Materialien zum Modellversuch:

2

Materialien zum Modellversuch:

Vorschlge und Anregungen zu einer

vernderten Aufgabenkultur

1800 m

200 m

Boje

Boje

70 m

Ziel

Start in der Bucht

(11)Zum Themengebiet Satzgruppe des Pythagoras(erstellt in Zusammenarbeit mit der Gesamtschule Guxhagen)

Vorschlag 11.1: Biographisches zu Pythagoras3

In einem kurzen Text, der auf Kassette gesprochen werden sollte, stellt sich Pythagoras selbst den Schlern vor. Ein zustzlicher Text enthlt weiterfhrende Informationen

Vorschlag 11.2: Pythagoras auf Hawaii5

Fr die Schwimmstrecke beim IronMan auf Hawaii werden gnstige und ungnstige Routen erarbeitet

Vorschlag 11.3: Pythagoras auf dem Sportplatz7

Mit Hilfe des Satzes des Pythagoras knnen verschiedene Problemstellungen auf dem Sportplatz bearbeitet werden

Vorschlag 11.4: Entfernungen auf dem Stadtplan8

Lngenberechnungen auf dem Stadtplan, die eine Berechnung im Koordinatensystem vorbereiten knnen

Vorschlag 11.5: Wie weit kann man sehen?9

Variation der bekannten Leuchtturm-Aufgabe, in der die Mathematisierung bewusst den Schlern berlassen wird

Vorschlag 11.6: Beweise des Satzes des Pythagoras12

Vorgestellt werden vier Beweise, die die Schler zur aktiven Auseinandersetzung mit dem Satz des Pythagoras anregen sollen

Vorschlag 11.7: Pyramiden18

Die Entwicklung des rumlichen Vorstellungsvermgens soll durch Modelle untersttzt werden

Vorschlag 11.8: Krzeste Wege21

Eine Fliege und eine Spinne sitzen auf den Eckpunkten eines Quaders. Die Frage nach dem krzesteten Weg ermglicht zahlreiche Variationen

Vorschlag 11.9: Die gyptischen Seilspanner22

Das Knotenseil steht reprsentativ fr historische und aktuelle Anwendungen des Satz des Pythagoras. Durch Streichhlzer sollen die Schler aktiv die Besonderheiten der pythagoreischen Zahlentripel erkunden

Vorschlag 11.10: Der Satz von Fermat23

Zeitungsartikel zum Beweis des Satzes, der Mathematiker Jahrhunderte beschftigte

Vorschlag 11.11: Aufgaben zur Anwendung des Satzes des Pythagoras25

Sammlung verschiedener Aufgaben zur Anwendung des Satzes des Pythagoras

Vorschlag 11.12: Pythagoras und Vernetzungen29

Kaum ein Themengebiet ermglicht eine solche Flle von Verknpfungen zwischen frheren, aktuellen und zuknftigen Unterrichtsinhalten wie die Satzgruppe des Pythagoras

Vorschlag 11.13: Das Tunnelproblem31

Die Frage, ob ein LKW gefahrlos durch einen Tunnel fahren kann, dient zur Einfhrung des Hhensatzes

Vorschlag 11.14: Eine Wandzeitung und andere Projekte32

Kaum ein mathematisches Themengebiet bietet eine solche Materialflle wie der Satz des Pythagoras. Hier werden verschiedene projekt- bzw. produktorientierte Zugnge vorgestellt

Vorschlag 11.15: Vermischtes zur Satzgruppe des Pythagoras35

Vermischte, krzere Anregungen zur Satzgruppe des Pythagoras

Die Arbeit entstand im Rahmen des BLK-Modellversuchsprogramms"Steigerung der Effizienz des mathematisch-naturwissenschaftlichenUnterrichts", das vom Bund und den Lndern gefrdert wird.

Vorschlag 11.1: Biographisches zu Pythagoras

Ich heie Pythagoras, eigentlich Pythagoras von Samos, und lebte wahrscheinlich von 580 bis 496 vor Christus. So genau kann ich das leider nicht sagen, da es doch schon sehr lange her ist.

Wenn ich gewusst htte, dass du dich heute noch fr mich interessierst, htte ich meine Daten aufzeichnen lassen.

