Materialien zum Modellversuch: Vorschläge und Anregungen zu einer

veränderten Aufgabenkultur

(13) Zum Themengebiet Quad-

ratische Gleichungen und Quadratische Funktionen (erstellt in Zusammenarbeit mit der Georg-Christoph-Lichtenberg-Schule in Kassel)

Vorschlag 13.1: Parabeln kommen vor.........................................................3 Abbildungen zur Anwendung quadratischer Funktionen, die den Lebensbezug herausstellen können Vorschlag 13.2:Die Ziegenweide ...................................................................5 Variation der bekannten Extremwertaufgabe, in der die Schüler eigene Aufgaben entwickeln sollen Vorschlag 13.3: Kinokrieg ............................................................................6 Eine Extremwertaufgabe: Wenn der Preis erhöht wird, kommen linear weniger Besucher Vorschlag 13.4: Verschiebungsregeln mit der Betragsfunktion....................7 Durch die Vorbereitung der Verschiebungsregeln mit Hilfe der Betragsfunktion können die Schüler die entsprechenden Regeln bei den quadratischen Funktionen besser einordnen Vorschlag 13.5: Zusammenhang zwischen Funktionsterm und Graph ........8 Gruppenaufträge zur arbeitsteiligen Erarbeitung dieser Zusammenhänge und Arbeitsblätter Vorschlag 13.6: Steigungsverhalten von Funktionen..................................13 Tabellen, in denen die Schüler stets einige Zeilen selbst ergänzen müssen Vorschlag 13.7: Der Goldene Schnitt – ein Gesetz der Ästhetik .................17 Anregungen und Sachinformationen rund um das Thema Goldener Schnitt Vorschlag 13.8: Gleicher Abstand zu Punkt und Gerade ...........................21 Anregung, die die Ortslinieneigenschaft der Parabel in den Vordergrund stellt. Hierdurch wird einer Begriffsverengung vorgebeugt und wichtige Vernetzungen werden ermöglicht Vorschlag 13.9: Spielerische Übungsformen...............................................23 Beim Parabelspiel müssen die Schüler Graphen gegebenen Funktionsgleichungen zuordnen. Ein Silbenrätsel verknüpft wichtige Inhalte von linearen und quadratischen Funktionen Vorschlag 13.10: Mögliche Vernetzungen mit anderen Themengebieten...26 Durch die Vernetzung zu anderen Funktionstypen und zu Flächeninhalten soll die Grundeigen-schaft der Quadratfunktionen besonders betont werden

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Vorschlag 13.11: Diskussion der Busfahrpreise im Verkehrsausschuss.....28 In einem Verkehrsausschuss werden zwei Anträge diskutiert, wie der „optimale“ Busfahrpreis für eine Strecke festgesetzt werden soll Vorschlag 13.12: Das flächeninhaltsgrößte Fenster....................................29 Klassische Extremwertaufgabe, in der die Schüler auf eine Lösungshilfe zurückgreifen können Vorschlag 13.13: Aufgaben zu quadratischen Funktionen und Gleichungen ........................................................................................31 Sammlung verschiedener Aufgaben zur Anwendung quadratischer Funktionen und Gleichungen Vorschlag 13.14: Kälberhaltungsverordnungsentwurf...............................36 Zeitungsartikel, die zeigen wie Mathematik von Amts wegen verwendet wird und zu welch un-sinnigen Äußerungen dies führen kann Vorschlag 13.15: Gleichungen bestimmen..................................................38 Als Zielumkehr sollen Gleichungen bestimmt werden, bei denen die Lösungen in einer vorgege-benen Beziehung zueinander stehen Vorschlag 13.16: Multiple Choice-Test.......................................................39 Multiple Choice-Test, der zeigt, dass ein solcher keineswegs trivial sein muss Vorschlag 13.17: Quadratische Ergänzung.................................................40 Gleichungen, mit deren Hilfe die Schüler die quadratische Ergänzung selbst entdecken sollen Vorschlag 13.18: Mit Graphen zeichnen.....................................................41 Durch das Zeichnen vorgegebener Funktionsgraphen in einem bestimmten Bereich entsteht eine Figur

Die Arbeit entstand im Rahmen des BLK-Modellversuchsprogramms "Steigerung der Effizienz des mathematisch-naturwissenschaftlichen

Unterrichts", das vom Bund und den Ländern gefördert wird.

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Vorschlag 13.1: Parabeln kommen vor

Quelle: Jahnke/Wuttke: Mathematik 11. Schuljahr, Cornelsen, 2000, S. 74ff

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Parabeln kommen vor: Anregungen für den Unterrichtseinsatz

Ziel: • Aufzeigen von Anwendungsmöglichkeiten quadratischer Funktionen • Horizontale Vernetzung Variationen der Aufgabe: • (1) „Wo kommen Parabeln in der Realität vor? Nenne weitere Anwendungsgebiete“. • (2) Die Schüler erhalten die Aufgabe, eine Parabel (die ihnen real begegnet ist; z.B. Wasser-

strahl auf dem Schulhof erzeugen) als Funktionsgraph darzustellen. Dazu werden geeignete Funktionen gesucht. Zunächst probieren Schüler bekannte Funktionen (linear, antiproportio-nal) und müssen schließlich neue suchen.

• (3) Ausgehend von den Bildern „ähnlich“ aussehende „Gebilde“ in der Realität zusammentra-gen. Evtl. Wasserstrahl vorführen. Dann Arbeitsblatt mit Parabeln im Koordinatensystem vorgeben: „ Stelle anhand des Graphen eine Wertetabelle auf. Wie hängen x und y zusam-men?“

• (4) Die Aufnahmen eignen sich teilweise auch zur Beantwortung der Frage, ob es sich um eine Parabel handelt. „Lege ein Transparentpapier über das Foto und übertrage die Zeichnung. Könnte es sich um eine Parabel handeln?“

Lösungen: • (1) Zu den Aufnahmen auf der vorherigen Seiten: Oben rechts: Rheinbrücke bei Emmerich,

Mitte links: Kölnarena, Mitte rechts: Gateway Arch in St. Louis (USA). Aber auch: Brücken in der Gegend, Springbrunnen im DEZ, Springseil, Scheinwerfer, rotierende Flüssigkeit im Glas, usw.

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Vorschlag 13.2: Die Ziegenweide

Mit 120m Zaun soll eine rechteckige Weidefläche für die Ziege Alma abgezäunt werden. In welchem Abstand von der Mauer könnten die Pfosten eingeschlagen werden? Welche Weidefläche steht Alma dann zur Verfügung? Finde mehrere Möglichkeiten, wobei die 120m Zaun jeweils verbraucht werden sollen. Die Ziegenweide: Anregungen für den Unterrichtseinsatz

Ziel: • Anwendung nach Einführung der Scheitelpunktform oder

als Einführungsbeispiel zum Kennen lernen einer quadratischen Funktion Variationen der Aufgabe:

• a) Welches ist der größtmögliche Flächeninhalt? • b) Stelle im Koordinatensystem den Flächeninhalt in Abhängigkeit von dem Pfostenabstand von

der Mauer dar (Bedeutung von HP, Nullstellen, Symmetrie usw.) • c) In welchem Abstand müssten die Pfosten eingeschlagen werden, wenn die Weide an der einen

Seite nicht durch eine Mauer begrenzt wird ? • d) Für weitere vorgegebene Längen (100m, 200m, 80m, 160m, 300m) könnten in Gruppen zu

der Ausgangsaufgabenstellung die möglichst größten Flächeninhalte und die zugehörigen Abstände von der Mauer ermittelt werden.

• Nach dem Sammeln der Ergebnisse aus d): In welchem Abstand müssen die Pfosten eingeschlagen werden, wenn die Länge des Zaunes a beträgt und der Flächeninhalt möglichst groß sein soll ? Vermutung aufgrund der Ergebnisse von d) ? Nachrechnen mit Hilfe der Scheitelpunktform. Eignung, (mögliche) Methoden:

• Ausgangsaufgabe als Gruppenarbeit • Weitere Fragestellungen können von den Schülern in Gruppen entwickelt oder vorgegeben

werden

(Mögliche) Lösungen: • 120 m lang: SP (30|1800)

• Länge a: SP ( )8|42aa

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Vorschlag 13.3: Kinokrieg

„Kinokrieg“

Kassel besitzt inzwischen zwei große Kinocenter mit zahlreiche Kinosälen. Da bangen die kleinen Kinos um ihre Einnahmen. Eines dieser kleinen Kinos hat bei einem Eintrittspreis von 8 DM durch-schnittlich 95 Besucher pro Vorstellung.

