This article was downloaded by: [University of Chicago Library]On: 12 November 2014, At: 09:52Publisher: Taylor & FrancisInforma Ltd Registered in England and Wales Registered Number: 1072954 Registered office: MortimerHouse, 37-41 Mortimer Street, London W1T 3JH, UK

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Minimum-eontrast-schatzungen .für stoehästischeprozesseWiltrud Mühleis a & Gisela Wittwer aa Sektion Mathematik , Technische Universität Dresden , Mommsenstr.13, Dresden, DDR -8027Published online: 27 Jun 2007.

To cite this article: Wiltrud Mühleis & Gisela Wittwer (1980) Minimum-eontrast-schatzungen .für stoehästische prozesse,Series Statistics: A Journal of Theoretical and Applied Statistics, 11:2, 219-227, DOI: 10.1080/02331888008801537

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Math. Operationsfomch. Statist., Ser. Statistics. 701. 11 (1950) So. ?, 119-'12i

Zusiinri~uenfassnl~q. 111 ~1it;;rr Arb,.it -sird (1i.r voi: PFXSZACL iu: i ; : i f akgr0~~2 r i~~gef i i i~ r t e Begiff tier Minim:un-Ro~~cr~1st-S~1~~~~1~i1g i~11f iicn Fnii xrii\vertiger stucha- z+:c.nl,.~,. D-- .,LL.,,,.L, . LL,,z(.s: it. :;I,,%& .,* , . ..,,,.,. ,,.,-,,- V2t-r E::TI:.~SR~:I Vorsusseizunaen I+(! die Kcnsistenz diesrr - - Sci-i&~zculg be\\.irs!*rl, Verscilieri?ne aus Jrr L i i ~ r i ~ i l ~ i . iwkiiiii~tr Sci i i i iz i~i i~t i i h i sia'iioi~8i-t-ii

P r o ~ ~ s w n e r - , ~ ~ e j s , . ~ ~ s l < ~ ; ~ a,iy q , - i l ~ : l ~ p ~I~~LIIIIT.III~-~<<)II~I-&~~SC:~-I~?~Z<III~PL~I.

- . . - - Gle ~ ~ : ~ : : ~ ~ : ~ - ~ ~ ~ t ~ ~ ~ ~ t ~ ~ ~ ] ~ ~ ~ t ~ ~ ~ ~ r r \ A !-\T$.r-<:-b6 .d--A. --- t ~ ! i ? ? i r \ --- dip P?!?O -\g-eT~.~igelEe~ri~r;2.L~~~ D l ? ---- ----- 0

der TSlauirnum-l,ik~!ihr.or:1-S~hd,t,z~1ns~ G rlarstelit. wurc!e 'r;o:l mehreren Xutoren ffir Stichproben; die a m l~nabhiingigen identisch verteilten ~ u f a l l s g r o ~ e n ' hestehen, 1 ,)e +,,, L L a L ht& D m . --. -- '"1 'Cl

I riiiYLlhC-li LdJ, LVJ, [ 7 ] , ?;IIc::EL und PFAXZAGL [4] nnd C~IBISDV [!I zeigten unter gewissen Voraussetzungen die Existenz, die Konsistenz und die asymptotische Normalverteilung dieser Schatzung und gahen eiiie asymptotische F ~ i t . i . r - i r l r l r , n ~ fii,r die Vertei!unrrcfnnl~ticn & e e r &h$tzang 172W. f ~ r die Schatzi~.ng -A&u .. Ab..AL'.A -

selbst ax. P B A ~ ~ ~ S A RAO be t r~ch te t e in der Xrbeit [8] Xfi-SchS,tzungen fijr nicht identisch

~ ; ~ ~ t ~ i i t ~ , - 7 - - t - " - - ..- ullAh5iigige Zuialisgro5zn.

)fit Hilfe des Begriffes der MK-Schiitzung ist es moglich, eine groBe Klasse von Schatzungen unter einheitlichen Gesichtspunkten zusammenzufassen und fur h e s e Kiasse gewisse Eigenschaften herzu!eiter,. Deshalb ist eine Ertveiterung clieser Definition auf die Statistik zufiilliger Yrczesse von Interesse.

Axliegcn clieser Arbsit ist cs &her, JIK-Schttzunge?~ fBr ree!!wertige stocha- stische Prozesse zu definiereii (Abschnitt 2 ) und ihre Konsistenz unter recht all- gexieinen Toraussetzungen zu Fev~.eiseil (Abschnitt 31, E s x i rd gezeigt (Abschnitt' 4): dn3 ~;i;7h .;.eri.chiedei2e dgr T,ita.;~iur ?>e!i.am>te ,?mm~tey~rh!i~tn~.:;'~g~:n~ - kei

stationdren Prozessen als soiche XK-Schiitzungen erweisen.