Ich glaube schon, dass ich von mir behaupten kann, ein vielseitiger Gelehrter zu sein. In Oberitalien habe ich die Schule der Pythagoreer gegrndet. Meine Anhnger lebten nach strengen Vorschriften. Wir glaubten an die Unsterblichkeit der Seele und an Seelenwanderungen. Wir waren berzeugt, dass Gott die Welt nach Zahlen und Zahlverhltnissen geordnet hat! Von den Leuten aus unserer Umgebung wurden wir als eine Art "Hippies" angesehen. Der Nachwelt haben wir aber etwas sehr Bedeutsames hinterlassen: einen Satz, der Weltgeschichte schrieb. Vielleicht hast du schon von ihm gehrt? Der Satz sagt Folgendes aus: Im rechtwinkeligen Dreieck haben die Quadrate ber den Katheten zusammen den gleichen Inhalt wie das Quadrat ber der Hypotenuse. Ich sehe ein, das sind jetzt zu viele Fremdwrter. Du musst verstehen, ich bin ein gehbrtiger Grieche und nenne deshalb die lngste Seite in dem rechtwinkligen Dreieck Hypotenuse. Die beiden anderen Dreiecksseiten, die den rechten Winkel einschlieen, werden Katheten genannt. Hast du alles behalten? Ich gebe dir eine Hilfe: Nimm ein Blatt und biege eine Ecke um! Streife die Faltkante aus! Weit du, wie ich diese Seite genannt habe? Richtig, das ist die Hypotenuse!

Nun muss ich aber Schluss machen. Die Seelen meiner Schler warten schon auf mich. Sie knobeln noch immer an meinem Lehrsatz herum. Und du hoffentlich auch! Sollte er dir Probleme machen, musst du dich aber nicht zu mir in die Antike beamen. Du hast ja deine eigene Lehrerin oder deinen eigenen Lehrer!

Quelle: mathematik lehren 97 (1999), S. 69 (leicht verndert).

Biographisches zu Pythagoras: Anregungen fr den Unterrichtseinsatz

Ziel:

Historische Einbettung des Satzes des Pythagoras

Erleichterter und motivierender Zugang zu den (schwierigen) Begriffen des Satzes

Eignung, (mgliche) Methoden:

Als Einstieg oder kurz danach

Bemerkungen:

Eine Abwechslung im Mathematikunterricht erreicht man, wenn man den Gelehrten selbst zu Wort kommen lsst. Dazu mssen Sie eine mnnliche, interessante Stimme gewinnen, die den ersten Text pathetisch auf Tonband spricht.

Alternativen:

Ein weiterer Text zur Biographie von Pythagoras findet sich auf der folgenden Seite (vgl. auch Hinweise zu Vorschlag 11.13). Interessante Informationen zu Pythagoras finden sich auch in dem empfehlenswerten Buch von Simon Singh: Fermats letzter Satz, S. 31ff (als Taschenbuch 19,50 DM). Dort ist z.B. auch beschrieben, dass Pythagoras einen seiner Schler ertrnken lie als dieser entdeckte, dass

nicht als Bruch dargestellt werden kann. Dies widersprach Pythagoras Vorstellung, dass alle natrlichen Phnomene mit einfachen Zahlen zu beschreiben wren (vgl. S. 75). Die biographischen Angaben sind allerdings in der Literatur sehr unterschiedlich.

Pythagoras - sein Leben und Wirken

Pythagoras wurde um 570 v. Chr. auf der griechischen Insel Samos als Sohn eines Goldschmieds geboren. Er hatte das Glck, von einem guten Lehrmeister, dem Pherekydes, unterrichtet und gefrdert zu werden. Nach dessen Tod lebte Pythagoras geraume Zeit in gypten und beschftigte sich mit den dortigen Wissenschaften, insbesondere der Mathematik und den Mysterien. Nach diesem Aufenthalt folgten ausgedehnte Reisen, u.a. zu den Persern und Phniziern.

Nach seiner Rckkehr auf die Insel Samos unterrichtete Pythagoras den Sohn des dort herrschenden Tyrannen Polykrates. Die Grnde, die Pythagoras dazu bewegten, seine Heimat um 532/531 v. Chr. - als Vierzigjhriger - endgltig zu verlassen und nach Unteritalien in den Ort Kroton (das heutige Crotone in Kalabrien) berzusiedeln, sind nicht mehr nachvollziehbar.

Den Einwohnern von Kroton kam Pythagoras sehr gelegen, denn sie suchten jemanden, der die Kinder und Jugendlichen des Ortes in griechischer Weisheit unterrichten konnte. Er benutzte seine Lehrttigkeit aber schon bald auch dazu, sich eine getreue Anhngerschaft heranzuziehen, was schlielich in der Grndung einer Schule mndete. Ihre Mitglieder nannten sich Pythagoreer, und heute wrde man diese Schule wohl eher als Sekte bezeichnen.

