Mathematik beschreibt die Weltwieners/Mittwoch.pdf · Mathematik beschreibt die Welt Willy Dörﬂer und Christian Wieners Universität Karlsruhe (TH) Forschungsuniversität · gegründet

Mathematik beschreibt die Welt

Willy Dörfler und Christian Wieners

Universität Karlsruhe (TH)Forschungsuniversität · gegründet 1825

Institut für Angewandte und Numerische Mathematik

Mathematik berechnet die Welt

Willy Dörfler und Christian Wieners

Universität Karlsruhe (TH)Forschungsuniversität · gegründet 1825

Institut für Angewandte und Numerische Mathematik

Gauß und Ceres

Carl Friedrich Gauß (1777–1855)

Der Kleinplanet Ceres im Asteriodengürtel zwischen Mars und Jupiter wurdeerstmals am 1. Januar 1801 von Giuseppe Piazzi beobachtet. Bis zum11. Februar konnte er 24-mal seine Position bestimmen, bevor seineUmlaufbahn von der Sonne verdeckt wurde. Danach ist es ihm nichtgelungen, Ceres wieder zu finden. Piazzis Beobachtungen wurden imSeptember 1801 veröffentlicht.

Carl Friedrich Gauß konnte aus den Beobachtungsdaten die Umlaufbahnhinreichend genau bestimmen. Fast genau an der vorhergesagten Positionwurde Ceres am 31. Dezember 1801 von Franz Xaver Zachund Heinrich W. M. Olbers wieder entdeckt.

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Gauß und Ceres

Carl Friedrich Gauß (1777–1855)

Der Kleinplanet Ceres im Asteriodengürtel zwischen Mars und Jupiter wurdeerstmals am 1. Januar 1801 von Giuseppe Piazzi beobachtet. Bis zum11. Februar konnte er 24-mal seine Position bestimmen, bevor seineUmlaufbahn von der Sonne verdeckt wurde. Danach ist es ihm nichtgelungen, Ceres wieder zu finden. Piazzis Beobachtungen wurden imSeptember 1801 veröffentlicht.

Carl Friedrich Gauß konnte aus den Beobachtungsdaten die Umlaufbahnhinreichend genau bestimmen. Fast genau an der vorhergesagten Positionwurde Ceres am 31. Dezember 1801 von Franz Xaver Zachund Heinrich W. M. Olbers wieder entdeckt.

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Kepler und die Ellipsen

Johannes Kepler (1571–1630)

Die erste mathematischen Beschreibung der Bewegung von Himmelskörpernwurde von Johannes Kepler entwickelt.

Erstes keplersches Gesetz. Die Umlaufbahn eines Trabanten ist eineEllipse. Einer ihrer Brennpunkte liegt im Schwerezentrum des Systems.

Die Keplerschen Gesetze stellen die exakte Lösung des Zweikörperproblemsdar. Sie gelten exakt für Massenpunkte und für kugelsymmetrischeHimmelskörper, wenn außer der Gravitation alle weiteren Kräftevernachlässigt werden.

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Mathematische Beschreibung einer Ellipse

(0,b)

(a,0)

Die Ellipsengleichung. Die Punktmenge

E :={(x ,y) ∈ R2 :

x2

a2 +y2

b2 = 1}

beschreibt eine Ellipse E in der x-y–Ebene um den Punkt (0,0) und durchdie Punkte (a,0) und (0,b).

3

Lösung der Ellipsengleichung

Problem. Es seien zwei Punkte (x1,y1) und (x2,y2) gegeben.Man bestimme a > 0 und b > 0 mit

x21

a2 +y2

1b2 = 1 und

x22

a2 +y2

2b2 = 1 .

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Beobachtung. Kleine Änderungen an den Koordinaten (x1,y1) und (x2,y2)können große Änderungen in a und b ergeben.

Ziel. Man finde eine Methode zur Bestimmung der Ellipse, die bei ungenaugemessenen Daten trotzdem eine sinnvolle Näherung ergibt.

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Definition. Eine Aufgabenstellung heißt gut konditioniert, wenn kleineÄnderungen an den Daten nur zu kleinen Änderungen der Lösung führen;sonst heißt sie schlecht konditioniert.Ein Algorithmus zur Lösung eines gut konditionierten Problems heißtgut konditioniert, wenn kleine Änderungen an den Daten nur zu kleinenÄnderungen der algorithmisch berechneten Lösung führen.

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Lösbarkeit der Ellipsengleichung?

Problem. Es seien Punkte (xn,yn) für n = 1, ...,N gegeben.Man bestimme a > 0 und b > 0 mit

x2n

a2 +y2

nb2 = 1 für alle n = 1, ...,N .

