Manfred Kiihlmeyer

Statistische Auswertungsmethoden fiir Ingenieure

Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH

Manfred Kühlmeyer

Statistische Auswertu ngsmethoden für Ingenieure mit Praxisbeispielen

Unter Mitarbeit von Claudia Kühlmeyer

Mit 55 Abbildungen

i Springer

Dipl.-Math. DrAng. MANFRED KÜHLMEYER Im Freitagsmoor 31 38518 Gifhorn

Dipl.-Chem. Dr. CLAUDIA KÜHLMEYER Cellerstr. 103 38518 Gifhorn

ISBN 978-3-642-62495-7

Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme

Kühlmeyer, Manfred:

(VDI-Buch) ISBN 978-3-642-62495-7 ISBN 978-3-642-56776-6 (eBook) DOI 10.1007/978-3-642-56776-6 Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder Vervielfaltigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfaltigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutsch­land vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechts­gesetzes.

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2001 Ursprünglich erschienen bei Springer-Verlag Berlin Heidelberg NewYork 2001

Softcover reprint of the hardcover 1 st edition 2001

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Vorwort

Das vorliegende Buch wendet sich sowohl an den im Beruf stehenden Praktiker, als auch an Studenten der Ingenieurwissenschaften an Fachhoch­schul en und Hochschulen, die ihre Versuchsergebnisse sinnvoll auswerten, beurteilen und darstellen mochten. Die dargestellten Methoden sind seit lan­gem Vorlesungsgegenstand fUr Studenten der WerkstofIkunde und des Ma­schinenbaus an der Ruhr-Universitat Bochum.

Die Auswahl der statistischen Methoden beruht sowohl auf uber drei Jahr­zehnten praktischer Anwendertatigkeit in der Industrie als auch ebenso langer Lehrtatigkeit an Universitaten und bei wissenschaftlichen Vereinigungen. Meist handelte es sich um praktische Fragestellungen aus der Grundstoffindu­strie, der Werkzeugproduktion, der Hartmetall- und Magneterzeugung, der Medizintechnik und Werkstoflkunde bis hin zur Motoren- und Fahrzeugent­wicklung. Auch Anwendungen in Medizin und Chemie, besonders in der Po­lymerchemie und der Elastomerentwicklung erbrachten interessante und manchmal unerwartete Ergebnisse, die zur fruchtbaren Weiterentwicklung beitrugen - eine vielseitige Palette von Anwendungen! Alle hier dargestellten Verfahren und Methoden wurden immer wieder verwendet und auf Praxisre­levanz uberpruft. Dabei erwiesen sich auch die einfachen graphischen Nahe­rungsverfahren, wie etwa die verschiedenen Wahrscheinlichkeitsnetze, fur den Ingenieur als besonders nutzlich, da sie schnell einen Uberblick uber das Wahrscheinlichkeitsverhalten der Mefiwerte erlauben.

Ein vor einer praktischen Aufgabe stehender Ingenieur ist vorrangig am ,Xochrezept" eines mathematischen Verfahrens interessiert, meist schon aus Zeitgriinden. Ein beigefugtes durchgerechnetes Beispiel ist in der Regel hilf­reich fUr die sichere formale Durchfuhrung des Verfahrens. Daher wurden bei nahezu jedem Verfahren ein Anwendungsfall aus der taglichen Praxis des Verfassers durchgerechnet. In einigen Hillen muBten MeBwerte aus Urheber­rechtsgrunden geringfugig verandert werden, was dem zu veranschaulichen­den Prinzip keinen Abbruch tut. Ein Beispiel sollte dabei nicht komplizierter sein als die zu illustrierende Methode. Dieser Gesichtspunkt wurde bei der Auswahl berucksichtigt. Allerdings verlangen die besonders interessanten Anwendungsfalle, die auch auf den ersten Blick uberraschende Erkenntnisse liefern, in der Regel meist ein tieferes technisches Vorwissen, so daB auf ihre Darstellwlg verzichtet werden mufite.

In der technischen Anwendungspraxis steht man haufig vor der Frage, ob und wie weit die formalen mathematischen Voraussetzungen erfullt sind und

VI Vorwort

welchen Effekt man bei Abweichungen erwarten kann. Oft mtissen Rechener­gebnisse auf ihre technische Aussage hin interpretiert werden. Spatestens in solchen Fallen wird man sich fur die mathematischen Hintergriinde der Ver­fahren und damit die logischen Zusammenhange aus technischer Sicht interes­sieren. Sich dann die Beweise aus der Fachliteratur zu erarbeiten, scheitert oft schon an der unterschiedlichen Nomenklatur der Bticher, ganz abgesehen davon, daB sie sich meist an den Fachmathematiker wenden. Der Zeitdruck der taglichen Praxis bringt dann den Interessierten dazu, dies en Aufwand he­ber bleiben zu lassen, was auch nicht befriedigt. Daher wurden fur die meisten Verfahren einfache Beweise oder zumindest Beweisideen im Kleindruck bei­gefugt, sofern sie nicht zu urnstandlich und kompliziert sind. Dafur wurde dann auf einfach zu lesende Fachliteratur verwiesen. Der Leser kann die Be­weise bei der ersten LektUre also getrost uberschlagen, diese Reserve aber jederzeit aktivieren.

In der Ingenieurpraxis treten meist parametrische Verfahren auf, wie etwa die auf der Normalverteilung beruhenden. In manchen Fallen sind aber entwe­der die n6tigen Voraussetzungen nicht erfullt oder fur die gerade vorliegende Verteilung hat man die entsprechenden Test- und Schatzverfahren nicht zur Verfugung. Sich dann in der Fachliteratur kundig zu machen, unterbleibt meist schon alleine aus den leidigen Zeitgrunden. Deshalb wurden hier zu allen ublichen Normalverteilungsverfahren verteilungsfreie Pendants dargestellt, meist auf Rangstatistiken basierend, die kaum trennschwacher sind als z.B. die besten Normalverteilungsverfahren - so sie anwendbar waren. Damit sollte der Ingenieur fur die meisten Anwendungsfalle der statistischen Ver­suchsauswertungen gerustet sein. Verfahren der ZuverHissigkeitsrechnung und der Qualitatskontrolle konnten hier allerdings nur gestreift werden. Ebenso mufiten die mehrdimensionalen Verfahren der Varianzanalyse und statisti­schen Versuchsplanung, sowie die Korrelations- und Regressionsrechnung unberucksichtigt bleiben.

