Modul General

8/18/2019 Modul General

1/71

1

Program M aster :CADASTRU ŞI EVALUAREA BUNURILOR IMOBILE

M ODUL 1FUNCŢIILE GEODEZIEI

Până în urmă cu câteva decenii, se considera că geodezia ocupă spaţiul delimitat de primadefiniţie dată de Helmert geodeziei şi anume: „Geodezia este ştiinţa măsurării şi reprezentăriisuprafeţei Pământului.” Apoi, cei implicaţi în acest gen de activităţi au început să înţeleagă căaceastă definiţie nu reflectă în totalitate rolul pe care îl joacă geodezia contemporană şi auînceput să caute un nou cadru. Această căutare a culminat cu noua definiţie a geodeziei, şianume:Geodezia este disciplina care se ocupă cu măsurarea şi reprezentarea Pământului,inclusiv a câmpului său gravitaţional, într -un spaţiu tridimensional cu variaţie temporală. Ca majoritatea disciplinelorştiinţifice, geodezia este împărţită în sub-discipline:

geodezia geometrică, geodezia fizică, geodezia matematică, geodezia dinamică. Progresulştiinţei a dat naştere, în ultimul timp, la noi destinaţii precum: geodezia satelitară, geodeziainerţială, geodezia maritimă, geodezia spaţială şi chiar geodezia orizontală şi verticală. Geodezia poate fi considerată ca având trei funcţii principale şi, corespunzător lor, treisubdiscipline:

poziţionarea câmpul gravitaţional al pământului variaţiile temporale (în poziţie precum şi în câmpul gravitaţional)

Poziţionarea, sau determinarea poziţiei unui punct, constituie aspectul geodeziei pe care îlînţelegem cel mai bine. Punctele pot fi poziţionate individual sau ca parte a unei întregi reţelede puncte; poziţiile căutate pot fi ori absolute (faţă de un sistem de coordonate) ori relative(faţă de alte puncte). Cunoaşterea geometriei câmpului gravitaţional este necesară pentru a face posibilătransformarea observaţiilor geodezice realizate în spaţiul fizic (afectate de forţa de gravitaţie)în spaţiul geometric în care sunt de obicei definite poziţiile. Variaţiile temporale ale poziţiilor şi câmpului gravitaţional rezultă din deformările Pământuluişi câmpului său gravitaţional atribuite unui număr de cauze. În geodezie ceea ce produceaceste mişcări este irelevant, fie că este vorba de mareele terestre, solicitările asupra scoarţeiterestre şi reculul, forţe tectonice sau alte fenomene, încă necunoscute. Studiul acestor cauzeaparţine geofizicii, dar aspectele geometrice cad în sarcina geodeziei.Alţi specialişti au împărţit funcţional geodezia pe baza aceloraşi criterii; de exemplu,Comitetul SUA pentru Geodezie arată că scopurile principale ale geodezi pot fi rezumatedupă cum urmează: înfiinţarea şi întreţinerea de reţele tridimensionale de control geodezic, naţionale şi

globale, pe Pământ, recunoscând aspectele legate de variaţiile temporale ale acestor reţele măsurarea şi reprezentarea fenomenelor geodinamice (mişcarea polilor, mareele terestre şi

mişcarea scoarţei) determinarea câmpului gravitaţional al Pământului, inclusiv variaţiile temporale.

Instrumentul principal de cunoaştere a lumii materiale îl constituie observarea şi în cadrulacesteia, măsurarea. Operaţia de măsurare reprezintă un proces experimental de obţinere ainformaţiei sub forma unui raport numeric, între valoarea mărimii fizice măsurate şi valoarea

unei alte mărimi de acelaşi gen considerată drept unitate de măsură.


