ¼ 0 )

x 1=2 ¼ 50 �ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2500 þ 416

p¼ 50 �

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2916

p¼ 50 � 54

x 1 ¼ � 4 ; x 2 ¼ 104

Flugweite: W ¼ x 2 ¼ 104 ðin mÞ

Die Steighöhe H ist die Ordinate y 0 des Scheitelpunktes S ,der genau in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen liegt:

x 0 ¼ x 1 þ x 22

¼ � 4 þ 1042

¼ 50 ðin mÞ

H ¼ y 0 ¼ y ðx 0 ¼ 50Þ ¼ � 158ð50 2 � 100 � 50 � 416Þ ¼ 50;28 ðin mÞ

A5 Welche zur y-Achse spiegelsymmetrische Polynomfunktion 6. Grades besitzt bei x 1 ¼ � 2 ; x 2 ¼ 3 undx 3 ¼ 5 jeweils (einfache) Nullstellen und schneidet die y-Achse an der Stelle y ð0Þ ¼ 450?

Wegen der Spiegelsymmetrie können nur gerade Potenzen auftreten, die gesuchte Funktion hat also die Form

y ¼ a x 6 þ b x 4 þ c x 2 þ dZu jedem Kurvenpunkt gibt es ein Spiegelbild . Dies gilt auch für die Nullstellen , d. h. es gibt weitere Nullstellen beix 4 ¼ 2, x 5 ¼ � 3 und x 6 ¼ � 5. Damit kennen wir sämtliche Nullstellen der noch unbekannten Polynomfunktion6. Grades. Sie lauten also (in neuer paarweiser Nummerierung):

x 1=2 ¼ � 2 ; x 3=4 ¼ � 3 ; x 5=6 ¼ � 5

Als Lösungsansatz für die Funktionsgleichung verwenden wir jetzt zweckmäßigerweise den Produktansatz (mit a 6¼ 0Þ :y ¼ a ðx � 2Þ ðx þ 2Þ|fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} ðx � 3Þ ðx þ 3Þ|fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} ðx � 5Þ ðx þ 5Þ|fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} ¼ a ðx 2 � 4Þ ðx 2 � 9Þ ðx 2 � 25Þ

x 2 � 4 x 2 � 9 x 2 � 25

Die Berechnung von a erfolgt aus der Schnittstelle mit der y-Achse:

y ð0Þ ¼ 450 ) a ð� 4Þ ð� 9Þ ð� 25Þ ¼ � 900 a ¼ 450 ) a ¼ � 0;5

Ergebnis: y ¼ � 0;5 ðx 2 � 4Þ ðx 2 � 9Þ ðx 2 � 25Þ ¼ � 0;5 ðx 4 � 4 x 2 � 9 x 2 þ 36Þ ðx 2 � 25Þ ¼¼ � 0;5 ðx 4 � 13 x 2 þ 36Þ ðx 2 � 25Þ ¼ � 0;5 ðx 6 � 13 x 4 þ 36 x 2 � 25 x 4 þ 325 x 2 � 900Þ ¼¼ � 0;5 ðx 6 � 38 x 4 þ 361 x 2 � 900Þ ¼ � 0;5 x 6 þ 19 x 4 � 180;5 x 2 þ 450


Flugbahn

Abschussort

x1 x2x0 x

Sy

y0H

W

Bild A-3

A6

Kennlinie einer Glühlampe

Eine Glühlampe stellt einen nichtlinearen elektrischen Widerstand dar. Aus einer Messung sind die folgen-

den Strom-Spannungs-Wertepaare bekannt ( I : Stromstärke in Ampere; U : Spannung in Volt):

I /A 0 0,1 0,2 0,5

U /V 0 21,0 48,0 225,0

a) Bestimmen Sie aus diesen Messwerten ein Näherungspolynom 3. Grades für die unbekannte Kennlinie

U ¼ f ðIÞ der Glühlampe.b) Welcher Spannungsabfall ist bei einer Stromstärke von I ¼ 0;3 A zu erwarten?Anleitung: Verwenden Sie die Interpolationsformel von Newton (! Band 1, Kap. III.5.6 und FS,

Kap. III.4.7.3)

a) Interpolationsformel von Newton :

U ¼ f ðIÞ ¼ a 0 þ a 1 ðI � I 0Þ þ a 2 ðI � I 0Þ ðI � I 1Þ þ a 3 ðI � I 0Þ ðI � I 1Þ ðI � I 2Þ ¼¼ a 0 þ a 1 ðI � 0Þ þ a 2 ðI � 0Þ ðI � 0;1Þ þ a 3 ðI � 0Þ ðI � 0;1Þ ðI � 0;2Þ ¼¼ a 0 þ a 1 I þ a 2 I ðI � 0;1Þ þ a 3 I ðI � 0;1Þ ðI � 0;2Þ

Berechnung der Koeffizienten a 0; a 1; a 2 und a 3 aus dem Steigungs- oder Differenzenschema :

k I k U k

0

1

2

3

0

0,1

0,2

0,5

a 0

0

21

48

225

a 1

210

270

590

a 2

300

800

a 3

1000

Somit:

a 0 ¼ 0 ; a 1 ¼ 210 ;a 2 ¼ 300 ; a 3 ¼ 1000

Näherungspolynom 3. Grades für die unbekannte Kennlinie U ¼ f ðIÞ :U ¼ f ðIÞ ¼ 0 þ 210 I þ 300 I ðI � 0;1Þ þ 1000 I ðI � 0;1Þ ðI � 0;2Þ ¼¼ 210 I þ 300 I 2 � 30 I þ 1000 I ðI 2 � 0;1 I � 0;2 I þ 0;02Þ ¼¼ 180 I þ 300 I 2 þ 1000 I ðI 2 � 0;3 I þ 0;02Þ ¼¼ 180 I þ 300 I 2 þ 1000 I 3 � 300 I 2 þ 20 I ¼ 200 I þ 1000 I 3

Unter Berücksichtigung der Einheiten:

U ¼ f ðIÞ ¼ 200 VA� I þ 1000 V

A3� I 3

(siehe Bild A-4)

Anmerkung: Es ist kein Zufall, dass der Zusammenhang zwischenSpannung und Stromstärke punktsymmetrisch ist (nur ungeradePotenzen). Denn: Bei einer �nderung der Stromrichtung ändertsich lediglich die Richtung der abfallenden Spannung!

b) U ¼ f ðI ¼ 0;3 AÞ ¼ 200 VA� 0;3 A þ 1000 V

A 3� ð0;3 AÞ 3 ¼

¼ 60 V þ 27 V ¼ 87 V


250

200

150

100

50

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 I/A

U/V

Bild A-4

A7

Biegelinie eines Trägers

Ein im Punkt A eingespannter Träger mit einem

zusätzlichen Gelenklager (Punkt B) wird durch eine

konstante Streckenlast q belastet (Bild A-5). Die

Biegelinie lässt sich dabei durch die folgende Polynom-

funktion 4. Grades beschreiben (y ist die Durchbiegung

an der Stelle x):

y ðxÞ ¼ q l3

48E I� x 1 � 3 x

l

� �2þ 2 x

l

� �3" #

(0 � x � l; l : Länge des Trägers; E I : Biegesteifigkeit).

An welchen Stellen des Trägers findet keine Durchbiegung statt, wo ist die größte Durchbiegung?

Skizzieren Sie den Verlauf der Biegelinie (Wertetabelle erstellen).

Hinweis: Die Stelle der größten Durchbiegung lässt sich exakt nur mit Hilfe der Differentialrechnung

bestimmen.

Zur Vereinfachung führen wir eine neue Variable u ¼ x = l mit 0 � u � 1 ein. Die Gleichung der Biegelinie lautetdann (wir erweitern zunächst mit l ):

y ðxÞ ¼ q l3

48E I� x 1 � 3 x

l

� �2þ 2 x

l

� �3" #¼ q l

4

48E I� x

l

� �1 � 3 x

l

� �2þ 2 x

l

� �3" #)

y ðuÞ ¼ K � u ð1 � 3 u 2 þ 2 u 3Þ ¼ K � u ð2 u 3 � 3 u 2 þ 1Þ mit K ¼ q l4

48E I> 0 und 0 � u � 1

Berechnung der Nullstellen im Intervall 00 � u � 1Aus physikalischen Gründen ist einleuchtend, dass in den Randpunkten A und B keine Durchbiegung stattfindenkann. Somit sind u 1 ¼ 0 und u 2 ¼ 1 Nullstellen der Biegelinie. Sämtliche Nullstellen erhält man aus der Glei-chung y ðuÞ ¼ 0 , d. h.

K � u ð2 u 3 � 3 u 2 þ 1Þ ¼ 0u ¼ 0 ) u1 ¼ 02 u 3 � 3 u 2 þ 1 ¼ 0

u 1 ¼ 0 ist dabei die (bereits bekannte) Lösung der linearen Gleichung u ¼ 0 , u 2 ¼ 1 eine Lösung der kubischenGleichung 2 u 3 � 3 u 2 þ 1 ¼ 0 (ebenfalls schon bekannt). Die restlichen Lösungen der kubischen Gleichung erhal-ten wir mit Hilfe des Horner-Schemas durch Reduzierung des Polynoms 2 u 3 � 3 u 2 þ 1 (Abspaltung des Linearfak-tors u � 1; das Polynom ist unvollständig):

2 � 3 0 1u 2 ¼ 1 2 � 1 � 1

2 � 1 � 1 0 ) 1. reduziertes Polynom: 2 u 2 � u � 1

Restliche Nullstellen: 2 u 2 � u � 1 ¼ 0 j : 2 ) u 2 � 0;5 u � 0;5 ¼ 0 )

u 3=4 ¼ 0;25 �ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi0;0625 þ 0;5

p¼ 0;25 �

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi0;5625

p¼ 0;25 � 0;75 ) u 3 ¼ 1 ; u 4 ¼ � 0;5

Am Ort der Einspannung (Punkt A) liegt somit eine doppelte Nullstelle ðu 2=3 ¼ 1Þ , der Wert u 4 ¼ � 0;5 dagegenhat keine physikalische Bedeutung (er liegt außerhalb des Trägers).

Folgerung: Zwischen den Randpunkten A und B des Trägers gibt es keine weiteren Stellen ohne Durchbiegung.


q = const.

