Mathematische Statistik - fbmn.h-da.defbmn.h-da.de/~ochs/mathe3/skript/statistik.pdf · Eine Stichprobe besteht aus Realisierungen von Zufallsvariablen bzw. wird aus einer Grundgesamtheit

Mathematische Statistik

dient dazu, anhand von Stichproben Informationen zugewinnen. Während die WahrscheinlichkeitsrechnungPrognosen über das Eintreten zufälliger (zukünftiger)Ereignisse macht, werden in der Statistik beobachtete Datenbetrachtet.

Diese erhält man z. B. als Realisierungen von Zufallsvariablen(z. B. beobachtete Augenzahlen bei 10 mal Würfeln) oderdurch Ziehen einer Stichprobe aus einer Grundgesamtheit(z. B. Meinungsumfrage).

Zur Notation

Während Zufallsvariablen meist mit Groÿbuchstaben(typischerweise X , Y , Z ) benannt werden, werden für ihreRealisierungen Kleinbuchstaben benutzt.

statistik.pdf, Seite 1

Teilgebiete der Statistik

Es wird unterschieden zwischen

I Beschreibende (deskriptive) Statistik: übersichtlicheDarstellung, Ermittlung von Kenngröÿen wie Mittelwert,Varianz

I Explorative Statistik: Suche nach Strukturen undZusammenhängen mit Hilfe von Stichproben

I Induktive (schlieÿende) Statistik: Ziehen vonallgemeineren Schlussfolgerungen aus einer Stichprobemit Mitteln der Wahrscheinlichkeitsrechnung


Eine Stichprobe

besteht aus Realisierungen von Zufallsvariablen bzw. wird auseiner Grundgesamtheit (die mathematisch eine Mengedarstellt, von der die Stichprobe eine Teilmenge ist) gezogen.Dabei werden bestimmte Merkmale (oder Variablen) erfasst.

Der Umfang der Stichprobe ist die Zahl ihrer Elemente, d. h.die Zahl der in der Stichprobe erfassten Einheiten aus derGrundgesamtheit. Man spricht von einer Zufallsstichprobe,wenn sie als Teilmenge der Grundgesamtheit zufälligausgewählt wird.

Beispiel

Grundgesamtheit: Alle Studierenden der h_da

Stichprobe: Teilnehmer einer Umfrage

Merkmale: Studienfach, Alter, Schuhgröÿe, Körpergewicht, ...


Ausprägungen

sind die Werte, die ein Merkmal annehmen kann.

BeispielI Das Merkmal Geschlecht hat die Ausprägungen männlichund weiblich.

I Das Merkmal Lebensalter hat die Ausprägungen0, 1, 2, 3, 4, ...

Diskret und stetigI Ein diskretes Merkmal hat nur endlich oder abzählbarviele Ausprägungen.Beispiel: Geschlecht, Alter in Jahren

I Ein stetiges Merkmal hat Ausprägungen, die in einemIntervall ⊂ R liegen.Beispiel: Körpergewicht (bei beliebig hoher Messgenauigkeit)


Skalenniveaus

Ein Merkmal heiÿt

I nominalskaliert, wenn es für seine Ausprägungen keinenatürliche Reihenfolge gibt. In der Regel sind dieAusprägungen keine Zahlenwerte.Beispiel: Geschlecht, Lieblingsfarbe, Partei, Lottozahlen

I ordinalskaliert, wenn es für die Ausprägungen einenatürliche Ordnung gibt.Beispiel: Dienstgrad, Hotel�Sterne

I intervallskaliert, wenn die Ausprägungen Zahlen sind unddie Di�erenz zweier Ausprägungen als �Abstand�interpretiert werden kann.Beispiel: Zeitpunkt, Temperatur

I verhältnisskaliert, wenn es zusätzlich einen �absolutenNullpunkt� gibt.Beispiel: Gewicht, Kontostand


Bemerkungen

I Nominal- und ordinalskalierrte Merkmale werden auch alsqualitative Merkmale bezeichnet, während intervall- undverhältnisskalierte Merkmale als quantitative Merkmalebezeichnet werden.Im erstenen Fall liegt eine Kardinalskala, im zweiten Falleine metrische Skala vor.