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Irrezeichnet,. X" stellt also einen ProzeS dar, dessci~ Reakierungen fiir T = 8 ;.p*?l -w-er tiCjP F ~ - - . l . . A : - - . - ..,, 2 ~ a l h c l u l l r r i iiber 3; und f8 r T = Ej Elemente des It%sind, woSei k die Afizah! der ganzer, - ,7&!ert ist, & in BA liege=. SeiE &e 81enge &tlei. &disierungen . .,.* '. ' - . . I --A - -,.- >--4 ; {-'; ,-;;;- ----. "A ---,--,,- *,,,,,,. ,,, .. . .' . ,* + ~ . , + < 6 <> *,. L ,. ,. ...,,t . :l:c<>;y:x ti?>!??- 2 . U . V*. ur*- \;r -- . ^- -------- - - -

- . ~ - - ; j . . * - - - - .-.. . ! : . , -

c e z - ; < - % ...,....* l , - A L - - A & - " ,-., L L - . x: :% %ac= 2 . . * L?2. - - LlIK:-: 1 L

E, den Erwartungs~verf, hezilglich des WahrscheiniicfieitslntzBes P,. ~ .. - - .~~

~ .- . . ~ - . . - - . ~ . , -

- .. . . . . Aii i i i iP y:?'~. :-.y":<.- -'.--- :-6-----.- ' - .-AA&.-sbs,L eri LBLJ&e>bL*-: LL*;;L ; i y * > j : : - > -;-:.2 , z.c: i > ~-~L!- ! ' ; AAa.L-.> - - ~ - y ; . y

kjamilie ~ Z - - L - - - L ~ . - - ~ - L ; ; . ~ L . ~ 2::- j; .D , - , ~ t 9 t +".,l!~ i i i , i i i i i t s L , i iiili-:>~dz*.r* l L i i i; ;. y T W il iiii:a -,

I ) fiir beliebige wshre Parameter q0e& und aile qc&" ETo('(q, x"):) sowie . . li3- A -- go, i f { n , ,r Tx=i ,, ) \ o - - = - , ~ - - "X?bbleTeI? U R ~

9) fer be!i&ige w a h r ~ Parameter q , ~ & imd alle qEv mit q =qO gilt - / A

lim E J f (qo, X*)) < lim EJf ( q , XA)) . A-- A--

Eine MK-Schiitzung ist eine 21-mefibare Abbildung

4 5 a@ . fur die gilt

f @ , XA) = inf { f (q , XA) : qEQC ) . MK-Schgtzungen fiir unabhiingige identisch verteiite ZufailsgroBen erhait man,

1 A wenn f ( q , d) = - C g(q, xi) und x A = (xi, . . ., x,) gesetzt wird und g(q, x) eine

Kontrast-Funktion nach der Definition von PFANZAGL [5] darstellt.

3. Konsistenz von NK-SchMzungen

Im foigenden setzen wir die Hxistenz einer IvllC-Schatzung voraus. Hinreichende Bedingungen fiir die Existenz von NK-Schatzungen wurden in Lemma 3.10 yon p ~ a ; q z a ~ ~ [5] sngegeben. Sic kenlien ohiie wziteres auf unserer: Fa!! fibertrager,

werden. Urn die Konsistenz einer MK-Schatzung fiir stochastische Prozesse zeigen zu

kijnnen, mussen wir weitere Voraussetzungen treffen

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3Iinimum-Kontrast-SchBtzu~~gen fiir stochastischc Prozesse '321

(i) - A ,,.,-/c1 ECe XA) - k n Egn(f(q, ~1 )!I- 5

A -- - L L

r::.. -:-- T ~ - - - L - - - L , . f< . n .--.3 l L l l G l l l G 1 L U l l b l r i t L l L G t ~ i > V UIIU

(ii) lf(qi, xA) - f (q3 , xA)i s XA) ,

S;JO?)Pj K l , . Y - 4 ) : g Ir?Dd pe i t ive KO;lstaLit.eL1 JI(qO) Qi e_~_i_~?ji~ren, SC) &R LL \ Y O ,

Satz 2 . LTnter den ~-OTCCUsSe;zUnge?Z (V 1) .lEnrc (T,7 4) gibt e~ J.A~ beliehino vb '; -1 - i i v "" '"v & M O

Konstnnte G > O , so dap gilt

Der Beweis zu Satz 2 , der die scharfere Auvslige enthdt , erfordert b we~eniiber o

dem Beweis von Xatz I einige zusiitzliche cberlegungen. Da beide Beweise sn- sonsten anaiog gefiihrt werden, beschranken wir uns auf den Beweis von Satz 2 und folgel., d&?cci den GF.i;,..; .+-,. :c--i?:-c.~l ~ ~ - T . ? ; ; u ; ~ f ~ ~ 7 ; ; c : X X ~ ; 1 t i 9 <lr;r; 2-n- i ,?ll i,-.- r.27 iiiiu6bu ;iiiilL ;> L;uu ;;,;,,A,;. ;;,,, ,, ,, -, ; ,,; i D 2 d i i T - i t - . . l L=>i,

Nach Vorczilssetzung (TJ 1) ist Q E fur beliebige F > O kompakt. Also ist eine ~ b e r - deckung von Q, durch endlich viele Kugeln K j : = ( q € & : 14 - qil 5 fiir jedes 15 statistics, VOI. 11, KO. .?.

