Mittelpunktspolyeder und translative Zerlegungsgleiehheit.

Herrn GEORQ HAMEL zum 76. Geburtstag gewidmet.

Von HUGO HADWIUER in Bern.

(Eingegangen am 19.5.1952.)

M7ir betrachten Polyederl) A , B, . . . des gewiihnlichen Raumes. Zwei Polyeder A und B heiI3en translationsgleich, symbolisch A E B. wenn sie durch eine Translation im Raum miteinander zur Deckung gebracht werden konnen. Ferner nennen wir zwei Pol yeder A und B translativ xerbgungsgleich, symbolisch d - B, wenn sie im Sinne der Elementargeometrie in endlich viele paarweise translationsgleiche Teilpolyeder zerlegt werden konnen, genauer, wenn es Zer-

legungen2) A = C A , und B =zB, so gibt, daI3 A , B, (v = 1, . . ., n) ausf Lllt .

In der vorliegenden Note charakterisieren wir diejenigen konvexen Polyeder, welche mit einein H'Grfel translativ zerlegungsgleirh sind. Es stellt sich heraus, da13 es genau die Mittelpunktspolyeder im engern Sinn3) sind, d. 11. eigentliche konvexe und zentralsyrnmetrische Polyeder, deren Begrenzungsflachen selbst wieder zentralsymmetrisch sind .

Damit wird eine durch hohe Symmetrie bevorzugte Kiirperklasse, welche hekanntlich in klassischen Gebieten4) stark hervortritt, auf eine neue Weise <t nsgezeichnet.

Das vorliegende Ergebnis, vor allern auch die zu seiner Begriindung ein- gesetzten Uberlegungen und Begriffsbildungen. die weitergehender Verwertung fiihig sind, stellen einen bescheidenen Beitrag ziim allgemeineren Problem der translativen Zerlegungsgleichheit der Polyeder dar.

n n

1 1

1) Ein Polyeder sei hier definiert a19 die Vereinigungsmenge endlich vieler ahgeschlosse- ner und nicht entarteter Tetraeder, welche keine inneren Punkte genieinsam haben.

2) Unter einer Zerlegung eines Polyeders (im Sinne der Elementargeometrie) verstehen wir eine Darstellung als Vereinigungsmenge endlich vieler Teilpolyeder, welche keine inneren Punkte gemeinsani haben.

3) Mittelpunktspolyeder schlechthin sind konvexe zentralsymmetr ische Polyeder, wobei die Bedingung betreffend die Seitenfliichen wegfallt.

4 ) So z. B. in der Geometrie der Zahlen und in der geonietrischen Kristallstrukturlehre. Speziellere Mittelpunktspolyeder im engeren Sinn sind die ,,konvexen Restbereiche" (MINKOWSKI), die ,,Paralleloeder" (FEDOROW) und die ,,zentrierten Pundamentalbereiche" ( KLEIN) .

Vgl. H. MIXICOWSKI, Allgemeine Lehrsiitze iiber die konvexen Polyeder. Nachr. Ges. JYiss. Gottingen, math.-physik. K1. 1891, 198-219 = Ges. Ahh. 1, Leipzig u. Berlin 1911, 103-121; R. v. FEDOROW, RegulSire Ph i - und Raumteilung. Abh. Bayer. Akad. Wks. Niinchen, 11. K1. 20, 465-588 (1899).

54 Hadniger, Kttelpunktspolyeder und translative Zerlegungsgleichheit.

I. I n diesein ersteii Ahsclinitt betrachten n i r translationsinvariante und additive

Funktionale X ( A ) . nelclie uher der liliisse aller Polyeder A definiert sind, so daB also (1) S ( A ) = X ( B ) fiir A S B iind weiter ( 2 ) S(A + B) = X(A) + X ( B ) gilt, falls A + B eine Zerlegung in die Teilpolyeder A und B andeutet .

Die unten folgende Konstruktion solclier Fnnktionnle vorbereit.end, erkliiren wir einige Hilfshegriffe.

