Modellieren im Mathematik-

Unterricht

Dr. rer. nat. Frank Morherr

Christian Lego

Gliederung

• Was ist ein Modell?

• Mathematisches Modell

• Aufgabe entwerfen

• Aufgabenstellung, Ziele, Probleme

• Modellierungskreislauf und Lehrbücher

• Beispiele von Modellierungsaufgaben

• Fermi-Aufgaben mit Beispielen

Gibt es einen Unterschied zwischen

Problemlösen und Modellieren?

Problemlösen

• Orientierung an einem Mathematischen Problem oder Rechenverfahren

• Heuristik

• Begrenztes Wissen wenig Zeit

Modellieren

• Orientierung an einer Fragestellung mit komplexem Inhalt (außermathematisch)

• Mathematisierung dieses Problems (Prozessorientierung)

• Recherche und Datensammlung

Werkzeug

„Echte“ und „unechte“ Anwendungen

Unechte Anwendung

• „eingekleidete“ Aufgaben

• Kein Bezug zu dem Schüler

• Sämtliche Überlegungen zur Mathematisierung bereits gegeben

Echte Anwendung

• Relevanz für Schüler („authentisch“), aber auch von allgemeinem Interesse

• Motivierend und Interesse weckend

• Offene Fragestellungen veranlassen selbstständiges Modellieren

• Reales Problem

Was ist ein Modell?

• lat.: „modulus“ : Maßstab in der Architektur

• Reale Situation wird mithilfe von Mathematik

verstanden, strukturiert oder gedeutet, im

allerweitesten Sinne gelöst

• Ein Modell ist eine vereinfachende Darstellung der

Realität, die „nur gewisse, einigermaßen

objektivierbare Teilaspekte“ berücksichtigt.

• Modelle in diesem Sinne gehen über

Anschauungsmodelle (Würfelmodell,

Tetraedermodell, Galtonbrett als Modell der

Binomialverteilung hinaus

Modellvarianten DESKRIPTIV Beschreibt schon bestehendes Phänomen

aus Natur und Gesellschaft

• Vorhersagend:

Wetterbericht

• Erklärend:

Planetenbewegung,

warum Bumerang

zurückkommt

• Beschreibend:

Landkarten, Kettenlinie

NORMATIV Verwirklichen bestimmte Absichten in

einer tatsächlichen Situation

• Vorschreibend: Kochrezepte, Schnittmuster für Schneiderei,

Anwendung bestimmter Wahlverfahren,

Festlegen von Preisen,

Berechnung von Zinsen

Mathematisches Modell

• Verwendet mathematische Sprache zur Beschreibung

eines Systems

• Erfassen wesentlicher Parameter meist natürlicher

Phänomene und diese in einem berechenbaren

Rahmen, z.B. eines Gleichungssystem

Differentialgleichungssystem, Algorithmus o.ä. zur

Vorhersage des beobachteten Systems zu nutzen

• Kann berechnet und wissenschaftlich beschrieben

werden (analytisch, numerisch)

• Kann verschiedenste Dinge behandeln, z.B. sich auf

physikalischer Gesetzmäßigkeiten stützen oder in den

Wirtschaftswissenschaften die Natur sondern von

ökonomischen / sozialen Systemen abstrahieren.

Modellierungskreislauf ( nach Blum)

Reales Modell

Reale Situation

Mathematisches

Modell

Mathematische

Resultate

Realität Mathematik

Konstruieren / Verstehen • Gegebene Situation bzw. Aufgabe verstehen

• Nötige Informationen aus dem Text entnehmen

• Vorstellungen von der Situation der Aufgabe entwickeln, z.B.

im Fall der Konservendose muss verstanden und geklärt

werden, was ein optimaler Metallbedarf ist.

