Macintosh HD:Rykoku final:rootashino/pdf/ryukoku.pdfまえがきこの講演録は，龍谷大学科学技術共同研究センターの支援による2002 年度連続講演会で大学院修士課程の

ウェーブレット解析とその応用

芦野隆一・守本晃

まえがき

この講演録は，龍谷大学科学技術共同研究センターの支援による 2002 年度連続講演会で大学院修士課程の

学生に分かるように基礎からウェーブレット解析とその応用に関する話をして欲しいと龍谷大学理工学部

の松本和一郎先生から依頼されて行った連続講演ノートをもとにして，講演会では触れられなかったことも

加筆してまとめたものである．

ウェーブレット解析の応用については大阪教育大学情報科学の守本晃氏に講演して頂いた．その内容は

守本氏によって本講演録の最後の第 5 章と第 6 章にまとめられている．

現在のウェーブレット理論は 1980年代初頭にモルレー（Morlet）が考えた一定の形をした短い波（wavelets

of constant shape）を使った新しい時間周波数解析に始まるとされている．ウェーブレット解析とはフー

リエ解析のように三角関数の波の重ね合せで関数（信号）を表現するのではなく，短い波（wavelets）の重

ね合せで関数（信号）を表現するというものである．時間周波数解析には不確定性原理という大きな制限が

あって，時間と周波数の両方の情報を同時に詳しく知ることはできないことが証明されている．したがって，

必要とされる時間の情報と周波数の情報を得ることができるように，考える問題に応じて適切な時間周波数

解析を行うことが大切である．ウェーブレット解析は時間周波数の窓がパラメータにより，低周波の運動に

対しては長時間観測でき，高周波の運動に対しては短時間観測できるように自動的に適応するところに特徴

がある．このため，各種のデータに対し，時間周波数解析を自動的にかつ適切に数値計算によって行うこと

ができるのである．講演では，このウェーブレット解析の数学的背景を説明し，いくつかの応用例を通して

ウェーブレット解析でどのようなことができるのかを述べた．特に工学的に重要であり最近数学的にも盛ん

に研究されている時間周波数解析とフレームについてはかなり詳しく説明した．

結果だけ述べる場合や必要と思われるときには一般の n 次元を扱ったが，これは読者に混乱を与えるか

もしれない．その理由のひとつはウェーブレット解析は厳密には時間周波数解析ではなく，時間スケール解

析と呼ばれるべきだということを強調したかったからである．短時間フーリエ変換は n 次元 (n > 1) の場

合には周波数は n 変数であるのに対し，連続ウェーブレット変換はスケールが次元によらず 1 変数であり，

変数の次元が一致しない．したがって，n 次元連続ウェーブレット変換では周波数領域における解像度が不

十分となるが，n 次元ウェーブレット展開では，これを複数のウェーブレット関数を使うことによって克服

しているのである．

また講演では，まずスケーリング関数を定義し，スケーリング関数から多重解像度解析を構成し，多重解

像度解析の構造を調べることにより正規直交ウェーブレットを構成した．これはいわばベクトル空間の基底

を決めて議論するやり方にあたるが，通常の多重解像度解析から得られるスケーリング関数を使って正規直

交ウェーブレットを構成する方法よりも構成的でわかりやすいと思ったからである．

i

ii まえがき

思い返してみると，この龍谷大学における講演は改めてウェーブレット解析について考え直す機会を与え

てくれた．講演の出席者には私の古くからの友人達も含まれ，講演はちょうど大学院生時代のセミナーのよ

うにゆっくりと討論しながら進めることができた．この講演録には出席者達の多くのアイデアが含まれてお

り，このような形でまとめられたのは出席者達のおかげであり心より感謝する．

最後にこのようなゆったりとしたセミナー形式の連続講演会の必要性を我々に訴え，連続講演会を毎年

オーガナイズしてくださっている松本和一郎先生と財政的支援をしている龍谷大学に厚く御礼申し上げる．

2003 年 2 月

芦野隆一

目次

第 1章時間周波数解析 1

1.1 フーリエ変換とは . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 フーリエ変換の基本的性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 フーリエ変換の固有関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 不確定性原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.5 短時間フーリエ変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

第 2章連続ウェーブレット変換 15

2.1 連続ウェーブレット変換と時間周波数の窓 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 カルデロンの再生公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3 逆連続ウェーブレット変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4 連続ウェーブレット変換の応用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

第 3章フレーム 27

3.1 フレームの定義とその性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2 離散ウェーブレット変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.3 パーセヴァルウェーブレットフレーム . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

第 4章ウェーブレット展開 38

4.1 正規直交ウェーブレットの定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.2 関数をシフトすることにより生成される正規直交系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.3 スケーリング関数と伸張方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.4 多重解像度解析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.5 ウェーブレット関数の構成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.6 ウェーブレットの正則性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.7 ヴァニシングモーメント . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.8 コンパクト台を持つスケーリング関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.9 コンパクト台を持つウェーブレット . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

第 5章連続ウェーブレット変換の応用 58

5.1 ガウシアンウェーブレット関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.2 連続ウェーブレット変換と短時間フーリエ変換について . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.3 連続ウェーブレット変換の応用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.3.1 特定の三角形を数えるときの脳波の特定周波数振動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

iii

iv 目次

5.3.2 図の中の犬を認識しているかどうかによる脳波の違い . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.3.3 ガウシアンウェーブレットの使い勝手の良さ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.4 ガウシアンウェーブレット関数の空間 2 次元版 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.5 モレ（Morlet）の仕事 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.6 断層イメージの世界１：何を測定するか . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.7 断層イメージの世界２：フーリエ変換になる . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.8 断層イメージの世界３ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

第 6章離散ウェーブレット変換とその応用 77

6.1 スケーリング関数の伸張方程式とウェーブレット方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6.2 レベル 1 の離散ウェーブレット変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6.3 レベル L の離散ウェーブレット変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6.4 1 次元の応用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6.4.1 例１:topix 128 日分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6.4.2 エルセントロ地震波 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6.5 2 次元の応用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6.5.1 画像の圧縮 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6.5.2 エッジの抽出 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

参考文献 89

索引 91

第1章

時間周波数解析

音楽を考えてみよう．音楽を録音すると関数（信号）f(x) が得られる．この f(x) のすべての値を使えばそ

の音楽が完全に再現されるが，実際には楽器を演奏することによって音楽は作られている．たとえば，ある

時刻にあるキーを叩くというように．もちろん関数 f(x) が決まればそのフーリエ変換 f(ξ) は決まり，逆

にフーリエ変換 f(ξ) が決まれば元の関数 f(x) が決まるから，音楽を表現する情報としては f(x) と f(ξ)

のどちらか一方がわかれば十分である．しかし，通常 f(x) を見ただけでは f(ξ) の挙動はわかりにくいし，

逆に f(ξ) を見ただけでは f(x) の挙動はわかりにくい．たとえば，f(x) からはメロディやリズムがわかり，

f(ξ) からはどのキーが叩かれているかがわかるのである．

このことは，人間の音楽を聴くという行為がどのような情報処理であるかを示唆してはいないだろうか．

つまり，人間は音楽を関数 f(x)（メロディやリズムだけ）あるいは f(ξ)（キーだけ）としてではなく，それ

らを合わせたようなある対象 F（楽譜）として捉えているのではないだろうか．関数 f(x) と f(ξ) とは同

じ情報を持っているはずであるが，それぞれの関数は対象 F の異なった情報にアクセスしやすいので，ひ

とつの対象 F の同値ではあるが異なる表現と見なせるのではないだろうか．

2

図 1.1 音楽の時間周波数解析 — 楽譜

このひとつの対象 F の 2 つの見方 f(x) と f(ξ) をひとつの関数で表現しようというのが時間周波数解

析 (time-frequency analysis) である．時間周波数解析は人間が自然からの情報をどのように処理してるか

に深く関わっている．たとえば，聴覚については時間周波数解析に基づいたモデルが提案されてる．

1.1 フーリエ変換とは

ベクトル y ∈ n だけの平行移動 (translation) を Ty と表す．このとき，次の補題が成り立つ．

補題 1.1 連続関数 f であって，任意のベクトル y ∈ n に対して，Ty の固有関数となるような f , すな

わち，ある関数 c(y) があって，

Tyf = c(y)f

を満たす連続関数 f は Ceax である．ただし，C ∈ , a ∈ n である．

1

2 第 1章時間周波数解析

《証明》任意のベクトル x, y ∈ n に対して，

f(x− y) = c(y)f(x)

を満たす連続関数 f を求めればよい．

もし，f(0) = 0 ならば f(−y) = 0 となり，f(x) ≡ 0 という自明な場合になる．そこで f(0) = 0 とし，

定数倍を考えることにより f(0) = 1 としてよい．このとき，x = 0 とすると，f(−y) = c(y) であるから，

f(x− y) = f(x)f(−y), f(0) = 1 (1.1)

を解けばよい．コンパクト台を持つ無限回微分可能な n 上の関数全体のなす集合を C∞0 (n ) とおく．関

数 f は連続であったから，任意の g ∈ C∞0 (n ) をかけると，ny 上で積分できて，∫

n

f(x− y)g(y) dy = f(x)∫n

f(−y)g(y) dy

が成り立つ．関数 g ∈ C∞0 (n ) を ∫

n

f(−y)g(y) dy = 1

が成り立つように選べば，

f(x) =∫n

f(x− y)g(y) dy = f ∗ g(x)を得る．ここで f ∗ g は関数 f と g の合成積 (convolution) である．合成積の性質から

∂α(f ∗ g) = f ∗ ∂αg

であるから，f ∗ g ∈ C∞(n ) である．関数方程式 (1.1) で −y を y とおいた式

f(x+ y) = f(x)f(y)

を y で偏微分して y = 0 とおくと，

∂jf(x) = ∂jf(0)f(x), j = 1, 2, . . . , n

を得る．∂jf(0) = aj , j = 1, 2, . . . , n とおき，∂1f(x) = a1f(x) を解くと，一般解 f(x) = C1(x′) ea1x1

を得る．ただし，C1(x′) は x′ = (x2, . . . , xn) の関数である．以下，順に ∂jf(x) = ajf(x), j = 2, . . . , n

と f(0) = 1 を満たすように C1(x′) を決めると，f(x) = eax であり，実際にこれが解であることがわかる．

正数 p に対して，

Lp(n ) := f (x) ; ‖f‖p < +∞, ‖f‖p :=(∫

n

|f(x)|p dx)1/p

とおく．Lp(n ) はバナッハ空間 (Banach space)，すなわち完備なノルム空間である．特に，p = 2 のとき

は，内積

〈f, g〉 :=∫n

f(x)g(x) dx

が定義できて，L2(n ) はヒルベルト空間 (Hilbert space)，すなわち完備な内積空間となる．

フーリエ変換は，与えられた関数をこのような平行移動の固有関数の和に分解する．与えられた関数の無

限遠での挙動が穏やかであれば，つまり，無限遠で急激に増大しないのであれば，a としては純虚数からな

るベクトルで十分である．

1.2. フーリエ変換の基本的性質 3

定義 1.1 関数 f ∈ L1(n ) のフーリエ変換 (Fourier transform) を

F [f ] = f(ξ) =∫n

e−ixξ f(x) dx

で定義し，関数 g ∈ L1(n ) の逆フーリエ変換 (inverse Fourier taransform) を

F−1[g] = g(x) = (2π)−n∫n

eixξ g(ξ) dξ

で定義する．

関数 f とそのフーリエ変換 f に関する原理を 2 つ述べよう．

•双対性 (duality)

f の滑らかさ (smoothness) ⇐⇒ fの無限遠での減少度 (decay)

fの微分 (differentiation) ⇐⇒ fに多項式をかける (multiplication by polynomials)

fの平行移動 (translation) ⇐⇒ fの変調 (modulation)

•不確定性 (uncertainty)

f と fの両方を同時に局所化 (localize)することはできない．

これらの原理の下で，主としてヒルベルト空間 L2(n ) で時間周波数解析を行うわけだが，その鍵となる

のが次のパーセヴァルの等式である．

•パーセヴァルの等式 (Parseval’s formula)

〈f, g〉 = (2π)−n〈f , g〉.

1.2 フーリエ変換の基本的性質

まず，時間周波数解析で使う 3 つの基本的な作用素とその性質を述べよう．

記号 1.1

Tyf(x) = f(x− y), 平行移動作用素 (translation operator),

Mξf(x) = eixξ f(x), 変調作用素 (modulation operator),

Dρf(x) = |ρ|−n/2f(ρ−1x), ρ ∈ \0, 伸張作用素 (dilation operator).

これらの 3 つの基本的な作用素とフーリエ変換に対して次の補題 1.2, 1.3, 1.4, 1.5 が成り立つ．証明は

省略する．

補題 1.2（ユニタリ性）これらの 3 つの基本的な作用素 Ty, Mξ, Dρ はすべて L2(n ) 上のユニタリ作用

素 (unitary operator)である．すなわち，L2(n ) 上の全射であって内積が保存される：

‖Tyf‖ = ‖f‖, ‖Mξf‖ = ‖f‖, ‖Dρf‖ = ‖f‖.

このとき，共役作用素 (adjoint operator)はその逆作用素で与えられる．

〈Tyf, g〉 = 〈f, T−yg〉, 〈Mξf, g〉 = 〈f,M−ξg〉, 〈Dρf, g〉 = 〈f,D1/ρg〉.


補題 1.3（交換関係）

TyMξ = e−iξyMξTy, MξTy = eiξyTyMξ,

TyDρ = DρTy/ρ, DρTy = TρyDρ,

MξDρ = DρMρξ, DρMξ = Mξ/ρDρ.

補題 1.4（フーリエ変換との交換関係）

F [Tyf ] = M−yF [f ], F [Mωf ] = TωF [f ], F [Dρf ] = D1/ρF [f ].

+ := x ∈ ; x > 0 とおく．伸張作用素 Da, a ∈ + と平行移動作用素 Tb, b ∈ n はいずれもユニタリ作用素であるから，その合成作用素 TbDa はユニタリ作用素であり，時間スケール作用素 (time-scale

operator)と呼ばれる．この時間スケール作用素の合成は次のような時間スケール作用素となる．

補題 1.5（時間スケール作用素の合成）

(TbDa)(TxDs) = Tax+bDas, b, x ∈ n , a, s ∈ + .

正数 a に対して，

ϕa(x) := e−x22a

とおく．このとき，次の補題 1.6 が成り立つ．

補題 1.6（ガウスの積分公式）

F [ϕa(x)] = (2πa)n/2ϕ1/a(ξ).

《証明》 1 変数のときを示す．n 変数のときは逐次積分に帰着する．

v(ξ) :=∫

e−ixξ e−x22a dx

とおく．∫

e−x2dx =

√π より v(0) =

∫

e−x22a dx =

√2πa である．v を ξ に関して微分すると積分記号

下で微分ができて，部分積分を行うことにより，微分方程式dv

dξ= −aξv(ξ) を得る．よって v(ξ) は微分方

程式の初期値問題dv

dξ= −aξv(ξ), v(0) =

√2πa

の解である．この微分方程式の初期値問題の解はだたひとつに決まることが知られており，√

2πa e−x22a が

その解であることが示せるから，

v(ξ) =√

2πa e−x22a

であることがわかる．

注意 1.1 ガウスの積分公式で a = 1 とすると，

F[e− x22]

= (2π)n/2e−ξ2

2

を得る．これは，関数 e−x22 がフーリエ変換の固有値 (2π)n/2 に関する固有関数であることを示している．

1.3. フーリエ変換の固有関数 5

1.3 フーリエ変換の固有関数

余談になるがウォルター3) にしたがって 1 変数のフーリエ変換の固有関数について考えてみよう．すなわ

ち，F [f ] = λf , λ ∈ を満たす関数 f を考える．

定義 1.2

H0(x) = 1, H1(x) = 2x

とおく．漸化式

xHk(x) =12Hk+1(x) + kHk−1(x), k ∈

によって定義される多項式をエルミート多項式 (Hermite polynomial) という．

+ := 0 ∪ とおく．

注意 1.2 エルミート多項式系Hk(x)

k∈+

はで，重み関数 w(x) = e−x2に関して直交系である．こ

れらは 1, 2x, (2x)2, . . . をこの重み関数に関して直交化することによって得られる．また，エルミート多項

式 Hk(x) は，微分方程式

y′′ − 2xy′ + 2ky = 0

を満たすことが知られている．

定義 1.3 エルミート多項式によって定義される関数

hk(x) =Hk(x) e−x

2/2

π1/4 2k/2 (k!)1/2, k ∈ +

をエルミート関数 (Hermite function) という．

注意 1.3 エルミート関数系hk(x)

k∈+

は L2() の完全正規直交系，すなわち正規直交基底であり，微

分方程式 (x2 − d2

dx2

)y = (2k + 1) y, k ∈ +

の解である．

エルミート関数の重要な性質のひとつはフーリエ変換との関係である．

定理 1.1 エルミート関数はフーリエ変換の固有関数である．

《証明》まず，注意 1.1 により h0(ξ) =√

2π h0(ξ) である．任意の C∞ 級急減少関数 φ ∈ S に対して，∫ ∞

−∞e−ixξ

(x− d

dx

)φ(x)dx = (−i)

(ξ − d

dξ

)∫ ∞

−∞e−ixξφ(x)dx

が成り立つことに注意する．特に φ = hk とおくとき，エルミート関数 hk, k ∈ + は，(x− d

dx

)hk(x) =

√2k + 2hk+1(x)

を満たすことから，∫ ∞

−∞e−ixξ

√2k + 2hk+1(x) dx = (−i)

(ξ − d

dx

)hk(ξ), k ∈ +


を得る．これは

hk+1(ξ) = (−i) 1√2k + 2

(ξ − d

dξ

)hk(ξ)

と書けるから，k = 0 とおくと

h1(ξ) = (−i)√

2π√2

(ξ − d

dξ

)h0(ξ) = −i√2π h1(ξ)

を得る．帰納法によって

hk(ξ) = (−i)k√2π hk(ξ)

が示せる．

関数 f ∈ L2() の正規直交基底であるエルミート関数系に関する展開をエルミート級数 (Hermite series)

と呼ぶ．

命題 1.1 関数 f ∈ L2() のエルミート級数が

f ∼∑k

akhk

であるとき，フーリエ変換 f は

f(ξ) ∼√

2π∑k

(−i)kakhk(ξ)

で与えられる．これは L2() の意味で収束する．

注意 1.4 この命題 1.1 は緩増加超関数 S′ の意味でも成り立つ．

1.4 不確定性原理

本節では時間周波数解析の限界を理論的に示す不確定性原理について述べる．

定理 1.2（古典的不確定性原理）任意の関数 f ∈ L2() と任意の実数 a, b に対して，(∫

(x− a)2|f(x)|2 dx)1/2(∫

(ξ − b)2|f(ξ)|2 dξ)1/2

≥ 12‖f‖ ‖f ‖

が成り立つ．等号成立は f が TaMbϕc, c > 0 の定数倍のときである．

この定理 1.2 の証明には次の補題 1.7 を使う．

ヒルベルト空間 H を考える．H の線形作用素 A の定義域を D(A) と表す．ヒルベルト空間 H の線形作用素 A, B に対して，A と B の交換子 (commutator) を

[A,B] = AB −BA

で定義する．交換子の定義域は D(AB) ∩ D(BA) である．

このとき，次の補題 1.7 が成り立つ．

補題 1.7（抽象的不確定性原理）ヒルベルト空間 H の自己共役作用素 A, B を考える．このとき，任意の

実数 a, b に対して，

‖(A− a)f‖ ‖(B − b)f‖ ≥ 12|〈[A,B]f, f〉|, f ∈ D(AB) ∩ D(BA)

1.4. 不確定性原理 7

が成り立つ．ここで等号成立は，ある実数 c があって，

(A− a)f = −ic(B − b)f

が成り立つとき，または (B − b)f = 0 が成り立つときである．

《証明》一般に，自己共役作用素 A, B の交換子に対して，

〈[A,B]f, f〉 = 〈ABf, f〉 − 〈BAf, f〉= 〈Bf,Af〉 − 〈Af,Bf〉= 2i Im〈Bf,Af〉

が成り立つことに注意する．作用素 (A− a), (B − b) が自己共役であり，

[(A− a), (B − b)] = (A− a)(B − b) − (B − b)(A− a)

= AB − bA− aB + ab− (BA− aB − bA+ ab) = [A,B]

であるから，

〈[A,B]f, f〉 = 2i Im〈(B − b)f, (A− a)f〉を得る．したがって，シュヴァルツの不等式により

|〈[A,B]f, f〉| ≤ 2|〈(B − b)f, (A− a)f〉|≤ 2‖(B − b)f‖ ‖(A− a)f‖

が成り立つ．ここで等号成立は，

Re〈(B − b)f, (A− a)f〉 = 0 (1.2)

かつ，ある複素数 λ があって，

(A− a)f = λ(B − b)f (1.3)

が成り立つとき，または (B − b)f = 0 が成り立つときである．式 (1.3) を式 (1.2) に代入すると，

Reλ ‖(B − b)f‖2 = 0

であるから，等号成立は Reλ = 0 のとき，すなわち，ある実数 c があって，

λ = −ic

と書けるとき，または (B − b)f = 0 が成り立つときである．

《定理 1.2 の証明》ヒルベルト空間 L2() 上の掛け算作用素 X を

Xf(x) = xf(x), f ∈ D(X) =f ∈ L2() ; xf(x) ∈ L2()

,

微分作用素 P を

Pf(x) =1if ′(x), f ∈ D(P ) =

f ∈ L2() ; f ′(x) ∈ L2()

で定義する．交換子の定義域は


D([X,P ]) =f ∈ L2() ; xf(x), f ′(x), xf ′(x) ∈ L2()

である．作用素 X , P は自己共役作用素であることがわかるから，補題 1.7 が適用できて，

[X,P ]f = x(1i

d

dxf)− 1i

d

dx(xf) = −1

if

に注意すると，

‖(x− a)f‖∥∥∥(1

i

d

dx− b

)f∥∥∥ ≥ 1

2

∣∣∣⟨− 1if, f

⟩∣∣∣ =12‖f‖2 (1.4)

が成り立つ．パーシバルの等式 ‖f‖ = (2π)−1/2‖f ‖ より，∥∥∥(1i

d

dx− b

)f∥∥∥ = (2π)−1/2

∥∥∥F[(1i

d

dx− b

)f]∥∥∥ = (2π)−1/2‖(ξ − b)f ‖

が成り立つから，これらを不等式 (1.4) に代入すると，求める不等式が得られる．

等号成立は

(X − a)f = −ic(P − b)f (1.5)

のときである．c = 0 ならば f(x) ≡ 0, a.e. となり自明な場合である．c = 0 とすると，(1.5) は

f ′ =(− x− a

c+ ib

)f (1.6)

となる．この微分方程式の解は

e−(x−a)2

2c +ibx = MbTaϕc

の定数倍である．TaMb = e−iabMbTa に注意すれば，この解は TaMbϕc の定数倍であるということもでき

る．この解が L2() の元であるためには，c > 0 でなければならない．

定義 1.4 恒等的に 0 でない関数 w(x) ∈ L2() が xw(x) ∈ L2() を満たすとき，窓関数 (window

function)と呼ばれる．

注意 1.5 w(x) が窓関数なら，シュヴァルツの不等式により，∫

|w(x)|dx ≤ ‖(1 + |x|)−1‖ ‖(1 + |x|)w(x)‖

が成り立ち，w(x) ∈ L1() が示せるので，リーマン・ルベーグの定理より w(ξ) は有界連続関数となる．

定義 1.5 w(x) を窓関数とする．このとき

x∗ :=1

||w||2∫

x|w(x)|2 dx

を w(x) の中心 (center)といい，

∆w :=1

||w||(∫

(x− x∗)2|w(x)|2 dx)1/2

を w(x) の幅 (width)という．また，閉区間

[x∗ − ∆w, x∗ + ∆w]

を窓関数 w(x) の窓 (window)と呼ぶ．

1.4. 不確定性原理 9

注意 1.6 関数 |w(x)|2/‖w‖2 がデータ解析における密度関数 (density function) のとき，ちょうど x∗

が期待値 (expectation) であり，∆w が標準偏差 (standard deviation) になっているので，窓関数の窓

[x∗ − ∆w, x∗ + ∆w] は，窓関数が本質的に局在している部分であるといってよい．

補題 1.8 w(x) を窓関数とする．このとき

∆w = mina∈

1||w||

(∫

(x− a)2|w(x)|2 dx)1/2

である．

《証明》 ∫

(x− a)2|w(x)|2 dx = a2

∫

|w(x)|2 dx− 2a∫

x|w(x)|2 dx+∫

x2|w(x)|2 dx

= (a− x∗)2‖w‖2 − (x∗)2‖w‖2 + ‖xw‖2

≥ −(x∗)2‖w‖2 + ‖xw‖2 (1.7)

= ∆2w‖w‖2

が成り立ち，不等式 (1.7) の等号成立は a = x∗ のときであることより従う．

定義 1.6 関数 w が窓関数であり，かつそのフーリエ変換 w も窓関数であるとする．窓関数 w の中心と幅

をそれぞれ x∗, ∆w とし，そのフーリエ変換 w の中心と幅をそれぞれ ξ∗, ∆w とする．このとき，(x, ξ)-

平面（時間周波数平面 (time-frequency plane)と呼ぶ）で考えた長方形領域

[x∗ − ∆w, x∗ + ∆w] × [ξ∗ − ∆

w , ξ∗ + ∆

w ]

を x を時間，ξ を周波数とみて，窓関数 w の時間周波数の窓 (time-frequency window)と呼ぶ．また，点

(x∗, ξ∗) を時間周波数の窓の中心 (center)と呼ぶ．

古典的不確定性原理（定理 1.2）を窓関数の幅を使って表現すると，次の定理 1.3 となる．古典的不確定

性原理は定理 1.3 の形で引用されることが多い．

定理 1.3（古典的不確定性原理）関数 w が窓関数であり，かつそのフーリエ変換 w も窓関数であるとす

る．窓関数 w の中心と幅をそれぞれ x∗, ∆w とし，そのフーリエ変換 w の中心と幅をそれぞれ ξ∗, ∆w と

する．このとき，

∆w∆w ≥ 1

2が成り立つ．等号成立は窓関数 w が TaMbϕc, c > 0 の定数倍のときである．

《証明》定理 1.2 で特に a = x∗, b = ξ∗ とおけばよい．

不確定性原理には数々の定式化がある．たとえば，V. Havin and B. Joricke24) を見よ．ここでは，D.