Der gesa mte Rand des Polyedera A 18Bt sicli in endlicli viele polygonale 12andfl&chen zerlegen. Jedem tlerartigen berandenden P0lygon5) kIjt sich ein- deutig ein Einheitsvektor zuorclnen, der die Riclitung der nach auBen wei- senden Xornialen des Polyeders ,4 im Innern der hetreffenden Randflaclie anzeigt,. Es sei nun u ein rorgegehener Einheitsvektor, und es bezeichne ( A , u) ths System derjenigen Randfliichen 1-011 A niit den1 iibereiiistiiiiiiienden Rirhtungs- velitor u. Dieser Teil des Randes \-on A zerfallt in eine endliclie Anzalil ebener Polygone: die in parallelen zu u ortliogontil stelienden Ebenen liegen. Retracliten n i r weiter den gesnniten Rand des Polygonsystems (A4, u); dieser 1aBt sicli in endlicli viele Randstreclten zerlegen. Jeder derartig berandenden Strecke kIjt

sich eindeutig ein Einheitsvektor zuordnen, der die Richtnng der nach nuBen weisenden, in der Eiiene des 1,erandeten Polygons liegenden A-ormalen des Polj-gons ini Innern der betreffenden Randstrecke anzeigt. E.s sei nun v ein weiterer? auf u ortliogonal stellender Einheitsvektor, und es bezeichne (A, u, 2:)

das System derjenigen Randstreclien von ( A . u ) niit deni iihereinstimnienden Richtungsvelitor v . Dieser Teil des Randes von ( A , u ) zerfiillt in eine endlielie Anznlil Streeken: die in parallelen auf zc und I I orthogonal stelienden Geraden liegen6). 3:s seien nun weiter / ( A . ,z/ ) der tctnle Fliiclieninhnlt von ( A . PL) uncl ]:(A, a,. v ) die totale Streckenliinge \-on ( A . u. v ) . Bezeicilinet nocli u (A) c la s ITo1rinien \-on A . so n-erden durcli die Ansiitze

(3) ?' (A) = ? , ( A ) .

(4) ( 5 ) K , / r ( A ) = k(d. 1 1 . 1 ' ) ~ k ( A , I d . - 2') + k ( A . 2 1 . - u ) k ( d , - u, v)

tlrei Fnnktionale clefiniert, niimlicli ein ~~olumfnnl r t iona l 1,7(L4), ein Eliiulien- funktionnl P, ( A ) . dns ron eineni Yelitoreinbein '16 nt)liiingig ist, und endlich ein liantenfunlitional Kt lT(A) . clas r o n eineni orthogonalen Vekt'orzweibein u. v abhangt.

P,, (A) = f ( S . 'I/) ~ /(.+I. - 20.

Ohne weiteres 1iiBt sicli einselien. daR durc.li

(6) X(A) = ?.(A). F , / ( A ) . K ? / l . ( i l )

5 , Fiir die genauere Interpretation der hier gewahlten elementaren Ausdrucksweise ist es nicht unwichtig, die hier zustandige Definition cles Polygons zu kennen: Ein Polygon ist die Vereinigungsmenge endlich vieler abgcschlossener und nicht entarteter Dreieclie eincr ISbene, nelche keinc inncren Punkte geineinsam haben (vgl. auch FuRn. 1).

e, Die Fornlulierungen wiederholen sich hicr ahsichtlicl~. urn das Gemeinsaine der Konstruktionen so hervortreten zu lassen, daR eine Erweiterung auf hiihere Dimensionen inoglichst nalirgelegt ist.

Hadmiger, Mittelpunktspolyeder und translative Zerlegungsgleichheit. 55

drei verschiedene Losungen fur die Postulate (1) und (2) gegeben sind, so daR (3), (4) und (5 ) drei translationsinvariante und additive Funktionale definieren. Die Einheitsvektoren u und v sind vektorielle Parameter. Bei Uriideutung auf skalare Parameter bilden die Flachenfunktionale eine 2-dimensionale, die Kantenfunktionale eine 3-dimensionale Schar.