Zur Lebensweise der Pythagoreer

Die Pythagoreer lebten - obwohl sowohl Mnner als auch Frauen in ihren Bund aufgenommen wurden - wahrscheinlich klosterartig in einer Gtergemeinschaft und fhlten sich als geistige Elite, die ber ein Geheimwissen verfgte. Sie hatten ihre eigene, nur den Eingeweihten verstndliche Sprache, die u.a. aus Zahlencodes und Symbolen bestand. Zu ihren Erkennungszeichen untereinander gehrten z.B. das Pentagramm und der Satz Bleib gesund.

Bei ihrer Aufnahme mussten die Schler/innen mehrere Dinge geloben: zum Beispiel Gehorsam, Verschwiegenheit, Enthaltsamkeit, Bescheidenheit und kein Tier zu tten, das den Menschen nicht angreift. Da die Lehre von der Seelenwanderung fr die Pythagoreer eine ihrer esoterischen Basen war, der zufolge die Seelen verstorbener Menschen im Tier weiterleben, lebten sie als strenge Vegetarier.

In der Schule des Pythagoras herrschte das Fhrerprinzip, und er selbst lehrte jeden Abend in Form einer Vorlesung. Seine Zuhrerschaft, die oft von weit her angereist kam, teilte er in zwei Kategorien ein: Die Mathematiker waren jene, die das Recht hatten, Wissen mathematha", zu erwerben; die andere Gruppe, die Akusmatiker, durften nur zuhren. Pythagoras begann seine Reden stets mit dem Satz Nein, bei der Luft, die ich atme, nein, bei dem Wasser, das ich trinke, ich gestatte keinen Widerspruch zu dem, was ich sage". Die Redewendung autos epha (er hat es selbst gesagt) fhrte auch in Diskussionen dazu, dass diesem Argument nicht widersprochen werden durfte. Bei seinen Vortrgen verbarg er sich stets hinter einem Vorhang. Nur wenige bekamen ihn je direkt zu Gesicht.

Zur Lehre des Pythagoras

Die geistigen Vorstellungen der Pythagoreer standen in einem Spannungsfeld, gebildet aus einem grundlegenden Ordnungsprinzip, magischen Vorstellungen, einer harmonischen Lebensfhrung sowie der Musik. Die Zahlen und die Mathematik stellten fr Pythagoras dabei die Bausteine der Welt dar und dienten ihm als Erklrungsgrundlage aller Dinge, also als oberstes Ordnungsprinzip. Zahlenspielereien und deren postulierte Mystik bildeten infolge dieser grundlegenden Annahme somit einen Hauptpunkt der Esoterik seiner Schule. Entscheidend fr das Gedankengebude der Pythagoreer und ihre Esoterik war auerdem die Beziehung zwischen der Mathematik und der Musik. Sie waren wohl die ersten, die eine Harmonielehre betrieben. Die in der Musik offenbarte Harmonie verkrperte fr sie wiederum die mathematische Grundlage allen Seins.

Das Ende des Pythagoras

Auf Grund des Selbstverstndnisses der Pythagoreer - und ihres Absolutheitsanspruches - kam es um 497/496 v. Chr. zu einem tragischen Ende: Sie wurden in ihrem damaligen Haupthaus, das des Athleten Milon, eingeschlossen und verbrannt. Nur wenigen gelang die Flucht. Der 73jhrige Pythagoras selbst soll in den Musentempel von Metapont geflchtet sein, dann das Essen verweigert haben und schlielich verhungert sein.

Quelle: Fraedrich, Rolf: Praxis Schule 5-10, 1 (1994), S. 8.

Vorschlag 11.2: Pythagoras auf Hawaii

Mitte Oktober findet alljhrlich die Weltmeisterschaft im Triathlon (IronMan) auf Big Island (Hawaii) statt. Dabei mssen folgende Distanzen zurckgelegt werden:

3,8 km Schwimmen im Meer,

180,0 km Radfahren und

42,2 km Laufen (Marathon).

Die Schwimmstrecke ist ein Rechteckkurs.

Alle 1400 Teilnehmer starten gleichzeitig von der 70 m breiten Bucht. Nachdem sie die beiden Wendebojen passiert haben, gehen sie im Ziel wieder an Land.