7

Beste Approximation der Ellipse

Ausgleichs–Problem. Es seien Punkte (xn,yn) für n = 1, ...,N gegeben.Man bestimme a > 0 und b > 0, so dass die Summe der quadratischenAbweichungen minimal wird:

N

∑n=1

(x2

na2 +

y2n

b2 −1

)2

= min!

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Lösung linearer Ausgleichsprobleme

Definiere

α =1a2 , β =

1b2 ,

a11 =N

∑n=1

x2n x2

n , a12 = a21 =N

∑n=1

x2n y2

n , a22 =N

∑n=1

y2n y2

n ,

c1 =N

∑n=1

x2n , c2 =

N

∑n=1

y2n .

Dann gilt

N

∑n=1

(x2

na2 +

y2n

b2 −1

)2

= a11α2 +2a12αβ +a22β

2−2c1α −2c2β −N .

Satz. Die Lösung des linearen Ausgleichsproblems berechnet sich aus derLösung des linearen Gleichungssystems

a11α +a12β = c1,

a21α +a22β = c2 .

C. F. Gauß (1809): Theoria Motus Corporum Coelestium

(... allgemeine Lösung mit Matrizen ...)9

Newton und die klassische Mechanik

Isaac Newton (1642–1727)

In der klassischen Mechanik wird die Bewegung einer Punktmasse m amPunkt xxx = (x ,y ,z) durch die Newtonschen Gesetze bestimmt.

Kraftgesetz: Masse m × Beschleunigung aaa = Kraft FFF .

Gravitationsgesetz: FFF (xxx) =−Gm M|xxx −yyy |3

(xxx −yyy).

Dabei ist G die Gravitationskonstante und M die Masse im Punkt yyy .

10

Euler und das Polygonzug–Verfahren

Leonhard Euler (1707–1783)

Die Bewegung wird durch einen Polygonzug xxx0, xxx1, xxx2, ... approximiert.Der Anfangszustand sei zum Zeitpunkt t = 0 bekannt:

Position xxx0, Geschwindigkeit vvv0.

Sei ∆t ein Zeitinkrement. Nun berechne für n = 1,2,3, ...

vvvn = vvvn−1 +∆tFFF (xxxn−1)

mxxxn = xxxn−1 +∆t vvvn

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Hamilton und die Energieerhaltung

William Rowan Hamilton (1805–1865)

Die Gesamtenergie H(xxx ,vvv) = 12 m|vvv |2 +U(xxx) bleibt erhalten.

In der Regel geht die Energieerhaltung bei der Approximation verloren.

Verbessertes Schema: Man berechne für n = 1,2,3, ...

vvvn+1 = vvvn−1 +2∆tFFF (xxxn)

mxxxn+2 = xxxn +2∆t vvvn+1

Satz. (Hairer, Lubich, Wanner 1994)Es gilt |H(xxx(tn),vvv(tn))−H(xxxn,vvvn)| ≤ Ct für t < (∆t)−2.

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Hamilton und die Energieerhaltung

William Rowan Hamilton (1805–1865)

Die Gesamtenergie H(xxx ,vvv) = 12 m|vvv |2 +U(xxx) bleibt erhalten.

In der Regel geht die Energieerhaltung bei der Approximation verloren.

Verbessertes Schema: Man berechne für n = 1,2,3, ...

vvvn+1 = vvvn−1 +2∆tFFF (xxxn)

mxxxn+2 = xxxn +2∆t vvvn+1

Satz. (Hairer, Lubich, Wanner 1994)Es gilt |H(xxx(tn),vvv(tn))−H(xxxn,vvvn)| ≤ Ct für t < (∆t)−2.

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Das 3–Körper–Problem

Berechne die Bewegung von Punktmassen an den Positionen xxx1,xxx2,xxx3 undder Massen M1,M2,M3 im Gravitationsfeld.

Berechne für n = 1,2,3, ...

vvv1n+1 = vvv1

n−1−2∆t G(

M2

|xxx2n −xxx1

n|3(xxx2

n −xxx1n)+

M3

|xxx3n −xxx1

n|3(xxx3

n −xxx1n)

)vvv2

n+1 = vvv2n−1−2∆t G

(M1

|xxx1n −xxx2

n|3(xxx1

n −xxx2n)+

M3

|xxx3n −xxx2

n|3(xxx3

n −xxx2n)

)vvv3

n+1 = vvv3n−1−2∆t G

(M1

|xxx1n −xxx3

n|3(xxx1

n −xxx3n)+

M2

|xxx2n −xxx3

n|3(xxx2

n −xxx3n)

)xxx1

n+2 = xxx1n +2∆t vvv1

n+1

xxx2n+2 = xxx2

n +2∆t vvv2n+1

xxx3n+2 = xxx3

n +2∆t vvv3n+1

Eine analytische Lösung für das 3–Körper–Problem ist nicht möglich.

