Lothar Papula Mathematik für Ingenieure und ... · Über 600 Aufgaben mit ausführlichen Lösungen ... Graphik & Text Studio Dr. Wolfgang Zettlmeier, Barbing ... A1 Zerlegen Sie

Lothar Papula

Mathematik fr Ingenieure und NaturwissenschaftlerKlausur- und bungsaufgabenber 600 Aufgaben mit ausfhrlichen Lsungen zum Selbststudium und zur Prfungsvorbereitung

3., durchgesehene und erweiterte Auflage

Mit 293 Abbildungen

STUDIUM

Bibliografische Information der Deutschen NationalbibliothekDie Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet ber abrufbar.

1. Auflage 20042., durchgesehene und erweiterte Auflage 20073., durchgesehene und erweiterte Auflage 2008

Alle Rechte vorbehalten Vieweg+Teubner |GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2008

Lektorat: Thomas Zipsner | Gabriele McLemore

Vieweg+Teubner ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media.www.viewegteubner.de

Das Werk einschlielich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschtzt. JedeVerwertung auerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohneZustimmung des Verlags unzulssig und strafbar. Das gilt insbesondere frVervielfltigungen, bersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherungund Verarbeitung in elektronischen Systemen.

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Technische Redaktion: Hartmut Khn von Burgsdorff, WiesbadenUmschlaggestaltung: KnkelLopka Medienentwicklung, HeidelbergBilder: Graphik & Text Studio Dr. Wolfgang Zettlmeier, BarbingSatz: Druckhaus Thomas Mntzer GmbH, Bad LangensalzaDruck und buchbinderische Verarbeitung: Tesnsk Tiskrna, a. s., TschechienGedruckt auf surefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier.Printed in Czech Republic

ISBN 978-3-8348-0609-3

Vorwort

Entwicklung und Erwerb der Fahigkeit, die im Grundstudium vermittelten mathematischen Kennt-nisse auf Problemstellungen aus Naturwissenschaft und Technik erfolgreich anwenden zu konnen,sind ein wesentliches Ziel der Grundausbildung und somit zugleich auch Voraussetzung fur ein er-folgreiches Studium. Dieses Ziel ist aber nur erreichbar durch standiges und intensives Training(ben), zumal die Defizite der Studienanfanger in den Grundlagenfachern wie Mathematik nach wievor enorm sind.

Die vorliegende Sammlung enthalt uber 600 ausfuhrlich und vollstandig geloste bungs- und Klau-suraufgaben und bietet dem Studienanfanger Hilfestellung und Unterstutzung auf dem Wege zumgenannten Ziel. Dieses Buch ermoglicht

als standiger Begleiter zur Vorlesung das intensive Einuben und Vertiefen des Vorlesungs-stoffes,

eine gezielte und optimale Vorbereitung auf die Prufungen und Klausuren des Grundstudiums und eignet sich in besonderem Mae zum Selbststudium.Die Losung der Aufgaben wird dabei Schritt fur Schritt vorgefuhrt, der Losungsweg ist damit leichtnachvollziehbar. Alle verwendeten Regeln werden genannt und erklart, wobei besondere Sorgfalt aufdie elementaren Rechenschritte gelegt wird. Denn die tagliche Arbeit mit den Anfangssemesternbringt es immer wieder zu Tage: Die groten Probleme treten meist im Bereich der Elementarma-thematik auf (Wer kann heutzutage noch fehlerfrei mit Logarithmen, Wurzeln und Potenzen umge-hen? Wie werden eigentlich Bruche addiert?). Daher werden in diesem Buch auch die beim Loseneiner Aufgabe auftretenden elementarmathematischen Probleme behandelt und alle notigen Rechen-schritte besprochen.

Welche Stoffgebiete wurden berucksichtigt?

Die Auswahl der Stoffgebiete ist auf die Mathematikvorlesungen im Grundstudium abgestimmt.Zahlreiche der uber 600 Aufgaben sind dabei anwendungsorientiert formuliert und beschreiben ein-fache Problemstellungen aus Naturwissenschaft und Technik. Berucksichtigt wurden folgende Gebiete:

Funktionen und Kurven Gewohnliche Differentialgleichungen Differentialrechnung Laplace-Transformationen (im Zusammenhang mit

linearen Differentialgleichungen) Integralrechnung Vektorrechnung Taylor- und Fourier-Reihen Lineare Algebra Partielle Differentiation

Mehrfachintegrale

Veranderungen gegenuber der 2. Auflage

Es wurden weitere Aufgaben aufgenommen.

V

Ein Wort des Dankes . . .

. . . an Frau Ivonne Voirin und Herrn Stefan Koob (beide studierten an der Fachhochschule Wiesba-den Maschinenbau) fur zahlreiche wertvolle Hinweise,

. . . an Herrn Ewald Schmitt vom Vieweg-Verlag fur die hervorragende Unterstutzung bei der Erstel-lung dieses Werkes,

. . . an Herrn Holzer und Herrn Wunderlich vom Druck- und Satzhaus Thomas Muntzer fur diesenausgezeichneten mathematischen Satz.

Wiesbaden, im Sommer 2008 Lothar Papula

Hinweise fur den Benutzer

Die bungs- und Klausuraufgaben sind kapitelweise durchnummeriert. Zu Beginn eines jeden Kapitels bzw. Abschnitts finden Sie Hinweise auf das Lehrbuch

Mathematik fur Ingenieure und Naturwissenschaftler (Band 13) sowie auf die Mathemati-sche Formelsammlung des Autors. Hier konnen Sie die zum Losen der Aufgaben benotigtenmathematischen Hilfsmittel nachlesen und gegebenenfalls nacharbeiten. Beachten Sie auch dieweiteren nutzlichen Informationen.

Die vollstandige Losung der jeweiligen Aufgabe finden Sie direkt im Anschluss an die Auf-gabenstellung. So wird lastiges Blattern vermieden.

Folgen Sie meiner Empfehlung:Versuchen Sie zunachst, die Aufgaben selbst zu losen (Losungsteil vorher abdecken). Skizzenerleichtern dabei in vielen Fallen den Losungsweg. Vergleichen Sie dann Ihre Losung mit derangegebenen Losung. Sollten Sie bei einem Zwischenschritt hangen bleiben, so greifen Sie aufdie vorgegebene Losung zuruck und versuchen einen neuen Start. Denn auch aus Fehlern lerntman.

Verwendete AbkurzungenBd. 1 ! Band 1 des Lehr- und Lernsystems Mathematik fur Ingenieure und Naturwissen-

schaftlerFS ! Mathematische FormelsammlungDgl ! DifferentialgleichungLGS ! Lineares Gleichungssystem

VI Hinweise fur den Benutzer

A Funktionen und Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1 Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 Gebrochenrationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Trigonometrische Funktionen und Arkusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4 Exponential- und Logarithmusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5 Hyperbel- und Areafunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6 Funktionen und Kurven in Parameterdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

7 Funktionen und Kurven in Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

B Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

1 Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611.1 Produktregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

1.2 Quotientenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

1.3 Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

1.4 Kombinationen mehrerer Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

1.5 Logarithmische Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

1.6 Implizite Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

1.7 Differenzieren in der Parameterform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

1.8 Differenzieren in Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

2 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 892.1 Einfache Anwendungen in Physik und Technik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

2.2 Tangente und Normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

2.3 Linearisierung einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

2.4 Krummung einer ebenen Kurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

2.5 Relative Extremwerte, Wende- und Sattelpunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

2.6 Kurvendiskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

2.7 Extremwertaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

2.8 Tangentenverfahren von Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

2.9 Grenzberechnung nach Bernoulli und de LHospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

C Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

1 Integration durch Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

2 Partielle Integration (Produktintegration) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

VII

Inhaltsverzeichnis

3 Integration einer echt gebrochenrationalen Funktiondurch Partialbruchzerlegung des Integranden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

4 Numerische Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

5 Anwendungen der Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

5.1 Flacheninhalt, Flachenschwerpunkt, Flachentragheitsmomente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

5.2 Rotationskorper

(Volumen, Mantelflache, Massentragheitsmoment, Schwerpunkt) . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

5.3 Bogenlange, lineare und quadratische Mittelwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

5.4 Arbeitsgroen, Bewegungen (Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung) . . . . . . . . . . 203

D Taylor- und Fourier-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

1 Potenzreihenentwickungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

1.1 Mac Laurinsche und Taylor-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

1.2 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

2 Fourier-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

E Partielle Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

1 Partielle Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

2 Differentiation nach einem Parameter (Kettenregel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

3 Implizite Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

4 Totales oder vollstandiges Differential einer Funktion

(mit einfachen Anwendungen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

5 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

5.1 Linearisierung einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

5.2 Lineare Fehlerfortpflanzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

5.3 Relative Extremwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

5.4 Extremwertaufgaben mit und ohne Nebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

F Mehrfachintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

1 Doppelintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

1.1 Doppelintegrale in kartesischen Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

1.2 Doppelintegrale in Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

2 Dreifachintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

2.1 Dreifachintegrale in kartesischen Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

2.2 Dreifachintegrale in Zylinderkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

VIII Inhaltsverzeichnis

G Gewohnliche Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357

1 Differentialgleichungen 1. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357

1.1 Differentialgleichungen mit trennbaren Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357

1.2 Integration einer Differentialgleichung durch Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365

1.3 Lineare Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375

1.4 Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381

1.5 Exakte Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393

2 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten . . . . . . . . . 401

2.1 Homogene lineare Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401

2.2 Inhomogene lineare Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405

3 Integration von Differentialgleichungen 2. Ordnung durch Substitution . . . . . . . . . . . 425

4 Lineare Differentialgleichungen hoherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten 429

4.1 Homogene lineare Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429

4.2 Inhomogene lineare Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433

5 Losung linearer Anfangswertprobleme mit Hilfe der Laplace-Transformation 440

5.1 Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten . . . . . . . 440

5.2 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten . . . . . . . 447

H Vektorrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452

1 Vektoroperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452

2 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465

I Lineare Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489

1 Matrizen und Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489

1.1 Rechenoperationen mit Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489

1.2 Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497

1.3 Spezielle Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511

2 Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531

3 Eigenwertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553

Inhaltsverzeichnis IX

A Funktionen und Kurven

Hinweise fur das gesamte Kapitel

Kurzen eines gemeinsamen Faktors wird durch Grauunterlegung gekennzeichnet.

