Mathematik Klasse 10c Vorbereitung Klassenarbeit Nr. 3 am 21.3.2019 Themen: Strahlensätze, Trigonometrie, trigonometrische Funktionen Checkliste

Was ich alles können soll kann

ich

muss

ich

üben

Ich erkennen die Strahlensatzfiguren (zwei parallele Geraden werden von zwei Halbgeraden mit gemeinsamem Anfangspunkt bzw. von zwei Geraden geschnitten).

Ich kann den ersten Strahlensatz anwenden (auch in Sachsituationen).

Ich kann den 2. Strahlensatz anwenden und achte dabei darauf, immer Abschnitte auf den Strahlen zu benutzen, die am Schnittpunkt / Streckzentrum liegen.

Ich kann die Bruchgleichungen, die beim Aufstellen der Strahlensätze entstehen, lösen und damit unbekannte Strecken (auch in Sachzusammenhängen) berechnen.

Ich kenne die Definitionen der trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens in rechtwinkligen Dreiecken mit Hilfe von Gegenkathete, Ankathete und Hypotenuse.

Ich kann in rechtwinkligen Dreiecken, in denen 2 Seiten gegeben sind, die spitzen Winkel und die dritte Seite berechnen.

Ich kann in rechtwinkligen Dreiecken, in denen 1 Seiten und 1 spitzer Winkel gegeben sind, die beiden anderen Seiten berechnen.

Ich erkenne rechtwinklige Dreiecke in bestimmten ebenen Figuren (gleich-schenkliges Dreieck, Raute, Trapez…) und nutze diese zu Berechnungen.

Ich erkenne rechtwinklige Dreiecke in Sachzusammenhängen und berechne gesuchte Größen mit Hilfe der trigonometrischen Funktionen.

Ich kenne die Beziehungen sin(α) = cos(90°–α), sin²(α) + cos²(α) = 1 und tan(α) = sin(α)/cos(α) und kann sie anwenden (z.B. um ohne TR weitere Werte zu ermitteln).

Ich unterscheide zwischen Bogen- und Gradmaß und achte bei der Einstellung meines Taschenrechners darauf.

Ich kann ziwschen Bogenmaß und Gradmaß umrechnen.

Ich kenne die speziellen Werte von Sinus, Kosinus und Tangens für 0°; 30°; 45°; 60° und 90° (bzw. 0, π/6, π/4, π/3 und π/2 im Bogenmaß) auswendig.

Ich kenne die Definition der trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis.

Ich kann am Einheitskreis ablesen, welches Vorzeichen sin(α), cos(α) und tan(α) haben und ihren Betrag zu einem Winkel im ersten Quadranten in Verbindung bringen (z.B. mit sin(180°–α) = sin(α), cos(180°+α) = – cso(α) usw. ).

Damit kann ich Werte wie cos(135°), tan(405°), sin(–330°) ohne Taschenrechner bestimmen.

Ich kann die Graphen der Sinus- und der Kosinusfunktionen im Gradmaß und im Bogenmaß zeichnen.

Ich kann Eigenschaften dieser Funktionen formulieren (insbesondere Symmetrien und Monotonie).

Ich kenne den Sinussatz und kann ihn in Worten und als Formeln formulieren,

Ich kenne den Kosinussatz und kann alle damit verbunden Formeln auswendig aufstellen.

Ich kann die Formeln des Kosinussatzes nach dem Kosinus freistellen.

Ich erkenne in Sachsituationen, dass Sinus- oder Kosinussatz anwendbar sind, und kann damit Berechnungen durchführen.

Ich kann Dreiecke, von denen WSW oder SWW vorgegeben sind, mit Hilfe des Sinussatzes vollständig berechnen.

Ich kann Dreiecke, von denen SSW vorgegeben ist, mit Hilfe des Sinussatzes vollständig berechnen. Dabei achte ich darauf, ob der gegebene Winkel gegenüber der kürzeren gegebenen Seite liegt, und berechne in diesem Fall ggfs. beide Lösungen.