Als mathematische Voraussetzungen fur das Verstandnis der Methoden und Beweise in diesem Buch ist Abiturwissen ausreichend, so daB Studenten und Absolventen von Fachhochschulen oder Universitaten keine Schwierigkeiten haben werden. Fur die Anwendung der Verfahren werden nur die Grundrech­nungsarten einschliefilich Wurzelziehen ben6tigt, wie sie jeder wissenschaftli­che Taschenrechner aufweist, der fur ein paar Mark zu erhalten ist und der meist schon die Berechnung von Mittelwert und Varianz eingebaut hat, so ist fur die Beweisfiihrung das Wissen urn die Prinzipien der Differential- und Integralrechnung giinstig. Aufierdem zeigen drei Jahrzehnte Erfahrung, dafi kaum jemals ein Anwender an den statistischen Methoden gescheitert ist, sondern immer nur an den technischen Sachproblemen, die nicht sorgfaltig genug analysiert und auf das Wesentliche abstrahiert wurden.

Als zusatzliche Hilfestellung fur den weniger mit der Materie Vertrauten wurde ein Wegweiser zu den haufigsten Fragestellungen der Grundlagen der angewandten Statistik vorangestellt. Er ist ahnlich den biologischen Bestim-

Vorwort VII

mungsschhisseln aufgebaut, und fuhrt erfahrungsgemiill rasch auf die passen­den Methoden.

Das Buch wendet sich also an den Anwender und weniger an den Mathe­matiker. Daher mufiten in der Darstellungsweise Kompromisse eingegangen werden, die moglicherweise den einen oder anderen Fachmathematiker die Nase rumpfen lassen. VerbesserungsvorschHige werden dankbar angenom­men. Das gilt auch fur Fehler, die sich eingeschlichen haben konnten, obwoh) der Verfasser und seine Tochter, die als Mitautorin die Methoden v. a. in der Polymerchemie im Rahmen von Diplomarbeit und Dissertation nutzte, sich ehrlich urn Fehlerfreiheit bemuht haben. Besonderer Dank gebuhrt den Herren Dipl.-Math. Christoph Kozub, Dipl.-Ing. Thomas Muller und Dipl.-Phys. Franz-Georg Neupert fur das aufwendige Korrekturlesen.

Dem Springer Verlag gebiihrt ebenso unser Dank fur die Bereitschaft Zur Veroffentlichung in der vorliegenden ansprechenden Form.

Gifuorn, August 2000 Manfred Kuhlmeyer Claudia Kuhlmeyer

Inhaltsverzeichnis

Seite 1 Einfiihrung........................................................................................... 1

1.1 Was ist Statistik? .............................................................................. 1 1.1.1 Statistik und Technometrie .................................................. 1 1.1.2 Bonmots tiber Statistik ......................................................... 2 1.1.3 Verschiedene Mittelwertsbegriffe ....................................... 3 1.1.4 Der Begriff der Streuung ..................................................... 7

1.2 Statistische Experimente und logische Hintergrtinde ................... 9 1.2.1 Allgemeines ......................................................................... 9 1.2.2 Modellhypothese und Schatzer ........................................... 10

Abstraktion auf das Wesentliche ......................................... 11 Schatzer und Schatzgenauigkeit .......................................... 13 MeBgenauigkeiten ...... ..... ............. ................... ........... ......... 14

1.3 AbriB der geschichtlichen Entwicklung ........................................ 14 1.3.1 Entwicklung des Begriffs der Wahrscheinlichkeit .............. 15 1.3.2 Abhangige und unabhangige Ereignisse ............................. 18 1.3.3 Der Begriff der Zufallsvariablen ......................................... 20 1.3.4 Entwicklung der Statistik .................................................... 21

2 Zufallsstichprobe und Grundgesamtheit .......................................... 25 2.1 Grafische Darstellung von Stichprobenergebnissen

und Zufallsvariablen ..................................................................... 25 2.2 Allgemeine Darstellung der Wahrscheinlichkeit .......................... 29 2.3 Statistische KenngroBen ............................................................... 34

2.3.1 Yom arithmetischen Mittel zum Erwartungswert ............. 34 2.3.1.1 DerBegriffderDichte ....................................................... 34 2.3.1.2 Der Erwartungswert ........................................................... 35 2.3.1.3 Der Varianzbegriff ............................................................. 36 2.3.1.4 Covarianz und Korrelationskoeffizient ............................. 40 2.3.2 Erganzungen zu den statistischen KenngroBen ................. 42

2.4 Einfache Funktionen von Zufallsvariablen ................................... 44 2.4.1 Linearkombination von Zufallsvariablen .......................... 45 2.4.2 Das Fehlerfortpflanzungsgesetz ........................................ 46 2.4.3 Die Verteilung der Stichprobenelemente einer geordneten

Stichprobe .......... .... ........................................................... 48

X Inhaltsverzeichnis

3 Haufig benutzte Verteilungen ............................................................ 53 3.1 Diskrete Verteilungen ................................................................... 53

3.1.1 Die diskrete Gleichverteilung ............................................... 53 3.1.2 Die hypergeometrische Verteilung ....................................... 54 3.1.3 Die Binomialverteilung ........................................................ 57 3.1.4 Die Poisson-Verteilung ........................................................ 61 3.1.5 Zusammenhiinge zwischen hypergeometrischer,

Binomial- und Poisson-Verteilung ....................................... 62 3.2 Kontinuierliche Verteilungen ....................................................... 65