1 Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen)

Hinweise

Lehrbuch: Band 1, Kapitel III.5

Formelsammlung: Kapitel III.4

A1

Zerlegen Sie die folgenden ganzrationalen Funktionen (Polynomfunktionen) in Linearfaktoren :

a) y 2 x 3 20 x 2 24 x 144b) y 2 x 4 12 x 3 44 x 30c) y 3 x 5 3 x 4 36 x 3 36 x 2 81 x 81d) y x 5 4 x 4 4 x 3 6 x 2 37 x 30

Losungsweg: Durch Probieren eine Nullstelle bestimmen, dann das Polynom mit Hilfe des Horner-Schemas reduzie-ren. Das Verfahren so lange wiederholen, bis man auf eine quadratische Gleichung stot, aus der man die restlichenNullstellen erhalt. Fehlen Potenzen (ist also das Polynom unvollstandig), so sind im Horner-Schema die entsprechendenKoeffizienten gleich Null zu setzen.

a) Eine Nullstelle liegt bei x 1 2; das Polynom ist vollstandig:

2 20 24 144x 1 2 4 48 144

2 24 72 0 ) 1. reduziertes Polynom: 2 x 2 24 x 72

Restliche Nullstellen: 2 x 2 24 x 72 0 j : 2 ) x 2 12 x 36 0 )

x 2=3 6 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi36 36p

6 ffiffiffi0p 6 0 6

Nullstellen: x 1 2 ; x 2 6 ; x 3 6

Produktform (Zerlegung in Linearfaktoren):

y 2 x 2 x 6 x 6 2 x 2 x 6 2

1

b) Eine Nullstelle liegt bei x 1 1; das Polynom ist unvollstandig (es fehlt das quadratische Glied):

2 12 0 44 30x 1 1 2 14 14 30

2 14 14 30 0 ) 1. reduziertes Polynom: 2 x 3 14 x 2 14 x 30

Eine weitere Nullstelle liegt bei x 2 1; das 1. reduzierte Polynom ist vollstandig :

2 14 14 30x 2 1 2 16 30


Restliche Nullstellen: 2 x 2 16 x 30 0 j : 2 ) x 2 8 x 15 0 )

x 3=4 4 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi16 15p

4 ffiffiffi1p 4 1 ) x 3 3 ; x 4 5

Nullstellen: x 1 1 ; x 2 1 ; x 3 3 ; x 4 5


y 2 x 1 x 1 x 3 x 5 2 x 1 2 x 3 x 5

c) Eine Nullstelle liegt bei x 1 1; das Polynom ist vollstandig:

3 3 36 36 81 81x 1 1 3 0 36 0 81

3 0 36 0 81 0 ) 1. reduziertes Polynom: 3 x 4 36 x 2 81

Die restlichen Nullstellen erhalten wir aus der bi-quadratischen Gleichung 3 x 4 36 x 2 81 0; die wir durchdie Substitution u x 2 wie folgt losen:

3 x 4 36 x 2 81 0 j : 3 ) x 4 12 x 2 27 0 ) u 2 12 u 27 0 )u 1=2 6

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi36 27p

6 ffiffiffi9p 6 3 ) u 1 9 ; u 2 3

Rucksubstitution: x 2 u 1 9 ) x 2=3 3 ; x 2 u 2 3 ) x 4=5 ffiffiffi3p

Nullstellen: x 1 1 ; x 2 3 ; x 3 3 ; x 4 ffiffiffi3p

; x 5 ffiffiffi3p


y 3 x 1 x 3 x 3 x ffiffiffi3p x

ffiffiffi3p

d) Eine Nullstelle liegt bei x 1 1 ; das Polynom ist vollstandig :

1 4 4 6 37 30x 1 1 1 3 1 7 30

1 3 1 7 30 0 ) 1. reduziertes Polynom:x 4 3 x 3 x 2 7 x 30

2 A Funktionen und Kurven

Eine weitere Nullstelle liegt bei x 2 2 ; das 1. reduzierte Polynom ist vollstandig:

1 3 1 7 30x 2 2 2 10 22 30

1 5 11 15 0 ) 2. reduziertes Polynom: x 3 5 x 2 11 x 15

Eine weitere Nullstelle liegt bei x 3 3 ; das 2. reduzierte Polynom ist vollstandig :

1 5 11 15

x 3 3 3 6 151 2 5 0 ) 3. reduziertes Polynom: x 2 2 x 5

Es gibt keine weiteren Nullstellen, da die Gleichung x 2 2 x 5 0 keine reellen Losungen hat. Der quadrati-sche Faktor x 2 2 x 5 lasst sich daher nicht weiter zerlegen.


y x 1 x 2 x 3 x 2 2 x 5

A2Wie lautet die Gleichung der in Bild A-1

skizzierten Polynomfunktion 3. Grades?

Bei x 1 3 liegt eine doppelte Nullstelle (relatives Minimum, Beruhrungspunkt), eine weitere einfache Nullstellegibt es bei x 2 (noch unbekannt, 0 < x 2 < 3). Wir verwenden den Produktansatz (Zerlegung in Linearfaktoren)

y a x 3 2 x x 2 mit a 6 0und bestimmen die noch unbekannten Konstanten a und x 2 aus der Schnittstelle der Kurve mit der y-Achse unddem Kurvenpunkt A wie folgt:

y x 0 36 ) a 3 2 x 2 9 a x 2 36 j : 9 ) I a x 2 4A 3 ; 72 ) a 3 3 2 3 x 2 36 a 3 x 2 72 j : 36 ) II a 3 x 2 2

Gleichung (I) in Gleichung (II) einsetzen:

II ) a 3 x 2 3 a a x 2|{z} 3 a 4 2 ) 3 a 6 ) a 2 4

I ) a x 2 4 ) 2 x 2 4 ) x 2 2

Ergebnis: y 2 x 3 2 x 2 2 x 2 6 x 9 x 2 2 x 3 6 x 2 9 x 2 x 2 12 x 18 2 x 3 4 x 2 3 x 18

1 Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen) 3

y

x

3

3

72 A

36

Bild A-1

A3

y 2 x 3 12 x 2 19 x 9

a) Zeigen Sie mit Hilfe einer Koordinatentransformation , dass diese ganzrationale Funktion bezuglich des

Kurvenpunktes A 2 ; 3 punktsymmetrisch verlauft.b) Wo liegen die Nullstellen?

c) Wie lautet die Produktdarstellung?

a) Wir fuhren eine Parallelverschiebung des x; y-Koordinatensystems durch und wahlen dabei den Punkt A als Null-punkt des neuen u; v-Koordinatensystems. Die Transformationsgleichungen konnen wir an Hand einer Skizze direktablesen (Bild A-2):

u x 2 ; v y 3bzw.

x u 2 ; y v 3

Gleichung der Polynomfunktion im neuen u; v-System x durch u 2 ; y durch v 3 ersetzen :y 2 x 3 12 x 2 19 x 9 )

v 3 2 u 2 3 12 u 2 2 19 u 2 9 2 u 3 6 u 2 12 u 8 12 u 2 4 u 4 19 u 38 9 2 u 3 12 u 2 24 u 16 12 u 2 48 u 48 19 u 29 2 u 3 5 u 3

Ergebnis: v f u 2 u 3 5 uDiese Funktion enthalt nur ungerade Potenzen (ungerade Funktion) und verlauft somit punktsymmetrisch :

f u 2 u 3 5 u 2 u 3 5 u 2 u 3 5 u|fflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflffl} f uf u

b) Durch Probieren finden wir eine Nullstelle bei x 1 1 : Mit dem Horner-Schema erhalten wir das 1. reduziertePolynom und daraus die restlichen Nullstellen:

2 12 19 9

x 1 1 2 10 92 10 9 0 ) 1. reduziertes Polynom: 2 x 2 10 x 9

Restliche Nullstellen: 2 x 2 10 x 9 0 j : 2 ) x 2 5 x 4;5 0 )

x 2=3 2;5 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi6;25 4;5

p 2;5

ffiffiffiffiffiffiffiffiffi1;75

p 2;5 1;3229 ) x 2 1;1771 ; x 3 3;8229

Nullstellen: x 1 1 ; x 2 1;1771 ; x 3 3;8229

c) Produktdarstellung: y 2 x 1 x 1;1771 x 3;8229


A

0

P

v

v

xx

y

yu

u

2

3

2

3

Bild A-2

A4Die Flugbahn eines Geschosses laute wie folgt:

y 158x 2 100 x 416 x; y in m

(Abschussort: x 0 . Bestimmen Sie Flugweite W und Steighohe (maximale Hohe) H .

Die Flugbahn ist eine nach unten geoffnete Parabel (Bild A-3). Wir berechnen zunachst die Nullstellen und den Schei-telpunkt S x 0; y 0 der Parabel und daraus dann die gesuchten Groen.

Nullstellen: y 0 )x 2 100 x 416 0 )

x 1=2 50 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2500 416

p 50

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2916

p 50 54

x 1 4 ; x 2 104

Flugweite: W x 2 104 in m

Die Steighohe H ist die Ordinate y 0 des Scheitelpunktes S ,der genau in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen liegt:

x 0 x 1 x 22

4 1042

50 in m

H y 0 y x 0 50 15850 2 100 50 416 50;28 in m

A5 Welche zur y-Achse spiegelsymmetrische Polynomfunktion 6. Grades besitzt bei x 1 2 ; x 2 3 undx 3 5 jeweils (einfache) Nullstellen und schneidet die y-Achse an der Stelle y 0 450?

Wegen der Spiegelsymmetrie konnen nur gerade Potenzen auftreten, die gesuchte Funktion hat also die Form

y a x 6 b x 4 c x 2 dZu jedem Kurvenpunkt gibt es ein Spiegelbild . Dies gilt auch fur die Nullstellen , d. h. es gibt weitere Nullstellen beix 4 2, x 5 3 und x 6 5. Damit kennen wir samtliche Nullstellen der noch unbekannten Polynomfunktion6. Grades. Sie lauten also (in neuer paarweiser Nummerierung):

x 1=2 2 ; x 3=4 3 ; x 5=6 5

Als Losungsansatz fur die Funktionsgleichung verwenden wir jetzt zweckmaigerweise den Produktansatz (mit a 6 0 :y a x 2 x 2|fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} x 3 x 3|fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} x 5 x 5|fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} a x 2 4 x 2 9 x 2 25

x 2 4 x 2 9 x 2 25

Die Berechnung von a erfolgt aus der Schnittstelle mit der y-Achse:

y 0 450 ) a 4 9 25 900 a 450 ) a 0;5

Ergebnis: y 0;5 x 2 4 x 2 9 x 2 25 0;5 x 4 4 x 2 9 x 2 36 x 2 25 0;5 x 4 13 x 2 36 x 2 25 0;5 x 6 13 x 4 36 x 2 25 x 4 325 x 2 900 0;5 x 6 38 x 4 361 x 2 900 0;5 x 6 19 x 4 180;5 x 2 450


Flugbahn

Abschussort

x1 x2x0 x

Sy

y0H

W

Bild A-3

A6

Kennlinie einer Gluhlampe

Eine Gluhlampe stellt einen nichtlinearen elektrischen Widerstand dar. Aus einer Messung sind die folgen-

den Strom-Spannungs-Wertepaare bekannt ( I : Stromstarke in Ampere; U : Spannung in Volt):

I /A 0 0,1 0,2 0,5

U /V 0 21,0 48,0 225,0

a) Bestimmen Sie aus diesen Messwerten ein Naherungspolynom 3. Grades fur die unbekannte Kennlinie

U f I der Gluhlampe.b) Welcher Spannungsabfall ist bei einer Stromstarke von I 0;3 A zu erwarten?Anleitung: Verwenden Sie die Interpolationsformel von Newton (! Band 1, Kap. III.5.6 und FS,

Kap. III.4.7.3)

a) Interpolationsformel von Newton :

U f I a 0 a 1 I I 0 a 2 I I 0 I I 1 a 3 I I 0 I I 1 I I 2 a 0 a 1 I 0 a 2 I 0 I 0;1 a 3 I 0 I 0;1 I 0;2 a 0 a 1 I a 2 I I 0;1 a 3 I I 0;1 I 0;2

Berechnung der Koeffizienten a 0; a 1; a 2 und a 3 aus dem Steigungs- oder Differenzenschema :

k I k U k

0

1

2

3

0

0,1

0,2

0,5

a 0

0

21

48

225

a 1

210

270

590

a 2

300

800

a 3

1000

Somit:

a 0 0 ; a 1 210 ;a 2 300 ; a 3 1000

Naherungspolynom 3. Grades fur die unbekannte Kennlinie U f I :U f I 0 210 I 300 I I 0;1 1000 I I 0;1 I 0;2 210 I 300 I 2 30 I 1000 I I 2 0;1 I 0;2 I 0;02 180 I 300 I 2 1000 I I 2 0;3 I 0;02 180 I 300 I 2 1000 I 3 300 I 2 20 I 200 I 1000 I 3

Unter Berucksichtigung der Einheiten:

U f I 200 VA I 1000 V

A3 I 3

(siehe Bild A-4)

Anmerkung: Es ist kein Zufall, dass der Zusammenhang zwischenSpannung und Stromstarke punktsymmetrisch ist (nur ungeradePotenzen). Denn: Bei einer nderung der Stromrichtung andertsich lediglich die Richtung der abfallenden Spannung!

b) U f I 0;3 A 200 VA 0;3 A 1000 V

A 3 0;3 A 3

60 V 27 V 87 V


250

200

150

100

50

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 I/A

U/V

Bild A-4

A7

Biegelinie eines Tragers

Ein im Punkt A eingespannter Trager mit einem

zusatzlichen Gelenklager (Punkt B) wird durch eine

konstante Streckenlast q belastet (Bild A-5). Die

Biegelinie lasst sich dabei durch die folgende Polynom-

funktion 4. Grades beschreiben (y ist die Durchbiegung

an der Stelle x):

y x q l3

48E I x 1 3 x

l

2 2 x

l

3" #

(0 x l; l : Lange des Tragers; E I : Biegesteifigkeit).