2/71

2

Scopul unei cercetări ştiinţifice constă în descoperirea legilor care dirijează fenomenelenaturale, spre a fi puse în slujba activităţii umane. Pentru aceasta, este necesară îmbinareacercetării ştiinţifice cu aplicaţia tehnică – practică, fără de care orice speculaţie abstractădevine sterilă. Pentru realizarea acestui deziderat, primacondiţie în alegerea mărimilor fizice, înţelegând

prin aceasta şi mărimile care intervin în tehnică şi în practică, este ca ele să fie măsurabile. Informaţiile, care constituie baza concretă de date necesară rezolvării problemelor geodezice,fotogrammetrice şi topografice, provin din observaţiile efectuate asupra unor mărimi cu carese lucrează frecvent şi care, în principal, sunt reprezentate de măsurătorile de unghiuri şidistanţe. Calitatea informaţiilor obţinute din aceste măsurători este funcţie directă devolumul observaţiilor şi deprecizia instrumentelor de măsurat. Se impune aşadar, ca pornind de la scopul pentru care sunt efectuate măsurătorile să sestabilească valorile corespunzatoare ca mărime şi precizie, luând în considerare aspectuleconomicreferitor la volumul strict necesar şi suficient al observaţiilor care se impun. Teoria erorilor de măsurare sau teoria prelucrării măsurătorilor geodezice intervine cu succes

şi rezolvă favorabil aceste aspecte. IMPORTANŢA TEORIEI ERORILOR PENTRU PRACTICA MĂSURĂTORILORTERESTRE

Algoritmii de prelucrare prezintă o importanţă deosebită pentru practica măsurătorilorterestre, datorită volumului impresionant de observaţii ce trebuie executate, prelucrate şicompensate în vederea obţinerii valorilor lor celor mai probabile, ca şi pentru evaluarea câtmai corectă şi mai completă a preciziei.Cunoscându-se cât mai exact mărimile erorilor mediiale fiecărui argument măsurabil în parte, se poate determina eroarea medie a unei funcţii deaceste argumente. În acestfel, se poate rezolva problema inversă a erorilor de măsurare, în

cadrul căreia, faţă de o eroare maximă impusă apriori unei funcţii ce urmează a se determina,se va stabili încă din faza de proiect, care trebuie să fie erorile maxime cu care se vor măsura pe teren argumentele componente. Aceasta dă posibilitatea stabilirii preciziei optime demăsurare, cu avantaje economice importante. Astfel, la realizarea unei reţele de triangulaţie,necesară ridicărilor topografice, a unei reţele de microtriangulaţie, necesară pentru urmărireacomportării unei construcţii etc., studiul preciziei de determinare a poziţiei punctelor reţelei seface încă din faza de proiectare, funcţie de configuratia reţelei şi de precizia cu care se vorexecuta măsurătorile pe teren. Acest studiuurmăreşte ca erorile în poziţia punctelor, să seîncadreze în toleranţele impuse anticipat. La sfârşit, prin compararea erorilor post-compensatecu erorile stabilite anticipat, se va putea aprecia corectitudinea studiului făcut. Studiul erorilor de măsurare şi a algoritmilor de compensare prezintă o importanţă cu totuldeosebită în acele domenii ale măsurătorilor terestre (Geodezie, Fotogrammetrie, Topografieaplicată în construcţii), în care exigenţele impuse în privinţa preciziei sunt deosebit de ridicate. Se subliniază faptul că de fiecare dată în practica măsurătorilor terestre trebuie avutăîn vedere precizia optimă necesară. Aceasta deoarece o precizie exagerată produce cheltuieliinutile de forţă de muncă, de mijloace materiale şi de timp, iar o precizie insuficientă duce la ocalitate slabă a rezultatelor obţinute din măsurători. Introducerea automatizării în prelucrarea observaţiilor constituie un salt calitativ important, cuconsecinţe remarcabile şi în domeniul măsurătorilor terestre, ca şi în studiul erorilor demăsurare .Teoria matematică a informaţiei formulează legile generale ale comenzii,controlului şi comunicaţiilor şi stabileşte principiile de codificare, prelucrare, păstrare şitransmitere a informaţiei, asociindu-se cu tehnica decalcul automat. Această nouă direcţieconstituie o etapă superioară în dezvoltarea metodelor de prelucrare a rezultatelor obţinute dinmăsurători.


3/71

3

1. MĂSURĂTORI EFECTUATE ÎN REŢELELEGEODEZICE

Lucrările efectuate în reţelele geodezice de sprijin auca obiectiv final determinareacoordonatelor punctelor reţelei într -un anumit sistem de referinţă. Pentru a realiza acestobiectiv în reţelele geodezice se efectuează diferite măsurători, a căror natură depinde de tipulşi destinaţia reţelei. Prin urmare,într-o reţea dată nu pot fi întâlnite toate tipurile de măsurătorigeodezice posibile.