Pythagoras auf Hawaii: Anregungen fr den Unterrichtseinsatz

Ziel:

bung

Vertikale Vernetzung

Variationen der Aufgabe:

Schler entwickeln eigene Aufgabenstellungen.

(1) Wie viele Teilnehmer stehen auf einem Meter, wenn sich beim Start alle gleichmig auf die Bucht verteilen?

(2) Wie lang ist die Strecke auf der Ideallinie? Zeichne alternative Strecken und berechne deren Lnge.

(3) Welche Strecke legt ein Schwimmer zustzlich zurck, der (linksstartend) zunchst 1500m geradeaus schwimmt und dann Kurs auf die erste Wendeboje nimmt?

(4) Wie viel Zeit verliert dieser Schwimmer wenn er 100m durchschnittlich in 1:30minschwimmt?

(5) Wie viel Prozent macht dieser Zeitverlust gegenber seiner theoretisch erreichbaren Zeit (Schwimmen auf der Ideallinie) aus?

(6) Wie gro ist der Zeitverlust, wenn ein Teilnehmer vom linken Rand der Bucht direkt die erste Boje ansteuert?

(7) Wie wirkt sich das Gedrnge auf einen Schwimmer aus? Oder: Finde mgliche mathematische Beschreibungen des Vorteils nicht im Gedrnge schwimmen zu mssen (z.B. hhere konstante Geschwindigkeit oder prozentualer Vorteil) und berechne jeweils die Gesamtzeiten.

(8) Wie viel schneller msste der Schwimmer auerhalb des Gedrnges mindestens sein, damit er den Nachteil der lngeren Strecke ausgleichen kann?

(Mgliche) Lsungen:

(1) 20 Teilnehmer pro Meter bei gleichmiger Verteilung. Allerdings Hufung auf der rechten Seite zu erwarten.

(2) Schwimmen auf der Ideallinie: Strecke = 3800 m.

(3) Lnge der Alternativroute:

1

,

308

300

70

2

2

+

; also zustzliche Strecke von ca. 8,1 m.

(4) Zeitverlust:

29

,

7

081

,

0

90

=

; also rund 7 Sekunden.

(5) Insgesamt bentigte Zeit =

57

38

5

,

1

=

(min). Damit ein Zeitverlust von ca. 0,2%.

(6) Zustzliche Strecke: 1,36 m; dies entspricht einem Zeitverlust von ca. einer Sekunde. Es stellt sich allerdings die Frage, ob die Diagonalstrecke frei ist.

(7) z.B.: Die Geschwindigkeit des Schwimmers verringert sich im Gedrnge so, dass er durchschnittlich fr 100m 1: 40 min braucht. Dann bentigte Zeit auf Ideallinie (nur bis zur ersten Boje):

30

18

3

5

=

; also 30 Minuten. Bentigte Strecke bis zur ersten Boje mit Umweg (wie 3): 1808,1m; also Zeit:

1

,

27

081

,

18

5

,

1

; also 27 Minuten und 7 Sekunden.

(8) z.B.: Die Geschwindigkeit des Schwimmers, der den Umweg schwimmt sei x. Der Schwimmer auf der Ideallinie legt 100m in 90 sek zurck. Dann gilt:

6

,

89

081

,

18

18

90

=

x

x

; also ungefhr genauso lange, falls der Schwimmer 100m durchschnittlich in 89,6sekzurcklegt.

Bemerkungen:

Kleiner Aussprachehinweis: Das r in IronMan wird nicht ausgesprochen (also so hnlich wie Eienmn).

Die Angaben fr die verschiedenen Geschwindigkeiten im Beispiel sind recht ungewhnlich und knnten zu Missverstndnissen fhren.

Vorschlag 11.3: Pythagoras auf dem Sportplatz

Ein rechteckiger Sportplatz ist 100 m lang und 50 m breit. Ulli startet direkt zur gegenberliegenden Ecke. Frank luft an der Auenlinie entlang.

Pythagoras auf dem Sportplatz: Anregungen fr den Unterrichtseinsatz

Ziel:

bung

Vertikale Verknpfungen

Variationen der Aufgabe:

Schler entwickeln eigene Aufgabenstellungen.

(1) Wie viel Prozent des Weges spart Ulli?

(2) Wie viel m ist Frank noch vom Ziel entfernt, wenn Ulli ankommt? (Was muss man hierbei voraussetzen? Gleiche Geschwindigkeit)

(3) Mit welcher Geschwindigkeit muss Frank laufen, um gleichzeitig mit Ulli anzukommen?

