MatheprojektMatheprojekt

Gruppenmitglieder des Gruppenmitglieder des Leistungskurs Mathe ABI 09Leistungskurs Mathe ABI 09

Celina Schneider Celina Schneider Johanna PetersenJohanna Petersen

Liuyi DaiLiuyi DaiFranziska AndresenFranziska Andresen

Teil 1Teil 1

Unsere Wahl: Eine MilchtüteUnsere Wahl: Eine Milchtüte

Besitzt eine Milchtüte die optimalen Maße?Besitzt eine Milchtüte die optimalen Maße?

Inhalt der Tüte: 1 LiterInhalt der Tüte: 1 Liter

Errechnung der optimalen MaßeErrechnung der optimalen Maße

1) Skizze einer Milchtüte1) Skizze einer Milchtüte

h

a a

2) Zielfunktion2) Zielfunktion

[Oberfläche = O][Oberfläche = O]

O = 2(h a + h a + a²)O = 2(h a + h a + a²)

3) Nebenbedingung3) Nebenbedingung

h

a a

4) Verbesserte Zielfunktion4) Verbesserte Zielfunktion

5) Berechnung des Minimums5) Berechnung des Minimums

Bedingung : O‘(a) = 0 ; O‘‘(a) > 0Bedingung : O‘(a) = 0 ; O‘‘(a) > 0 O‘(a) = 0O‘(a) = 0 0 = 4a – 4000a | a²0 = 4a – 4000a | a² 0 = 4a³ - 4000 | : 40 = 4a³ - 4000 | : 4 0 = a³ - 1000 | + 10000 = a³ - 1000 | + 1000 1000 = | 1000 = |

10= a10= a

ÜberprüfungÜberprüfung

O‘‘(10) = 12 > 0 T ! O‘‘(10) = 12 > 0 T !

3

3a3a

6) Weitere Werte6) Weitere Werte

cm10hcm100

cm1000h

a

cm1000h

2

3

2

3

Antwort auf die Frage nach den Antwort auf die Frage nach den optimalen Wertenoptimalen Werten

Die Verpackung wäre ideal, wenn sowohl Die Verpackung wäre ideal, wenn sowohl Länge, als auch Breite und Höhe 10 cm Länge, als auch Breite und Höhe 10 cm

betragen würden.betragen würden.

Die wirklichen Maße von 19,6 cm Höhe und Die wirklichen Maße von 19,6 cm Höhe und 7 cm Breite, bzw. Länge stimmen also 7 cm Breite, bzw. Länge stimmen also

nicht mit den optimalen Maßen überein.nicht mit den optimalen Maßen überein.

Um alle Dinge zu berücksichtigen, die für die Um alle Dinge zu berücksichtigen, die für die Herstellung einer Milchpackung verwendet Herstellung einer Milchpackung verwendet

wurden, müssen Ränder für die wurden, müssen Ränder für die Klebestreifen (in der folgenden Zeichnung Klebestreifen (in der folgenden Zeichnung

grün markiert) berechnet werden. Wir grün markiert) berechnet werden. Wir haben den neuen Materialverbrauch unter haben den neuen Materialverbrauch unter Berücksichtigung eines konstanten Wertes Berücksichtigung eines konstanten Wertes von 0,7cm für die Klebestreifen benutzt. von 0,7cm für die Klebestreifen benutzt.

Wenn man sich eine Milchtüte genau anschaut, Wenn man sich eine Milchtüte genau anschaut, fällt auf, dass nicht nur Klebestreifen zu fällt auf, dass nicht nur Klebestreifen zu

berücksichtigen sind, sondern auch seitlich berücksichtigen sind, sondern auch seitlich weggeknickte Seiten, die auch mit in den weggeknickte Seiten, die auch mit in den Materialverbrauch hineinzählen. Dieser Materialverbrauch hineinzählen. Dieser

„Überschuss“ an Material ist in der folgenden „Überschuss“ an Material ist in der folgenden Zeichnung ebenfalls grün markiert.Zeichnung ebenfalls grün markiert.

Wir stellen uns nun die Frage, wie groß der Wir stellen uns nun die Frage, wie groß der optimale Materialverbrauch wäre!optimale Materialverbrauch wäre!

_______________e________________e_____________________________________

2

ac

AnnahmenAnnahmen _______e_________ _______e_________ d = 0, 7 cmd = 0, 7 cm e = 4a + de = 4a + d c = c = f = h +a+ 2df = h +a+ 2d

O = MaterialverbrauchO = Materialverbrauch

1) Zielfunktion1) Zielfunktion

O= O= O= 4ha + 4a² + 8ad +hd +ad +2d²O= 4ha + 4a² + 8ad +hd +ad +2d²

2) Nebenbedingung2) Nebenbedingung V = 960 cm³ V = 960 cm³ (Nach unseren Messungen scheinen nur 960 cm³ (Nach unseren Messungen scheinen nur 960 cm³

hinein zu passen. Die restlichen 40 cm³ befinden sich vermutlich in hinein zu passen. Die restlichen 40 cm³ befinden sich vermutlich in den Ausbuchtungen der Milchtüte.)den Ausbuchtungen der Milchtüte.)

V = a² h V = a² h

960 = a² h960 = a² h

960960 = h = h

a²a²

d ) d2 a h( ad 4 2 a2 ) a ha 2( 22 2

3) Verbesserte Zielfunktion:3) Verbesserte Zielfunktion:O = 4 960 a+4a²+8 0,7a+960 0,7+0,7a+0,98

a² a²

O = 3840 +4a²+5,6a+672+0,7a+0,98

a a²

O = 4a²+6,3a+0,98+3840+672

a a²

4) Extrempunkte4) Extrempunkte

Bedingung: O‘=0 und O‘‘> 0Bedingung: O‘=0 und O‘‘> 0

O‘= 8a+6,3-3840a -1344a O‘= 8a+6,3-3840a -1344a

O‘‘ = 8+7680a +4032a O‘‘ = 8+7680a +4032a

Notwendige BedingungNotwendige Bedingung

8a + 6,3 –3840a -1344a = 0 | a³8a + 6,3 –3840a -1344a = 0 | a³

8a + 6,3a³ - 3840a – 1344 = 08a + 6,3a³ - 3840a – 1344 = 0

a= 7, 69 cma= 7, 69 cm

5) Überprüfung5) Überprüfung

O‘‘(7,69) = 26, 04 >O‘‘(7,69) = 26, 04 > 00

=> lokale Minimumstelle=> lokale Minimumstelle

6) Weitere Werte6) Weitere Werte960 = h

a²

960 = h

(7, 59)²

16,23 = h (cm)

7) Neue Berechnung des7) Neue Berechnung des

MaterialverbrauchsMaterialverbrauchs

O = 4a²+6,3a+0,98+3840+672

a a²

O = 4(7, 69)²+6,3(7, 69)+0, 98+3840 + 672

7,69 (7, 69)²

O = 796, 68 (cm²)

ErgebnisErgebnis

Der Materialverbrauch der Milchindustrie ist Der Materialverbrauch der Milchindustrie ist nur etwas höher, als der errechnete nur etwas höher, als der errechnete

optimale Verbrauch und das lässt sich optimale Verbrauch und das lässt sich dadurch erklären, dass bei dadurch erklären, dass bei

Lebensmittelverpackungen auch die Lebensmittelverpackungen auch die Hygiene mit im Vordergrund steht. Hygiene mit im Vordergrund steht.

FazitFazit: Die Milchindustrie nutzt die für sie und : Die Milchindustrie nutzt die für sie und uns optimale Verpackung.uns optimale Verpackung.