• Situationsmodell betrachten, um die Aufgabe zu

veranschaulichen, im Fall der Konservendose eine reale

Konservendose bzw. Abbildung

Probleme:

• Zu anspruchsvolle und verschachtelte Aufgabenstellung

• Signalwörter werden falsch verstanden oder suggerieren

falsche Rechenoperation

• Begriffe, mit denen die Schüler unzureichend vertraut sind:

Wer keine Zinsen kennt, hat es mit Geldanlagenmodell schwer

Vereinfachen / Strukturieren • Ziel: Situationsmodell mathematisieren

• Konkrete Leitfrage trennt „wichtige“ von „unwichtigen“

Informationen, Struktur vereinfachen

• Mathematisches Wissen, Ideen, Analogien sammeln

– Welche Mathematik kenne ich in diesem Zusammenhang

– Welche Ideen habe ich

– Welche Analogien/Beziehungen sehe ich

– Wie viel Motivation habe ich/Wie viel Zeit möchte ich investieren?

• Datenerfassung, Recherche, Messungen, eventuell auch

außerhalb des Klassenraums

Probleme:

• Schüler trauen sich nicht zu idealisieren und abzuschätzen

• Können wichtiges nicht von nebensächlichem trennen

• nicht gewohnt, auf länger Zurückliegendes zurückzugreifen

• Das Realmodell muss mathematisiert werden

• Einführen mathematisch idealisierter Objekte

• Funktionen, Gleichungen, Bildungsvorschriften, Graphen,

Formeln aufstellen

• Nebenbedingungen, Daten beachten

• Lösungsvielfalt

Auftretende Fehler und Probleme:

• Verwendung falscher bzw. unpassender Formeln

• Verwendung von unangemessenen Modellen, z.B.

statt für die Gravitationskraft, oder Anwendung

von Dreisatz, wo keiner besteht

• Fehler bei der Übersetzung in mathematische Operationen

Mathematisieren

Mathematisch arbeiten • „Lösung“ des Problems führt zu mathematischem Resultat

• Mathematische Werkzeuge anwenden: analytisch,

geometrisch, numerisch (Computer),…

• Je nach Vorkenntnisse der Schüler unterschiedliche

Möglichkeiten der Auswertung. Beispiel. Extremum einer

quadratischen Funktion über Differentialrechnung oder

Scheitelpunktsform.

• Je nach Technologie mit Taschenrechner, grafikfähigem

Taschenrechner, Excel, CAS.

• Verschiedene Arten der Mathematisierung: Anspruchsvoll oder

weniger anspruchsvoll

Probleme:

• Für Schüler nicht lösbar bei Wahl eines komplizierten Modells

• Fehler mit Einheiten, Syntaxfehler

Interpretieren • Mathematisches Resultat wieder auf Realsituation bzw. reales

Modell beziehen

• Einheiten mit berücksichtigen

• Fehler in den bisherigen Phasen der Modellierung können

teilweise selbständig von Schülern während der

Interpretation/Validierung aufgedeckt werden.

Probleme:

• Mathematische Lösungen werden überinterpretiert: Schüler

rechnen irgendwas und das Ergebnis wird so interpretiert, dass

es zur Sachsituation passt.

• Schüler passen Ergebnisse so an, dass Sie zur Erwartung

passen, insbesondere auch Einheiten

• Schüler missachten den Wertebereich des Ergebnisses

• Schüler rechnen richtig, beantworten aber die eigentliche

Fragestellung nicht mehr

Validieren • Überprüfen realer Resultate im Hinblick auf Realsituation,

Reflexion getroffener Modellannahmen (Ziel führend) – Erweiterungen/Verbesserungen (oft vernachlässigt)

• Vergleich verschiedener Modelle

• Verschiedene Perspektiven

• Rundungen/Approximationen überdenken

• Kontrolle Dimension, Größenordnung, Abhängigkeiten, Randbedingungen, Widerspruchsfreiheit, Stabilität des Modells

Probleme:

• Mathematisches Resultat kann Allgemeingültigkeit suggerieren, die bei der Realsituation nicht angemessen ist

• Schließt sich veränderter Modellbildungsprozess an, kann es passieren, dass Realmodell und mathematisches Modell verbessert werden und die Realsituation gar nicht mehr adäquat modelliert wird

Darlegen / Erklären • Ergebnisse dokumentieren und präsentieren

• Vorgehen erläutern

• Kommunikative und argumentative Kompetenzen gefördert

Probleme:

• Schüler unterschlagen bestimmte Aspekte oder schreiben sie

für andere unverständlich auf oder vernachlässigen

veranschaulichende Skizzen

• Schülern gelingt es nicht, sich in andere Personen

hineinzuversetzen

• Bezüglich methodischer Kompetenzen Schüler im Unterricht

evaluieren lassen, ob sie Präsentationen von Mitschülern für

angemessen halten

Fehler, die den gesamten

Modellierungsprozess betreffen

• Schüler vergessen teilweise einzelne Phasen des

Modellierungsprozesses, daher immer wieder als Ganzes in

Erinnerung rufen

• Schüler verlieren den Überblick über ihr Handeln, wenn Sie

nicht systematisch vorgehen. Auf strenge Orientierung achten.

• Schülern fällt Trennung zwischen Situationsmodell,

Realmodell und mathematischem Modell schwer

• Jüngere Schüler, die Ziel aus den Augen verlieren, brechen

Rechnungen frustriert ab, wenn sie zu unübersichtlich werden

• Schüler benötigen genügend Zeit, daher nicht Beschränkung

auf eine Schulstunde

• Schüler versuchen mathematische Modelle universell

einzusetzen, auch wenn sie nicht passen: Eierkochbeispiel

Ziele • Bildungsstandards – K3 Mathematisches Modellieren

• Schule soll auf Leben vorbereiten (Umgang mit Geld), Verbindung zwischen Umwelt und Mathematik schaffen

• Schüler zu eigenen kompetenten Einschätzungen befähigen (kritische Ergebnisanalyse)

• Einsicht in die Bedeutung der Mathematik als Wissenschaft aber auch als Alltagsrelevanz

• Motivierende und Interesse weckende Funktion

• Mathematisieren und Modellieren lernen …

• Kommunikation fördern

• Schüler sollen aktiv werden

• Konstruktiver Austausch über verschiedene Lösungsideen

Voraussetzungen und Gestaltung

• Lehrer muss erfahren und flexibel sein

• Zielklarheit für Lehrer und Schüler

• Realitätsnah und Interesse weckend

• Offene Fragestellungen – fehlende und überflüssige Angaben

• Projektartige Arbeitsform, Freiarbeit, Gruppenarbeit, fächerübergreifend

• Aufgabenstellung authentisch und differenzierbar, …

• Anforderungsniveau und Verständlichkeit

• Intentionale Probleme als Lernanlass

• Betonung einzelner Phasen des Modellierungsprozesses

Allg. Probleme und Schwierigkeiten

• Kein Schema, fehlende Problemlösetechnik

• Zeitaufwendig (Vorbereitung, Unterricht)

• Komplexität der Realsituation

• Problem der Relevanz für Schüler (Themenwahl)