3.2.1 Die Normalverteilung ........................................................... 66 3.2.1.1 Der Zentrale Grenzwertsatz ................................................. 67 3.2.1.2 Standardisierte Zufallsvariable ............................................ 69 3.2.1.3 Die 1-, 2- und 3-Sigma-Regeln ........................................... 71 3.2.1.4 Das GauBsche Wahrscheinlichkeitsnetz .............................. 71

Schatzen von Erwartungswert und Varianz im GauBschen Wahrscheinlichkeitsnetz .................................................. 75

Test auf Normalverteilung im GauBschen Wahrscheinlich-keitsnetz ........................................................................... 76

Vertrauensintervall fUr Quantilwerte im Normal-verteilungsnetz .. ....... ..... ...... ..... ........ ... ........ ... .................. 77

3.2.1.5 Die Sheppard-Korrektur bei klassierten Stichproben .......... 79 3.2.2 Die logarithmische Normalverteilung ................................. 79

Test auf logarithmische Normalverteilung im WN ............. 82 Dreiparametrige Lognormalverteilung ...... ............ ..... ......... 83

3.2.3 Die Weibull-Verteilung ....................................................... 84 Historisches ................ ....... ...... ..... ... ................ ..... ....... ..... ... 84 Heuristische Begriinclung cler Weibullverteilung ................ 84 Mathematische Grundlagen der zweiparametrigen Weibullverteilung ............................................................... 86

4 Statistische Schatz- und Testverfahren .... ..... ....... ..... ..... ..... ... ..... ...... 93 4.1 Allgemeines zu den Schatz- und Testverfahren ............................ 93

4.1.1 p- Quantile ........................................................................... 93 4.1.2 Der Zufallsstreubereich ....................................................... 94 4.1.3 Schatz- und Testverfahren ................................................... 95 4.1.3.1 Der Testfall .......................................................................... 96 4.1.3.2 Zufalls- und Vertrauensintervall ......................................... 98

4.2 Schatz- und Testverfahren bei diskreten Verteilungen ................. 99 4.2.1 Binomialverteilung .............................................................. 99 4.2.1.1 Vertrauensintervall fUr den Parameter p............................... 100 4.2.1.2 Testfall fUr den Parameter p ................................................ 103 4.2.2 Poissonverteilung ................................................................. 104 4.2.2.1 Vertrauensintervall fUr f.l ..................................................... 104 4.2.2.2 Test aufVertraglichkeit eines Stichprobenergebnisses

x mit einer mittleren Ereigniszahl f.l ................................... 107 4.2.2.3 Vergleich zweier Parameter f.ll und f.i.t. ....•.•..•.••...•••.•.•.••...... 108

Inhaltsverzeichnis

4.3 Schatz- und Testverfahren bei Normalverteilung ........................ . 4.3.1 Verteilung von Mittelwert und Standardabweichung

von Zufallsstichproben ........................................................ . 4.3.2 Die Verteilung des Mittelwerts einer Stichprobe bei

bekannter Standardabweichung - Der u-Test ..................... . 4.3.2.1 Die Teststatistik .................................................................. . 4.3.2.2 Der Ein-Stichproben-u-Test ............................................... . 4.3.2.3 Zufalls- und Vertrauensintervall ........................................ . 4.3.2.4 Gutefunktion eines Tests am Beispiel des u-Tests ............. . 4.3.2.5 Der Zwei-Stichproben-u-Test ............................................. . 4.3.3 Test- und Schatzverfahren fUr den Mittelwert einer

Stichprobe bei unbekannter Standardabweichung .............. . 4.3.3.1 Die Studentsche t-Verteilung ............................................. . 4.3.3.2 Der Ein-Stichproben-t-Test ................................................ . 4.3.3.3 Das Vertrauensintervall fUr f1 ............................................. . 4.3.3.4 Gutefunktion des Ein-Stichproben-t-Tests ......................... . 4.3.3.5 Der Ein-Stichproben-t-Test fur den Fall. daB die

Standardabweichung aus mehr Werten geschatzt werden kann als der Mittelwert .................................................... .

4.3.3.6 Der Zwei-Stichproben-t-Test ............................................. . 4.3.3.7 Gutefunktion des Zwei-Stichproben-t-Tests ...................... . 4.3.3.8 Verbundene Stichproben .................................................... . 4.3.4 Test- und Schatzverfahren fUr die Stichprobenstandard-

abweichung ....................................................................... . 4.3.4.1 Die i-Verteilung. Vertrauens- und Zufallsintervalle ........ . 4.3.4.2 Der i-Test aufVerschiedenheit einer Stichprobenstandard­

abweichung s von einem hypothetischen Wert 0"0 ......•••••.

4.3.4.3 Gutefunktion des i-Tests .................................................. . 4.3.5 Vergleich zweier Varianzen aus normalverteilten Grund-

gesamtheiten ..................................................................... . 4.3.5.1 Die F-Verteilung. Mutungsintervall fUr das Varianz-

h··lt· 2/ 2 ver a nIS 0"1 0"2 ......••.....•..............................................

4.3.5.2 F-Test auf den Unterschied zwischen zwei Varianzen ...... . 4.3.5.3 Die Gutefunktion des F-Tests ............................................ . 4.3.6 Verg1eich von Varianzen mehrerer Normalverteilungen ... . 4.3.6.1 Der Bartlett-Test ................................................................. . 4.3.6.2 Der Cochran-Test ............................................................... . 4.3.7 Vergleich mehrerer Erwartungswerte von normalverteilten

Grundgesamtheiten mit gleicher Varianz ........................ . 4.3.8 Das AusreiBerproblem bei normalverteilten Kollektiven .. .