Träger

Biegelinie

AB

y l

x

Bild A-5

Ort der maximalen Durchbiegung

Eine exakte Berechnung dieser Stelle ist nur mit Hilfe der Differentialrechnung über die 1. und 2. Ableitung der Biege-linie möglich:

y ¼ K ð2 u 4 � 3 u 3 þ uÞ ) y 0 ¼ K ð8 u 3 � 9 u 2 þ 1Þ ; y 00 ¼ K ð24 u 2 � 18 uÞAus der notwendigen Bedingung y 0 ¼ 0 erhalten wir eine kubische Gleichung, von der wir bereits eine Lösungkennen (nämlich u 1 ¼ 1 ; an dieser Stelle besitzt die Biegelinie bekanntlich eine doppelte Nullstelle!) :

y 0 ¼ 0 ) K ð8 u 3 � 9 u 2 þ 1Þ ¼ 0 j : K ) 8 u 3 � 9 u 2 þ 1 ¼ 0Die restlichen Lösungen dieser Gleichung bestimmen wir mit Hilfe des Horner-Schemas (Abspalten des Linearfaktorsu � 1; das Polynom ist unvollständig):

8 � 9 0 1u 1 ¼ 1 8 � 1 � 1

8 � 1 � 1 0 ) 1. reduziertes Polynom: 8 u 2 � u � 1

Restliche Nullstellen: 8 u 2 � u � 1 ¼ 0 j : 8 ) u 2 � 18u � 1

8¼ 0 )

u 2=3 ¼ 116�

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi1

16 2þ 1

8

r¼ 1

16�

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi1 þ 3216 2

r¼ 1

16�

ffiffiffiffiffiffiffiffiffi33

16 2

r¼ 1 �

ffiffiffiffiffi33p

16¼ 1 � 5;7446

16)

u 2 ¼ 0;4215 ; u 3 ¼ � 0;2965 < 0 ðohne physikalische BedeutungÞ

Umformungen: Brüche des Radikanden gleichnamig machen (Hauptnenner: 16 2), den 2. Bruch also mit 2 � 16 ¼ 32erweitern, dann Teilwurzeln ziehen.

Wegen y 00 ðu 2 ¼ 0;4215Þ ¼ K � ð� 3;3231Þ ¼ � 3;3231K < 0 liegt ein Maximum vor. Die größte Durch-biegung findet daher an der Stelle u 2 ¼ 0;4215 und somit x 2 ¼ 0;4215 l statt. Sie hat den Werty ðu 2 ¼ 0;4215Þ ¼ 0;2600K. An der Stelle u 1 ¼ 1 (Punkt A) liegt ein Minimum (keine Durchbiegung).Der Kurvenverlauf (ermittelt mit Hilfe der folgenden Wertetabelle) bestätigt diese Ergebnisse (Bild A-6).

Wertetabelle (ohne den Faktor K > 0Þ

u 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

y 0 0,097 0,179 0,235 0,259 0,25 0,211 0,151 0,083 0,025 0


0,5 1 u

0,4215

y

Biegelinie

Bild A-6

2 Gebrochenrationale Funktionen

Hinweise

Lehrbuch: Band 1, Kapitel III.6

Formelsammlung: Kapitel III.5

A8y ¼ ðx � 1Þ ðx þ 5Þðx þ 1Þ 2 ðx � 3Þ

Bestimmen Sie folgende Eigenschaften: Definitionslücken, Nullstellen, Pole, Asymptoten, Schnittpunkt

mit der y-Achse. Skizzieren Sie den Kurvenverlauf.

Definitionslücken: Nenner ¼ 0 ) ðx þ 1Þ 2 ðx � 3Þ ¼ 0 ) x ¼ � 1 ; x ¼ 3

Nullstellen: Zähler ¼ 0 , Nenner 6¼ 0 ) ðx � 1Þ ðx þ 5Þ ¼ 0 ) x 1 ¼ 1 ; x 2 ¼ � 5

Pole: Nenner ¼ 0 , Zähler 6¼ 0 ) ðx þ 1Þ 2 ðx � 3Þ ¼ 0 ) x 3=4 ¼ � 1 ; x 5 ¼ 3Bei � 1 liegt ein Pol ohne Vorzeichenwechsel, bei 3 ein solcher mit Vorzeichenwechsel.

Polgeraden (senkrechte Asymptoten): x ¼ � 1 ; x ¼ 3

Verhalten der Funktion im „Unendlichen“

Die Funktion ist echt gebrochen (Zähler: quadratisch, Nenner: kubisch), sie nähert sich daher für x ! �1 asympto-tisch der x-Achse ðy ¼ 0Þ .

Asymptote im „Unendlichen“: y ¼ 0

Schnittpunkt mit der y-Achse: y ð0Þ ¼ ð�1Þ ð5Þð1Þ 2 ð� 3Þ ¼5

3

Kurvenverlauf: siehe Bild A-7

Die Kurve nähert sich für x ! �1 von unten der x-Achse, links von der Nullstelle x 2 ¼ � 5 besitzt sie dahernoch ein relatives Minimum (die genaue Lage lässt sich nur mit Hilfe der Differentialrechnung bestimmen).

2 Gebrochenrationale Funktionen 9

2

1

–1

–2

–8 –6 –4 –2 1 2 4 6 x

x = –1 x = 3

5/3

y

Bild A-7

A9

Diskutieren Sie den Verlauf der gebrochenrationalen Funktion

y ¼ 2 x4 � 2 x 3 � 20 x 2 þ 8 x þ 48

x 3 þ x 2 � 4 x � 4

(Definitionslücken, Nullstellen, Pole, Asymptoten, Schnittpunkt mit der y-Achse). Gibt es hebbare Defini-

tionslücken? Wie lautet gegebenenfalls die „erweiterte“ Funktion? Skizzieren Sie den Kurvenverlauf.

Sinnvoller Weise zerlegen wir zunächst Zähler und Nenner in Linearfaktoren.

Zähler: Z ðxÞ ¼ 2 x 4 � 2 x 3 � 20 x 2 þ 8 x þ 48 ¼ 0Durch Probieren findet man die Lösung x 1 ¼ 2, mit dem Horner-Schema wird dann reduziert :

2 � 2 � 20 8 48x 1 ¼ 2 4 4 � 32 � 48

2 2 � 16 � 24 0 ) 1. reduziertes Polynom: 2 x 3 þ 2 x 2 � 16 x � 24

Eine weitere Nullstelle liegt bei x 2 ¼ 3:

2 2 � 16 � 24x 2 ¼ 3 6 24 24

2 8 8 0 ) 2. reduziertes Polynom: 2 x 2 þ 8 x þ 8

Restliche Zählernullstellen: 2 x 2 þ 8 x þ 8 ¼ 0 j : 2 ) x 2 þ 4 x þ 4 ¼ ðx þ 2Þ 2 ¼ 0 ) x 3=4 ¼ � 2Zähler: Z ðxÞ ¼ 2 x 4 � 2 x 3 � 20 x 2 þ 8 x þ 48 ¼ 2 ðx � 2Þ ðx � 3Þ ðx þ 2Þ 2

Nenner: N ðxÞ ¼ x 3 þ x 2 � 4 x � 4 ¼ 0Durch Probieren erhält man die Lösung x 1 ¼ � 1, mit dem Horner-Schema wird reduziert :

1 1 � 4 � 4x 1 ¼ � 1 � 1 0 4

1 0 � 4 0 ) 1. reduziertes Polynom: x 2 � 4

Restliche Nennernullstellen: x 2 � 4 ¼ 0 ) x 2 ¼ 4 ) x 2=3 ¼ � 2Nenner: N ðxÞ ¼ x 3 þ x 2 � 4 x � 4 ¼ ðx þ 1Þ ðx � 2Þ ðx þ 2ÞDie (unecht) gebrochenrationale Funktion lässt sich damit auch wie folgt darstellen:

y ¼ 2 x4 � 2 x 3 � 20 x 2 þ 8 x þ 48

x 3 þ x 2 � 4 x � 4 ¼2 ðx � 2Þ ðx � 3Þ ðx þ 2Þ 2ðx þ 1Þ ðx � 2Þ ðx þ 2Þ ðx 6¼ � 1; 2; � 2Þ

Es gibt drei Definitionslücken bei � 1, 2 und � 2 (dort wird der Nenner jeweils gleich Null). Zähler und Nennerhaben bei x ¼ 2 und x ¼ � 2 gemeinsame Nullstellen, diese Definitionslücken sind jedoch beide behebbar, da diejeweiligen Grenzwerte vorhanden sind:

limx! 2

2 ðx � 2Þ ðx � 3Þ ðx þ 2Þ 2ðx þ 1Þ ðx � 2Þ ðx þ 2Þ ¼ limx! 2

2 ðx � 3Þ ðx þ 2Þ 2ðx þ 1Þ ðx þ 2Þ ¼

2 ð� 1Þ ð4Þ 2ð3Þ ð4Þ ¼ �

8

3

limx!�2

2 ðx � 2Þ ðx � 3Þ ðx þ 2Þ 2ðx þ 1Þ ðx � 2Þ ðx þ 2Þ ¼ limx!� 2

2 ð x � 2Þ ðx � 3Þ ðx þ 2Þ ðx þ 2Þðx þ 1Þ ðx � 2Þ ðx þ 2Þ ¼

¼ limx!�2

2 ðx � 2Þ ðx � 3Þ ðx þ 2Þðx þ 1Þ ðx � 2Þ ¼

2 ð� 4Þ ð� 5Þ ð0Þð� 1Þ ð� 4Þ ¼ 0


„Erweiterte“ Funktion und ihre Eigenschaften

Die „erweiterte“ Funktion y * erhalten wir durch kürzen der gemeinsamen Faktoren:

y ¼ 2 ðx � 2Þ ðx � 3Þ ðx þ 2Þ ðx þ 2Þðx þ 1Þ ðx � 2Þ ðx þ 2Þ ! y* ¼ 2 ðx � 3Þ ðx þ 2Þ

x þ 1 ðx 6¼ � 1Þ

Wir bestimmen zunächst die Eigenschaften dieser Funktion.