An welchen Stellen des Tragers findet keine Durchbiegung statt, wo ist die grote Durchbiegung?

Skizzieren Sie den Verlauf der Biegelinie (Wertetabelle erstellen).

Hinweis: Die Stelle der groten Durchbiegung lasst sich exakt nur mit Hilfe der Differentialrechnung

bestimmen.

Zur Vereinfachung fuhren wir eine neue Variable u x = l mit 0 u 1 ein. Die Gleichung der Biegelinie lautetdann (wir erweitern zunachst mit l ):

y x q l3

48E I x 1 3 x

l

2 2 x

l

3" # q l

4

48E I x

l

1 3 x

l

2 2 x

l

3" #)

y u K u 1 3 u 2 2 u 3 K u 2 u 3 3 u 2 1 mit K q l4

48E I> 0 und 0 u 1

Berechnung der Nullstellen im Intervall 00 u 1Aus physikalischen Grunden ist einleuchtend, dass in den Randpunkten A und B keine Durchbiegung stattfindenkann. Somit sind u 1 0 und u 2 1 Nullstellen der Biegelinie. Samtliche Nullstellen erhalt man aus der Glei-chung y u 0 , d. h.

K u 2 u 3 3 u 2 1 0u 0 ) u1 02 u 3 3 u 2 1 0

u 1 0 ist dabei die (bereits bekannte) Losung der linearen Gleichung u 0 , u 2 1 eine Losung der kubischenGleichung 2 u 3 3 u 2 1 0 (ebenfalls schon bekannt). Die restlichen Losungen der kubischen Gleichung erhal-ten wir mit Hilfe des Horner-Schemas durch Reduzierung des Polynoms 2 u 3 3 u 2 1 (Abspaltung des Linearfak-tors u 1; das Polynom ist unvollstandig):

2 3 0 1u 2 1 2 1 1

2 1 1 0 ) 1. reduziertes Polynom: 2 u 2 u 1

Restliche Nullstellen: 2 u 2 u 1 0 j : 2 ) u 2 0;5 u 0;5 0 )

u 3=4 0;25 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi0;0625 0;5

p 0;25

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi0;5625

p 0;25 0;75 ) u 3 1 ; u 4 0;5

Am Ort der Einspannung (Punkt A) liegt somit eine doppelte Nullstelle u 2=3 1 , der Wert u 4 0;5 dagegenhat keine physikalische Bedeutung (er liegt auerhalb des Tragers).

Folgerung: Zwischen den Randpunkten A und B des Tragers gibt es keine weiteren Stellen ohne Durchbiegung.


q = const.

Trger

Biegelinie

AB

y l

x

Bild A-5

Ort der maximalen Durchbiegung

Eine exakte Berechnung dieser Stelle ist nur mit Hilfe der Differentialrechnung uber die 1. und 2. Ableitung der Biege-linie moglich:

y K 2 u 4 3 u 3 u ) y 0 K 8 u 3 9 u 2 1 ; y 00 K 24 u 2 18 uAus der notwendigen Bedingung y 0 0 erhalten wir eine kubische Gleichung, von der wir bereits eine Losungkennen (namlich u 1 1 ; an dieser Stelle besitzt die Biegelinie bekanntlich eine doppelte Nullstelle!) :

y 0 0 ) K 8 u 3 9 u 2 1 0 j : K ) 8 u 3 9 u 2 1 0Die restlichen Losungen dieser Gleichung bestimmen wir mit Hilfe des Horner-Schemas (Abspalten des Linearfaktorsu 1; das Polynom ist unvollstandig):

8 9 0 1u 1 1 8 1 1

8 1 1 0 ) 1. reduziertes Polynom: 8 u 2 u 1

Restliche Nullstellen: 8 u 2 u 1 0 j : 8 ) u 2 18u 1

8 0 )

u 2=3 116

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi1

16 2 1

8

r 1

16

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi1 3216 2

r 1

16

ffiffiffiffiffiffiffiffiffi33

16 2

r 1

ffiffiffiffiffi33p

16 1 5;7446

16)

u 2 0;4215 ; u 3 0;2965 < 0 ohne physikalische Bedeutung

Umformungen: Bruche des Radikanden gleichnamig machen (Hauptnenner: 16 2), den 2. Bruch also mit 2 16 32erweitern, dann Teilwurzeln ziehen.

Wegen y 00 u 2 0;4215 K 3;3231 3;3231K < 0 liegt ein Maximum vor. Die grote Durch-biegung findet daher an der Stelle u 2 0;4215 und somit x 2 0;4215 l statt. Sie hat den Werty u 2 0;4215 0;2600K. An der Stelle u 1 1 (Punkt A) liegt ein Minimum (keine Durchbiegung).Der Kurvenverlauf (ermittelt mit Hilfe der folgenden Wertetabelle) bestatigt diese Ergebnisse (Bild A-6).

Wertetabelle (ohne den Faktor K > 0

u 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

y 0 0,097 0,179 0,235 0,259 0,25 0,211 0,151 0,083 0,025 0


0,5 1 u

0,4215

y

Biegelinie

Bild A-6

2 Gebrochenrationale Funktionen

Hinweise

Lehrbuch: Band 1, Kapitel III.6

Formelsammlung: Kapitel III.5

A8y x 1 x 5x 1 2 x 3

Bestimmen Sie folgende Eigenschaften: Definitionslucken, Nullstellen, Pole, Asymptoten, Schnittpunkt

mit der y-Achse. Skizzieren Sie den Kurvenverlauf.

Definitionslucken: Nenner 0 ) x 1 2 x 3 0 ) x 1 ; x 3

Nullstellen: Zahler 0 , Nenner 6 0 ) x 1 x 5 0 ) x 1 1 ; x 2 5

Pole: Nenner 0 , Zahler 6 0 ) x 1 2 x 3 0 ) x 3=4 1 ; x 5 3Bei 1 liegt ein Pol ohne Vorzeichenwechsel, bei 3 ein solcher mit Vorzeichenwechsel.

Polgeraden (senkrechte Asymptoten): x 1 ; x 3

Verhalten der Funktion im Unendlichen

Die Funktion ist echt gebrochen (Zahler: quadratisch, Nenner: kubisch), sie nahert sich daher fur x ! 1 asympto-tisch der x-Achse y 0 .

Asymptote im Unendlichen: y 0

Schnittpunkt mit der y-Achse: y 0 1 51 2 3 5

3

Kurvenverlauf: siehe Bild A-7

Die Kurve nahert sich fur x ! 1 von unten der x-Achse, links von der Nullstelle x 2 5 besitzt sie dahernoch ein relatives Minimum (die genaue Lage lasst sich nur mit Hilfe der Differentialrechnung bestimmen).

2 Gebrochenrationale Funktionen 9

2

1

1

2

8 6 4 2 1 2 4 6 x

x = 1 x = 3

5/3

y

Bild A-7

A9

Diskutieren Sie den Verlauf der gebrochenrationalen Funktion

y 2 x4 2 x 3 20 x 2 8 x 48

x 3 x 2 4 x 4

(Definitionslucken, Nullstellen, Pole, Asymptoten, Schnittpunkt mit der y-Achse). Gibt es hebbare Defini-

tionslucken? Wie lautet gegebenenfalls die erweiterte Funktion? Skizzieren Sie den Kurvenverlauf.

Sinnvoller Weise zerlegen wir zunachst Zahler und Nenner in Linearfaktoren.

Zahler: Z x 2 x 4 2 x 3 20 x 2 8 x 48 0Durch Probieren findet man die Losung x 1 2, mit dem Horner-Schema wird dann reduziert :

2 2 20 8 48x 1 2 4 4 32 48

2 2 16 24 0 ) 1. reduziertes Polynom: 2 x 3 2 x 2 16 x 24

Eine weitere Nullstelle liegt bei x 2 3:

2 2 16 24x 2 3 6 24 24


Restliche Zahlernullstellen: 2 x 2 8 x 8 0 j : 2 ) x 2 4 x 4 x 2 2 0 ) x 3=4 2Zahler: Z x 2 x 4 2 x 3 20 x 2 8 x 48 2 x 2 x 3 x 2 2

Nenner: N x x 3 x 2 4 x 4 0Durch Probieren erhalt man die Losung x 1 1, mit dem Horner-Schema wird reduziert :

1 1 4 4x 1 1 1 0 4

1 0 4 0 ) 1. reduziertes Polynom: x 2 4

Restliche Nennernullstellen: x 2 4 0 ) x 2 4 ) x 2=3 2Nenner: N x x 3 x 2 4 x 4 x 1 x 2 x 2Die (unecht) gebrochenrationale Funktion lasst sich damit auch wie folgt darstellen:

y 2 x4 2 x 3 20 x 2 8 x 48

x 3 x 2 4 x 4 2 x 2 x 3 x 2 2x 1 x 2 x 2 x 6 1; 2; 2

Es gibt drei Definitionslucken bei 1, 2 und 2 (dort wird der Nenner jeweils gleich Null). Zahler und Nennerhaben bei x 2 und x 2 gemeinsame Nullstellen, diese Definitionslucken sind jedoch beide behebbar, da diejeweiligen Grenzwerte vorhanden sind:

limx! 2

2 x 2 x 3 x 2 2x 1 x 2 x 2 limx! 2

2 x 3 x 2 2x 1 x 2

2 1 4 23 4

8

3

limx!2

2 x 2 x 3 x 2 2x 1 x 2 x 2 limx! 2

2 x 2 x 3 x 2 x 2x 1 x 2 x 2

limx!2

2 x 2 x 3 x 2x 1 x 2

2 4 5 0 1 4 0


Erweiterte Funktion und ihre Eigenschaften

Die erweiterte Funktion y * erhalten wir durch kurzen der gemeinsamen Faktoren:

y 2 x 2 x 3 x 2 x 2x 1 x 2 x 2 ! y* 2 x 3 x 2

x 1 x 6 1

Wir bestimmen zunachst die Eigenschaften dieser Funktion.

Definitionsbereich: x 6 1

Nullstellen: x 3 x 2 0 ) x 1 3 ; x 2 2

Pole: x 1 0 ) x 3 1 (Pol mit Vorzeichenwechsel)

Polgerade (senkrechte Asymptote): x 1

Verhalten im Unendlichen

Die Funktion ist unecht gebrochenrational (Grad des Zahlers > Grad des Nenners). Wir zerlegen sie durch Polynom-division wie folgt:

y * 2 x 3 x 2x 1

2 x 2 3 x 2 x 6x 1

2 x 2 x 6x 1

2 x 2 2 x 12x 1

y * 2 x 2 2 x 12 : x 1 2 x 4 8x 1|fflffl{zfflffl}2 x 2 2 x

4 x 12 echt gebrochen 4 x 4

8Fur groe x-Werte (d. h. fur x ! 1) wird der echt gebrochenrationale Anteil vernachlassigbar klein (er strebtgegen Null). Unsere Kurve nahert sich daher im Unendlichen asymptotisch der Geraden y 2 x 4.