Donoho and P. Strak16) による n 次元の場合の不確定性原理の定式化を述べておこう．

定義 1.7 集合 T を n の可測集合とし，T の n における補集合を T c と表す．このとき，正数 ε に対

して，関数 f ∈ L2(n ) が可測集合 T 上に ε-集中 (ε-concentrated)であるとは，

10 第 1章時間周波数解析(∫T c

|f(x)|2 dx)1/2

≤ ε‖f‖

を満たすときをいう．

定理 1.4（ドノホー・スタークの不確定性原理）集合 T , Ω を n の可測集合とする．2 つの正数 εT , εΩ

に対して，関数 f ∈ L2(n )\0 が可測集合 T 上に εT -集中であり，かつ関数 f が可測集合 Ω 上に εΩ-

集中であるとする．このとき，εT + εΩ ≤ 1 であるならば，

|T | · |Ω| ≥ (2π)n(1 − εT − εΩ)2

が成り立つ．ただし，|T |, |Ω| はそれぞれ可測集合 T , Ω の測度を表す．

《証明》 |T | = ∞ あるいは |Ω| = ∞ ならば不等式は明らかだから，|T | < ∞ かつ |Ω| < ∞ とする．有

界作用素 PT , QΩ をそれぞれ

PT f := χT f, QΩf := F−1(χΩf

)で定義する．ただし，χT , χΩ はそれぞれ可測集合 T , Ω の特性関数であるとする．このとき，有界作用素

PT , QΩ は（直交）射影 (orthogonal projection)であること，すなわち，ベキ等 (idempotent) P 2T = PT ,

Q2Ω = QΩ かつ自己共役 (self-adjoint) P ∗

T = PT , Q∗Ω = QΩ であることが示せる．一般に，ヒルベルト空

間 H 上の有界作用素 A に対して，一意的に決まる有界作用素 A∗ が存在して，

〈Ax, y〉 = 〈x,A∗y〉, x, y ∈ H

を満たすことが知られていて，この有界作用素 A∗ を有界作用素 A の共役 (adjoint) と呼ぶ．このとき，

‖f −QΩf‖ = (2π)−n/2‖f − χΩf ‖, ‖f‖ = (2π)−n/2‖f ‖

であるから，

fがT 上に εT -集中 ⇐⇒ ‖f − PT f‖ ≤ εT ‖f‖f がΩ上に εΩ-集中 ⇐⇒ ‖f −QΩf‖ ≤ εΩ‖f‖

が成り立つ．射影の性質から，‖QΩ‖op ≤ 1 が成り立つから，

‖f −QΩPT f‖ ≤ ‖f −QΩf‖ + ‖QΩ(f − PT f)‖≤ εΩ‖f‖ + ‖QΩ‖op‖f − PT f‖≤ (εΩ + εT )‖f‖

となり，

‖QΩPT f‖ ≥ ‖f‖ − ‖f −QΩPT f‖≥ (1 − εΩ − εT )‖f‖

を得る．

次に作用素 QΩPT を積分作用素で表そう．|T | <∞かつ |Ω| <∞よりL2(T ) ⊂ L1(T ), L2(Ω) ⊂ L1(Ω)

1.5. 短時間フーリエ変換 11

であるから，フビニの定理を使って積分の順序を交換すれば，

QΩPT f(x) = F−1χΩF(PT f)(x)

= (2π)−n∫

Ω

(∫T

f(t) e−itω dt)eiωx dω

=∫n

χT (t)(

(2π)−n∫

Ω

ei(x−t)ω dω)f(t) dt

であるから，QΩPT の積分核 (integral kernel) は

K(x, t) :=(2π)−nχT (t)∫

Ω

ei(x−t)ω dω

=χT (t)(F−1χΩ)(x− t)

=χT (t)Tt(F−1χΩ)(x)

となる．この積分核 K(x, t) のヒルベルト・シュミットノルム (Hilbert-Schmidt norm)

‖QΩPT ‖2HS :=

∫∫2n

|K(x, t)|2 dxdt

を求めよう．パーセヴァルの等式を使って積分核 K(x, t) の x に関する L2 ノルムの 2 乗を求めると，∫n

|K(x, t)|2 dx = χT (t)∫n

|Tt(F−1χΩ)(x)|2 dx

= χT (t) ‖F−1χΩ‖2

= χT (t) (2π)−n‖FF−1χΩ‖2

= χT (t) (2π)−n‖χΩ‖2

となり，さらにこれを t に関して積分すると，(2π)−n‖χT ‖2‖χΩ‖2 を得る．したがって，‖χT ‖2 = |T |,‖χΩ‖2 = |Ω| に注意すると，‖QΩPT ‖2

HS = (2π)−n|T | · |Ω| である．一般に，‖QΩPT ‖HS ≥ ‖QΩPT ‖op が成り立つことを使えばよい．

1.5 短時間フーリエ変換

関数 f の点 x = b の近傍での性質が知りたいとしよう．f のフーリエ変換は積分を全体で行うので，

f のすべての点における情報を含んでしまう．このため，よく使われるのが切落し関数を f に掛ける方法

である．このような操作を f を点 x = b の近傍に局所化 (localization)するという．点 x = b の近傍で 1

に近く，遠くで 0 に近づく関数を考えよう．このような関数として，点 x = 0 の近傍で 1 に近く，遠くで

0 に近づく関数 w(x) をひとつとり，これを平行移動した関数 w(x − b) の複素共役 w(x− b) を考えると

フーリエ変換の色々な定理がうまく使えて都合がよい．

定義 1.8 w(x) を窓関数とする．f ∈ L2() に対し，f(x)w(x− b) のフーリエ変換∫

e−ixξ f(x)w(x− b) dx = 〈f(x), eixξw(x− b)〉

= 〈f(x),MξTbw(x)〉

を f の窓関数 w(x) による窓フーリエ変換 (windowed Fourier transform)という．さらに，窓関数 w(x)

のフーリエ変換 w(ξ) も窓関数となるなら，f の窓関数 w(x) による窓フーリエ変換を特に短時間フーリエ

変換 (short-time Fourier transform)という．


注意 1.7 上の定義ではチューイ7) に従って窓関数 w(x) のフーリエ変換が窓関数となるという条件によっ

て窓フーリエ変換と短時間フーリエ変換を区別したが，両者を区別せず同じとする文献が多い．

実数 ξ を取り替えて ReMξTbw の概形を図示したのが図 1.2 である．ξ を取り替えても窓の輪郭はかわ

らないが，振動の数がかわることに注意しよう．

図 1.2 ReMξTbw の概形

定理 1.3 によれば，最も時間周波数の窓が小さくなる窓関数は TaMbϕc, c > 0 の定数倍のときであるか

ら，ガボール (Gabor) はこのような関数を使って時間周波数解析を行うことを提案した．そのため，窓関

数に TaMbϕc, c > 0 を使う短時間フーリエ変換は特にガボール変換 (Gabor transform) と呼ばれる．ガ

ボール変換では ϕc, c > 0 を正規化した関数

gα(x) :=1

2√πα

e−x2/4α, α > 0

を使うことが多い．この関数 gα はガウス関数 (Gaussian function)と呼ばれる．

補題 1.9 関数 w が窓関数であり，かつそのフーリエ変換 w も窓関数であるとする．窓関数 w の中心と

幅をそれぞれ x∗, ∆w とし，そのフーリエ変換 w の中心と幅をそれぞれ ξ∗, ∆w とする．このとき，関数

MωTbw とそのフーリエ変換および関数 TbMωw とそのフーリエ変換はすべて窓関数であり，関数 MωTbw

の時間周波数の窓と関数 TbMωw の時間周波数の窓とは同じ

[x∗ + b− ∆w, x∗ + b+ ∆w] × [ξ∗ + ω − ∆

w , ξ∗ + ω + ∆

w ]

である．

《証明》まず，平行移動 Tb と変調 Mω が共にユニタリ作用素，すなわち，共に全射であって

‖Tbw‖ = ‖w‖, ‖Mωw‖ = ‖w‖

が成り立つことに注意する．変調 Mω は絶対値を不変に保つ，すなわち，

|Mωw| = |w|

であるから，関数 Mωw の中心と幅は関数 w の中心と幅に等しい．また，関数 Tbw の中心は関数 w の

中心 x∗ を b だけ平行移動した x∗ + b となり，幅は関数 w の幅に等しい．したがって，関数 MωTbw と

TbMωw の中心は共に x∗ + b であり，幅は共に ∆w である．

関数 MωTbw と TbMωw のフーリエ変換については，補題 1.4 より，

F [MωTbw] = TωM−bF [w],

F [TbMωw] = M−bTωF [w]

1.5. 短時間フーリエ変換 13

ξ

x0

ξ + ω*

x * x + b*

ξ *w

M T wω b

図 1.3 w の時間周波数の窓とMωTbw の時間周波数の窓

であるから，上で述べた場合に帰着できて，F [MωTbw] と F [TbMωw] の中心は共に ξ∗ + ω であり，幅は

共に ∆w である．

補題 1.9 からわかることは，関数 MωTbw と TbMωw の時間周波数の窓は実数 ω, b を動かしても図 1.3

のように窓の形は変わらず時間周波数平面上を (b, ω) だけ平行移動される．このことから，ユニタリ作用

素の合成作用素としてユニタリ作用素となる作用素 MωTb と TbMω は時間周波数シフト (time-frequency

shift) と呼ばれる．

したがって，時間周波数の窓の形を変えるには窓関数を取り替える必要がある．ひとつの方法は，伸張作

用素を使って窓関数を Daw に取り替えることである．



Daw とそのフーリエ変換は窓関数であり，関数 Daw の時間周波数の窓は

[ax∗ − |a|∆w, ax∗ + |a|∆w] × [ξ∗/a− ∆

w/|a| , ξ∗/a+ ∆w/|a| ]

である．

《証明》関数 Daw とそのフーリエ変換 D1/aw も窓関数であることは明らかである．簡単な計算で窓関

数 Daw の中心は ax∗，幅が |a|∆w であり，窓関数 D1/aw の中心は ξ∗/a，幅が ∆w/|a| であることがわ

かる．

関数 w の時間周波数の窓と関数 Daw の時間周波数の窓の例を図 1.4 に示す．伸張パラメータ a をいろ

いろ取り替えて窓関数の形を変え，時間周波数シフト MωTb で時間周波数の窓を時間周波数平面上を (b, ω)

だけ平行移動すれば，時間周波数解析に必要な窓が十分多く得られるだろう．しかし，これは効率的とはい

えないことを次章で説明する．


x *x

ax *

ξ

0

ξ /a*

ξ *

w

D wa

図 1.4 w の時間周波数の窓と Daw の時間周波数の窓

第2章

連続ウェーブレット変換

周期的な運動を考えてみよう．周期的な運動なので少なくとも 1 周期以上観測しなければどのような運動

かわからないし，あまり多くの周期について観測すると，ひとつひとつの周期で運動が変わっている場合に

は，観測結果が平均化されてしまう．つまり，時間周波数の窓を通してこの運動を表す関数をみた場合，高

い振動数のところでは時間を短くしないと何周期分もみてしまうし，低い振動数のところでは逆に時間を長

くしなと 1 周期分がみられない．このように応用上は時間周波数の窓の面積は変えられなくても，運動に応

じて時間周波数の窓の形を変える必要がある．前節で述べたように，短時間フーリエ変換の場合，時間周波

数の窓の形は窓関数だけから決まってしまい，形を変えるには窓関数を替えなければならない．どのように

取り替えたら効果的だろうか．そのひとつの答えがここで述べる連続ウェーブレット変換である．

2.1 連続ウェーブレット変換と時間周波数の窓

窓関数 w から得られる関数系 MωTbDaw は，時間周波数解析に十分な時間周波数の窓を持つことは既に述べた．補題 1.3 より，

MωTbDaw = eiωb TbMωDaw = eiωb TbDaMaωw = TbDa(eiωbMaωw)

であることに注意する．関数系 eiωbMaωw のかわりに適当に振動しているひとつの関数 ψ をとって，関

数系 TbDaψ が十分多くの関数を含んでいれば，関数系 MωTbDaw の過剰性を減らすことができて時間周波数解析が可能であるかもしれない．これが連続ウェーブレット変換の基本的な考え方である．すなわ

ち，変調を使わず平行移動を伸張だけである種の時間周波数解析を行うのがウェーブレット解析である．1 次

元の場合にはこの方法は非常に有効である．しかし一般の n 次元の場合には，周波数 ω は n 次元であるの

に対してスケールに対応する伸張パラメータ a は 1 次元なので周波数領域の方向性までは局所化できない．

このため，ウェーブレット解析は時間周波数解析ではなく時間スケール解析 (time-scale analysis) であると

厳密に区別する場合もある．次章以下で述べる離散ウェーブレット変換などの場合には，周波数領域におい

て複数の異なる方向に局所化された複数のウェーブレット関数を使うことにより，この問題を克服している．

定義 2.1 関数 ψ ∈ L2(n ) に関する関数 f ∈ L2(n ) の連続ウェーブレット変換 (continuous wavelet

transform)を

Wψf(b, a) := |a|−n/2∫n

f(x)ψ(x− b

a

)dx = 〈f, TbDaψ〉

で定義する．変換に使う関数 ψ をウェーブレット関数 (wavelet function)と呼ぶ．また，関数 Wψf(b, a)

を（連続）ウェーブレット係数 (wavelet coefficient)と呼ぶこともある．

15

16 第 2章連続ウェーブレット変換

注意 2.1 連続ウェーブレット変換は

〈f, TbDaψ〉 = 〈f,DaTb/aψ〉

と表すこともできる．連続ウェーブレット変換を離散化するときには，右辺で c = b/a とおいた〈f,DaTcψ〉の (a, c) を適当に離散化した形になっている．

伸張作用素のパラメータ a を取り替えて ψa(x) を図示したのが図 2.1 である．a を取り替えても，振動

の数はかわらず形が一定であることに注意しよう．

図 2.1 ψa(x) の概形

ウェーブレット変換の時間周波数の窓はどうなっているのだろうか．時間周波数の窓は 1 次元の場合のみ

定義していた．ここでは，1 次元連続ウェーブレット変換を定義する関数 TbDaw の時間周波数の窓を求め

てみる．



TbDaw とそのフーリエ変換は窓関数であり，関数 TbDaw の時間周波数の窓は

[ax∗ + b− |a|∆w, ax∗ + b + |a|∆w] × [ξ∗/a− ∆

w/|a| , ξ∗/a+ ∆w/|a| ]

である．

《証明》補題 1.10 より Daw の時間周波数の窓がわかっているので，窓関数を Daw とし，変調作用素

Mω の ω = 0 として補題 1.9 を適用すればよい．

実数 a, b を動かしたときの関数 TbDaw の時間周波数の窓を考えよう．窓関数 w の時間周波数の窓と

TbDaw の時間周波数の窓を図 2.2 に示す．

補題 2.1 からわかることは，図 2.2 のように時間方向に a 倍されると，周波数方向には 1/a 倍されて時

間周波数の窓の面積が一定に保たれることである．また時間周波数の窓の中心は，周波数方向には平行移動

するのではなく ξ∗/a とスケーリングされることにより動くこと，時間方向にはスケーリングと平行移動に

よって ax∗ + b だけ動くことである．大切なことは，関数 f を時間 x = ax∗ + b の近傍に局所化するとき，

短時間観測しようとしてパラメータ a の絶対値を小さくとると，周波数については自動的に窓の中心が高

周波方向に動いて周波数方向の窓の幅が広がって高周波が調べられるようになり，逆に，長時間観測しよう

としてパラメータ a の絶対値を大きくとると，周波数については自動的に窓の中心が低周波方向に動いて

周波数方向の窓の幅が自動的に狭くなり，低周波が調べられるようになるということである．また，関数 f

を周波数 ξ = ξ∗/a の近傍に局所化するときには，スケーリングパラメータ a を適当にとらなければならな

いが，時間方向には平行移動のパラメータ b を動かすことにより任意の時間の近傍に局所化できる．

短時間フーリエ変換と連続ウェーブレット変換のそれぞれの窓関数による時間周波数平面のタイリングの

様子を模式的に表現したのが図 2.3 である．

2.2. カルデロンの再生公式 17

x *x

ax + b*

ξ

0

ξ /a*

ξ *w

T D wb a

図 2.2 w の時間周波数の窓と TbDaw の時間周波数の窓

時間

短時間フーリエ変換連続ウェーブレット変換

時間

周波数周波数

図 2.3 短時間フーリエ変換と連続ウェーブレット変換の窓関数によるタイリングの比較

2.2 カルデロンの再生公式

カルデロンの再生公式の最も簡単な場合を述べよう．数学的には逆連続ウェーブレット変換は下に述べる

カルデロンの再生公式（定理 2.1）の一般化とみることができる．

定義 2.2 関数 ψ(x), x ∈ n が球対称 (spherically symmetric)であるとは，任意の n 次直交行列 U に

対して，ψ(Ux) = ψ(x) が成り立つときをいう．

補題 2.2 関数 ψ(x) が球対称であることは，ある 1 変数関数 Ψ があって，ψ(x) = Ψ(|x|) と表すことができることと同値である．

《証明》関数 ψ(x) が球対称であるとする．関数 ψ(x) を極座標 x = rω, r > 0, ω ∈ n−1 を使って

表した関数を Ψ(r, ω) とする．空間 n の回転とは直交行列 U による線形変換であることに注意すると，

ψ(Ux) = Ψ(r, Uω) である．したがって ψ(Ux) = ψ(x) より，Ψ(r, Uω) = Ψ(r, ω) が成り立ち，Ψ が変数

ω によらないこと，つまり r だけの関数であることがわかる．逆は明らかである．

補題 2.3 球対称関数 ψ(x) のフーリエ変換 ψ(ξ) は球対称である．


《証明》任意の n 次直交行列 U による線形変換でベクトルの内積が不変であることから，n 次直交行列

U とその逆行列である転置行列 UT に対して，

x · Uξ = UTx · UTUξ = Ux · ξ

が成り立つことに注意すると，

ψ(Uξ) =∫n

e−ix·Uξ ψ(x) dx

=∫n

e−iUx·ξ ψ(Ux) dx

=∫n

e−iy·ξ ψ(y) dy = ψ(ξ)

を得る．ここで，変数変換 y = Ux を行い，回転で体積が保存されること，つまりヤコビアンの絶対値が 1

であることを使った．

系 2.1 関数 ψ(x) が実数値かつ球対称であるならば，

ψ(ξ) = ψ(−ξ) = ψ(ξ),

|ψ(ξ)|2 = ψ(ξ)2

が成り立つ．

《証明》補題 2.2 から，ψ(−x) = Ψ(| − x|) = ψ(x) が成り立つことに注意すればよい．

定理 2.1（カルデロンの再生公式）関数 ψ ∈ L1(n ) は球対称な実数値関数で，∫+

|ψ(uξ)|2 duu

= 1, ∀ξ ∈ n\0 (2.1)

を満たすとする．

ψa := an/2D1/aψ, a > 0

とおく．このとき，f ∈ L2(n ) に対して，

f(x) =∫+

(ψ1/u ∗ ψ1/u ∗ f)(x)du

u(2.2)

が成り立つ．

《証明》補題 2.2 から，1 変数関数 Ψ があって，ψ(ξ) = Ψ(|ξ|) と書ける．合成積のフーリエ変換はフーリエ変換の積となることより，

F [ψ1/u ∗ f ](ξ) = F [u−n/2Duψ](ξ)f(ξ)

= u−n/2D1/uψ(ξ)f(ξ)

= Ψ(u|ξ|)f(ξ)

が成り立つから，式 (2.2) の右辺の被積分関数をフーリエ変換してみると，

F [ψ1/u ∗ ψ1/u ∗ f ](ξ) = Ψ(u|ξ|)2f(ξ) (2.3)

2.3. 逆連続ウェーブレット変換 19

である．等式 (2.3) を u で割って変数 u に関して閉区間 [ε, R], 0 < ε < R <∞ 上で積分する．まず，一

般に，f ∈ Lp(n ), 1 ≤ p ≤ ∞ と g ∈ L1(n ) に対して，ヤングの不等式 (Young’s inequality)

‖f ∗ g‖Lp(n) ≤ ‖f‖Lp(n)‖g‖L1(n) (2.4)

が成り立つことに注意する．したがって，f ∈ L1(n ) ∩ L2(n ) を仮定すれば，フビニの定理が使えて，

系 2.1 より，

F[∫ R

ε

(ψ1/u ∗ ψ1/u ∗ f)(x)du

u

](ξ) = f(ξ)

∫ R

ε

Ψ(u|ξ|)2 du

u

= f(ξ)∫ R

ε

|ψ(uξ)|2 duu

を得る．極限 ε→ +0, R → ∞ をとれば，条件 (2.1) より L2(n ) の意味で

f(ξ)∫ R

ε

|ψ(uξ)|2 duu

→ f(ξ)

が成り立つから，逆フーリエ変換をとればよい．一般の f ∈ L2(n ) の場合は L1(n )∩L2(n ) が L2(n )

で稠密であることを使えばよい．

注意 2.2 系 2.1 を使って，カルデロンの再生公式を連続ウェーブレット係数を用いて表すと，

f(x) =∫+

∫n

(∫n

ψ1/a(y − b)f(y) dy)ψ1/a(b− x) db

da

a

=∫+

∫n

(∫n

|a|−n/2(Daψ)(b− y)f(y) dy)|a|−n/2(Daψ)(b− x) db

da

|a|

=∫+

∫n

(∫n

f(y)TbDaψ(y) dy)TbDaψ(x) db

da

|a|n+1

=∫+

∫n

Wψf(b, a)TbDaψ(x) db

da

|a|n+1(2.5)

となる．これは連続ウェーブレット変換の反転公式 (inversion formula)であるとみることができる．

2.3 逆連続ウェーブレット変換

注意 2.2 で述べたように，ウェーブレット関数 ψ が (2.1) を満たすときには，カルデロンの再生公式は

連続ウェーブレット変換の逆変換を与える．ここでは，1 次元の場合に限ってもっと一般のウェーブレット

関数でも連続ウェーブレット変換の逆変換が存在することを示す．まず，いくつかの準備をする．

補題 2.4（直交関係）関数 g1, g2 ∈ L2() は窓関数であって，∫

|g1(ξ)g2(ξ)| dξ|ξ| < +∞ (2.6)

を満たすとする．このとき，任意の関数 f1, f2 ∈ L2() に対して，∫

∫

Wg1f1(x, s)Wg2f2(x, s) dxds

|s|2 =(∫

g1(ξ) g2(ξ)dξ

|ξ|)〈f1, f2〉 (2.7)

が成り立つ．


《証明》まず，f1, f2 ∈ L1() ∩L2() の場合を証明する．関数 g(x) に対し，g(x) := g(−x) とおく．連続ウェーブレット変換 Wg1f1(x, s) を合成積を使って表すと，

Wg1f1(x, s) = (f ∗Dsg1)(x)

であるから，ヤングの不等式 (2.4) により，Wg1f1(x, s) ∈ L2() がわかる．一般に，関数 f , g ∈ L1()

に対して

F [f ∗ g] = f g

が成り立つから，注意 1.5より g1, g2 ∈ L1() であることに注意して，連続ウェーブレット変換Wgjfj(x, s),

j = 1, 2 を x に関してフーリエ変換すると，

F [Wgjfj(x, s)] = F [fj ∗Dsgj ]

= fj F [Dsgj ]

= fjD1/sF [gj], j = 1, 2

である．また， ∫

D1/sg1(ξ)D1/sg2(ξ)ds

|s|2 =∫

g1(ξs) g2(ξs)ds

|s|=∫

g1(s) g2(s)ds

|s|が成り立つ．したがって，関数 f , g ∈ L2() に対してパーセヴァルの等式 (Parseval’s formula)

〈f, g〉 = (2π)−1〈f , g 〉

が成り立つことに注意して，フビニの定理を使えば，∫

(∫

Wg1f1(x, s)Wg2f2(x, s) dx)

ds

|s|2

=∫

((2π)−1

∫

f1(ξ)D1/sF [g1](ξ) f2(ξ)D1/sF [g2](ξ) dξ)

ds

|s|2

= (2π)−1

∫

f1(ξ) f2(ξ)(∫

D1/sg1(ξ)D1/sg2(ξ)ds

|s|2)dξ

= (2π)−1

∫

f1(ξ) f2(ξ)(∫

g1(s) g2(s)ds

|s|)dξ

=(∫

g1(s) g2(s)ds

|s|)〈f1, f2〉

を得る．一般の f1, f2 ∈ L2() については，L1() ∩ L2() が L2() で稠密なことを使えばよい．

補題 2.5（直交関係）関数 g1, g2 ∈ L2() は窓関数であって，∫+

|g1(sω)g2(sω)| ds|s| < +∞, ω ∈ 0 := ±1 (2.8)