Die hier erklarten Funktionale lassen sich auffassen als primitive Basis- funktionale einer umfassenderen linearen Mannigfaltigkeit transla tionsinvarianter und additiver Funktionale, die durch den Ansatz

X ( A ) = C V ( 4 +CC(u)F,(A) + C C ( u , V)KZI(A) 11 u,u

( 7 )

gegeben sind, wo C eine willkiirliche Konstante, C(u) eine willkiirliclie Einbein- funktion und C(u, v) eine willkiirliclie Zweibeinfunktion darstellt. Die Sum- mationen haben sich iiber die kontinuierlich vielen Einbeine und ortliogonalen Zweibeine zu erstrecken, doch reduzieren sie sich bei einem gegebenen Polyeder A auf nur endlicli viele Glieder, da die priniitiven Funktionale fur fast alle vek- toriellen Parameter verschwinden.

11. Der vorliegende zweite Absclinitt liandelt von eineni Kriteriuni fur die

translative Zerlegungsgleichheit zmeier Polyeder, das auf den im ersten Ab- schnitt eingefiihrten Funktionalen beruht. 1st X ( A ) ein Polyederfunktione 1 rnit den Eigenschaften (1) und ( Z ) , so gilt offenbar

(8) X ( A ) = X ( B ) , fdls A - B ist ;

d. 11 . notwendige Beclingung dafiir, daB zwei Polyeder translativ zerlegungs- gleich sind, ist jedenfalls die Ubereinstinimung der Werte fur lseliebige trans- lationsinvariante und additive Funktionale. Mit Berucksiclitigung der drei Punktionale (6) ergibt sich so das folgende notwendige Kriterium :

(9) J’(A) = V(B) . P, , (A) = Fu(B), K, , , (A) = K,,(B) artsf&llt 7) .

Zwei Polyeder A und B sind nur dann translativ zerlegungsgleicli, n-enn

Auf Grund dieses Kriteriums zeigen wir nun zunaichst, daI3 ein Iconvexes Polyeder A , dim niit einem Wiirfel W translativ zerlegungsgleich ist, notwendig ein hlittelpunktspolyeder im engern Sinn sein mu& In der Tat : Mit (9) folgt aus A - W , daI3

(a) Fu(A) = 0 und

sein muR, da sich mit Riickblick auf die Erklarungen (4) und (5) leicht F,(W) = 0 und Ku,(W) = 0 ergibt. Aus (a) folgern wir nnch (4) / ( A , u) = / ( A . -u), und nach einem bekannten Lehrsatz von MKNKOWSRI~) steht hereits fest, daB A ein Mittelpunktspolyeder ist. Aus (b) folgt ferner nach ( 5 )

k ( A . u, w) + k ( A , -u, -w) = k ( A , u , -v) + k(A, - 2 1 , v),

7) Die Frage, ob dieses Kriterium auch hinreicht, ist noch unabgekkrt. 8) H. MINKOWSKI, loc. cit.

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iind da wegen der Zentralsyniinetrie von -4 die beiden links stehenden wie auch die heiclen reclits stehenden Kantenlangen je gleich sind, so folgt so k ( d , w, v) = k ( A , u, - v ) . Dies bedeutet nun aher. daB die Randflache ( A , u) \-on A selbst wieder ein J1ittelpunktspol;vgon ist. Also ist A ein Mittelpunkts- polyecler in1 engern Sinn.

Hadwiger, Mittelpunktspolyeder und translative Zerlegungsgleichheit.

111.

In dieseni dritten Abschnit,t erbringen wir einen direkten Beweis, da13 uni- gekehrt ein konvexes Xittelpunktspolyeder A in1 engern Sinn niit eineni inhalts- gleichen Wiirfel W translativ zerlegungsgleich ist. In der Ta t : Es sol1 E eine Ehene bezeichnen, die so gewahlt sei, daB sie A nicht trifft und daB weiter keine eigentliche Randflache \-on A auf E orthogonal steht. Es sei w ein auf E orthogonal stehender Einheitsvektor, der in denjenigen Halbraurn zeigen moge, der A enthalt. Das Polj-eder ,4 weise die 2n Randflachen Ai = ( A , ui), A P i = ( A , -ui) (i = 1, P? . . ., n) auf, n-o ui! - ui die 2rL zugeordneten Ricli- tungsvektoren hedeliten, die i n iibrigen so nunieriert sein sollen, da13 (w, ui) > 0 (i = 1 , 2, . . ., n) ausflillt. Es sollen nun weiter Ai und A-i die orthogonalen Projektionen der Randflachen Ai iind A - i auf die Ebene E und Si nnd S-i die durch die Projektionslote erzeugten Saiulen mit den Grundflachen und