Asymptote im Unendlichen: y 2 x 4

Schnittpunkt mit der y-Achse: y x 0 12


Gezeichnet ist die erweiterte Funktion; nimmt man die beiden dick gekennzeichneten Punkte heraus, erhalt man denVerlauf der Ausgangsfunktion (Definitionslucken bei 1, 2 und 2).


x = 1

20

10

1012

20

5 2

1 2

3 5

y x= 2 4

y

xBild A-8

A10

Bestimmen Sie den Verlauf der gebrochenrationalen Funktion

y 2 x2 6 x 9x 3 2 x 6 3

aus den Null- und Polstellen, den Asymptoten und dem Schnittpunkt mit der y-Achse.

Wir zerlegen zunachst den Zahler Z x in Linearfaktoren: Z x 2 x 2 6 x 9 2 x 3 2 . Somit gilt :

y 2 x2 6 x 9x 3 2

2 x 3 2x 3 2 x 6 3

Wir stellen fest: Zahler und Nenner haben keine gemeinsamen Nullstellen. Damit ergeben sich folgende Funktions-eigenschaften:

Nullstellen: Z x 2 x 3 2 0 ) x 1=2 3(doppelte Nullstelle, d. h. Beruhrungspunkt und relativer Extremwert)

Pole: N x x 3 2 0 ) x 3=4 3 (Pol ohne Vorzeichenwechsel)

Polgerade (senkrechte Asymptote): x 3


Die Funktion ist unecht gebrochenrational Z x und N x sind jeweils Polynome 2. Grades), wir mussen sie daherzunachst durch Polynomdivision zerlegen:

y 2 x 32

x 3 2 2 x 2 6 x 9x 3 2

2 x 2 12 x 18x 2 6 x 9

y 2 x 2 12 x 18 : x 2 6 x 9 2 24 xx 2 6 x 9|fflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl}2 x 2 12 x 18

24 x echt gebrochen

Im Unendlichen, d. h. fur x ! 1 verschwindet der echt gebrochenrationale Anteil und die Kurve nahert sichasymptotisch der Geraden y 2 (Parallele zur x-Achse).Asymptote im Unendlichen: y 2Schnittpunkt mit der y-Achse: y x 0 2



x = 3

y = 2

y

x15 10 3 3 10 15

2

20

10

Bild A-9

A11

Diskutieren Sie den Verlauf der gebrochenrationalen Funktion

y x 12 x 2 x 2

x 3 5 x 2 6 x(Definitionslucken, Null- und Polstellen, Asymptoten, Schnittpunkt mit der y-Achse). Prufen Sie, ob es

hebbare Definitionslucken gibt und skizzieren Sie die Funktion bzw. die erweiterte Funktion.

Wir zerlegen zunachst Zahler Z x und Nenner N x in Linearfaktoren :

Zahler: Z x x 1 2 x 2 x 2 0Faktor x 2 x 2 in Linearfaktoren zerlegen:

x 2 x 2 0 ) x 1=2 0;5 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi0;25 2

p 0;5


p 0;5 1;5 )

x 1 1 ; x 2 2Z x x 1 2 x 2 x 2 x 1 2 x 1 x 2

N x x 3 5 x 2 6 x 0 ) x x 2 5 x 6 0x 0 ) x 1 0x 2 5 x 6 0

Nenner:

x 2 5 x 6 0 ) x 2=3 2;5 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi6;25 6

p 2;5


p 2;5 0;5 )

x 2 2 ; x 3 3N x x 3 5 x 2 6 x x 0 x 2 x 3 x x 2 x 3

Somit gilt:

y x 12 x 2 x 2

x 3 5 x 2 6 x x 1 2 x 1 x 2

x x 2 x 3Definitionslucken liegen bei 0, 2 und 3. Da Zahler und Nenner an der Stelle x 2 eine gemeinsame ein-fache Nullstelle haben, ist der Grenzwert an dieser Stelle jedoch vorhanden:

limx!2

x 1 2 x 1 x 2x x 2 x 3 limx!2

x 1 2 x 1x x 3

1 2 3 2 1

3

2

Die Definitionslucke bei x 2 lasst sich daher beheben , in dem wir nachtraglich diesen Grenzwert zum Funktions-wert an der Stelle x 2 erklaren. Wir erhalten dann die erweiterte Funktion

y * x 12 x 1

x x 3 x 6 0 ; 3

(sie entsteht aus der Ausgangsfunktion durch Kurzen des gemeinsamen Faktors x 2). Diese Funktion besitzt nurnoch zwei Definitionslucken bei 0 und 3. Wir ermitteln nun die Eigenschaften der erweiterten Funktion y *.

Definitionslucken: x 0 ; x 3

Nullstellen: Z x x 1 2 x 1 0 ) x 1=2 1 ; x 3 1Die doppelte Nullstelle x 1=2 1 ist zugleich ein Beruhrungspunkt mit der x-Achse und somit ein relativer Extrem-wert .

Pole: N x x x 3 0 ) x 4 0 ; x 5 3 (bei Pole mit Vorzeichenwechsel)

Polgeraden (senkrechte Asymptoten): x 0 y-Achse ; x 3



Die Funktion ist unecht gebrochenrational (Grad des Zahlers > Grad des Nenners), wir zerlegen sie daher zunachst mitHilfe der Polynomdivision in einen ganzrationalen und einen echt gebrochenrationalen Anteil :

y * x 12 x 1

x x 3 x 2 2 x 1 x 1

x 2 3 x x 3 2 x 2 x x 2 2 x 1

x 2 3 x x 3 x 2 x 1

x 2 3 x

y * x 3 x 2 x 1 : x 2 3 x x 2 5 x 1x 2 3 x|fflfflfflfflffl{zfflfflfflfflffl}x 3 3 x 2

2 x 2 x 1 echt gebrochen 2 x 2 6 x

5 x 1

Fur x ! 1 verschwindet der echt gebrochenrationale Anteil, die Kurve nahert sich dann asymptotisch der Geradeny x 2.

Asymptote im Unendlichen: y x 2

Schnittpunkt mit der y-Achse: nicht vorhanden (Polstelle bei x 0

Funktionsverlauf: siehe Bild A-10

Gezeichnet wurde die erweiterte Funktion y *.Die Ausgangsfunktion y hat an der fett gezeich-neten Stelle x 2 eine weitere Definitions-lucke, ansonsten aber den gleichen Verlauf wie dieerweiterte Funktion.

A12

Eine gebrochenrationale Funktion besitzt an den Stellen x 1 2 und x 2 5 einfache Nullstellenund bei x 3 0 und x 4 6 Pole 1. Ordnung. Fur groe x-Werte, d. h. fur x ! 1 nahert siesich asymptotisch der Geraden y 2. Durch welche Gleichung lasst sich diese Funktion beschrei-ben? Skizzieren Sie den Kurvenverlauf.

Die Nullstellen der gesuchten Funktion sind die Nullstellen des Zahlerpolynoms Z x, die Pole die Nullstellen desNennerpolynoms N x (gemeinsame Nullstellen gibt es nicht). Wir wahlen daher fur Zahler und Nenner den Produkt-ansatz :

y Z xN x

a x 2 x 5x 0 x 6

a x 2 x 5x x 6 x 6 0 ; 6

Die Asymptote im Unendlichen, deren Gleichung bekannt ist y 2 , erhalt man durch Polynomdivision. Sieentspricht dabei dem ganzrationalen Anteil, der bei dieser Division entsteht:

y a x 2 x 5x x 6

a x 2 2 x 5 x 10x 2 6 x a

x 2 3 x 10x 2 6 x


10

5

5

10x = 3

y x= 2

8 6 4 2 1 2 4 x

y

Bild A-10

Polynomdivision (der Faktor a 6 0 wird zunachst weggelassen):

x 2 3 x 10 : x 2 6 x 1 3 x 10x 2 6 xx 2 6 x

3 x 10Damit erhalten wir die folgende Zerlegung:

y a x2 3 x 10x 2 6 x a 1

3 x 10x 2 6 x

|fflfflfflfflffl{zfflfflfflfflffl}

echt gebrochen

Im Unendlichen verschwindet der echt gebrochenrationale Anteil und die Funktion nahert sich asymptotisch derGeraden y a (Parallele zur x-Achse). Sie ist identisch mit der Geraden y 2, woraus folgt: a 2. Diegesuchte Funktionsgleichung lautet somit:

y 2 x 2 x 5x x 6

2 x 2 3 x 10x 2 6 x x 6 0 ; 6


A13

Eine gebrochenrationale Funktion besitze folgende Eigenschaften:

Doppelte Nullstelle bei x 1=2 2 ;Einfache Polstellen bei x 3 4; x 4 0 und x 5 10 ;Punkt P 1; 0;2 liegt auf der Kurve.

a) Wie lautet die Funktionsgleichung?

b) Skizzieren Sie den Kurvenverlauf.

a) Die Nullstellen der gesuchten Funktion sind die Nullstellen des Zahlerpolynoms, die Polstellen dagegen die Null-stellen des Nennerpolynoms. Die Linearfaktorenzerlegung von Zahler und Nenner ist somit (bis auf einen nochunbekannten Faktor a 6 0) bekannt. Wir wahlen daher den folgenden Ansatz (Zahler und Nenner jeweils in derProduktform):

y a x 2 x 2x 4 x 0 x 10 a x 2 2

x x 4 x 10 x 6 4 ; 0 ; 10

Die Konstante a bestimmen wir aus dem Kurvenpunkt P 1 ; 0;2 :

y x 1 0;2 ) a 12

1 5 9 0;2 ) 1

45a 0;2 ) a 9

y 9 x 22

x x 4 x 10Funktionsgleichung:


y

x

x = 6

2 4 5 6 8 10

10/3

6

4

2

2

4

6

6 4

2

y = 2

x = 0

Bild A-11

b) Nullstellen: x 1=2 2 (Beruhrungspunkt und relativer Extremwert)Pole: x 3 4 ; x 4 0 ; x 5 10 (alle mit Vorzeichenwechsel)Asymptote im Unendlichen: y 0 (die Funktion ist echt gebrochenrational)Schnittpunkt mit der y-Achse: nicht vorhanden (Polstelle bei x 0Kurvenverlauf: siehe Bild A-12

Es ist hier sinnvoll, einige Kurvenpunkte zu berechnen (insbesondere im Intervall 4 < x < 0 wissen wir weniguber den Verlauf der Kurve).