Ich kann Dreiecke, von denen SWS vorgegeben ist, mit Hilfe des Kosinussatzes vollständig berechnen.

Ich kann in Dreiecken, von denen alle drei Seitenlängen bekannt sind, mit Hilfe des Kosinussatzes die Innenwinkel berechnen.

Es gibt wie immer einen hilfsmittelfreien teil und einen mit dem CAS-Rechner. In dem zweiten Teil dürft Ihr diesmal auch die Formelsammlung (das Cornelsen-Tafelwerk) benutzen! Zum Üben empfehle ich als erstes die von mir zusammengestellten „Übungsaufgaben zur Klassenarbeit Nr. 3“. Wenn ihr bestimmte Aufgabentypen weiter üben wollt, sucht euch diese aus dem „Training“ dahinter heraus. Lösungen dieser Aufgaben veröffentliche ich wie immer auf meiner Website unter https://www.v-d-heyden.de/home/mittelstufe Übungen zur Trigonometrie im Buch (EdM 9); „Bist du fit?“ auf Seite 227 (Lösungen auf Seite 280-282) Für weitere Übungen zu den Strahlensätzen verweise ich auf den Cornelsen Mathe-Trainer: http://www.mathe-trainer.de/Klasse9/Strahlensaetze/Aufgabensammlung.htm Übungsaufgaben (mit Lösungen) zu beliebigen Dreiecken unter Verwendung von Sinussatz und Kosinussatz findet ihr unter http://www.raschweb.de/M10-Sinus-Kosinussatz.pdf , https://www.aus6mach1.de/aufgaben/sinussatz.pdf sowie von https://dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/trigo.pdf die Aufgaben auf den Seiten 16 bis 18.

Mathematik Klasse 10c Übungsaufgaben zur Klassenarbeit Nr. 3 am 21.3.2019

Hilfsmittelfreier Teil 1 Aufgabe 1: a) Zeichne die Graphen der Sinusfunktion und der Kosinusfunktion im Bogenmaß im Intervall –π ≤ x ≤ 3π (1 cm entspricht einer Einheit, π ≈ 3)

b) Nenne alle Punkte in der Abbildung, die Symmetriezentren des Graphen der Kosinusfunktion sind.

c) Gib alle Bereiche in –π ≤ x ≤ 3π an, in denen die Sinusfunktion streng monoton fallend ist. Aufgabe 2: Gib exakt an: cos(0) = sin(45°) = cos(60°) = tan(30°) =

sin(3

) = cos(π) = tan(4

) = cos(2

) =

sin(150°) = cos(225°) = sin (–90°) = cos (930°) = Aufgabe 3: Es ist sin(37°) ≈ 0,60 .

a) Begründe, dass deshalb cos(37°) ≈ 0,80 sein muss. b) Berechne mit Hilfe dieser beiden Werte auf zwei Nachkommastellen genaue

Näherungswerte für i. tan(37°) ii. sin(53°) iii. cos(127°) iv. tan(–53°)

Aufgabe 4: a) Formuliere den Sinussatz in Worten! b) Stelle eine Formel zur Berechnung von cos(δ) in dem dargestellten Dreieck DEF auf.

δ

d

e

f

E

D

F

Teil 2 mit CAS und Formelsammlung Aufgabe 1: a) Rechne die folgenden Winkelgrößen ins Bogenmaß um. Gib das Ergebnis in Vielfachen von π an, wenn dies sinnvoll ist. i. 240° ii. 67,1° iii. 72° iv. 609° b) Rechne die folgenden Winkel ins Gradmaß um. Runde sinnvoll!

i.

4

3 ii.