1. Unghiuri şi direcţii azimutale

Unghiurile şi direcţiile azimutale pot determina o reţea de triangulaţie din punct de vederegeometric. Pentru un triunghi ABC , în care latura AB este cunoscută, ar fi necesar şi suficientsă se cunoască unghiurile din punctele A şi B.În lucrările de triangulaţie această determinare reprezintă un caz izolat, măsurându-se aproapeîntotdeauna şi unghiul din punctulC (fig. 1.a). În acestfel, măsurătorile unghiulare din

punctele A, B, C sunt caracterizate printr-un „grad de libertate” care poate fi anulat denecesitatea ca unghiurilecompensate să satisfacă o anumităcondiţie geometrică.

a b c d

Fig. 1. Figuri elementare, componente ale reţelelor de triangulaţie a – triunghi geodezic; b – patrulater geodezic; c,d – poligoane cu punct central.

Introducerea unor măsurători unghiulare suplimentare (fig. 1. b,c,d) conduce la crearea de noigrade de libertate în reţea, reclamând respectarea de către valorile compensate a unui numărcorespunzător de condiţii geometrice.

2. LungimiLungimile măsurate determină scara reţelei de triangulaţie. În acest scop ar fi strict necesarăcunoaşterea unei singure lungimi, orice măsurătoare suplimentară conducând, ca şi în cazul precedent, la necesitatea respectării unei noi condiţii geometrice.

Lungimile dinreţelele de triangulaţie pentru care se acceptă ponderea p = ∞ se numescbazegeodezice . Asemenea valori provin din măsurători precise, efectuate cu firul de invar sau cuajutorul instrumentelor electronice. Se pot introduce şi valori finite pentru ponderi, urmând cavaloarea cea mai probabilă a acestor lungimi să fie determinată prin compensarea reţelei detriangulaţie. Este de menţionat că măsurătorile de lungimi micşorează propagarea erorilor longitudinaledin reţelele de triangulaţie. În reţelele de triangulaţie de ordin inferior lungimile pot fi calculate din coordonatele punctelor de ordin superior existente eventual în reţea şi care sunt consideratepun cte vechi .

C

A B A B

D C C

D A

B

F

E D

G

A B

C


4/71

4

3. Azimute astronomice

În cazul reţelelor geodezice, azimutele astronomiceα se vor transforma în azimute geodeziceA, pe baza ecuaţiei Laplace , determinând orientarea reţelei de triangulaţie. Utilizarea azimutelor Laplace este specifică reţelelor mari de triangulaţie, denumite şireţeleastronomo - geodezice . Deoarece aceste reţele se realizează cu o precizie superioară reţelelorde stat, micşorarea posibilelor erori de rotaţie ale întregii reţele se poate realiza prin măsurareaunor azimute Laplace , la capetele reţelei. Prin relaţii matematice, azimutele Laplace pot fi reduse la planul de proiecţie transformându-se în orientări .În reţelele de ordin inferior, orientărileθ pot fi calculate din coordonatele punctelor de ordinsuperior existente eventual în reţea, şi care sunt considerate puncte vechi.

4. Coordonate astronomice

Coordonatele astronomiceΦ, Λ se transformă în coordonate geodeziceB şi L prin intermediulrelaţiilor:

B 1.1

sec L

în care:B → latitudine geodezică → unghiul format de normala în punctul P cu planul

ecuatorului terestruL → longitudine geodezică → unghiul diedru format de planul meridianului

geodezic al punctului P cu planul meridianului geodezic al punctuluiGreenwich

Φ → latitudine astronomică → unghiul format de verticala punctului P cu planulecuatorului Λ → longitudine astronomică → unghiul diedru format de planul meridianului

astronomic al punctului P cu planul meridianului astronomicGreenwich (meridian origine).

Ele pot determina poziţia reţelei de triangulaţie pe elipsoidul de referinţă. Coordonatele punctelor de ordin superior sunt preluate de regulă caelemente fixe la prelucrarea reţelelor de ordin inferior.