Wertetabelle:

x y

10 1;08 8 1;56 5 5;88 3 5;77 2 3 1 2;45

1 0;2

5 0;36

8 1;69

9 3;77

11 4;4215 1;0720 0;61

A14

Eine gebrochenrationale Funktion y Z x =N x schneide die y-Achse bei 3. Samtliche Nullstellendes Zahlerpolynoms Z x und des Nennerpolynoms N x sind bekannt:

Z x : x 1 2 ; x 2 1 ; N x : x 3=4 1 ; x 5 4a) Bestimmen Sie die Gleichung dieser Funktion und skizzieren Sie den Kurvenverlauf.

b) Wie lautet die Partialbruchzerlegung der Funktion?

a) Zahler und Nenner konnen in der Produktform angesetzt werden, da alle Nullstellen des Zahler- und Nennerpoly-noms bekannt sind:

y a x 2 x 1x 1 x 1 x 4 a x 2 x 1x 1 2 x 4 x 6 1 ; 4

Die Berechnung der Konstanten a 6 0 erfolgt aus dem (bekannten) Schnittpunkt mit der y-Achse:

y x 0 3 ) a 2 1 1 2 4 2 a 4

a

2 3 ) a 6

Funktionsgleichung : y 6 x 2 x 1x 1 2 x 4 x 6 1 ; 4

Eigenschaften der Funktion

Nullstellen: x 1 2 ; x 2 1Pole: x 3=4 1 (Pol ohne Vorzeichenwechsel); x 5 4 (Pol mit Vorzeichenwechsel)Polgeraden (senkrechte Asymptoten): x 1 ; x 4


6

4

2

2

4

6

2 4 8 12

16

8 4

x = 10

x

y

x = 4

Bild A-12

Asymptote im Unendlichen: y 0 (die Funktion ist echt gebrochenrational)Schnittpunkt mit der y-Achse: y x 0 3Kurvenverlauf: siehe Bild A-13

Wertetabelle:

x y

10 0;38 8 0;43 6 0;49 4 0;54 2 0;44

3 65 6;75

10 1;09

b) 1. Schritt: Berechnung der Nennernullstellen

N x x 1 2 x 4 0 ) x 1=2 1 ; x 3 42. Schritt: Zuordnung der Partialbruche

x 1=2 1 doppelte Nullstelle ! Ax 1 B

x 1 2

x 3 4 einfache Nullstelle ! Cx 4

3. Schritt: Partialbruchzerlegung (Ansatz)

6 x 2 x 1x 1 2 x 4

A

x 1 B

x 1 2 C

x 44. Schritt: Alle Bruche werden gleichnamig gemacht, d. h. auf den Hauptnenner x 1 2 x 4 gebracht.Dazu mussen die Teilbruche der rechten Seite der Reihe nach mit x 1 x 4, x 4 bzw. x 1 2erweitert werden:

6 x 2 x 1x 1 2 x 4

A x 1 x 4 B x 4 C x 1 2x 1 2 x 4

Da die Nenner beider Seiten ubereinstimmen, gilt dies auch fur die Zahler:

6 x 2 x 1 A x 1 x 4 B x 4 C x 1 2

Um die drei Konstanten A; B und C zu bestimmen, benotigen wir drei Gleichungen. Diese erhalten wir durchEinsetzen der Werte x 1; x 4 (es sind die Nullstellen des Nenners) und x 0:

x 1 6 1 2 3B ) 3B 12 ) B 4

x 4 6 2 5 9C ) 9C 60 ) C 609 20

3

x 0 6 2 1 A 1 4 4B C ) 4A 4B C 4A 4 4 203 12 )

4A 12 16 203 4 20

3 12 20

3 8

3) A 2

3

Ergebnis: y 6 x 2 x 1x 1 2 x 4 2

3 1x 1

4

x 1 2 20

3 1x 4


10

5

3

5

10

6 4 2 1 2 4 6 8 x

y

x = 4

x = 1

Bild A-13

Magnetfeld in der Umgebung einer stromdurchflossenen elektrischen Doppelleitung

Die in Bild A-14 skizzierte elektrische Doppelleitung besteht aus zwei langen parallelen Leitern, deren

Durchmesser gegenuber dem Leiterabstand d 2 a vernachlassigbar klein ist. Die Strome in denbeiden Leitern L 1 und L 2 haben die gleiche Starke I, flieen jedoch in entgegengesetzte Richtun-

gen. Der Verlauf der magnetischen Feldstarke H langs der Verbindungslinie der beiden Leiterquer-

schnitte (x-Achse) wird durch die Gleichung

H x I ap 1a 2 x 2 ; j x j 6 a

beschrieben. Bestimmen Sie die wesentlichen Eigenschaften dieser gebrochenrationalen Funktion und

skizzieren Sie den Feldstarkeverlauf.

A15

Definitionsbereich: j x j 6 a (am Ort der beiden Leiter verschwindet der Nenner)Symmetrie: Nur gerade Potenzen ) Spiegelsymmetrie zu H-AchseNullstellen: keine

Pole: a 2 x 2 0 ) x 1=2 a (Pole mit Vorzeichenwechsel)Physikalische Deutung: Die magnetische Feldstarke wird unendlich gro am Ort der Leiter und andert ihr Vorzeichen(Richtungsanderung), wenn man auf die andere Seite des Leiters geht!

Polgeraden (senkrechte Asymptoten): x a

H x 0 I ap 1a 2 I

p aSchnittpunkt mit H-Achse:


Die Funktion ist echt gebrochenrational (Zahler: konstante Funktion; Nenner: quadratische Funktion), fur groe Wertevon x, d. h in groer Entfernung von der Doppelleitung nimmt die magnetische Feldstarke H rasch gegen Null ab.

Asymptote im Unendlichen: H 0 (x-Achse)

Verlauf der magnetischen Feldstarke: siehe Bild A-15

Deutung aus physikalischer Sicht

Kleinster Wert (Minimum) zwischen den beiden Leitern

genau in der Mitte x 0 : H x 0 Ip a

H nimmt in Richtung der Leiter zunachst zu, wird am Ortder Leiter unendlich gro Polstellen x 1=2 a undfallt dann nach auen hin gegen Null ab, wobei sich gleich-zeitig die Richtung des Feldstarkevektors umkehrt :

H x > 0 fur j x j < aH x < 0 fur j x j > a


y

x x a=

L1 L2

x a=

2a

H x( )

xBild A-14

x

x a=

L1 L2

a

x a=

H

I a/

a

Bild A-15

3 Trigonometrische Funktionen und Arkusfunktionen

Hinweise

Lehrbuch: Band 1, Kapitel III.9 und 10

Formelsammlung: Kapitel III.7 und 8

A16 Zeige: sin arccos x ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi1 x 2

p; 1 x 1

Wir setzen y arccos x mit 0 y p: Durch Umkehrung folgt x cos y . Dann gilt :

sin arccos x sin y ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi1 cos 2 y

q

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi1 x 2

p(unter Berucksichtigung der trigonometrischen Bezeichnung sin 2 y cos 2 y 1 und sin y 0 im Intervall0 y p . Damit ist die Formel bewiesen.

Welche Losungen besitzen die folgenden trigonometrischen Gleichungen?

a) 2 sin x cos 3 x sin x sin 2 xb) cos 2 x 2 sin 2 x

A17

a) Unter Verwendung der trigonometrischen Formeln sin 2 x cos 2 x 1 und sin 2 x 2 sin x cos x (! FS)werden beide Seiten zunachst wie folgt umgeformt:

Linke Seite: 2 sin x cos 3 x 2 sin x 2 cos 3 x 2 sin x 2 cos x cos 2 x |fflffl{zfflffl}1 sin 2 x

2 sin x 2 cos x 1 sin 2 x 2 sin x 2 cos x 2 cos x sin 2 xRechte Seite: sin x sin 2 x sin x 2 sin x cos x 2 cos x sin 2 x|fflfflffl{zfflfflffl}

2 sin x cos xDie trigonometrische Gleichung 2 sin x cos 3 x sin x sin 2 x geht damit uber in:

2 sin x 2 cos x 2 cos x sin 2 x 2 cos x sin 2 x ) 2 sin x 2 cos x 0 j : 2 )

sin x cos x 0 ) sin x cos x j : cos x ) sin xcos x

tan x 1

unter Berucksichtigung der trigonometrischen Beziehung tan x sin x = cos xDie Losungen dieser Gleichung lassen sich anhand einer Skizze leicht bestimmen (Bild A-16). Sie entsprechen denSchnittstellen der Tangenskurve mit der Geraden y 1 (Parallele zur x-Achse).

3 Trigonometrische Funktionen und Arkusfunktionen 19

Der Schnittpunkt A liegt dabei an der Stelle x arctan 1 p = 4, die weiteren Schnittpunkte im Abstandvon ganzzahligen Vielfachen der Periode p p links und rechts von A . Wir erhalten somit folgende Losungen:

x k arctan 1 k p p = 4 k p mit k 2 Zb) Unter Verwendung der trigonometrischen Beziehungen cos 2 x cos 2 x sin 2 x und sin 2 x cos 2 x 1! FS lasst sich die linke Seite der Gleichung wie folgt umformen:

cos 2 x cos 2 x sin 2 x 1 sin 2 x sin 2 x 1 2 sin 2 x|fflffl{zfflffl}1 sin 2 x

Somit folgt aus cos 2 x 2 sin 2 x :

1 2 sin 2 x 2 sin 2 x ) 4 sin 2 x 1 ) sin 2 x 0;25 ) sin x ffiffiffiffiffiffiffiffiffi0;25

p 0;5

Wir untersuchen zunachst die Losungen dieser beiden einfachen trigonometrischen Gleichungen im Perioden-intervall 0 x < 2p . Sie entsprechen den Schnittstellen der Sinuskurve mit den beiden zur x-Achse parallelenGeraden y 0;5 bzw. y 0;5 (siehe Bild A-17).

sin x 0;5 Die Umkehrung dieser Gleichung im Intervall 0 x p liefert die Losung x arcsin 0;5 p = 6(Punkt A), eine weitere Losung liegt spiegelsymmetrisch zur eingezeichneten Symmetrieachse an der Stellex p arcsin 0;5 (Punkt B). Somit ergeben sich fur die Gleichung sin x 0;5 insgesamt folgende Losungen (mitk 2 Z):

x 1 k arcsin 0;5 k 2p p = 6 k 2p

x 2 k p arcsin 0;5 p p6

k 2p 5

6p k 2p

Denn wegen der Periodizitat der Sinusfunktion wiederholen sich die Schnittstellen im Abstand von ganzzahligenVielfachen der Periode p 2p .


2

A

y = 1

y x= tanarctan (1)

x

y

Bild A-16

Symmetrieachse

+ arcsin 0,5y = sin x

2

A*B*

1

1y = 0,5

arcsin 0,5

y = 0,5A B

y

x

2 arcsin 0,5

arcsin 0,5

Bild A-17

sin x 0;5 Die Losungen dieser Gleichung erhalten wir aus den Losungen der ersten Gleichung sin x 0;5durch eine einfache Symmetriebetrachtung. Die im Periodenintervall 0 x < 2p gelegenen Schnittstellen A * undB * liegen bezuglich der Nullstelle x p der Sinusfunktion punktsymmetrisch zu den Punkten A und B (sieheBild A-17). Der Schnittpunkt B * liegt daher an der Stelle x p arcsin 0;5; der Schnittpunkt A * beix 2p arcsin 0;5.

Weitere Schnittstellen ergeben sich, wenn wir wiederum ganzzahlige Vielfache der Periode p 2p addieren odersubtrahieren (mit k 2 Z):

x 3 k p arcsin 0;5 k 2p p p6

k 2p 7

6p k 2p

x 4 k 2p arcsin 0;5 k 2p 2p p6

k 2p 11

6p k 2p

Losungsmenge der Ausgangsgleichung (mit k 2 Z):

x 1 k p6 k 2p ; x 2 k 5

6p k 2p ; x 3 k 7

6p k 2p ; x 4 k 11

6p k 2p

Bestimmen Sie samtliche Nullstellen der periodischen Funktion

y 5 sin 12

x

3 cos 1

2x p

3

a) unter Verwendung des Additionstheorems der Kosinusfunktion,

b) mit Hilfe des Zeigerdiagramms.

Hinweis zu b): Fassen Sie die beiden Summanden als gleichfrequente (mechanische) Schwingungen

auf x : Zeit; y : Auslenkung; Kreisfrequenz: w 1 = 2 und ersetzen Sie die beidenEinzelschwingungen durch eine resultierende Sinusschwingung gleicher Frequenz,

deren Nullstellen dann leicht bestimmt werden konnen.