2

11 iii. 0,63 iv. 4,71

Aufgabe 2: a) Bestimme die Länge des Sees und die Breite des Flusses aus den angegebenen gemessenen Längen. b) Unter welchen Voraussetzungen ist dies nur möglich? Aufgabe 3: Ein Drachen steht in der Luft. Die 22 m lange Leine ist gerade gespannt und zeigt unter 48° (zur Ebene) in die Höhe. Skizziere den Sachverhalt und berechne, wie hoch der Drachen steht. Aufgabe 4: Gegeben ist ein Dreieck ABC mit Hypotenuse c und

a) α = 34° ; a = 5,2 cm b) β = 77°; c = 1,25 dm

c) a = 4,0 km ; c = 6,4 km Berechne jeweils die fehlenden Seiten und Winkel. Aufgabe 5: Eine Leiter der Länge 4,7 m wird an eine Wand gelehnt. Zwischen welchen Werten darf sich ihr Anstellwinkel gegenüber der Wand bewegen, wenn der Fußpunkt der Leiter mindestens 1m, aber nicht weiter als 2m von der Wand entfernt sein soll? (Runde auf 1 Nachkommastelle.)

560 m

200 m

350 m

132 m

70 m 24 m

Aufgabe 6:

Aufgabe 7: Wie hoch ist der Turm links? Aufgabe 8: Tobias überquert schräg (aber auf geradem Weg) eine 8,50 m breite Straße und legt dabei 11,20 m zurück. a) Skizziere den Sachverhalt. b) Berechne den (spitzen) Winkel α, den der Straßenrand mit Tobias’ Weg bildet.

Aufgabe 9: a) Berechne den Flächeninhalt eines Dreiecks ABC mit den Seiten b = 6,3 cm, c = 7,5 cm und dem Winkel α = 39°. b) Berechne den Flächeninhalt einer Raute mit der Seitenlänge 6 cm, deren Seiten einen spitzen Winkel von 60° bilden. Aufgabe 10: Von einem Dreieck ABC sind drei Größen gegeben. Überprüfe, ob es ein solches Dreieck geben kann. Wenn ja, berechne die übrigen Seitenlängen und Innenwinkel. Wenn nein, begründe weshalb nicht.

a) a = 14 mm, b = 2,3 cm, c = 0,28 dm. b) b = 5,8 cm, c = 8,5 cm, β = 76°. c) a = 5,8 cm, c = 8,5 cm, γ = 76°. d) a = 5,8 cm, b = 8,5 cm, γ = 76°.

Abbildungen zu Aufgabe 11:

1,50 m

32° 26 m

Aufgabe 11: a) Berechne die Länge des Rundwanderweges von der Schutzhütte zum Aussichtsturm über die Brücke zurück zur Schutzhütte. b) Berechne, wie weit Y-Dorf und Z-Dorf in Luftlinie voneinander entfernt sind.

Aufgabe 12:

Die Länge einer Strecke PQ lässt sich

nicht direkt messen. Auf ihrer Verlän-gerung wird daher ein Punkt A markiert und eine Standlinie AC abgesteckt. Ferner

wird auf der Strecke AC ein Punkt B markiert. Von der Standlinie aus werden die Endpunkte der Strecke wie abgebildet angepeilt. Gemessen wurden:

AB=127 m, BC =96 m, α = 73°, β = 80° und γ = 25°. Bestimme die Länge der

Strecke PQ .

Mathematik Klasse 10 Training zur Trigonometrie . .20___ Teil A) Übungsfragen (z.B. zum Erstellen von Frage-/Antwortkärtchen)

1. Wie sind sin(α), cos(α) und tan(α) in einem rechtwinkligen Dreieck definiert?

2. Welche trigonometrische Funktion wird aus Ankathete und Hypotenuse gebildet?

3. Welche trigonometrische Funktion wird aus Ankathete und Gegenkathete gebildet?

4. Welche trigonometrische Funktion wird aus Hypotenuse und Gegenkathete gebildet?

5. Wie sind sin(α), cos(α) und tan(α) am Einheitskreis definiert? Erläutere an einer Skizze!

6. Wie lauten die Winkel zwischen 0° und 90°, für die es spezielle Werte der trigonometrischen Funktionen gibt? Stelle eine Tabelle mit diesen Werten auf!