Eine Marktstudie ergibt folgendes: Würde der Besitzer den Eintrittspreis um 0,50 DM; 1 DM, 2 DM usw. erhö-hen, so ginge die Besucherzahl um 10 Personen; 20 Personen; 40 Perso-nen usw. zurück.

Welche Preiserhöhung bringt die höchsten Einnahmen? Kinokrieg: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel:

• Entdecken und Einführen quadratischer Funktionen anhand eines Optimierungsproblems Lösung:

)8)(95()( xyxE ++= 81,812)625,1(20 2 ++−= x . Theoretisch maximale Einnahme bei Preisre-duzierung auf 6,375. Dies ist aber wohl kein guter Preis... Variationen der Aufgabe:

• Möglicher Unterrichtsgang: - Problemstellung; - Erarbeitung einer Funktionsgleichung durch die Schüler (Hilfestellung, Bin-nendifferenzierung: Tabelle s.u.); - Grafisches Bestimmen des Scheitelpunktes (hier: Bestimmen der Preiserhöhung, die höchsten Einnahmen bringt); -Definition quadratischer Funktionen (f(x) = ax2+bx+c); - aus Graphen unterschiedlicher quadratischer Funktionen Eigenschaften quadrati-scher Funktionen sammeln und Scheitelpunkte grafisch ermitteln (Funktionsplotter); -Grenzen grafischer Verfahren erkennen à rechnerische Verfahren, Scheitelpunktsbestimmung. Preiserhöhung Preis Anzahl der Besu-cher

Gesamteinnahme Bemerkungen:

• Nützlich für diese Vorgehensweise: Grafikfähige(r) Taschenrechner oder Funktionsplotter • Mehr zu dieser Vorgehensweise in: Mathematik in der Schule 36 (1998), H. 2. • Im Anschluss sollte der Realitätsgehalt der Aufgabe diskutiert werden.

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Vorschlag 13.4: Verschiebungsregeln mit der Betragsfunktion

1. Vergleiche die Graphen der folgenden Betragsfunktionen mit dem Graphen von xf(x) = .

a) 5)(1 −= xxf b) 1)(2 += xxf

c) 5,1)(3 += xxf d) 5,2)(4 −= xxf

e) 42)(5 −−= xxf f) xxf31

)(6 =

g) xxf ⋅= 3)(7 h) Stelle selbst einen Funktionsterm auf und zeichne den Graphen.

2. Formuliere aufgrund deiner Beobachtungen bei Aufgabe 1. Ver-schiebungsregeln für folgende Funktionen:

R∈

+=

a

ax(x)g1 ,

R∈

+=

a

bx(x)g2 ,

R∈

++=

a

bax(x)3g,

3. Verändere den Faktor c in der Gleichung xch(x) ⋅= .

Wie geht der Graph von h aus dem von f hervor? Unterscheide usw.1c1,c0,c0,c0,c <<=<>

Verschiebungsregeln mit der Betragsfunktion: Anregungen für den Unter-richtseinsatz

Ziel: • Vorbereitung der Verschiebungsregeln der quadratischen Funktionen

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Vorschlag 13.5: Zusammenhang zwischen Funktionsterm und Graph

Aufträge für die Gruppen:

Gruppe A: Gegeben sind Funktionsgleichungen der Form exf(x) 2 += . Zeichne die Pa-rabeln für verschiedene Parameter e und beschreibe den Zusammenhang zwischen Graph und Funktionsgleichung.

Stelle ausgewählte Beispiele und den gefundenen Zusammenhang auf der beiliegenden Folie für die anderen Gruppen dar.

Gruppe D: Verändere den Faktor a in der Gleichung 2xaf(x) ⋅= . Welcher Zusammen-hang besteht zwischen dem Funktionsterm und der zugehörigen Parabel? Stelle ausgewählte Beispiele und den gefundenen Zusammenhang auf der beiliegenden Folie für die anderen Gruppen dar.

Gruppe B: Gegeben sind Funktionsgleichungen der Form ( )2dxf(x) += . Zeichne die Parabeln für verschiedene Parameter d und beschreibe den Zusammen-hang zwischen Graph und Funktionsgleichung.

Stelle ausgewählte Beispiele und den gefundenen Zusammenhang auf der beiliegenden Folie für die anderen Gruppen dar.

Gruppe C: Gegeben sind Funktionsgleichungen der Form ( ) edxf(x) 2 ++= . Zeichne die Parabeln für verschiedene Parameter d und e. Beschreibe den Zusam-menhang zwischen Graph und Funktionsgleichung.

Stelle ausgewählte Beispiele und den gefundenen Zusammenhang auf der beiliegenden Folie für die anderen Gruppen dar.

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Zusammenhang zwischen Funktionsterm und Graph: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel:

• Übung nach Einführung der Verschiebungsregeln und Scheitelpunktform Eignung:

• Gruppenarbeit; in Gruppe C sollten leistungsstärkere Schüler vertreten sein • Arbeitsauftrag auch gut für Expertenmethode (Gruppenpuzzle) geeignet. Dabei entsendet jede

Stammgruppe (z.B. Tischgruppe) einen Vertreter in die Gruppen A, B, C und D. Diese kehren als „Experten“ für die jeweilige Verschiebung in die Stammgruppe zurück. Angeregt durch die Bearbeitung konkreter Aufgaben (vgl. Vorschläge), sollen die Experten ihr Wissen weitergeben. Variationen der Aufgabe:

• Die Gruppen könnten auch den Auftrag erhalten, nach den Folien auch Kopiervorlagen mit den Beispielen und der gefundenen Regel für ihre Mitschüler herzustellen.

• Eventuell können die folgenden Arbeitsblätter auch als Vorbereitung dienen. Dann sollen die Schüler die Funktionsgleichungen durch Probieren und mit Hilfe einer Wertetabelle finden.

• Wenn die Schüler beispielsweise zu Beginn der Einheit Parabeln auf Plakate gezeichnet haben, können diese an vielen Stellen (insbesondere bei der Erarbeitung der Verschiebungsregeln) sinn-voll eingesetzt werden. Lösungen zu den folgenden Arbeitsblättern:

• Zu (1):

1. 5,6)( 2 −= xxf 2. 2)( xxf = 3. ( ) 53)( 2 −−= xxf

4. ( ) 56)( 2 +−= xxf 5. ( )26)( −= xxf

6. ( ) 5,44)( 2 −+= xxf 7. ( ) 5,34)( 2 ++= xxf 8. ( ) 22)( 2 −+= xxf

9. 5)( 2 += xxf 10. ( ) 5,2)(2

41 +−= xxf

• Zu (2):

1. ( )27)( +−= xxf 2. 3)( 2 +−= xxf 3. 2)( xxf −=

4. 3)( 2 −−= xxf 5. ( ) 24)( 2 +−−= xxf

6. 221)( xxf = 7. 2)( xxf = 8. 22)( xxf =

9. 22)( xxf −= 10. 64)( 2 +−= xxf

• Zu (3):

1. ( ) 35,1)( 2 −+= xxf 2. 2)( 221 −= xxf 3. ( ) 54)( 2 ++−= xxf

4. ( ) 15,3)( 2 +−= xxf 5. ( ) 75)( 2 +−−= xxf

6. ( ) 23)( 2 −+= xxf 7. 5,12)( +−= xxf 8. 3)( 2 += xxf

9. xxf 43)( = 10. ( ) 35,3)( 2 +−−= xxf

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Aufgabe 1: Zusammenhang zwischen Funktionsterm und Graph

Finde die Funktionsgleichungen (x)f...,(x),f(x),f 1021 zu den gezeichneten Parabeln 1 - 10.

6 7 8 9

10

1 2

3

4

5

11

Aufgabe 2: Zusammenhang zwischen Funktionsterm und Graph

Finde die Funktionsgleichungen (x)f...,(x),f(x),f 1021 zu den gezeichneten Parabeln 1 - 10.