A18

y 0 ) 5 sin 12

x

3 cos 1

2x p

3

0 )a) Nullstellen:

5 sin 12

x

|fflffl{zfflffl} 3 cos

1

2x p

6

|{z} ) 5 sin u 3 cos u

p

6

Substitution : u 1

2x

u u

Mit dem Additionstheorem der Kosinusfunktion ! FS erhalten wir:5 sin u 3 cos u p = 6 3 cos u cos p = 6 sin u sin p = 6

3 cos p = 6 cos u 3 sin p = 6 sin u 2;5981 cos u 1;5 sin u )

3;5 sin u 2;5981 cos u j : 3;5 cos u ) sin ucos u

2;59813;5

) tan u 0;7423

(unter Verwendung der trigonometrischen Beziehung tan u sin u = cos u)Die Losungen der Gleichung tan u 0;7423 entsprechen den Schnittstellen der Tangenskurve mit der zuru-Achse parallelen Geraden y 0;7423 und lassen sich aus Bild A-18 leicht ermitteln:


Losung im Periodenintervall p = 2 < u < p = 2 (Punkt A in Bild A-18): u arctan 0;7423 0;6386Weitere Losungen liegen im Abstand von ganzzahligen Vielfachen der Periode p p :

u k arctan 0;7423 k p 0;6386 k p k 2 ZDurch Rucksubstitution erhalten wir die gesuchten Nullstellen x 2 u :

x k 2 u k 2 0;6386 k p 1;2772 k 2p k 2 Z

b) Die gleichfrequenten Einzelschwingungen

y 1 5 sin 12

x

und y 2 3 cos 1

2x p

3

3 cos 1

2x p

6

ergeben bei ungestorter berlagerung eine gleichfrequente resultierende Schwingung in der Sinusform

y y 1 y 2 A sin 12

x j

mit A > 0

Zunachst aber mussen wir die Kosinusschwingung y 2 in eine Sinus-schwingung mit positiver Amplitude verwandeln. Dies geschieht be-sonders anschaulich mit Hilfe des Zeigerdiagramms (Bild A-19):

Drehwinkel: 240 b 43p

y 2 3 cos 12

x p6

3 sin 1

2x 4

3p

Auf die Berechnung der Amplitude A konnen wir verzichten, dadiese keinen Einfluss auf die Lage der Nullstellen hat.

Berechnung des Nullphasenwinkels j

Mit A 1 5; A 2 3; j 1 0 und j 2 240 folgt dann:

tan j A 1 sin j 1 A 2 sin j 2A 1 cos j 1 A 2 cos j 2

5 sin 0 3 sin 240

5 cos 0 3 cos 240 0 2;59815 1;5 0;7423

Aus dem Zeigerdiagramm entnehmen wir, dass der resultierende Zeiger im 4. Quadranten liegt (siehe Bild A-20).Somit gilt:

tan j 0;7423 )j arctan 0;7423 0;6386


y

u

y u= tan

y = 0,7423

2

arctan0,7423

A

Bild A-18

+ cos

+ sin

3 cos

3 sin

303

y2

240

Bild A-19

5 y1

y2y

3 30

f

A

Bild A-20

Resultierende Schwingung: y y 1 y 2 A sin 12

x 0;6386

mit A > 0

Die Nullstellen der Funktion sin u liegen bekanntlich an den Stellen u k k p mit k 2 Z . Somit besitzt dieresultierende Schwingung genau dort Nullstellen, wo ihr Argument u x = 2 0;6386 einen der Werte k pannimmt:

1

2x k 0;6386 k p ) 1

2x k 0;6386 k p ) x k 1;2772 k 2p mit k 2 Z

Das Weg-Zeit-Gesetz einer periodischen Bewegung laute wie folgt:

s t 2 sin 2 t cos t ; t 0(s : Auslenkung; t : Zeit). Zu welchen Zeiten hat die Auslenkung den Wert s 2?

A19

Uns interessieren also die positiven Losungen der trigonometrischen Gleichung

2 sin 2 t cos t 2 :Umformung mit Hilfe des trigonometrischen Pythagoras sin 2 t cos 2 t 1 fuhrt zu:

2 sin 2 t cos t 2 ) 2 1 cos 2 t cos t 2 ) 2 2 cos 2 t cos t 2 )

2 cos 2 t cos t 0 ) cos t 2 cos t 1 0cos t 0 2 cos t 1 0

cos t 0 ) Losungen sind die positiven Nullstellen des Kosinus : t 1 k p2 k p k 2 N

2 cos t 1 0 oder cos t 0;5

Die Losungen dieser Gleichung entsprechen den Schnittpunkten der Kosinuskurve mit der zur Zeitachse parallelenGeraden y 0;5 (Bild A-21):

Im Periodenintervall 0 t < 2p gibt es genau zwei Losungen (Punkte A und B). Die erste Losung (Punkt A) er-halten wir aus der Gleichung cos t 0;5 durch Umkehrung : t arccos ( 0;5). Die zweite Losung (Punkt B) liegtbezuglich der eingezeichneten Symmetrieachse spiegelsymmetrisch zur ersten Losung bei t 2p arccos ( 0;5).Wegen der Periodizitat der Kosinusfunktion liegen weitere Losungen rechts der Punkte A bzw. B im Abstand jeweilsganzzahliger Vielfacher der Periode p 2p. Damit ergeben sich insgesamt folgende Losungen (zu diesen Zeitpunktenhat die Auslenkung jeweils den Wert s 2 ; k 2 N):

t 1 k arccos 0;5 k 2p 23p k 2p

t 2 k 2p arccos 0;5 k 2p 2p 23p

k 2p 4

3p k 2p


2 arccos (0,5)arccos (0,5)

2 3

A B

y = cos t

y = 0,5

t

y

Symmetrieachse

p = 2

1

1

Bild A-21

Bestimmen Sie auf elementarem Wege die Nullstellen und relativen Extremwerte der Funktion

y sin x ffiffiffi3p cos x .

Hinweis: Bringen Sie die Funktion zunachst auf die Sinusform y A sin x j mit A > 0und 0 j < 2p .

A20

Wir fassen die Funktionsgleichung als eine harmonische Schwingung auf, die durch ungestorte berlagerung zweiergleichfrequenter Schwingungen entstanden ist (Periode: p 2p ; Winkelgeschwindigkeit: w 1). Aus demZeigerdiagramm konnen wir die Amplitude A und den Nullphasenwinkel j leicht berechnen (siehe Bild A-22):

y 1 1 sin x

y 2 ffiffiffi3p cos x

y y 1 y 2 A sin x j

Satz des Pythagoras (im grau unterlegten Dreieck):

A 2 1 2 ffiffiffi3p 2 1 3 4 ) A

ffiffiffi4p 2

tan j ffiffiffi3p

1

ffiffiffi3p

) j arctanffiffiffi3p 60 b p = 3

y y 1 y 2 sin x ffiffiffi3p cos x 2 sin x p = 3

Die Resultierende ist also eine um p = 3 nach links verschobene Sinuskurve mit der Amplitude A 2 und derPeriode p 2p (siehe Bild A-23)

Die Lage der Nullstellen und relativen Extremwerte lasst sich unmittelbar ablesen k 2 Z :Nullstellen: x 1 k p = 3 k pRelative Maxima: x 2 k p = 6 k 2p ; y 2 k 2

Relative Minima: x 3 k 76p k 2p ; y 3 k 2


+cos

+sin1

A

y

y1

y2

f

33

Bild A-22

Max Max

MinMin

7

2

p = 2

2

2

x

y

56

6

3

3

3

Bild A-23

berlagerung gleichfrequenter Wechselspannungen

Wie gro ist der Scheitelwert u 0 und der Nullphasenwinkel j einer Wechselspannung, die durch

ungestorte berlagerung der gleichfrequenten Wechselspannungen

u 1 t 100 V sin w t p = 6 und u 2 t 200 V cos w t p = 4mit w 100 s 1 entsteht?a) Zeichnerische Losung im Zeigerdiagramm.

b) Rechnerische Losung.

Hinweis: Verwenden Sie den Losungsansatz

u t u 1 t u 2 t u 0 sin w t j mit u 0 > 0 und 0 j < 2p .

A21

a) Zeigerdiagramm: Bild A-24

abgelesene Werte:

u 0 246 Vj 22

b) Die kosinusformige Wechselspannung u 2 t bringen wir zunachst mit Hilfe des Zeigerdiagramms (Bild A-24) aufdie Sinusform (Drehung des entsprechenden Sinuszeigers aus der unverschobenen Position um 45 b p = 4):

u 2 t 200 V cos w t p = 4 200 V sin w t p = 4

Berechnung von Scheitelwert u 0 und Nullphasenwinkel j

Somit gilt: u 01 100 V ; u 02 200 V ; j 1 p = 6 b 30 ; j 2 p = 4 b 45 u 20 u 201 u 202 2 u 01 u 02 cos j 2 j 1 100 V 2 200 V 2 2 100 V 200 V cos 45 30 |fflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflffl}

75

10 000 40 000 10 352;76 V 2 60 352;76 V 2 ) u 0 245;67 V

tan j u 01 sin j 1 u 02 sin j 2u 01 cos j 1 u 02 cos j 2

100 V sin 30 200 V sin 45

100 V cos 30 200 V cos 45

50 141;4214 V86;6025 141;4214 V 91;4214

228;0239 0;4009

Da der gesuchte Nullphasenwinkel j im 1. Quadranten liegt (siehe Zeigerdiagramm, Bild A-24), gilt :

j arctan 0;4009 21;85 b 0;3813Ergebnis: u t u 1 t u 2 t 245;67 V sin w t 0;3813 mit w 100 s 1


+cos

+sin

200 V

u 2

u

u045

30100 V

u1

f

Bild A-24

Superposition gedampfter Schwingungen

Die gedampfte mechanische Schwingung mit der Funktionsgleichung

y t 5 cm e 0;1 t = s 2 sin 2 s 1 t 3 cos 2 s 1 t ; t 0

kann als berlagerung zweier gleichfrequenter gedampfter Schwingungen aufgefasst werden. Bringen

Sie diese Schwingung mit Hilfe des Zeigerdiagramms auf die Sinusform

y t A e 0;1 t = s sin 2 s 1 t j ; t 0mit A > 0 und 0 j < 2p .

A22

Aus der Gleichung

5 cm e 0;1 t = s 2 sin 2 s 1 t 3 cos 2 s 1 t A e 0;1 t = s sin 2 s 1 t jfolgt unmittelbar durch Kurzen der e-Funktion:

5 cm 2 sin 2 s 1 t 3 cos 2 s 1 t 10 cm sin 2 s 1 t 15 cm cos 2 s 1 t A sin 2 s 1 t j

Die beiden gleichfrequenten ungedampften Einzelschwingungen

x 1 t 10 cm sin 2 s 1 t und x 2 t 15 cm cos 2 s 1 tkonnen durch die resultierende Sinusschwingung

x t x 1 t x 2 t A sin 2 s 1 t jersetzt werden, deren Amplitude A und Nullphasenwinkel j sich wie folgt aus dem Zeigerdiagramm berechnenlassen (Bild A-25):


A 2 10 cm 2 15 cm 2 100 225 cm 2 325 cm 2

A ffiffiffiffiffiffiffiffi325p

cm 18;03 cm

tan j 15 cm10 cm

1;5 ) j arctan 1;5 56;31 b 0;983Somit gilt:

x t x 1 t x 2 t 18;03 cm sin 2 s 1 t 0;983 ; t 0

Darstellung der gedampften Schwingung in der Sinusform :

y t e 0;1 t = s x t e 0;1 t = s 18;03 cm sin 2 s 1 t 0;983 18;03 cm e 0;1 t = s sin 2 s 1 t 0;983


10 cm

10 cm

15 cm 15 cm

+cos

+sinx1

xx2

A

f

Bild A-25

Zund- und Loschspannung einer Glimmlampe

Eine Glimmlampe liegt an der Wechselspannung

u t 360 V sin 100p s 1 t ; t 0 s

Sie beginnt zu leuchten, wenn die Zundspannung u Z 180 V erreicht wird und sie erlischt beiUnterschreitung der Loschspannung u L 90 V. Wie lange leuchtet sie (bezogen auf eine Periode derangelegten Wechselspannung)?