7. Wie werden sin(α), cos(α) und tan(α) für beliebige Winkel α definiert?

8. In welchen Quadranten gilt i. sin(α)>0 ii. sin(α)<0 ?

9. In welchen Quadranten gilt i. cos(α)>0 ii. cos(α)<0 ?

10. In welchen Quadranten gilt i. tan(α)>0 ii. tan(α)<0 ?

11. Welche Formel für sin und cos liefert der Satz des Pythagoras?

12. Welche Formel für tan(α) ergibt sich aus Anwendung des Strahlensatzes?

13. Wie kann man cos(α) ausrechnen, wenn sin(α) und der Quadrant bekannt ist?

14. Wie kann man sin(α) ausrechnen, wenn cos(α) und der Quadrant bekannt ist?

15. Wie kann man tan(α) ausrechnen, wenn sin(α) und cos(α) bekannt sind?

16. Wie kann man die trigonometrischen Funktionen in einem gleichschenkligen Dreieck anwenden?

Teil B) Übungsaufgaben ohne Hilfsmittel 1.) Überprüfe, ob die folgenden Aussagen wahr sind. Begründe!

a) Es existiert ein Winkel α des zweiten Quadranten, für den sin(α) = cos(α) ist.

b) Es existiert ein Winkel β des ersten Quadranten, für den tan(β) = 100 ist.

c) Für alle Winkel γ des dritten Quadranten haben sin(γ) und cos(γ) dasselbe Vorzeichen.

d) Es gibt einen Winkel δ, für den sin(δ) = 0,9 und cos(δ) = 0,3 ist.

e) Für alle Winkel φ des ersten Quadranten ist sin(φ) < tan(φ) 2.) Fülle die Tabelle mit den Funktionswerten der trigonometrischen Funktionen aus:

α 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° sin(α) cos(α) tan(α) 3.) Bestimme alle Winkel α mit 0° ≤ α ≤ 360° , so dass

a) 2

3)sin( b)

2

2)cos( c)

2

3)tan(

4.) Berechne und vereinfache:

a) )390cos(:)150(sin 2 �� b)

1)60tan(

)45cos(1

c)

60²cos30²sin

60²cos245²sin3= d)

45²cos45²sin

45²cos30²cos30²sin=

e) Zeige, dass 30cos30sin260sin gilt.

5.) a) Für einen Winkel α des 1. Quadranten gilt 5

4)sin( . Gib die exakten Werte von cos()

und tan() an.

b) Für einen Winkel α mit ��

18090 ist 5

3)sin( . Berechne )cos( and )tan( .

c) Für einen Winkel α mit ��

360270 ist 2

2)cos( . Bestimme )sin( und )tan( .

d) Von einem Winkel α ist bekannt, dass 3

5)cos( und

3

2)sin( . Gib den exakten Wert

von tan() an. 6.) Gegeben ist das Dreieck ABC with �

90BCA .

Das Dreieck BCD ist gleichseitig mit 4CD

Außerdem gilt and �

90EDA

Berechne damit die Länge von AD .

Teil C) Übungsaufgaben mit Taschenrechner und Formelsammlung (rechtwinklige Dreiecke)

9.) In einem Dreieck ABC ist die Höhe FC auf der Seite AB eingetragen.

Bekannt sind die Längen AB = 5,8 cm und AF =

2,1 cm sowie der Winkel α = 52°.

a) Berechne die Länge der Höhe FC . b) Berechne die Größen des Winkels β und γ. c) Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks

ABC . d) Berechne den Umfang des Dreiecks ABC .