1

2

3

4

5

6 7 8

9

10

12

Aufgabe 3: Zusammenhang zwischen Funktionsterm und Graph Finde die Funktionsgleichungen (x)f...,(x),f(x),f 1021 zu den gezeichneten Graphen 1 - 10.

1 2

3 4

5

6 7

8

9

10

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Vorschlag 13.6: Steigungsverhalten quadratischer Funktionen

Beschreibung der Funktion fällt steigt

a) f(x) = x2

b) f(x) = x2 + 2

c) f(x) = (x - 3 )2

d) f(x) = (x - 3 )2 + 1

e) f(x) = x2 + 2x - 8

f) Hochpunkt der Parabel: H( 7 / 4,5 )

g) Tiefpunkt der Parabel: T(- 2,5 / 3 )

h) Schnittpunkte mit der 1.Achse: S1(-2 / 0) und S2(10 / 0)

i)

j)

2. Gib mehrere Funktionsgleichungen an, für die folgende Aussagen zutreffen:

Steigungsverhalten Funktionsgleichungen

a) Der Graph fällt für x < - 4 und steigt für x > -4

b) Der Graph steigt für x < 2 und fällt für x > 2

c)

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Steigungsverhalten quadratischer Funktionen: Anregungen für den Unter-richtseinsatz Ziel:

• Übung zum Steigungsverhalten; falls die Scheitelpunktform nicht bekannt ist, kann 1e) zeichne-risch gelöst werden Variationen der Aufgabe:

• Ein Schüler soll den Verlauf einer Parabel in einem Telefongespräch so gut beschreiben, dass ein Mitschüler diese an der Tafel skizzieren kann.

• Die Schüler sollen die freien Zeilen selbständig ausfüllen. Die anderen überprüfen die Ergebnis-se. (Mögliche) Lösungen:

• (1) jeweils nur Bereich in dem der Graph fällt: a. 0≤x b. 0≤x c. 3≤x d. 3≤x e. 1−≤x f. 7≥x g. 5,2−≤x h. 4≤x oder 4≥x

• (2): a) z.B. ( ) cxxf ++= 24)(

b) z.B. ( ) cxxf +−−= 22)( Eignung:

• Partnerarbeit; ev. zur Einführung des Steigungsverhaltens von Parabeln

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Quadratische Funktionen und deren Graphen ( Parabeln ) - Übungsblatt 1

Steigungsverhalten: Die Parabel... Funktionsgleichung

Lage des Scheitelpunktes ...fällt ...steigt

Verschiebung der Normalparabel

f(x) = x2 T(0/0) für x < 0 für x > 0 keine

f(x) = x2 + 1

f(x) = x² - 2

f(x) = (x + 2)²

f(x) = (x - 3)²

f(x) = (x - 2)² + 1

f(x) = (x - 3)² - 2

f(x) = (x + 4)² +3

T(1/3)

T(-2/-5)

x < 2 x > 2

um 2 nach links und

um 3 nach unten

f(x) = x²+6x+9

f(x) = x²-3x+2,25

f(x) = x²- 4x - 5

f(x) = x²+ 6x +5

H(0/0)

x > 1 x < 1

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Quadratische Funktionen und deren Graphen ( Parabeln ) - Übungsblatt 2

Steigungsverhalten: Die Parabel... Funktionsgleichung

Lage des Scheitelpunktes ...fällt ...steigt

Verschiebung der Normalparabel

f(x) = - x2 H(0/0) für x > 0 für x < 0 Spiegelung an der

1.Achse

f(x) = - (x2 + 1)

f(x) = - x² + 1

f(x) = - (x - 2)²

f(x) = - (x + 3)²

f(x) = - (x -2)² +1

f(x) = -((x -3)²-2)

H(1/- 2)

T(1/- 2)

T(-2/-5)

x > 2 x < 2

an der 1.Achse

gespiegelt, um 4 nach rechts verschoben

um 2 nach links

verschoben, an der 1.Achse gespiegelt

an der 1. Achse

gespiegelt, um 3 nach unten verschoben

um 2,5 nach unten

verschoben, an der 1. Achse gespiegelt

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Vorschlag 13.7: Der Goldene Schnitt – ein Gesetz der Ästhetik

Beim Menschen stehen die Länge des Oberkörpers und die Länge des Unterkörpers angenähert stets in einem bestimmten Verhä ltnis. Dieses Verhältnis bezeichnet man als Goldenen Schnitt:

a ba

bba

+= (Goldener Schnitt),

oder in Worten:

b eGesamtläng

Abschnittlängerer

Abschnittlängerer

Abschnittkürzerer= .

Der Goldene Schnitt wird oft als besonders wohlgefällig empfundenes Längenverhältnis angese-hen. Er ist nicht nur an Menschen und Statuen, sondern auch in vielen Gemälden und Gebäuden wiederzufinden. Gerade in der Antike und Renaissance wurde der Goldene Schnitt immer wieder als Stilmittel eingesetzt.

Aufgabe:

Das Apollo-Projekt

Apollo auf dem Campus

Der Kasseler Apollo, der im Museum des Schlosses Wilhelmshöhe zu bewundern ist, soll als 10m hohe Statue auf dem Universitätsgelände Kassel errichtet werden. Zur Errichtung des Apol-los genügt den Bildhauern die Gesamtgröße allein natürlich nicht. Hilf den Bildhauern und berechne die Länge von Apollos Unter- und Oberkörper. Nimm dabei an, dass Apollo nach dem Gesetz des Goldenen Schnitts konstruiert werden soll. Zusatz: Gib die Unter- bzw. Oberkörperlänge prozentual zur Gesamtgröße an.

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Der Goldene Schnitt – ein Gesetz der Ästhetik: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel:

• Vertikale und horizontale Verknüpfungen Variationen der Aufgabe:

• (1) Einstieg über Abstimmung: „Welches Rechteck ist am schönsten (am harmo-nischsten)? Bilde eine Reihenfolge und finde mögliche Gründe.“

Quelle: H. Winter: Satzgruppe des Pythagoras. In: mathematik lehren (1984), H. 2, S. 46.

• Alternative: Einstieg über verschiedene Puppen oder ähnliche Figuren, deren Proportionen untersucht werden (Bsp: Captain Janeway). So leichterer Übergang zum vorangestellten Arbeit s-blatt.

• Vorgabe weiterer Figuren und prüfen, ob goldener Schnitt vorliegt. (Mögliche) Lösungen:

• (1) Die Frage führt in natürlicher Weise auf Begriffe wie Proportionen und Verhältnisse. Vielen Leuten kommt D am harmonischsten vor. Beobachtung: Die Länge übersteigt die Breite um ca. 60%. Definition goldenes Rechteck. Kurzfassung der wesentlichen algebraischen Zusammenhänge beim goldenen Schnitt: Eine Größe mit Maßzahl 1 ist im Verhältnis des „Goldenen Schnittes“ geteilt, wenn sich die bei-den Teilgrößen zueinander verhalten wie die längere Teilgröße x zur gesamten Größe, also

1

1 x

x

x =−

Dies führt auf die quadratische Gleichung 012 =−+ xx mit den Lösungen

61803,02

511

≈+−=x und 61803,12

512

−≈−−=x .

Wird die Gesamtgröße mit einer positiven Zahl t multipliziert, so wirkt sich dieser Faktor auch auf die Lösungen aus.

Die positive Lösung 2

51 +− wird häufig mit ρ bezeichnet, ihr Kehrwert mit τ.

Dann gelten offensichtlich diese „schönen“ Beziehungen :

1=⋅ ρτ 5=+ ρτ 1=− ρτ 12 =+ ρρ 12 =−ττ

Die quadratische Gleichung 012 =−+ xx hat die beiden Lösungen x1=ρ und x2=-τ. Die quadratische Gleichung 012 =−− xx hat die beiden Lösungen x1=τ und x2=-ρ.