I Die vorgestellten Begri�e sind nicht immer klarvoneinander abgegrenzt.


Stichproben

Man unterscheidet zwischen der Erhebung von univariatenDaten, wo nur ein Merkmal betrachtet wird, und multivariatenDaten, wo mehrere Merkmale gleichzeitig betrachtet werden.

Bei einer univariaten Stichprobe vom Umfang n erhält maneine Urliste x1, ..., xn der beobachteten Werte.

Häu�gkeiten

Bei diskreten Merkmalen kann man zählen, wie oft einebestimmte Ausprägung vorkommt.

Die absolute Häu�gkeit hi einer Ausprägung ai ist die Zahl derxk aus der Urliste mit xk = ai ,

die relative Häu�gkeit ist gegeben durch fi =1

nhi .


Beispiel

Bei einer Umfrage zur Lieblingsfarbe erhält man die Antworten

x1 = rot, x2 = grün, x3 = grün, x4 = gelb, x5 = rot,x6 = grün, x7 = blau, x8 = gelb, welche die Urliste bilden.

Es treten die Ausprägungen a1 = rot, a2 = grün, a3 = gelbund a4 = blau auf mit den absoluten Häu�gkeitenh1 = h3 = 2, h2 = 3 und h4 = 1.

Die relativen Häu�gkeiten sind

f1 = f3 =2

8= 25%, f2 = 3

8= 37, 5% und f4 =

1

8= 12, 5%.


Bemerkungen

I Die Reihenfolge der Daten spielt für die Häu�gkeitenkeine Rolle. Daher emp�ehlt es sich, die Urliste zunächstzu ordnen, im Beispielrot, rot, grün, grün, grün, gelb, gelb, blau

I Die absoluten Häu�gkeiten können mit Hilfe einerStrichliste ermittelt werden.

I Die Häu�gkeitsverteilung einer Stichprobe (d. h. dierelativen Häu�gkeiten aller aufgetretenen Ausprägungen)kann in einem Stabdiagramm dargestellt werden.


Stabdiagramm zur Lieblingsfarbe


Klassierung

Bei vielen verschiedenen Ausprägungen (die typischerweise beistetigen Merkmalen auftreten) teilt man diese in Klassen ein.Man spricht dann von einer klassierten Stichprobe.

Eine Klasse ist eine Teilmenge der Menge aller möglichenAusprägungen (typischerweise ein Intervall).

Häu�gkeiten von Klassen

Die absolute Häu�gkeit hi der i�ten Klasse ist die Zahl derbeobachteten Werte aus der Urliste, die in dieser Klasse liegen.

Die relative Häu�gkeit fi = hi/n ist auch hier die absoluteHäu�gkeit geteilt durch den Umfang der Stichprobe.


Histogramme

Die Häu�gkeitsverteilung einer klassierten Stichprobe wird oftin einem Histogramm dargestellt. Dort gehört zu jeder Klasseein Rechteck, dessen Fläche gleich der relativen Häu�gkeit ist.

Die Klassen werden dabei im Normalfall gleich breit gewählt.

Bemerkung

Eine Klassierung erhöht die Übersichtlichkeit der Darstellung,bedeutet aber einen Verlust von Information, da nicht mehrdie genauen Ausprägungen, sondern nur noch dieKlassenzugehörigkeiten betrachtet werden.

Faustregel

Die Zahl der Klassen sollte im Normalfall zwischen 5 und 20gewählt werden und nicht deutlich gröÿer als

√n sein.


Beispiel

Körpergröÿe im cm (gerundet) der deutschenFuÿball�Nationalspieler (WM�Kader 2014) liefert die Urliste

193, 188, 188, 192, 183, 190, 187, 187, 191, 198, 184, 187,189, 190, 182, 170, 182, 183, 171, 182, 186, 182, 183.