A B

C

F α β

γ

16.) Die Abbildung zeigt einen Kegelstumpf. Man erhält ihn, indem man einen Kegel parallel zur Grundfläche abschneidet.

a) Berechne . b) Berechne den Umfang des Trapezes ABCD.

17.) Die Cheops-Pyramide von Gizeh hat eine quadratische Grundfläche mit der Seitenlänge 223 m und ist 147 m. a) Stelle dir vor, du solltest eine Seitenkante zur Spitze hochklettern. Wie groß ist die Steigung (in %) und wie groß ist der Steigungswinkel? b) Noch schwieriger wird es, wenn du an der Mitte einer Grundseite und geradewegs zur Spitze hochklettern willst. Berechne auch in diesem Fall Steigung und Steigungswinkel!

Viel Erfolg!

(gemeint ist die Fahrtstrecke auf der Straße!)

15)

Mathematik Klasse 10c Übungsaufgaben zur Klassenarbeit Nr. 3 Lösungen

Hilfsmittelfreier Teil 1 Aufgabe 1: a) Zeichne die Graphen der Sinusfunktion und der Kosinusfunktion im Bogenmaß im Intervall

–π ≤ x ≤ 3π (1 cm entspricht einer Einheit, π ≈ 3)

b) Nenne alle Punkte in der Abbildung, die Symmetriezentren des Graphen der Kosinusfunktion sind.

(–2

| 0 ) , (2

| 0 ), (

2

3| 0 ) , (

2

5| 0 )

c) Gib alle Bereiche in –π ≤ x ≤ 3π an, in denen die Sinusfunktion streng monoton fallend ist.

Die Sinusfunktion fällt streng monoton in –π ≤ x ≤ –2

, in 2

≤ x ≤

2

3 und in

2

5≤ x ≤ 3π.

Aufgabe 2: Gib exakt an:

cos(0) = 1 sin(45°) = 22

1 cos(60°) =

2

1 tan(30°) = 3

3

1

sin(3

) = 32

1 cos(π) = –1 tan(

4

) = 1 cos(2

) = 0

sin(150°) = 2

1 cos(225°) = 2

2

1 sin (–90°) = –1 cos (930°) = 3

2

1

= sin(30°) = – cos(45°) = –sin(90°) = cos(210°) = – cos(30°) Aufgabe 3: Es ist sin(37°) ≈ 0,60 .

a) Begründe, dass deshalb cos(37°) ≈ 0,80 sein muss.

b) Berechne mit Hilfe dieser beiden Werte auf zwei Nachkommastellen genaue Näherungswerte für

i. tan(37°) ii. sin(53°) iii. cos(127°) iv. tan(–53°)

a) Es ist sin²(α) + cos²(α) = 1 und daher cos²(37°) = 1 – sin²(37°) ≈ 1 – 0,60² = 1 – 0,36 = 0,64.

Da wegen 0° < 37° < 90° (I. Quadrant!) sin(37°) > 0 ist, ist daher sin(37°) ≈ 64,0 = 0,80.

b) i. tan(37°) = 4

3

8

6

80,0

60,0

)37cos(

)37sin(

= 0,75. ii. sin(53°) = cos (90°–53°) = cos(37°) ≈ 0,80.

iii. cos(127°) = – cos(180°–127°) = –cos(53°) = –sin(90°–53°) = –sin/(37°) ≈ –0,60.

iv. tan(–53°) = 3

4

60,0

80,0

)37sin(

)53sin(

)53cos(

)53sin(

)53cos(

)53sin(

≈ –1,33 .