Definitionsbereich: x 6¼ � 1

Nullstellen: ðx � 3Þ ðx þ 2Þ ¼ 0 ) x 1 ¼ 3 ; x 2 ¼ � 2

Pole: x þ 1 ¼ 0 ) x 3 ¼ � 1 (Pol mit Vorzeichenwechsel)

Polgerade (senkrechte Asymptote): x ¼ � 1

Verhalten im „Unendlichen“

Die Funktion ist unecht gebrochenrational (Grad des Zählers > Grad des Nenners). Wir zerlegen sie durch Polynom-division wie folgt:

y * ¼ 2 ðx � 3Þ ðx þ 2Þx þ 1 ¼

2 ðx 2 � 3 x þ 2 x � 6Þx þ 1 ¼

2 ðx 2 � x � 6Þx þ 1 ¼

2 x 2 � 2 x � 12x þ 1

y * ¼ ð2 x 2 � 2 x � 12Þ : ðx þ 1Þ ¼ 2 x � 4 � 8x þ 1|fflffl{zfflffl}�ð2 x 2 þ 2 xÞ

� 4 x � 12 echt gebrochen�ð� 4 x � 4Þ

� 8Für große x-Werte (d. h. für x ! �1) wird der echt gebrochenrationale Anteil vernachlässigbar klein (er strebtgegen Null). Unsere Kurve nähert sich daher „im Unendlichen“ asymptotisch der Geraden y ¼ 2 x � 4.

Asymptote im Unendlichen: y ¼ 2 x � 4

Schnittpunkt mit der y-Achse: y ðx ¼ 0Þ ¼ � 12


Gezeichnet ist die „erweiterte“ Funktion; nimmt man die beiden dick gekennzeichneten Punkte heraus, erhält man denVerlauf der Ausgangsfunktion (Definitionslücken bei � 1, � 2 und 2).


x = –1

20

10

–10–12

–20

–5 –2

1 2

3 5

y x= 2 – 4

y

xBild A-8

A10

Bestimmen Sie den Verlauf der gebrochenrationalen Funktion

y ¼ 2 ðx2 � 6 x þ 9Þðx þ 3Þ 2 ðx 6¼ � 3Þ

aus den Null- und Polstellen, den Asymptoten und dem Schnittpunkt mit der y-Achse.

Wir zerlegen zunächst den Zähler Z ðxÞ in Linearfaktoren: Z ðxÞ ¼ 2 ðx 2 � 6 x þ 9Þ ¼ 2 ðx � 3Þ 2 . Somit gilt :

y ¼ 2 ðx2 � 6 x þ 9Þðx þ 3Þ 2 ¼

2 ðx � 3Þ 2ðx þ 3Þ 2 ðx 6¼ � 3Þ

Wir stellen fest: Zähler und Nenner haben keine gemeinsamen Nullstellen. Damit ergeben sich folgende Funktions-eigenschaften:

Nullstellen: Z ðxÞ ¼ 2 ðx � 3Þ 2 ¼ 0 ) x 1=2 ¼ 3(doppelte Nullstelle, d. h. Berührungspunkt und relativer Extremwert)

Pole: N ðxÞ ¼ ðx þ 3Þ 2 ¼ 0 ) x 3=4 ¼ � 3 (Pol ohne Vorzeichenwechsel)

Polgerade (senkrechte Asymptote): x ¼ � 3


Die Funktion ist unecht gebrochenrational ðZ ðxÞ und N ðxÞ sind jeweils Polynome 2. Grades), wir müssen sie daherzunächst durch Polynomdivision zerlegen:

y ¼ 2 ðx � 3Þ2

ðx þ 3Þ 2 ¼2 ðx 2 � 6 x þ 9Þðx þ 3Þ 2 ¼

2 x 2 � 12 x þ 18x 2 þ 6 x þ 9

y ¼ ð2 x 2 � 12 x þ 18Þ : ðx 2 þ 6 x þ 9Þ ¼ 2 � 24 xx 2 þ 6 x þ 9|fflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl}�ð2 x 2 þ 12 x þ 18Þ

� 24 x echt gebrochen

Im „Unendlichen“, d. h. für x ! �1 verschwindet der echt gebrochenrationale Anteil und die Kurve nähert sichasymptotisch der Geraden y ¼ 2 (Parallele zur x-Achse).Asymptote im „Unendlichen“: y ¼ 2Schnittpunkt mit der y-Achse: y ðx ¼ 0Þ ¼ 2



x = –3

y = 2

y

x–15 –10 –3 3 10 15

2

20

10

Bild A-9

A11

Diskutieren Sie den Verlauf der gebrochenrationalen Funktion

y ¼ ðx þ 1Þ2 ðx 2 þ x � 2Þ

x 3 þ 5 x 2 þ 6 x(Definitionslücken, Null- und Polstellen, Asymptoten, Schnittpunkt mit der y-Achse). Prüfen Sie, ob es

hebbare Definitionslücken gibt und skizzieren Sie die Funktion bzw. die „erweiterte“ Funktion.

Wir zerlegen zunächst Zähler Z ðxÞ und Nenner N ðxÞ in Linearfaktoren :

Zähler: Z ðxÞ ¼ ðx þ 1Þ 2 ðx 2 þ x � 2Þ ¼ 0Faktor x 2 þ x � 2 in Linearfaktoren zerlegen:

x 2 þ x � 2 ¼ 0 ) x 1=2 ¼ � 0;5 �ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi0;25 þ 2

p¼ � 0;5 �


p¼ � 0;5 � 1;5 )

x 1 ¼ 1 ; x 2 ¼ � 2Z ðxÞ ¼ ðx þ 1Þ 2 ðx 2 þ x � 2Þ ¼ ðx þ 1Þ 2 ðx � 1Þ ðx þ 2Þ

N ðxÞ ¼ x 3 þ 5 x 2 þ 6 x ¼ 0 ) x ðx 2 þ 5 x þ 6Þ ¼ 0x ¼ 0 ) x 1 ¼ 0x 2 þ 5 x þ 6 ¼ 0

Nenner:

x 2 þ 5 x þ 6 ¼ 0 ) x 2=3 ¼ � 2;5 �ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi6;25 � 6

p¼ � 2;5 �


p¼ � 2;5 � 0;5 )

x 2 ¼ � 2 ; x 3 ¼ � 3N ðxÞ ¼ x 3 þ 5 x 2 þ 6 x ¼ ðx � 0Þ ðx þ 2Þ ðx þ 3Þ ¼ x ðx þ 2Þ ðx þ 3Þ

Somit gilt:

y ¼ ðx þ 1Þ2 ðx 2 þ x � 2Þ

x 3 þ 5 x 2 þ 6 x ¼ðx þ 1Þ 2 ðx � 1Þ ðx þ 2Þ

x ðx þ 2Þ ðx þ 3ÞDefinitionslücken liegen bei 0, � 2 und � 3. Da Zähler und Nenner an der Stelle x ¼ � 2 eine gemeinsame ein-fache Nullstelle haben, ist der Grenzwert an dieser Stelle jedoch vorhanden:

limx!�2

ðx þ 1Þ 2 ðx � 1Þ ðx þ 2Þx ðx þ 2Þ ðx þ 3Þ ¼ limx!�2

ðx þ 1Þ 2 ðx � 1Þx ðx þ 3Þ ¼

ð� 1Þ 2 ð� 3Þ� 2 ð1Þ ¼

3

2

Die Definitionslücke bei x ¼ � 2 lässt sich daher beheben , in dem wir nachträglich diesen Grenzwert zum Funktions-wert an der Stelle x ¼ � 2 erklären. Wir erhalten dann die „erweiterte“ Funktion

y * ¼ ðx þ 1Þ2 ðx � 1Þ

x ðx þ 3Þ ðx 6¼ 0 ; � 3Þ

(sie entsteht aus der Ausgangsfunktion durch Kürzen des gemeinsamen Faktors x þ 2). Diese Funktion besitzt nurnoch zwei Definitionslücken bei 0 und � 3. Wir ermitteln nun die Eigenschaften der „erweiterten“ Funktion y *.

Definitionslücken: x ¼ 0 ; x ¼ � 3

Nullstellen: Z ðxÞ ¼ ðx þ 1Þ 2 ðx � 1Þ ¼ 0 ) x 1=2 ¼ � 1 ; x 3 ¼ 1Die doppelte Nullstelle x 1=2 ¼ � 1 ist zugleich ein Berührungspunkt mit der x-Achse und somit ein relativer Extrem-wert .

Pole: N ðxÞ ¼ x ðx þ 3Þ ¼ 0 ) x 4 ¼ 0 ; x 5 ¼ � 3 (bei Pole mit Vorzeichenwechsel)

Polgeraden (senkrechte Asymptoten): x ¼ 0 ðy-AchseÞ ; x ¼ � 3



Die Funktion ist unecht gebrochenrational (Grad des Zählers > Grad des Nenners), wir zerlegen sie daher zunächst mitHilfe der Polynomdivision in einen ganzrationalen und einen echt gebrochenrationalen Anteil :

y * ¼ ðx þ 1Þ2 ðx � 1Þ

x ðx þ 3Þ ¼ðx 2 þ 2 x þ 1Þ ðx � 1Þ

x 2 þ 3 x ¼x 3 þ 2 x 2 þ x � x 2 � 2 x � 1

x 2 þ 3 x ¼x 3 þ x 2 � x � 1

x 2 þ 3 x

y * ¼ ðx 3 þ x 2 � x � 1Þ : ðx 2 þ 3 xÞ ¼ x � 2 þ 5 x � 1x 2 þ 3 x|fflfflfflfflffl{zfflfflfflfflffl}�ðx 3 þ 3 x 2Þ

� 2 x 2 � x � 1 echt gebrochen�ð� 2 x 2 � 6 xÞ

5 x � 1

Für x ! �1 verschwindet der echt gebrochenrationale Anteil, die Kurve nähert sich dann asymptotisch der Geradeny ¼ x � 2.

Asymptote im „Unendlichen“: y ¼ x � 2

Schnittpunkt mit der y-Achse: nicht vorhanden (Polstelle bei x ¼ 0Þ

Funktionsverlauf: siehe Bild A-10

Gezeichnet wurde die „erweiterte“ Funktion y *.Die Ausgangsfunktion y hat an der fett gezeich-neten Stelle ðx ¼ � 2Þ eine weitere Definitions-lücke, ansonsten aber den gleichen Verlauf wie die„erweiterte“ Funktion.

