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Mathematisches Modellieren
Dr. Dankwart Vogel
Uni Essen WS 2009/2010 2
Kapitel 1: Überblick
Credo:
Mathematik ist für das Studium realer Probleme unentbehrlich.
Ziele der Veranstaltung:
� Auslotung des Verhältnisses Mathematik/Realität
� Lehrreiche, dabei elementare Beispiele
� Auseinandersetzung mit Blick auf den Mathematikunterricht
Uni Essen WS 2009/2010 3
Zur Konkretisierung des Ziels der Veranstaltung ein
Erstes Beispiel
Der Kohlendioxid-Gehalt der Erdatmosphäre
Daten
Quelle: World Resources Institute (http://earthtrends.wri.org)
385,342008
379,672005
360,881995
354,191990
CO2-Gehalt in Jahr ooo
Uni Essen WS 2009/2010 4
Typische Fragen:
� Wie schnell nimmt der CO2-Gehalt zu?
� Wann erreichte er erstmals 300 Promille?
� Wann wird er auf 400 Promille angestiegen sein?
� Wie hoch wird er in 10 Jahren sein?
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Drei Methoden stehen uns zur Verfügung
� numerische
� graphische und
� theoretische Methoden
Uni Essen WS 2009/2010 6
Operieren wir mit den Zahlen selbst, sprechen wir von numerischen Methoden.
Beispiel: Von 1995 bis 2005 stieg der CO2-Gehalt um 18,79 Promillepunkte. 2015 wird er daher schätzungsweise
Promille betragen.
385,342008
379,672005
360,881995
354,191990
CO2-Gehalt in Jahr ooo
379,67 18,79 398,46+ =
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385,342008
379,672005
360,881995
354,191990
CO2-Gehalt in Jahr oooRepräsentieren wir die Daten
graphisch oder bildlich, sprechen wir von graphischen Methoden.
Beispiel:
Linearen Anstieg voraussetzend ziehen wir per Augenmaß eine Ausgleichsgeradeund beantworten mit ihr die gestellten Fragen.
Keine schlechte Methode, da wir die Antworten stets vor Augen haben.
CO2-Konzentration
300
325
350
375
400
1985 1990 1995 2000 2005 2010
Jahr
pro
100
0
Uni Essen WS 2009/2010 8
385,342008
379,672005
360,881995
354,191990
CO2-Gehalt in Jahro
ooTheoretische Methoden machen von mathematischen Beschreibungsmitteln Gebrauch, wie sie etwa die Algebra zur Verfügung stellt.
Beispiel:
Wir beschreiben den Kohlendioxidgehalt algebraisch:
Für 2015 erhalten wir so
Promille.
(Zum Vergleich: Die numerische Methode hatte 398,46 ergeben.)
2
1,7597 3148,4
0,9964
y t
R
= ⋅ −
=
1,7597 2015 3148,4 397,40y = ⋅ − =
ooo
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Vergleich der drei Methoden (1)Für numerische Methoden ist
intelligentes Probieren (trial
and error) kennzeichnend.
Beispiel: Wir wollen wissen, wann ein CO2-Gehalt von 400 erreicht wird.
Wir probieren, bis wir am Ziel sind:
Der mittlere jährliche Anstieg beträgt
Von 1990 an gerechnet probieren wir der Reihe nach
Ergebnis: Innerhalb des Jahres wird der Zielwert erreicht.
385,342008
379,672005
360,881995
354,191990
CO2-Gehalt in Jahr
385,34 354,191,73
2008 1990
−=
−
26 Jahre
30 Jahre
20 Jahre 354,19 1,73 20 388,79+ ⋅ =
354,19 1,73 30 406,09+ ⋅ =
354,19 1,73 26 399,17+ ⋅ =
1990 27 2017+ =
Uni Essen WS 2009/2010 10
Vergleich der drei Methoden (2)
Graphische Methoden sind
gewöhnlich nicht so genau, dafür
sind sie bestens zu kontrollieren und
zu kommunizieren (!).