Für die 6 Klassen k1 = [170; 175), k2 = [175; 180),k3 = [180; 185), k4 = [185; 190), k5 = [190; 195) undk6 = [195; 200) erhält man die folgenden absoluten undrelativen Häu�gkeiten hi und fi :

i 1 2 3 4 5 6ki [170;175) [175;180) [180;185) [185;190) [190;195) [195;200)hi 2 0 8 7 5 1fi 2/23 0 8/23 7/23 5/23 1/23fi 8, 7 % 0 % 34, 8 % 30, 4 % 21, 8 % 4, 3 %


Histogramm zum Beispiel Körpergröÿe

Die Höhe jedes Rechtecks ist gleich 1

5fi , so dass die Fläche der

relativen Häu�gkeit fi der jeweiligen Klasse entspricht. DieGesamt�äche ist somit gleich 1.


Kenngröÿen einer Stichprobe

charakterisieren die wichtigsten Eigenschaften vonStichproben, deren Ausprägungen Zahlen sind.

Lagekennwerte geben an, in welchem Bereich sich die�typischen� Werte einer Stichprobe be�nden. Dazu gehörendas arithmetische, geometrische und das harmonische Mittel,der Median sowie die Quantile.

Streuungsmaÿe geben an, wie weit diese Werteauseinanderliegen. Dazu gehören die empirische Varianz, dieStandardabweichung, die Spannweite und derInterquartilsabstand.


Das arithmetisches Mittel

oder einfach der Mittelwert x einer Stichprobe vom Umfang nist de�niert als

x = xarithm = 1

n(x1 + ...+ xn).

Beispiel

Bei einer Stichprobe (Körperlänge von n = 10 Fuÿballspielern)erhält man die (geordnete) Urliste183, 187, 187, 188, 188, 190, 191, 192, 193, 198.

Das arithmetische Mittel ist die Durchschnittsgröÿe

x = 1

10· (183+ 187+ 187+ 188+ 188+ 190+ 191+ 192+ 193+ 198)

= 1

10· 1897 = 189, 7.

Weitere Anwendungsbeispiele für das arithmetische Mittel sindmittleres Einkommen oder eine Durchschnittsnote.


Das geometrische Mittel

xgeom = n√x1 · ... · xn

kommt zur Anwendung bei der Berechnung vondurchschnittlichen Wachstumsraten, Kursgewinnen undähnlichem.

Es ist nur dann sinnvoll de�niert, wenn xk > 0 für alleStichprobenwerte xk .

Beispiel

Das geometrische Mittel der Stichprobe

x1 = 1, 2, x2 = 0, 8, x3 = 1, 1, x4 = 1, 3, x5 = 0, 7, x6 = 1, 2ist

xgeom = (1, 2 · 0, 8 · 1, 1 · 1, 3 · 0, 7 · 1, 2)1/6

≈ 1, 1531/6 ≈ 1, 024


Das harmonische Mitteleiner Stichprobe mit xk > 0 für alls k ist de�niert als

xhar =n

1

x1+ ...+ 1

xn

= 1

/[1n

(1x1

+ ...+1xn

)],

d. h. es wird zunächst das arithmetische Mittel der Kehrwerte1

xkberechnet und davon wiederum der Kehrwert gebildet.

Eine typische Anwendung ist die Berechnung einerDurchschnittsgeschwindigkeit.

BeispielDie Stichprobe x1 = 50, x2 = 150 und x3 = 100 hat dieKehrwerte y1 =

1

x1= 1

50, y2 = 1

x2= 1

150und y3 =

1

x3= 1

100.

Diese haben das arithmetische Mittel

y = 1

3·(

1

50+ 1

150+ 1

100

)= 1

3· 11

300= 11

900≈ 0, 012.

Das harmonische Mittel der ursprünglichen Stichprobe istsomit xhar = 1/y = 900

11≈ 81, 8.


Anwendung/InterpretationEin Fahrzeug legt eine Strecke von 120 km zurück, davonjeweils ein Drittel (also s = 40 km) mit einer Geschwindigkeitvon v1 = 100 km/h, v2 = 50 km/h und v3 = 150 km/h.

Wie groÿ ist dann die Durchschnittsgeschwindigkeit?