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Anwendungen: • Seit der Antike tritt der Goldene Schnitt in vielen Bereichen von Geometrie, Architektur, Kunst,

Philosophie oder Musik auf; in neuerer Zeit auch in der Technik oder bei Fraktalen. Anregungen: Das Thema Goldener Schnitt ermöglicht eine Fülle unterschiedlichster Behandlungen sowohl im Fachunterricht (insb. Mathe und Kunst), als auch im Rahmen von selbstständigem, fächerüber-greifendem, fächerverbindendem Lernen. Einige Anregungen, basierend auf u.a. Literatur und dem auch zu diesem Thema wieder sehr ergiebigen Internet. Siehe: www-cip.mathematik.uni-wuerzburg.de/~hkramer/schnitt/

• Geometrie o Konstruieren regelmäßiger Flächen und Körper

www.raikas.net/5eck.html • Algebra

o Entdecken lassen einfacher, „schöner“ Beziehungen zwischen ρ und τ o Zusammenhang zwischen Fibonacci-Zahlen, Kettenbrüchen und goldenem Schnitt

• Projektarbeit und Zusammenarbeit der Fächer Mathe und Kunst o sehr schön dokumentiert von

www.lmg.pcom.de/faecher/goldsect.htm • Medienkompetenz

o Quellen leicht dubioser Art, etwa www.pythagoras-institut.de

• Vergabe von Facharbeiten zum Thema o www.asamnet.de/%7Ehollwecm/section/inhalt.htm

• Fremdsprachen: englischsprachige Webseiten zum Thema, z.B. o www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/

Fibonacci/fibInArt.html o www.goldenmeangauge.co.uk/golden.htm

• Sonstiges o Bonsai:

www.yamadori-bonsai.de/4/Reg/Gold/gold04.html Weitere Literaturempfehlungen:

• Albrecht Beutelspacher, Bernhard Petri: Der Goldene Schnitt. Heidelberg 1996 • Hans Walser: Der Goldene Schnitt. Leipzig 1996 • Themenheft zum Goldenen Schnitt: mathematik lehren, H. 55, Dez. 1992 • http://www.did.mat.uni-bayreuth.de/ab/j09/pythag/gold_sch/gold_sch.htm )

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Was haben das Parthenon in Athen, das Rathaus in Leipzig, eine griechische Vase und ein Ei gemeinsam?

Legt man um diese Bilder ein Rechteck, gilt für das Seitenverhältnis 215+=b

a .

Man spricht daher von einem goldenen Rechteck. Die Geige setzt sich aus dem Resonanzkörper und dem Hals zusammen. Der Teilpunkt zerlegt die Geige nach dem goldenen Schnitt. Bei antiken Statuen teilt der Bauchnabel die Körperlänge ungefähr nach dem goldenen Schnitt. Überprüfe andere Figuren.

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Vorschlag 13.8: Gleicher Abstand zu Punkt und Gerade

Der Punkt P ist genauso weit entfernt von der Geraden g und dem Punkt B.

Auch der Punkt Q ist genauso weit entfernt von der Geraden g und von dem Punkt B.

Zeichne weitere solche Punkte.

Was entsteht?

Kannst du das erklären?

Quelle: Herget/Jahnke/Kroll: Produktive Aufgaben für den Mathematikunterricht in der Sek. I. Cornelsen (2001), S. 127.

Nimm ein Blatt Papier quer in die Hand und markiere 2 - 5 cm vom unteren Rand einen Punkt F. Falte nun die untere Kante des Papiers so nach in-nen, dass der markierte Punkt F auf der Kante liegt. Stelle auf diese Weise weitere Knicklinien her. Was fällt dir auf? Quelle: Cukrowicz/Zimmermann: MatheNetz 9. Westermann (2001).

Die gezeichnete Mittelsenkrechte zu AF ist eine Tangente an die Parabel, da es sich um einen Berührpunkt handelt. Begründe mit Hilfe der Ab-bildung: Jeder Punkt P’, der auf der Mittelsenk-rechten zu AF liegt und nicht mit P identisch ist, hat von der Leitgeraden l einen geringeren Ab-stand als von F.

Benutze die nebenstehende Figur, um zu zeigen, dass der Winkel α ge-nauso groß ist wie der Winkel β. Quelle: Dustmann: Abakus. Angewandte Mathematik. Schöningh (1995).

In vielen Anwendungsbereichen werden häufig sogenannte Paraboloide eingesetzt. Dieses räumliche Gebilde entsteht, wenn man eine Pa-rabel um ihre Symmetrieachse rotieren lässt. Nenne so viele Anwendungsbereiche wie mög-lich. Quelle: Jahnke/Wuttke: Mathematik: 11. Schuljahr. Cornelsen (2000), S. 87.

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Gleicher Abstand zu Punkt und Gerade: Anregungen für den Unterrichtsein-satz Ziel:

• Einführung der Parabel über die Ortslinieneigenschaft Variationen der Aufgabe:

• (1) Wenn die funktionale Abhängigkeit schon bekannt ist, kann mit Hilfe des Satzes des Pythagoras leicht nachgewiesen werden, dass es sich bei dieser Ortslinie um den Graph einer quadratischen Funktion handelt.

• (2) Alternativ zur vorgeschlagenen Einführung kann den Schülern auch eine Abbildung von konzentrischen Kreisen und einer Schar von Geraden vorlegt werden: „In der Abbildung wurden einige Punkte hervorgehoben. Welche besondere Eigenschaft haben diese?“ (Quelle: Abakus, S. 84)

• (3) Der Zusammenhang zwischen der Ortslinieneigenschaft und dem Papierfalten ist sehr naheliegend. Beim Falten erzeugt man gerade die Tangente an die Parabel und kann so leicht die Parabel als Hüllkurve entdecken.

• (4) Viele Anwendungsbereiche nutzen aus, dass alle senkrecht zur Leitgeraden einfallenden Strahlen durch den Brennpunkt reflektiert werden. Durch relativ leichte geometrische Überle-gungen können die Schüler nun diese Anwendungen erschließen.

• (5) Einstieg durch „Wo liegen alle Punkte, die von zwei gegebe-nen Punkten A und B gleich weit entfernt sind?“ und „Wo liegen alle Punkte, die von zwei gegebenen Geraden g und h gleich weit entfernt sind?“

• (6) Vertiefung durch „Zeichne auf ein neues Blatt alle Punkte, die von der Geraden g doppelt so weit (halb so weit) entfernt sind wie vom Punkt B. Was entsteht jetzt? (Mögliche) Lösungen:

• (1) Es entsteht eine Parabel. Diese weist man z.B. mit den neben-stehenden Bezeichnungen leicht nach (vgl. Abb.) (Pythagoras; das Koordinatensystem kann durch ein festes b normiert werden):

( )22

222

222222222 bb

xybxbyxbbyyyxbyy +=⇔+=⇔++−=⇔+−=

• (5) Bei Punkten: Mittelsenkrechte zur Verbindungsstrecke. Bei Geraden: Fallunterscheidung: Schnitt: Winkelhalbierende; Parallel: Mittelparallele.

• (6) Ellipse bzw. Hyperbel Bemerkungen:

• Weitere Hinweise in MUED: Kon-zentrierende Kollektorsysteme; Mathe lehren 83 (1997): Mathe Welt über Sonnenspiegel (Münzinger)

• Abbildung aus Jahnke/Wuttke, S. 73.

23

Vorschlag 13.9: Spielerische Übungsformen

Das Parabelspiel

Quelle: mathematik lehren 66 (1994), S. 57-59.

24

Spielerische Übungsformen: Anregungen für den Unterrichtseinsatz

Ziel: • Spiel zur Übung des Zusammenhangs zwischen Gleichung und Graph

Spielanleitung: 24 Plättchen (oder Streichhölzer) auf die Graphen verteilen. Die Spieler würfeln nacheinander mit einem Spielwürfel (gut: weniger als sechs Flächen oder umdefinieren) und setzen ihren Spielstein entsprechend. Können sie diesem Feld eine richtige Parabel zuordnen, geht das Plätt-chen in seinen Besitz über.

Anregungen: • Der Spielplan sollte möglichst auf A2 vergrößert werden. • Die Schüler sollten selbständig sinnvolle Vereinbarungen treffen, z.B.:

- Kommt man auf ein Feld, das schon besetzt ist, ... - Bei Gleichungen mit Parametern sollte man Sonderfälle ausschließen

(Mögliche) Lösungen:

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Silbenrätsel für Mathe Profis

In dem folgenden Text über lineare und quadratische Funktionen sind einige wichtige Begriffe verlorengegangen. Glücklicherweise sind die Silben der fehlenden Wörter be-kannt. Viel Spaß beim Ausfüllen! a – bel – bel – ben – de – dra – ga – ge – ge – gen – gung – le – ler – li – mal – ne – ne – nor – null – o – pa – pa – po – punkt – qua – ra – ra – ra – re – recht – sche – schei – si – stei – stei – stel – tan – te – tel – ten – ti – tiv – tiv – un – waa

Bei den folgenden Sätzen geht es stets um eine Funktion f mit f(x) = mx + b.

