WaCa – Mathematisches Modell · WaCa – Mathematisches Modell, Dmitrij Kopanev, 20.03.12 2/15 WaCa – Mathematisches Modell. Der Gesamtwiderstand F wird bei einem Schrittraupenwasserfahrzeug

WaCa – Mathematisches Modell, Dmitrij Kopanev, 20.03.12 1/15

WaCa – Mathematisches Modell

Dmitrij Kopanev20.03.12


WaCa – Mathematisches Modell.

Der Gesamtwiderstand F wird bei einem Schrittraupenwasserfahrzeug mit zwei Schwimmraupen auf folgende Komponenten unterteilt:

Fw – Wasserwiderstand beim eintauchen der SchwimmkorperFWellen – Wellenwiderstand beim Stellen und Aufheben der Schwimmkorper

FWellen = FWellen_down + FWellen_upFReibung – Reibungswiderstand beim Stellen und Aufheben der Schwimmkorper

FWasserReibeung_down = FWasserReibeung_down + FWasserReibeung_downFroll – Rollwiderstand beim Rollen von Schwimmkörper auf Schienen.

Hier ist darauf zu achten, dass die momentan oberen Schwimmkörper nur jeweils eigene Masse Tragen, währen die momentan unteren – das Gewicht des Rumps ohne Schwimmkörper und das Gewicht der Oberen Schwimmkörper. So können daraus zwei Komponenten abgeleitet werden:

Froll_oben – Rollwiderstand beim Rollen von oberen Schwimmkörper auf Schienen.Froll_unten – Rollwiderstand beim Rollen von unteren Schwimmkörper auf Schienen.

Fluft – LuftwiderstandDer Luftwiderstand kann in zwei Komponenten unterteilt werden:Fluft_rumpf – Luftwiderstand des gesammten Rumfs.Fluft_sk – Luftwiderstand von den nach vorne bewegten Schwimmkörpern.


Geometrie

Bild Geometrie-Seite

Bild Geometrie-Front


Geometrie und Gewicht

Achsenabstand der Schwimmraupe 2,00 m

Länge der Tauchkurve 0,40 m

Antriebsradius 0,16 m

Umfang Schienenring 5,00 m

1,60 m

Masse [kg] m 12 kgAnzahl Schwimmkörper bei einer Swimmraupe: 18 Stück

Schrittweite S 0,28 mAnzahl Schwimmkörper gesamt 36 Stück

Anzahl Schwimmkörper im Wasser 12 Stück

Volumen eines Schwimmkörpers im Wasser 0,001043 m³

Radius Schwimmkörper 0,069248 m

Schrittfaktor (muss >= 1 sein) 1,003804

Querschnittsfläche des Schwimmkörpers 0,03 m²

Radius Schwimmkörperrads 0,006925 m

Länge L 2,62 mHöhe der Tauchkurve 0,09 m

Tauchwinkel 0,23 rad

Tauchwinkel 40,83 °

Tauchradius 1,78 m

Schienenringhöhe 0,40 m

Höhe des Schwimmkörpers mit SKWagen 0,16 m

Höhe des Rumpfs H 0,59 mBreite der Rumpfmitte 0,42 m

Breite eines RaupenRumpfs 0,21 m

Breite des Rumpfs B 0,62 mQuerschnittsfläche des Rumpfes 0,27 m²

LAchsen

Ltauch

rantrieb

Uschienen

(ungenau) Uschienen

= 2 PI rantrieb

+ 2 Lachsen

Länge des Schienenringanteils mit Schwimmkörper im Wasser

Lschienen_unten

Lschienen_unten

= LAchsen

– (2 Ltauch

)/2

Nsk1SR

S = Uschienen

/ Nsk1SR

Nsk

NSR

= 2 Nsk1SR

NSKWasser

NSRWasser

= NSR

Lschienen_unten

/ Uschienen

VSK_wasser

VSK_wasser

= (m / NSRwasser

) / rowasser

rSK

rSK

ca. = POTENZ(VSK_wasser

/PI; 1/3)S / (4 r

SK)

AQSK

AQSK

= 2 PI rSK

²rSKRad

rSKRad

= rSK

/10L = L

achsen + 2 r

antrieb + 4 r

SK + 4 r

SKRad

Htauch

Htauch

= 4 rSK

/ 3α

tauchα

tauch = arctan( H

tauch / L

tauch )

αtauch

rtauch rtauch = Ltauch / sin(α tauch)