を満たし，ω ∈ 0 に依存しない定数 K が存在して，∫+

g1(sω) g2(sω)ds

|s| = K, ω ∈ 0 (2.9)

2.3. 逆連続ウェーブレット変換 21

であるとする．このとき，任意の関数 f1, f2 ∈ L2() に対して，∫+

(∫

Wg1f1(x, s)Wg2f2(x, s) dx)ds

|s|2 = K〈f1, f2〉 (2.10)

が成り立つ．

《証明》 ξ = |ξ|ω, ω ∈ 0 とおけば，ほとんどすべての ξ ∈ \0 に対して，∫+

g1(sξ) g2(sξ)ds

|s| =∫+

g1(s|ξ|ω) g2(s|ξ|ω)ds

|s| = K

であるから，補題 2.4 と同様にして，∫+

(∫


ds

|s|2

= (2π)−1

∫

f1(ξ) f2(ξ)

(∫+

g1(sξ) g2(sξ)ds

|s|

)dξ

= K〈f1, f2〉

を得る．

注意 2.3 補題 2.5 は次のように n 次元に拡張できる．関数 g1, g2 ∈ L2(n ) は∫+

|g1(sω)g2(sω)| ds|s| < +∞, a.e. ω ∈ n−1 (2.11)

を満たし，ω ∈ n−1 に依存しない定数 K が存在して，∫+

g1(sω) g2(sω)ds

|s| = K, a.e. ω ∈ n−1 := ω ∈ n ; |ω| = 1 (2.12)

であるとする．このとき，任意の関数 f1, f2 ∈ L2(n ) に対して，∫+

(∫n


ds

|s|n+1= K〈f1, f2〉 (2.13)

が成り立つ．詳しくは K. Grochenig22) の Theorem 10.2 をみよ．

補題 2.4 に現れた 2 つの窓関数 g1, g2 ∈ L2() を等しく ψ にとって得られる条件が次の許容条件である．

定義 2.3 関数 ψ ∈ L2() に対する条件：

Cψ :=∫

|ψ(ξ)|2 dξ|ξ| < +∞

を許容条件 (admissibility condition)と呼ぶ．

注意 2.4 関数 ψ が許容条件を満たし，|ψ(ξ)| が原点の近傍で連続ならば，ψ(0) = 0, すなわち∫

ψ(x) dx = 0 (2.14)

が従う．

許容条件を満たす関数の例を挙げておこう．


例 2.1（メキシカンハット）関数 − d2

dx2

(e−

12x

2)を L2() のノルムが 1 になるように正規化した関数

ψ(x) :=2√3π− 1

4 (1 − x2) e−12x

2

をメキシカンハット (Mexican hat)と呼ぶ．メキシカンハット関数 ψ のフーリエ変換は

ψ(ξ) =2√3π− 1

4√

2π ξ2 e−12 ξ

2

である．メキシカンハット関数とそのフーリエ像のグラフの概形を図 2.4 に示す．

ψ

ψ

(a)

(b)

-4-3

-2 -1 0 1 23

4

-1

1

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

1

図 2.4 メキシカンハット関数とそのフーリエ像

時間周波数の窓が考えられる窓関数 ψ ∈ L2() であって，補題 2.5に現れた窓関数 g1 と g2 を g1 = g2 = ψ

として満たす関数を考えると，逆変換も存在し，連続ウェーブレット変換を用いた解析に便利である．

定義 2.4 関数 ψ ∈ L2() と ψ は窓関数であって，関数 ψ は許容条件を満たし，かつ∫+

|ψ(ξ)|2 dξ|ξ| =∫+

|ψ(−ξ)|2 dξ|ξ|が成り立つとき，関数 ψ(x) をアナライジングウェーブレット (analyzing wavelet)と呼ぶ．

このとき， ∫+

|ψ(ξ)|2 dξ|ξ| =∫+

|ψ(−ξ)|2 dξ|ξ| =12Cψ

であることを注意しておく．

定理 2.2（逆連続ウェーブレット変換）関数 ψ(x) はアナライジングウェーブレットであるとする．関数

f(x) ∈ L2() に対して，

f(x) =2Cψ

∫+

(∫

Wψf(b, a)1√aψ(x− b

a

)db

)da

a2(2.15)

が L2() の意味で成り立つ．これを逆ウェーブレット変換 (inverse continuous wavelet transform)という．

2.4. 連続ウェーブレット変換の応用 23

《証明》補題 2.5 で g1 と g2 を g1 = g2 = ψ とする．このとき，K = Cψ/2 である．等式

Wψf2(x, s) = 〈f2, TxDsψ〉 = 〈TxDsψ, f2〉

を (2.10) に代入して積分の順序交換をすれば，∫+

(∫

Wψf1(x, s) 〈TxDsψ, f2〉 dx)ds

|s|2

=

⟨∫+

(∫

Wψf1(x, s)TxDsψ dx

)ds

|s|2 , f2⟩

= K〈f1, f2〉

を得る．これが任意の f2(x) ∈ L2() について成り立つことを使えばよい．

注意 2.5 関数 f(x) の連続点 x ∈ では (2.15) が各点で成り立つ．詳しくはチューイ7) の定理 3.10 を

みよ．

2.4 連続ウェーブレット変換の応用

連続ウェーブレット変換がどのような応用を持つのか，またその理由はなぜか考えて見よう．

2.4.0.1 情報の過剰性と情報の強調

連続ウェーブレット変換は n 変数関数を n+ 1 変数関数に変換する．応用上，このことは何を意味する

のであろうか．これに関して，次のことが知られている．

連続ウェーブレット変換は解析する信号の情報を過剰に含んでいる．

連続ウェーブレット変換は，情報の繰返しによってある種の性質が強調されてデータが解析しやすくなっ

たり，パターンを認識しやすくなる利点がある．

連続ウェーブレット変換は元の信号に比べ多くの情報を必要とするので効率的とはいえない．

このことを 1 つの例で見てみよう．コッホ曲線とその連続ウェーブレット変換の概形を図 2.5 に示す．

例 2.2（コッホ曲線）コッホ曲線は自己相似集合 (self-similar set)である．すなわち，コッホ曲線の一部分

がコッホ曲線全体のミニチュアになっていることで知られている．このような集合はフラクタル集合 (fractal

set)と呼ばれている．図 2.5 では，連続ウェーブレット変換によりこのようなコッホ曲線の自己相似性が情

報の繰返しによって強調されて，パターンを認識しやすくなっているといえるのではないだろうか．

2.4.0.2 導関数の持つ情報とヴァニシングモーメント

連続ウェーブレット変換によく使われる関数はアナライジングウェーブレットと呼ばれる関数である．注

意 2.4 より，アナライジングウェーブレットはそのフーリエ変換が原点の近傍で連続であれば (2.14) を満

たすことがわかる．この性質はヴァニシングモーメントと呼ばれている性質であり，連続ウェーブレット変

換は関数の不連続性の検出に有効であることが知られている．

定義 2.5 関数 f と α ∈ n+ に対して，n 上の積分∫n

xαf(x) dx


50 100 150 200 2500

5

10

15X 10 -3 コッホ曲線

50 100 150 200 2501

5

9

13

17

21

25

29

a

b

連続ウェーブレット変換

図 2.5 コッホ曲線とその連続ウェーブレット変換

を考える．この積分が存在するとき，この積分値を f の α 次モーメント (moment)という．そして，∫n

xαf(x) dx = 0

ならば，f は α 次のヴァニシングモーメント (vanishing moment)を持つという．

注意 2.6 関数 f のフーリエ変換 f(ξ) が定義できて，f (α)(ξ) が原点で連続なら，f の α 次モーメントは，∫n

xαf(x) dx =∫n

e−ixξ xαf(x) dx∣∣∣ξ=0

= F [xαf(x)](0)

= i|α|f (α)(0) (2.16)

と表すことができることに注意しよう．

連続ウェーブレット変換が関数の不連続性の検出できる理由を単純化して図 2.6 に示す．（ここでは f お

よび ψ は実数値関数とする．）

ある状態 f(x) = y1 から別の状態 f(x) = y2 に変化する関数 f(x) を破線で表し，その変化を検出する

ために短時間に十分速く振動しているウェーブレット関数 ψ があるとして，そのウェーブレット関数を平

行移動した ψ(x− x1), ψ(x− x2), ψ(x− x2) を実線で表す．ウェーブレット関数が 0 次ヴァニシングモー

メントを持つ，すなわち，∫ψ(x) dx = 0 であるとすると，理想的には


f (x)

ψ(x−x )1ψ(x−x )3ψ(x−x )2

図 2.6 ウェーブレットが特異性を検出できる理由

∫

f(x)ψ(x− x1) dx =∫

y1ψ(x− x1) dx = y1

∫

ψ(x− x1) dx = 0,∫

f(x)ψ(x− x2) dx = 0,∫

f(x)ψ(x− x3) dx =∫

y2ψ(x− x3) dx = y2

∫

ψ(x− x3) dx = 0

が成り立つ．したがって， ∫

f(x)ψ(x− b) dx = 〈f, Tbψ〉が 0 に近いか，そうでないかで f の不連続な位置が検出できる．

次に導関数の持つ不連続性について考えよう．簡単のため，関数 f(x)は Cs−1 級，s ∈ であり，dsf/dxsは存在するが必ずしも連続でない場合を考える．関数 ψ は 0 から N − 1 次までのヴァニシングモーメント

を持つとする．ただし，s ≤ N とする．このとき，補題 1.2 より，

〈f, Tbg〉 = 〈T−bf, g〉, 〈f,Dag〉 = 〈D1/af, g〉

が成り立つことに注意すると，任意の x に関する N − 1 次以下の多項式 p(x) に対して，

〈p, TbDaψ〉 = 〈D1/aT−bp, ψ〉

=∫

(D1/aT−bp)(x)ψ(x) dx = 0 (2.17)

を得る．関数 f(x) を x = x0 においてテイラー展開すると，

f(x) = f(x0) + · · · + f (s−1)(x0)(x− x0)s−1

(s− 1)!

+∫ 1

0

(1 − σ)s−1

(s− 1)!(x− x0)sf (s)

(x0 + σ(x− x0)

)dσ

であるから，f(x) の連続ウェーブレット変換，すなわち，f と TbDaψ の内積をとり，(2.17) を考慮すると

Wψf(b, a) =⟨∫ 1

0

(1 − σ)s−1

(s− 1)!(x− x0)sf (s)

(x0 + σ(x− x0)

)dσ, TbDaψ

⟩を得る．これはウェーブレット係数 Wψf(b, a) により関数 f の s 次導関数 f (s) の持つ情報にアクセスで

きることを示している．

たとえば，dsf/dxs の特異点（不連続信号）の情報を Wψf(b, a) の a, b を動かすことにより取り出せる

可能性がある．つまり，dsf/dxs が x = x0 で不連続だとすると，a を十分大きくとって TbDaψ と Tb′Daψ


の時間方向の窓の幅を小さく絞り，時間周波数平面で，x = x0 と時間周波数の窓が交わるような関数 TbDaψ

の (a, b) と x = x0 と時間周波数の窓が交わらないような関数 Tb′Daψ の (a, b′) に対して，x = x0 での

不連続点でのウェーブレット係数の絶対値 |〈f, TbDaψ〉| が，その他の点でのウェーブレット係数の絶対値|〈f, Tb′Daψ〉| より一段と大きくなるので，その不連続点の位置を b によって検出できる．

このことを 1 つの例で見てみよう．三角形のパルス波とその連続ウェーブレット変換の概形を図 2.7 に

示す．

1

9

17

25

aウェーブレット係数の絶対値

100 200 300 400 500 b

0

1

2

100 200 300 400 500 b

三角形のパルス波

図 2.7 三角形のパルス波とその連続ウェーブレット変換

例 2.3 三角形のパルス波は連続であるが，その導関数は 3 つの不連続点を持つ．図 2.7 では，連続ウェー

ブレット変換からこのような導関数が持っている不連続点の位置がはっきりと読みとれる．

第3章

フレーム

フレームは連続ウェーブレット変換を離散化するときに現れる自然な概念である．もともとフレームの理論

はダフィン (Duffin) とシェーファー (Schaeffer) の論文 R. Duffin and A. Schaeffer17) により，帯域制限

信号の不規則サンプリング f (tn)n∈からもとの帯域制限信号 f を再構成するために作られた．

関数 f が閉区間 [−π/T, π/T ] に帯域制限 (band limited) であるとは，f のフーリエ変換の台が閉区

間 [−π/T, π/T ] に含まれるときをいう．彼らが研究の出発点とした古典的なサンプリング定理 (classical

sampling theorem)とは，関数 f ∈ L2() が閉区間 [−π/T, π/T ] に帯域制限であれば，等間隔サンプリン

グ f(nT ) から公式

f(x) =∞∑

n=−∞f(nT )hT (x− nT ),

hT (x) =sin(πx/T )πx/T

によって再構成できることを主張している．ここで，

f(nT ) =1T

〈f(x), hT (x− nT )〉

が成り立つことに注意すれば，一般の可分なヒルベルト空間 H の場合に，あるベクトルの系 φnn∈ があって，ベクトル f とこの系の内積〈f, φn〉から，もとのベクトル f が再構成できないかという問題を考

えることは自然であろう．

古典的なサンプリング定理の証明にはフーリエ級数が本質的な役割を果たすので，サンプリング間隔が等

間隔でない不規則サンプリング (irregular sampling)のサンプリング定理を考えるには非調和フーリエ級数

を研究する必要がある．非調和フーリエ級数 (nonharmonic Fourier series)とは，L2([0, 2π)) のフーリエ

級数 ∑n∈

an einx

における正規直交基底

1√2πeinx

の n を適当に摂動した λn に取り替えて得られる級数∑

n∈an e

iλnx

である．n を適当に摂動すると正規直交基底はどのように変わるか，つまり，どのような性質が保持され，

またどのような性質が失われるかを研究し，フレームという概念が得られたのである．

現在ではフレームという枠組みが工学的にも重要であることが知られており，音などの信号を符号化した

り，再構成したりするためによく使われている．

27

28 第 3章フレーム

3.1 フレームの定義とその性質

集合は有限集合あるいはやのような可算集合を表すとする．

定義 3.1 一般に可分なヒルベルト空間 H の元の系 φjj∈がフレーム (frame)であるとは，定数 A, B,

0 < A ≤ B <∞ があって，任意の f ∈ H に対して，

A||f ||2 ≤∑j∈

∣∣〈f, φj〉∣∣2 ≤ B||f ||2 (3.1)

を満たすときをいう．定数 A と B をフレーム定数 (frame bounds)という．また，A = B が成り立つと

き，フレームは隙間のないフレーム (tight frame)であるという．特にフレーム定数が 1 であるような隙間

のないフレームをパーセヴァルフレーム (Parseval frame)と呼ぶ．

添字集合の任意の真部分集合に対して，φjj∈はフレームにならないとき，フレーム φjj∈は完全なフレーム (exact frame)と呼ばれる．完全でないフレームを不完全なフレーム (nonexact frame)

あるいは冗長なフレーム (redundant frame)と呼ぶ．

注意 3.1 フレームは基底である必要はないし，フレームの元は正規化されている必要もない．また，すべ

ての零元をフレームから取り除いた場合であっても，新しいフレームは基底になるとは限らない．フレーム

がリース基底 (Riesz basis)であるための必要十分条件はフレームが完全であることが知られている．

例 3.1 平面 2 上に 3 つのベクトル

u = (0, 1), v =(−1/2,

√3/2

), w =

(−1/2,−√3/2

)を考える．このとき，任意のベクトル f に対し，

12‖f‖2 ≤ 〈f ,u〉2 + 〈f ,v〉2 + 〈f ,w〉2 ≤ 5

2‖f‖2

が成り立つ．したがって，u,v,w は 2 の冗長なフレームである．

例 3.2 平面 2 上に 3 つのベクトル

u = (1, 0), v =(−1/2,

√3/2

), w =

(−1/2,−√

3/2)

を考える．このとき，32‖f‖2 = 〈f ,u〉2 + 〈f ,v〉2 + 〈f ,w〉2

が成り立つ．また，任意のベクトル f に対し，

f =23〈f ,u〉u +

23〈f ,v〉v +

23〈f ,w〉w

が成り立つ．したがって，u,v,w は 2 の隙間のないフレームである．

定義 3.2 フレーム φnn∈に対して，作用素 L : H → H を

Lf =∑n∈

〈f, φn〉φn, f ∈ H (3.2)

で定義し，フレーム作用素 (frame operator)と呼ぶ．

3.1. フレームの定義とその性質 29

補題 3.1 H のベクトル f に対して，

‖f‖ = supg∈H, ‖g‖≤1

|〈f, g〉|

が成り立つ．

《証明》 ‖g‖ ≤ 1 のとき，シュヴァルツの不等式より，|〈f, g〉| ≤ ‖f‖ が成り立つから，sup‖g‖≤1 |〈f, g〉| ≤‖f‖ となる．逆向きの不等式は，特に g = f/‖f‖, f = 0 とおけば，|〈f, g〉| = ‖f‖ が成り立つことから従う．

補題 3.2 フレーム作用素 L は H 上の正定値で有界な自己共役作用素である．

《証明》内積の連続性より，任意の f , g ∈ H に対して，

〈Lf, g〉 =⟨∑n∈

〈f, φn〉φn, g⟩

=∑n∈

〈f, φn〉〈φn, g〉

=∑n∈

〈f, φn〉〈g, φn〉 (3.3)

=⟨f,∑n∈

〈g, φn〉φn⟩

= 〈f, Lg〉

が成り立つから，L は自己共役である．特に，(3.3) で g = f とおけば，(3.1) より，

〈Lf, f〉 =∑n∈

|〈f, φn〉|2 ≥ A‖f‖2

を得る．これは L が正定値であることを示す．シュヴァルツの不等式を (3.3) に適用して (3.1) を使えば，

〈Lf, g〉 ≤(∑n∈

|〈f, φn〉|2)1/2(∑

n∈|〈g, φn〉|2

)1/2

≤ B‖f‖‖g‖ (3.4)

が成り立つ．特に g ∈ H, ‖g‖ ≤ 1とすると，〈Lf, g〉 ≤ B‖f‖であるから，補題 3.1を使えば，‖Lf‖ ≤ B‖f‖を得る．これより，‖L‖ ≤ B である．

補題 3.3 ヒルベルト空間 H 上の有界な自己共役作用素 S に対し，ある正定数 A, B があって，任意の

f ∈ H に対して，A〈f, f〉 ≤ 〈Sf, f〉 ≤ B〈f, f〉

が成り立つとする．このとき，S は有界な逆作用素 S−1 を持ち，S−1 は任意の f ∈ H に対して，

B−1〈f, f〉 ≤ 〈S−1f, f〉 ≤ A−1〈f, f〉

を満たす．したがって，特に S−1 は自己共役作用素である．


《証明》 S が下に半有界 (lower semi-bounded)，すなわち，

A〈f, f〉 ≤ 〈Sf, f〉

かつ上に半有界 (upper semi-bounded)，すなわち，

〈Sf, f〉 ≤ B〈f, f〉

であるから，S のスペクトル分解は

S =∫ B

A

λdE(λ)

と表せる．作用素 T を

T =∫ B

A

λ−1 dE(λ) (3.5)

と定義すると，

ST = TS =∫ B

A

dE(λ) = I

が成り立つので，T = S−1 である．また，作用素 T の定義式 (3.5) から，

B−1

∫ B

A

dE(λ) ≤∫ B

A

λ−1 dE(λ) ≤ A−1

∫ B

A

dE(λ), (3.6)

すなわち，

B−1 ≤ S−1 ≤ A−1

を得る．一般に，ヒルベルト空間 H 上の有界作用素 T が自己共役になるための必要十分条件は〈Tf, f〉 ∈ であることに注意すればよい．

2 乗和が有限となる数列のなす空間を

2() :=x ; ‖x‖2

2() :=∑n∈

|x[n]|2 < +∞

とおく．

定義 3.3 作用素 U : H → 2()を

Uf [n] = 〈f, φn〉, n ∈

で定義し，分解作用素 (analysis operator)と呼ぶ．分解作用素 U の共役作用素 U∗ を合成作用素 (synthesis

operator)と呼ぶ．

定義 3.3 より，合成作用素 U∗ は

U∗x =∑n∈

x[n]φn, x ∈ 2()

で与えられる．このとき，フレーム作用素 L は L = U∗U と分解できる．

定義 3.4 ヒルベルト空間 H のフレーム φnn∈に対して，系 φnn∈を

φn = L−1φn = (U∗U)−1φn (3.7)

で定義し，系 φnn∈ を φnn∈の標準双対フレーム (canonical dual frame)あるいは単に双対フレー

ム (the dual frame)と呼ぶ．


注意 3.2 補題 3.3 より，この系 φnn∈ はフレーム定数が 1/B, 1/A であるフレームであることがわ

かる．

補題 3.4 系 φjj∈がフレームが隙間のないフレームのとき，すなわち，A = B のとき，その双対フレー

ム φjj∈はφj =

1Aφj

で与えられる．

《証明》補題 3.3 の不等式 (3.6) で A = B とおくと，

L−1 =∫ B

A

λ−1 dE(λ) = A−1

∫ B

A

dE(λ) = A−1I

を得る．

注意 3.3 フレームが隙間のないフレームのときには，φj = 1√Aφj と置き換えることにより，A = 1, すな

わち，パーセヴァルフレームであると仮定してよい．

作用素 U の値域を ranU と表す．系 φnn∈が H の冗長なフレームのとき，ranU は真に 2()に含

まれ，U の左からの逆 U−1:

U−1Uf = f, f ∈ Hの取り方は何通りもあり得る．

定義 3.5 特に，ranU⊥ 上で 0 となる左からの逆を U の擬逆 (pseudo inverse)と呼び，U−1 で表す．

注意 3.4 無限次元空間においては，作用素が単射であっても擬逆 U−1 が有界になるとは限らない．この

ことは Uf から f を再構成するときに数値解析的不安定性をもたらす．

第 1 章の初めに述べた楽譜のたとえでいうならば，音楽から楽譜を作るのが時間周波数解析であった．音

楽に気に入らない音があれば楽譜でその音を修正すればよいが，修正した音楽を作るには楽譜を演奏する演奏

者が必要である．この演奏者に相当するのが再構成公式である．次の定理 3.1 はフレーム係数〈f, φj〉j∈

あるいは〈f, φj〉j∈から f が再構成できることを示す．

定理 3.1 系 φjj∈をフレームとし，その双対フレームを φjj∈とする．このとき，任意の f ∈ H に対して，フレーム展開 (frame expansion)

f =∑j∈

〈f, φj〉 φj =∑j∈

〈f, φj〉φj (3.8)

が成り立つ．特に，フレームが隙間のないフレームのときには，フレーム展開

f =1A

∑j∈

〈f, φj〉φj (3.9)

が成り立つ．


《証明》フレーム作用素の定義式 (3.2) と双対フレームの定義式 (3.7) より，

f = L−1Lf = L−1(∑n∈

〈f, φn〉φn)

=∑n∈

〈f, φn〉L−1φn =∑n∈

〈f, φn〉 φn

を得る．また，補題 3.3 より，L−1 は自己共役作用素であるから，任意の f , g ∈ H に対して，

〈f, g〉 =⟨∑n∈

〈f, φn〉 φn, g⟩

=∑n∈

〈f, φn〉〈φn, g〉 =⟨f,∑n∈

〈g, φn〉φn⟩

が成り立つから，

g =∑n∈

〈g, φn〉φn

を得る．

注意 3.5 系 φnn∈ が H の冗長なフレームのとき，標準双対フレーム φnn∈ とは異なるフレームφnn∈が存在して，任意の f ∈ H に対して，

f =∑n∈

〈f, φn〉φn

が成り立つ．実際，冗長なフレームならば，ある数列 cn ∈ 2()\0 があって，0 =∑

n∈ cnφn が成

り立つことが示せるから，ある cj = 0, j ∈ をとれば，φj =∑n∈\j −(cn/cj)φn を得る．このとき，

φnn∈\j はフレームとなるから，この標準双対フレームを φnn∈\j とし，φj = 0 とおけばよい．

応用上大切なことは，このような再構成公式の存在であって双対フレームの一意性ではない．

数値計算アルゴリズム

関数 f をそのフレーム係数 Uf [n] = 〈f, φn〉から再構成する数値計算アルゴリズムについて考えてみよう．双対フレームの元 φn = L−1φn が前もって求まっているならば，関数 f を再構成するためにフレーム

展開

f =∑n∈

〈f, φn〉 φn

を使うことができる．しかしある種の応用においては，双対フレームの元 φn が前もって求められない場合

がある．この場合は，まず

Lf =∑n∈

〈f, φn〉φn

を求めて，次に Lf に L−1 を作用させる形

f = L−1Lf

で求めることができよう．いずれの場合も，ある g ∈ H に対して，f = L−1g が計算できる効果的な方法

を必要とする．フレーム定数 A と B がわかっているときには，次のリチャードソン外挿法 (Richardson’s

extrapolation)が使える．

補題 3.5（リチャードソン外挿法）目的は，g ∈ Hに対して，f = L−1g を求めることである．まず，f0 = 0

とおく．緩和パラメータ (relaxation parameter)を γ > 0 とする．任意の自然数 n に対して，

fn = fn−1 + γ (g − Lfn−1) (3.10)