5. Unghiuri zenitale

Determinarea altitudinilor în reţelele de triangulaţie se realizează de cele mai multe ori prinmetoda nivelmentului trigonometric care presupune măsurători de unghiuri zenitale. Prelucrarea observaţiilor zenitale se efectuează, în mod obişnuit, independent de prelucrareaunghiurilor azimutale şi a lungimilor. În cadrul geodeziei tridimensionale, prelucrarea tuturoracestor măsurători se execută însă în bloc.

6. Diferenţe de nivel

Reţeaua nivelmentului de stat, precum şi alte reţele de nivelment sunt determinate prinmăsurători de diferenţe de nivel. Metoda nivelmentului geometric este mult mai precisă încomparaţie cu metoda nivelmentului trigonometric, însă mult mai laborioasă. De aceea,metoda este puţin utilizată în cadrul reţelelor geodezice planimetrice (triangulaţie, trilateraţie),

numai unde accesul la punctele geodezice prin nivelment geometric nu este prea dificil.


5/71

5

7. Măsurători gravimetrice

În cadrul reţelelor gravimetrice se fac determinări absolute şi relative ale acceleraţieigravităţii. Determinări relative intervin şi în reţelele de nivelment geometric, fiind necesare lacalculul corecţiilor specifice sistemuluide altitudini folosit. Deşi nu în mod direct, determinările gravimetrice intervin şi în reţelele de triangulaţie deordin superior, la calculul componentelor astronomo-geodezice ale deviaţiei verticalei

ag ag , , precum şi al ondulaţiilor cvasigeoiduluiζ necesare la reducerea observaţiilorgeodezice la suprafaţa elipsoidului de referinţă.

2. METODA PROIECTĂRII

Pentru aducerea punctelorreţelelor existente pe suprafaţa fizică a Pământului, pe suprafaţadereferinţă (elipsoidul) s-au propusşi folositmai multe metode, dintre caremetoda proiectării are cea mai mare aplicabilitate.În această metodă se procedează la aducerea elementelor măsurate (unghiuri, direcţii, lungimi

etc.) pe suprafaţa elipsoidului, prin aplicarea unor corecţii. Există două posibilităţi în acestsens şi anume: M etoda Pi zzetti , propune ca punctul P de pe supraf aţa fizică a Pământului (fig.2) să fie proiectat, mai întâi, cu ajutorul verticaleiV , pe suprafaţa geoidului în1 P urmând ca apoi, cuajutorul normalei 1 N la elipsoid, să fie proiectat în2 P pe suprafaţa elipsoidului de referinţă.Metoda introduce complicaţii însemnate, prin faptul că presupune cunoaşterea curburilorverticalelor necesare la stabilireacorecţiilor în prima etapă a proiectării şi de aceea nu acunoscut până în prezent o aplicabilitate practică deosebită. M etoda Bru ns-H elmert, propune ca punctul P de pe suprafaţa fizică a Pământului să fie proiectat în P ’ pe suprafaţa elipsoidului, directcu ajutorul normalei 2 N la această suprafaţă.

Această metodă este mult mai practică şi a fost aplicată sub conducerea lui F.N.Krasovski , larealizarea triangulaţiei ruseşti, precum şi a altor triangulaţii europene. Coordonatele tuturor punctelor triangulaţiei de stat din ţara noastră sunt determinate prinmetoda proiectării Bruns-Helmert .

Fig. 2 . Reprezentarea punctelor prin metoda proiectării

În România, începând cu anul 1930, s-a utilizat elipsoidul Hayford , iar din anul 1951 seutilizează elipsoidul Krasovski .

P 2

N1 N2

P

u

P

P’

N V

(S)

(G)

(E)


6/71

6

Dimensiunile unor elipsoizi de referinţă

Denumirea elipsoiduluide referinţă

Anuldeterminării

Semiaxa marea[m]