Hschienenring

Hschienenring

= Htauch

+ 2 rantrieb

- rantrieb

Htauch

/ rtauch

HSK

HSK

= 2 rSK

+ 3 rSKRad

H = Hschienenring

+ HSK

+ 4 rSKRad

Bmitte

BMitte

= 6 rSK

B

raupeB

raupe = 3 r

SK

B = 2 Braupe

+ Bmitte

= 12 rSK

AQRumpf

AQRumpf

= H Braupe

+ 0,6 H Bmitte


Fwd – (Fwasserdruck) Statische Auftriebskraft

Betrachte den Zustand eines unteren Scwimmkörpers in dem Wasser.Die Auftriebskraft ist

FA_SK = mW_SK g = VW_SK rhoW g

wobei mW_SK die Masse des verdrängter Wasservolumens ist.

Für einen zum Teil sich im Wasser befindenden kugelförmigen Schwimmköeper gilt für das verdrängte Wasservolumen VW_SK das Volumen einer Kugelkalotte mit Höhe h und Kugelradius r: VW_SK = Pi h²/3 * (3r - h)

Wenn der kugelförmiger Schwimmköeper sich zu 2/3 des Diameters im Wasser befindet, gilt mit h = 4/3 rSK: VW_SK = Pi (4/3 rSK)²/3 * (3rSK - 4/3 rSK) = Pi rSK³ * 16/27 * 5/3 = Pi rSK³ * 80/81

Näherung: Von einem zu 2/3 der Höhe im Wasser stehenden kugelförmigen Schwimmkörper verdrängte Wasservolumen ist

VW_SK = Pi rSK³ * 80/81 = ca Pi rSK³

Auf jeden unteren Schwimmkörper wirkt somit eine AuftriebskraftFA_SK = Pi rSK³ rhoW g

Bei NSK_R Schwimmkörper einer Schrittrauperaupe sind ca. (N - 2)/2 Schwimmkörper im Wasser. Bei einem Schrittraupenwasserfahrzeug mit zwei Schrittraupen mit gesamt Anzahl der Schwimmkörper NSK_2R sind NSK_2R_unten = (NSK_2R - 4)/2 Schwimmkörper im Wasser.

Anzahl vom unteren Schwimmkörper bei einem Schrittraupenwasserfahrzeug mit zwei Schrittraupen ist

NSK_2R_unten = (NSK_2R - 4)/2

Die gesamte Auftriebskraft auf das Fahrzeugs ist dann FA_Fahrzeug = FA_SK (NSK_2R - 4)/2 = Pi rSK³ rhoW g (NSK_2R - 4)/2

Die zulässige Gesamtgewicht des Fahrzeugs:

mFahrzeug_max = Pi rSK³ rhoW (NSK_2R - 4)/2


Fw – Wasserwiderstand beim Stellen und Aufheben der Schwimmkorper

FWellen – Wellenwiderstand beim Stellen und Aufheben der Schwimmkorper FWellen = FWellen_down + FWellen_up

FReibung – Reibungswiderstand beim Stellen und Aufheben der SchwimmkorperFWasserReibeung_down = FWasserReibeung_down + FWasserReibeung_down

Research:• Suche nach FEM Wasser ergab spontan keine Ergebnisse.• Suche nach passenden Formeln ergab Information nur zur Berechnung der Reibung einer

Kugel im Wasser.

Modell – Aufheben von Schwimmkörper:

Im Bild ist die Auftauchbewegung des Schwimmkörpers einer Schwimmraupe am Heck des Fahrzeugs im Koordinatensystem des Rumpfs dargestellt. Betrachtet wird die Zeitspanne von t0 – Anfang der Auftauchens des Schwimmkörpers, bis dem Zeitpunkt t1 – der Schwimmkörper ist vollständig über der Wasserlinie.

Der Winkel AK und der Radius r AK beschreiben die gestrichelt markierte Autauchkurve der Schwimmkörper.