とおく．このとき，

δ = max |1 − γA|, |1 − γB| < 1 (3.11)

であるならば，

‖f − fn‖ ≤ δn ‖f‖ (3.12)

が成り立ち，したがって， limn→+∞ fn = f である．

《証明》式 (3.10) より，

f − fn = f − fn−1 − γ (g − Lfn−1)

であるから，R = I − γL とおけば，

f − fn = R(f − fn−1) = Rn(f − f0) = Rn(f) (3.13)

を得る．不等式 (3.1) とより，

A||f ||2 ≤ 〈Lf, f〉 ≤ B||f ||2

であるから，

〈Rf, f〉 = 〈f, f〉 − γ〈Lf, f〉に注意して (3.11) を使って表すと，

|〈Rf, f〉| ≤ δ‖f‖2

を得る．R が対称であることに注意すると，‖R‖ ≤ δ を得る．したがって (3.12) が示せる．明らかに δ < 1

ならば，‖f − fn‖ → 0 である．

このアルゴリズムを適用したフレーム係数からの再構成アルゴリズムは R. Duffin and A. Schaeffer17) で

与えられ，フレームアルゴリズム (frame algorithm)として知られている．収束レートが最大となるのは δ

が最小値をとるとき，すなわち，

δ =B −A

B +A=

1 −A/B

1 +A/B

のときであり，そのときの緩和パラメータの値は

γ =2

A+B

である．このアルゴリズムは A/B が 1 に近いとき速く収束する．A/B が小さいときは，

δ ≈ 1 − 2A

B(3.14)

が成り立つ．不等式 (3.12) より，相対誤差 ‖f − fn‖/‖f‖ は δn で上から評価されるから，与えられた正

数 ε より相対誤差が小さくなるためには，δn = ε を (3.14) に代入して，

n ≈ log εlog(1 − 2A/B)

≈ −B2A

log ε

を得る．このように，繰り返しの回数 n はフレーム定数の比 B/A に比例する．

グロシェニグ (Grochenig) は論文 K. Grochenig21) で共役勾配法 (conjugate gradient method)の考え

方に基づき，より速い再構成アルゴリズムを提案している．この再構成アルゴリズムはフレーム定数を知る

必要はなく，B/A が 1 に近い場合であってもフレームアルゴリズムより速い．


3.2 離散ウェーブレット変換

逆連続ウェーブレット変換で a と b を離散化して数値計算することを考えよう．定積分はリーマン和で

近似できるから，等式 (2.15) で a, b を aj , bk, j, k ∈ と適当に離散化し，ψ から適当に ψ を作って

f(x) =∑j,k∈

〈f, TbkDajψ〉Tbk

Daj ψ(x) (3.15)

と表せないかと考えてみる．注意 2.1 で述べたように，c = b/a とおくと

TbDa = DaTc

であることから，bk/ajj,k∈を適当に並べた数列を c∈とすると，等式 (3.15) は

f(x) =∑j,∈

〈f,DajTcψ〉DajTc

ψ(x) (3.16)

と表せる．等式 (3.16) で

ψj, := DajTcψ, ψj, := DajTc

ψ

とおけば，等式 (3.16) は 2 つの関数系ψj,

j,∈と

ψj,

j,∈を使って関数 f を再構成する式

f(x) =∑j,∈

〈f, ψj,〉 ψj, (3.17)

であると見なせる．フレームとはこの再構成公式 (reconstruction formula) (3.16) が成り立つような枠組

みを一般的に考察したものであるということができる．

どのような関数 ψ ∈ L2() を選び，どのように離散化すればフレームが得られるのであろうか．ドベシィ

(Daubechies) はフレームとなるための十分条件を I. Daubechies14) で与えた．結果のみ述べておく．

定理 3.2 関数 ψ ∈ L2() に対して，

β(ξ) := sup1≤|ω|≤a

+∞∑j=−∞

|ψ(ajω)| |ψ(ajω + ξ)|,

∆ :=+∞∑

n=−∞n=0

[β

(2πnu0

)β

(−2πnu0

)]1/2

とおく．このとき，2 つの正数 u0 と a が

A0 =1u0

inf1≤|ω|≤a

+∞∑j=−∞

|ψ(ajω)|2 − ∆

> 0,

B0 =1u0

sup1≤|ω|≤a

+∞∑j=−∞

|ψ(ajω)|2 + ∆

< +∞

を満たすならば， ψj, := DajTu0 ψ =

1√ajψ( xaj

− u0)

j,∈は A0, B0 をフレーム定数とする L2() のフレームとなる．

3.3. パーセヴァルウェーブレットフレーム 35

注意 3.6 双対フレームは定義式 (3.7) によって

ψj,k = (U∗U)−1ψj,k

と求まるが，これはそれぞれの ψj,k ごとに ψj,k を計算することを意味し，1 つの関数 ψ を求めて，その

ψ の平行移動と伸張によって双対フレームが得られることを保証しているわけではない．一般には作用素

U∗U が伸張作用素 Daj と可換ではないため，その逆 (U∗U)−1 も伸張作用素 Daj と可換ではない．その

ため，一般には双対フレームは 1 つの関数の平行移動 Tku0aj と伸張 Daj からは得られない．しかしなが

ら，(U∗U)−1 は平行移動 Tku0aj と可換であること，すなわち，

ψj,k(x) = ψj,0(x− ku0aj)

が示せる．

3.3 パーセヴァルウェーブレットフレーム

離散ウェーブレット変換の適当な離散化として，

(a, c) = (1/2j, k), j, k ∈

を考えてみる．関数 f ∈ L2() に対して，

fjk(x) := D1/2jTkf = 2j/2f(2jx− k), j, k ∈

とおく．これは，2 進有理点で離散化することが最も単純であり，高速フーリエ変換では刻み幅を 1/2j と

することが重要であったことを考えれば自然であるといえる．本節では，L2() の関数系 ψjk がパーセヴァルフレームなるための必要十分条件について考える．

補題 3.6 可分なヒルベルト空間 H のベクトルの系 φjj∈ を考える．このとき，次の 2 つの条件は同値

である．

(i) 任意の f ∈ H に対し，‖f‖2 =∑j∈

|〈f, φj〉|2 が成り立つ．

(ii) 任意の f ∈ H に対し，f =∑j∈

〈f, φj〉φj が成り立つ．（収束は H の意味）

《証明》等式 (ii) の H における収束から，

‖f‖2 = 〈f, f〉 = limM→∞

∑1≤j≤M

〈f, φj〉〈φj , f〉 =∑j∈

|〈f, φj〉|2

が従うので，(ii) ならば (i) はすぐにわかる．

逆を示そう．

SN :=N∑j=1

〈f, φj〉φj , N = 1, 2, · · ·

とおく．まず，SNN∈ はコーシー列であることをいう．一般に，‖f‖ = sup‖g‖≤1 |〈f, g〉| であるから，シュヴァルツの不等式を使って，等式 (i) を g に適用すれば，1 ≤M ≤ N に対し，

36 第 3章フレーム∥∥∥ N∑j=M

〈f, φj〉φj∥∥∥ = sup

‖g‖≤1

∣∣∣⟨ N∑j=M

〈f, φj〉φj , g⟩∣∣∣

≤ sup‖g‖≤1

N∑j=M

|〈f, φj〉|·|〈g, φj〉|

≤ sup‖g‖≤1

( N∑j=M

|〈f, φj〉|2)1/2

‖g‖ ≤( N∑j=M

|〈f, φj〉|2)1/2

が成り立つ．さらに (i) より，

limM→∞,M≤N

N∑j=M

∣∣〈f, φj〉∣∣2 = 0

が成り立つから，コーシー列であることが示せる．したがって，級数∑∞

j=1〈f, φj〉φj は H の元

h =∞∑j=1

〈f, φj〉φj ∈ H

に収束する．等式 (i) を空間 H における分極公式 (polarization identity)

〈f, g〉 =14‖f + g‖2 − ‖f − g‖2 + i‖f + ig‖2 − i‖f − ig‖2

に代入すると，任意の f, g ∈ H に対し，

〈f, g〉 =∞∑j=1

〈f, φj〉〈φj , g〉

が成り立つ．それゆえ，任意の g ∈ H に対し，

〈h, g〉 =⟨ ∞∑j=1

〈f, φj〉φj , g⟩

=∞∑j=1

〈f, φj〉〈φj , g〉 = 〈f, g〉

が成り立つ．したがって，h = f であり，(ii) が示せる．

注意 3.7 パーセヴァルフレームの定義は補題 3.6 の (i) が成り立つことであったが，再構成公式 (ii) が成

り立つことを定義としてもよい．

補題 3.7 可分なヒルベルト空間 H のベクトルの系 φjj∈ が補題 3.6 の条件 (i) を満たすとする．この

とき，

‖φj‖ ≥ 1, j ∈ であるなら，系 φjj∈ は H の正規直交基底である．

《証明》等式 (i) を f = φj0 に適用すると，

‖φj0‖2 = |〈φj0 , φj0〉|2 +∑j =j0

|〈φj0 , φj〉|2

を得る．移項して整理すると，

‖φj0‖2(1 − ‖φj0‖2

)=∑j =j0

|〈φj0 , φj〉|2

3.3. パーセヴァルウェーブレットフレーム 37

である．仮定より ‖φj0‖ ≥ 1 であるから，左辺は非正である．一方，右辺は非負であるから，等号が成り立

つためには，両辺は 0 でなければならない．したがって，〈φj0 , φj〉 = 0, ∀j = j0 である．また，‖φj0‖ ≥ 1

であるから，‖φj0‖ = 1 でなければならない．j0 が任意であるから，系は正規直交系である．補題 3.6 の

条件 (i) あるいは (ii) が任意の f ∈ H に対して成り立つことから，完全性が示せる．ヒルベルト空間の部分集合が正規直交基底であることと完全正規直交系であることは同値であることに注意すればよい．

を有限の添字集合とする．

定義 3.6 関数系 ψjk∈,j∈,k∈n ⊂ L2(n ) がフレーム定数 A を持つ隙間のないウェーブレットフレー

ム (tight wavelet frame)であるとは，関数系 ψjk が

f =1A

∑∈,j∈,k∈n

〈f, ψjk〉ψjk, ∀f ∈ L2(n ) (3.18)

を満たすときをいう．

次の定理は本質的には M. Frazier, G. Garrigos, K. Wang and G. Weiss18) で一般の n の場合に述べ

られ，証明された Theorem 1 であり，n の場合にパーセヴァルウェーブレットフレームであるための必要

十分条件を与える．証明は長いので省略する．1 次元の場合はヘルナンデス・ワイス9) の第 7 章の定理 1.6

を参照せよ．

定理 3.3 関数 ψ ∈ L2(n ), ∈ から生成される関数系 ψjk∈,j∈,k∈n がパーセヴァルフレームに

なるための必要十分条件は， ∑∈,j∈

∣∣∣ψ(2jξ)∣∣∣2 = 1, a.e. ξ ∈ n , (3.19)

∑∈,j∈+

ψ(2jξ) ψ(2j(ξ + 2πq)) = 0, a.e. ξ ∈ n , ∀q ∈ n\(2)n (3.20)

が成り立つことである．ここで，+ := ∪ 0 であり，q ∈ n\(2)n は少なくとも 1 つの成分 qj が奇

数であることを意味する．

定理 3.4 関数 ψ ∈ L2(n ), ∈ から生成される関数系 ψjk∈,j∈,k∈n が正規直交基底になるため

の必要十分条件は，‖ψ‖ = 1, ∈ であり，かつ (3.19) と (3.20) が成り立つことである．

《証明》定理 3.3 と補題 3.7 から明らかである．

第4章

ウェーブレット展開

定理 3.4 では関数 ψ ∈ L2() から生成される関数系 ψjk が正規直交基底になるためのひとつの必要十分条件を与えたが，実際にこのような条件を満たす関数を構成しようとすると一般には簡単ではない．本章

では，このような関数を構成する多重解像度解析の方法を中心に述べる．多重解像度解析はスケーリング関

数と呼ばれる関数から構成することができて，ウェーブレット関数もスケーリング関数から構成できること

を述べる．この多重解像度の方法の最も優れている点は様々なスケールで関数（信号）を解析する過程が数

学的に記述されることである．

以後，等式などにおいて，「ほとんどすべての ξ」や「a.e. ξ ∈ 」を省略することがある．

4.1 正規直交ウェーブレットの定義

関数 f ∈ L2() に対して，

fjk(x) := D1/2jTkf = 2j/2f(2jx− k), j, k ∈

とおく．

定義 4.1 関数 ψ ∈ L2() に対し，関数系 ψjkj,k∈が L2() の正規直交基底となるとき，関数 ψ を

ウェーブレット関数 (wavelet function)，正規直交ウェーブレット (orthonormal wavelet)または単にウェー

ブレット (wavelet)という．このとき，f ∈ L2() の正規直交基底 ψjkj,k∈に関する展開

f =∑j,k∈

〈f, ψjk〉ψjk (4.1)

をウェーブレット展開 (wavelet expansion)と呼ぶ．

4.2 関数をシフトすることにより生成される正規直交系

ここでは，整数 k の定数 c 倍だけの平行移動 Tck をシフト (shift) と呼ぶ．

補題 4.1 関数 f ∈ L2() に対し，関数系 f (x− k)k∈が正規直交系になるのは，∑k∈

|f(ξ + 2πk)|2 ≡ 1, a.e. ξ ∈ (4.2)

が成り立つとき，かつそのときに限る.

38

4.2. 関数をシフトすることにより生成される正規直交系 39

《証明》

F (ξ) :=∑k∈

f(ξ + 2πk)f(ξ + 2πk)

とおく．F (ξ) ∈ L1([0, 2π)) である．パーセヴァルの等式 (Parseval’s formula)

〈f, g〉 =12π⟨f , g

⟩, f, g ∈ L2() (4.3)

より，f (x− k)k∈の正規直交性は，任意の ∈ に対し，

δ,0 =∫

f(x− )f(x) dx

=12π

∫

e−iξ f(ξ) f(ξ) dξ

=∑k∈

12π

∫ 2π

0

e−i(ξ+2πk) f(ξ + 2πk)f(ξ + 2πk)dξ

=12π

∫ 2π

0

e−iξ F (ξ) dξ = F ()

が成り立つことと同値である．フーリエ級数を考えれば，F (ξ) =∑

∈ δl,0 eiξ ≡ 1 と同値である．

補題 4.2 関数系 f (x− k)k∈と関数系 g(x − k′)k′∈は異なる，つまり，任意の k ∈ に対して，f(x) ≡ g(x− k) であるとする．このとき，関数系 f (x− k)k∈∪ g(x− k′)k′∈が正規直交系になるのは， ∑

k∈|f(ξ + 2πk)|2 ≡

∑k∈

|g(ξ + 2πk)|2 ≡ 1, (4.4)

∑k∈

f(ξ + 2πk) g(ξ + 2πk) ≡ 0　 (4.5)

が成り立つとき，かつそのときに限る.

《証明》補題 4.1 によれば，f (x − k)k∈と g(x − k′)k′∈のそれぞれが正規直交系になる条件は(4.4) である．そこで，f(x− ), ∈ と g(x) の直交性と同値な条件を調べよう．

H(ξ) :=∑k∈

f(ξ + 2πk) g(ξ + 2πk)

とおく．H(ξ) ∈ L1([0, 2π)) よりそのフーリエ級数は超関数 D′([0, 2π)) の意味で，

H(ξ) =∑∈

H() eiξ

とかけて，

H() =12π

∫

e−iξ f(ξ)g(ξ) dξ =∫

f(x− )g(x) dx

であることに注意すれば補題 4.1 と同様に，求める条件は (4.5) であることがわかる．

関数系 f (x− k)k∈は L2() の正規直交系であるとする．整数 j ∈ に対し，

Vj := Span fjk(x) := 2j/2f(2jx− k)k∈

とおく．このとき，

(i) f(x) ∈ V0 ⇐⇒ すべての k ∈ に対し，f(x− k) ∈ V0.

40 第 4章ウェーブレット展開

(ii) f(x) ∈ Vj ⇐⇒ f(2x) ∈ Vj+1, j ∈ .が成り立つことに注意しよう．性質 (i) をシフト不変性 (shift invariance) と呼び，性質 (ii) をスケール不変

性 (scale invariance) と呼ぶ．また，性質 (i) が成り立つ空間 V0 をシフト不変空間 (shift invariant space)

と呼ぶことがある．

補題 4.3 Vj のフーリエ像 FVj は，

FVj = m(ξ/2j)f(ξ/2j) ; m(ξ) ∈ L2([0, 2π))

と特徴づけることができる．これを

FVj = L2(2−j[0, 2π))f(ξ/2j)

と表す．

《証明》 g ∈ Vj なら，ak := 〈g, fjk〉とおくとき，ak ∈ 2()であり，

g =∑k∈

ak fjk

とかける．これをフーリエ変換してみると，

g(ξ) = 2−j/2∑k∈

ak f(ξ/2j) e−ikξ/2j

となるから，mg(ξ) := 2−j/2∑

k∈ ak e−ikξ とおくと，mg(ξ) ∈ L2([0, 2π)) であって，

g(ξ) = mg(ξ/2j)f(ξ/2j)

が成り立つ．逆も同様である．

補題 4.3 によれば，g, h ∈ Vj なら，ある関数 mg(ξ),mh(ξ) ∈ L2([0, 2π)) があって，

g(ξ) = mg(ξ/2j)f(ξ/2j), h(ξ) = mh(ξ/2j)f(ξ/2j)

が成り立つ．このとき，次の系が成り立つ．

系 4.1

〈g, h〉 =2j

2π

∫ 2π

0

mg(ξ)mh(ξ) dξ.

《証明》

〈g, h〉 =12π

〈g, h〉

=12π

∫

mg(ξ/2j)mh(ξ/2j) |f(ξ/2j)|2 dξ

=2j

2π

∑k∈

∫ 2π

0

mg(ξ + 2πk)mh(ξ + 2πk) |f(ξ + 2πk)|2 dξ

だから，mg(ξ),mh(ξ) ∈ L2([0, 2π)) が周期 2π であることに注意して，補題 4.1 を使うとよい．

関数 f, g ∈ L2() に対し，f (x− k)k∈と g(x− k)k∈のそれぞれが正規直交系であるとする．さ

4.3. スケーリング関数と伸張方程式 41

らに，

Vj := Span fjkk∈, Wj := Span gjkk∈, j ∈ とおくとき，W0 ⊂ V1 を満たすとする．補題 4.3 より，ある関数 m1(ξ) ∈ L2([0, 2π)) があって，

g(ξ) = m1(ξ/2)f(ξ/2) (4.6)

とかける．このとき，次の補題が成り立つ．

補題 4.4

|m1(ξ)|2 + |m1(ξ + π)|2 ≡ 1. (4.7)

《証明》 (4.6) を (4.2) に代入してみよう．k が偶数のときと奇数のときの和にわけて，m1 が周期 2π の

周期関数であることに注意すると，

1 =∑k∈

|m1(ξ/2 + πk)f(ξ/2 + πk)|2

=∑k′∈

|m1(ξ/2 + 2πk′)|2|f(ξ/2 + 2πk′)|2

+∑k′′∈

|m1(ξ/2 + π + 2πk′′)|2|f(ξ/2 + π + 2πk′′)|2

= |m1(ξ/2)|2∑k′∈

|f(ξ/2 + 2πk′)|2 + |m1(ξ/2 + π)|2∑k′′∈

|f(ξ/2 + π + 2πk′′)|2

となるから (4.2) を使えばよい．

特に，g = f のときを考えよう．すなわち，f (x− k)k∈が正規直交系であって，V0 ⊂ V1 を満たすと

する．補題 4.3 より，ある関数 m0(ξ) ∈ L2([0, 2π)) があって，

f(ξ) = m0(ξ/2)f(ξ/2) (4.8)

とかける．このとき，次の系が成り立つ．

系 4.2

|m0(ξ)|2 + |m0(ξ + π)|2 ≡ 1. (4.9)

注意 4.1 補題 4.4 と系 4.1から m1(ξ), m0(ξ) ∈ L∞([0, 2π)) であることがわかる．ここで L∞([0, 2π))

は本質的に有界な周期 2π の関数全体のなす集合を表す．

4.3 スケーリング関数と伸張方程式

まず，スケーリング関数の定義から始めよう．

定義 4.2 L2() の関数 ϕ がスケーリング関数 (scaling function) であるとは，次の 3 つの条件を満たす

ときをいう．

(i) 関数系 ϕ(x− k)k∈が L2() の正規直交系となる．


(ii) ある hk ∈ 2()があって，

ϕ(x) = 2∑k∈

hk ϕ(2x− k) (4.10)

が成り立つ．この等式 (4.10) を伸張方程式 (dilation equation) と呼ぶ．

(iii) ϕ(ξ) は原点の近傍で連続であって，ϕ(0) = 0 である．

スケーリング関数 ϕ に対して，

Vj := Span ϕjkk∈, j ∈

とおく．

注意 4.2 条件 (ii) は V0 ⊂ V1 と同値である．実際，(ii) ならば ϕ0, ∈ V1, ∈ となり，V0 ⊂ V1 であ

る．逆に，ϕjkk∈は Vj の正規直交基底であるから，V0 ⊂ V1 より，ϕ は ϕ1,kk∈の線形結合 (4.10)

で表せる．これより，

hk = 2−1/2〈ϕ,ϕ1,k〉であることがわかる．また，スケーリング関数の定義はいろいろな流儀がある．後で述べる多重解像度解析

に付随してスケーリング関数を定義する流儀が主流であるが，ここでは，スケーリング関数から正規直交

ウェーブレット関数を構成するという立場で比較的理解しやすい定義を採用した．条件 (iii) はもう少し条

件を緩めることができる．

スケーリング関数の例を挙げよう．

例 4.1（メイエのスケーリング関数）関数 ϕ を，そのフーリエ変換 ϕ が 0 ≤ ϕ ≤ 1 を満たす無限回微分

可能な実数値の偶関数で，

ϕ(ξ) =

1 −2π/3 ≤ ξ ≤ 2π/3

0 ξ ≤ −4π/3, 4π/3 ≤ ξ

かつ

ϕ(ξ)2 + ϕ(2π − ξ)2 ≡ 1, 0 ≤ ξ ≤ 2π (4.11)

を満たすようにとる．この条件を満たす関数 ϕ をメイエのスケーリング関数 (Meyer’s scaling function) と

呼ぶ．メイエのスケーリング関数 ϕ(x) のグラフの概形を図 4.1 に示す．対称軸が x = 0 であって，台は

無限に広がっているが非常に速く減衰しており，積分すると面積が 1（正の部分と負の部分をキャンセルし

て）に等しくなることに注意しよう．

補題 4.5 スケーリング関数 ϕ に対して，

∪j∈Vj = L2() (4.12)

が成り立つ．

《証明》最初に，

W := ∪j∈Vjとおき，W が平行移動で不変なことを示す．まず，2 進有理数による平行移動 T2−m, ∈ , m ∈ の

4.3. スケーリング関数と伸張方程式 43

-8 -4 0 4 8-0.4

0.0

0.4

0.8

1.2

図 4.1 メイエのスケーリング関数

場合を考える．f ∈W とすると，任意の ε > 0 に対して，j0 ∈ と h ∈ Vj0 があって，‖f − h‖ < ε が成

り立つ．スケーリング関数の条件 (ii) より

Vj ⊂ Vj+1, j ∈

が成り立つから，j ≥ j0 ならば h ∈ Vj となり，

h(x) =∑k∈

cjkϕ(2jx− k)

と表せる．したがって，

(T2−mh)(x) = h(x− 2−m) =∑k∈

cjkϕ(2j(x− 2−m) − k)

となる．j ≥ のときは，2j−m ∈ だから，

ϕ(2j(x− 2−m) − k) = ϕ(2jx− 2j−m− k) ∈ Vj

であり，T2−mh ∈ Vj となる．

‖T2−mf − T2−mh‖ = ‖f − h‖ < ε

であるから，ε > 0 の任意性により，W は 2 進平行移動で不変である．一般の平行移動 Tx, x ∈ の場合には，任意の ε > 0 に対して，2−m が x に十分近くなるように整数 m, を選べば，‖T2−mf −Txf‖ < ε

が成り立つようにできるから，W が平行移動 Tx で不変であることが示せる．

スケーリング関数の条件 (iii) より，ある正数 µ があって，(−µ, µ) 上では ϕ(ξ) = 0 となる．g ∈ W⊥

とする．W が平行移動で不変であるから，任意の実数 x と f ∈ W に対して，

0 =∫

f(x+ t) g(t) dt

が成り立つ．パーセヴァルの等式により，任意の実数 x に対して，


0 =∫ ∞

−∞eiξxf(ξ) g(ξ) dξ

が成り立つ．f g ∈ L1() であるから，ほとんどすべての実数 ξ で f(ξ) g(ξ) = 0 がわかる．特に

f(x) = 2jϕ(2jx) ととれば，f ∈ Vj ⊂ W で f(ξ) = ϕ(2−jξ) であるから，ほとんどすべての実数 ξ で

ϕ(2−jξ) g(ξ) = 0 となる．ξ ∈ (−2jµ, 2jµ) なら ϕ(2−jξ) = 0 だから，ほとんどすべての ξ ∈ (−2jµ, 2jµ)

で g(ξ) = 0 がわかる．ここで，j → ∞ とすれば，ほとんど至るところで g = 0 となり，g = 0 が得られ

る．よって，∪j∈Vj = L2() が示された．

補題 4.6 スケーリング関数 ϕ に対して，

∩j∈Vj = 0 (4.13)