(4) Wann treffen sie sich wieder, wenn sie auf ihren Wegen dauernd hin- und herlaufen?

(5) Wo begegnen sie sich, wenn Ulli Frank entgegenluft?

(Mgliche) Lsungen:

(1) Diagonale:

8

,

111

50

100

2

2

+

74,5% des Auenweges.

(2) Entfernung: 150 111,8 = 38,2m.

(3) Frank muss ca. 1,34 mal so schnell laufen wie Ulli.

(4) Nach 900 bzw. 894,4m wird es relativ knapp. Gilt das als Treffpunkt?

(5) Begegnung ca. 19,1m von der Eckfahne entfernt.

Vorschlag 11.4: Entfernungen auf dem Stadtplan

Ein Kstchen auf der Karte entsprechen 100 m in der Realitt.

Berechne die Luftlinienentfernungen.

Quelle: Mat(h)erialien 7 - 10 Geometrie, Schroedel (1996), S. 118 (leicht abgewandelt).

Entfernungen auf dem Stadtplan: Anregungen fr den Unterrichtseinsatz

Ziel:

Einfhrung in die Lngenberechnung im Koordinatensystem

Variationen der Aufgabe:

Verwendung eines lokalen Stadtplans

Vorgabe markanter Punkte durch Koordinaten. Wie knnte ein Computer-Programm aussehen, das die Luftlinienentfernung zweier vorgegebener Punkte bestimmt?

(Mgliche) Lsungen:

Schule Bahnhof: 640,31 m

Schule Schloss: 781,02 m

Schule Museum: 447,21 m

Rathaus Museum: 1208,30 m

Rathaus Bahnhof: 223,61 m

Bahnhof Museum: 1081,67 m

Bahnhof Schloss: 1104,54 m

Bahnhof Denkmal: 1118,03 m

Bemerkungen:

Da die Kstchenlnge gerade 1 cm betrgt, werden die Schler zunchst versuchen zu messen. Dies ergibt hinreichend genaue Ergebnisse.

Die Aufgabe ist recht unrealistisch, da die Punkte nur zufllig auf dem Gitter liegen. Ist dies nicht der Fall, kann die rechnerische Methode nicht angewendet werden. Andererseits liegt der bergang zum Koordinatensystem nahe.

Alternativen:

Ein alternatives (bzw. vorbereitendes) Arbeitsblatt zum Hinkelsteinweitlauf findet sich in den MAT(H)ERIALIEN 7-10 Geometrie, S. 119 (liegt jeder Modellversuchsschule vor). Hier sind die Unterschiede so gering, dass eine Berechnung der Lngen sinnvoll erscheint.

Vorschlag 11.5: Wie weit kann man sehen?

1800 m

200 m

Boje

Boje

70 m

Ziel

Start in der Bucht

In zahlreichen Schulbchern finden sich Aufgaben der folgenden Art:

Quelle: Schnittpunkte 9 (1995), S. 130.

Wie weit kann man sehen?: Anregungen fr den Unterrichtseinsatz

Ziel:

Modellbildung

Anwendung des Satzes des Pythagoras

Variationen der Aufgabe:

Bewusst auf die Vorgabe der Zeichnung verzichten. Statt dessen: Nicole und Patrick besuchen in den Ferien in der Bretagne einen Leuchtturm. Vertrumt schaut Nicole aufs unendliche Meer hinaus. Wie weit, fragt sie nachdenklich, sehen wir wohl? (vgl. mathematik lehren 86 (1998), S. 58)

Mgliche Fortfhrung durch den Leuchtturm von Alexandria (siehe bernchste Seite)

(Mgliche) Lsungen:

Annahmen: Die Sichtweite sei L; der Betrachter hat die Augenhhe h und der Erdradius r sei 6360 km. Dann lsst sich die Aufgabe auf verschiedene Weisen lsen (vgl. PM 33 (1991) H. 3, S. 136-138):

Halbkreisdurchmesser

Angewendeter Satz

Fhrt zur Gleichung

r

h

2

2

+

Hhensatz

(

)

r

h

h

L

2

2

+

=

r

h

2

1

+

Euklid

(

)

r

h

h

L

2

2

+

=

r

h

2

0

+

Sek.-Tang.-Satz

(

)

r

h

h

L

2

2

+

=

r

h

1

1

+

Pythagoras

(

)