A12

Eine gebrochenrationale Funktion besitzt an den Stellen x 1 ¼ � 2 und x 2 ¼ 5 einfache Nullstellenund bei x 3 ¼ 0 und x 4 ¼ 6 Pole 1. Ordnung. Für große x-Werte, d. h. für x ! �1 nähert siesich asymptotisch der Geraden y ¼ � 2. Durch welche Gleichung lässt sich diese Funktion beschrei-ben? Skizzieren Sie den Kurvenverlauf.

Die Nullstellen der gesuchten Funktion sind die Nullstellen des Zählerpolynoms Z ðxÞ, die Pole die Nullstellen desNennerpolynoms N ðxÞ (gemeinsame Nullstellen gibt es nicht). Wir wählen daher für Zähler und Nenner den Produkt-ansatz :

y ¼ Z ðxÞN ðxÞ ¼

a ðx þ 2Þ ðx � 5Þðx � 0Þ ðx � 6Þ ¼

a ðx þ 2Þ ðx � 5Þx ðx � 6Þ ðx 6¼ 0 ; 6Þ

Die Asymptote im „Unendlichen“, deren Gleichung bekannt ist ðy ¼ � 2Þ , erhält man durch Polynomdivision. Sieentspricht dabei dem ganzrationalen Anteil, der bei dieser Division entsteht:

y ¼ a ðx þ 2Þ ðx � 5Þx ðx � 6Þ ¼

a ðx 2 þ 2 x � 5 x � 10Þx 2 � 6 x ¼ a �

x 2 � 3 x � 10x 2 � 6 x


10

5

–5

–10x = –3

y x= – 2

–8 –6 –4 –2 –1 2 4 x

y

Bild A-10

Polynomdivision (der Faktor a 6¼ 0 wird zunächst weggelassen):

ðx 2 � 3 x � 10Þ : ðx 2 � 6 xÞ ¼ 1 þ 3 x � 10x 2 � 6 x�ðx 2 � 6 xÞ

3 x � 10Damit erhalten wir die folgende Zerlegung:

y ¼ a � x2 � 3 x � 10x 2 � 6 x ¼ a 1 þ

3 x � 10x 2 � 6 x

� �|fflfflfflfflffl{zfflfflfflfflffl}

echt gebrochen

Im „Unendlichen“ verschwindet der echt gebrochenrationale Anteil und die Funktion nähert sich asymptotisch derGeraden y ¼ a (Parallele zur x-Achse). Sie ist identisch mit der Geraden y ¼ � 2, woraus folgt: a ¼ � 2. Diegesuchte Funktionsgleichung lautet somit:

y ¼ � 2 ðx þ 2Þ ðx � 5Þx ðx � 6Þ ¼

� 2 ðx 2 � 3 x � 10Þx 2 � 6 x ðx 6¼ 0 ; 6Þ


A13

Eine gebrochenrationale Funktion besitze folgende Eigenschaften:

Doppelte Nullstelle bei x 1=2 ¼ 2 ;Einfache Polstellen bei x 3 ¼ � 4; x 4 ¼ 0 und x 5 ¼ 10 ;Punkt P ¼ ð1; 0;2Þ liegt auf der Kurve.

a) Wie lautet die Funktionsgleichung?

b) Skizzieren Sie den Kurvenverlauf.

a) Die Nullstellen der gesuchten Funktion sind die Nullstellen des Zählerpolynoms, die Polstellen dagegen die Null-stellen des Nennerpolynoms. Die Linearfaktorenzerlegung von Zähler und Nenner ist somit (bis auf einen nochunbekannten Faktor a 6¼ 0) bekannt. Wir wählen daher den folgenden Ansatz (Zähler und Nenner jeweils in derProduktform):

y ¼ a � ðx � 2Þ ðx � 2Þðx þ 4Þ ðx � 0Þ ðx � 10Þ ¼ a �ðx � 2Þ 2

x ðx þ 4Þ ðx � 10Þ ðx 6¼ � 4 ; 0 ; 10Þ

Die Konstante a bestimmen wir aus dem Kurvenpunkt P ¼ ð1 ; 0;2Þ :

y ðx ¼ 1Þ ¼ 0;2 ) a � ð� 1Þ2

1 ð5Þ ð� 9Þ ¼ 0;2 ) �1

45a ¼ 0;2 ) a ¼ � 9

y ¼ � 9 � ðx � 2Þ2

x ðx þ 4Þ ðx � 10ÞFunktionsgleichung:


y

x

x = 6

2 4 5 6 8 10

10/3

6

4

2

–2

–4

–6

–6 –4

–2

y = –2

x = 0

Bild A-11

b) Nullstellen: x 1=2 ¼ 2 (Berührungspunkt und relativer Extremwert)Pole: x 3 ¼ � 4 ; x 4 ¼ 0 ; x 5 ¼ 10 (alle mit Vorzeichenwechsel)Asymptote im „Unendlichen“: y ¼ 0 (die Funktion ist echt gebrochenrational)Schnittpunkt mit der y-Achse: nicht vorhanden (Polstelle bei x ¼ 0ÞKurvenverlauf: siehe Bild A-12

Es ist hier sinnvoll, einige Kurvenpunkte zu berechnen (insbesondere im Intervall � 4 < x < 0 wissen wir wenigüber den Verlauf der Kurve).

Wertetabelle:

x y

� 10 1;08� 8 1;56� 5 5;88� 3 � 5;77� 2 � 3� 1 � 2;45

1 0;2

5 0;36

8 1;69

9 3;77

11 � 4;4215 � 1;0720 � 0;61

A14

Eine gebrochenrationale Funktion y ¼ Z ðxÞ =N ðxÞ schneide die y-Achse bei 3. Sämtliche Nullstellendes Zählerpolynoms Z ðxÞ und des Nennerpolynoms N ðxÞ sind bekannt:

Z ðxÞ : x 1 ¼ 2 ; x 2 ¼ � 1 ; N ðxÞ : x 3=4 ¼ 1 ; x 5 ¼ 4a) Bestimmen Sie die Gleichung dieser Funktion und skizzieren Sie den Kurvenverlauf.

b) Wie lautet die Partialbruchzerlegung der Funktion?

a) Zähler und Nenner können in der Produktform angesetzt werden, da alle Nullstellen des Zähler- und Nennerpoly-noms bekannt sind:

y ¼ a ðx � 2Þ ðx þ 1Þðx � 1Þ ðx � 1Þ ðx � 4Þ ¼a ðx � 2Þ ðx þ 1Þðx � 1Þ 2 ðx � 4Þ ðx 6¼ 1 ; 4Þ

Die Berechnung der Konstanten a 6¼ 0 erfolgt aus dem (bekannten) Schnittpunkt mit der y-Achse:

y ðx ¼ 0Þ ¼ 3 ) a ð� 2Þ ð1Þð� 1Þ 2 ð� 4Þ ¼� 2 a� 4 ¼

a

2¼ 3 ) a ¼ 6

Funktionsgleichung : y ¼ 6 ðx � 2Þ ðx þ 1Þðx � 1Þ 2 ðx � 4Þ ðx 6¼ 1 ; 4Þ

Eigenschaften der Funktion

Nullstellen: x 1 ¼ 2 ; x 2 ¼ � 1Pole: x 3=4 ¼ 1 (Pol ohne Vorzeichenwechsel); x 5 ¼ 4 (Pol mit Vorzeichenwechsel)Polgeraden (senkrechte Asymptoten): x ¼ 1 ; x ¼ 4


6

4

2

–2

–4

–6

2 4 8 12

16

–8 –4

x = 10

x

y

x = –4

Bild A-12

Asymptote im „Unendlichen“: y ¼ 0 (die Funktion ist echt gebrochenrational)Schnittpunkt mit der y-Achse: y ðx ¼ 0Þ ¼ 3Kurvenverlauf: siehe Bild A-13

Wertetabelle:

x y

� 10 � 0;38� 8 � 0;43� 6 � 0;49� 4 � 0;54� 2 � 0;44

3 � 65 6;75

10 1;09

b) 1. Schritt: Berechnung der Nennernullstellen

N ðxÞ ¼ ðx � 1Þ 2 ðx � 4Þ ¼ 0 ) x 1=2 ¼ 1 ; x 3 ¼ 42. Schritt: Zuordnung der Partialbrüche

x 1=2 ¼ 1 ðdoppelte NullstelleÞ ! Ax � 1 þB

ðx � 1Þ 2

x 3 ¼ 4 ðeinfache NullstelleÞ ! Cx � 4

3. Schritt: Partialbruchzerlegung (Ansatz)

6 ðx � 2Þ ðx þ 1Þðx � 1Þ 2 ðx � 4Þ ¼

A

x � 1 þB

ðx � 1Þ 2 þC

x � 44. Schritt: Alle Brüche werden gleichnamig gemacht, d. h. auf den Hauptnenner ðx � 1Þ 2 ðx � 4Þ gebracht.Dazu müssen die Teilbrüche der rechten Seite der Reihe nach mit ðx � 1Þ ðx � 4Þ, ðx � 4Þ bzw. ðx � 1Þ 2erweitert werden:

6 ðx � 2Þ ðx þ 1Þðx � 1Þ 2 ðx � 4Þ ¼

A ðx � 1Þ ðx � 4Þ þ B ðx � 4Þ þ C ðx � 1Þ 2ðx � 1Þ 2 ðx � 4Þ

Da die Nenner beider Seiten übereinstimmen, gilt dies auch für die Zähler:

6 ðx � 2Þ ðx þ 1Þ ¼ A ðx � 1Þ ðx � 4Þ þ B ðx � 4Þ þ C ðx � 1Þ 2

Um die drei Konstanten A; B und C zu bestimmen, benötigen wir drei Gleichungen. Diese erhalten wir durchEinsetzen der Werte x ¼ 1; x ¼ 4 (es sind die Nullstellen des Nenners) und x ¼ 0:

x ¼ 1 6 ð� 1Þ ð2Þ ¼ � 3B ) � 3B ¼ � 12 ) B ¼ 4

x ¼ 4 6 ð2Þ ð5Þ ¼ 9C ) 9C ¼ 60 ) C ¼ 609¼ 20

3

x ¼ 0 6 ð� 2Þ ð1Þ ¼ A ð� 1Þ ð� 4Þ � 4B þ C ) 4A � 4B þ C ¼ 4A � 4 � 4 þ 203¼ � 12 )

4A ¼ � 12 þ 16 � 203¼ 4 � 20

3¼ 12 � 20

3¼ � 8

3) A ¼ � 2

3

Ergebnis: y ¼ 6 ðx � 2Þ ðx þ 1Þðx � 1Þ 2 ðx � 4Þ ¼ �2

3� 1x � 1 þ

4

ðx � 1Þ 2 þ20

3� 1x � 4


10

5

3

–5

–10

–6 –4 –2 –1 2 4 6 8 x

y

x = 4

x = 1

Bild A-13

Magnetfeld in der Umgebung einer stromdurchflossenen elektrischen Doppelleitung

Die in Bild A-14 skizzierte elektrische Doppelleitung besteht aus zwei langen parallelen Leitern, deren

Durchmesser gegenüber dem Leiterabstand d ¼ 2 a vernachlässigbar klein ist. Die Ströme in denbeiden Leitern L 1 und L 2 haben die gleiche Stärke I, fließen jedoch in entgegengesetzte Richtun-

gen. Der Verlauf der magnetischen Feldstärke H längs der Verbindungslinie der beiden Leiterquer-

schnitte (x-Achse) wird durch die Gleichung

H ðxÞ ¼ I ap� 1a 2 � x 2 ; j x j 6¼ a

beschrieben. Bestimmen Sie die wesentlichen Eigenschaften dieser gebrochenrationalen Funktion und

skizzieren Sie den Feldstärkeverlauf.