XI

109

109

114 115 116 118 119 124

128 128 128 130 131

132 135 137 138

140 140

144 146

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150 151 153 153 154

155 158

XII Inhaltsverzeichnis

5 Grundlagen verteilungsfreier Test- und Schatzverfahren ............... 161 5.1 Allgemeines ................................................................... :.............. 161 5.2 Skalierungen ................................................................................. 163

Benennende oder Klassifikations-Skalierung ......... ..................... 163 Ordinale Skalierung ...................................................................... 164 Metrische oder messende Skalierung. Kardina1skalierung ........... 164 Rangskalierung ............................................................................. 165

5.3 Allgemeine Grundsatze der verteilungsfreien Verfahren ............. 165 5.3.1 Der Fall kontinuierlicher Verteilungen ............................... 165 5.3.2 Der Fall diskreter Verteilungen ........................................... 169

5.4 Giitekriterien von Schatzern und Tests ......................................... 170 Das Maximum-Likelihood-Prinzip ............................................... 170 Die relative Effizienz von Tests .................................................... 172 Konservative Tests ........................................................................ 172

6 Anpassungstests im Fall einer Stichprobe .. ............ .......... ................ 173 6.1 Anpassungstests mit genau spezifizierter Vergleichsverteilung... 173

6.1.1 Der i -Anpassungstest ........................................................ 174 6.1.2 Der Anpassungstest von Kolmogoroff-Smirnoff im Fall

einer Stichprobe .............. .......... ...... ............ ...................... 177 6.2 Anpassungstests mit nicht genau spezifizierter Verteilung .......... 183

6.2.1 Der i-Anpassungstest bei zusammengesetzter Null-hypothese ........................................................................... 184

Normalverteilung als zusammengesetzte Nullhypothese ... 186 Lognormalverteilung als zusammengesetzte Nullhypothese 188 Diskussion zum i-Anpassungstest .................................... 191

6.2.2 Der Kolmogoroff-Smirnoff Anpassungstest fUr zusammen-gesetzte NUllhypothesen bei einer Stichprobe ................... 194

6.2.2.1 Test auf Normalverteilung ................................................... 194 6.2.2.2 Test auf Lognormalverteilung ............................................. 197 6.2.2.3 Test auf Exponentialverteilung ........................................... 199

7 Weitere verteilungsfreie Test- und Schatzverfahren im Fall einer Stichprobe ......... ........................................................................... 203

7.1 Tests und Schatzverfahren fUr den Median einer Grund-gesamtheit ........ ............................................................................. 203

7.1.1 Der Binomialtest fUr den Median .............. ............ ............... 204 7.1.2 Mutungsintervall fUr den Median M(iJ ................................ 208 7.1.3 Der Wilcoxon-Vorzeichen-Rangtest .................................... 211

7.2 Test gegen Trend .......................................................................... 218 7.3 Test auf Zufalligkeit einer Stichprobe .......................................... 219 7.4 Die Stichprobenspannweite als Toleranzbereich .......................... 224 7.5 Die Ungleichungen von Tschebyscheffund Camp-Meidell ......... 227

8 Verteilungsfreie Verfahren im Fall zweier Stichproben .................. 229 8.1 Anpassungstests fiir zwei Stichproben ...... .................. ................. 229

Inhaltsverzeichnis XIII

8.1.1 Der l-Anpassungstest fUr zwei Stichproben ...................... 230 8.1.2 Der Kolmogoroff-Smirnoff-Anpassungstest fur zwei

unabhangige Stichproben ................................................... 231 8.2 Verteilungsfreie Tests auf Lagealternativen bei zwei Stich-

proben ......................................................................................... 235 8.2.1 Der Wilcoxon-Test auf Lagealternativen fUr zwei unab-

hangige Stichproben ........................................................... 235 8.2.2 Der Fall zweier verbundener Stichproben ........................... 242 8.2.2.1 Der Binomialtest auf Lagealternativen bei verbundenen

Stichproben . ...................................................................... 243 8.2.2.2 Anwendung des Wilcoxon-Vorzeichen-Rangtests auf

Lagealternativen bei zwei verbundenen Stichproben ........ 244 8.3 Test aufVerschiedenheit von Varianzen bei zwei Stichproben ... 246

8.3.1 Ein einfacher Test aufVariabilitatsunterschied bei zwei Stichproben ........................................................................ 246

8.3.2 Der Siegel-Tukey-Test auf Streuungsalternativen .............. 247 8.4 Alternativdaten bei zwei Stichproben ........................................... 253

8.4.1 Alternativdaten bei zwei unabhangigen Stichproben. Vier-Feldertafeln ......................................................................... 254

8.4.2 Alternativdaten bei zwei verbundenen Stichproben. McNemar-Test .................................................................... 259

9 Verteilungsfreie Verfahren bei m Stichproben ................................ 263 9.1 Allgemeine Uberlegungen ............................................................ 263 9.2 Ein Anpassungstest yom Kolmogoroff-Smirnoff-Typ fur

m unabhangige Stichproben. Conover-Test ................................ 265 9.3 Der Kruskal-Wallis-Test auf Lageunterschiede bei m unab-

hangigen Stichproben' ................................................................. 267 9.4 Lageunterschiede bei m verbundenen Stichproben;

Friedman Test' ............................................................................. 273 9.5 Der Meyer-Bahlburg-Test aufVariabiliUi.tsunterschiede bei m

unabhangigen Stichproben .... ................... .............................. ..... 281

10 Verteilungsfreie Korrelationsrechnung ............................................ 285 10.1 Allgemeine Hintergrunde ........................................................... 285 10.2 Spearmans Rangkorrelationskoeffizient .................................... 288 10.3 l-Test auf Unabhangigkeit; Kontingenztafeln ......................... 299

Al Wahrscheinlichkeitstheoretische Grundlagen ............................... 311 AI.1 Mengentheoretische Grundlagen der Wahrscheinlichkeits-

rechnung .................................................................................... 311 A1.2 Wahrscheinlichkeiten ................................................................. 315

, Zugleich verteilungsfreie einfache Varianzanalyse , Zugleich verteilungsfreie zweifaktorielle Varianzanalyse

XIV Inhaltsverzeichnis

A1.3 Bedingte Wahrscheinlichkeiten ................................................. 318 A1.4 Der Begriff der statistischen Unabhangigkeit ............................ 320 A1.5 Funktionen von Zufallsvariablen ............................................... 321

Al.5.1 Lineare Transformation ...................................................... 321 Al.5.2 Quadrat einer Zufallsvariablen ........................................... 322 A1.5.3 Allgemeine Funktion y = g(x) ............................................ 323