が成り立つ．

《証明》 L2() の閉部分空間 Vj 上への射影作用素を Pj とかく．(4.13) を示すには，任意の f ∈ L2()

に対し，

limj→−∞

||Pjf || = 0

が成り立つこといえばよいが，射影作用素は ||Pj || = 1 を満たすから，f が L2() の稠密な集合 D に属

するときを考えれば十分である．実際，任意 ε > 0 に対し，ある g ∈ D があって，||f − g|| < ε が成り立

つから，

||Pjf || ≤ ||Pj || ||f − g|| + ||Pjg|| ≤ ε+ ||Pjg||となり，

limj→−∞

||Pjg|| = 0

より，

limj→−∞

||Pjf || = 0

が従うからである．

特に，階段関数の集合は L2() の稠密な集合であり，階段関数は閉区間の特性関数の有限個の線形結合

で表せるから，任意の閉区間 [a, b] の特性関数 χ[a,b] について，

limj→−∞

||Pjχ[a,b]|| = 0

を示せばよい．パーセヴァルの等式とシュヴァルツの不等式より，

||Pjχ[a,b]||2 =∑k∈

|〈χ[a,b], ϕjk〉|2

= 2j∑k∈

∣∣∣∫ b

a

ϕ(2jx− k) dx∣∣∣2

= 2−j∑k∈

∣∣∣∫ 2jb

2ja

ϕ(x− k) dx∣∣∣2

≤ (b− a)∑k∈

∫ 2jb

2ja

|ϕ(x− k)|2 dx

= (b− a)∫

∑k∈

χ[2ja+k,2jb+k](x)|ϕ(x)|2 dx

4.4. 多重解像度解析 45

が成り立つ．j → −∞ のとき，区間 [2ja+ k, 2jb + k] は交わりをもたなくなるから，∑k∈

χ[2ja+k,2jb+k](x)|ϕ(x)|2 ≤ |ϕ(x)|2 ∈ L1()

が成り立ち，ルベーグの収束定理により，極限を積分記号の中に入れてもよい．ほとんどすべての x ∈ に対し， ∑

k∈χ[2ja+k,2jb+k](x)|ϕ(x)|2 → 0

であるから，

limj→−∞

||Pjχ[a,b]|| = 0

が成り立つ．

4.4 多重解像度解析

前節ではスケーリング関数から L2() の閉部分空間の列 Vjj∈を構成し，その性質を調べた．これとは逆に上で調べた性質を持つ閉部分空間の列 Vjj∈が与えられたとして，閉部分空間の列に付随してスケーリング関数を定義する方法を述べよう．この定義は，ウェーブレット関数がある意味で V0 のひとつの

関数の整数シフトからなる基底の取り方に依らないこと，つまりスケーリング関数の取り方に依らず求まる

ことを明確にする．

定義 4.3 次の条件を満たす L2() の閉部分空間の列 Vjj∈を多重解像度解析 (multiresolution analysis)

と呼ぶ．

(a) · · · ⊂ Vj−1 ⊂ Vj ⊂ Vj+1 ⊂ · · ·このことを Vjj∈は増大列 (increasing sequence) であるという．

(b) ∩j∈Vj = 0(c) ∪j∈Vj = L2()

(d) f(x) ∈ Vj ⇐⇒ f(2x) ∈ Vj+1

(e) ある関数 ϕ(x) ∈ V0 が存在して，ϕ(x− k)k∈は V0 の正規直交基底となる．

整数 j をスケール (scale) といい，関数 ϕ をスケーリング関数 (scaling function) と呼ぶ．

多重解像度解析の定義に関していくつかの注意を述べておこう．

注意 4.3

(1) (e) より，

f(x) ∈ V0 ⇐⇒ すべての k ∈ に対し，f(x− k) ∈ V0

であり，(d) と (e) より，Vj = Span ϕjkk∈が成り立つ．(2) I. Daubechies15) などのように，Vjj∈が j に関して，増大列ではなく減少列になっている場合

もある．この場合には，fjk の定義をかえる必要がある．

(3) (e) のかわりに

(f) 関数 g(x) ∈ V0 が存在して，g(x− k)k∈は V0 のリース基底となる．

という定義が使われる場合がある．ここで，V0 の関数列 g(x−k)k∈がリース基底 (Riesz basis) で

あるとは，正数 c1 と c2 が存在して，任意の 2()の列 αk に対して，（つまり，∑

k∈ |αk|2 < +∞


が成り立つような αk ということ）

c1

(∑k∈

|αk|2)1/2

≤∥∥∥∑k∈

αkg(x− k)∥∥∥V0

≤ c2

(∑k∈

|αk|2)1/2

が成り立つときをいう．

(4) Y. Meyer27) では，与えられたリース基底 g(x− k)k∈に対し，正規直交基底 ϕ(x− k)k∈を

ϕ(ξ) := g(ξ)/(∑

k∈|g(ξ + 2πk)|2

)1/2

とおくことによって構成できることを述べている．

(5) Y. Meyer27) では別の関数 φ(x) ∈ V0 が存在して，φ(x− k)k∈が V0 の正規直交基底であると

すると，|θ(ξ)| ≡ 1 を満たす周期 2π の関数 θ(ξ) ∈ L∞([0, 2π)) があって，ϕ(ξ) = θ(ξ)φ(ξ) が成り

立つことが述べられている．したがって，ある意味で多重解像度解析 Vjj∈に対してスケーリング関数 ϕ はひとつに決まるといってよい．このことにより，

∣∣∫ϕ(x)dx

∣∣ = 1 なら，θ(ξ) ∈ L∞[0, 2π))

をうまく選ぶと，∫ϕ(x)dx = 1 が成り立つようにできる．

4.5 ウェーブレット関数の構成

スケーリング関数に要請される条件の 1 つは条件 (ii) であり，この条件が様々なスケールでの解析を可

能にする最も重要な条件である．そこで，本節では V0 ⊂ V1 を仮定して，スケーリング関数からウェーブ

レット関数を構成しよう．

一般に，ヒルベルト空間 H の閉部分空間 N に対し，集合 f ∈ H ; 任意の g ∈ N に対し，〈f, g〉 = 0を N の H における直交補空間 (orthogonal complement) といい，N⊥ とかく．集合 N⊥ は閉部分空間

であることが示せる．

V1 における V0 の直交補空間を V⊥0 とおく．ウェーブレットを構成するには，V⊥

0 の構造について考え

る必要がある．フーリエ変換によってヒルベルト空間の構造は保存されるから，FV1 における FV0 の直交

補空間を考えよう．補題 4.3 より，

FV0 = L2([0, 2π))f(ξ)

である．(4.8) より

FV0 = L2([0, 2π))m0(ξ/2)f(ξ/2)

とかける．補題 4.3 より，

FV1 = L2([0, 4π))f(ξ/2)

であることに注意し，系 4.1 を使うと，ヒルベルト空間としての同型

L2([0, 4π))f(ξ/2) ∼= L2([0, 4π))

が示せる．したがって，L2([0, 2π))m0(ξ/2) の L2([0, 4π)) における直交補空間を V⊥0 とおき，この空間の

構造を調べればよいことになる．

補題 4.7 関数系 f (x− k)k∈は正規直交系であって，V0 ⊂ V1 を満たすとする．このとき，

V⊥0 =

(ξ/2) ∈ L2([0, 4π)) ; m0(ξ)(ξ) +m0(ξ + π)(ξ + π) ≡ 0

(4.14)

が成り立つ．

4.5. ウェーブレット関数の構成 47

《証明》関数の周期性に注意すると，(ξ/2) ∈ V⊥0 は，任意の n(ξ) ∈ L2([0, 2π)) に対し，

0 =∫ 4π

0

n(ξ)m0(ξ/2)(ξ/2) dξ

= 2∫ 2π

0

n(2ξ′)m0(ξ′)(ξ′) dξ′

= 2∫ π

0

n(2ξ′)m0(ξ′)(ξ′) +m0(ξ′ + π)(ξ′ + π) dξ′ (4.15)

と同値である．さらに，

m0(ξ′)(ξ′) +m0(ξ′ + π)(ξ′ + π) ∈ L2([0, π))

であって，n(2ξ′) は L2([0, π)) の任意の元であることに注意すると，(4.15) は L2([0, π)) の意味で，

m0(ξ′)(ξ′) +m0(ξ′ + π)(ξ′ + π) ≡ 0

が成り立つことと同値である．

補題 4.8 関数 f, g ∈ L2() に対し，f (x− k)k∈と g(x− k)k∈のそれぞれが正規直交系であるとする．さらに，Vj := Span fjkk∈, Wj := Span gjkk∈とおくとき，V0 ⊂ V1 を満たし，g ∈ V⊥

0 で

あるとする．このとき，W0 = V⊥0 が成り立つ．

《証明》 W0 ⊂ V⊥0 は明らかである．補題 4.3 により，任意の関数 h ∈ V⊥

0 に対し，ある関数 (ξ/2) ∈ V⊥0

があって，

h(ξ) = (ξ/2)f(ξ/2)

が成り立つ．V0 ⊂ V1 だから (4.6) を満たす m1(ξ) ∈ L2([0, 2π)) が存在する．m1, ∈ V⊥0 だから (4.14)

より，2 つのベクトルは平行 (m1(ξ),m1(ξ + π)

)//

((ξ), (ξ + π)

),

つまり，ある関数 n(ξ) があって，

(ξ) = n(ξ)m1(ξ), (ξ + π) = n(ξ)m1(ξ + π)

が成り立つ．これより，n(ξ) は周期 π の関数であるとしてよい．(4.7) を使って，

||||L2([0,2π)) = ||n||L2([0,π))

が示せるので，n(ξ) ∈ L2([0, 2π)) である．よって，

n(ξ) =∑k∈

ak e−2ikξ ∈ L2([0, π))

と書けることがわかる．

h(x) = F−1[n(ξ/2)m1(ξ/2)f(ξ/2)

]=∑k∈

akF−1[g(ξ) e−ikξ

]=∑k∈

akg(x− k) ∈ W0


であるから，V⊥0 ⊂ W0 が成り立つ．

補題 4.8 の証明から，V⊥0 がただひとつの関数 g の整数の平行移動だけで表現できる理由を関係式 (4.14)

によって定義される 2 の部分ベクトル空間（原点を通る直線）：(z, w) ∈ 2 ; m0(ξ)z +m0(ξ + π)w = 0

の次元が 1 次元であることにあるとみることができる．このような考え方は多次元ウェーブレットに有効で

ある．n 次元ウェーブレットは 2n − 1 個のウェーブレット関数を必要とすることが知られている．たとえ

ば Y. Meyer27) をみよ．

補題 4.9 関数系 f (x− k)k∈が正規直交系であって，V0 ⊂ V1 を満たし，g ∈ V⊥0 とする．このとき，

関数系 f (x− k)k∈∪ g(x− k′)k′∈が正規直交系になる条件は，行列

M(ξ) :=

m0(ξ) m1(ξ)

m0(ξ + π) m1(ξ + π)

がほとんどすべての ξ ∈ に対し，ユニタリ行列になることである．

《証明》 (4.6) と (4.8) を (4.5) に代入してみよう．k が偶数のときと奇数のときの和にわけて，m0 と m1

が周期 2π の周期関数であることに注意すると，∑k∈

m0(ξ/2 + πk)f(ξ/2 + πk)m1(ξ/2 + πk)f(ξ/2 + πk)

=∑k′∈

m0(ξ/2 + 2πk′)m1(ξ/2 + 2πk′) |f(ξ/2 + 2πk′)|2

+∑k′′∈

m0(ξ/2 + π + 2πk′′)m1(ξ/2 + π + 2πk′′)|f(ξ/2 + π + 2πk′′)|2

= m0(ξ/2)m1(ξ/2)∑k′∈

|f(ξ/2 + 2πk′)|2

+m0(ξ/2 + π)m1(ξ/2 + π)∑k′′∈s

|f(ξ/2 + π + 2πk′′)|2

となるから (4.4) を使うと，

m0(ξ/2)m1(ξ/2) +m0(ξ/2 + π)m1(ξ/2 + π) ≡ 0

を得る．この式と (4.7) と (4.9) は行列 M(ξ) がほとんどすべての ξ に対し，ユニタリ行列になることを

意味する．逆も，仮定から (4.4) と (4.5) とが成り立つので明らかであろう．

これらの準備の下で次のウェーブレット関数の構成定理を得る．伸張方程式 (4.10) をフーリエ変換した

式の ξ に 2ξ を代入して得られる式を

ϕ(2ξ) = m0(ξ)ϕ(ξ), m0(ξ) :=∑k∈

hk e−ikξ (4.16)

と表す．

定理 4.1 関数 ϕ はスケーリング関数であるとし，m0 は (4.16) で定義された関数であるとする．このとき，

ψ(x) = F−1[e−iξ/2m0(ξ/2 + π) ϕ(ξ/2)

](4.17)

はウェーブレット関数である．

4.6. ウェーブレットの正則性 49

《証明》問題は m1(ξ) を行列 M(ξ) がほとんどすべての ξ に対し，ユニタリ行列になるように選ぶこと

であるが，たとえば，

m1(ξ) := e−iξm0(ξ + π)

とすればよい．このとき，系 4.2より m0 ∈ L∞([0, 2π))であるから，m1 ∈ L∞([0, 2π))となり，ψ ∈ L2()

となる．

スケーリング関数の条件 (ii) より，V0 ⊂ V1 であり，f = ϕ とおき，補題 4.7 を使えば，(4.17) から

ψ ∈ V⊥0 である．g = ψ とおき，補題 4.9 を使えば，

ϕ(x− k)k∈∪ ψ(x− k′)k′∈が正規直交系になって，補題 4.8 より

V1 = V0 ⊕W0

となる．したがって

Vj+1 = Vj ⊕Wj

となる．補題 4.6 を使って，

∪j∈Vj = ⊕j∈Wj

となることに注意すると，補題 4.5 より，ψjkj,k∈は L2() の正規直交基底となる．

例 4.2（メイエのウェーブレット関数）関数 ϕ を例 4.1 で述べたメイエのスケーリング関数とする．メイ

エのウェーブレット関数 ψ(x) を (4.17) で定義する．メイエのウェーブレット関数 ψ(x) のグラフの概形

は図 4.2 のようになる．対称軸が x = 1/2 であって，台は無限に広がっているが非常に速く減衰しており，

積分すると正の部分と負の部分の面積が等しくなるように振動していることに注意しよう．

-8 -4 0 4 8-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

図 4.2 メイエのウェーブレット

4.6 ウェーブレットの正則性

応用上ウェーブレットは無限遠で速く減少していることが望ましい．そのひとつの枠組みとして，次の関

数を考える．


定義 4.4 関数 f(x) ∈ L1() が，任意の正数 N に対し，ある正数 CN があって，（ほとんどいたるところ

の x に対し，）

|f(x)| ≤ CN (1 + |x|)−N (4.18)

を満たすとき，無限遠で急減少 (rapidly decreasing at infinity) であるという．

また，非負の整数 + := x ∈ ; x ≥ 0 に対し，

Sr() := f ∈ Cr() ; f (α), 0 ≤ α ≤ rは無限遠で急減少

とする．関数 f が f ∈ Sr() を満たすとき，f は r 次正則 (regular) であるという．

注意 4.4 Y. Meyer27) では，微分を超関数の意味で考えて，Cr() を L∞() に取り替えた弱い条件を

r-regular と呼んでいることを注意しておく．もちろん，r 次正則なら r-regular である．

+ := x ∈ ; x ≥ 0 とおく．非負の実数 s ∈ + に対し，ソボレフ空間 (Sobolev space) を

Hs() :=f ∈ L2() ;

∫

(1 + |ξ|)2s|f(ξ)|2 dξ < +∞

で定義する．+ := x ∈ ; x ≥ 0 とおく．また，α ∈ + に対し，f の α 次導関数を f (α) とかく．非

負の整数 r ∈ + に対し，

Br() :=f(x) ∈ Cr() ; sup

x∈|f (α)(x)| < +∞, 0 ≤ α ≤ r

とする．このとき， f が無限遠で急減少なら，f ∈ ∩s∈+H

s() である．ソボレフの埋め込み定理によれ

ば，s > r+ 1/2 ならば，Hs() ⊂ Br() が成り立つので，f ∈ B∞() である．たとえば，G. Folland20)

をみよ．

定理 4.2 スケーリング関数は r 次正則であるとする．このとき (4.17) で定義されるウェーブレット関数

ψ は r 次正則である．

《証明》 m0 の定義を思い出そう．注意 4.2 より，フーリエ係数は hk = 2−1/2〈ϕ,ϕ1,k〉を満たし，m0(ξ) :=

∑k∈ hk e

−ikξ と定義した．ϕ が無限遠で急減少であることより，任意の正数 N1, N2 に対

し，ある正数 C1, C2 があって，不等式

|ϕ(x− k)| ≤ C1(1 + |x|)N1

(1 + |k|)N1, |ϕ(x− k)| ≤ C2

(1 + |k|)N2

(1 + |x|)N2

が成り立つことを使えば，

|ϕ(x)ϕ(2x− k)| ≤ C2(1 + |0|)N2

(1 + |x|)N2C1

(1 + |2x|)N1

(1 + |k|)N1

を得る．N2 = N1 + 2 ととれば，ある正数 C3 があって，

|hk| ≤ C3

(1 + |k|)N1

が成り立つから，フーリエ係数 hk は無限遠で急減少である．

スケーリング関数からウェーブレット関数を定義する式 (4.17)でm1(ξ) := e−iξm0(ξ + π) とおいたので，

4.7. ヴァニシングモーメント 51

m1(ξ) =∑k∈

(−1)1−kh1−k e−ikξ (4.19)

となる．伸張方程式 (4.10) を考えれば，(4.17) は

ψ(x) = 2∑k∈

(−1)1−kh1−k ϕ(2x− k) (4.20)

とかけることがわかる．このフーリエ係数も無限遠で急減少だから，(4.20) は r 回項別微分可能となり，

ψ ∈ Cr() である．さらに，ϕ(α), 0 ≤ α ≤ r が無限遠で急減少であることより，任意の正数 N に対し，

ある正数 CαN があって，不等式

|ϕ(α)(x− k)| ≤ CαN(1 + |k|)N(1 + |x|)N

が成り立つことを使えば，ψ(α), 0 ≤ α ≤ r も無限遠で急減少であることがわかる．

4.7 ヴァニシングモーメント

定義 4.5 関数 f と α ∈ + に対して，上の積分∫xαf(x) dx

が存在するとき，この積分値を f の α 次モーメント (moment) という．そして，∫xαf(x) dx = 0

なら，f は α 次のヴァニシングモーメントを持つ (vanishing moment) という．

注意 4.5 関数 f のフーリエ変換 f(ξ) が定義できて，f (α)(ξ) が原点で連続なら，f の α 次モーメントは，∫

xαf(x) dx =∫

e−ixξ xαf(x) dx∣∣ξ=0

= F [xαf(x)](0) = iαf (α)(0) (4.21)

と表すことができることに注意しよう．

非負の整数 r ∈ + に対し，

Rr() := f (x) ∈ Br() ; xαf(x) ∈ L1(), 0 ≤ α ≤ r

とおく．一般に，L1() ∩ L∞() ⊂ Lp(), 1 ≤ p ≤ +∞ であるから，Rr() ⊂ L2() が成り立つ．ま

た，Sr() ⊂ Rr() である．リーマン・ルベーグの定理により，f ∈ Rr() なら，f ∈ Br() である．

の任意のコンパクト集合上で可積分であるような関数全体を L1loc() とかく．

このとき，次の補題 4.10 が成り立つ．

補題 4.10 関数 f(x) ∈ Br() は f(ξ) ∈ L1loc() を満たし，関数 f(x) ∈ L1() は 0 ≤ α ≤ r を満たす

α ∈ + に対し，xαf(x) ∈ L1() を満たすとする．このとき，

〈fjk, fj′k′ 〉 = δjj′δkk′ (4.22)

が成り立つなら，0 ≤ α ≤ r を満たす α ∈ + に対し，∫

xαf(x) dx = 0 (4.23)

が成り立つ．


《証明》証明は α に関する帰納法による．(4.22) により，j = 0 に対し

〈f, fj,2j+pk〉 = 2j/2∫f(x)f(2jx− 2j+pk) dx

= 2−j/2∫f(2−jy + 2pk)f(y) dy = 0

が成り立つから， ∫f(2−jy + 2pk)f(y) dy = 0 (4.24)

となることに注意しよう．

α = 0 のときを考えよう．f は有界連続で f ∈ L1() だから，(4.24) にルベーグの収束定理が使えて，

j → +∞ とすると，

f(2pk)∫f(y) dy = 0

である．集合 2pk ; p, k ∈ はで稠密であり，f(x) は連続であるから，任意の x ∈ に対し，

f(x)∫f(y) dy = 0

が成り立つ．f(x) ≡ 0 であるから，∫f(x) dx = 0 を得る．

等式 (4.23) が α = − 1, ≤ r まで成り立つと仮定しよう．f ∈ B() より (4.24) にテイラーの定理：

f(x) =−1∑α=0

1α!f (α)(a)(x− a)α +

1(− 1)!

(x− a)∫ 1

0

(1 − θ)−1f ()(a+ θ(x− a)

)dθ (4.25)

が x = 2−jy + 2pk, a = 2pk として使えて，

0 =∫

f(2−jy + 2pk)f(y) dy

=−1∑α=0

1α!f (α)(2pk)2−jα

∫

yαf(y) dy

+1

(− 1)!

∫

dy

∫ 1

0

(2−jy)(1 − θ)−1f ()(2pk + θ2−jy)f(y) dθ

を得る．2−j で割った後，帰納法の仮定を使うと，

1(− 1)!

∫dy

∫ 1

0

y(1 − θ)−1f ()(2pk + θ2−jy)f(y) dθ = 0

となる．f () は有界連続で yf(y) ∈ L1() だからルベーグの収束定理が使えて，j → +∞ のとき，

1(− 1)!

∫

dy

∫ 1

0

y(1 − θ)−1f ()(2pk)f(y) dθ = 0

となるから，1!f ()(2pk)

∫

yf(y) dy = 0

が成り立つ．もし，f ()(2pk) ≡ 0 なら，f ()(x) ≡ 0 となり，フーリエ変換すると，ξf(ξ) ≡ 0 だから，

f ∈ L1loc() であることより，ほとんどすべての ξ ∈ に対して，f(ξ) ≡ 0 が成り立つことになるが，こ

れは (4.22) に矛盾する．よって f ()(2pk) ≡ 0 となり，(4.23) が α = のとき成り立つ．

したがって，帰納法により 0 ≤ α ≤ r を満たす α ∈ + に対し，(4.23) が成り立つ．

4.8. コンパクト台を持つスケーリング関数 53

4.8 コンパクト台を持つスケーリング関数

コンパクト台を持つウェーブレットを構成するために，コンパクト台を持つスケーリング関数について考

えよう．そのため本節ではスケーリング関数 ϕ は無限遠で急減少であると仮定する．

伸張方程式のフーリエ空間における表現式 (4.16) で定義される関数 m0 が与えられたとして，m0 から

関数 ϕ を構成する方法を考えてみよう．関係式 (4.16) の ξ に ξ/2 と ξ/22 を代入した式を使えば，

ϕ(ξ) = m0(ξ/2)ϕ(ξ/2) = m0(ξ/2)m0(ξ/22)ϕ(ξ/22)

が成り立つ．これを N − 1 回繰り返せば，

ϕ(ξ) =( N∏j=1

m0(2−jξ))ϕ(2−Nξ)

を得る．N → +∞ とすると，無限乗積が収束し，かつ ϕ(ξ) が ξ = 0 で連続で ϕ(0) = 1 を満たすなら，

ϕ(ξ) =+∞∏j=1

m0(2−jξ) (4.26)

が成り立つ．このとき，関数 ϕ を (4.26) で定義すれば (4.16) を満たすことに注意する．したがって，式

(4.16) で定義される関数 m0 に対する必要条件を求めてみよう．

まず，定理 4.2 の証明からわかるように，m0 ∈ C∞([0, 2π)) である．また，式 (4.9) を満たす．さらに，

式 (4.16) に ξ = 0 を代入して，定義 4.2 の条件 (ii) を使って ϕ(0) = 0 で両辺を割ると，m0(0) = 1 を得

る．これらを条件としてまとめておこう．

条件 4.1

m0(ξ) ∈ C∞([0, 2π)), |m0(ξ)|2 + |m0(ξ + π)|2 ≡ 1, m0(0) = 1.