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Beispiel: Simulation einer Satellitenbahn von der Erde zur Venus (120 Tage)

Zeitschrittweite ∆t Entfernung Satellit-Venus Differenz

24 Stunden 106.28 Millonen km

1.10 Millonen km12 Stunden 105.18 Millonen km



0.07 Millonen km90 Minuten 105.78 Millonen km

Definition. Ein numerisches Näherungsverfahren heißt konvergent, wennder Fehler für immer kleiner Schrittweiten verschwindet.

Herausforderung. Berechnung einer zuverlässigen Fehlerschranke.

Definition. Ein numerisches Näherungsverfahren heißt stabil, wennErhaltungsgrößen beschränkt bleiben.

Herausforderung. Konstruktion von konvergenten Näherungsverfahren,die effizient und stabil sind.

14




24 Stunden 106.28 Millonen km1.10 Millonen km









14













14













14








90 Minuten 105.78 Millonen km





14













14













14













14













14

Swing-by-Manöver

Beschleunigen: Kreuzen der Planetenbahn kurz hinter dem Planeten

Bremsen: Kreuzen der Planetenbahn kurz vor dem Planeten

Beispiel: Die NASA/ESA-Raumsonde Cassini-Huygens flog nach demStart am 15. Oktober 1997 zweimal an der Venus, einmal an der Erde sowieeinmal am Jupiter vorbei, bis sie durch diese Swing-by-Manöver genugEnergie hatte, ihr Ziel, den Saturn, am 1. Juli 2004 zu erreichen.

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Swing-by-Manöver

Beschleunigen: Kreuzen der Planetenbahn kurz hinter dem Planeten

Bremsen: Kreuzen der Planetenbahn kurz vor dem Planeten

Beispiel: Die NASA/ESA-Raumsonde Cassini-Huygens flog nach demStart am 15. Oktober 1997 zweimal an der Venus, einmal an der Erde sowieeinmal am Jupiter vorbei, bis sie durch diese Swing-by-Manöver genugEnergie hatte, ihr Ziel, den Saturn, am 1. Juli 2004 zu erreichen.

15

Das N–Körper–Problem

Berechne die Bewegung von Punktmassen xxx = (xxxk )k=1,...,N im

Gravitationsfeld FFF k (xxx) =−G ∑j 6=k

Mj Mk

|xxx j −xxxk |3(xxx j −xxxk ):


vvvkn+1 = vvvk

n−1 +2∆tFFF k (xxx)

Mk

xxxkn+2 = xxxk

n +2∆t vvvkn+1 .

Berechnung der Galaxien-verteilung im Weltall:Simulation der Bewegungvon 130 Millionen Partikelnseit dem Urknall vor 14 Mil-liarden Jahren

http://www.galaxydynamics.org

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Das N–Körper–Problem

Berechne die Bewegung von Punktmassen xxx = (xxxk )k=1,...,N im

Gravitationsfeld FFF k (xxx) =−G ∑j 6=k

Mj Mk

|xxx j −xxxk |3(xxx j −xxxk ):


vvvkn+1 = vvvk

n−1 +2∆tFFF k (xxx)

Mk

xxxkn+2 = xxxk

n +2∆t vvvkn+1 .

Berechnung der Galaxien-verteilung im Weltall:Simulation der Bewegungvon 130 Millionen Partikelnseit dem Urknall vor 14 Mil-liarden Jahren

http://www.galaxydynamics.org

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Berechnungsfehler und Grenzen der Berechenbarkeit

Am 4. Juni 1996 explodierte kurz nach demStart die erste Ariane 5 Rakete durch einen Soft-warefehler.Die Horizontalgeschwindigkeit wurde durch eineGleitkommazahl

v ∈ [−10308,−10−308]∪{0}∪ [10−308,10308]

dargestellt.Innerhalb der Rechnung wurde die Zahl verse-hentlich in eine ganzzahlige Darstellung

i ∈ {0,1,2, ...,32767}

konvertiert.Als die Geschwindigkeit v > 32767 erreichte, ver-lor die Software die Geschwindigkeitsinformationund damit schließlich die Orientierung.

http://ta.twi.tudelft.nl/users/vuik/wi211/disasters.html

http://www5.in.tum.de/ huckle/bugse.html17


Am 25. Februar 1991 während des er-sten Golfkriegs in Dharan, Saudi Arabien, ver-fehlte eine amerikanische Patriot–Rakete eineanfliegende irakische Scud Rakete durch einefalsche Zeitberechnung.Eine 1/10 Sekunde wurde ungenau dargestellt(durch Rundungsfehler wurde die periodischeDualentwicklung

0.0001100110011001100110011001100....

in der Computerdarstellung zu

0.00011001100110011001100

abgeschnitten), so dass nach 100 Stunden Be-triebszeit eine Zeitdifferenz von ca. 0.3 Sekundenentstand. Dieser Fehler wurde nicht in allen Teilendes Betriebsprogramms korrigiert.