Al.6 Mehrdimensionale Verteilungen ................................................ 325 Al.6.1 Dichte. Summenfunktion und Randverteilungen ............... 325 Al.6.2 Bedingte Verteilungen ........................................................ 327 Al.6.3 Unabhangigkeit .................................................................. 329 A1.6.4 Funktionen mehrdimensionaler Verteilungen .................... 330

A1.7 Teststatistiken zur Normalverteilung ......................................... 332 Al.7.1 Die /-Verteilung ............................................................... 332 Al.7.2 Die t-Verteilung .................................................................. 336 A1.7.3 Die F-Verteilung ................................................................ 341

A1.8 Simulation .................................................................................. 344 A1.8.1 Prinzip der Monte-Carlo-Simulation .................................. 344 Al.8.2 Erzeugung von Zufallszahlen mit vorgegebener Verteilung 345

A2 Anhang fur Tabellen, Diagramme und Formulare ........................ 349 A2.1 Tabellen ...................................................................................... 350 A2.2 Diagramme ................................................................................. 375 A2.3 Formulare ................................................................................... 395

Literatur ..................................................................................................... 407

Stichwortverzeichnis ................................................................................. 411

In diesem Buch haufig benutzte Zeichen und Symbole

p, J.1 usw. Durch das 1\ werden Schatzer des betreffenden Parameters P, J.1

usw. gekennzeichet; vgl. S. 95. ! Zufallsvariablen werden durch Unterstreichen gekennzeichnet;

vgl. S. 30. x zur Zufallsvariablen ! gehOrige Zahl ( Realisation S. 30, Grenz-

wert S. 33 etc.). W(!...~ x) Wahrscheinlichkeit, daB die Zufallsvariable ! einen Wert :L~ x

annimmt; vgl. S. 31; 34. j{x), rp (y) Dichten der (kontinuierlichen) Zufallsvariablen! bzw.t ; S. 33f.

x F(x) = f f(x)dx = We! ~ x) Summenfunktion der Zufallsvariablen!; S. 33.

-00

pi= We! = xD Wahrscheinlichkeit, daB die (diskrete) Zufallsvariable ! den Wert Xi annimmt. Wir bezeichnen in Anlehnung an kontinu­ierliche Zufallsvariablen Pi auch als Dichte; S. 34.

n LXi = XI + x2 + ... + xn Summenbildung i=1

x F(x) = LPi = We! ~ X) Summenfunktion der diskreten Zufallsvariablen !;

i=O

vgl. S. 34. XI, X2, .•. ,Xn Zufallsstichprobe yom Umfang n; S. 30 x(1) ~ X(2) ~ ... ~ x(n) geordnete Stichprobe yom Umfang n ; S. 30 ni Anzahl Elemente in der i-ten Klasse (z.B. bei Histogramm,

i-Test); S. 26; 174f. hi absolute Haufigkeit in der Klasse i; S. 28; 174f. E(!) Erwartungswert von!; vgl. S. 26; 35; 38; 39; 68. Var(!) Varianz von!; vgl. S. 37; 68.

(J' = ~Var(x) Standardabweichung, meist im Zusammenhang mit Normalver­

teilung verwendet; S. 38; 68f. M(!) Median der Zufallsvariablen! (Grundgesamtheit); S. 43; 203. Cov(! ,t) Covarianz von! und t ; S. 40.

XVI

B(xl n; p)

P(xl J.L) N(J.L; if)

x

s a

S = I-a fJ

Ho HI In Ig

Zeichen und Symbole

A

Summenfunktion der Binomialverteilung beim Stichprobenum­fang n und (Prozent-) Parameter p ; S. 58.

Summenfunktion der Poissonverteilung mit Parameter J.L ; S. 62. Normalverteilung mit Parametern J.L und (J'(Erwartungswert J.L

und Varianz d; s. 67. Mittelwert der Stichprobe XI. X2, ••• ,xn , zugleich Schatzer fur den

Erwartungswert E(!) = J.L; x = jL ; vgl. S. 35; 42.

Schatzer fUr die Standardabweichung (J'; S = a; s. 43; 113; 140. Irrtumswahrscheinlichkeit eines Tests, Wahrscheinlichkeit fUr

Fehler 1. Art; S. 96; 97. Aussagesicherheit eines Tests; S. 96. Trennwahrscheinlichkeit eines Tests; (1- fJ)= Wahrscheinlich-

keit fUr Fehler 2. Art; S. 97. Nullhypothese; S. 96f. Gegenhypothese (Einshypothese); S. 96f. natUrlicher Logarithmus zur Basis e. Briggscher Logarithmus zur Basis 10.

Griechisches Alphabet

a Alpha N v Ny B fJ Beta .::, c; Xi

r r Gamma 0 0 Omikron A 8 Delta n 1£ Pi E 8 Epsilon p p Rho Z C; Zeta L: (J' Sigma H 17 Eta T , Tau e [) Theta Y v YpsiJon 1 Jota rp cp Phi K K Kappa X % Chi A A Lambda tp If Psi M J.L My n (j) Omega

Wegweiser zu den haufigsten Fragestellungen

Sticbprobe

stetige Vertei­lungen

1m statistischen Anwendungsfall werden in der Re­gel eine oder mehrere Stichproben gezogen. Handelt es sich bei einer Stichprobe XI, X2, ... , xn um Realisationen einer kontinuierlichen (=stetigen) Zu­fallsvariablen (Def. S. 33 unten) mit metrischer Ska­lierung (Def. S.l64), so kann es sich urn eine • Zufallsstichprobe (Def. S. 30 unten) handeln.

Wennja ~ 1 • Handelt es sich um eine Zeitreihe? ~Test auf

Trend etc. ~ 24 • Bestehen Zweifel an der gewollten ZufaIligkeit der

Stichprobe? ~ Test auf Zufalligkeit S. 219f. Falls die Zufalligkeit abgelehnt wird, ist die Stichprobe rur die Grundgesamtheit nicht reprasentativ. ~ Wirkliche Zufallsstichprobe ziehen!