2

2

2

r

r

h

L

-

+

=

Eine interessante Anmerkung zu dieser Lsung findet sich bei Kirsch (vgl. PM 34 (1991) H. 3, S. 136-138):

In der Ergebnisformel

2

2

h

rh

L

+

=

verhlt sich der zweite Summand im Radikanden zum ersten wie h zu 2r; er betrgt also, wenn

m

125

h

angenommen wird, hchstens 0,125/12720

BX

1

+

=

a

AH

H2 ist Bildpunkt von X bei einer Drehung von Dreieck XFG um +90 um F. =>

XG

2

+

=

b

AH

H1 = H2 gilt nur dann, wenn

XG

BX

+

=

+

b

a

Mit

b

a

+

=

+

XG

BX

folgt daraus:

(

)

b

b

a

b

a

=

-

+

+

=

+

BX

BX

BX

(2) Zu zeigen: CHFX ist ein Quadrat.

Da sich die beiden spitzen Winkel jedes rechtwinkligen Dreiecks zu 90 ergnzen, folgt die Rechteckseigenschaft aus der Konstruktion (Drehungen). Nach Konstruktion sind die Strecken

CX

und

CH

gleich lang, analog

FX

und

FH

.

Aus

b

=

XB

und

a

=

XG

folgt

FX

CX

=

.

4. bergang zum Satz des Pythagoras

Mglichkeit 1:

Man lsst die Schlerinnen und Schler die Tischdeckenfigur mit einer vorgegebenen "Pythagoras-Figur" vergleichen.

Mglichkeit 2:

Im Zusammenhang mit der Beweisfhrung von (2) werden die Seitenlngen der 4 kongruenten rechtwinkligen Dreiecke, die beim Beweis eine zentrale Rolle spielen, bewusst gemacht und aus der Figur die Beziehung

2

2

2

c

b

a

=

+

abgelesen.

Quelle: Modellversuchsband Rheinland-Pfalz (1999), S. 25ff (liegt jeder Modellversuchsschule vor). Auch unter http://berater.bildung-rp.de/reichelstein/sinus/unterrichtsreihen.htm. Dort finden sich jeweils auch weitere Anregungen zum Satz des Pythagoras.

(2) Ein Pythagoras Puzzle

Quelle: Steudel, H: Der Satz des Pythagoras - ein Legespiel. In: mathematik lehren (1994) H. 62. S. 66f.

(3) Und er sagte sein einziges Wort...

Quelle: Fraedrich, A.M.: Die Satzgruppe des Pythagoras. BI-Wiss.-Ver., 1995, S. 251f.

(4) Wie lang ist die Diagonale im Rechteck

Zunchst wird an die vorangegangene Unterrichtseinheit angeknpft und die Lnge der Diagonalen im Quadrat bestimmt. (Teilen von zwei identischen Quadraten durch Diagonalschnitt). Wichtig ist, dass die Schler begrnden, warum beim Zusammenlegen alles passt.

Nun kann die Frage gestellt werden, ob sich zur Bestimmung der Diagonalenlnge im Rechteck nicht analog zwei kongruente Rechtecke zerlegen lassen. Die Schlerinnen und Schler erhalten dazu Papier und Schere, damit sie experimentieren knnen.

Die naheliegende Figur (die Raute) lst das Problem nicht, aber weiteres Probieren drfte mit ziemlicher Sicherheit in jeder Klasse auf die dem indischen Mathematiker Bhaskara (12 Jh.) zugeschriebene Konfiguration fhren: Die vier rechtwinkligen Teildreiecke bilden ein Quadrat mit einem quadratischen Loch. Das Quadrat hat die Seitenlnge c, das Loch die Seitenlnge (a - b).

Damit lsst sich die Gleichung

(

)

2

2

b

a

ab

4

c

-

+

=

2

1

aufstellen und unter Benutzung der zweiten binomischen Formel in den Satz des Pythagoras umformen.

Die Beweislast liegt im Nachweis, dass wirklich Quadrate entstehen. Hierzu muss man wie im Spezialfall die Kongruenz der Teildreiecke, den rechten Winkel in jedem Teildreieck und die Tatsache heranziehen, dass die restlichen Winkel jedes Teildreiecks zusammen einen rechten Winkel bilden. Kritisch ist die Stelle, wo drei rechtwinklige Dreiecke bereits zusammengesetzt sind und bewiesen werden muss, dass das vierte Dreieck wirklich eingepasst werden kann.