Am 23. August 1991 sank vor der norwegischenKüste die Ölbohrplattform Sleipner A, da an einerSchwachstelle die Konstruktion versagte.

Die Fehlerkontrolle in der Finite–Elemente–Berechnung der Statik war ungenügend, so dassdie Schwachstelle an einem Kreuzungspunkt vondrei Verstrebungen in der Planung nicht entdecktwurde.



Fehlerschätzung

Wie kann man solche Desaster verhindern?

Was ist genau passiert?

Beispiel

Wir betrachten eine elastischeFläche der Gestalt

Unter Belastung konzentrierensich die Spannungen

20

Fehlerschätzung

Wie kann man solche Desaster verhindern?

Was ist genau passiert?

Beispiel

Wir betrachten eine elastischeFläche der Gestalt

Unter Belastung konzentrierensich die Spannungen

20

Fehlerschätzung

Wir kennen dieses Phänomenaus der Elektrostatik(“Spitzenwirkung”).

Ein berechenbares Problem erhält man durch Diskretisierung, hier durch eineDreieckszerlegung (“Triangulierung”) des Gebietes.

21

Fehlerschätzung

Wir kennen dieses Phänomenaus der Elektrostatik(“Spitzenwirkung”).

Ein berechenbares Problem erhält man durch Diskretisierung, hier durch eineDreieckszerlegung (“Triangulierung”) des Gebietes.

21

Fehlerschätzung

Für abnehmende Dreiecksdurchmesser erhalten wir eine zunehmendbessere Annäherung an die tatsächliche Lösung.

1.5 2 2.5 3 3.5

−1.6

−1.4

−1.2

−1

−0.8

log10

(N)

log 10

(Feh

ler(

N))

22

Fehlerschätzung

Der Spitzeneffekt verschlechtert die Konvergenz!

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5−2.6

−2.4

−2.2

−2

−1.8

−1.6

−1.4

−1.2

−1

−0.8

−0.6

log10

(N)

log 10

(Feh

ler(

N))

SingulaerGlatt

Der Fehler für ein Problemohne Spitzeneffekt fälltviel schneller als für ein Problemmit Spitzeneffekt.

ABER: Wie können wir entscheiden, wann es genug ist?

Lösung:(1) Fehlerkontrolle(2) Lokale Gitterverfeinerung

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Fehlerschätzung

Der Spitzeneffekt verschlechtert die Konvergenz!

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5−2.6

−2.4

−2.2

−2

−1.8

−1.6

−1.4

−1.2

−1

−0.8

−0.6

log10

(N)

log 10

(Feh

ler(

N))

SingulaerGlatt

Der Fehler für ein Problemohne Spitzeneffekt fälltviel schneller als für ein Problemmit Spitzeneffekt.

ABER: Wie können wir entscheiden, wann es genug ist?

Lösung:(1) Fehlerkontrolle(2) Lokale Gitterverfeinerung

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Adaptive Finite Elemente Methode

1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3

−1.8

−1.6

−1.4

−1.2

−1

−0.8

log10

(N)

log 10

(Feh

ler(

N))

Exakter Fehler (adaptiv)Gesch. Fehler (adaptiv)Exakter Fehler (uniform)

Quantitative Betrachtung. Ein Resultat mit Fehler TOL erfordert

Problem Gitter N ∼ TOL = 1% TOL = 0.1%

Singulär uniform TOL−3 N ∼ 106 N ∼ 109

Singulär adaptiv TOL−2 N ∼ 104 N ∼ 106

Gewinnfaktor 100 1000

24


1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3

−1.8

−1.6

−1.4

−1.2

−1

−0.8

log10

(N)

log 10

(Feh

ler(

N))


Quantitative Betrachtung. Ein Resultat mit Fehler TOL erfordert

Problem Gitter N ∼ TOL = 1% TOL = 0.1%

Singulär uniform TOL−3 N ∼ 106 N ∼ 109

Singulär adaptiv TOL−2 N ∼ 104 N ∼ 106

Gewinnfaktor 100 100024


1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3

−1.8

−1.6

−1.4

−1.2

−1

−0.8

log10

(N)

log 10

(Feh

ler(

N))


I Entwicklung des Konzeptes: ca. 1978I Konvergenz und Optimalität des Verfahrens 1996–2006

Theorem. Man kann den Fehler einer numerischen Lösung derartigerProbleme zuverlässig schätzen. Die Gesamtzahl der arithmetischenOperationen entspricht (im wesentlichen) der optimalen Anzahl.

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