• Sind die Daten ordinal (S. 164)?~ Verteilungsfreie Verfahren. ~ 17

• Sind die Daten sogar altemativ (gut!schlecht)?~21 Sind bereits eine oder mehrere Zufallsstichproben gezogen?

Ja ~ 1 Nein ~24

1 -1st die zugrundeliegende Grundgesamtheit (= Kollektiv, Population, Zufallsvariable)?

dem Typ nach bekannt, ~ 2 dem Typ nach unbekannt? ~ 3

XVIII Wegweiser zu den haufigsten Fragestellungen

Approximation empirischer Verteilungen durch bekannte stetige

2 eHandelt es sich um eine Normalverteilung? ~4

eHandelt es sich um eine Lognormalverteilung? ~12

eHandelt es sich um eine Weibull-Verteilung? ~14

e Andernfalls 3

3 e Man versuche moglichst zuerst mit Hilfe der (zeichnerisch einfachen) Wahrscheinlichkeits­netze einen der unter 2 namentlich genannten Verteilungstypen als hinreichend gute Appro­ximation festzulegen:

eNormalverteilung: ~ Wahrscheinlichkeitsnetz S. 71f. S. 76f., speziell ~ I-Anpassungstest S.184 und 186 f, ~ Lilliefors-Anpassungstest S. 194f

eLognormalverteilung: ~ Wahrscheinlichkeitsnetz S.82, ~ I -Anpassungstest besonders f groBe Stich­

proben n > 50; S. 188f, ~ Kolmogoroff-Anpassungstest S. 197f

e Weibullverteilung: ~ Wahrscheinlichkeitsnetz S. 87 ~ I-Anpassungstest S. 184f e Exponentialverteilung ~ Wahrscheinlichkeitsnetz S. 87. ~ Kolmogoroff-Anpassungstest 199f

e Wird irgendeine andere genau spezifizierte stetige Verteilung vermutet? ~ I-Anpassungstest S. 174 oder ~ Kolmogoroff -Anpassungs-Test S. 177.

e 1st der Verteilungstyp keinem der hier genann­ten Verteilungstypen oder spezifizierten Ver­

teilungen mit befriedigender Approximations giite zuzuordnen, empfiehlt es sich, zu vertei lungsfreien Methoden zu greifen. ~ 17

Normalvertei­lung

eine normalver­teilte Stichpro­be

CTbekannt

CTunbekannt

Wegweiser zu den haufigsten Fragestellungen XIX

4 eHandelt es sich urn eine Stichprobe? ~ 5 eHandelt es sich urn zwei Stichproben? ~ 10 eHandelt es sich urn mehr als zwei Stichproben?

~11

5 e 1st die Varianz Var(-!) = if oder Standardab-weichung CT bekannt? ~ 6

Andernfalls ~ 7

6 eWill man wissen, wie genau der Stichproben­mittelwert x den Erwartungswert E(-!) = Ji der Grundgesamtheit schiitzt? ~ Vertrauensintervall fUr Ji, S. 118, Formblatt B S. 398. eWill man wissen, ob Stichprobenmittelwert x zum hypothetischen Erwartungswert E(-!)=Ji der Grundgesamtheit paBt? ~ Ein-Stichproben-u­Test S. 116f. Formel (4.26); Gutefunktion S. 119f.; Diagramme 11112 S. 389; Formblatt A im Anhang A2 S. 396.

7 eBerechnen des Stichprobenmittelwerts x und der Stichprobenstandardabweichung s gemafi (2.16) S. 38. elst eine Aussage uber die Schiitzgenauigkeit von Mittelwert und Standardabweichung gefragt?~8 elst ein Test fur Mittelwert und Standardab-weichung gefragt? ~9

8 elnteressiert die Genauigkeit der Schiitzung der Standardabweichung der Grundgesamtheit CT?

~ Vertrauensintervall fUr CT, (4.62), (4.63) S. 140f., Tabelle 9 S. 364, Formblatt F S. 403.

elnteressiert die Genauigkeit der Schiitzung des Erwartungswerts Ji der Grundgesamtheit? ~Vertrauensintervall fUr Ji (4.49) S. 130, Ta­belle 9 S. 364, Formblatt B' S. 399.

9 eSoll die Stichprobenstandardabweichung s mit einer hypothetischen Standardabweichung Ob

verglichen werden?~ I-Test S. 144f., Gute­funktion S. 146, Formblatt E S. 402.

XX Wegweiser zu den haufigsten Fragestellungen

Zwei normal­verteilte Stich­I)roben

.Sol1 der Stichprobenmittelwert x mit einem hypothetischen Erwartungswert f.lo verglichen werden?~ Ein-Stichproben-t-Test (4.47) S. 128f., Gutefunktion S. 131, Diagramme 13114

S. 391f., Formblatt A'S. 397.

10 .Sind die Standardabweichungen der beiden Grundgesamtheiten bekannt und sollen die Erwartungswerte auf Verschiedenheit getestet

werden? ~2-Stichproben-u-Test, (4.37) S. 124f. .Sind die Standardabweichungen der beiden Grundgesamtheiten nicht bekannt und sollcn sie auf Verschiedenheit getestet werden') ~ F-T cst (4.72) S. ISO, Giitefunktion S. ISIL Formblatt G aufS. 404 .

• Soll ein Vertrauensintervall fur den Quotienten der beiden Varianzen (=Varianzverhaltnis) an gegeben werden? ~ (4.70) S. 148f., Abb. 4.23 S. ISO, Formblatt H auf S. 40S . • Sollen die beiden Stichprobenmittelwerte auf Verschiedenheit getestet werden? .Wennja, handelt es sich um verbundene Stich­proben? ~ S. 138f. • Oder handelt es sich lim unabhangige Stich­proben:

.Sind beide Stichprobenvarianzen gleich (ggf. F-Test S. IS0f.), aber unbekannt? ~Zwei Stichproben-t-Test (4.S6) S. 13SL Giitefunktion S. 137 und Diagramme ISI16 S. 393L Formblatt C im Anhang A2 S. 401. .Ist nicht sicher, dan beide Stichprobenvari3i1l:cn gleich sind? ~ Wilcoxon-Test S. 23Sf.