385,342008
379,672005
360,881995
354,191990
CO2-Gehalt in Jahr
354,19 1,73 20 388,79+ ⋅ =
354,19 1,73 30 406,09+ ⋅ =
354,19 1,73 26 399,17+ ⋅ =
1995 27 2012+ =
CO2-Konzentration
300
325
350
375
400
425
1985 1990 1995 2000 2005 2010 2015 2020
Jahr
pro
100
0
Beispiel:
Wieder wollen wir wissen, wann ein CO2 -Gehalt von 400 erreicht wird.
Wir zeichnen und lesen ab:
Im Jahr 2017 ist es so weit.
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Vergleich der drei Methoden (3)
Theoretische Methoden sind
im Allgemeinen voraussetzungsvoll.
Die unterliegenden Annahmen sieht
man ihnen oft nicht an.
Beispiel:
Wie finden wir die
Ausgleichsgerade,
die die Entwicklung
am besten beschreibt?
Was heißt hier
„am besten“?
385,342008
379,672005
360,881995
354,191990
CO2-Gehalt in Jahr
CO2-Konzentration
y = 1,7597x - 3148,4
R2 = 0,9964
325
350
375
400
1985 1990 1995 2000 2005 2010
Jahr
pro
100
0
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Wir bemerken noch� Erst die Vernachlässigung von Details ermöglicht
mathematisches Modellieren, führt zu Fortschritten
im Verstehen und gestattet Voraussagen.
Im Vereinfachen, ohne zu verfälschen, liegt der Kern
der Kunst des Modellierens.
� Die drei Methoden ergänzen einander.
� Insbesondere die theoretischen Methoden erweitern
in ungeahnter Weise unsere Möglichkeiten,
in Zusammenhänge tiefer einzudringen.
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Wir halten festModellieren� hat Prozesscharakter
� ist prinzipiell nie abgeschlossen
� ist mehr oder weniger theoriegeleitet
� lässt sich nicht standardisieren
� setzt Vereinfachung voraus - und daher Erfahrung und Augenmaß
� findet oft unreflektiert statt und entzieht sich dann der Kritik.
Kennzeichnend für das Modellieren sind die vier Tätigkeiten
� Mathematisieren
� Deduzieren
� Interpretieren und
� Validieren.
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Kapitel 2 Folgen und Differenzengleichungen
Wie kommen wir zu Prognosen?
Eine gute Möglichkeit: Wir suchen nach Invarianten in
Datenreihen, also – mathematisch betrachtet –
in Zahlenfolgen.
Ziel des Kapitels:
Bereitstellen des mathematischen Rüstzeugs für diese Aufgabe.
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1 barrel petroleum US. = 42 liquid gallons US (je 3,7853 Liter)
= 158,987 Liter
Quelle: http://www.eia.doe.gov/iea/pet.html
Uni Essen WS 2009/2010 17
76.711,902000
75.727,161999
74.052,941998
73.426,901997
71.670,751996
70.133,131995
VerbrauchJahr
Tabelle: Weltölverbrauch in Tausend Barrel pro Tag
Ölverbrauch der WeltWir beschränken uns auf die Jahre 1995 bis 2000.
Was bemerken wir?
Uni Essen WS 2009/2010 18
Wir sehen nichts? Dann hilft vielleicht eine Graphik …
Weltölverbrauch in 1000 Barrel proTag
0
20.000
40.000
60.000
80.000
100.000
1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001
Uni Essen WS 2009/2010 19
Eine VereinfachungZur besseren Übersicht runden wir kräftig und wechseln die Einheit:
Verbrauch in Tsd. Barrel
76.711,902000
75.727,161999
74.052,941998
73.426,901997
71.670,751996
70.133,131995
VerbrauchJahr
→
Verbrauch in Mio Barrel
76,72000
75,71999
74,11998
73,41997
71,71996
70,11995
VerbrauchJahr
0
20.000
40.000
60.000
80.000
100.000
1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001
0
20
40
60
80
100
1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001
→
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Der Ölverbrauch ist eine diskrete Variable.