1 Eine solche Funktion heißt eine _______________ Funktion.

2 Der Graph einer solchen Funktion ersten Grades ist eine _______________.

3 Den x-Wert des Schnittpunktes eines Graphen mit der x-Achse nennt man

_______________.

4 Die Konstante m in der Funktionsgleichung f(x) = mx + b gibt die

_______________ des Graphen an.

5 Wenn der Funktionsgraph von links nach rechts fallend verläuft, dann ist m

_______________.

6 Je größer der Betrag von m ist, desto _______________ verläuft der Funktionsgraph.

7 Wenn m = 0 ist, dann verläuft der Funktionsgraph _______________.

Bei den folgenden Sätzen geht es stets um eine

Funktion g mit g(x) = a2x2 + a1x + a0.

8 Eine solche Funktion heißt eine _______________ Funktion.

9 Der Graph einer ganzrationalen Funktion zweiten Grades ist eine

_______________ . Der höchste bzw. tiefste Punkt eines solchen Funktionsgraphen

heißt _______________.

10 Wenn a2 < 0 ist, ist der Funktionsgraph nach _______________ geöffnet.

11 Wenn a2 > 0 ist, ist der Funktionsgraph nach _______________ geöffnet.

12 Wenn a2 = 1 und a1 = a0 = 0 sind, nennt man den Graphen dieser Funktion eine

_______________.

13 Eine quadratische Funktion besitzt keine Nullstelle, wenn der Scheitelpunkt

oberhalb der x-Achse liegt und a2 _______________ ist.

14 Erhält man bei der Berechnung der Schnittpunkte einer linearen Funktion und einer

Parabel nur einen einzigen Schnittpunkt, so ist die Gerade in diesem Punkt eine

_______________ der Parabel.

26

Vorschlag 13.10: Mögliche Vernetzungen zu anderen Themengebieten

Proportionale Funktion Lineare Funk-

tion Quadratische Funktion

x 3x x 3x+2 x 3x2

-4 -4 -4 -3 -3 -3 -2 -2 -2 -1 -1 -1 0 0 0 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4

Fülle die Wertetabellen aus. Finde Eigenschaften der Funktionen in der

Wertetabelle.

Die neue MilkiaMilkia ist da!!! Noch sahniger, noch nussiger und

jetzt noch günstiger. Wir haben unser Format geändert: Milkia ist

jetzt 10% Länger und 10% breiter. Das ist 100% besser!!!

Die Schokolade hat vorher 1,49 gekostet und jetzt 1,79 DM. Beurteile die

Anzeige der Firma.

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Mögliche Vernetzungen zu anderen Themengebieten: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel: • Vertikale Vernetzungen; insbesondere: Herausstellen der Grundeigenschaft der Quadratfunk-

tionen 2axx a . • Abgrenzung der quadratischen Funktionen zu proportionalen und linearen Funktionen Variationen der Aufgabe: • (1) Sammeln der Grundeigenschaften der bisher bekannten Funktionstypen • (1) Fortsetzung durch „Wie erscheinen diese charakteristischen Eigenschaften im Graph?“

Veranschaulichung der Eigenschaften am Graphen

• (1) Hinzunahme einer quadratischen Funktion caxx +2a . Welche Eigenschaften gelten jetzt?

• (2) „Beide Seitenlängen werden mit dem Faktor 1,5 vergrößert. Wie ändert sich der Flächen-inhalt?“

• (2) „Beide Seitenlängen werden um 3 cm vergrößert. Wie ändert sich der Flächeninhalt?“ (Mögliche) Lösungen: • (1) Grundeigenschaften:

proportionale Funktionen: zum Doppelten (der Argumente) das Doppelte (der Funktions-werte), zum k-fachen das k-fache, zur Summe die Summe; lineare Funktionen: zu gleichen Schritten die gleiche Änderung Quadratfunktionen: zum Doppelten das Vierfache, zum k-fachen das k2-fache

• (2) Der Flächeninhalt wird um den Faktor 1,21 erhöht, der Preis um ca. 1,20. Nimmt man an, dass der Preis um den gleichen Faktor steigen darf wie der Flächeninhalt, fällt die Preissen-kung mit 1,29 Pfennigen doch recht gering aus. Man könnte jedoch auch argumentieren, dass der Preis erhöht wurde, da man gezwungen ist mehr Schokolade zu kaufen (die man vielleicht gar nicht isst)

Eignung, (mögliche) Methoden: • Gruppenarbeit Bemerkungen: • (2) Es sollte deutlich werden, dass die Berechnungen voraussetzen, dass die Höhe der Scho-

kolade unverändert bleibt.

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Vorschlag 13.11: Diskussion der Busfahrpreise im Verkehrsausschuss

Im Verkehrsausschuss diskutieren die Ratsvertreterinnen und Ratsvertreter über die Verkehrspolitik einer Gemeinde. Sie machen Vorschläge für den Bau oder die Sperrung von Straßen. Sie legen fest, welche öffentlichen Verkehrsmittel in der Gemeinde bevor-zugt werden sollen. Sie bestimmen mit über die Fahrpreise der Busse und Bahnen, die von der Gemeinde im öffentlichen Personenverkehr eingesetzt werden. Aus der Stadt Aachen benutzen täglich 200 Mitarbeiter der Forschungsanlage Jülich die direkte Bus-verbindung zwischen Stadt und Arbeitsstelle. Sie zahlen dafür bisher umgerechnet 5 € am Tag. Mit der Tageseinnahme von 1000 € können die Kosten dieser Busverbindung gerade gedeckt werden. Zwei der politischen Parteien, die im Verkehrsausschuss ver-treten sind, haben dem Ausschuss Anträge zur Änderung des Fahrpreises vorgelegt. Diese Anträge sind unten abgedruckt.

Antrag der Fraktion A

Die Einnahmen aus der Direktverbindung zwischen Stadt und Forschungsanlage decken die Kosten dieser Busverbin-dung. Da jedoch die Verkehrsbetriebe der Stadt insgesamt mit hohen Verlusten arbeiten, beantragen wir eine Fahrpreis-erhöhung auch für die genannte Strecke. Durch die Anhebung der Tarife werden einige Benutzer auf das private Auto ausweichen. Die Gesamteinnahmen aus der Strecke werden voraussichtlich stei-gen, und das Defizit der Städtischen Verkehrsbetriebe verringern helfen. Un-sere Fraktion rechnet damit, dass bei einer Preissteigerung um jeweils 0,50 € pro Tag nur jeweils 10 Personen auf das eigene Fahrzeug ausweichen. Gemäß unserem Antrag möge der Aus-schuss so beschließen, dass die Linie möglichst hohe Einnahmen für unsere Städtischen Verkehrsbetriebe erzielt.

Antrag der Fraktion B Ziel der Verkehrspolitik unserer Partei ist es, den öffentlichen Personen-Nahverkehr besonders zu fördern. Wir wollen daher, dass möglichst viele Men-schen vom privaten Auto auf die Benut-zung von Bussen und Bahnen umstei-gen. Nur durch eine Senkung des Fahrpreises auf der Strecke Aachen-Jülich kann es gelingen, die eingesetzten Busse besser auszulasten. Unsere Fraktion rechnet damit, dass bei einer Preissenkung um jeweils 0,50 € pro Tag jeweils 40 Personen auf die Benut-zung des eigenen Pkws verzichten und den Bus für den Weg zur Arbeit nutzen werden. Unserem Antrag folgend möge der Aus-schuss beschließen, dass möglichst viele Personen zur Nutzung des Busses ange-reizt werden. Die Einnahmen der Linie Aachen-Jülich sollen kostendeckend bleiben.