.Handelt es sich um eine Stichprobe, bei der zu je­dem Element 2 Beobachtungen existieren, etwa der Form (Xi, Yi) ,i= 1,2, ... ,n wld wird nach Ab­hangigkeiten zwischen den zugehOrigen Zufalls­variablen :r lUld 1: gefragt?

~ Korrelation bei Normalverteilung, Def. S. 40. ~ Verteilungsfreier Korrelationskoeffiziemt nach

Spearman S. 288 oder Kontingenztafeln S. 299f.

mehrere nor­malverteilte Stichproben

Lognormalver­teilung

Wegweiser zu den haufigsten Fragestellungen XXI

~ Das ist eigentlieh die Domane der Regressions­wId EinfluBgr6J3enreehnung, die hier nieht wei­ter behandelt werden, da das den Rahmen spreng en wiirde.

11 .Sollen mehrere Erwartungswerte aus Normal­verteilungen darauf getestet werden, ob sieh nieht mindestens einer von den anderen Ullter­scheidet?

~ einfache Varianzanalyse S. 155 (sofem gleiche Varianzen vorhanden), sonst

~ verteilungsfreier Kruskal-Wallis-Test S. 275f

• Sollen die Varianzen von m (m >2) Normaher­teilungen darauflIin getestet werden, ob nieht mindestens eine sieh von den anderen unter­scheidet?~ Bartlett- oder Cochran-Test S l53f oder bei Zweifel an der Normalverteilung \cr­teilungsfreier Meyer-Bahlburg-Test S. 281.

12 .Handelt es sieh um eine Stichprobe? ~ 13 .Handelt es sieh um 2 Stichproben? ~ 19 .Handelt es sich um m > 2 Stichproben? ~ 20

13 .Sollen die Parameter JL und 0" gesehatzt wer­den? ~S. 79f., speziell (3.34) S. 81 f.

.Sollen Tests auf Lagealtemativen gemacht werden? ~Mediantest (7.3) S. 205 oder (7.6) S. 207; . trelllscharfer Wilcoxon-Vorzeiehen­Rang-Test S. 211, speziell S. 213 .

• Soll ein Vertrauensintervall fur den Median ermittelt werden? ~ S. 208 .

• Soll eine Sehatzgr6J3e fiir ein StreumaJ3 ermit­telt werden')

~ Emlitteln von Parametem aus dem Wahr­scheinliehkeitsnetz S. 82.

~ Stichprobenspannweite S. 224. ~ Ungleichungen von Tschebyscheff oder

Camp-Meidell S. 227.

XXII Wegweiser zu den haufigsten Fragestellungen

Weibull- oder Exponential­verteilung

.Sol1 auf eine Abweichung der Varianz (oder allg. Streuung) von einem hypothetischen Wert getestet werden, so erscheint ein Anpassungs­tests bei spezifizierten hypothetischen Parame tern j..Io und 0"0 vernunftig.

~I-Anpassungstest S. 174 (v. a. fur n > 50), ~ Ko1mogoroff-Smirnoff-Anpassunggstest

S.l77f (besonders im mittleren Datenbereich trellll­

scharrer als der I-Test).

14 .Handelt es sich urn eine Stichprobe? .Handelt es sich um 2 Stichproben? .Handelt es sich urn m >2 Stichproben?

~15

~19

~20

15 .Sollen die Parameter T und b geschiitzt werden (bei Exponentia1vertei1ung nur 1) und parame­trische Schiitzungen und Tests durchgefUhrt werden? ~ Weibullnetz S. 84f, speziell S. 88f.

.Andernfalls ~ 16

16 .Sollen parameterfreie Tests auf Lagealternati­ven gemacht werden? ~ Mediantest S. 204f. oder trennscharferer Wilcoxon-Vorzeichen­Rang-Test S. 211, spezie1l213. .Soll ein Vertrauensintervall fur den Median

ermittelt werden? ~ S. 208 . • Sol1 eine Schiitzgr6fie fUr ein Streumafi enl1it­telt werden? ~ Stichprobenspannweite S. 224. ~ Ungleichungen von Tschebyscheff oder

Camp-Meidell S. 227 . • Sol1 auf eine Abweichung der Varianz (oder allgemeiner Streuung) von einem hypotheti­schen Wert (Variabilitiitsabweichung) getestet werden, so ist ein Anpassungstest bei spezifi­schen hypothetischen Parametern T und b sinn­vo1l. ~ X2 -Anpassungstest S. 174f (fUr n >50), ~ Kolmogoroff-Smirnoff Anpassungtest

(v.a. fur n < 50) S. 177.

verteilungsfreie Verfahren

Verteilungs­freie Verfahren fUr eine Stich­probe

Wegweiser zu den haufigsten Fragestellungen XXllI

Sind eine oder mehrere Voraussetzungen fur die Anwendung der Normalverteilungsverfahren nicht erfullt oder zweifelhajt, verwende man besser die entsprechenden verteilungsfreien Verfahren.

17 e Handelt es sich urn eine Stichprobe? ~ 18 e Handelt es sich urn zwei Stichproben? ~ 19 eHandelt es sich urn m>2 zwei Stichproben?~20

18 eBesteht die Frage, ob die Stichprobe aus einer ganz bestimmten Verteilung stammt?

~I-Anpassungstest (n > 50; aUg. giiltig), S. 174f. ~ Kolmogoroff-Smirnoff-Anpassungstest (n <50;

stetige Verteilung) S. 177f.

eIst nach einer mittleren Tendenz (Lagecharak­teristikum) gefragt?

eSchatzgenauigkeit ~ VertrauensintervaU fur den Median S. 208.

eTest gegen hypothetischen Wert: ~ Binomialtest fiir den Median S. 204f. ~ Wilcoxons Vorzeichen- Rangtest (stetige

Verteilung) S. 211f.

eIst nach einem StreumaB (Variabilitat) gefragt? eSchatzung~Stichprobenspannweite S. 224

~ Ungleichungen von Tscheby­scheffund Camp-Meidell S. 227

eTestfragen~ Nur Anpassungstests prak­tisch sinnvoll. Genau spezifizierte Verteilung: (Kleine n) ~ I-Anpassungstest S. 174f. (GroBe n, stetige Verteilung)

~ Kolmogoroff-Test S. 177f. Nicht genau spezifizierte Verteilung: ~ I-Anpassungstest S. 184f.