Die Variablenwerte stehen jeweils für gleichlange Zeiträume (1 Jahr) und haben eine natürliche Reihenfolge.
Wir repräsentieren den Weltölverbrauch daher durch die Zahlenfolge
steht für den mittleren Tagesverbrauch n Jahre nach 1995.
steht etwa für den Verbrauch im Jahr
1. Sehen Sie, dass es günstig ist, dem Basisjahr die Nr. 0 zuzuweisen?
2. Beachten Sie den Unterschied zwischen und
Nun eine Prise Terminologie …
ZeitGeld
Strecken, Geradeneinzelne Punkte
reelle Zahlenganze Zahlen
kontinuierlichdiskret
76,72000
75,71999
74,11998
73,41997
71,71996
70,11995
VerbrauchJahr
1995 3 1998.+ =
0 1 2 5, , ,..., ,...,nV V V V V
nV
3 0 3V V
+=
0 3V
+ 03.V +
Uni Essen WS 2009/2010 21
Unser Diagramm legt ein lineares Modell nahe: Der Tagesverbrauch ändert sich Jahr für Jahr um ungefähr den gleichen Betrag – die Invariante.
Die Abweichungen vom linearen Verlauf deuten wir als Zufallsschwankungen.
Frage: Wie groß ist d?
Auf der Suche nach einer Gesetzmäßigkeit
0
1
2
5
70,1
70,1
70,1 2
.......................
70,1
.......................
70,1 5
n
v
v d
v d
v nd
v d
=
= +
= +
= +
= +
Die sind unsere Modellgrößen, nicht zu verwechseln mit den gegebenen Daten, den
(In der Statistik unterscheidet man die Modellgrößen von den Daten oft durch ein Dach „^“: usw.)
nv
.nV
ˆ ˆ, ; ,x x y y
76,72000
75,71999
74,11998
73,41997
71,71996
70,11995
VerbrauchJahr
0
20
40
60
80
100
1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001
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Bestimmung der Invarianten d
76,72000
75,71999
74,11998
73,41997
71,71996
70,11995
VerbrauchJahrnV
→
Vorweg: Genau genommen müssten wir alle Datenpunkte berücksichtigen. Wie das geht später.
Wir behelfen uns mit
Beachte: d ist eine Modellgröße. Sie ist die mittlere jährliche Zunahme, wenn und als fix betrachtet werden.
In unserem Modell gilt also
oder
Solche Gleichungen heißen Rekursions- oder Differenzengleichungen.
Allgemein: Eine Rekursionsgleichung beschreibt, wie die Glieder einer Zahlen-folge aus einem oder mehreren vorangehenden Gliedern der Folge berechnet werden können.
5 076,7 70,1
1,325 5
V Vd
− −= = =
1, 0,1,2,...,5n nv v d n
+= + =
1.n nv v d
+− =
0V
5V
→
Uni Essen WS 2009/2010 23
Zusammenfassung
nV steht für den weltweiten mittleren Tagesverbrauch an Mineralöl im Jahr n nach 1995.
Ein Modell der Daten ist gegeben durch die Zahlen
mit und
wobei ist.
Statt der Rekursion (*) können wir den Funktionsterm
verwenden.
nV
nv
0 0v V=
1(*) , 0,1,2,...,4
n nv v d n
+= + =
1,32d =
0(**) , 1,2,...,5
nv v d n n= + ⋅ =
Frage: Welchen Vorteil hat die Funktionsgleichung (**) gegenüber der Rekursionsgleichung (*) ?
Uni Essen WS 2009/2010 24
Wie gut ist unser Modell?
Wir bemerken:
1. Keines der Residuen ist negativ (obwohl als zufällig angenommen).
2. Zwei sind – nach Konstruktion – gleich null.
Folgerung: Da unser Modell sich ausschließlich auf den ersten undletzten Messwert stützt, ist es mit Vorsicht zu verwenden.