Welchem Antrag würdest du zustimmen? Diskussion der Busfahrpreise im Verkehrsausschuss: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel:

• Ermittlung des „optimalen“ Fahrpreises • Horizontale Vernetzungen • Schulung des Textverständnisses

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Vorschlag 13.12: Das flächeninhaltsgrößte Fenster

Im Dachgeschoss eines Hauses soll ein Malstudio eingerichtet werden. Das Studio soll möglichst viel Tageslicht durch eine rechteckige Glaswand im Hausgiebel erhalten. Welche Länge und Breite muss der Architekt dieser Glaswand geben, wenn das Haus 10 m breit und der Giebel 4 m hoch ist?

"-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Lösungshilfe: Das flächeninhaltsgrößte Fenster

Eine Möglichkeit, einen Zusammenhang zwischen den Variablen herzustel-len, ist ein Ansatz mit Hilfe der Ähnlichkeit.

§ Begründe, dass die Dreiecke ∆ ZED und ∆ ZE’D‘ zueinander ähnlich sind. § Stelle mit Hilfe dieser Ähnlichkeit eine Gleichung auf

(Nutze dabei die bekannten Seiten der Dreiecke).

4 m

10 m

4 m

10 m A m

Z m

E m

E‘ m

D‘ m

B m

C m

D m

30

Das flächeninhaltsgrößte Fenster: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel:

• Lösen einer Extremwertaufgabe durch Scheitelpunktbestimmung • Vertikale Vernetzung

Variationen der Aufgabe:

• Vorher ein möglichst großes Quadrat einschreiben lassen (vgl. Vorschlag 12.16: Die Werbetafel) • Vor Bestimmung des Maximums mögliche Lösungen an der Tafel (besser: einer Styroporplatte)

visualisieren. • Inhaltlich begründen, dass ein Maximum existiert.

Eignung, (mögliche) Methoden:

• Schüler können selbständig entscheiden, ob sie die Lösungshilfe nutzen wollen. Diese sollte jedoch nicht mit ausgeteilt werden.

• Vergleichen verschiedener Lösungswege möglich (insb. Strahlensatz, Ähnlichkeit, lineare Funktionen)

31

Vorschlag 13.13: Aufgaben zu quadratischen Funktionen und Gleichungen

(1) Anwendungen der quadratischen Funktionen und Gleichungen

Viele moderne Brücken haben die Form von Parabeln. Die Abbildung rechts zeigt die Müngstener Brücke bei Solingen aus den fünf-ziger Jahren. Legt man ein Koordinatensystem in den Scheitel des Bogens, so hat die Parabel

die Gleichung 2

90

1xy −= .

Die Bogenhöhe beträgt 69m. Berechne die Spannweite. Der Brückenbogen der Fuldabrücke bei Guntershausen (Fig. 2) hat ebenfalls die Form einer Parabel mit der Gleichung 2xay = . Bestimme a und berechne die fehlenden Pfeilerhöhen.

Eine Normalparabel wird um 1 nach links, um 4 nach oben verschoben, dann an der 1. Achse gespiegelt und schließlich parallel zur 2. Achse mit dem Faktor ½ gestreckt. Zeichne schrittweise den Graphen, gib Lage und Art des Scheitels an. Ein regelmäßiges Gebiss hat näherungsweise die Form einer Parabel. Versuche für das rechts abgebildete eine Funktion zu finden, die die ungefähre Lage der Zähne beschreibt. Bob Beamon sprang bei seinem Weltrekord bei den Olympischen Spielen 1968 in Mexiko-City 8,90 m weit. Sein Körperschwerpunkt legte dabei in etwa die Bahn einer Parabel zurück, die angenähert durch die Gleichung y = -0,571x2 + 0,3838x + 1,14 beschrieben wird (y gibt die jeweilige Höhe des Körperschwerpunktes über der Sprunggrube (in m) und x die horizontale Entfernung von der Ausgangslage beim Absprung (in m) an. Hätte Bob Beamon bei seinem Weltrekord einen VW-Golf übersprungen?

1

2

3

4

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(2) Anwendungen der quadratischen Funktionen und Gleichungen

Beim senkrechten Fall einer Kugel von einem hohen Gebäude gilt für die Funktion Fallzeit (in s) → Fallweg (in m) angenähert t a 5t2.

a) Wie lange würde ein Stein fallen, wenn man ihn jeweils von der Spitze der Gebäude nach unten fallen lassen würde? Wirft man einen Gegenstand parallel zur Erde, so hat seine Flugbahn die Form einer halben Parabel. Die Glei-chung dieser Parabel hat die Form y = -ax2 + h.

Für den Wert von a gilt: a ≈ 2

5

v.

Dabei ist v die Abwurfgeschwindigkeit (in m/s), x die Entfernung vom Abwurfpunkt in vertikaler Richtung (in m) und y die Höhe (in m), h ist die Abwurfhöhe (in m). a) Ein Flugzeug, das mit der Geschwindigkeit von 180 km/h (relativ zur Erde) fliegt, wirft ein Versorgungspaket ab. Wie weit von dem linken Baum entfernt landet das Paket?

b) Bei dem Springbrunnen tritt das Wasser aus dem Rohr mit der Geschwindigkeit 3,5 m/s aus.

Wie weit muss der Rand des Wasserbeckens mindestens von der Rohröffnung entfernt sein?

Beim Schießen einer Kugel senkrecht nach oben wird die Zuordnung Zeit t nach Ab-schuss (in s) → Höhe h über der Abschussstelle (in m) durch die Gleichung h = 51,2t – 5t2 beschrieben.

a) In welcher Höhe befindet sich die Kugel nach 4 Sekunden? Wann erreicht sie die gleiche Höhe beim Zurückfallen?

b) Nach welcher Zeit erreicht die Kugel ihren höchsten Punkt? In welcher Höhe befindet sie sich dann?

c) Zu welchen Zeiten beträgt die Höhe 50m? Beschleunigt ein Motorrad aus dem Stand (bzw. bei 30 km/h), so legt es in den ersten x Sekunden etwa 2x2 (bzw. 2x2 – 8x + 64) Meter zurück. Zeichne für beide Fälle den Gra-phen der Funktion: Fahrzeit → zurückgelegte Strecke in dasselbe Koordinatensystem und vergleiche sie.

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(3) Anwendungen der quadratischen Funktionen und Gleichungen

Für eine quadratische Säule mit der Höhe 5 cm gilt: a) Die Grundfläche ist um 14 cm2 [um 24 cm2] größer als die Seitenfläche. b) Die gesamte Oberfläche beträgt 48 cm2 [288 cm2

; 112 cm2]. Berechne die Seitenlänge der quadratischen Grundfläche.

Bei der Herstellung von Giebelfenstern für ein Dachgeschoss ist eine Glasplatte in Form eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Kathetenlängen 80 cm und 120 cm übrig geblie-ben. Bestimme das Rechteck mit dem maximalen Flächeninhalt, das sich aus dem Dreieck ausschneiden lässt.

Der Goldene Schnitt kam bei Kunstwerken vor allem in der antiken Architektur und in der italienischen Renaissance vor. Prüfe dies an dem nebenstehenden Bild. Goldene Schnitt: s : x = x : y

Ute will aus einem Poster ihres Lieblingssängers Robbie Williams ein quadratisches Bild ausschneiden und auf einen Karton aufkleben, der auf allen Seiten 0,5 dm überstehen soll. a) Wie viel dm2 Karton braucht sie bei der Bildbreite von 2,5 dm? b) Gib die Funktion Seitenlänge des Bildes in dm a Flächeninhalt des Karton in

dm2 an und zeichne den Graphen dieser Funktion. c) Wie groß kann Ute das Bild höchstens machen, wenn sie 9 dm2 Karton hat?

Auf einem Blatt sind n Geraden gezeichnet. Dabei schneidet jede Gerade jede andere. Es gibt 78 Schnittpunkte; durch keinen von ihnen gehen mehr als zwei der gezeichne-ten Geraden. Bestimme die Anzahl n der Geraden.

Von einem rechteckigen Grundstück an einer Straßenecke soll für einen Radweg ein 2 m breiter Streifen längs der gesamten Straßenfront abgetreten werden. Dadurch gehen 130 m2 des ursprünglich 990 m2 großen Grundstücks verloren. Bestimme Länge und Breite des rechteckigen Grundstücks.