A15

Definitionsbereich: j x j 6¼ a (am Ort der beiden Leiter verschwindet der Nenner)Symmetrie: Nur gerade Potenzen ) Spiegelsymmetrie zu H-AchseNullstellen: keine

Pole: a 2 � x 2 ¼ 0 ) x 1=2 ¼ � a (Pole mit Vorzeichenwechsel)Physikalische Deutung: Die magnetische Feldstärke wird unendlich groß am Ort der Leiter und ändert ihr Vorzeichen(Richtungsänderung), wenn man auf die andere Seite des Leiters geht!

Polgeraden (senkrechte Asymptoten): x ¼ � a

H ðx ¼ 0Þ ¼ I ap� 1a 2¼ I

p aSchnittpunkt mit H-Achse:


Die Funktion ist echt gebrochenrational (Zähler: konstante Funktion; Nenner: quadratische Funktion), für große Wertevon x, d. h in großer Entfernung von der Doppelleitung nimmt die magnetische Feldstärke H rasch gegen Null ab.

Asymptote im „Unendlichen“: H ¼ 0 (x-Achse)

Verlauf der magnetischen Feldstärke: siehe Bild A-15

Deutung aus physikalischer Sicht

Kleinster Wert (Minimum) zwischen den beiden Leitern

genau in der Mitte ðx ¼ 0Þ : H ðx ¼ 0Þ ¼ Ip a

H nimmt in Richtung der Leiter zunächst zu, wird am Ortder Leiter unendlich groß ðPolstellen x 1=2 ¼ � aÞ undfällt dann nach außen hin gegen Null ab, wobei sich gleich-zeitig die Richtung des Feldstärkevektors umkehrt :

H ðxÞ > 0 für j x j < aH ðxÞ < 0 für j x j > a


y

x x a=

L1 L2

x a= –

2a

H x( )

xBild A-14

x

x a=

L1 L2

–a

x a= –

H

I a/π

a

Bild A-15

3 Trigonometrische Funktionen und Arkusfunktionen

Hinweise

Lehrbuch: Band 1, Kapitel III.9 und 10

Formelsammlung: Kapitel III.7 und 8

A16 Zeige: sin ðarccos xÞ ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi1 � x 2

p; � 1 � x � 1

Wir setzen y ¼ arccos x ðmit 0 � y � pÞ: Durch Umkehrung folgt x ¼ cos y . Dann gilt :

sin ðarccos xÞ ¼ sin y ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi1 � cos 2 y

q¼

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi1 � x 2

p(unter Berücksichtigung der trigonometrischen Bezeichnung sin 2 y þ cos 2 y ¼ 1 und sin y � 0 im Intervall0 � y � pÞ . Damit ist die Formel bewiesen.

Welche Lösungen besitzen die folgenden trigonometrischen Gleichungen?

a) 2 ðsin x þ cos 3 xÞ ¼ � sin x � sin ð2 xÞb) cos ð2 xÞ ¼ 2 � sin 2 x

A17

a) Unter Verwendung der trigonometrischen Formeln sin 2 x þ cos 2 x ¼ 1 und sin ð2 xÞ ¼ 2 � sin x � cos x (! FS)werden beide Seiten zunächst wie folgt umgeformt:

Linke Seite: 2 ðsin x þ cos 3 xÞ ¼ 2 � sin x þ 2 � cos 3 x ¼ 2 � sin x þ 2 � cos x � cos 2 x ¼|fflffl{zfflffl}1 � sin 2 x

¼ 2 � sin x þ 2 � cos x ð1 � sin 2 xÞ ¼ 2 � sin x þ 2 � cos x � 2 � cos x � sin 2 xRechte Seite: � sin x � sin ð2 xÞ ¼ � sin x � ð2 � sin x � cos xÞ ¼ � 2 � cos x � sin 2 x|fflfflffl{zfflfflffl}

2 � sin x � cos xDie trigonometrische Gleichung 2 ðsin x þ cos 3 xÞ ¼ � sin x � sin ð2 xÞ geht damit über in:

2 � sin x þ 2 � cos x � 2 � cos x � sin 2 x ¼ � 2 � cos x � sin 2 x ) 2 � sin x þ 2 � cos x ¼ 0 j : 2 )

sin x þ cos x ¼ 0 ) sin x ¼ � cos x j : cos x ) sin xcos x

¼ tan x ¼ � 1

ðunter Berücksichtigung der trigonometrischen Beziehung tan x ¼ sin x = cos xÞDie Lösungen dieser Gleichung lassen sich anhand einer Skizze leicht bestimmen (Bild A-16). Sie entsprechen denSchnittstellen der Tangenskurve mit der Geraden y ¼ � 1 (Parallele zur x-Achse).

3 Trigonometrische Funktionen und Arkusfunktionen 19

Der Schnittpunkt A liegt dabei an der Stelle x ¼ arctan ð� 1Þ ¼ �p = 4, die weiteren Schnittpunkte im Abstandvon ganzzahligen Vielfachen der Periode p ¼ p links und rechts von A . Wir erhalten somit folgende Lösungen:

x k ¼ arctan ð� 1Þ þ k � p ¼ �p = 4 þ k � p ðmit k 2 ZÞb) Unter Verwendung der trigonometrischen Beziehungen cos ð2 xÞ ¼ cos 2 x � sin 2 x und sin 2 x þ cos 2 x ¼ 1ð! FSÞ lässt sich die linke Seite der Gleichung wie folgt umformen:

cos ð2 xÞ ¼ cos 2 x � sin 2 x ¼ ð1 � sin 2 xÞ � sin 2 x ¼ 1 � 2 � sin 2 x|fflffl{zfflffl}1 � sin 2 x

Somit folgt aus cos ð2 xÞ ¼ 2 � sin 2 x :

1 � 2 � sin 2 x ¼ 2 � sin 2 x ) 4 � sin 2 x ¼ 1 ) sin 2 x ¼ 0;25 ) sin x ¼ �ffiffiffiffiffiffiffiffiffi0;25

p¼ � 0;5

Wir untersuchen zunächst die Lösungen dieser beiden einfachen trigonometrischen Gleichungen im Perioden-intervall 0 � x < 2p . Sie entsprechen den Schnittstellen der Sinuskurve mit den beiden zur x-Achse parallelenGeraden y ¼ 0;5 bzw. y ¼ � 0;5 (siehe Bild A-17).

sin x ¼ 0;5 Die Umkehrung dieser Gleichung im Intervall 0 � x � p liefert die Lösung x ¼ arcsin 0;5 ¼ p = 6(Punkt A), eine weitere Lösung liegt spiegelsymmetrisch zur eingezeichneten Symmetrieachse an der Stellex ¼ p � arcsin 0;5 (Punkt B). Somit ergeben sich für die Gleichung sin x ¼ 0;5 insgesamt folgende Lösungen (mitk 2 Z):

x 1 k ¼ arcsin 0;5 þ k � 2p ¼ p = 6 þ k � 2p

x 2 k ¼ ðp � arcsin 0;5Þ ¼ p � p6

� �þ k � 2p ¼ 5

6p þ k � 2p

Denn wegen der Periodizität der Sinusfunktion wiederholen sich die Schnittstellen im Abstand von ganzzahligenVielfachen der Periode p ¼ 2p .


–π π

π

2π

A

y = –1

y x= tanarctan (–1)

x

y

Bild A-16

Symmetrieachse

π + arcsin 0,5y = sin x

π 2π

A*B*

1

–1y = –0,5

arcsin 0,5

y = 0,5A B

y

x

2 – arcsin 0,5π

π – arcsin 0,5

Bild A-17

sin x ¼ � 0;5 Die Lösungen dieser Gleichung erhalten wir aus den Lösungen der ersten Gleichung sin x ¼ 0;5durch eine einfache Symmetriebetrachtung. Die im Periodenintervall 0 � x < 2p gelegenen Schnittstellen A * undB * liegen bezüglich der Nullstelle x ¼ p der Sinusfunktion punktsymmetrisch zu den Punkten A und B (sieheBild A-17). Der Schnittpunkt B * liegt daher an der Stelle x ¼ p þ arcsin 0;5; der Schnittpunkt A * beix ¼ 2p � arcsin 0;5.

Weitere Schnittstellen ergeben sich, wenn wir wiederum ganzzahlige Vielfache der Periode p ¼ 2p addieren odersubtrahieren (mit k 2 Z):

x 3 k ¼ ðp þ arcsin 0;5Þ þ k � 2p ¼ p þ p6

� �þ k � 2p ¼ 7

6p þ k � 2p

x 4 k ¼ ð2p � arcsin 0;5Þ þ k � 2p ¼ 2p � p6

� �þ k � 2p ¼ 11

6p þ k � 2p

Lösungsmenge der Ausgangsgleichung (mit k 2 Z):

x 1 k ¼ p6þ k � 2p ; x 2 k ¼ 5

6p þ k � 2p ; x 3 k ¼ 7

6p þ k � 2p ; x 4 k ¼ 11

6p þ k � 2p

Bestimmen Sie sämtliche Nullstellen der periodischen Funktion

y ¼ 5 � sin 12

x

� �� 3 � cos 1

2x � p

3

� �a) unter Verwendung des Additionstheorems der Kosinusfunktion,

b) mit Hilfe des Zeigerdiagramms.