Wir messen die Abweichung von der Realität mit den so genannten Residuen : .
n n nr V v= −
0,0076,7076,752000
0,3275,3875,741999
0,0474,0674,131998
0,6672,7473,421997
0,2871,4271,711996
0,0070,1070,101995
r_nv_nV_nnJahr
Uni Essen WS 2009/2010 25
Zwei Modelle im Vergleich
70
71
72
73
74
75
76
77
Jahr
1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001
Verbrauch = 1,30571Jahr - 2534,55; r2 = 0,99
-0,2
0,0
0,2
0,4
1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001
Jahr
Ölverbrauch Scatter Plot
70
71
72
73
74
75
76
77
Jahr
1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001
Verbrauch = Jahr 1995−( )76,7 70,1−( )
570,1+
0
200
400
600
1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001
Jahr
Ölverbrauch Scatter Plot
Unser Modell, das sich ausschließlich auf den ersten und letzten Datenwert stützt.
Ein Modell, das alle Datenwerte als gleich-wertig behandelt (lineare Regression).
Beide Modelle unterstellen Linearität.
Uni Essen WS 2009/2010 26
Wie tauglich sind beide Modelle für Prognosen? –Ein weiterer Vergleich
Wir nehmen den Ölverbrauch für die nächsten 6 Jahre hinzu und entdecken:
1. Unser grobes Modell (li) stimmt mit der Regressionsgeraden über [1995,2006] (re) fast überein.
2. Die Residuen zeigen eine periodische Struktur (wie das Wirtschaftswachstum?). – Dies könnte die Konstanz der mittleren Wachstumsrate (li), jeweils über sechs Jahre genommen, erklären..
70
72
74
76
78
80
82
84
86
Jahr
1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008
Verbrauch = Jahr 1995−( )76,7 70,1−( )
570,1+
-1,2-0,60,00,6
1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008
Jahr
Verbrauch Scatter Plot
70
72
74
76
78
80
82
84
86
Jahr
1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008
Verbrauch = 1,30594Jahr - 2535,2; r2 = 0,98
-1,2-0,60,00,6
1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008
Jahr
Verbrauch Scatter Plot
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Zum guten Schluss:
Ein Blick in den Zoo der Differenzengleichungen
… linearen DG 2. Ordnung
… geometrischen DG
… linearen DG
Familie der …
1n nv v d
+= +
1n nv qv
+=
2 1n n nv av bv
+ += +
Die Konstanten d,q,a,b heißen Parameter.
Mit den beiden ersten DG-Typen werden wir uns in den nächsten Wochen genauer befassen.
Zum letzten Typ vorweg das berühmte Beispiel vonLeonardo Fibonacci (1170-1250).
Uni Essen WS 2009/2010 28
Beginnt man mit den beiden Zahlen
0, 1
und addiert jeweils die beiden letzten Zahlen, so entsteht die Zahlenfolge
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, …
die überaus schnell wächst.
Das hundertste Glied der Folge ist bereits eine 21-stellige Zahl.
Bildungsgesetz
Die Fibonacci-Zahlen (1)
0
1
1 2
0
1
, 1n n n
f
f
f f f n− −
=
=
= + >
Uni Essen WS 2009/2010 29
Die Fibonacci-Zahlen gehorchen der denkbar einfachsten Rekursion, bei der jedes Glied der Folge auf den beiden vorangehenden beruht.
Geradezu erstaunlich ist die Vielfalt der Situationen, in denen Fibonacci-Zahlen auftreten.
Beispiel 1 (Stammbaum einer Königin)
Die Fibonacci-Zahlen (2)
Weiße Punkte stehen für Königinnen, schwarze für Drohnen. Königinnen haben Vater und Mutter, Drohnen nur eine Mutter.