• Gezieltes und dosiertes Einsetzen

• Geeignete Fragestellung finden

• Erfahrung mit Modellierung, …

Modellierungskreislauf und Lehrbücher

modellieren in

Anwendungsaufgaben

Modellierungskreislauf und Lehrbücher

modellieren in

Anwendungsaufgaben

Modellierungskreislauf und Lehrbücher

Behandlung auf der

Metaebene

Modellierungskreislauf und Lehrbücher

Beispiele für Modellierungsaufgaben

Beispiele für Modellierungsaufgaben

• Mathematisieren, indem in die gegebene Situation ein oder

mehrere Kreise als geometrische Figuren einbeschrieben

werden

• Messen des Winkels, der zur Strichspur eines Sterns gehört

• Berechnung der Belichtungszeit, indem der gemessene

Winkel zur vollen Umdrehung und die Belichtungszeit zu

einem Tag mit 24 Stunden in Beziehung gesetzt wird

Beispiele für Modellierungsaufgaben

Beispiele für Modellierungsaufgaben

• Teil a und b: Mathematisierung auf präformaler Ebene

• Teil c: Häufiger Rückgriff auf vertraute Zufallsgeräte

Münze: Kopf Kurs steigt

Zahl Kurs fällt

Würfel: Kurs steigt/ fällt nach Augenzahl

Beispiele für Modellierungsaufgaben

• Vorgabe der Mathematisierung

• Schwerpunk auf Validierung

Beispiele für Modellierungsaufgaben

• Schwerpunk auf Interpretation und Validierung

• Möglicher Ausbau zu einem Optimierungsproblem

Beispiele für Modellierungsaufgaben

Reizvolle Aufgabe, da Elefanten in der Mathematik selten

vorkommen, allerdings mit fraglichem Realitätsbezug

Beispiele für Modellierungsaufgaben

Aufgabe mit mehreren

Herangehensweisen der

Wertebeschaffung

Modellierung zur Optimierung Die optimale Konservendose

Ein Lebensmittelhersteller möchte sein Produkt in 365 ml-Dosen

abpacken. Für welche Dosenform soll er sich entscheiden?

• Konzentration auf den Aspekt „Materialverbrauch“

• Idealisierte Betrachtung der Konservendose

• Einführung geeigneter Variablen

• Verwendung der Volumen- und Oberflächenformel für

zylindrische Körper

Zielfunktion:

Die optimale Konservendose

Die optimale Konservendose

Die optimale Konservendose Bewertung der Lösung

Die optimale Konservendose

Beispiele für Modellierungsaufgaben

Aufgabe die ein falsches Modellierungsmodell suggeriert

Lauter-Kreise Modell der Kabeltrommel

Helixmodell der Kabeltrommel

Unzulässige Modellierung der Kabeltrommel

Kabel kann so gar nicht verlaufen

Fermi-Aufgaben

• Italienischer Physiker und Nobelpreisträger Enrico Fermi (1901-1954)

• Dafür bekannt, „dass er direkte, eher provisorisch anmutende Lösungswege häufig den eleganten und meist aufwändigeren Methoden vorzog“ (Peter-Koop)

• War davon überzeugt, dass jeder denkende Mensch jede Frage beantworten kann

• Berühmteste Frage: „Wie viele Klavierstimmer gibt es in Chicago?“

Annahmen:

• Ungefähr 3 Millionen Leute leben in Chicago.

• Ungefähr zwei Personen leben durchschnittlich in einem Haushalt.

• Ungefähr in jedem zwanzigsten Haushalt gibt es ein Klavier, das

regelmäßig gestimmt wird.

• Klaviere werden ungefähr einmal pro Jahr gestimmt.

• Es dauert etwa zwei Stunden, ein Klavier zu stimmen, inklusive

Fahrzeit.

• Ein Klavierstimmer hat einen 8-Stunden-Tag, eine 5-Tage-Woche und

arbeitet 40 Wochen pro Jahr.

Daraus ergibt sich die Zahl der pro Jahr zu stimmenden Klaviere in Chicago:

(3000000 Einwohner) / (2 Personen pro Haushalt) × (1 Klavier/20

Haushalte) × (1 Mal Stimmen pro Klavier und Jahr) = 75000 Mal muss

in Chicago pro Jahr ein Klavier gestimmt werden.

Ein Klavierstimmer kann folgende Arbeit bewältigen:

(40 Wochen pro Jahr) × (5 Tage pro Woche) × (8 Stunden pro Tag) / (2

Stunden pro Klavier) = 800 Klaviere kann ein Klavierstimmer pro Jahr

stimmen.