sowie den Deckflachen Ai und A _ $ hezeichnen. Nun gilt I 1

,1

(a) CSi = d + CKi . 1 1

Beachten wir nun, (la13 die beiden Saulen Si und Shi zwei zentralsymnietrisclie und translationsgleiche Grundfliichen und parallele Deckflachen aufweisen, so daB sie sich in dieseni Sinn nur diirch die Hohe unterscheiden, so ist klar, claB sie sich durch Ansetzen geeigneter zylindrischer Siiulen Pi und P-i gleicher Grundflaiche zu tr~inslatione~leic.hen Saulen erganzen lassen. Dies driicken wir dureli

(h) ISi + Pi I AS..i + P - i

aus. Sacli (a) ergibt sich clurcli Hinzufiigung passender zylindrischer Saulen, die in eine solehe Lage geschoben werden sollen, da13 sich die beteiligten Polyeder gegenseitig nicht iiber.deckenj die Rela tion

11 ? I I 1 It

(~.jC(fJi + P i ) +CFi - A $- C ( S - t . + P-j) +CP: (P,I P.i, P!-i P-i) . 1 1 1 1

Xach dem Satz \-on der Zerlegungsgleichheit ergiinzungsgleiclier Polyeder g,

folgt aus (h) und (c) zuniichst

S u n sind die Grundflachen der zylindrischen Saulen zeiitralsyiiiiiietriseli~ Polj-gone, und da solclie in ilirer Eljene E mit Quadraten translativ zerlegungs-

8 , H. HADWIGER, Erganzungsgleichheit k-dimensionaler Polyeder. Math. Z., Berlin 55, 292-298 (1952).

Hadwiger, Mittelpunktspolyeder und translative Zerlegungsgleichheit. 57

gleich ausfallenlO), sind die SLulen PLi und P: offensichtlicli mit Quadern &_ und Qi translativ zerlegungsgleich. So ergibt sic11

Weiter ist bekannt, daB inhaltsgleiche Quader unter sich stets translativ zer- legungsgleich sind"). 1st jetzt W ein mit A inhaltsgleicher Wurfel, so schliefit nian niit einigen einfachen uberlegungen aus (e) auf die Relation

( f ) w + W' - A + W", wohei W' und It"' noch passende Restwiirfel sind. Da nun aber M' und W" offensichtlich auch inhaltsgleich sind, so daB also

(g) W' - W" gilt, ergibt die nochmalige Anwendung des Satzes von der Erganzungsgleichheit mit (f) und (g) endlich W - A .

Damit ist unsere Behauptung bewiesen,

1v. Die in den beiden letzten Abschnitten erzielten Ergehisse betreffend Mittel-

punktspolyeder lassen sich wie folgt zusamnienfassen : Satz 1. Ein konvexes Polyeder ist dann und nur dann mit einem inhalts-

gleichen Wurfel translativ zerlegungsgleich, wenn es ein Mittelpunktspolyeder im engern Sinn ist .

Iiii Hinblick auf die Transitivitat der Zerlegungsgleiehheit folgt hieraus als Korollar noch

Satz 2. Zwei konvexe inhaltsgleiche Mittelpunktspolyeder im engern Sinn sind gtets translativ zerlegungsgleich.

Dieser letzte Satz erweitert eine erst kiirzlicli nachgeiviesene und in den Beweisen weiter oben bereits vermendete Aussagell), wonach inhaltsgleiche Parallelotope, inshesondere aucli Quader, in beliebiger gegenseitiger Lage translativ zerlegungsgleicli sind.

Unsere Resultate lassen sich auch dahin deuten, dal3 das niit (9) angegebene Kriteriuin innerhalb der engern Klasse der konvexen iMittelpunktspolyeder fur die translative Zerlegungsgleichheit notwendig u n d hinreichend ist.

v. XINKOWSKI hat den hekannten Satz bewiesen12), dal3 eine Zerlegung des

ganzen Raumes in translationsgleiclie und gitterformig angeordnete konvexe Polyeder nur fur i\Iittelpunlitspol;veder im engern Sinn moglich ist13). In dieseni

lo) H. HADNIGIER und P. GLUR, Zerlegungsgleichheit ebener Polygone. Elemente Math.