Für die Anzahl der Vorfahren einer Königin Generationen zurück gilt
2 1.n n nv v v
+ += +
2n +
Uni Essen WS 2009/2010 30
Beispiel 2 (Anzahl von Lichtwegen )
Wir legen zwei Glasscheiben aufeinander und zählen die Anzahl möglicher Lichtwege bei 0, 1, 2 usw. Reflexionen:
Die Fibonacci-Zahlen (3)
Verlässt der Lichtstrahl nach Reflexionen das Glas, so wurde er
entweder unmittelbar davor an einer äußeren Grenzschicht reflektiert
( verschiedene Wege)
oder an der mittleren Grenzschicht – und somit zwei Reflexionen davor an
einer äußeren Grenzschicht
( verschiedene Wege).
Bei Reflexionen gibt es also verschiedene mögliche Lichtwege.
Ergebnis: Wir erhalten wieder die Fibonacci-Zahlen, diesmal beginnend mit 1, 2, 3, 5.
2n+
1na+
na
2 1n n na a a+ +
= +2n+
Uni Essen WS 2009/2010 31
Beispiel 3 (Quadratmuster )
Wir legen quadratische Fliesen nach folgendem Muster
und notieren jeweils der Reihe nach ihre Kantenlängen:
1, 1, 2, 3, 5, 8, …
Wieder entsteht eine Fibonacci-Folge, denn für die Kantenlängen der Fliesen gilt
Die Fibonacci-Zahlen (4)
1
2
1 2
1
1
, 1n n n
b
b
b b b n− −
=
=
= + >
Uni Essen WS 2009/2010 32
Von den vielen Eigenschaften der Fibonacci-Zahlensei nur erwähnt, dass für das Verhältnis
strebt.
Die Fibonacci-Zahlen (5)
1n
n
f
f
+ → Φ
n → ∞
ΦHier steht für den goldenen Schnitt, eine (irrationale!) Zahl, die Künstler gern für Proportionen verwenden.
Berühmt ist etwa Leonardo da Vincis (1452-1519) Proportionsstudie von 1492: Quadrat-seite und Kreisradius bilden (nahezu) einen goldenen Schnitt.
Bereits in den Elementen des Euklid (~325-~265 v. Chr.) tritt der goldene Schnitt auf.
Uni Essen WS 2009/2010 33
Wird eine Strecke so geteilt, dass sich das Ganze zum größeren Teil wie dieser zum kleineren verhält, so entsteht der goldene Schnitt:
Wir lösen die Gleichung nach auf:
und erhalten eine quadratische Gleichung mit den beiden Lösungenund
Die positive Lösung ist der goldene Schnitt
Die Fibonacci-Zahlen (6)
Φ
1 1:
1
x
x x xΦ = ⇔ =
−
211 0
1Φ = ⇔ Φ − Φ − =
Φ −
Φ ˆ .Φ
1 11
2 4
1 51,61803...
2
Φ = ± +
±= =
Uni Essen WS 2009/2010 34
Die Fibonacci-Zahlen (7)
Ein gewöhnlicher Kiefernzapfen
Rechtsspiralen der Samen Linksspiralen der Samen
Uni Essen WS 2009/2010 35
Die Fibonacci-Zahlen (8)
Selbst im Blumenkohl finden sich die Fibonacci-Zahlen.
Uni Essen WS 2009/2010 36
Die Fibonacci-Zahlen (9)
Sie geriet anschließend in Vergessenheit und wurde erst 1843 von Jacques Binet (1786-1856) wiederentdeckt.
Obwohl sie drei verschiedene Irrationalzahlen enthält, liefert sie nur ganze Zahlen.
Wir können die Fibonacci-Zahlen rekursiv berechnen.
Doch: Wie lautet ihre Funktionsgleichung?
Tatsächlich lässt sich sie sich mit ein wenig Vektorrechnungfinden – oder mit der Methode der erzeugenden Reihe.
Leonard Euler (1707-1783) hat sie 1765 als erster angegeben:
( )1 ˆ
5
n n
nf = Φ − Φ