Dazu können zunächst die Fahrzeiten für die einzelnenStreckenabschnitte bestimmt werden: t1 = s

v1= 0, 4 Stunden

= 24 Minuten für das erste Drittel sowiet2 =

sv2

= 48 Minuten und t3 =sv3

= 16 Minuten für daszweite bzw. dritte Drittel. Die Gesamtfahrzeit ist damitt = t1 + t2 + t3. Auf der Gesamtstrecke 3s = 120 km erhältman die Durchschnittsgeschwindigkeit

3st

=3s

t1 + t2 + t3=

3ssv1+ s

v2+ s

v3

=1

1

3·(

1

v1+ 1

v2+ 1

v3

)= vhar ≈ 81, 8 km/h.


Der Median

oder Zentralwert x̃ einer Stichprobe ist der Wert �in der Mitte�der geordneten Urliste.

Hat die Urliste die Form x1, x2, ..., xn mit xk ≤ xk+1 für alle k ,so ist

x̃ =

{x n+1

2

falls n ungerade

1

2

(x n2+ x n

2+1

)falls n gerade

Beispiel

Die Stichprobe 1, 2, 4, 5, 8, 9 hat den Umfang n = 6, also istder Median gleich

x̃ = 1

2(x3 + x4) =

1

2(4+ 5) = 41

2.

Bei der Stichprobe -1; 0; 0,2; 0,9; 1,6; 3,8; 6,1 ist n = 7,

also ist der Median x̃ = x4 = 0, 9.


Bemerkungen

I Im Gegensatz zum (arithmetischen) Mittel ist der Median�unemp�ndlich� gegenüber starken Ausreiÿern.

I Sind alle Elemente der Urliste verschieden, so liegen�links� und �rechts� vom Median jeweils gleich vieleElemente.

I Eine Verallgemeinerung sind Quantile für p ∈ (0, 1):Links vom p�Quantil x̃p liegt der Anteil p allerStichprobenwerte, rechts davon der Anteil 1− p.

I Der Modalwert einer Stichprobe ist die Ausprägung mitder gröÿten Häu�gkeit.Beispiel: Lieblingsfarbe grün


Quantile

Zu einer Stichprobe vom Umfang n und p ∈ (0, 1) de�niertman das p�Quantil x̃p wie folgt:

I Ist k = n · p eine ganze Zahl, so nimmt man einen Wertzwischen xk und xk+1:x̃p = 1

2· (xk + xk+1)

I Ist np 6∈ Z, so wählt man die nächstgröÿere ganze Zahl kund setzt x̃p = xk .

Für p = 0, 5 entspricht dies der De�nition des Medians,

die Quantile für p = 0, 25 und p = 0, 75 werden als unteresund oberes Quartil bezeichnet.


Beispiel

Für eine Stichprobe vom Umfang n = 10 liegt das30%�Quantil x̃0,3 zwischen x3 und x4, genauerx̃0,3 =

1

2(x3 + x4).

Sind x3 und x4 verschieden, so liegen x1, x2 und x3 (also genau30% aller Stichprobenwerte) links von x̃0,3 und die übrigen70% rechts von x̃0,3.

Konkretes Beispiel: Bei einer Stichprobe mit der geordnetenUrliste 1, 2, 2, 3, 4, 6, 6, 7, 9, 10 ist

x̃0,3 =1

2(2+ 3) = 21

2.


Fortsetzung Beispiel mit n = 10

Urliste 1, 2, 2, 3, 4, 6, 6, 7, 9, 10 ist

Mit p = 0, 75 ist n · p = 7, 5 6∈ Z, aufgerundet erhält man 8.Damit ist das obere Quartil (= 75%�Quantil) der 8. Wert dergeordneten Stichprobe

x̃0,75 = x8 = 7.

x = x8 ist die kleinste Zahl, für die mindestens 75% derStichprobenwerte ≤ x sind und gleichzeitig die gröÿte Zahl,für die mindestens 25% der Stichprobenwerte ≥ x sind.

Darüber hinaus ist für jedes p mit 0, 7 < p < 0, 8 dasp�Quantil x̃p = x8, analog ist z. B. x̃p = x4 für alle p mit0, 3 < p < 0, 4.