Aufgabe 4: a) In jedem beliebigen Dreieck ist der Quotient der Sinusse zweier Innenwinkel gleich dem Quotienten der Längen der jeweils gegenüber liegenden Seiten.

b) ef

dfe

2)cos(

222

δ

d

e

f

E

D

F

Lösungen zu Teil 2 mit CAS und Formelsammlung Aufgabe 1: a) Rechne die folgenden Winkelgrößen ins Bogenmaß um. Gib das Ergebnis in Vielfachen von π an, wenn dies sinnvoll ist.

i. 240° =

3

4 ii. 67,1° =

180

1,67≈ 1,171 iii. 72°

5

2

180

72 iv. 609° ≈ 10,63

b) Rechne die folgenden Winkel ins Gradmaß um. Runde sinnvoll!

i.

4

3= 135° ii.

2

11= 990° iii. 0,63 = 180

63,0

= 36,096…° ≈ 36° iv. 4,71 ≈ 270°

Aufgabe 2: a) Bestimme die Länge des Sees und die Breite des Flusses aus den angegebenen gemessenen Längen. b) Unter welchen Voraussetzungen ist dies nur möglich? x : Länge des Sees; Wenn die beiden Abschnitte g und h parallel sind, kann der 1. Strahlensatz

verwendet werden: m 3508,2m 200

m 560

m 350 x

x= 980 m ist der See lang.

y : Breite des Flusses; Wenn die beiden 70m bzw. 120 m langen Abschnitte parallel sind (was wegen der beiden Orthogonalitätszeichen der Fall ist!), kann der 2. Strahlensatz ( verwendet

werden: yyyyyyy

y

35

311

70

132

70

132m 24

70

132m 24

m 70

m 132m 24

m 31

327m

31

840m 24

31

35 y ≈27,0968 m. Etwa 27 m ist der Fluss breit.

Aufgabe 3: Ein Drachen steht in der Luft. Die 22 m lange Leine ist gerade gespannt und

zeigt unter 48° (zur Ebene) in die Höhe. Skizziere den Sachverhalt und berechne, wie hoch der

Drachen steht.

sin(48°) = m 22

h <==> h = 22 m · sin(48°) = 16,349.. m .

Der Drachen steht etwa 16 m hoch. (Wenn er direkt am Boden befestigt ist.)

Aufgabe 4: Gegeben ist ein Dreieck ABC mit Hypotenuse c und … Berechne jeweils die fehlenden Seiten und Winkel.

a) α = 34° ; a = 5,2 cm )34sin(

2,5

)sin(

cma

c

= 9,2991… cm ≈ 9,3 cm.

β = 90° – α = 56° . )34tan(

2,5

)tan(

cmab

= 7,7093… cm ≈ 7,7 cm.

b) β = 77°; c = 1,25 dm a = c · cos(β) = 1,25 dm·cos(77°) = 0,281189… dm ≈ 2,81 cm α = 90° – β = 13° . a = c · sin(β) = 1,25 dm·sin(77°) = 1,21796… dm ≈ 1,22 dm c) a = 4,0 km ; c = 6,4 km

sin(α) = 4,6

4

c

a=0,625 ==> α = 38,682…° ≈ 39°. β = 90° – α = 51,3178…° ≈ 51°.

a² + b² = c² <==> b = kmac 2222 44,6 4,995998… km ≈ 5,0 km

560 m

200 m

350 m

132 m

70 m 24 m

x

g h

y

22 m h = ?

48° .

Aufgabe 5: Eine Leiter der Länge 4,7 m wird an eine Wand gelehnt. Zwischen welchen Werten darf

sich ihr Anstellwinkel gegenüber der Wand bewegen, wenn der Fußpunkt der Leiter

mindestens 1m, aber nicht weiter als 2m von der Wand entfernt sein soll? (Runde auf 1

Nachkommastelle.)

Für den minimalen Winkel gilt sin(αmin) = 7,4

1

l

a ==> αmin ≈ 12,2845°

Für den minimalen Winkel gilt sin(αmax) = 7,4

2

l

a ==> αmax ≈ 25,1843°

Der Anstellwinkel gegenüber der Wand muss sich zwischen 12,3° und 25,2° bewegen. Aufgabe 6:

Für den Steigungswinkel gilt cos(α) = 7

6

7

2:12

m

m

==> α = 31,0027…° ≈ 31°.