Bewegt sich der Fahrzeug mit Geschwindigkeit vR, so ist die horizontale und vertikale Geschwindigkeit der auftauchenden Schwimmkörper:

in Koordinaten des Rumpfes:vSKx = cos( SK t ) vR rAK / (rAK - hSK)vSKy = sin( SK t ) vR rAK / (rAK - hSK)

und in Koordinaten des Wassers:vSKx = cos( SK t ) vR rAK / (rAK – hSK) - vRvSKy = sin( SK t ) vR rAK / (rAK - hSK)


Näherung:Geschwindigkeit der Schwimmkörper gegenüber dem Wasserbei 0 < αSK(t ) < αAK , αAK = π /6 und rAK >> hSK kann wie folgt genähert werden:

vSKx = cos( αSK (t ) ) vR rAK / (rAK – hSK) - vR = vR - vR = 0

vSKy = sin( αSK (t ) ) vR rAK / (rAK – hSK) = sin( αSK (t ) ) vR

Das heißt, dass die Schwimmkörper nahezu vertikal nach oben aus dem Wasser gehoben werden.

Bei kleinen Winkel ( SK t < /6 ) ist sin( SK t ) = t vR / rAK .

Die vertikale Aufhebe-Geschwindigkeit eines Schwimmkörpers zum Zeitpunkt t1, wenn die untere Seite des Schwimmkörpers die Wasserlinie berührt, ist:

vSKy = t (vR /rAK ) vR = t (v²R /rAK )

Die Schwimmkörper werden mit der Beschleunigung:

aSKy= v²R /rAK

vertikal aus dem Wasser gehoben.

Die statischer Auftriebskraft bei Nullbeschleinigung ist

Fauftrieb = Vwasser * rowasser * g

Doch wenn ein Schwimmkörper mit der Beschleunigung aSKy aus dem Wasser gehoben wird, reduziert sich die Kraft FSKy auf:

FSKy(t) = Fauftrieb(t) - FSKyWellen(t) = Vwasser(t) * rowasser * (g - aSKy)

Diese Kraft ist positiv bei g > aSKy d.h. bei v Rg r AK .

Dabei ist die Verlustkraft, die für die Wellenbildung sorgt:

FSKyWellen(t) = Vwasser(t) * rowasser * aSKy


Aus Formel für FSKy(t) folgt, dass biem Auftauchen eines Schwimmkörpers, eine Anteil der ursprunglichen Potentiellen energie in die kinetische Energie des Wassers, also in dieWellenbildung übergeht. Dieser Anteil ist proportional zu dem Faktor aSKy/g:

ESKupWellen = ESKpot * aSKy/g

ESKpot ist dabei die potentielle Energie des verdrängten Wasser bei Zeitpunkt t0.Für einen kugelförmigen Schwimmkörper, der zu 2/3 der Höhe in das Wasser eingetaucht ist ist diese Energigie ca:

ESKpot = pi r4 g njuw * 0,12

Die durchschnittliche Verlustleistung für Wellen beim Aufheben der Schwimmkörper aus dem Wasser PupWellen hängt von der Verlustleistung für Wellen eines Schwimmkörpers ESKupWellen, der Geschwindigkeit des Fahrzeugs v, der Schrittweite S (= Abstand der Schwimmkörper zueinander) und der Anzahl der Schwimmraupen NSR ab:

PupWellen = ESKupWellen * v/S * NSR

Die entsprechende durchschnittliche Wiederstandskraft ist

FupWellen = PupWellen / v

Anahme:Beim Stellen der Schwimmkörper ins Wasser bilden sich genau so viele Wellen, wie beim Aufheben.

PdownWellen = PupWellen

PWellen = PupWellen + PdownWellen= 2 * PupWellen

Die gesamte Verlustleistung für Wellen ist:

PWellen = 2 * ESKupWellen * v/S * NSR

Die entsprechende durchschnittliche Wiederstandskraft ist

FupWellen = PWellen / v


Fwasserreibung – Reibungskraft

(vernachlässigbar)


Froll – Rollwiderstand beim Rollen von Schwimmkörper auf Schienen.

Hier ist darauf zu achten, dass die momentan oberen Schwimmkörper nur jeweils eigene Masse Tragen, währen die momentan unteren – das Gewicht des Rumps ohne Schwimmkörper und das Gewicht der Oberen Schwimmkörper. So können daraus zwei Komponenten abgeleitet werden:

Froll_oben – Rollwiderstand beim Rollen von oberen Schwimmkörper auf Schienen.Froll_unten – Rollwiderstand beim Rollen von unteren Schwimmkörper auf Schienen.

Aus Literetur: http://de.wikipedia.org/wiki/Rollwiderstand

Berechnung:

mR : Masse des Rumpfs ohne SchwimmkörpermSK : Masse eines SchwimmkörpersNSK : Anzahl von Schwimmkörpern gesamtr': Raduis eines Eisenbahnradscr': Rollwiderstandskoeffizient eines EisenbahnradsrRSK: Raduis eines Rads des Schwimmkörper

Bem: Die Berechnung des Rollwiderstandes ist von Anzahl der Räder unabhängig.