Demnach müsste es etwa 100 Klavierstimmer in Chicago geben.

Fermi-Aufgabe

• keine richtige oder falsche Lösung -> sondern: nachvollziehbares oder nichtnachvollziehbares Ergebnis

• kein Standardverfahren zum Lösen der Aufgaben

• Fermi-Aufgaben bilden somit komplexe Probleme, die für die rechnerische Beantwortung einer Frage entweder keine oder nur unzureichend numerische Angaben aufweisen. Der Bearbeiter wird gezwungen, seine eigenen Daten zu erheben, plausible Annahmen zu formulieren oder zu schätzen, um zu einer Lösung zu gelangen.

• Ziele: Problemlösen , Argumentieren, Kommunizieren, Darstellen

• Anlass, Vorwissen zu aktualisieren, Sachen zu erforschen, zu erleben und zu erkunden, Denkprozesse zu Ende führen, festzuhalten und zu überprüfen

• Fermiaufgaben kommen damit der Lernforschung nach vernetztem, problemorientiertem, ganzheitlichen Lernen entgegen

Beispiele für Fermiaufgaben

Beispiele für Fermiaufgaben

Beispiele für Fermiaufgaben

Modellbildungsprozess anhand einer Fermiaufgabe:

Anmerkung

Ob die obige Lösung im Sinne von Fermi ist, darf allerdings

bezweifelt werden. Ihm dürfte Folgendes besser gefallen:

Der Durchmesser des Loches der Zahnpastatube macht

schätzungsweise ein Viertel des Stirndurchmessers aus, also

passt das Loch 16-mal in die Stirnseite (exakt wegen

Proportionalität, und zwar ohne Verwendung von ). Die Tube

ist ungefähr 20 cm lang. Multipliziert mit 16 macht dies 3,20 m.

Da die Tube kein Zylinder, sondern keilförmig ist, nehmen wir

grob die Hälfte und kommen auf 1,60 m (bis vielleicht 2m).

Literatur und Quellen • Hinrichs, Gerd: Modellierung im Mathematikunterricht, Verlag Spektrum 2008

• ISTRON-Schriftenreihe – Materialien für einen realitätsbezogenen Unterricht, Bände 1-9, Verlag Franzbecker

• Claus, Heinz Jörg: Einführung in die Didaktik der Mathematik , 2. Auflage 1995, Wissenschaftliche Buchgesellschaft, S. 160 ff

• Müller, Gerhard; Wittmann, Erich CH.: Der Mathematikunterricht in der Primarstufe, 3. Auflage, Vieweg 1984

• Peter-Koop, A.: Wieviele Autos stehen in einem 3-km-Stau? –Modellbildungsprozesse beim Bearbeiten von Fermi-Problemen in Kleingruppen, In: Ruwisch; Peter-Koop, (Hrsg.): Gute Aufgaben im Mathematikunterricht der Grundschule, Offenburg: Mildenberger Verlag, (2003)

• Baireuther, P.(1990): Konkreter Mathematikunterricht, Bad Salzdetfurth: Franzbecker, (1990)

• Krauthausen,G.; Scherer, P. Einführung in die Mathematikdidaktik, Heidelberg, Berlin, Spektrum (2001)

• Kratz, Henrik: Wege zu einem kompetenzorientierten Mathematikunterricht, Klett

• Greefrath, Gilbert: Modellieren lernen, Aulis-Verlag 2006

• Leuders, T.; Maaß,K.: Modellieren-Brücken zwischen Welt und Mathematik, Praxis der Mathematik, Heft 3, 2006, S.1-7

• Dr. Thies, Silke: Methodik des Mathematikunterrichts; Giessen SS 2011

• http://de.wikipedia.org/wiki/Modell 03.05.10

• http://de.wikipedia.org/wiki/Mathematisches_Modell 03.05.10