Welche Seitenlänge hat ein Quadrat, dessen Flächeninhalt sich verdreifacht, wenn man die Seitenlänge um 1 m vergrößert?

Ein Rechteck hat die Seitenlängen 18 cm und 16 cm. An seinen vier Ecken sollen kongruente gleichschenklige Dreiecke so abgeschnitten werden, dass sich der Flächeninhalt des Rechtecks um ein Viertel verkleinert. Wie lang sind die Katheten der abgeschnittenen Dreiecke?

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(4) Anwendungen der quadratischen Funktionen und Gleichungen

Die rechts abgebildete Parabel ist durch Verschiebung und Streckung aus der Normalparabel entstanden. Beschreibe zunächst die verschiedenen Veränderungen gegenüber der Normalparabel und versuche dann die Funktionsgleichung zu finden. In einer Klinik wird einem Kranken gleichmäßig aus einer Infusionsflasche eine Kochsalzlösung zugeführt. Nach einer halben Stunde sind noch 0,8 l in der Flasche, nach 2 Stunden sind es nur noch 0,2 l. a) Wie viel l waren bei Infusionsbeginn in der Flasche? b) Wann war die Infusionsflasche leer?

a) Löse das Zahlenrätsel und kommentiere deinen Lösungsweg ausführlich:

Für welche Zahl ist das Produkt aus der um 6 verkleinerten Zahl und dem dreifachen der ursprünglichen Zahl am kleinsten?

b) Gib ein selbst ausgedachtes Zahlenrätsel dieser Art an und löse es.

Auf einem Nährboden vermehrt sich eine Anzahl von Bakterien in einem Tag um einen bestimmten Prozentsatz. Durch Erhöhung der Temperatur vergrößert sich dieser Pro-zentsatz am folgenden Tag um 5 %. Insgesamt hat sich die Anzahl in beiden Tagen um die Hälfte erhöht. Wie groß war das ursprüngliche Wachstum?

Ein Rollband, wie man es z.B. auf dem Weg vom Bahnhof zur EXPO sehen konnte, sei 100 m lang und bewege sich mit ei-nem Meter pro Sekunde. Jemand geht innerhalb von 2 Minuten gleichmäßig einmal hin und einmal zurück. Bestimme die reine Gehgeschwindigkeit. Wie groß wäre die Gehgeschwindigkeit, wenn man zwei Stun-den (oder zwei Tage) bräuchte?

Welchen Weg braucht ein Auto, um zu bremsen? Das hängt einmal von der Geschwindigkeit ab, dann von der Straßenbeschaffenheit, Reifen und einigem mehr. Außerdem muss der Fahrer erst einmal reagie-ren und auf die Bremse treten, bis der Bremsweg beginnen kann. Zum Schätzen des Bremsweges gibt es eine „Daumenregel“, ein Rezept, das man manchmal in der Fahrschule hört: Man teilt die Tachoanzeige durch 10 und multipliziert das Ergebnis mit sich selbst. Das Ergebnis ist der Bremsweg in Metern.

a) Welche Funktion beschreibt die „Daumenregel“? Zeichne den Graphen.

b) Mannis Vater sagt: „Wenn ich jetzt 10 km pro Stunde schneller fahre, erhöht sich der Bremsweg gerade auch um 10 Meter.“ Beurteile diese Aussage.

c) Kannst du eine allgemeinere Aussage machen, die trotzdem wahr ist?

1

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35

Quellen: Welt der Mathematik 9 (1990); Mathematik Heute 9 (1996); Lambacher Schweizer 9 (1997); Schnittpunkt 10 (1995); Unterlagen der MUED. Aufgaben zu quadratischen Funktionen und Gleichungen: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel:

• Übung / Anwendung • Vertikale Vernetzung

(Mögliche) Lösungen: • Blatt (1):

• (1) ca. 158m

• (3) y = 4)1(2

1 2 ++x

• (4) y = -1,04 x2 • (5) Scheitelpunkt bei

1,2m Höhe... Stimmt die Funktionsgleichung?

• Blatt (2): • (1) 5,7s; 7,7s; 10,5s;

7,6s; 9,1s; 9,4s • (2) a) 500m; b) 1,57m • (3) a) 124m; b) 5,12s;

131,4m; c) 1,1s und 9,4s

• Blatt (3): • (1) a) 7cm [8cm]; b) 2cm

[8cm / 4cm] • (2) 60cm mal 120cm • (4) a) 12,25dm2;

b) f(x) = (s + 1)2; c) 2dm • (5) 13 Geraden • (6) 22m mal 45m • (7) ca. 1,37m • (8) 6cm

• Blatt (4): • (2) linearer Prozess!!! a) 1 Liter; b)150 min nach Infusionsbeginn • (3) Für die Zahl 3 • (4) Der Ansatz 5,1)05,1)(1( =++ pp führt zu 20% ursprünglichem Wachstum

• (5) Lösungsvorschlag (Rollband): - Gesucht: Gehgeschwindigkeit v in m/s.

- Wir wissen: vst /= , wenn s die Strecke und t die Zeit ist. - Die Gesamtzeit t setzt sich zusammen aus der Zeit t1 für den Hinweg und der Zeit t2 für den Rückweg, dies ergibt

den Ansatz

s120m/s1

m100

m/s1

m10021

=−

++

=+=vv

ttt

- Die Lösungen sind gerundet v1=2,1 m/s und v2=-0,5 m/s; die positive Lösung entspricht 7,7 km/h was für einen Fußgänger schon recht flott ist.

- Interessant und direkt einleuchtend ist, dass die Gehgeschwindigkeit nicht unter 1 m/s (der Geschwindigkeit des Bandes) fallen darf, damit man beim Rückweg nicht „hinten runter fällt“, dies spiegelt sich in den Lösungen für verschiedene Zeiten wieder, die für wachsende Zeit gegen 1 m/s konvergieren.

- Wer findet sinnvolle Interpretationen für die negative Lösung?

Alternativen Weitere Arbeitsblätter auch für leistungsschwächere Gruppen finden sich in MAT(H)ERIALIEN 7-10 Algebra S. 174ff (liegt jeder Schule vor). Eine Vielzahl von Aufgaben ist im Internet unter http://did.mat.uni-bayreuth.de/smart/navigation/ abrufbar.

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Vorschlag 13.14: Kälberhaltungsverordnungsentwurf

Amts-Mathematik

„Bei Gruppenhaltung muss für jedes Kalb in Abhängigkeit von der Widerristhöhe in Zentimetern eine frei verfügbare Mindestfläche in Quadratmetern gemäß nachstehender Formel vorhanden sein: (Mathe-matische Exponentenschreibweise) Mindestfläche cm (hoch) 2 gleich 0,40 x (hoch) 2 plus 70 x plus 2720“. (Aus dem neusten Entwurf des Bundes für Kälberhaltungsverordnung.) Den Landwirten diesen Ent-wurf zu verdolmetschen und amtlichen Beistand in Rechenhilfe zu leisten hat der hessische CDU-Landtagsabgeordnete Dieter Weirich (Hanau) in Wiesbaden empfohlen. Man müsse sich fragen, meinte Weirich, ob die Bauern angesichts eines „solchen Mists aus den Amts-stuben“ überhaupt noch dazu kämen, ihren Stall auszumisten.

Braunschweiger Zeitung

Perfekte Amtssprache Die Perfektion der deutschen Vorschriftenmacher ist von In-nenminister Georg Tandler im Münchner Landtag mit dem Verlesen des Entwurfes für eine Kälberhaltungsverordnung des Bundes belegt worden. Darin heißt es, was immer das im Klar-text heißen mag: „Bei Gruppenhaltung muss für jedes Kalb in Abhängigkeit von der Widerristhöhe in Zentimetern eine frei verfügbare Mindestfläche gemäß nachstehender Formel vor-handen sein: Mindestfläche (Quadratzentimeter) gleich 0,4 mal hoch 2 plus 70 mal plus 2720.“

Berliner Anzeiger

Was fällt dir an diesen beiden Zeitungsartikeln alles auf?

Kannst du Fehler finden?