A23

Wir fuhren folgende Bezeichnungen ein (siehe hierzu Bild A-26):

t 1 : Die Lampe beginnt zu dieser Zeit erstmals zu leuchten, d. h. u t 1 180 Vt 2 : Die Lampe erlischt erstmals, d. h. u t 2 90 Vt 3 : Die Lampe beginnt wieder zu leuchten, d. h. u t 3 180 Vt 4 : Die Lampe erlischt wieder, d. h. u t 4 90 Vt *: Die Spannung an der Lampe erreicht erstmals den Wert 90 V, d. h. u t * 90 V.

Sie leuchtet also in den beiden (wegen der Symmetrie der Sinuskurve) gleichlangen Zeitintervallen t 1 t t 2 undt 3 t t 4 , insgesamt also wahrend der Zeit D t 2 t 2 t 1 (innerhalb einer Periode der angelegten Wechsel-spannung).

Berechnung der Zeitpunkte t1 und t2

Kreisfrequenz der Wechselspannung: w 100p s 1

Periode (Schwingungsdauer) der Wechselspannung: T 2pw 2 p

100 p s 1 0;02 s

Zeitpunkt t 1 : u t 1 180 V )360 V sin 100p s 1 t 1 180 V j : 360 V ) sin x 0;5|fflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl}

x

Durch Umkehrung und anschlieende Rucksubstitution folgt:

x arcsin 0;5 p6) 100 p s 1 t 1 p

6) t 1 1

600s 0;001 667 s

Zeitpunkt t 2 : u t 2 90 V )360 V sin 100p s 1 t 2 90 V j : 360 V ) sin y 0;25|fflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl}

y


t /st1t* t2

t3 t4

0,01

0,02

U /V

360

180

90

90

180

360

Bild A-26

Beim Auflosen dieser Gleichung mussen wir beachten, dass die Loschspannung von 90 V erstmals bereits zumfruheren Zeitpunkt t * < t 1 erreicht wird (siehe Bild A-26). Diesen Zeitpunkt t * erhalten wir wie folgt durchUmkehrung der Gleichung sin y * 0;25 und anschlieender Rucksubstitution :

sin y * 0;25 ) y * arcsin 0;25 0;252 68 ) 100p s 1 t * 0;252 68 ) t * 0;000 804 sAus Bild A-26 entnehmen wir dann fur den gesuchten Zeitpunkt t 2 :

t 2 0;01 s t * 0;01 0;000 804 s 0;009 196 s

Leuchtintervall D t == 2 (t 2 t 1)

D t 2 t 2 t 1 2 0;009 196 0;001 667 s 0;015 058 sIm Verhaltnis zur Periode T der angelegten Wechselspannung:

D t

T 0;015 058 s

0;02 s 0;752 9 75;3%

Die Glimmlampe leuchtet also wahrend einer Periode zu rund 3 = 4 dieser Zeit.

a) Wie lauten die Gleichungen der in Bild A-27 durch Zeiger

dargestellten gleichfrequenten Schwingungen (Kreisfrequenz:

w; t 0 s)?

b) Bestimmen Sie zeichnerisch die durch ungestorte Super-

position erzeugte resultierende Schwingung.

c) Wie lautet die Gleichung der resultierenden Schwingung

(elementare Berechnung ohne fertige Formeln).

Hinweis: Alle Schwingungen sind in der Sinusform mit positiver Amplitude anzugeben.

A24

a) Zeiger y 1 : A 1 5 cm ; j 1 45 b p = 4 ) y 1 5 cm sin w t p = 4 ; t 0 sZeiger y 2 : A 2 5 cm ; j 2 15 b p = 12 ) y 2 5 cm sin w t p = 12 ; t 0 s

b) Zeigerdiagramm: siehe Bild A-28

abgelesene Werte:

A 8;7 cmj 15

c) Darstellung der resultierenden Schwingung in der Sinusform :

y y 1 y 2 A sin w t j mit A > 0 und t 0


+cos

+sin

y2

y1

5 cm

5cm

4515

Bild A-27

y1

y

y2

45

15+sin

+cos

A

f

5cm

5 cm

Bild A-28

Das Parallelogramm ist eine Raute (Rhombus) mit der Seitenlange 5 cm und Innenwinkeln von 60 und 120 (siehe Bild A-29). Da die Diagonalen einer Raute bekanntlich die Innenwinkel halbieren, muss der gesuchtePhasenwinkel j 15 b p = 12 betragen. Die Berechnung der Amplitude A erfolgt aus dem in Bild A-29 grauunterlegten gleichschenkligen Dreieck mit Hilfe des Kosinussatzes (! FS):

A 2 5 cm 2 5 cm 2 2 5 cm 5 cm cos 120

25 25 25 cm 2 75 cm 2 ) A ffiffiffiffiffi75p

cm 8;66 cm

Ergebnis: y y 1 y 2 8;66 cm sin w t p = 12 ; t 0 s

Gegeben sind die gleichfrequenten Sinusschwingungen mit den Gleichungen

y 1 5 cm sin 2 s 1 t p = 3 und y 2 A 2 cos 2 s 1 t 4p = 3

t 0 s. Bestimmen Sie (zeichnerisch und rechnerisch) die Amplitude A 2 > 0 so, dass die durchSuperposition entstandene resultierende Schwingung zu einem unverschobenen Sinuszeiger mit positi-

ver Amplitude A fuhrt. Wie gro ist A?

A25

Fur die resultierende Schwingung gilt also j 0 :y y 1 y 2 5 cm sin 2 s 1 t p = 3 A 2 cos 2 s 1 t 4p = 3 A sin 2 s 1 t

Zeigerdiagramm: siehe Bild A-30

abgelesene Werte:

A 10 cmA 2 8;7 cm

Berechnung der Amplituden A2 und A

Aus dem Zeigerdiagramm entnehmen wir: die Zeiger y 1 und y 2 stehen senkrecht aufeinander, das Parallelogrammist somit ein Rechteck und wir konnen daher auf fertige Berechnungsformeln verzichten. Aus dem grau unterlegtenrechtwinkligen Dreieck folgt dann:

tan 60 A 25 cm

) A 2 5 cm tan 60 8;66 cm

cos 60 5 cmA

) A 5 cmcos 60

10 cm

Resultierende Schwingung: y y 1 y 2 10 cm sin 2 s 1 t ; t 0 s


120

120

60

60

5 cm

5 cm

5cm

5cm

A

Bild A-29

+ cos

+ sin

5cm

5cm

A

240

y2

A 2

A 2

y1

y

60

Bild A-30

berlagerung sinusformiger Wechselstrome

Wie lauten die Funktionsgleichungen der in Bild A-31 dargestellten Wechselstrome? Durch welche

Gleichung lasst sich der Gesamtstrom beschreiben, der durch ungestorte berlagerung der beiden

Einzelstrome entsteht?

Hinweis: Samtliche Strome sind in der Sinusform i t i 0 sin w t j anzugeben mit i 0 > 0und 0 j < 2p .

A26

Wechselstrom i 1 (t) == i 01 sin (w 1 t + j 1)Scheitelwert: i 01 6 A ; Nullphasenwinkel: j 1 0 ; Schwingungsdauer: T 1 p s

Kreisfrequenz: w 1 2pT 1 2 p

p s 2 s 1

Somit gilt:

i 1 t i 01 sin w 1 t j 1 6 A sin 2 s 1 t ; t 0 s

Wechselstrom i 2 (t) == i 02 sin (w 2 t + j 2)

Scheitelwert: i 02 4 A ; Schwingungsdauer: T 2 p s ; Kreisfrequenz: w 2 2pT 2 2 p

p s 2 s 1

Die Sinuskurve

i 2 t i 02 sin w 2 t j 2 4 A sin 2 s 1 t j 2ist auf der Zeitachse um t 0 p = 4 s nach rechts verschoben. Daraus lasst sich der Nullphasenwinkel j 2 wie folgtbestimmen:

i 2 t 0 p = 4 s 0 ) 4 A sin 2 s 1 p4

s j 2

4 A sin p2 j 2

0 j : 4 A )

sinp

2 j 2

0 ) p

2 j 2 0 ) j 2 p

2|fflfflfflfflffl{zfflfflfflfflffl}0

Somit gilt:

i 2 t 4 A sin 2 s 1 t p = 2 ; t 0 s


t /s

6

4

4

6

i1

i2

i /A

4

2

54

34

Bild A-31

berlagerung der Teilstrome i 1 (t) und i 2 (t)

Da die Teilstrome gleiche Schwingungsdauer und damit gleiche Kreisfrequenz haben w 1 w 2 2 s 1 , entstehtbei der berlagerung ebenfalls ein Wechselstrom der Kreisfrequenz w 2 s 1 :

i t i 1 t i 2 t 6 A sin 2 s 1 t 4 A sin 2 s 1 t p = 2 i 0 sin 2 s 1 t jDie Berechnung des Scheitelwertes i 0 und des Nullphasenwinkels j erfolgt anhand des Zeigerdiagramms (Bild A-32).Die Zeiger der beiden Teilstrome stehen aufeinander senkrecht, das Parallelogramm ist somit ein Rechteck. i 0 und jlassen sich daher elementar wie folgt berechnen:


i 20 4 A 2 6 A 2 16 36 A 2 52 A 2

i 0 ffiffiffiffiffi52p

A 7;211 A

Phasenwinkel: j 2p a

tan a 4 A6 A

23) a arctan 2

3

0;588 ) j 2p a 2p 0;588 5;695

Ergebnis: i t i 1 t i 2 t 7;211 A sin 2 s 1 t 0;5695 ; t 0 s

Zentrifugalkraftregler

Bild A-33 zeigt den prinzipiellen Aufbau eines Zentrifugalkraftreglers. An den (als masselos angenom-

menen) Armen der Lange 2a hangt jeweils eine punktformige Masse m, die mit der Winkelgeschwin-

digkeit w um die eingezeichnete Drehachse rotiert. Zwischen dem Winkel j, unter dem sich infolge

der Zentrifugalkrafte die Arme gegenuber der Achse einstellen, und der Winkelgeschwindigkeit w be-

steht dabei der folgende Zusammenhang:

cos j g2 aw 2

g : Erdbeschleunigung

a) Zeigen Sie, dass zum Abheben der Arme eine Mindestwinkelgeschwindigkeit w 0 notig ist.

b) Skizzieren Sie die Abhangigkeit des Winkels j von der Winkelgeschwindigkeit w. Welcher maxi-

male Winkel j max ist moglich?

~GG : Gewichtskraft

~FFZ : Zentrifugalkraft

~FFr : Resultierende Kraft

A27


+cos

+sin

i0

i

4A 4A

6A

6A

ai1

i2

Bild A-32

Drehachse

v

a

a

a a

a

a

f f

f

mm

r rFr

FZ

G

Bild A-33

a) Der kleinstmogliche Winkel ist j 0 . Zu ihm gehort der Mindestwert w 0 der Winkelgeschwindigkeit:

cos 0 g2 aw 20

1 ) w 20 g

2 a) w 0

ffiffiffiffiffiffiffig

2 a

r|fflffl{zfflffl}

1

b) Wir losen die Gleichung cos j g2 aw 2

nach j auf und erhalten die gesuchte Beziehung zwischen j und w

in Form einer Arkusfunktion :

j arccos g2 aw 2

arccos g = 2 a

w 2

arccos w

20

w 2

arccos w 0

w

2; w w 0


Wertetabelle: Wir setzen x w =w 0 und berechnen einige Werte der Funktion

j arccos w 0w

2 arccos 1w =w 0 2

arccos 1 = x 2 ; x 1

x j

1 0

1;2 46

1;4 59;3

1;6 67;0

1;8 72;0

2 75;5

2;5 80;8

3 83;6

4 86;4

5 87;7

10 89;4

Der grotmogliche Winkel ist j max 90 (waagerechte Arme!), er wird bei unendlich hoher Winkelgeschwin-digkeit erreicht (w ! 1 und somit auch x ! 1):

j max limw!1

arccosw 0

w

2 lim

x!1arccos 1 = x 2 arccos 0 90


f

90

60

30

1 2 3 4 5 6 7 v v/ 0

Bild A-34

4 Exponential- und Logarithmusfunktionen

Hinweise

Lehrbuch: Band 1, Kapitel III.11 und 12

Formelsammlung: Kapitel III.9 und 10

A28Zeigen Sie: Die Funktion y 3 2 3 x 1 5 3 x 1 ; 1 < x < 1 ist umkehrbar. Wie lautet dieUmkehrfunktion?