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- -

MUHLEIS, it. ; \\-ITTTVER, G.

SSi ;y A2: Erei~=r, (...>c Q. ! ~ " / r . ; \ x - o . ' = r ? iL??lId bPzeichDe T _ i E i ) &.2~-h1 dei. 0"- l""--" 1Y \-"I z o ! - - J

rT ? .. r, Kugein &e Q E Cberdecken. Die Wahrscheiniiciniieit des Ereignisses 12 l a i~ t sich folgendermaiien abschatzen

UEI) p(&jsp [vfi2\-n- ,Ll < , I - 1- -ppq5 F p ( _ g f n x ) ; t - r - p ( j y . ( I ) :e ., -1

F ~ r w E JJ3' n \T gilt-

Betrachten wir nun &e Ereignisse

c j : = i w t Q : jj(gAjoj, ~ " j w ) ) - f ( q ~ , X - ' ( ~ j j i < ~ f ~ X ( ~ ~ ) ] . i31

Pur den Beweis van Sat= 2 geniigt es zu zeigen, daii e k e Iioiistante @, existiert, so daB

F ( q ) : = Jim E(f (g, x')) . A--

Dann gilt fur die Ereignisse

o f : = {WEB: IF(qj) -f(qj, XA(w)) l ~~!1Jf(q,)} ,

j= 1, 2, . . . , L(q) die Usgleichung !y.'T; <cq-q 1 -pi j - ! Q . ? A ' ! ,! 5

I \-j! . \ * j

Es ist ei-sicbtiicb, &fl

P (q r q ) = P (if(@, xA) ==-f (g j , xA) - ~ ( q , ) -, + m q , ) -, - @(qo,] n q i P ( f ( g A , x") >F(q j ) - 2 ~ $ f M ( q ~ ) ) .

Piir die MK-Schgtzung gA gilt

f(@> XA) s f ( q o , Xa4) .

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2.1ufgrund rfer Vnra.x.~ssetzi~ng !V 4) fi) k?innen wir .miter abschCt.zen

Aus (21, (3) und (9) folgt

Damit ist, Satz 2 bewiesen.

- . .

4.1. Sei (X(t), t = . . ., 1, Q, 1, . . .) e:ne IX we i ten Sinne stationdre ~ . ~ c u i a r ~ --a ---- zu- ?2

fBliige Foige mit der Spel;tddichte h ( i , yo) -- q(2 , qoj, wobei E a t ) = 9,

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Dabei bezeichnet i , ( X ) das Periodogramrn des Prozesses

Iflit Iiiife 6er ~ E ~ s E ~ s c h e n Ungieichung kann man die zweite Eigenscilafi der Kontrastfunktionen nachweisen (vgl. IBRAGI~IOV [3]). lTTegen F(q,,) = abrha l ten m;r q;;,. n-Cn >"L I U I y T y "

P(q) \ log - = iog

F(qd

Fiir die Bunktionen g(A, q) ; pcQ, gilt T

j- log g(1, q) dA = 0 . - X

Daraus folgt F!q)>P(q,) fur alle g =kg,.

4.2. Betrachten wir nun den Fall eines stationaren G~ussschen Prozesses mit stetiger Zeit, der eine rationale Spektraldichte h(?,, q,) besitzt. Fur den unbekann-

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Beweis, Es gilt

h(A, P) 1 4 4 q,) W l , qo) loo ---- = -log > - --- + 1 . " h(A, C/O) 741, q ) q )

Daraus folgt

Somit gilt, _h'(q) > F ( p o ) fijr (7 A +po. Dieser Beweis giit - auch fur nicht G~usssche Prozesse mit rationaier Spektrai-

dichte, fiir &e &s Iiitegrai auf &r rechteil Seite von ill) existiert. ifiuch in diesem Fd! s t &e Schltzung fgr die gilt

f(8, XA)=illf { f ( q , X A ) , q € Q ) , eine NX-Schiitzung fur qo.

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Summary

In this paper the notion of minimum contrast estirnatvs introduced by PFANZACL for random variables is introclucecl for realvalued stochast,ic processes. Uncler some c~ntl i t~ions the consistency of such estimates is proved. Moreover i t turns out tha t several n-ellknown estilnates for stationsry proeessrs arr r n i n i l r l ~ i ~ r i contrast rstimates.

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