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Kälberhaltungsverordnungsentwurf: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel:

• Zeitungsartikel kritisch hinterfragen • Fehler entdecken • Anwendungen quadratischer Funktionen kennen lernen

Variationen der Aufgabe: • (1) Gib einen korrekten Term für die Gesetzesvorschrift an! • (2) Skizziere den Graphen dieser Funktion in einem Bereich, der für diese Verordnung von

Bedeutung ist! • (3) Könntest du eine einfachere Vorschrift empfehlen?

Eignung, (mögliche) Methoden:

• Gruppenarbeit • Partnerarbeit

(Mögliche) Lösungen:

• Im zweiten Artikel wird die Variable „x“ als Malzeichen interpretiert. Bemerkung:

• Die Artikel standen wirklich so in den Zeitungen. Allerdings war dies im Juni bzw. im Juli 1979 – also zu einer Zeit in der die Schüler noch gar nicht geboren waren.

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Vorschlag 13.15: Gleichungen bestimmen

Von drei verschiedenen quadratischen Gleichungen der Form 0qpxx2 =++

ist jeweils eine besondere Eigenschaft bekannt:

a) Gleichung 1: Die Lösungen unterscheiden sich nur durch das Vorzeichen.

b) Gleichung 2: Eine Lösung ist der Kehrwert der anderen.

c) Gleichung 3: Genau eine der beiden Lösungen ist 0.

Mache jeweils begründete Aussagen über die Koeffizienten p und q.

Gleichungen bestimmen: Anregungen für den Unterrichtseinsatz

Ziel: • Zusammenhang zwischen Koeffizienten und Lösungen quadratischer Gleichungen

(Mögliche) Lösungen:

• a) Die Lösungen unterscheiden sich nur durch das Vorzeichen: 12 xx −=

Also: pxx −==− 011 und ( ) qxxx =−=−⋅ 2111

Also: 0=p und 0<q . Für q gilt weiterhin oben stehende Beziehung.

• b) Eine Lösung ist der Kehrwert der anderen: 1

2

1

xx =

Also: 142

11 22

11

2

1

11 −=

+⇔−=+=+ pp

xpx

xx

x und qx

x ==⋅ 11

11

Also: 1=q und 2>p . Für p gilt weiterhin oben stehende Beziehung.

• c) Genau eine der beiden Lösungen ist 0: Sei o.B.d.A. 01 =x

Also: px −=+ 20 und qx =⋅ 20 Also: 0=q und 0≠p , denn sonst gibt es keine zweite Lösung. Für p gilt weiterhin oben stehende Beziehung. Bemerkungen:

• Satz von Vieta ggf. anhand von Beispielen vermuten lassen (vgl. Abbildung).

• Ein geeignetes Arbeitsblatt findet sich auch in den Mat(h)erialien 7-10 Algebra, S. 182 (liegt jeder Schule vor).

• Alternative: Wann sind die Lösungen gerade p und q?

Hier benutzt: Satz von Vieta Sind x1 und x2 die Lösungen einer quadratischen Gleichung der Form 02 =++ qpxx , dann gilt: x1 + x2 = -p und x1 ⋅ x2 = q

Multiple-Choice-Test zu quadratischen Gleichungen

und Funktionen 1. Kreuze alle richtigen Aussagen an. Je Teilaufgabe

können keine bis alle Aussagen richtig sein.

a) Eine Gleichung der Form ex =2 hat ¨ keine Lösung, für e<0 ¨ keine Lösung für e=0 ¨ zwei Lösungen für e>0

¨ eine einzige Lösung für e≠0 ¨ mindestens eine Lösung ¨ nie die Lösung 0

b) Der Graph der Funktion f mit 14)(2

31 −−−= xxxf

¨ ist nach oben geöffnet ¨ geht durch den Ursprung ¨ schneidet die erste Achse zwei Mal ¨ ist symmetrisch zur 2. Achse ¨ hat seinen Scheitel bei (11|-6) ¨ hat ein Maximum

c) Der Graph der Funktion f mit 3)2()(2 −−= xxf

¨ ist eine verschobene Normalparabel ¨ hat seinen Scheitel bei (2|-3) ¨ geht durch den Punkt (-10|-15) ¨ geht nicht durch den Ursprung

¨ ist identisch mit 14)(2 −+= xxxg

¨ hat kein Maximum

d) Die Nullstellen jeder quadratischen Funktion mit zwei Nullstellen ¨ sind symmetrisch zur ersten Achse ¨ sind symmetrisch zur zweiten Achse ¨ liegen vom Scheite lpunkt gleich weit entfernt ¨ lassen sich durch zwei Bruchzahlen angeben ¨ lassen sich durch zwei reelle Zahlen angeben

e) Die verschobene Normalparabel mit dem Schei-telpunkt S(−2|1)

¨ hat den Funktionsterm 1)2(2 +−x

¨ hat den Funktionsterm 1)2(2 −+x

¨ hat den Funktionsterm 1)2(2 ++x

¨ hat den Funktionsterm 542 ++ xx

¨ hat den Funktionsterm 22235 xxxx ++++−

¨ hat den Funktionsterm 10822 ++ xx

f) Der Scheitel einer verschobenen Normalparabel liegt auf der Parallelen zur y-Achse, die durch den Punkt P(3|0) geht. Der Punkt Q(7|18) liegt auch auf dieser Parabel. Welche der unten angegebenen Punkte liegen noch auf dieser Parabel? ¨ A(2|3) ¨ B(3|2) ¨ C(4|3) ¨ D(7|7) ¨ F(-1|18) ¨ G(0|0)

g) Für jede quadratische Funktion f mit

cbxaxxf ++= 2)( und a≠0 gilt

¨ ihr Graph ist nach unten geöffnet für alle a<1 ¨ ihr Graph ist nach oben geöffnet für alle a>1 ¨ ihr Graph ist eine Parabel ¨ sie hat genau einen Schnittpunkt mit der

2. Achse ¨ ihre Symmetrieachse ist eine Parallele zur

1. Achse ¨ sie schneidet die 2. Achse bei c

h) Welcher Funktionsterm gehört nicht zu einem der untenstehenden Graphen

¨ 52 −x

¨ 3)2(2 −+x

¨ 32 +x

¨ 762 +− xx

¨ 2)3(2 −−x

¨ 142 ++ xx

Vorschlag 13.16: M

ultiple Choice-T

est

40

Vorschlag 13.17: Quadratische Ergänzung

Löse nacheinander die folgenden Gleichungen:

• 25,202 =x

• 07292 =−x

• 01352 2 =− x

• ( ) ( ) 9961535 22 =−++ xx

• ( ) xx 168600712 2 −=−

• ( )2836 −= x

• 2816 2 += xx

• 1514 2 =+ xx Kannst du daraus eine Strategie ableiten, wie man allgemein solche Glei-chungen lösen kann? Quelle: Herget/Jahnke/Kroll: Produktive Aufgaben für den Mathematikunterricht in der Sek. I. Cornelsen (2001), S. 108. Quadratische Ergänzung: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel:

• Hinführung zur Quadratische Ergänzung Eignung, Methoden:

• Da bei den ersten fünf Gleichungen die Auflösung der Klammern zum Ziel führt, liegt dieselbe Strategie bei der sechsten nahe. Dadurch aber können Schüler erkennen, dass die siebte mit der sechsten identisch ist und bei der achten Gleichung diese Erkenntnis anwenden.

41

Vorschlag 13.18: Mit Graphen zeichnen

Zeichne die Graphen der folgenden Funktionen im angegebenen Definiti-onsbereich:

4)(1 =xf 64 ≤≤− x ( )4684)( 2251

5 −−= xxxf 5,35,1 ≤≤− x

16)(52

2 −−= xxf 64 ≤≤− x ( )92168)( 2251

6 −−= xxxf 64 ≤≤− x

5)(21

3 +−= xxf 53 ≤≤ x ( )52814)( 291

7 +−= xxxf 5,25,0 ≤≤− x

5,3)(21

4 += xxf 13 −≤≤− x

Quelle: Raabits

Mit Graphen zeichnen: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel:

• Zeichnen von linearen und quadratischen Funktionsgraphen Variation der Aufgabe:

• „Überlegt Euch andere Bilder und die entsprechenden Funktionsterme. Lasst euren Nachbarn (euren Funktionenplotter) die Graphen zeichnen.“ Lösung:

Das linke Auge ist in der Lösung falsch dargestellt!!!