無限乗積が収束の収束については次の補題 4.11 が成り立つ．

補題 4.11 関数 m0 は条件 4.1 を満たすとする．このとき，無限乗積∏+∞j=1 m0(2−jξ) は上広義一様

収束する．

《証明》 m0 ∈ C∞([0, 2π)) ⊂ B∞() で m0(0) = 1 を満たすから，ξ = 0 でテイラーの定理：(4.25) を

使うと，

m0(ξ) = 1 + ξ

∫ 1

0

m(1)0 (θξ) dθ

となる．||m(1)0 ||∞ := maxξ∈ |m(1)

0 (ξ)| とおくと，∣∣∣∫ 1

0

m(1)0 (θξ) dθ

∣∣∣ ≤ ||m(1)0 ||∞

が成り立つ．任意の正数 R > 0 に対し，jR > log2(R||m(1)0 ||∞) を満たす自然数 jR をとる．このとき，

j ≥ jR ならば |ξ| ≤ R に対し m0(2−jξ) = 0 である．

+∞∑j=jR

∣∣∣2−jξ ∫ 1

0

m(1)0 (θ2−jξ) dθ

∣∣∣ ≤ R||m(1)0 ||∞

+∞∑j=jR

2−j < +∞


が成り立つから，無限乗積∏+∞j=jR

m0(2−jξ) は |ξ| ≤ R で一様収束する．有限個の積∏jR−1j=1 m0(2−jξ)

をかけても収束はかわらない．

関数 m0 は条件 4.1 を満たすとする．(4.26) の右辺で左辺の関数 ϕ を定義しよう．補題 4.11 により，右

辺の無限乗積は上広義一様収束して，極限関数 ϕ は有界連続関数で |ϕ(ξ)| ≤ 1 であるから，緩増加な

超関数 S′() の意味で収束している．したがって ϕ は緩増加な超関数の意味で定義できる．

補題 4.12 関数 m0 は条件 4.1 を満たすとする．超関数 ϕ を (4.26) で定義する．このとき，ϕ ∈ L2()

であって ||ϕ|| ≤ 1 が成り立つ．

《証明》自然数 N ∈ に対し，

ΠN (ξ) :=N∏j=1

m0(2−jξ), IN :=∫ 2Nπ

−2Nπ

|ΠN (ξ)|2 dξ

とおく．帰納的に IN を計算しよう．

I1 =∫ 2π

−2π

|m0(ξ/2)|2 dξ = 2∫ π

−π|m0(ξ)|2 dξ = 2

∫ 0

−π

(|m0(ξ)|2 + |m0(ξ + π)|2) dξ = 2π

である．ΠN が周期 2N+1π の関数であるから，

IN =∫ 2N+1π

0

|ΠN (ξ)|2 dξ

=∫ 2N+1π

0

|ΠN (ξ)|2(|m0(ξ/2N+1)|2 + |m0(ξ/2N+1 + π)|2) dξ=∫ 2N+1π

0

|ΠN+1(ξ)|2 dξ +∫ 2N+1π

0

|ΠN (ξ + 2N+1π)|2|m0

((ξ + 2N+1π)/2N+1

)|2 dξ=∫ 2N+2π

0

|ΠN+1(ξ)|2 dξ = IN+1

となり，すべての自然数 N ∈ に対して，IN = 2π が成り立つ．|m0(ξ)| ≤ 1 より |ϕ(ξ)| ≤ |ΠN (ξ)| であるから， ∫ 2Nπ

−2Nπ

|ϕ(ξ)|2 dξ ≤ IN = 2π

となる．N → +∞ とすると，連続有界関数 ϕ は ||ϕ||2 ≤ 2π を満たすから ϕ ∈ L2() である．パーセ

ヴァルの等式より，ϕ ∈ L2() であって ||ϕ||2 ≤ 1 を満たす．

関数系 e−ikξk∈の有限な線形結合を三角多項式 (trigonometric polynomial) と呼ぶ．

補題 4.13 関数 m0 は条件 4.1 を満たす三角多項式であり，ある非負の整数 L ∈ + があって，m0(ξ) =∑|k|≤L hk e

−ikξ とかけているとする．関数 ϕ を (4.26) で定義する．このとき suppϕ ⊂ [−L, L] である．

《証明》関数 m0 は条件 4.1 を満たし，かつ補題 4.11 より無限乗積∏+∞j=1 m0(2−jξ) は ϕ に上広義

一様収束する．超関数 D′() の意味で ϕ の台を調べよう．実数 a ∈ に対し，F−1[e−iaξ ] = δ(x− a) と

なることを使えば，j ∈ + に対し，

F−1[m0(2−jξ)] =∑|k|≤L

hk F−1[e−ikξ/2

j ]=

∑|k|≤L

hk δ(x− 2−jk)

4.8. コンパクト台を持つスケーリング関数 55

が成り立つ．Ij := [−L/2j, L/2j]とおくと，supp δ(x−2−jk) = 2−jkだから，suppF−1[m0(2−jξ)] ⊂ Ij

である．

コンパクト台を持つ超関数全体を E ′() とかこう．明らかに E ′() ⊂ S′() である．一般に 2 つのコン

パクト台を持つ超関数 S, T ∈ E ′() に対し，合成積 S ∗T が定義できて，supp(S ∗T ) ⊂ suppS+suppT

が成り立つ．（実数の部分集合 A,B ⊂ に対し，A+B := x+ y ∈ ; x ∈ A, y ∈ B とかく．）またF [S ∗ T ] = F [S]F [T ] が成り立つ．

自然数 N ∈ に対し，ΠN (ξ) :=∏Nj=1 m0(2−jξ) とおく．

F−1[ ΠN (ξ)] = F−1[m0(2−1ξ)] ∗ · · · ∗ F−1[m0(2−Nξ)]

が成り立つから，suppF−1[ ΠN (ξ)] ⊂ I1 + · · · + IN = |x| ≤ (1 − 2−N )L ⊂ I0 である．テスト関数

f ∈ C∞0 (\I0 ) に対し，

〈ϕ, f〉 = 〈F−1[ limN→∞

ΠN (ξ)], f〉 = limN→∞

〈F−1[ ΠN (ξ)], f〉 = 0

となるから suppϕ ⊂ I0 である．

補題 4.14 関数m0 は条件 4.1を満たすとする．関数 ϕを (4.26)で定義する．このとき，任意の k ∈ \0に対し，ϕ(2πk) = 0 が成り立つ．

《証明》条件 4.1で ξ = 0とすると |m0(0)|2+ |m0(π)|2 = 1を得る．m0(0) = 1を代入するとm0(π) = 0

である．任意の k ∈ \0に対し，ある m ∈ + と ∈ があって，k = 2m(2+ 1) とかけることから，

m0(2πk/2m+1) = m0(π + 2π) = m0(π) = 0 となる．関数 ϕ は m0(2−jξ), j ∈ の無限乗積で定義され，かつ連続だから ϕ(2πk) = 0 となる．

関数 ϕ(x) ∈ L2() に対し，α(ξ) :=∑k∈ |ϕ(ξ + 2πk)|2 とおく．α ∈ L1([0, 2π)) である．

補題 4.15 関数 m0(ξ) =∑

k∈ hk e−ikξ は三角多項式であって条件 4.1を満たすとする．関数 ϕを (4.26)

で定義する．このとき α ∈ C([0, 2π)) である．

《証明》補題 4.12 より ϕ ∈ L2() であって，補題 4.13 より ϕ はコンパクト台を持つから，任意の非負

の整数 m ∈ + に対し，ϕ ∈ Hm() である．ソボレフの埋め込み定理により ϕ ∈ B∞() となる．

α が周期 2π の周期関数であることより，α が [−π, π] 上連続であることをいえばよい．ξ ∈ [−π, π] と

k ∈ \0に対し，微積分学の基本定理より，

ϕ(ξ + 2πk) − ϕ(2πk) =∫ ξ+2πk

2πk

(ϕ )′(ξ) dξ

が成り立つから，補題 4.15 より，任意の k ∈ \0に対し，ϕ(2πk) = 0 であることを使って，

|ϕ(ξ + 2πk)| ≤∫ π+2πk

−π+2πk

|(ϕ )′(ξ)| dξ

と評価できる．シュワルツの不等式を使って，

|ϕ(ξ + 2πk)|2 ≤ 2π∫ π+2πk

−π+2πk

|(ϕ )′(ξ)|2 dξ

を得る．ϕ ∈ H1() であるから，級数 α(ξ) は [−π, π] 上一様収束する．ϕ ∈ B() であるから，α(ξ) は


連続関数の一様収束極限となり [−π, π] 上連続である．

コンパクト台を持つスケーリング関数を構成するための三角多項式 m0 に対する十分条件を与えよう．

補題 4.16 関数 m0 は三角多項式であって条件 4.1 を満たすとする．関数 ϕ を (4.26) で定義する．この

とき ξ ∈ [−π/2, π/2] に対し，m0(ξ) = 0 が成り立つならば，関数 ϕ はコンパクト台を持つスケーリング

関数である．

《証明》 α(ξ) ≡ 1 が成り立つことを示せばよい．なぜなら，補題 4.1より ϕ(x − k)k∈は正規直交系となり，スケーリング関数の定義 4.2 の他の条件は明らかに満たされるからである．

補題 4.15 と ϕ(0) = 1 が成り立つことを使えば，α(0) = 1 である．したがって，α が定数関数である

ことを示せばよい．g(ξ) := |m0(ξ)|2 とおく．このとき，0 ≤ g(ξ) ≤ 1 かつ g(ξ) + g(ξ + π) ≡ 1 であ

る．また，|ϕ(ξ)|2 =∏+∞j=0 g(2

−jξ) が成り立つ．関数 ϕ は (4.16) を満たすから，α(2ξ) =∑k∈ |m0(ξ+

πk)|2|ϕ(ξ + πk)|2 が成り立つ．k が偶数のときと奇数のときの和に分けて，関数 m0 の周期性を使えば，

α(2ξ) = |m0(ξ)|2∑k′∈

|ϕ(ξ + 2πk′)|2 + |m0(ξ + π)|2∑k′′∈

|ϕ(ξ + π + 2πk′′)|2

= g(ξ)α(ξ) + g(ξ + π)α(ξ + π) (4.27)

となる．補題 4.14 より α は連続関数だから，

m := minξ∈[−π,π]

α(ξ), M := maxξ∈[−π,π]

α(ξ)

とおく．ξ0 ∈ [−π, π] を m = α(ξ0) を満たすひとつの点とする．ξ0/2 ∈ [−π/2, π/2] だから，

m0(ξ0/2) = 0 となり，g(ξ0/2) > 0 が成り立つことに注意しよう．(4.27) に ξ = ξ0/2 を代入すると，

α(ξ0) = g(ξ0/2)α(ξ0/2) + g(ξ0/2 + π)α(ξ0/2 + π) である．左辺に g(ξ0/2) + g(ξ0/2 + π) = 1 をかけて

整理すると，

g(ξ0/2)α(ξ0/2) − α(ξ0) + g(ξ0/2 + π)α(ξ0/2 + π) − α(ξ0) = 0 (4.28)

となる．

g(ξ0/2) > 0, α(ξ0/2) − α(ξ0) ≥ 0, g(ξ0/2 + π) ≥ 0, α(ξ0/2 + π) − α(ξ0) ≥ 0

が成り立つから，(4.28)が成り立つためには α(ξ0/2)−α(ξ0) = 0かつ g(ξ0/2+π)α(ξ0/2+π)−α(ξ0) = 0

でなければならない．したがって α(ξ0/2) = m である．ξ0 を ξ0/2j, j ∈ にとりかえて順次同じ議論をすると，任意の j ∈ に対し，α(ξ0/2j) = m が成り立つ．α は連続関数だから，j → +∞ とすると

α(0) = m である．ξ1 ∈ [−π, π] を M = α(ξ1) を満たすひとつの点とし，同様の議論をすると α(0) = M

が示せるから，m = M となり α は定数関数である．

4.9 コンパクト台を持つウェーブレット

スケーリング関数がコンパクト台を持ち，かつ関数 m0 が三角多項式であるならば，定理 4.1によりウェー

ブレット関数を構成すると，式 (4.20) によってウェーブレット関数を定義することになるから，構成され

るウェーブレット関数もコンパクト台を持つ．

このために，g(ξ) = |m0(ξ)|2 とおき，関数 m0 に対する十分条件を関数 g に対する条件に書き直して，

スケーリング関数にある程度の微分可能性をもたらす無限乗積の減少度を含めておく．

4.9. コンパクト台を持つウェーブレット 57

条件 4.2

g(ξ) :=∑|k|≤L

γk e−ikξ ≥ 0, L ∈ +, g(ξ) + g(ξ + π) ≡ 1, g(0) = 1,

g(ξ) > 0, ξ ∈ [−π/2, π/2],+∞∏j=1

g(2−jξ) ≤ C(1 + |ξ|)−2s, s > r + 1.

三角多項式 g(ξ) = |m0(ξ)|2 から m0(ξ) が三角多項式として得るには，次の補題を使う．証明は省略す

る．たとえば，芦野隆一・山本鎭男1) の補題 9.2.1 を見よ．

補題 4.17（リースの補題） zのローラン多項式A(z) :=∑

|k|≤L ak z−k, L ∈ +があって，z = eiξ, ξ ∈

を代入したとき，A(eiξ) ≥ 0 を満たすとする．このとき，あるローラン多項式 H(z) :=∑

0≤k≤L hk z−k

があって，A(eiξ) = |H(eiξ)|2 が成り立つ．A(z) が実係数なら H(z) も実係数にとれる．

コンパクト台を持つウェーブレット関数とそれを生成する三角多項式 g の例を挙げよう．

例 4.3（ドベシィのウェーブレット関数）点 ξ = 0 の近傍では 1 に近く，ξ = π の近傍では 0 に近いよ

うに三角多項式 g を決める．自然数 k ∈ に対し，Ik(ξ) :=∫ ξ0(sin t)2k+1 dt とおく．Ik は周期 2π の非

負の関数であって，[0, π] で単調増加，かつ ξ = π に関して対称になっている．さらに k を大きくすると，

ξ = 0 の近傍で速く 0 に近づくことに注意しよう．cos t = u とおくと，Ik(ξ) =∫ 1

cos ξ(1 − u2)k du とかけ

るから，Ik(ξ) は cos ξ の 2k+ 1 次の非負な多項式である．g(ξ) := 1 − Ik(ξ)/Ik(π) とおくと，この g が

条件 4.2 の無限乗積の評価以外の条件を満たしていることは明らかであろう．この評価を示すにはいくつか

の補題が必要であり，省略する．たとえば，芦野隆一・山本鎭男1) の 9.3 節を見よ．

0 1 2 3 4 5-0.4

0.0

0.4

0.8

1.2

-2 -1 0 1 2 3

-1.0

0.0

1.0

2.0

ϕ3

ψ3

図 4.3 ドベシィのスケーリング関数とウェーブレット (N = 3) の概形

この三角多項式 g から補題 4.17 を使って m0 を構成し，m0 から (4.26) によってコンパクト台を持つス

ケーリング関数を構成する．さらに，定理 4.1 の式 (4.17) によってドベシィのコンパクト台を持つウェー

ブレットが構成できる．詳しくは芦野隆一・山本鎭男1) の 9.4 節を見よ．上の三角多項式 g で N := k+ 1

とおき，N = 3 のときのドベシィのスケーリング関数とウェーブレットの概形を図 4.3 に示す．

第5章

連続ウェーブレット変換の応用

この章では，連続ウェーブレット変換の応用を文献および私の記憶から見てみよう．また，Matlab の

Wavelet Toolbox を使って実際に動かしてみよう．

逆連続ウェーブレット変換が応用上使われることは一部の分野を除いてほとんどない．逆変換の必要な場

合は，正規直交ウェーブレットや双直交ウェーブレットのフィルタ係数を使ったマラー (Mallat) 変換とい

う離散変換で逆変換が簡単に実現されるので，マラー変換を使うのが普通である．

逆連続ウェーブレット変換が使われる例外的な分野は， 2 次元の画像処理で原画像ではなく，そのフーリ

エ像が最初に得られる分野だけである．具体的には，モレ（Morlet）の石油探査や CT スキャナや MRI の

画像処理などである．

連続ウェーブレット変換で使われるウェーブレット関数は，ガボールウェーブレット，補正ガウシアン

ウェーブレット（Modulated Gaussian），複素モレウェーブレット（Complex Morlet Wavelet），ガウシ

アンウェーブレットなどと呼ばれている短時間フーリエ変換の時に使われる次節の関数である．

逆変換のいらない場合の応用は，連続ウェーブレット変換で何らかの有用な情報が得られた時である．こ

の場合の応用では，ガウシアンウェーブレットを使うことが多い．ガウシアンウェーブレットを使うと，高

速フーリエ変換・逆変換が利用できて計算速度が速くなるし，実数値ウェーブレット関数を用いた場合と違っ

てウェーブレット係数が振動しないという利点がある．

この場合の応用は，短時間フーリエ変換を用いても実現可能であるが，一番最初にどの周波数帯で有用な

情報が得られるのかを調べるために，全周波数帯域をさらっと眺める場合に，連続ウェーブレット変換は短

時間フーリエ変換より優れている．

5.1 ガウシアンウェーブレット関数

時間窓の大きさに関する定数 σ > 0 と, 中心周波数に関する定数 Fc > 0 を固定したとき，ガウシアン

ウェーブレット関数 (Gaussian wavelet function)g(x) は，

g(x) = exp (iFcx) exp(− x2

4σ2

)(5.1)

で与えられる．

このガウシアンウェーブレットの L1 ノルムは 2σ√π で，L2 ノルムは

√σ√

2π である．また時間窓の

中心 (center of time window) x∗ は，

x∗ =1

‖g‖2

∫

x |g(x)|2 dx = 0 (5.2)

となり，時間窓の幅 (width of time window) ∆g は，

58

5.2. 連続ウェーブレット変換と短時間フーリエ変換について 59

∆g =1

‖g‖(∫

(x− x∗)2 |g(x)|2 dx)1/2

= σ (5.3)

である．また g(x) のフーリエ変換 g(ξ) は，

g(ξ) =∫

g(x) exp(−ixξ) dx = 2σ√π exp

(−σ2 (ξ − Fc)

2)

(5.4)

である．g(ξ) の L2 ノルムは

‖g‖ =√

2πσ√

2π (5.5)

である．L1 ノルムは，2π になる．周波数窓の中心 (center of frequency window) ξ∗ は，

ξ∗ =1

‖g‖2

∫

ξ |g(ξ)|2 dξ = Fc (5.6)

となる．周波数窓の幅 (width of frequency window) ∆g は，

∆g =

1‖g‖

(∫

(ξ − ξ∗)2 |g(ξ)|2 dξ)1/2

=12σ

(5.7)

で与えられる．時間窓の幅と周波数窓の幅の積は，

∆g × ∆g = σ × 1

2σ=

12

と不確定性原理の最小値を取る．

ガウシアンウェーブレット関数は，平均が 0 でない（∫g(x) dx = 0 ）ので厳密な意味ではウェーブレッ

ト関数ではない．しかし，平均が 0 に近いので数値計算上は逆変換も問題なく行える．より厳密さを求め

るなら，次の補正ガウアシアンウェーブレット関数 (Modulated Gaussian wavelet) を使えばよい．補正ガ

ウシアンウェーブレット ψ(x) とは，ガウシアンウェーブレットを平均が 0 になるように補正したものであ

る．つまり，ψ(0) = 0 となるように，ガウシアンウェーブレットのフーリエ変換を，

ψ(ξ) = 2σ√π[exp

(−σ2 (ξ − Fc)

2)− exp

(−σ2Fc2)exp

(−σ2ξ2)]

(5.8)

と少しずらした関数である．逆フーリエ変換を取ると，

ψ(x) =[exp (iFcx) − exp

(−σ2Fc2)]

exp(− x2

4σ2

)(5.9)

である．ただし，実際の応用上は σ = 1/2, Fc = 2π 程度に取ることが多いので（これは Matlab では

cmor1-1 の場合に当たる），ガウシアンウェーブレットからの補正項は，exp(−σ2Fc

2)

= exp(−π2) ∼5 × 10−5 と複素三角関数 exp (iFcx) の大きさ 1 と比べて数値計算上無視できる．

5.2 連続ウェーブレット変換と短時間フーリエ変換について

ウェーブレット関数としてガウシアンウェーブレット関数

g(x) = exp (iFcx) exp(− x2

4σ2

)(5.10)

を使った場合の連続ウェーブレット変換と短時間フーリエ変換の違いを見てみよう．

信号 f(x) の短時間フーリエ変換 (short-time Fourier transform) Sf(x0, Fc)は，周波数 Fc と位置 x0

の 2 変数関数で，信号と g(x− x0) の内積である．

60 第 5章連続ウェーブレット変換の応用

0

1

2

-1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1t

sec

f(t)

図 5.1 1 sec 1024 点からなるサンプルデータ

Sf(x0, Fc) =∫

f(x) g(x− x0) dx. (5.11)

短時間フーリエ変換では，時間窓の幅は中心周波数 Fc によらず，一定値 σ を取る．従って，2σ より波

長が長い波は時間窓に入りきらないので，捉えることが難しくなる．逆に，高周波な波に反応する中心周波

数 Fc の大きなテスト関数 g(x− x0) は，時間窓内で沢山波が入っているので，高周波の波一つの信号に対

しては内積が小さくなり，捉えることが難しくなる．このようなことから，短時間フーリエ変換では，時間

窓の直径 2σ にたいして，数周期分の波が入る場合の感度が高いものの，それ以外の波を捉える場合は時間

窓の幅を取り替える必要がある．

そこで，図 5.1 の１秒間 1024 点からなるいろいろな周波数の波の混じったサンプルデータを短時間フー

リエ変換してみると図 5.2 を得る．窓の幅が広いと低周波部分が鮮明になり，窓の幅が狭いと高周波部分

がより鮮明になる．これら 3 つの図を切り貼りするとちょうどいい時間-周波数の濃淡図が得られる．

一方，ガウシアンウェーブレット関数 g(x)を使った，信号 f(x)のウェーブレット変換 (wavelet transform)

Wgf(x0, a) は，

Wgf(x0, a) =∫

f(x)1√|a|g

(x− x0

a

)dx, (5.12)

であり，Wgf(x0, a)は，信号 f(x) の中心周波数 Fc/a で位置 x = x0 の情報にアクセスしていることに

なる．サンプルデータのウェーブレット変換は図 5.3 のようになる．ただし，縦軸には中心周波数を 2π で

割って，Hz 単位になおして表示してある．

短時間フーリエ変換では，時間-周波数の濃淡図における有効な周波数範囲が狭い．したがって，低周波

数用や中間周波数用や高周波数用に短時間フーリエ変換の中心周波数と窓の幅を変えなければならない．一

方，連続ウェーブレット変換では有効な周波数範囲が広い．しかしながら，1000 Hz と 1005 Hz の波を区

別するなど，特定の周波数バンドを細かく見るには，短時間フーリエ変換が適している．

よって，まずある現象の特徴を見つけるために，時間-周波数空間をざっと見るには連続ウェーブレット変

換が適していて，そのあと特定の周波数バンドを調べるにはその周波数帯に適した短時間フーリエ変換を使

うのがよい．

5.3 連続ウェーブレット変換の応用

車のエンジンの正常異常判定，発電器のガスタービンの異常判定，脳波の特定周波数，耳の聴覚モデルの

作成などに使われているようだが，うまくいって，金儲けできる物はあまり紹介されない．ここでは，脳波

の話と，Matlab を使って音声の連続ウェーブレット変換を行う．


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1t0

50

100

150

200

250

300Hz

ω

sec

σ = 0.035 の場合：窓の幅が広い

t0

50

100

150

200

250

300Hz

ω

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 sec

σ = 0.0071 の場合：窓の幅が中くらい

0

50

100

150

200

250

300Hz

ω

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1t

sec

σ = 0.0035 の場合：窓の幅が狭い

図 5.2 窓の半径 σ を変えたサンプルデータのガボール変換

0

50

100

150

200

250

300

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1t

Hzω

sec

図 5.3 サンプルデータ f(t) のウェーブレット変換


図 5.4 画像：１．辺のない三角形，２．実三角形，３．非三角形，４．曲がった辺のない三角形

名前周波数帯発現環境α 波 8-12Hz 成人の安静閉眼覚醒時に後頭葉優位に出現するβ 波 20-22Hz 前頭葉でよくみられる．不安，緊張時や集中したりするときに出るγ 波 30-70Hz 認知とか思考に関係しているかも？δ 波 1-4Hz 正常成人では睡眠中以外にみられることはないθ 波 5-7Hz 小児期によくみられるが成長により次第に減少する