Für die Dachhöhe giolt nach dem Satz des Pythagoras: h² = (7m)² – (6m)² = 13 m² ==> h = 13 m. Also ist der Dachraum etwa 3,61 m hoch. Aufgabe 7: Der Turm ist 1,50 m + 26 m · tan(32°) = 1,50 n + 16,2466… m = 17,7466… m ≈ 17,5 m hoch. Aufgabe 8: Tobias überquert schräg (aber auf geradem Weg) eine 8,50 m breite Straße und legt dabei 11,20 m zurück. a) Skizziere den Sachverhalt.

b) Berechne den (spitzen) Winkel α, den der Straßenrand mit Tobias’ Weg bildet.

cos(α) = m

m

20,11

50,8≈0,7589 ==> α = 40,630…° ≈ 40,6°.

Aufgabe 9: a) Berechne den Flächeninhalt eines Dreiecks ABC mit den

Seiten b = 6,3 cm, c = 7,5 cm und dem Winkel α = 39°.

Für die Höhe hc auf c gilt: sin(α) = b

hc <==> hc = b · sin(α) Damit ergibt sich die folgende Formel

für den Flächeninhalt (die ganz allgemein gilt und auch in der Formelsammlung zu finden ist:)

)sin(2

1

2

1 bchcA

c = 0,5 · 6,3 cm · 7,5 cm · sin(39°) = 14,86769… cm² ≈ 14,9 cm².

b) Berechne den Flächeninhalt einer Raute mit der Seitenlänge 6 cm, deren Kanten einen Winkel von 60° bilden.

Allgemein gilt in einer Raute mir Seitenlänge a und Innenwinkel β für die Längen e und f der beiden Diagonalen:

)2

cos(22)2

cos(

ae

a

e

und )2

sin(22)2

sin(

afa

f

Da sich die Raute aus 4 rechtwinkligen Dreiecken zusammensetzt, deren Katheten jeweils halbe Diagonalen sind, gilt:

)2

sin()2

cos(22

)2

sin(2)2

cos(2

2222

14 2

aaa

effeA

=

2 · (6 cm)² · sin(30°) · cos(30°) = 2 · 36 cm² · 2

3

2

1 = 18 3 cm² ≈ 31,177 cm².

(Man kann mit der Überlegung aus a) kann man die Raute auch in zwei kongruente (hier sogar gleichseitige!) Dreiecke zerlegen. Dann erhät man direkt und allgemein A = a² · sin(β) !)

Leiter l = 4,7 m

Abstand a = 1 m bzw. 2 m

α

.

Straße

8,5

0 m

Tobias’ Weg 11,20 m

.

α

a

a

a

a

e/2

f/2 .

β/2

Aufgabe 10: Von einem Dreieck ABC sind drei Größen gegeben. Überprüfe, ob es ein solches Dreieck geben kann. Wenn ja, berechne die übrigen Seitenlängen und Innenwinkel. Wenn nein, begründe weshalb nicht.

a) a = 14 mm, b = 2,3 cm, c = 0,28 dm <==> a = 14 mm, b = 23 mm, c = 28 mm. SSS Berechne die Innenwinkel mit dem Kosinussatz. Rechne vorher alles in dieselbe Einheit um, Kontrolliere, ob die Winkelsumme 180° beträgt.

28232

142823

2)cos(

222222

bc

acb ≈ 0,8672 ==> α ≈ 29,9°

28142

232814

2)cos(

222222

ac

bca ≈ 0,5753 ==> β ≈ 54,9°

23142

282314

2)cos(

222222

ab

cba ≈ –0,0916 ==> γ ≈ 95,3° .

b) b = 5,8 cm, c = 8,5 cm, β = 76°.

Vorgabe sSW (β liegt gegenüber b, b<c), daher keine oder zwei Lösungen möglich.