Hinweis zu b): Fassen Sie die beiden Summanden als gleichfrequente (mechanische) Schwingungen

auf ðx : Zeit; y : Auslenkung; Kreisfrequenz: w ¼ 1 = 2Þ und ersetzen Sie die beidenEinzelschwingungen durch eine resultierende Sinusschwingung gleicher Frequenz,

deren Nullstellen dann leicht bestimmt werden können.

A18

y ¼ 0 ) 5 � sin 12

x

� �� 3 � cos 1

2x � p

3

� �¼ 0 )a) Nullstellen:

5 � sin 12

x

� �|fflffl{zfflffl} ¼ 3 � cos

1

2x � p

6

� �|{z} ) 5 � sin u ¼ 3 � cos u �

p

6

� �Substitution : u ¼ 1

2x

� �u u

Mit dem Additionstheorem der Kosinusfunktion ð! FSÞ erhalten wir:5 � sin u ¼ 3 � cos ðu � p = 6Þ ¼ 3 ½ cos u � cos ðp = 6Þ þ sin u � sin ðp = 6Þ � ¼

¼ 3 � cos ðp = 6Þ � cos u þ 3 � sin ðp = 6Þ � sin u ¼ 2;5981 � cos u þ 1;5 � sin u )

3;5 � sin u ¼ 2;5981 � cos u j : 3;5 � cos u ) sin ucos u

¼ 2;59813;5

) tan u ¼ 0;7423

(unter Verwendung der trigonometrischen Beziehung tan u ¼ sin u = cos u)Die Lösungen der Gleichung tan u ¼ 0;7423 entsprechen den Schnittstellen der Tangenskurve mit der zuru-Achse parallelen Geraden y ¼ 0;7423 und lassen sich aus Bild A-18 leicht ermitteln:


Lösung im Periodenintervall �p = 2 < u < p = 2 (Punkt A in Bild A-18): u ¼ arctan 0;7423 ¼ 0;6386Weitere Lösungen liegen im Abstand von ganzzahligen Vielfachen der Periode p ¼ p :

u k ¼ arctan 0;7423 þ k � p ¼ 0;6386 þ k � p ðk 2 ZÞDurch Rücksubstitution erhalten wir die gesuchten Nullstellen ðx ¼ 2 uÞ :

x k ¼ 2 u k ¼ 2 ð0;6386 þ k � pÞ ¼ 1;2772 þ k � 2p ðk 2 ZÞ

b) Die gleichfrequenten Einzelschwingungen

y 1 ¼ 5 � sin 12

x

� �und y 2 ¼ � 3 � cos 1

2x � p

3

� �¼ � 3 � cos 1

2x � p

6

� �ergeben bei ungestörter �berlagerung eine gleichfrequente resultierende Schwingung in der Sinusform

y ¼ y 1 þ y 2 ¼ A � sin 12

x þ j� �

ðmit A > 0Þ

Zunächst aber müssen wir die Kosinusschwingung y 2 in eine Sinus-schwingung mit positiver Amplitude verwandeln. Dies geschieht be-sonders anschaulich mit Hilfe des Zeigerdiagramms (Bild A-19):

Drehwinkel: 240 ¼b 43p

y 2 ¼ � 3 � cos 12

x � p6

� �¼ 3 � sin 1

2x þ 4

3p

� �Auf die Berechnung der Amplitude A können wir verzichten, dadiese keinen Einfluss auf die Lage der Nullstellen hat.

Berechnung des Nullphasenwinkels j

Mit A 1 ¼ 5; A 2 ¼ 3; j 1 ¼ 0 und j 2 ¼ 240 folgt dann:

tan j ¼ A 1 � sin j 1 þ A 2 � sin j 2A 1 � cos j 1 þ A 2 � cos j 2

¼ 5 � sin 0 þ 3 � sin 240

5 � cos 0 þ 3 � cos 240 ¼0 � 2;59815 � 1;5 ¼ � 0;7423

Aus dem Zeigerdiagramm entnehmen wir, dass der resultierende Zeiger im 4. Quadranten liegt (siehe Bild A-20).Somit gilt:

tan j ¼ � 0;7423 )j ¼ arctan ð� 0;7423Þ ¼ � 0;6386


y

u

y u= tan

y = 0,7423

–π π

π

2π

arctan0,7423

A

Bild A-18

+ cos

+ sin

–3 · cos

3 · sin

30°3

y2

240°

Bild A-19

5 y1

y2y

3 30°

f

A

Bild A-20

Resultierende Schwingung: y ¼ y 1 þ y 2 ¼ A � sin 12

x � 0;6386� �

ðmit A > 0Þ

Die Nullstellen der Funktion sin u liegen bekanntlich an den Stellen u k ¼ k � p mit k 2 Z . Somit besitzt dieresultierende Schwingung genau dort Nullstellen, wo ihr Argument u ¼ x = 2 � 0;6386 einen der Werte k � pannimmt:

1

2x k � 0;6386 ¼ k � p ) 1

2x k ¼ 0;6386 þ k � p ) x k ¼ 1;2772 þ k � 2p ðmit k 2 ZÞ

Das Weg-Zeit-Gesetz einer periodischen Bewegung laute wie folgt:

s ðtÞ ¼ 2 � sin 2 t � cos t ; t � 0(s : Auslenkung; t : Zeit). Zu welchen Zeiten hat die Auslenkung den Wert s ¼ 2?

A19

Uns interessieren also die positiven Lösungen der trigonometrischen Gleichung

2 � sin 2 t � cos t ¼ 2 :Umformung mit Hilfe des „trigonometrischen Pythagoras“ sin 2 t þ cos 2 t ¼ 1 führt zu:

2 � sin 2 t � cos t ¼ 2 ) 2 ð1 � cos 2 tÞ � cos t ¼ 2 ) 2 � 2 � cos 2 t � cos t ¼ 2 )

� 2 � cos 2 t � cos t ¼ 0 ) cos t ð� 2 � cos t � 1Þ ¼ 0cos t ¼ 0� 2 � cos t � 1 ¼ 0

cos t ¼ 0 ) Lösungen sind die positiven Nullstellen des Kosinus : t 1 k ¼ p2þ k � p ðk 2 NÞ

� 2 � cos t � 1 ¼ 0 oder cos t ¼ � 0;5

Die Lösungen dieser Gleichung entsprechen den Schnittpunkten der Kosinuskurve mit der zur Zeitachse parallelenGeraden y ¼ � 0;5 (Bild A-21):

Im Periodenintervall 0 � t < 2p gibt es genau zwei Lösungen (Punkte A und B). Die erste Lösung (Punkt A) er-halten wir aus der Gleichung cos t ¼ � 0;5 durch Umkehrung : t ¼ arccos (� 0;5). Die zweite Lösung (Punkt B) liegtbezüglich der eingezeichneten Symmetrieachse spiegelsymmetrisch zur ersten Lösung bei t ¼ 2p � arccos (� 0;5).Wegen der Periodizität der Kosinusfunktion liegen weitere Lösungen rechts der Punkte A bzw. B im Abstand jeweilsganzzahliger Vielfacher der Periode p ¼ 2p. Damit ergeben sich insgesamt folgende Lösungen (zu diesen Zeitpunktenhat die Auslenkung jeweils den Wert s ¼ 2 ; k 2 N):

t 1 k ¼ arccos ð� 0;5Þ þ k � 2p ¼ 23p þ k � 2p

t 2 k ¼ ð2p � arccos ð� 0;5ÞÞ þ k � 2p ¼ 2p � 23p

� �þ k � 2p ¼ 4

3p þ k � 2p


2 – arccos (–0,5)πarccos (–0,5)

π 2π 3π

A B

y = cos t

y = –0,5

t

y

Symmetrieachse

p = 2π

1

–1

Bild A-21

Bestimmen Sie auf elementarem Wege die Nullstellen und relativen Extremwerte der Funktion

y ¼ sin x þffiffiffi3p� cos x .

Hinweis: Bringen Sie die Funktion zunächst auf die Sinusform y ¼ A � sin ðx þ jÞ mit A > 0und 0 � j < 2p .

A20

Wir fassen die Funktionsgleichung als eine harmonische Schwingung auf, die durch ungestörte �berlagerung zweiergleichfrequenter Schwingungen entstanden ist (Periode: p ¼ 2p ; Winkelgeschwindigkeit: w ¼ 1). Aus demZeigerdiagramm können wir die „Amplitude“ A und den „Nullphasenwinkel“ j leicht berechnen“ (siehe Bild A-22):

y 1 ¼ 1 � sin x

y 2 ¼ffiffiffi3p� cos x

y ¼ y 1 þ y 2 ¼ A � sin ðx þ jÞ

Satz des Pythagoras (im grau unterlegten Dreieck):

A 2 ¼ 1 2 þ ðffiffiffi3pÞ 2 ¼ 1 þ 3 ¼ 4 ) A ¼

ffiffiffi4p¼ 2

tan j ¼ffiffiffi3p

1¼

ffiffiffi3p

) j ¼ arctanffiffiffi3p¼ 60 ¼b p = 3

y ¼ y 1 þ y 2 ¼ sin x þffiffiffi3p� cos x ¼ 2 � sin ðx þ p = 3Þ

Die Resultierende ist also eine um p = 3 nach links verschobene Sinuskurve mit der „Amplitude“ A ¼ 2 und derPeriode p ¼ 2p (siehe Bild A-23)

Die Lage der Nullstellen und relativen Extremwerte lässt sich unmittelbar ablesen ðk 2 ZÞ :Nullstellen: x 1 k ¼ �p = 3 þ k � pRelative Maxima: x 2 k ¼ p = 6 þ k � 2p ; y 2 k ¼ 2

Relative Minima: x 3 k ¼ 76p þ k � 2p ; y 3 k ¼ � 2


+cos

+sin1

A

y

y1

y2

f

33

Bild A-22

Max Max

MinMin

7·

2·

p = 2π

2

–2

x

y

5·π6

π6

π3

π3

π3

–

Bild A-23

�berlagerung gleichfrequenter Wechselspannungen

Wie groß ist der Scheitelwert u 0 und der Nullphasenwinkel j einer Wechselspannung, die durch

ungestörte �berlagerung der gleichfrequenten Wechselspannungen

u 1 ðtÞ ¼ 100 V � sin ðw t � p = 6Þ und u 2 ðtÞ ¼ 200 V � cos ðw t � p = 4Þmit w ¼ 100 s � 1 entsteht?a) Zeichnerische Lösung im Zeigerdiagramm.

b) Rechnerische Lösung.