Quelle: Wittmann, E.: Vom Tangram zum Satz des Pythagoras. In: mathematik lehren (1997) H. 83. S. 18ff (leicht verndert).

Beweise des Satzes des Pythagoras: Anregungen fr den Unterrichtseinsatz

Variationen der Aufgabe:

(1) Einkleidung mit Tischdecken weglassen und rein geometrisch vorgehen. Mgliche Alternative fr Quadratverdopplung: Einkleidung als Amasis Problem (siehe folgende Seite).

(2) Arbeitsauftrag: Lege die weien und die schwarzen Puzzleteile jeweils zu Quadraten zusammen. Was fllt dir auf?Beim Legen sollte die Frage diskutiert werden, warum die Teile zusammenpassen mssen (gleiche Lngen und rechte Winkel).

(3) Die berschrift Und er sagte kein einziges Wort... ist irrefhrend, da sehr wohl einige Erluterungen erforderlich sind. So muss begrndet werden, warum die Hhe der schraffierten Flche (z.B. Bild 4) gerade gleich der Quadratseitenlnge ist.

Bemerkungen:

(2) Ein hnliches Puzzle und zwei weitere finden sich auch in den MAT(H)ERIALIEN 7-10 Geometrie, S. 115ff.

Weitere Beweise und viele andere wertvolle Hinweise finden sich bei: Fraedrich, A.M.: Die Satzgruppe des Pythagoras. BI-Wiss.-Ver., 1995 und Baptist, P: Pythagoras und kein Ende. Klett, 1998.

Das Thema Satz des Pythagoras bietet auch gute Mglichkeiten mehrere (voneinander unabhngige) Zugnge nacheinander zu bearbeiten. Neben dem Vorteil so verschiedenen Lerntypen gerecht werden zu knnen, besteht so auch die Mglichkeit, mehrere Beweise zu behandeln und diese miteinander zu vergleichen. Positive Rckmeldungen aus dem gymnasialen Bereich liegen bereits vor.

Vorschlag 11.7: Pyramiden

Wie viel Zeltstoff bentigt man fr die Herstellung des Zeltes?

Quellen: Abbildung rechts: Mathematik Heute 9 (1996), S.116 (leicht verndert),Abbildung unten: Wir basteln geometrische Krper, Verlag an der Ruhr, S. 31.

Pyramiden: Anregungen fr den Unterrichtseinsatz

Ziel:

Lngenberechnungen im Raum

Schulung des rumlichen Vorstellungsvermgen

Variationen der Aufgabe:

Schler entwickeln eigene Aufgabenstellungen.

(1) Wie kann man die Nahtzugabe bercksichtigen?

(2) Wie lang ist jeder der vier Zeltstbe?

Bezeichnungen am Pyramidenmodell weglassen und zusammen mit den Schlern geeignet beschriften (z.B. s, hs und h).

(Mgliche) Lsungen:

Stoffbedarf 15m2 (ohne Bercksichtigung der Bodenflche und einer Nahtzugabe)

(2) Lnge eines Zeltstabs: 2,92 m

Bemerkungen:

Die Pyramidenmodelle gibt es auch mit rechteckiger Grundflche (liegt im Modellversuchsraum vor)

(Noch) schnere Pyramidenmodelle gibt es z.B. bei: Arnulf Betzold GmbH, Lehrmittelverlag, Schulversand, 73479 Ellwangen, Tel.: 0130-73 45 41.

Informationen: Pyramiden (Bauwerke)

Monumentalbauten einiger frher Hochkulturen, die man in ihrer idealtypischen Form in gypten, aber ganz hnlich auch bei den Maya- und Azteken-Kulturen Mesoamerikas findet. Die Pyramiden des alten gypten stehen jedoch in keinem Bezug zu den Bauten in Mittel- und Sdamerika, obgleich es Theorien gab, die versuchten, aus der hnlichkeit ihrer Funktion gyptische Einflsse bei der Entstehung der Hochkulturen der Neuen Welt abzuleiten.

gypten

Die gyptischen Pyramiden entstanden seit der dritten Dynastie des Alten Reiches, etwa zwischen 2700 v.Chr. und 1000 v.Chr., als massiv ausgefhrte Grabbauten fr die Pharaonen und den damit verbundenen aufwendigen Totenkult. Ihre Errichtung war mit einem ungeheuren Aufwand an Arbeitskrften und Material verbunden, das Hantieren mit den gewaltigen Steinblcken kostete zahlreiche Menschenleben. Mit dem bergang in das Neue Reich wurden Felsengrber bevorzugt, doch Nubier und Ptolemer griffen diese Bauform allerdings in erheblich verkleinerten Ausfhrungen spter wieder auf.