表 5.1 脳波名前と周波数帯

5.3.1 特定の三角形を数えるときの脳波の特定周波数振動

この小節では，C. Tallon-Baudry らの仕事の C. Tallon-Baudry, O. Bertrand, C. Delpuech, and

J. Pernier30)31) の最初の論文30) を紹介する．図 5.4 の 4 種類のパックマンからなる絵をランダムに表

示して，4 番目の「曲がった辺のない三角形」の出現回数を声を出さずに数えるという，試行をしたときに

脳波に画像の種類による差違があるかどうかを調べている．とくに，三角形（実体及び辺のない）と非三角

形の場合に違いがあるかどうかを調べる．もし，提示されたのが三角形の場合には足し算をするという次の

作業に備える必要があり，頭が余分な仕事をさせられる．一方，非三角形の場合はこれで作業終了だから，

頭はアイドリング状態になるはずである．この違いが脳波に出るかどうかを調べるのが目的である．「曲がっ

た辺のない三角形」は，出現回数を数えるという高等な作業が付加されているので，この脳波は無視をする．

この作業は，被験者に対しては実験中に一定の集中力を持続するために使い，出現回数が合っているかどう

かで提示された図をちゃんと見てたかどうかをチェックする．

ここでは，思考に伴う 40 Hz 近辺の波を調べる．図を見てから 100 msec 程度で，視覚刺激を脳内で再構

成するため？の 40 Hz 程度の波が現れる．この波は提示された図によらない．その後，図を見てから 300

msec 程度の所に，三角形の場合には 40 Hz 近辺の振動が現れる．この周波数帯の脳波を γ 帯というらし

い．ちなみによく知られている脳波は，表 5.1 に載せた．

被験者は，右利きで平均年齢 23 歳の男女 4 名ずつで，視力は正常か少し矯正すれば正常で，実在しない

輪郭をたやすく認識できる．図は，ランダムな順序で 2 から 3 秒のランダムな間隔を置いて 700 msec 提

示される．図は，うすい灰色のバックグラウンドに，黒色で，2 m 前方に視野角 2.5 で表示される．パッ

クマンの半径と三角形の辺の長さの比は 1 : 4 である．小さい焦げ茶色のプラス記号が真ん中に常に表示さ


図 5.5 脳波計の電極位置


れている．常にプラス記号を見ておくように．

脳波の測定方法は，国際 10 − 20 法の場所に，13 個の Ag/AgCl 電極を取り付けて行う．(Iz, T5, O1,

O2, T6, POz, P3, Pz, P4, C3, Cz, C4, Fz の各部位を測定する．) 脳波計のサンプリング周波数は 1000

Hz である．電極のインピーダンス（抵抗）は 5 kΩ 以下になるようにした．電極配置については，

NEC三栄株式会社

http://www.necsan-ei.co.jp/

メディカルシステム研修所

http://www.kenn.co.jp/

のホームページを参照のこと．ちなみに，メディカルシステム研修所から取ってきた電極位置を図 5.5 に示

す．脳波はディスプレイに図が提示される 350 msec 前から，提示後 800 msec までの部分を切り出して

くる．

目は電池（眼球電図 EOG: ElectroOculoGram という物がある）になっていて，脳波（EEG: ElectroEn-

cepaloGram）の誘発電圧と比べて，10 倍程度電圧が強い．したがって，脳波を切り出す時間中にまばたき

をすると無効な測定データになる．また，筋肉の電位も脳波と比べて強いので，測定時に声を出して曲がっ

た辺のない三角形の個数を数えたら測定失敗である．こうしたことをふまえて，測定して切り出した脳波の

内の 66% が有効であると判定されて，各被験者および各図形ごとに平均 154 例が取り出せた．

5.3.1.1 結論

連続ウェーブレット変換をすることで三角形と非三角形の違いが脳波から読みとれる．図 5.6 に示す．従

来のやり方では，脳波はノイズが大きいので，図を提示した時を 0 sec として，測定した脳波を 4 種類の

図のパターン毎および被験者毎に平均を取って，ノイズを減らした波を解析していた．これを phase-locked

という．この方法では，図を見てから 100 msec 後に現れる，どのパターンでも共通の脳波（画像を見まし

た）は取り出せるが，それ以降の図の意味を解釈して処理する時の脳波は取り出せない．この平均化した脳

波を連続ウェーブレット変換すると真ん中の行の図が得られる．連続ウェーブレット変換の絶対値の大きさ

で，時間-周波数の濃淡図を作るのであるが，この作業での脳波の影響を見るために，0 sec 以前の各周波数

毎の絶対値の平均を引き算している（下の図）．これを baseline correct と呼んでいる．

私見としては，真ん中の行の baseline correct をしていない脳波の時間-周波数図で，三角形を提示する

ディスプレイのリフレッシュレート 62 Hz が脳波に現れている方が怖い気がする．テレビはリフレッシュ

レート 24 Hz だから脳波に影響があると思う．

各測定毎に，連続ウェーブレット変換を取って，その時間-周波数の濃淡図の平均を取る方法を non-phase-

locked と呼んでいる．この non-phase-locked をすることにより，三角形の場合だと 300 msec 辺りに 40

Hz の脳波が見られる（上の図 baseline correct 済み）．

論文の後半では，この 300 msec, 40 Hz が各試行毎に本当に存在するかどうかを，統計的に検討してい

る．検討手法としては，（Quade test and Conover procedures, p < 0.05）という手法を用いて棄却率 0.05

でこの周波数帯は存在することが示されている．

5.3.2 図の中の犬を認識しているかどうかによる脳波の違い

論文 C. Tallon-Baudry, O. Bertrand, C. Delpuech, and J. Pernier31) では，図を分類するときに，図に


図 5.6 三角形の認識の連続ウェーブレット変換


図 5.7 視覚刺激 2 個　　条件 1 ：犬が見えない場合，条件 2 ：犬を認識


隠された意味に気づいて分類する場合と，無意味な図を分類する場合に脳波に違いがあるかどうかを調べて

いる．用いる視覚刺激は，図 5.7 であり，条件 1 と条件 2 の 2 通りの脳波を測定する．条件 1 では，犬が

入っていることを伏せておき，縦の 3 つの図をランダムに提示して一番下の図の出現回数を数えさせる．最

後まで被験者は犬の存在に気づかなかった．条件 2 では，犬の存在を教えてから一番下の図（左向きの犬）

の出現回数を数えさせる．それぞれの条件で，一番上の図と真ん中の意味づけできる図で脳波に違いがある

かどうかを調べる．とくに犬を認識すると脳波が変わるかどうかが問題になる．視覚刺激を受けてから「左

向きの犬」という言葉に置き換えてからその出現回数を数えるという操作による脳波の変化を見る．

視覚刺激は，500 msec 間，擬似乱数に従って（ 3 個以上同じ刺激が続かないや上側の 2 つの刺激は 50

個ずつ）提示される．モニターは， 2.8 m 先の視野 4 × 5 である．視覚刺激のインターバルは 2 から 3

sec の間でランダムである．

被験者は右利きで 13 人（男 8，女 5）で平均年齢 23 歳だ．条件 1 , 2 ともに，一度に測定する視覚刺激

は， 130 以下（1 番上が 50 個，2 番目が 50 個，3 番目が 30 個以下）でこれを 4 セット提示する．うま

く測定できたのは約 79% の視覚刺激である．1 番目と 2 番目の刺激は平均 158 個ずつ有効で，数を数え

る刺激は 98 個有効であった．

5.3.2.1 結論

条件 1 の試行は 3.5% の間違いで実行された．条件 2 の方が難しいと言う被験者からの報告があったが，

条件 2 の間違いは 3.5% で条件 1 とあまり変わらない．こちらの例でも犬が存在することを認識して以降

は，280 msec, 40 Hz 辺りに non-phase-locking の活動が見られる．図 5.8 を参照のこと．またこの図で

は，100 msec 付近の図を見たという脳波活動が見られないが，統計的にはこの活動は存在するらしい．結

局，図 5.9 のような事がいえるそうである．

なお，右利きの人のみを集めているがこれには訳がある．「左脳：論理的思考・言語活動」と「右脳：直感・

感情的」とかいうのを知っていると思う．実際，言葉の意味づけなどの言語活動をするときに，左右の脳で

脳波活動のレベルは違っている．

言語活動をするときに活発に働く方の大脳の半球を，言語優位脳という．言語優位脳が，普段いうところ

の「左脳」である．脳腫瘍の手術とかで言語優位脳を沢山削除すると日常生活に困るからどっちの大脳半球

が言語優位脳かを調べている．それによると，右利きの人の 99% は左半球が言語優位脳であるが，左利き

の人の言語優位脳は 50% の割合で右半球か左半球にあるらしい．

5.3.3 ガウシアンウェーブレットの使い勝手の良さ

ここでは，正弦波と階段関数の連続ウェーブレット変換をいろいろなウェーブレット関数を使ってやって

みよう．時間-周波数平面でその特徴を見てみよう．正弦波として，1 sec を 1024 等分して sin(50πx) を描

いたデータ（sin25.mat）をガウシアンハット，モレ，ガウシアンのそれぞれのウェーブレットで連続変換

して係数の絶対値を描くと，図 5.10 になる．複素ウェーブレット関数であるガウシアンウェーブレットを

使うと 25 Hz に対応したスケールに沿って横線が入る．実数値ウェーブレット関数の場合には 25 Hz の所

に強弱の縞模様が見られる．

また，1 sec を 1024 等分して前半分が +1 で後半が −1 の値を取る階段関数を連続ウェーブレット変換

してみると図 5.11 を得る．実数値ウェーブレット関数の場合には，関数の振動回数が時間-周波数の濃淡図


図 5.8 犬の認識による脳波の違い


図 5.9 犬の認識具合による結果

-1

0

125 周期の sin 波

Scale

モレウェーブレットで変換

Scale

ガウシアンウェーブレットで変換

Scale

メキシカンハットウェーブレットで変換

図 5.10 正弦波の連続ウェーブレット変換


-1

0

1

step function

Scale

モレウェーブレットで変換

Scale

ガウシアンウェーブレットで変換

Scale

メキシカンハットで変換

図 5.11 階段関数の連続ウェーブレット変換

5.4. ガウシアンウェーブレット関数の空間 2 次元版 71

に現れる．

5.4 ガウシアンウェーブレット関数の空間 2 次元版

空間 2 次元版のガウシアンウェーブレット関数は， 1 次元版の積で構成する．ウェーブレット関数 g(x, y)

は，

g(x, y) = exp (i(Fxx+ Fyy)) exp(−x

2 + y2

4σ2

)(5.13)

である． x 方向の中心周波数は Fx であり， y 方向の中心周波数は Fy である．このウェーブレット関数

から，スケール・パラメータ a = 0 と x 方向および y 方向への平行移動パラメータ (bx, by) の 3 つのパラ

メータを入れたウェーブレット関数族 g(bx,by),a(x, y):

g(bx,by),a(x, y) =1|a|g

(x− bxa

,y − bya

)=

1|a| exp

(i(Fx(x− bx) + Fy(y − by))

a

)exp

(− (x− bx)2 + (y − by)2

4σ2a2

)を構成する．信号 f(x, y) の連続ウェーブレット変換 (continuous wavelet transform) を

Wgf(bx, by, a) =∫

∫

f(x, y) ga,(bx,by)(x, y) dxdy (5.14)

で定義する．連続ウェーブレット変換をフーリエ空間の積分で書き直してみよう．

まず，ガウシアンウェーブレット関数 g(x, y) をフーリエ変換すると，

g(ξx, ξy) = 4σ2π exp(−σ2

((ξx − Fx)2 + (ξy − Fy)2

))(5.15)

である．だから，ウェーブレット関数族 g(bx,by),a(x, y) をフーリエ変換すると，

g(bx,by),a(ξx, ξy) =∫

∫

1|a|g

(x− bxa

,y − bya

)exp

(−i(ξxx+ ξyy))dxdy

=∫

∫

|a|g(x1, y1) exp(−i(ξx(ax1 + bx) + ξy(ay1 + by)

))dx1dy1

= |a| exp (−i(ξxbx + ξyby)) g(aξx, aξy).

途中で x−bx

a = x1,y−by

a = y1 と変数変換した．a の正負によらず，dxdy = a2dx1dy1 である．したがっ

て，連続ウェーブレット変換はフーリエ空間の積分で，

Wgf(bx, by, a) =∫

∫

f(x, y) ga,(bx,by)(x, y) dxdy

= |a|∫

∫

f(ξx, ξy) g(aξx, aξy) exp (i(ξxbx + ξyby)) dξxdξy

と書ける．この式は，関数 |a|f(ξx, ξy) g(aξx, aξy) を逆フーリエ変換して (bx, by) を代入したものと思える．

g(x, y) がガウシアンウェーブレット関数の場合には，そのフーリエ変換 g(ξx, ξy) もガウシアン関数にな

るので，連続ウェーブレット変換は，

Wgf(bx, by, a) = |a|4σ2π

∫

∫

f(ξx, ξy) exp(−σ2

((aξx − Fx)2 + (aξy − Fy)2

))× exp (i(ξxbx + ξyby)) dξxdξy

であるから，連続ウェーブレット変換を求めるには，信号 f(x, y)のフーリエ像 f(ξx, ξy)に中心 (Fx/a, Fy/a)


の周波数窓関数 exp(−σ2

((aξx − Fx)2 + (aξy − Fy)2

))をかけて，逆フーリエ変換をすればよい．

数値計算上は，信号のフーリエ像にガウシアンの窓関数をかけて，逆 FFT を施せば，連続ウェーブレッ

ト変換が求まるのである．だから，以下の断層イメージを求める場合には，最初から信号のフーリエ像が与

えられているので信号の連続ウェーブレット変換は簡単に求まる．これが，断層イメージで連続ウェーブレッ

ト変換・逆変換がよく使われる理由の一つである．

もう一つの理由は，心理的な物である．断層イメージのフーリエ像を逆フーリエ変換して得られる画像に

エッジ強調などの画像処理を施して，元の画像が見やすくなったとしても元画像をいじくった感じで少し気

持ちが悪い．例えば医療分野で X 線写真の圧縮では，完全に元の画像が得られる圧縮方法が採用されてい

るのに，「CT や MRI では元画像をいじるのかいな」と文句が出る．しかし，そのフーリエ像をいじくって

おいて，最後に逆フーリエ変換を取って画像を得る場合には，そのような文句は出ずに見やすい画像が得ら

れましたと言うことになるので都合がよい．

5.5 モレ（Morlet）の仕事

モレがグロスマン（Grossmann）に逆変換式の証明を教えてもらう直前の論文 J. Morlet, G. Arens,

I. Fourgeau, and D. Giard28) では，スケール・パラメータ a の離散化として，正整数 V ∈ + を固定し

て，a = 2n/V , n ∈ + というやり方をしている．スケール a が 2 倍，つまり 1 オクターブ (octave) 上が

るまでに，スケールの離散化が V 個あるので，V のことをボイス (voice) と呼んで，連続ウェーブレット

変換のことをサウンド・オクターブ変換 (sound-octave transform) と呼んでいた．

この論文でモレは，逆サウンド・オクターブ変換が数値計算的に成立するための離散化条件を調べている．

つまり，ボイスの数がいくつの場合に，トランスレーション・パラメータ b の離散化の度合いはこんなくら

いで逆変換は数値的に大丈夫であると言うことを示した．

断層イメージの構成方法は何にも書いてないが，逆フーリエ変換を使った場合とサウンド・オクターブ変

換を使った場合の地層断面の図 5.12 が載せられている．“ one channel” と図に書いてあるから，縦・横ど

ちらか 1 方向だけ逆変換をしたのかもしれない．

5.6 断層イメージの世界１：何を測定するか

伝統的？に断層イメージを視覚化する用途には，ガウシアンウェーブレット関数を用いた連続変換・逆連

続変換が使われている．まず最初にモレが人工地震を起こして，一列に並べた地震計から地層の断層イメー

ジを改良するのにガウシアンウェーブレットを使ったのが最初である．

その後，医療分野の断層イメージを改良するためにウェーブレット変換がよく使われている．CT (Com-

puter Tomography：コンピューター断層撮影法) とMRI(Magnetic Resonance Image ：核磁気共鳴映像

法) などで得た断層イメージである．

この分野の特徴は，断面の一方向のエネルギー減衰性が測定できるとして，その測定を一周分集めて，断

面のエネルギー吸収率を計算することにある．

モレの地層断面イメージでは，一列に地震計を並べた後，人工地震を起こして，地震地点から地震計まで

の直線上のエネルギー吸収度を測定し，そこから地層断面のエネルギ吸収度の図を描く．地層に含まれてい

る岩石や石油の部分でエネルギーの吸収具合が違うので，エネルギー吸収度の図から地層の構造がわかる．

5.6. 断層イメージの世界１：何を測定するか 73

図 5.12 サウンド・オクターブ変換による断層画像の補正


H +

H +

O

負極正極

回転軸−

−

図 5.13 水分子：電気双極子

5.6.0.1 MRI の仕組み

水の分子 H2O 水分子の形状は，図 5.13 に示すように大きな酸素原子に小さな水素原子が 2個，104度の

角度で結合している．水素原子の持っていた各 1個の電子は酸素原子の方にいくらか移動して，その結果，

酸素原子側は負に，水素原子側は正に帯電することになる．水分子はちょうど磁石が磁気的な南極と北極を

もつように電気的な正極と負極をもっているのである．こういった構造を電気双極子 (electric dipole) とい

う．水分子は回転軸に沿って回転運動をしている．これを首振り運動という．

MRI では，まず強い磁場を与えて，水分子の電気双極子の回転軸を一方向にそろえる．次に，ＦＭ放送

と同じくらいの約 64 メガヘルツの高周波磁場をかけて，電気双極子の回転運動を励起する．

最後に高周波磁場を止めれば，励起した水分子が吸収した 64 メガヘルツの周波数の電磁波をだんだん放

出して，元の状態に戻る．この放出電磁波は，回転軸に対して一定の方向にしか放出されないし，一定時間

に一定割合の水分子が電磁波を放出するから，その電磁波の強弱をはかれば，断面上の一方向の水分子の総

量が計れる．

この断面一方向の水分子量をぐるりと一周分測定することにより，断面の水分子の量を計算する．人体の

組織によって，水分子の含有量が違うので水分子の濃淡図が描ければ人体の断面図を描くことができる．癌

は通常の組織細胞より水っぽいといわれている．

CT の仕組みも調べたい断面の一方向から X 線を当てて，反対側の X 線強度を測ることにより，一方向

の X 線の透過・吸収割合を測定する．これを一周分計測して，そこから断面の X 線吸収率を計算する．人

体組織によって，X 線の吸収割合は違うので断面の X 線吸収率から人体の断面図を描くことができる．

5.7 断層イメージの世界２：フーリエ変換になる

一番わかりやすい CT (Computer Tomography) の場合を考えよう．図 5.14 にあるように， (x, y) 座

標に置かれている対象物の X 線吸収率を f(x, y) で表す．対象物に角度 θ で X 線を照射し，反対側で X

線の強度を検出する．すると s 軸方向に沿って， X 線吸収率 f(x, y) を積分した値が得られる．(x, y) 座

標系を角度 θ 回転させた座標系を (r, s) とする．このとき，(x, y) 座標系と (r, s) 座標系の関係は，

r = x cos θ + y sin θ, s = −x sin θ + y cos θ (5.16)

で表される．よって，s 軸方向に沿って， X 線吸収率 f(x, y) を線積分すると，

5.7. 断層イメージの世界２：フーリエ変換になる 75

Ｘ線源

θ

0

r

y

x

f(x,y)s

Ｘ線

対象物

検出器

図 5.14 Computer Tomography

p(r, θ) =∫

f(r cos θ − s sin θ, r sin θ + s cos θ) ds (5.17)

を得る．この p(r, θ) は投影データ (projection data) と呼ぶ．実際には，X 線源の強度を I0(r, θ)，検出 X

線の強度を I1(r, θ) とすると，

I1(r, θ) = I0(r, θ) exp(−p(r, θ))の関係にある．さて，投影データ p(r, θ) の積分を Dirac のデルタ関数を用いて，(x, y) の積分に書き換え

ると，

p(r, θ) =∫

∫

f(x, y)δ(r − x cos θ − y sin θ) dxdy (5.18)

になる．この式は，X線吸収率 f(x, y) の直線 r−x cos θ−y sin θ = 0 上の総和が投影データ p(r, θ)である

ことを意味する．なお，f(x, y) に p(r, θ) を対応づける積分変換をラドン変換 (Radon’s integral method)

という．

さらにこの p(r, θ) 変数 r についてフーリエ変換すると，

p(ω, θ) =∫

p(r, θ) exp (−iωr) dr

=∫

∫

∫

f(x, y)δ(r − x cos θ − y sin θ) dxdy exp (−iωr) dr

=∫

∫

f(x, y) exp (−iω(x cos θ + y sin θ)) dxdy (5.19)

である．一方， X 線吸収率 f(x, y) を普通に 2 次元フーリエ変換すると，周波数変数を (u, v) で書くと，

f(u, v) =∫

∫

f(x, y) exp (−i(ux+ vy)) dxdy (5.20)

であるから，式 (5.19) と式 (5.20) を比較すると，


f(ω cos θ, ω sin θ) = p(ω, θ) (5.21)

を得る．従って，投影データ p(r, θ) から， X 線吸収率 f(x, y) のフーリエ変換 f(u, v) が計算できること

となる．f(u, v) を逆フーリエ変換すれば， X 線吸収率 f(x, y) が求まる．

5.8 断層イメージの世界３

X 線吸収率 f(x, y) のフーリエ像が与えられて，断層イメージを計算するには，そのフーリエ像を逆フー

リエ変換すれば元の X 線吸収率 f(x, y) が計算できる．これにより，X 線吸収率の差から，人体組織の断

面図を得る．よって重要になるのは，断面図の組織と組織の境目（画像のエッジ部分）である．

組織間の X 線吸収率の差というのは，各組織の境界で f(x, y) が不連続になるということで，ウェーブ

レット変換は関数の特異性に鋭く反応するから，組織の境目を検出する目的でウェーブレット変換を使うの

は理にかなっている．

CT は X 線を当てるだけで θ 方向のフーリエ像の得られるので，各 θ 方向の像を得るのに数秒で可能で

ある．一方，MRI は水分子を励起して方向をそろえる必要があるので，フーリエ像を得るのに数分程度の

時間がかかる．したがって，対象が人間や生物の場合（動かないように努力しても），呼吸や心拍による血

管の収縮拡張や内臓の無意識の動きの影響を受けて各時間（各 θ）で少しずつ変化している物体のフーリエ

像しか得られない．このようなフーリエ像を逆変換すると，実際には存在しない物が写ることがある．これ

をアーチファクト (artifact) と呼ぶ．

アーチファクトは，空間的に局在してかつフーリエ像でも特定の θ 方向に見られるので，これを取り除く

のにウェーブレット変換・逆変換は有用な道具になる．この分野は 1990 年代に，盛んに研究された．ただ

し，参考文献がどこかに行ったのでわかりません．CT および MRI でウェーブレット変換を使って画像処

理をする論文およびウェーブレット変換の使用前・使用後の画像の改善度合いを示した図にはたどり着きま

せんでした．インターネットの検索エンジンで「MRI ウェーブレット画像処理」とか引くと沢山出てきま

すが，アブストラクトばっかりで，改善図とか探せませんでした．

http://www.medsci.tokushima-u.ac.jp/~yosinaga/

にでも当たって下さい．

第6章

離散ウェーブレット変換とその応用

離散ウェーブレット変換は，離散データからなるベクトルや画像データなどの行列を高周波数成分と低周波

数成分に分離して取り扱う．離散フーリエ変換と違って，離散ウェーブレット変換は周波数情報だけでなく

位置情報も含む．伸張方程式が x と 2x の関係なので，周波数の刻みは 2 倍という荒さである．

離散ウェーブレット変換の特徴は，以下のとおりである．

•離散データを位置情報を含んだ高周波成分と低周波成分に分ける．•データの総数は変換後も変わらない．•離散フーリエ変換と違って，局所的な取り扱いができる．•周波数刻みは荒いので，特定周波数の検出には向かない．•逆離散ウェーブレット変換で完全に再構成できる．位置情報を含みかつ逆変換が可能なので，不連続点や特異点などを発見したりする局所的な事象の解析に

都合がよいツールである．ゆえに，局所的な高周波成分を残してノイズ除去ができる．また，局所的に絶対

値の小さな係数を削除することでデータ圧縮にも使える．

6.1 スケーリング関数の伸張方程式とウェーブレット方程式

スケーリング関数 ϕ(x) は，伸張方程式

ϕ(x) =∑n

hnϕ(2x− n) (6.1)

を満たす．一方，gn = (−1)nh1−n と選んだとき，ウェーブレット関数 ψ(x) は，

ψ(x) =∑n

gnϕ(2x− n) (6.2)

で定義される．

ここでは，伸張方程式の係数 hn は与えられているものとする．スケーリング関数は∫ϕ(x)dx = 1 を満

たし，ウェーブレット関数は∫ψ(x) dx = 0 を満たすので，伸張方程式とウェーブレット方程式から，∑

n

hn = 2,∑n

gn = 0 (6.3)

という係数の関係式を得る．

6.2 レベル 1 の離散ウェーブレット変換

f(x) ∈ V1 とする．f(x) は V1 の完全正規直交基底 √2φ(2x− k)k∈で77

78 第 6章離散ウェーブレット変換とその応用

f(x) =∑k

C1k

√2ϕ(2x− k) ∈ V1 (6.4)

と展開できる．係数は，C1 = C1k ∈ 2()である．V1 = V0 ⊕W0 であるから， f(x) を右辺の関数空間

の関数の和で書き表せる．それぞれの正規直交基底で展開すると，

f(x) =∑

C0ϕ(x− ) +

∑

D0ψ(x− ) (6.5)

と書ける．このときの展開係数列 C1 = C1k から C0 = C0

, D0 = D0 への対応を離散ウェーブ

レット変換 (discrete wavelet transform) あるいはマラー変換 (Mallat transform) という．逆に展開係数列

C0 = C0 , D0 = D0

から C1 = C1k への対応を逆離散ウェーブレット変換 (inverse discrete wavelet

transform) あるいは逆マラー変換 (inverse Mallat transform) という．

定理 6.1（離散ウェーブレット変換・逆変換）数列 C1 = C1k ∈ 2() に対して，2 つの数列 C0 =

C0 , D0 = D0

∈ 2()を対応させる次の変換を離散ウェーブレット変換という．

C0 =

1√2

∑k

C1k hk−2, D0

=1√2

∑k

C1k gk−2. (6.6)

このとき，逆離散ウェーブレット変換

C1k =

1√2

∑

C0 hk−2 +

1√2

∑

D0 gk−2 (6.7)

が成立する．

まず，離散ウェーブレット変換は，f(x) の V1 の正規直交基底に関する展開係数 C1k を，V0 ⊕W0 それ

ぞれの正規直交基底に関する展開係数 C0 , D

0 に対応させる．だから，C

0 は式 (6.4) の f(x) と ϕ(x− )

の内積になる．ϕ のところに式 (6.1) を代入する．

C0 =

∫

f(x)ϕ(x− ) dx

=∫

∑k

C1k

√2ϕ(2x− k)

∑n

hnϕ(2x− 2− n) dx.