11) H. HADWIGER, Translative Zerlegungsgleichheit k-dimensionaler Parallelotope.

l!) H. MIXPOWSKI, 10c. cit. 13) Nach E. v. F E D O R ~ W [Elemente der Gestaltenlehre. Z. Kristallographie 21, 691-692

(1893)l gibt es nur 5 nicht affinverwandte spezielle Mittelpuiilitspolyeder dieser Art (Paralleloeder ).

4, 97-106 (1951).

Sem. mat. Barcelona 3, 1-15 (1950).

58 Hadwiger, Mittelpunktspolyeder und translative Zerlegungsgleichheit.

letzten Al3sclinitt zeigen wir, daB dieser Satz init Beansprucliung der in dieser Kate eingefutirten Hilfsbegriffe sich auf einfnche Weise herleiten la&, wobei sich nocli ergiht, daB die TToraussetzung der gitterforniigen Anordnung niclit gebrauclit n-ird, so daB der Riinko\vskisclie Satz aucli bei ,,regelloser“ Anord- nung der zerlegenden Polyeder richtig Iileibt14). Es gilt also :

Satz 3 . Ist der gesnmte Raum in beliebig nngeordnete translationsgleiche konvexe Polyeder xerlegt, so handelf es sich um Mittelpunktspolyeder im engern Sinne.

In der T,it: Die Zerlegung cles R;rnmes R in die niit A translntionsgleiclien konvexen Polyeder A , sei durcli

m

R = z.-l,,. A , F A

syniholiscli tlnrgestellt. Es qei TI’ ein m’iirfel. Es gilt dann 1

..

( a ) IP = 2 Wd, . 1

wohei natiirlicli nur endlicli viele niclit leere Durclisclinittspolyeder U’A, sich a n der durch (a) syniliolisierten Zerlegung ron W beteiligen. Tron den A,. werden einige - ihre Anzdil sei 11 - von der Dnrrlisclinittsbildung ganz erfaBt, so daB IVA,. = -4,. ausfiillt, und andere - i!ire Anznhl sei q - aber angesclmitten, SO da13 It‘d,, C il,. ist. Die D~irclisclinittspolye~~er der ersten Art liezeiclinen n-ir neu niit B,, ( p = 1. 2. . . . . 11) iind diejenigen der zweiten Art iiiit C ( p = 1. 2 . . . . . q ) . >lit (a ) folgt 30

hlit Verw-endung tler niit (6) eingefiilirten Funlitionnle E;,(A) und Kt6, ( A ) und ihrer HauPteigensclia~teii (1) und ( 2 ) folgert man aus (I)) znnaclist die R-la tionen

Einfaclte Emagungen lehren uns, daR fiir eine geeignete nur von A abhangige Ronstarite c die Abschltzungen I p3((C:,) I < c und I Kzl,.(c,,) I < c gelten; man l i n t liier zu liedenken, dnB Kantenkngen u n d RaiidfIAelieninlinlte der Durcli- sclinittspolyeder T t ’ d , . pleichhesclirankt sind. Aus (c) leitet nian jetzt leicht die A\iwltatzungen

ah. 1st s die Kantenlange \-on U’. so iiherlegt nian sicli, dnB die Anzalilen p und q mit s so anuaclisen. da13 s3 = O ( p ) und q = O ( s 2 ) ausfallt, so daB also q / p = O(s-l) gilt. Mit s - CL folgert nian jetzt aus (d) offenknr E”,,(A) = O nnd R,,.(A) = 0. In1 zweiten Alxclinitt liaben wir ab t r gezeigt, da13 :tiis diesen lreiden Bedingungen bereits folgt. da13 d ein i\littelpunkts~iol~eder im engein Sinn ist, n-as liier zu zeigen v C ~ r .

l’) Diese Tataache nurde bereits von B. DELAITEY (Sur la ghbralisation de la theorie des parall6loPdres. Bull. h a d . Sci. VRSS. CI. Sci. phys. math. 1933, 641) bemerkt.