)76sin(8,5

5,8)sin()sin(

b

c≈ 1,422 > 1 unerfüllbar, daher gibt es kein solches Dreieck!

c) a = 5,8 cm, c = 8,5 cm, γ = 76°. Vorgabe SsW (γ liegt gegenüber c, c>a), daher eindeutige Lösung.

)76sin(5,8

8,5)sin()sin(

c

a≈ 0,6621 ==> α ≈ 41,5° oder α ≈ 180° – 41,5° = 138,5°.

Die zweite Lösung führt auf α + γ ≈ 214,5° > 180°, ist also nicht sinnvoll. β = 180° – α – γ ≈ 180° – 76° – 41,5° = 62,5°.

5.8)76sin(

)...4590,41sin(

)sin(

)sin(

cb

cm ≈ 7,8 cm.

d) a = 5,8 cm, b = 8,5 cm, γ = 76°. Vorgabe SWS, daher eindeutige Lösung. Berechne c mit Hilfe des Kosinussatzes, dann die übrigen Winkel ebenfalls mit Hilfe des Kosinussatzes und der Winkelsumme im Dreieck:

)76cos(6,88,525,88,5)cos(2 22222 abbac cm² ≈ 82,0365 cm² ==> c ≈ 9,1 cm.

0574,95,82

8.50635,825,8

2)cos(

22222

bc

acb ≈ 0,7835 ==> α ≈ 38,4°

β = 180° – α – γ ≈ 180° – 38,4° – 76° = 65,6° . Aufgabe 11: a) Berechne die Länge des Rundwanderweges von der Schutzhütte zum Aussichtsturm über die Brücke zurück zur Schutzhütte. Vorgabe WSW: a = 5,5 km, β = 54°, γ = 66,5° . Berechne den fehlenden Innenwinkel mit der Winkelsumme im Dreieck: α = 180° – β – γ = 59,5° . Berechne die beiden fehlenden Seiten mit

dem Sinussatz: 5.5)5,59sin(

)54sin(

)sin(

)sin(

ab

km ≈ 5,16416 km ((Schutzhütte bis Aussichtsturm).

5.5)5,59sin(

)5,66sin(

)sin(

)sin(

ac

km ≈ 5,85383 km (Aussichtsturm bis Brücke).

Die Länge des Rundwanderweges beträgt also U = a + b + c = 16,518… km ≈ 16,5 km. b) Wie weit sind Y-Dorf und Z-Dorf in Luftlinie voneinander entfernt? Direkt berechnet mit dem Kosinussatz:

)75cos(351723517)cos(2 22222 yzzyx km² ≈ 1206,01 km²

x ≈ 34,7276 km ≈ 35 km beträgt die Entfernung (Luftlinie) von Y-Dorf nach Z-Dorf.

Aufgabe 12: Die Länge einer Strecke PQ lässt sich nicht direkt messen. Auf ihrer

Verlängerung wird daher ein Punkt A markiert und eine Standlinie AC

abgesteckt. Ferner wird auf der Strecke AC ein Punkt B markiert. Von der Standlinie aus werden die Endpunkte der Strecke wie abgebildet angepeilt. Gemessen wurden:

AB=127 m, BC =96 m, α = 73°, β = 80° und γ = 25°. Bestimme die

Länge der Strecke PQ .

Berechne zunächst im Dreieck ACQ (WSW-Vorgabe) den fehlenden Winkel bei Q zu 82° und

dann mit Hilfe des Sinussatzes AQ ≈ 95,17 m.

Auch im Dreieck ABP sind WSW vorgegeben. Berechne daher den Winkel bei P zu 27° und mit

Hilfe des Sinussatzes AP ≈ 275,49 m. Damit ist AQAPPQ ≈ 180,32 m ≈ 180 m.

Mathematik Klasse 10 Training zur Trigonometrie Lösungen