√2ϕ(2x− k)k∈が正規直交基底なので，k = 2+ n のところが残って，

C0 =

1√2

∑n

C12+n hn =

1√2

∑k

C1k hk−2

である．最後で k = 2+ n と置いた．D0 も同様に求まる．

逆変換のほうは，式 (6.5) に伸張方程式 (6.1) とウェーブレット方程式 (6.2) を代入する．

f(x) =∑

C0

∑n

hnϕ(2x− 2− n) +∑

D0

∑n

gnϕ(2x− 2− n).

そこで，右辺の√

2ϕ(2x− k) の係数が C1k である．よって，k = 2+ n より，n = k − 2 を代入して，

C1k =

1√2

∑

C0 hk−2 +

1√2

∑

D0 gk−2

を得る．

6.3. レベル L の離散ウェーブレット変換 79

注意 6.1 V1 の正規直交基底を V0 ⊕W0 の正規直交基底に変換したので，係数 C0 と D0 はそれぞれもと

の係数 C1 の半分の個数である．また，この離散ウェーブレット変換を特にレベル 1 の分解 (decomposition

of level 1) という．

hn, gn が有限個の n を除いて値が 0 である場合を考えよう．式 (6.3) にあげた hn, gn の性質と

gn = (−1)nh1−n の関係式から，もし，C1k が · · · , 1, 1, 1, 1, · · · という低周波（直流 (direct current)

という）数列だったら，

C0 =

1√2

∑k

hk−2 =√

2, D0 =

1√2

∑k

gk−2 = 0

となる．また，C1k が · · · , 1,−1, 1,−1, · · · という高周波信号だったら，

C0 =

1√2

∑k

(−1)k hk−2 = ± 1√2

∑k

gk = 0,

D0 =

1√2

∑k

(−1)kgk−2 ± 1√2

∑k

hk = ±√

2

となるので，C0 は C1 の低周波部分を表し，D0 は C1 の高周波部分を表すと思ってよい．

6.3 レベル L の離散ウェーブレット変換

レベル 1 の離散ウェーブレット変換は，数列 C1 を半分のサイズの 2 つの数列 C0 と D0 に分解した．

また，C0 はもとの数列の低周波部分を表し，D0 はもとの数列の高周波部分を表した．

レベル 2 の離散ウェーブレット変換では，高周波部分 D0 は放って置いて，低周波部分 C0 のみをレベル

1 の離散ウェーブレット変換で更なる低周波部分 C−1 と C0 の中の高周波成分 D−1 に分解する．つまり，

C1 −→ D0, D−1, C−1

と元の数列 C1 を半分のサイズの数列 D0 と 1/4 のサイズの 2 数列D−1 と C−1 に分解する．

一般に，レベル L の離散ウェーブレット変換は，

C1 −→ D0, D−1, · · · , D1−L, C1−L

である．

6.4 1 次元の応用

離散ウェーブレット変換は，後で示す図 6.3 の実線のデータに対して破線のような概略図が描ける 1 次

元データを扱うのが得意である．反対に，後で示す図 6.4 の一番上の S のような振動の激しい信号を時間

周波数解析するのには不向きである．

離散ウェーブレット変換が得意とする信号は，株や気温変化や手書きしたようなグラフにノイズがのった

ものが含まれ得る．また，不連続性や特異性のあるデータを扱うことができる．特異性のあるデータの場合

には，三角級数では収束性が悪くなり沢山の基底が必要になるが，ウェーブレットは局所性があるので特異

性のある位置にかかわるウェーブレット係数の数が増えるだけですむ．

周波数刻みが 1 オクターブで 1 個なので，いろんな周波数の振動が入ると離散ウェーブレット変換でそ

の信号の特徴を捕らえることは難しくなる．したがって地震波や音声などの取り扱いには注意を要する．こ


0 50 100 150900

950

1000

1050

1100

1150

1200

1250topi x

0 50 100 1501

2

3

4

5

6log10(abs(fft(y1)+1))

0 50 100 1500

1

2

3

4

5

621 /128 coeffs remai n

0 50 100 150900

950

1000

1050

1100

1150

1200

1250compression wave by fft

図 6.1 topix データの離散フーリエ変換による圧縮

れらの信号の時間周波数解析には，離散フーリエ変換（窓フーリエ変換）や連続ウェーブレット変換を使う

のがよい．ただし，このような信号に対しても，ノイズ除去やデータ圧縮という用途（離散フーリエ変換で

は難しく，連続ウェーブレット変換では不可能な用途）には，離散ウェーブレット変換を使うことができる．

講義では，ウェーブレットが得意とする信号の例として，topix（東京株価指数）の終値データ約 10年分

と，かなり苦手な例としてエルセントロ地震の波とを取り扱う．最後の電子音は周波数ピークがほとんどな

いのでフーリエ解析が最適である．圧縮やノイズ除去を Matlab でやってみた．

6.4.1 例１:topix 128 日分

ここでは，topix（東証株価指数）の 2001 年 8 月 3 日から 2002 年 2 月 15 日の 128 営業日間の終値か

らなる離散データを離散ウェーブレット変換と離散フーリエ変換を用いて圧縮してみよう．

まず，離散フーリエ変換をつかって，フーリエ係数の絶対値の大きいほうから 21 個取ってきて，残りの

フーリエ係数を 0 に置き換えて，逆離散フーリエ変換を行うと，図 6.1 を得る．この図の右上は topix の

元データで左上がその離散フーリエ変換で得られた係数 fi の絶対値を対数表示したもので log10(|fi| + 1)

が縦軸である．また，周波数 0 が左端にきている．左下図は，フーリエ係数の絶対値を大きい順に 21 個選

んだときの係数である．右下が絶対値の大きい係数以外の係数を 0 に置いて逆離散フーリエ変換をして得ら

れた低周波信号である．

次に，topix のデータをドベッシーの N = 3 のウェーブレット (db3) を用いて，6 回離散ウェーブレッ

6.4. 1 次元の応用 81

0 50 100 150900

1000

1100

1200

1300topi x

0 2 4 67000

8000

9000

10000approximation coeffs

0 2 4 6-600

-400

-200

0

200level=6 detail coeffs

0 5 10-100

0

100


0 5 10 15-100

-50

0

50


0 10 20-50

0

50


0 20 40-40

-20

0

20


0 50 100-40

-20

0

20


0 50 100 150900

1000

1100

1200

1300upper 21 coeffs signal

図 6.2 topix データのウェーブレット db3 による圧縮

ト変換を施して，得られた係数の絶対値の大きい順に 21 個選んで，残りの係数を 0 にして逆離散ウェーブ

レット変換をすると，図 6.2 を得る．この右上の図が topix の元データ，中上図がレベル 6 の近似係数（ス

ケーリング係数）で右上から中下までの 6 枚の図がそれぞれのレベルのウェーブレット係数を描いた．点線

で示されているのが閾値であり，係数の絶対値がこの閾値を越えた部分を残して残りの係数を 0 に置いて，

逆離散ウェーブレット変換をかけると，右下の図を得る．ウェーブレットの場合は高い周波数（低いレベル）

の部分からも絶対値の大きな係数が選ばれている．

離散フーリエ変換と離散ウェーブレット変換を用いて，topix を圧縮した結果を図 6.3 に示す．実線が

topix データで，点線が離散フーリエ変換による圧縮で，破線が離散ウェーブレット変換を使った場合であ

る．2 ノルムは，離散ウェーブレット変換を使うと元の topix の 98.6325% であり，離散フーリエ変換の

場合が 98.0877% である．また，最大誤差は，離散ウェーブレット変換の場合は 40.9564 であるが，離散

フーリエ変換の場合は周期関数になるので端のところで誤差が大きくなり最大誤差は，96.1378 と大きくな

る．また，両端の 5 点を除くと最大誤差は 42.2473 である．

6.4.2 エルセントロ地震波

ここでは，エルセントロ地震波を取り上げてみよう．取り扱う信号は，1940 年 5 月 18 日のエルセント

ロ地震の南北方向の加速度計の 0.02 秒毎のサンプリングデータ約 30 秒分である．離散ウェーブレット変

換は，ドベッシーの N = 3 のウェーブレットを用いて，レベル 5 まで展開してある．a5 はレベル 5 のス


0 20 40 60 80 100 120 140900

950

1000

1050

1100

1150

1200

1250wavelet:dashed line, fft:dotted line

図 6.3 topix：実線，フーリエ：点線，ウェーブレット：破線

6.5. 2 次元の応用 83

200 400 600 800 1000 1200 1400

-0.05

0

0.05

d1

-0.10

0.10.2

d2

-0.10

0.10.2

d3

-0.10

0.10.2

d4

-0.1

0

0.1

0.2

d5

-0.05

0

0.05a5

-0.2

0

0.2

s

ﾚﾍﾞﾙ 5 : s = a5 での分解 + d5 + d4 + d3 + d2 + d1 .

図 6.4 エルセントロ地震の離散ウェーブレット変換

ケーリング係数以外の係数を 0 に置いて，逆離散ウェーブレット変換した近似である．d1 から d5 は，対

応するレベルのウェーブレット係数以外の係数を 0 と置いて，逆離散ウェーブレット変換して得られた詳細

である．元の信号は，a5 + d5 + d4 + d3 + d2 + d1 という重ね合わせで再構成される．これを見ると，エ

ルセントロ地震波には d3, d4 位の周波数の振動の成分が多く含まれる．

このエルセントロ地震波を時間周波数的にもう少し詳しく調べるには，複素連続ウェーブレット変換がふ

さわしい．連続ウェーブレット変換は，ガボールウェーブレットを使った．図 6.5 の下図は係数の絶対値を

表していて，縦軸の目盛は周波数の逆数の対数であり，1 が 75 Hz に，10 が 7.5 Hz に，25 が 3 Hz に，

37 が 2.027 Hz に対応している．色の黒い部分が係数の絶対値が大きい．この図を見ると縦軸 37 と 25 と

13 位の所に何秒かおきにエネルギーが集中している．

6.5 2 次元の応用

コンピュータで扱う画像は，縦に M 点，横に N 点が配置された行列構造をとる．各点をピクセル (pixel)

あるはドット (dot) という．白黒の 256 階調図では，各ピクセルの値は 0 から 255 までの整数値である．

したがって，白黒 256 階調図は M ×N 行列で要素が 0 から 255 までの整数値である．また，カラー画像

は，RGB 方式だと，各ピクセル毎に赤・緑・青の 3 つの値を持つ．赤・緑・青は，0 から 255 までの値を

とる．ゆえに，1 ピクセルの表せるカラーは 2563 = 16777216 色である．


200 400 600 800 1000 1200 1400

-0.2

0

0.2

解析された信号 (長さ = 1560)

Scale of colors from MIN to MAX

Modulus of Ca,b Coefficients - Coloration mode : init + all sc ales

1

4

7

10

13

16

19

22

25

28

31

34

37

40

43

46

49

図 6.5 エルセントロ地震の連続ウェーブレット変換

6.5. 2 次元の応用 85

original image

discrete wavelet transform log2(coeffs)

100 200 300 400 500

100

200

300

400

500

2

4

6

8

10

0.99411 % coeffs remai n

100 200 300 400 500

100

200

300

400

500

2

4

6

8

10

compressed L=4 db3 PSNR=27.2703

図 6.6 レナの図の離散ウェーブレット変換と圧縮

画像データは大多数の低周波部分とごく少数のエッジ部（輪郭線は 1 次元）からなり，かつサイズを半分

にしてもよく似た絵が作れるので，1 オクターブの周波数刻みで十分であり離散ウェーブレット解析には適

したデータである．ウェーブレットは新しい静止画像の圧縮規格である JPEG 2000 wavelet などにも使わ

れている．

画像のエッジ抽出や圧縮・ノイズ除去を Matlab を使ってやってみよう．

6.5.1 画像の圧縮

ここでは，白黒 256 階調の画像のみを扱う．ここでは，図 6.6 の左上の画像を 4 レベルまで離散ウェー

ブレット変換すると，左下の図が得らる．左下の図は log2(abs(coeffs) + 1) を濃淡図で表示したもので白

色のところは係数の絶対値が大きい．次に，係数の絶対値の大きいほうから約 1 % 残して，絶対値の小さ

い 99 % の係数を 0 に置き換えると右下の図を得る．右下の図を逆離散ウェーブレット変換すると，右上

の図が得られる．

離散フーリエ変換を用いた場合も，係数の絶対値の大きいほうからある閾値まで残して，残りの係数を 0

と置くことで圧縮画像が得られる．図 6.7 は，レナとボートの画像をウェーブレットとフーリエを使って圧

縮することによって得られる．レナの画像は圧縮しやすいので，1 % の係数を残した．ボートの画像は少し

難しいので，3 % の係数を残した．左側のウェーブレットを用いたほうが右側のフーリエを用いるよりもき

れいである．


wavelet 0.99411 % coeffs db3 PSNR=27.2703 fft 0.99945 % coeffs PSNR=25.7111

fft 3.1246 % coeffs PSNR=26.1973wavelet 3.0716 % coeffs db3 PSNR=28.5053

図 6.7 ウェーブレットとフーリエによる圧縮

ウェーブレット変換にはドベッシーの N = 3 のウェーブレット db3 を用いた．また，PSNR は Peak

Signal to Noise Ratio という画像の質を測るときの指標のひとつで大きいほどきれいである．PSNR は 30

以上が望ましいとされる．ここでは，印刷される都合上わざと粗が目立つように高圧縮した．

離散ウェーブレット変換を用いた画像の圧縮法は JPEG 2000 wavelet に入っているものが有名である．

これは，双直交ウェーブレット bior2.4 を用いた離散ウェーブレット変換で変換した係数に圧縮アルゴリ

ズムとして SPIHT （A. Said and W. A. Pearlman29)）を使っている．

6.5.2 エッジの抽出

レベル 1 の離散ウェーブレット変換を用いることにより，画像は図 6.8 のように左上のぼやけた部分（低

周波部分）と右上の縦のエッジの部分と左下の横のエッジの部分と右下の斜めエッジの部分の 4 つの部分に

分解される．

たとえば，右上の縦エッジの係数のみを残し，その他の係数を 0 に置いて，逆離散ウェーブレット変換を

することによって，レベル 1 の縦エッジが抽出できる．また，左上のぼやけた部分を 0 に置き逆変換をす

ればレベル 1 のエッジが抽出できる．同様にいろいろなレベルの縦・横・斜め方向のエッジが抽出できる．

画像に対して，このような操作のできることが離散ウェーブレット変換の特徴である．図 6.9 にマルチ

エッジの例をあげる．左上がレベル 1 の縦エッジ，右上がレベル 1 のエッジ，左下がレベル 2 のエッジ，

右下がレベル 3 のエッジである．徐々に値が大きくなっている．また，レベル 3 までのエッジを重ね合わ

せると図 6.10 を得る．

6.5. 2 次元の応用 87

discrete wavelet transform log2(coeffs)

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

1

2

3

4

5

6

7

8

9

図 6.8 ボートの画像をレベル 1 の離散ウェーブレット変換した

level=1, vertical edge

100 200 300 400 500

100

200

300

400

500

50

100

150

200

250

level=1 edge

100 200 300 400 500

100

200

300

400

500

50

100

150

200

250

level=2 edge

100 200 300 400 500

100

200

300

400

500

50

100

150

200

250

level=3 edge

100 200 300 400 500

100

200

300

400

500

50

100

150

200

250

図 6.9 マルチレベルエッジの抽出


level=1,2,3 edge

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

50

100

150

200

250

図 6.10 レベル 1 2 3 のエッジの重ね合わせ

参考文献

[1] 芦野隆一・山本鎭男，ウェーブレット解析 — 誕生・発展・応用 —，共立出版，1997.

[2] 新井仁之，フーリエ解析と関数解析学，培風館，2001.

[3] ウォルター，ウェーヴレットと直交関数系（榊原進・萬代武史・芦野隆一訳），東京電機大学出版局，2001.

[4] 大矢勇次郎，応用数学の基礎，昭晃堂，1996.

[5] 榊原進，数理科学ウェーヴレットビギナーズガイド，東京電機大学出版局，1995.

[6] シュワルツ，物理数学の方法（吉田耕作・渡辺二郎訳），岩波書店，1966.

[7] チューイ，桜井他訳，ウェーブレット入門，東京電機大学出版局，1993.

[8] チューイ，桜井他訳，ウェーブレット応用信号解析のための数学的手法，東京電機大学出版局，1997.

[9] ヘルナンデス・ワイス，ウェーブレットの基礎（芦野隆一・萬代武史・浅川秀一訳），科学技術出版，2000.

[10] 吉川敦，関数解析の基礎，近代科学社，1990.

[11] 吉川敦，フーリエ解析入門，新数学入門シリーズ 12 森北出版，2000.

[12] J. J. Benedetto and S. Li, The theory of multiresolution analysis frames and applications to filter banks,

Appl. Comput. Harmon. Anal., 5 (1998) 389–427.

[13] I. Daubechies, A. Grossman, Y. Meyer, Painless nonorthogonal expansions, J. Math. Phys., 27(5), (1986),

1271-1283.

[14] I. Daubechies, The wavelet transform, time-frequency localization and signal analysis, IEEE Trans. Info.

Theory, 36(5) (1990), 961–1005.

[15] I. Daubechies, Ten Lectures on Wavelets, SIAM, Philadelphia, 1992.

[16] D. Donoho and P. Strak, Uncertainty principles and signal recovery, SIAM J. Appl. Math., 49 (3) (1989),

906–931.

[17] R. Duffin and A. Schaeffer, A class of nonharmonic Fourier series, Trans. Amer. Math. Soc., 72, (1952),

341-366.

[18] M. Frazier, G. Garrigos, K. Wang and G. Weiss, A characterization of functions that generate wavelet

and related expansion, J. Fourier Anal. Appl., 3 (1997), 883–906.

[19] M. Frazier, B. Jawerth and G. Weiss, Littlewood-Paley Theory and the Study of Function Spaces, CBMS,

79, AMS, 1991.

[20] G. Folland, Introduction to Partial Differential Equations, 2nd ed., Princeton, 1995.

[21] K. Grochenig, Acceleration of the frame algorithm, IEEE Trans. Signal Proc., 41 (1993), 3331–3340.

[22] K. Grochenig, Foundations of Time-Frequency Analysis, Birkhauser, Boston, 2001.

[23] Grossmann and Morlet, Decomposition of Hardy functions into square integrable wavelets of constant

shape, SIAM J. Math. Anal., 15 (1984), 723–736.

[24] V. Havin and B. Joricke, The Uncertainty Principle in Harmonic Analysis, Springer-Verlag, Berlin Hei-

delberg, 1994.

[25] C. E. Heil and D. F. Walnut, Continuous and discrete wavelet transforms, SIAM Review, 31(4) (1989),

pp. 628–666.

[26] S. Mallat, A Wavelet Tour of Signal Processing, 2nd edition, Academic Press, San Diego CA, 1999.

[27] Y. Meyer, Wavelets and Operators, Cambridge University Press, 1992.

89

90 参考文献

[28] J. Morlet, G. Arens, I. Fourgeau, and D. Giard, Wave propagation and sampling theory, Geophysics, 47

(1982), 203–236.

[29] A. Said and W. A. Pearlman, A new fast and efficient image codec based on set partitioning in hierarchical

trees, IEEE Trans on Circuits and Systems for Video Technology 6 (1996), 243–250.

[30] C. Tallon-Baudry, O. Bertrand, C. Delpuech, and J. Pernier, Stimulus specificity of phase-locked and

non-phase-locked 40Hz visual responses in human, J. Neuroscience, 16 (1996), 4240–4249.

[31] C. Tallon-Baudry, O. Bertrand, C. Delpuech, and J. Pernier, Oscillatory γ-band (30 − 70Hz) activity

indeced by visual search task in human, J. Neuroscience, 17 (1997).

索引

ε-集中ε-concentrated 9

r-regular 50

CT 72

MRI 72

あ　行

アーチファクトartifact 76

アナライジングウェーブレットanalyzing wavelet 22

ヴァニシングモーメントvanishing moment 23, 24, 51

ウェーブレットwavelet 38

ウェーブレット関数wavelet function 15, 38

ウェーブレット係数wavelet coefficient 15

ウェーブレット展開wavelet expansion 38

ウェーブレット変換wavelet transform 60

上に半有界upper semi-bounded 30

エルミート関数Hermite function 5

エルミート級数Hermite series 6

エルミート多項式Hermite polynomial 5

オクターブoctave 72

か　行

ガウシアンウェーブレット関数Gaussian wavelet function 58

ガウス関数Gaussian function 12

ガウスの積分公式Gauss’ integral formula 4

ガボール変換Gabor transform 12

カルデロンの再生公式Calderon’s reproducing formula 18

完全なフレームexact frame 28

緩和パラメータrelaxation parameter 32

擬逆pseudo inverse 31

期待値expectation 9

逆フーリエ変換inverse Fourier transform 3

逆マラー変換inverse Mallat transform 78

逆離散ウェーブレット変換inverse discrete wavelet transform 78

逆連続ウェーブレット変換inverse continuous wavelet transform 22

球対称spherically symmetric 17

許容条件admissibility condition 21

共役adjoint 10

共役勾配法conjugate gradient method 33

共役作用素adjoint operator 3

局所化localization 11

交換子commutator 6

合成作用素synthesis operator 30

合成積convolution 2

コッホ曲線Koch curve 23

古典的なサンプリング定理classical sampling theorem 27

古典的不確定性原理classical uncertainty principle 6, 9

さ　行

再構成公式reconstruction formula 34

サウンド・オクターブ変換

91

92 索引

sound-octave transform 72

三角多項式trigonometric polynomial 54

時間周波数解析time-frequency analysis 1

時間周波数シフトtime-frequency shift 13

時間周波数の窓time-frequency window 9

時間周波数平面time-frequency plane 9

時間スケール解析time-scale analysis 15

時間スケール作用素time-scale operator 4

時間窓の中心center of time window 58

時間窓の幅width of time window 58

自己共役self-adjoint 10

自己相似集合self-similar set 23

下に半有界lower semi-bounded 30

シフトshift 38

シフト不変空間shift invariant space 40

シフト不変性shift invariance 40

射影projection 10

周波数窓の中心center of frequency window 59

周波数窓の幅width of frequency window 59

冗長なフレームredundant frame 28

伸張作用素dilation operator 3

伸張方程式dilation equation 42

隙間のないウェーブレットフレームtight wavelet frame 37

隙間のないフレームtight frame 28

スケーリング関数scaling function 41, 45

スケールscale 45

スケール不変性scale invariance 40

正規直交ウェーブレット

orthonormal wavelet 38

正則regular 50

積分核integral kernel 11

増大列increasing sequence 45

双対性duality 3

双対フレームthe dual frame 30

ソボレフ空間Sobolev space 50

ソボレフの埋め込み定理Sobolev embedding theorem 50

た　行

帯域制限band limited 27

多重解像度解析multiresolution analysis 45

短時間フーリエ変換short-time Fourier transform 11, 59

抽象的不確定性原理abstract uncertainty principle 6

中心center 8, 9

直流direct current 79

直交関係orthogonality relation 19, 20

直交射影orthogonal projection 10

直交補空間orthogonal complement 46

電気双極子electric dipole 74

投影データprojection data 75

ドットdot 83

ドノホー・スタークの不確定性原理Donoho-Stark uncertainty principle 10

ドベシィのウェーブレット関数Daubechies’ wavelet function 57

は　行

パーセヴァルの等式Parseval’s formula 3, 20, 39

パーセヴァルフレームParseval frame 28

バナッハ空間

索引 93

Banach space 2

幅width 8

反転公式inversion formula 19

半有界semi-bounded 30

ピクセルpixel 83

非調和フーリエ級数nonharmonic Fourier series 27

標準双対フレームcanonical dual frame 30

標準偏差standard deviation 9

ヒルベルト・シュミットノルムHilbert-Schmidt norm 11

ヒルベルト空間Hilbert space 2

フーリエ変換Fourier transform 3

不確定性uncertainty 3

不完全なフレームnonexact frame 28

不規則サンプリングirregular sampling 27

フラクタル集合fractal set 23

フレームframe 28

フレームアルゴリズムframe algorithm 33

フレーム定数frame bounds 28

フレーム作用素frame operator 28

フレーム展開frame expansion 31

分解作用素analysis operator 30

分極公式polarization identity 36

平行移動translation 1

平行移動作用素translation operator 3

ベキ等idempotent 10

変調作用素modulation operator 3

ボイスvoice 72

補正ガウシアンウェーブレット関数Modulated Gaussian wavelet 59

ま　行

窓window 8

窓関数window function 8

窓フーリエ変換windowed Fourier transform 11

マラー変換Mallat transform 78

密度関数density function 9

無限遠で急減少rapidly decreasing at infinity 50

メイエのウェーブレット関数Meyer’s wavelet function 49

メイエのスケーリング関数Meyer’s scaling function 42

メキシカンハットMexican hat 22

モーメントmoment 24, 51

や　行

ヤングの不等式Young’s inequality 19

ユニタリ作用素unitary operator 3

ら　行

ラドン変換Radon’s integral method 75

リース基底Riesz basis 28, 45

リースの補題Riesz lemma 57

離散ウェーブレット変換discrete wavelet transform 78

リチャードソン外挿法Richardson’s extrapolation 32

レベル 1 の分解decomposition of level 1 79

連続ウェーブレット変換continuous wavelet transform 15, 71

Documents

Macintosh HD:Rykoku final:rootashino/pdf/ryukoku.pdfまえがき この講演録は，龍谷大学科学技術共同研究センターの支援による2002 年度連続講演会で大学院修士課程の

Macintosh HD:Rykoku final:rootashino/pdf/ryukoku.pdfまえがきこの講演録は，龍谷大学科学技術共同研究センターの支援による2002 年度連続講演会で大学院修士課程の