Zunachst bringen wir die Funktion auf eine gunstigere Form:

y 3 2 3 x 1 5 3 x 1 3 2 3 x 2 1 5 3 x 5 1 3 2 5 1 2 3 x 5 3 x 65 2 5 3 x 1;2 10 3 x|fflffl{zfflffl} |fflffl{zfflffl} |fflfflfflfflffl{zfflfflfflfflffl}

2 3 x 2 1 5 3 x 5 1 2 5 3 x

Rechenregeln: a m n a m a n ; a n b n a b nEs handelt sich also um eine streng monoton wachsende Exponentialfunktion, die bekanntlich umkehrbar ist. Wir losendie Funktionsgleichung nun nach x auf, in dem wir beide Seiten logarithmieren (Zehnerlogarithmus verwenden):

y 1;2 10 3 x j lg )lg y lg 1;2 10 3 x lg 1;2 lg 10 3 x lg 1;2 3 x lg 10 lg 1;2 3 x )

3 x lg y lg 1;2 j : 3 ) x 13 lg y 1

3 lg 1;2 1

3 lg y 0;0264

Rechenregeln: lg a b lg a lg b ; lg a n n lg a ; lg 10 1Durch Vertauschen der beiden Variablen erhalten wir schlielich die gesuchte Umkehrfunktion :

y 13 lg x 0;0264 ; x > 0

Aufladen eines Kondensators

Beim Aufladen eines Kondensators steigt die Kondensatorspannung u im Laufe der Zeit t nach dem

Exponentialgesetz

u t 100 V 1 e t = t ; t 0 st > 0: Zeitkonstante, noch unbekannt.

a) Bestimmen Sie die Zeitkonstante t aus dem Messwert u t 2 s 80 V:

b) Welchen Endwert u E erreicht die am Kondensator liegende Spannung? Nach welcher Zeit wird der

halbe Endwert erreicht? Skizzieren Sie den Spannungsverlauf am Kondensator.

c) Berechnen Sie die Kondensatorspannung zum Zeitpunkt t 5 s:

A29

4 Exponential- und Logarithmusfunktionen 33

a) u t 2 s 80 V )100 V 1 e 2 s = t 80 V j : 100 V ) 1 e 2 s = t 0;8 ) 0;2 e 2 s = t j ln )

ln 0;2 ln e 2 s = t 2 st

) t 2 sln 0;2

1;242 67 s

Rechenregel: ln e n n

b) Der Endwert u E wird erst nach unendlich langer Zeit, d. h. fur t ! 1 erreicht. Er betragt:

u E limt!1

u t limt!1

100 V 1 e t = 1;242 67 s 100 V

(die streng monoton fallende e-Funktion verschwindet fur t ! 1). Der halbe Endwert, also u 50 V, wird zumZeitpunkt t T erreicht:

u t T 50 V )100 V 1 e T = 1;242 67 s 50 V j : 100 V ) 1 e T = 1;242 67 s 0;5 )

0;5 e T = 1;242 67 s j ln ) ln 0;5 ln e T = 1;242 67 s T1;242 67 s

)

T 1;242 67 s ln 0;5 0;8614 sRechenregel: ln e n nSpannungsverlauf: siehe Bild A-35

u t 100 V 1 e t = 1;242 67 s

100 V 1 e 0;804 72 s 1 t fur t 0 s

c) u t 5 s 100 V 1 e 0;804 72 s 1 5 s 100 V 1 e 4;023 60 98;21 V

Zeigen Sie, dass fur jedes x 1 gilt :

ln x ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix 2 1

p ln x

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix 2 1

p 0 :A30

Wir formen zunachst die Gleichung wie folgt um:

ln x ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix 2 1

p ln x


p 1 ln x


p ln x


p 1

Rechenregel: n ln a ln a n . Durch Entlogarithmieren folgt weiter:

e ln xffiffiffiffiffiffiffiffiffix 2 1p

e ln xffiffiffiffiffiffiffiffiffix 2 1p

1 ) x ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix 2 1

p x


p 1 )

x ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix 2 1

p 1

x ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix 2 1

p x ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix 2 1

p ) x


p x


p 1 )|fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl}

3. Binom: a b a b a 2 b 2

x 2 x 2 1 1 ) x 2 x 2 1 1 ) 1 1Rechenregel: ln a ln b ) e ln a e ln b ) a b (Entlogarithmierung)Damit ist die vorgegebene Beziehung fur jedes x 1 bewiesen.


u /V

100

80

60

40

20

1 2 3 4 5 6 7 t /s

Bild A-35

Abkuhlungsgesetz von Newton

Ein Korper besitzt zurzeit t 0 die Temperatur T 0 30 C und wird dann durch einen Luftstromder konstanten Temperatur T L 20 C gekuhlt , wobei

T t T 0 T L e k t T L ; t 0gilt T t: Korpertemperatur zum Zeitpunkt t; k > 0: Konstante).

a) Nach 5 min betragt die Korpertemperatur 28 C. Bestimmen Sie aus diesem Messwert die

Konstante k.

b) Welche Temperatur besitzt der Korper nach 60 min?

c) Wann ist der Abkuhlungsprozess beendet, welche Temperatur T E besitzt dann der Korper?

Skizzieren Sie den Temperaturverlauf.

A31

Das Abkuhlungsgesetz lautet fur die vorgegebenen Werte wie folgt:

T t 30 C 20 C e k t 20 C 10 C e k t 20 C ; t 0 min

a) T t 5 min 28 C )10 C e 5 min k 20 C 28 C ) 10 C e 5 min k 8 C j : 10 C ) e 5 min k 0;8 j ln )

ln e 5 min k 5 min k ln 0;8 ) k ln 0;8 5 min 0;044 63 min 1

Rechenregel: ln e n n

b) T t 10 C e 0;044 63 min 1 t 20 C ; t 0 minT t 60 min 10 C e 0;044 63 min 1 60 min 20 C

10 C e 2;677 8 20 C 0;687 C 20 C 20;687 C

c) Der Abkuhlungsprozess ist (theoretisch) erst nach unendlich langer Zeit beendet t ! 1 . Der Korper hat danndie Temperatur der Luft angenommen:

T E limt!1

T t limt!1

10 C e 0;044 63 min 1 t 20 C 20 C T L

(die streng monoton fallende e-Funktion verschwindet fur t ! 1)Aus physikalischer Sicht: Der Abkuhlungsprozess ist beendet, wenn (auf Grund gleicher Temperaturen) keinWarmeaustausch mehr stattfindet (Korpertemperatur Lufttemperatur).Temperaturverlauf: siehe Bild A-36

T t 10 C e 0;044 63 min 1 t 20 C(fur t 0 min)

4 Exponential- und Logarithmusfunktionen 35

30

25

20

15

10

5

T /C

10 20 30 40 50 60 t /min

Bild A-36

Fallschirmspringer

Beim Fallschirmspringen gilt unter der Annahme, dass der Luftwiderstand R der Fallgeschwindigkeit

v proportional ist R v , d. h. R c v , das folgende Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz :

v t mgc1 e c =m t ; t 0

(m : Masse des Fallschirmspringers incl. Fallschirm; g: Erdbeschleunigung; c > 0: Reibungsfaktor,

abhangig von den aueren Umweltbedingungen).

a) Welche Endgeschwindigkeit v E erreicht der Fallschirmspringer?

Annahme: Der Sprung erfolgt aus groer Hohe, der Fallschirmspringer ist also lange unterwegs.

b) Skizzieren Sie das Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz.

c) Nach welcher Zeit t wird die halbe Endgeschwindigkeit erreicht?

A32

Wir setzen im Exponenten c =m a und beachten dabei, dass a > 0 ist:

v t mgc1 e c =m t mg

c1 e a t ; t 0

a) Die streng monoton fallende e-Funktion besitzt fur groe Fallzeiten vernachlassigbar kleine Werte. Bei (theoretisch)unendlich langer Fallzeit t ! 1 erreicht der Fallschirmspringer folgende Endgeschwindigkeit:

v E limt!1

v t limt!1

mg

c1 e a t mg

c

Dieses Ergebnis ist physikalisch gesehen einleuchtend: Die Endgeschwindigkeit v E wird erreicht, wenn der Fall-schirmspringer kraftefrei fallt. Dies aber ist genau dann der Fall, wenn Gewicht G mg und der entgegen wir-kende Luftwiderstand R c v sich gerade kompensieren :

G R ) mg c v E ) v E mg = c

b) Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz in neuer Schreibweise(siehe Bild A-37):

v t v E 1 e a t ; t 0mit v E mg = c und a c =m

c) v t t 12v E )

v E 1 e a t 12

v E ) 1 e a t 12) e a t 1

2j ln )

ln e a t a t ln 12 ln 1 ln 2 ln 2 ) t ln 2

a ln 2 m

c

Rechenregeln: ln e n n ; ln ab

ln a ln b ; ln 1 0


vE

vE

v

12

ttBild A-37

Gausche Glockenkurve: y a e b x c 2 ; 1 < x < 1

Bestimmen Sie die Kurvenparameter a; b > 0 und c so, da das Maximum an der Stelle x 10angenommen wird und die Punkte A 5 ; 8 und B 12 ; 10 auf der Kurve liegen. SkizzierenSie den Kurvenverlauf.

A33

Das Maximum wird an der Stelle x c angenommen x c ist Symmetrieachse , die Kurve fallt auf beiden Seitengleichmaig streng monoton gegen Null ab. Somit ist c 10.

Berechnung der Kurvenparameter a und b

A 5 ; 8 ) y x 5 8 ) I a e b 5 10 2 a e 25 b 8

B 12 ; 10 ) y x 12 10 ) II a e b 12 10 2 a 4 b 10Wir dividieren Gleichung (I) durch Gleichung (II) (linke Seite durch linke Seite, rechte Seite durch rechte Seite), dabeikurzt sich der Faktor a heraus:

a e 25 ba e 4 b

8

10) e 21 b 0;8 j ln ) ln e 21 b ln 0;8 )

21 b ln 0;8 ) b ln 0;8 21 0;010 626

Rechenregeln:a m

a n a m n ; ln e n n

Diesen Wert setzen wir fur b in Gleichung (II) ein:

II ) a e 4 0;010 626 a e 0;042 504 a 0;958 387 10 ) a 10;4342Gausche Glockenkurve:

y 10;4342 e 0;010 626 x 10 2

(fur 1 < x < 1Kurvenverlauf: siehe Bild A-38

Barometrische Hohenformel

Zwischen dem Luftdruck p und der Hohe h (gemessen gegenuber dem Meeresniveau) gilt unter der

Annahme konstanter Lufttemperatur der folgende Zusammenhang:

p h p 0 e h =a ; h 0 in mp 0 1;013 bar : Luftdruck an der Erdoberflache; a 7991 m .

a) Geben Sie die Hohe als Funktion des Luftdruckes an und skizzieren Sie den Funktionsverlauf.

b) In welcher Hohe hat sich der Luftdruc

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