XXIV Wegweiser zu den haufigsten Fragestellungen

verteilungsfreie Verfahren fUr zwei Stichpro­ben

verteilungsfreie Verfahren fUr m> 2 Stich­proben

19 -1st gefragt, ob die beiden Stichproben aus einer einzigen Verteilung stammen konnen? ~ Kolmogoroff-Smirnoff-2-Stichproben An­

passungstest fUr stetige Vert. S. 23lf. ~ i-Anpassungstest (allg. Verteilungsannah­

men) S. 230f.

-1st gefragt, ob die beiden Verteilungen, aus denen die beiden Stichproben stammen, sich hinsichtlich ihrer mittleren Lage unterscheiden (Lagealternativen)? ~ Wilcoxon-Test fUr zwei unabhangige Stichproben S. 235f. - 1st gefragt, ob die beiden Verteilungen, aus denen die beiden Stichproben stammen, sich hinsichtlich ihrer Streuung unterscheiden (Va­riabilitatsaltemativen)? ~ Siegel-Tukey-Test S. 247f.

20 -1st gefragt, ob die m (unabhang;gen) Stichpro­ben aus einer einzigen Verteihmg stammen konnen? ~ Conover-Test S. 265f.

-1st gefragt, ob die beiden Verteilungen, aus denen die m (unabhang;gen) Stichproben stammen, sich hinsichtlich ihrer mittleren Lage unterscheiden (Lagealternativen)? ~ Kmskal­

Wallis-Test, S. 267f. -1st gefragt, ob die beiden Verteilungen, aus denen die m (unabhangigen) Stichproben stammen, sich hinsichtlich ihrer Streuung un­terscheiden (Variabilitatsaltemativen)? ~ Meyer-Bahlburg-Test S. 28If.

-Handelt es sich urn m verbundene Stichproben und ist nach Unterschieden in den mittleren Tendenzen (z.B. Mediane) gefragt, ahnlich wie bei zweifaktorieller Varianzanalyse? ~ Friedman-Test S. 273f.

diskrete Ver­teilungen

Binomialver­teilung

Wegweiser zu den haufigsten Fragestellungen XXV

21 eDie Entscheidung, ob es sich um eine Hyper­geometrische, Binomial- oder Poisson-Ver­teilung handeIt, wird auf Grund des zutreffen­den Urnenmodells getroffen. Hypergeometrische Verteilung S. 56 Binomialverteilung S. 57 Poisson-Verteilung S. 61 Approximation dieser Verteilungen S. 62f.

Kann eine zutreffende hypergeometrische Vertei­lung nicht hinreichend gut approximiert werden, mussen mit Hilfe der Summenformel oder Tafeln der hypergeometrischen Verteilung Testschranken oder Vertrauensintervalle bestimmt werden. Siehe S. 54£. In der Regel fuhrt dies aber zu unbefriedigend wei ten Intervallen bzw. Grenzen.

e Liegt eine eine Binomialverteilung vor ~ 22 oder eine Poissonverteilwlg? ~ 23

eHandelt es sich um einen Test aufUnterschied zweier Stichproben mit binaren Daten wie "in Ordnung Idefekt" wId sind die Stich proben

eunabhangig, ~ Vierfeldertafel S. 254f., eabhangig (verbundene Stichproben)?

~ Mc. Nemar-Test S. 259. elst nach einem Zusanlluenhang oder einer Abhangigkeit der diskreten Versuchser­gebnisse von einem (zumindest kategoriel­len) Faktor gefragt? ~ Kontingenztafeln S. 299f.

22 elst nach einem Vertrauensbereich der relativen Haufigkeit p in der Grundgesamtheit gefragt? ~ S. 100, Diagramme 3 und 4 S. 380/381 oder

(Larson-) Diagramm 1 S. 376. e Wird nach einem Test gesucht, ob die relative

Hiiufigkeit p in der Grundgesamtheit sich von einem hypothetischen Wert po unterscheidet? ~ S. 103.

XXVI Wegweiser zu den haufigsten Fragestellungen

Poisson­verteilung

Zufalligkeit einer Stichpro­be, Trend, Korrelation

23 • 1st nach einem Vertrauensbereich der mittleren Anzahll1 an Ereignissen pro Beobachtungs­einheit in der Grundgesamtheit gefragt? ~ S. 104f., Diagramme 5/6 aufS. 382f. oder

(Thorndike-) Diagramm 2 auf S. 378f. • Test aufVertraglichkeit eines Stichprobener­

gebnisses, dafi x Fehler (Ereignisse) in der Beobachtungseinheit auftraten, mit einem hypothetischen Erwartungswert /lD. ~ S. 107f.

• Test zweier geschatzter Parameter Ii, und lic auf Gleicheit. ~ S. 108.

24 .Hier wird entweder iiberpruft, ob die Stich pro­be aus einer stetigen Verteilung eine Zufalls­stichprobe sein kann. ~ Test auf Zufalligkeit, ~ S. 219f.

.Wird nach einem Test auf Trend gefragt? ~ S. 218 oder ~ Spearman's Korrelationskoeffizient S. 288f.

.Wird nach einem Test auf Zusammenhang einer stetigen GroBe mit einer anderen gefragt? ~ Spearmans Korrelationskoeffizient, S. 288f. ~ Kontingenztafel S. 299f. bei kategoriellem

MeBniveau.

Die Methoden der klassischen Varianz-, Korrela­tions- und Regressionsrechnung werden in diesem Buch nicht behandelt. Das wiirde den Rahmen sprengen.