Bestimmendes Merkmal der gyptischen Pyramiden ist eine streng geometrische Form (Pyramidenform) mit anfnglich rechteckiger, spter quadratischer Grundflche. Die vier dreieckigen Seitenflchen treffen sich in einer gemeinsamen Spitze. Die berhmteste und am besten erhaltene Pyramide, die im Gegensatz zur spteren klassischen Pyramidenform noch auf einer rechteckigen Grundflche errichtet wurde, ist die Stufenpyramide des Knigs Djoser in Sakkara bei Kairo aus der Zeit um 2700 v.Chr. Die ungewhnlichste Anlage findet sich bei Gise in der Nhe von Kairo. Die grte ihrer drei Pyramiden beherbergt die Grabkammer des Pharaos Cheops und wurde in der Antike zu den Sieben Weltwundern gezhlt. Diese so genannte Groe Pyramide war ursprnglich 147Meter hoch, ihr Grundriss ma etwa 230230Meter. Im Inneren der gyptischen Pyramiden befand sich meist ein labyrinthisches System aus verwinkelten Gngen, das den Zugang zu den mit reichhaltigen Schtzen ausgestatteten Grabkammern erschweren sollte. Nicht selten wurden auch Blindwege, Fallgruben und Geheimtren angelegt. Selbst die berlieferte Androhung eines Fluches, der ungebetene Besucher treffen sollte, konnte in den folgenden Jahrhunderten jedoch nicht verhindern, dass das wertvolle Innere der Pyramiden nahezu vollstndig ausgeplndert wurde. Nicht wenige der geraubten Kunstschtze landeten in europischen Museen.

Im Innern einer Pyramide

Die Grabkammern im Innern einer Pyramide enthielten den Sarkophag des Pharaos und reiche Grabbeigaben fr sein Leben nach dem Tod. Die Kammern befinden sich am Ende langer Korridore, die verschlossen werden konnten oder auch in einer Weise angelegt wurden, die Grabruber verwirren sollte. Dieser Schnitt durch die Groe Pyramide von Gise zeigt die Anordnung von Gngen und Grabkammern beispielhaft.

Quelle: Microsoft Encarta

Vorschlag 11.8: Krzeste Wege

Gegeben sei ein quaderfrmiger Krper mit a = 20cm, b = 10cm und c = 15 cm. Auf dem Eckpunkt S sitzt eine Spinne, auf F eine Fliege. Die Spinne will auf krzestem Weg - auf den Begrenzungsflchen des Krpers laufend - zur Fliege gelangen.

Quelle: Walsch, W: Aufgabenfamilien 9 /1/. In: MiS 33 (1995) H. 3, S. 142 (leicht verndert).

Krzeste Wege: Anregungen fr den Unterrichtseinsatz

Variationen der Aufgabe:

(1) Angenommen, die Kantenlngen seien verschieden und es gilt a > b > c. Wie ist dann der krzeste Weg?

(2) Zwei Kantenlngen seien gleich, etwa a = b.

(3) Alle Kantenlngen seien gleich a.

(4) bertragung auf Kreiskegel bzw. Kreiszylinder

(Mgliche) Lsungen:

Sicher muss man irgendwie schrg ber jeweils zwei Begrenzungsflchen laufen. Um die genaue Lage dieses Weges zu ermitteln, kann man die Seitenflchen geklappt vorstellen. Fr die Abbildung ergibt sich so:

(

)

cm

l

c

b

a

l

5

,

33

;

1

2

2

1

=

+

+

=

. Damit ist die Aufgabe aber noch nicht gelst, da die Spinne ja auch ber andere Begrenzungsflchen laufen kann. So findet man hier:

(

)

cm

l

b

c

a

l

4

,

36

;

2

2

2

2

=

+

+

=

und

(

)

cm

l

a

c

b

l

0

,

32

;

3

2

2

3

=

+

+

=

.

(1) Dann ist stets:

(

)

2

2

a

c

b

l

+

+

=

die Lnge des krzesten Wegs.

(2) Dann ist

a

c

c

a

l

>

+

=

wenn

,

4

2

2

1

bzw.

(

)

a

c

c

c

a

l