Empirische Verteilungsfunktion

Die empirische Verteilungsfunktion einer Stichprobe vomUmfang n ist de�niert als

F (x) =1n#{k : xk ≤ x

},

d. h. für x ∈ R ist F (x) der relative Anteil derStichprobenwerte, die ≤ x sind.

F ist eine Treppenfunktion, d. h. sie ist auf Teilintervallenkonstant mit Sprungstellen dazwischen.


Beispiel Stichprobe 1, 2, 2, 3, 4, 6, 6, 7, 9, 10

Empirische Verteilungsfunktion F (x) mit 30%- und75%�Quantil


Quantile und empirische Verteilungsfunktion

Bei der Bestimmung des Quantils x̃p durch die empirischeVerteilungsfunktion F (x) sind zwei Fälle zu unterscheiden:

1. Der Wert p wird von der empirschen Verteilungsfunktionangenommen, d. h. es gibt ein Teilintervall [x1, x2) mitF (x) = p für alle x ∈ [x1, x2).In diesem Fall wird das p�Quantil als Mittelpunkt diesesIntervall gewählt, also x̃p = 1

2(x1 + x2).

2. Der Wert p wird von der empirschen Verteilungsfunktionnicht angenommen.Dann ist x̃p die Sprungstelle von F (x), an der der Wert p�übersprungen� wird.In diesem Fall gilt F (x) < p für alle x < x̃p und F (x) > pfür alle x ≥ x̃p.


Varianz

Ein Maÿ für die Streuung der Werte einen Stichprobe vomUmfang n ≥ 2 um den Mittelwert x ist die (empirische)Varianz oder Stichprobenvarianz

s2 =1

n − 1

n∑k=1

(xk − x)2 =1

n − 1

((x1 − x)2 + ...+ (xn − x)2

)s =√s2 wird als empirische Standardabweichung bezeichnet.

Eine kleine Rechnung zeigt (mit der De�nition von x)

s2 =1

n − 1

(x21+ x2

2+ ...+ x2n − n · x2

)Achtung: Im Unterschied zur Varianz einer Zufallsvariable istbei der Stichprobenvarianz der Vorfaktor 1

n−1statt 1

n.


Weitere Streuungsmaÿe

I Spannweite: Di�erenz zwischen dem gröÿten und demkleinsten Wert der Stichprobe.

I Interquartilsabstand dQ = x̃0,75 − x̃0,25: Di�erenz zwischendem 75%�Quantil und dem 25%�Quantil.

Interpretation: Die Hälfte der Stichprobenwerte liegtinnerhalb des Interquartilsabstandes, jeweils ein Viertelsind Ausreiÿer nach oben bzw. nach unten, die keinenEin�uss auf den Interquartilsabstand haben.


BeispielDie Stichprobe 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 12, 13 hat

I Mittelwert x = 1

9(0+ 1+ 1+ 2+ 3+ 5+ 8+ 12+ 13) = 5

I Median x̃ = x̃0,5 = x5 = 3I Modalwert (häu�gster Wert) 1I Quartile x̃0,25 = x3 = 1 und x̃0,75 = x7 = 8I empirische Varianz s2 =

1

8(02 + 12 + 12 + 22 + 32 + 52 + 82 + 122 + 132 − 9 · 52)

= 1

8

((0− 3)2 + (1− 3)2 + (1− 3)2 + (2− 3)2

+(3− 3)2 + (5− 3)2 + (8− 3)2 + (12− 3)2 + (13− 3)2)

= 1

8(9+ 4+ 4+ 1+ 0+ 4+ 25+ 81+ 100) = 24

I Standardabweichung s =√s2 =

√24 ≈ 4, 9

I Spannweite 13− 0 = 13I Interquartilsabstand 8− 1 = 7


Boxplots

dienen der graphischen Darstellung statistischer Kennzahleneiner Stichprobe. Der zentrale Teil ist ein Rechteck (die�Box�), die vom unteren bis zum oberen Quartil reicht und amMedian in zwei Teile unterteilt ist. Die Gesamtbreite der Boxist somit der Interquartilsabstand. Verlängert die Box anbeiden Seiten durch Linien, welche die Daten jenseits derQuartile kennzeichnen.


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