Hinweis: Verwenden Sie den Lösungsansatz

u ðtÞ ¼ u 1 ðtÞ þ u 2 ðtÞ ¼ u 0 � sin ðw t þ jÞ mit u 0 > 0 und 0 � j < 2p .

A21

a) Zeigerdiagramm: Bild A-24

abgelesene Werte:

u 0 246 Vj 22

b) Die kosinusförmige Wechselspannung u 2 ðtÞ bringen wir zunächst mit Hilfe des Zeigerdiagramms (Bild A-24) aufdie Sinusform (Drehung des entsprechenden Sinuszeigers aus der unverschobenen Position um 45 ¼b p = 4):

u 2 ðtÞ ¼ 200 V � cos ðw t � p = 4Þ ¼ 200 V � sin ðw t þ p = 4Þ

Berechnung von Scheitelwert u 0 und Nullphasenwinkel j

Somit gilt: u 01 ¼ 100 V ; u 02 ¼ 200 V ; j 1 ¼ �p = 6 ¼b � 30 ; j 2 ¼ p = 4 ¼b 45 u 20 ¼ u 201 þ u 202 þ 2 u 01 � u 02 � cos ðj 2 � j 1Þ ¼¼ ð100 VÞ 2 þ ð200 VÞ 2 þ 2 � ð100 VÞ � ð200 VÞ � cos ð45 þ 30 |fflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflffl} Þ ¼

75

¼ ð10 000 þ 40 000 þ 10 352;76Þ V 2 ¼ 60 352;76 V 2 ) u 0 ¼ 245;67 V

tan j ¼ u 01 � sin j 1 þ u 02 � sin j 2u 01 � cos j 1 þ u 02 � cos j 2

¼ ð100 VÞ � sin ð� 30Þ þ ð200 VÞ � sin 45

ð100 VÞ � cos ð� 30 Þ þ ð200 VÞ � cos 45 ¼

¼ ð� 50 þ 141;4214Þ Vð86;6025 þ 141;4214Þ V ¼91;4214

228;0239¼ 0;4009

Da der gesuchte Nullphasenwinkel j im 1. Quadranten liegt (siehe Zeigerdiagramm, Bild A-24), gilt :

j ¼ arctan 0;4009 ¼ 21;85 ¼b 0;3813Ergebnis: u ðtÞ ¼ u 1 ðtÞ þ u 2 ðtÞ ¼ 245;67 V � sin ðw t þ 0;3813Þ ðmit w ¼ 100 s � 1Þ


+cos

+sin

200 V

u 2

u

u045°

30°100 V

u1

f

Bild A-24

Superposition gedämpfter Schwingungen

Die gedämpfte mechanische Schwingung mit der Funktionsgleichung

y ðtÞ ¼ 5 cm � e � 0;1 t = s � ½ 2 � sin ð2 s � 1 � tÞ þ 3 � cos ð2 s � 1 � tÞ � ; t � 0

kann als �berlagerung zweier gleichfrequenter gedämpfter Schwingungen aufgefasst werden. Bringen

Sie diese Schwingung mit Hilfe des Zeigerdiagramms auf die „Sinusform“

y ðtÞ ¼ A � e � 0;1 t = s � sin ð2 s � 1 � t þ jÞ ; t � 0mit A > 0 und 0 � j < 2p .

A22

Aus der Gleichung

5 cm � e � 0;1 t = s � ½ 2 � sin ð2 s � 1 � tÞ þ 3 � cos ð2 s � 1 � tÞ � ¼ A � e � 0;1 t = s � sin ð2 s � 1 � t þ jÞfolgt unmittelbar durch Kürzen der e-Funktion:

5 cm ½ 2 � sin ð2 s � 1 � tÞ þ 3 � cos ð2 s � 1 � tÞ � ¼ 10 cm � sin ð2 s � 1 � tÞ þ 15 cm � cos ð2 s � 1 � tÞ ¼¼ A � sin ð2 s � 1 � t þ jÞ

Die beiden gleichfrequenten ungedämpften Einzelschwingungen

x 1 ðtÞ ¼ 10 cm � sin ð2 s � 1 � tÞ und x 2 ðtÞ ¼ 15 cm � cos ð2 s � 1 � tÞkönnen durch die resultierende Sinusschwingung

x ðtÞ ¼ x 1 ðtÞ þ x 2 ðtÞ ¼ A � sin ð2 s � 1 � t þ jÞersetzt werden, deren Amplitude A und Nullphasenwinkel j sich wie folgt aus dem Zeigerdiagramm berechnenlassen (Bild A-25):


A 2 ¼ ð10 cmÞ 2 þ ð15 cmÞ 2 ¼ ð100 þ 225Þ cm 2 ¼ 325 cm 2

A ¼ffiffiffiffiffiffiffiffi325p

cm ¼ 18;03 cm

tan j ¼ 15 cm10 cm

¼ 1;5 ) j ¼ arctan 1;5 ¼ 56;31 ¼b 0;983Somit gilt:

x ðtÞ ¼ x 1 ðtÞ þ x 2 ðtÞ ¼ 18;03 cm � sin ð2 s � 1 � t þ 0;983Þ ; t � 0

Darstellung der gedämpften Schwingung in der Sinusform :

y ðtÞ ¼ e � 0;1 t = s � x ðtÞ ¼ e � 0;1 t = s � 18;03 cm � sin ð2 s � 1 � t þ 0;983Þ ¼¼ 18;03 cm � e � 0;1 t = s � sin ð2 s � 1 � t þ 0;983Þ


10 cm

10 cm

15 cm 15 cm

+cos

+sinx1

xx2

A

f

Bild A-25

Zünd- und Löschspannung einer Glimmlampe

Eine Glimmlampe liegt an der Wechselspannung

u ðtÞ ¼ 360 V � sin ð100p s � 1 � tÞ ; t � 0 s

Sie beginnt zu leuchten, wenn die Zündspannung u Z ¼ 180 V erreicht wird und sie erlischt beiUnterschreitung der Löschspannung u L ¼ 90 V. Wie lange leuchtet sie (bezogen auf eine Periode derangelegten Wechselspannung)?

A23

Wir führen folgende Bezeichnungen ein (siehe hierzu Bild A-26):

t 1 : Die Lampe beginnt zu dieser Zeit erstmals zu leuchten, d. h. u ðt 1Þ ¼ 180 Vt 2 : Die Lampe erlischt erstmals, d. h. u ðt 2Þ ¼ 90 Vt 3 : Die Lampe beginnt wieder zu leuchten, d. h. u ðt 3Þ ¼ � 180 Vt 4 : Die Lampe erlischt wieder, d. h. u ðt 4Þ ¼ � 90 Vt *: Die Spannung an der Lampe erreicht erstmals den Wert 90 V, d. h. u ð t *Þ ¼ 90 V.

Sie leuchtet also in den beiden (wegen der Symmetrie der Sinuskurve) gleichlangen Zeitintervallen t 1 � t � t 2 undt 3 � t � t 4 , insgesamt also während der Zeit D t ¼ 2 ðt 2 � t 1Þ (innerhalb einer Periode der angelegten Wechsel-spannung).

Berechnung der Zeitpunkte t1 und t2

Kreisfrequenz der Wechselspannung: w ¼ 100p s � 1

Periode (Schwingungsdauer) der Wechselspannung: T ¼ 2pw¼ 2 p

100 p s � 1¼ 0;02 s

Zeitpunkt t 1 : u ðt 1Þ ¼ 180 V )360 V � sin ð100p s � 1 � t 1Þ ¼ 180 V j : 360 V ) sin x ¼ 0;5|fflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl}

x

Durch Umkehrung und anschließende Rücksubstitution folgt:

x ¼ arcsin 0;5 ¼ p6) 100 p s � 1 � t 1 ¼ p

6) t 1 ¼ 1

600s ¼ 0;001 667 s

Zeitpunkt t 2 : u ðt 2Þ ¼ 90 V )360 V � sin ð100p s � 1 � t 2Þ ¼ 90 V j : 360 V ) sin y ¼ 0;25|fflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl}

y


t /st1t* t2

t3 t4

0,01

0,02

U /V

360

180

90

–90

–180

–360

Bild A-26

Beim Auflösen dieser Gleichung müssen wir beachten, dass die Löschspannung von 90 V erstmals bereits zumfrüheren Zeitpunkt t * < t 1 erreicht wird (siehe Bild A-26). Diesen Zeitpunkt t * erhalten wir wie folgt durchUmkehrung der Gleichung sin y * ¼ 0;25 und anschließender Rücksubstitution :

sin y * ¼ 0;25 ) y * ¼ arcsin 0;25 ¼ 0;252 68 ) 100p s � 1 � t * ¼ 0;252 68 ) t * ¼ 0;000 804 sAus Bild A-26 entnehmen wir dann für den gesuchten Zeitpunkt t 2 :

t 2 ¼ 0;01 s � t * ¼ ð0;01 � 0;000 804Þ s ¼ 0;009 196 s

„Leuchtintervall“ D t == 2 (t 2 — t 1)

D t ¼ 2 ðt 2 � t 1Þ ¼ 2 ð0;009 196 � 0;001 667Þ s ¼ 0;015 058 sIm Verhältnis zur Periode T der angelegten Wechselspannung:

D t

T¼ 0;015 058 s

0;02 s¼ 0;752 9 75;3%

Die Glimmlampe leuchtet also während einer Periode zu rund 3 = 4 dieser Zeit.

a) Wie lauten die Gleichungen der in Bild A-27 durch Zeiger

dargestellten gleichfrequenten Schwingungen (Kreisfrequenz:

w; t � 0 s)?

b) Bestimmen Sie zeichnerisch die durch ungestörte Super-

position erzeugte resultierende Schwingung.

c) Wie lautet die Gleichung der resultierenden Schwingung

(elementare Berechnung ohne fertige Formeln).

Hinweis: Alle Schwingungen sind in der Sinusform mit positiver Amplitude anzugeben.