Froll_oben = cr' * (NSK/2 * mSK * g ) * ( rRSK: / r')

Froll_unten = cr' * ((mR + NSK/2 * mSK) * g ) * ( rRSK: / r')

http://de.wikipedia.org/wiki/Rollwiderstand


Fluft – Luftwiderstand

Der Luftwiderstand kann in zwei Komponenten unterteilt werden:Fluft_rumpf – Luftwiderstand des gesammten Rumfs.Fluft_sk – Luftwiderstand von den nach vorne bewegten Schwimmkörpern.

Aus Literetur: http://de.wikipedia.org/wiki/Strömungswiderstand

Laminare StrömungBei laminarer Strömung wird der Strömungswiderstand nur durch die innere Reibung des Mediums verursacht. Ist η die dynamische Viskosität des Mediums, so gilt für kugelförmige Körper vom Radius r das Stokessche Gesetz

Die Widerstandskraft FW ist proportional zum Produkt aus cW-Wert und Bezugsfläche welches als Widerstandsfläche bezeichnet wird. Man erhält die Strömungswiderstandkraft aus

Der Faktor: 1/2 * rho * v² wird als Staudruck bezeichnet.

Aus Typische cW-Werte ():

Berechnung:rhoLuft : Luftdichte bei 10° ist 1,25 kg/m³ (http://de.wikipedia.org/wiki/Luftdichte)AR : Querschnittsfläche des Rumpfs ohne SchwimmkorpercW_R: Wert für RumpfASK : Querschnittsfläche des SchwimmkörperscW_SK: Wert für SchwimmkörperNSK : Anzahl von Schwimmkörpern gesamt

FLuft_R = cW_R * AR * 1/2 * rhoLuft * v²

FLuft_SK = (2 + 0,3*(NSK-2)/2) * cW * AR * 1/2 * rhoLuft * (2*v)²

Bem.: Besser wäre die oberen Schwimmkorper abzudechen. Dann kann FLuft_R als der Luftwiderstand dem gesamtem Rumpf und FLuft_SK als der Luftwiderstand des "Zuges" im Tunnel mit Geschwindigkeit v betrachtet werden.

http://de.wikipedia.org/wiki/Luftdichtehttp://de.wikipedia.org/wiki/Str%C3%B6mungswiderstand


Vergleiche nach nötiger Leistung:(Berechnung nach "WaCa_Berechnung_19" vom März 2012)

Maaße Maaße WaCa Einsparrung Kraftstoff

Classic Yacht: Gewicht: 55 t Geschw.: 10 Kn

Länge: 28 mBreite: 6,9m

112 kW(153 PS)

Länge: 50,61 mBreite: 9,43mHöhe: 7,17m

17,2 kW -84,00%

Fischerboot: Gewicht: 60 t.Geschw.: 10 Kn.

Länge: 39,3 mBreite: 9,5 m

368 kW(500 PS)

Länge: 52,72mBreite: 9,65mHöhe: 7,21m

18,5 kW -95,00%

Speed Yacht:Gewicht: 20 t.Geschw.: 40 Kn.


2.206 kW(2 x 1.500 PS)

Länge: 34,67 mBreite: 7,50mHöhe: 6,30m

206,4 kW -90,00%

Vergleiche nach möglicher Geschwindigkeit:(Berechnung nach "WaCa_Berechnung_19" vom März 2012)

Maaße Geschw. Maaße WaCa Geschw.Classic Yacht: Gewicht: 55 tLeistung: 112 kW (153 PS)

Länge: 28 mBreite: 6,9m

10 Kn Länge: 50,61 mBreite: 9,43mHöhe: 7,17m

26,2 Kn +160%

Fischerboot: Gewicht: 60 t.Leistung: 368 kW(500 PS)


10 Kn. Länge: 52,72mBreite: 9,65mHöhe: 7,21m

39,9 Kn +300%

Speed Yacht:Gewicht: 20 t.Leistung: 2.206 kW(2 x 1.500 PS)


40 Kn. Länge: 34,67 mBreite: 7,50mHöhe: 6,30m

89,5 Kn +110%


Beispiel Energieverteilung bei 40 Knoten:

Beispiel Energieverteilung bei 10 Knoten:


Strategie

Laminare Strömung

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