A24

a) Zeiger y 1 : A 1 ¼ 5 cm ; j 1 ¼ 45 ¼b p = 4 ) y 1 ¼ 5 cm � sin ðw t þ p = 4Þ ; t � 0 sZeiger y 2 : A 2 ¼ 5 cm ; j 2 � 15 ¼b � p = 12 ) y 2 ¼ 5 cm � sin ðw t � p = 12Þ ; t � 0 s

b) Zeigerdiagramm: siehe Bild A-28

abgelesene Werte:

A 8;7 cmj 15

c) Darstellung der resultierenden Schwingung in der Sinusform :

y ¼ y 1 þ y 2 ¼ A � sin ðw t þ jÞ ðmit A > 0 und t � 0Þ


+cos

+sin

y2

y1

5 cm

5cm

45°15°

Bild A-27

y1

y

y2

45°

15°+sin

+cos

A

f

5cm

5 cm

Bild A-28

Das Parallelogramm ist eine Raute (Rhombus) mit der Seitenlänge 5 cm und Innenwinkeln von 60 und 120 (siehe Bild A-29). Da die Diagonalen einer Raute bekanntlich die Innenwinkel halbieren, muss der gesuchtePhasenwinkel j ¼ 15 ¼b p = 12 betragen. Die Berechnung der Amplitude A erfolgt aus dem in Bild A-29 grauunterlegten gleichschenkligen Dreieck mit Hilfe des Kosinussatzes (! FS):

A 2 ¼ ð5 cmÞ 2 þ ð5 cmÞ 2 � 2 � ð5 cmÞ � ð5 cm Þ � cos 120 ¼

¼ ð25 þ 25 þ 25Þ cm 2 ¼ 75 cm 2 ) A ¼ffiffiffiffiffi75p

cm ¼ 8;66 cm

Ergebnis: y ¼ y 1 þ y 2 ¼ 8;66 cm � sin ðw t þ p = 12Þ ; t � 0 s

Gegeben sind die gleichfrequenten Sinusschwingungen mit den Gleichungen

y 1 ¼ 5 cm � sin ð2 s � 1 � t þ p = 3Þ und y 2 ¼ A 2 � cos ð2 s � 1 � t þ 4p = 3Þ

ðt � 0 sÞ. Bestimmen Sie (zeichnerisch und rechnerisch) die Amplitude A 2 > 0 so, dass die durchSuperposition entstandene resultierende Schwingung zu einem unverschobenen Sinuszeiger mit positi-

ver Amplitude A führt. Wie groß ist A?

A25

Für die resultierende Schwingung gilt also ðj ¼ 0Þ :y ¼ y 1 þ y 2 ¼ 5 cm � sin ð2 s � 1 � t þ p = 3Þ þ A 2 � cos ð2 s � 1 � t þ 4p = 3Þ ¼ A � sin ð2 s � 1 � tÞ

Zeigerdiagramm: siehe Bild A-30

abgelesene Werte:

A 10 cmA 2 8;7 cm

Berechnung der Amplituden A2 und A

Aus dem Zeigerdiagramm entnehmen wir: die Zeiger y 1 und y 2 stehen senkrecht aufeinander, das Parallelogrammist somit ein Rechteck und wir können daher auf fertige Berechnungsformeln verzichten. Aus dem grau unterlegtenrechtwinkligen Dreieck folgt dann:

tan 60 ¼ A 25 cm

) A 2 ¼ 5 cm � tan 60 ¼ 8;66 cm

cos 60 ¼ 5 cmA

) A ¼ 5 cmcos 60

¼ 10 cm

Resultierende Schwingung: y ¼ y 1 þ y 2 ¼ 10 cm � sin ð2 s � 1 � tÞ ; t � 0 s


120°

120°

60°

60°

5 cm

5 cm

5cm

5cm

A

Bild A-29

+ cos

+ sin

5cm

5cm

A

240°

y2

A 2

A 2

y1

y

60°

Bild A-30

�berlagerung sinusförmiger Wechselströme

Wie lauten die Funktionsgleichungen der in Bild A-31 dargestellten Wechselströme? Durch welche

Gleichung lässt sich der Gesamtstrom beschreiben, der durch ungestörte �berlagerung der beiden

Einzelströme entsteht?

Hinweis: Sämtliche Ströme sind in der Sinusform i ðtÞ ¼ i 0 � sin ðw t þ jÞ anzugeben mit i 0 > 0und 0 � j < 2p .

A26

Wechselstrom i 1 (t) == i 01 � sin (w 1 t + j 1)Scheitelwert: i 01 ¼ 6 A ; Nullphasenwinkel: j 1 ¼ 0 ; Schwingungsdauer: T 1 ¼ p s

Kreisfrequenz: w 1 ¼ 2pT 1¼ 2 p

p s¼ 2 s � 1

Somit gilt:

i 1 ðtÞ ¼ i 01 � sin ðw 1 t þ j 1Þ ¼ 6 A � sin ð2 s � 1 � tÞ ; t � 0 s

Wechselstrom i 2 (t) == i 02 � sin (w 2 t + j 2)

Scheitelwert: i 02 ¼ 4 A ; Schwingungsdauer: T 2 ¼ p s ; Kreisfrequenz: w 2 ¼ 2pT 2¼ 2 p

p s¼ 2 s � 1

Die Sinuskurve

i 2 ðtÞ ¼ i 02 � sin ðw 2 t þ j 2Þ ¼ 4 A � sin ð2 s � 1 � t þ j 2Þist auf der Zeitachse um t 0 ¼ p = 4 s nach rechts verschoben. Daraus lässt sich der Nullphasenwinkel j 2 wie folgtbestimmen:

i 2 ðt 0 ¼ p = 4 sÞ ¼ 0 ) 4 A � sin 2 s � 1 � p4

s þ j 2� �

¼ 4 A � sin p2þ j 2

� �¼ 0 j : 4 A )

sinp

2þ j 2

� �¼ 0 ) p

2þ j 2 ¼ 0 ) j 2 ¼ � p

2|fflfflfflfflffl{zfflfflfflfflffl}0

Somit gilt:

i 2 ðtÞ ¼ 4 A � sin ð2 s � 1 � t � p = 2Þ ; t � 0 s


ππ π t /s

6

4

–4

–6

i1

i2

i /A

π4

π2

54

34

Bild A-31

�berlagerung der Teilströme i 1 (t) und i 2 (t)

Da die Teilströme gleiche Schwingungsdauer und damit gleiche Kreisfrequenz haben ðw 1 ¼ w 2 ¼ 2 s � 1Þ , entstehtbei der �berlagerung ebenfalls ein Wechselstrom der Kreisfrequenz w ¼ 2 s � 1 :

i ðtÞ ¼ i 1 ðtÞ þ i 2 ðtÞ ¼ 6 A � sin ð2 s � 1 � tÞ þ 4 A � sin ð2 s � 1 � t � p = 2Þ ¼ i 0 � sin ð2 s � 1 � t þ jÞDie Berechnung des Scheitelwertes i 0 und des Nullphasenwinkels j erfolgt anhand des Zeigerdiagramms (Bild A-32).Die Zeiger der beiden Teilströme stehen aufeinander senkrecht, das Parallelogramm ist somit ein Rechteck. i 0 und jlassen sich daher elementar wie folgt berechnen:


i 20 ¼ ð4 AÞ 2 þ ð6 AÞ 2 ¼ ð16 þ 36Þ A 2 ¼ 52 A 2

i 0 ¼ffiffiffiffiffi52p

A ¼ 7;211 A

Phasenwinkel: j ¼ 2p � a

tan a ¼ 4 A6 A

¼ 23) a ¼ arctan 2

3

� �¼ 0;588 ) j ¼ 2p � a ¼ 2p � 0;588 ¼ 5;695

Ergebnis: i ðtÞ ¼ i 1 ðtÞ þ i 2 ðtÞ ¼ 7;211 A � sin ð2 s � 1 � t þ 0;5695Þ ; t � 0 s

Zentrifugalkraftregler

Bild A-33 zeigt den prinzipiellen Aufbau eines Zentrifugalkraftreglers. An den (als masselos angenom-

menen) Armen der Länge 2a hängt jeweils eine punktförmige Masse m, die mit der Winkelgeschwin-

digkeit w um die eingezeichnete Drehachse rotiert. Zwischen dem Winkel j, unter dem sich infolge

der Zentrifugalkräfte die Arme gegenüber der Achse einstellen, und der Winkelgeschwindigkeit w be-

steht dabei der folgende Zusammenhang:

cos j ¼ g2 aw 2

ðg : ErdbeschleunigungÞ

a) Zeigen Sie, dass zum Abheben der Arme eine Mindestwinkelgeschwindigkeit w 0 nötig ist.

b) Skizzieren Sie die Abhängigkeit des Winkels j von der Winkelgeschwindigkeit w. Welcher maxi-

male Winkel j max ist möglich?

~GG : Gewichtskraft

~FFZ : Zentrifugalkraft

~FFr : Resultierende Kraft

A27


+cos

+sin

i0

i

4A 4A

6A

6A

ai1

i2

Bild A-32

Drehachse

v

a

a

a a

a

a

f f

f

mm

r rFr

FZ

G

Bild A-33

a) Der kleinstmögliche Winkel ist j ¼ 0 . Zu ihm gehört der Mindestwert w 0 der Winkelgeschwindigkeit:

cos 0 ¼ g2 aw 20

¼ 1 ) w 20 ¼g

2 a) w 0 ¼

ffiffiffiffiffiffiffig

2 a

r|fflffl{zfflffl}

1

b) Wir lösen die Gleichung cos j ¼ g2 aw 2

nach j auf und erhalten die gesuchte Beziehung zwischen j und w

in Form einer Arkusfunktion :

j ¼ arccos g2 aw 2

� �¼ arccos g = 2 a

w 2

� �¼ arccos w

20

w 2

� �¼ arccos w 0

w

� �2; w � w 0


Wertetabelle: Wir setzen x ¼ w =w 0 und berechnen einige Werte der Funktion

j ¼ arccos w 0w

� �2¼ arccos 1ðw =w 0Þ 2

� �¼ arccos ð1 = x 2Þ

Documents

Lothar Papula Mathematik für Ingenieure und ... · Lothar Papula Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Klausur- und Übungsaufgaben Über 600 Aufgaben mit ausführlichen