Turtireanumerică f

Perioada deutilizare înRomânia

BesselClarkeHayfordKrasovskiSistemul geodezic dereferinţă 1980 WGS’ 84

1841188019091940

19801984

6377397,1556378243,0006378388,0006378245,000

6378137,0006378137,000

1:299,12851:293,4651:297,01:298,3

1:298,2571:298,257

1873-19161916-19301930-1951

1951-prezent

în prezent

3. REZOLVAREA PROBLEMELOR GEODEZICE PE ELIPSOIDUL DEREFERINŢĂ

3.1 REZOLVAREA TRIUNGHIURILOR ELIPSOIDICE MICI

Se presupun observaţiile unghiulare şi distanţele măsurate în reţelele geodezice de sprijinreduse la suprafaţa elipsoidului de referinţă. Pentru situaţiile curent întâlnite în practica geodezică, unde distanţele s < 60 km, triunghiurilegeodezice (denumite triunghiuri elipsoidice mici) sunt rezolvate ca triunghiuri sferice,considerându-se că acestea sunt amplasate pe sfere medii Gauss de raze

i B R , unde i B sunt

latitudinile geodezice ale centrelor de greutate ale triunghiurilor respective. În asemeneacazuri, nu se apelează la utilizarea directă a formulelor trigonometriei sferice, ci se aplicămetode de calcul specifice geodeziei.

3.2 EXCESUL SFERIC

Suma unghiurilor ,, într-un triunghi sferic (presupuse ca neafectate de erori demăsurare) este întotdeauna mai mare decât g 200 .Diferenţa rezultată este denumităexces sferic :

g 200 1.2

Între unghiurile măsurate şi reduse pe suprafaţa elipsoidului de referinţă notate 000 ,, şi unghiurile compensate prin metoda celor mai mici pătrate, ,,, există relaţiile:

v 0 ; v

0 ; v 0 1.3

în care cu vvv ,, s-au notat corecţiile obţinute din compensare, pe baza unor ecuaţii decondiţie de forma:

0 wvvv 1.4Astfel, suma unghiurilor măsurate şi reduse pe elipsoid diferă faţă de g 200 nu numai prinexcesul sferic, ci şi printr -o cantitatew , datorită erorilor de măsurare:

w g 200000 1.5

Când se rezolvă triunghiuri izolate (ceea ce intervine rar în practica geodezică) se consideră: 3/wvvv 1.6


7/71

7

A

B

B'

A'

C'

C

c

b

a

a

g

b

ceea ce nu este posibil în cazul compensării riguroase a unei reţele geodezice. În ambele situaţii este necesară cunoaşterea excesului sferic pentru a se putea efectuacalculele de compensare şi de rezolvare a triunghiurilor geodezice. În figura 3 se observă că suprafeţele fusurilor sferice , AA BB şi CC corespunzătoareunghiurilor ,, considerate, se pot exprima în funcţie de suprafaţa triunghiului sferic ABC , notatăS :

Fig. 3. Excesul sferic

' BCAS AA ; ;' ACBS BB ' ABC S CC astfel încât, prin adunarea celor trei relaţii:

22 223 RS S RS CC BB AA 1.7Pe de altă parte:

24400

R A

AA g g

; 24400

R B

BB g g

; 24400

RC

CC g g

adică:

g g g g C B A R

CC BB AA 2002 2 1.8

Unde, g g g C B A g g g . Prin egalarea relaţiilor(1.7) şi (1.8) se obţine:

S C B A R g g g g g 24002002 2 ,şi dacă se notează cu expresia din paranteză, iar cu cc /0000200 cc , atunci se vaobţine expresia de calcul pentru excesul sferic:

cccc

RS

2 1.9

Pentru calcule în triunghiuri geodezice mici, suprafaţa sfericăS se poate înlocui cu suprafaţatriunghiului plan ''' C B A corespondent, notatăS’ :

S

O


8/71

8

2

'''

2

'''

2

'''

2

'

2sin

2sin

2sin

R Acb

R Bca

RC ba

RS cccccccccc , 1.10

unde ''' ,, C B A (respectiv ''' ,, din figură) sunt unghiurile triunghiului plan.Ceea ce trebuie reţinut este faptul că într -un triunghi elipsoidic mic întotdeauna suma

unghiurilor este 200g

plus excesul sferic.Observaţie: Din tabelele elipsoidului de referinţă Krasovski se poate extrage coeficientul:

2

"

2 R f

, 1.11

valabil pentru gradaţia sexagesimală, în funcţie de latitudinea medie a vârfurilor triunghiului ABC , astfel că:

'''" sinsinsin fbc fac fab 1.12Pentru laturi mai mari de 60 km, excesul sferic se poate calcula cu formula ( Bagratuni 1962,

Jordan 1958):

2

2

2

'

81""

Rm

RS

1.13

unde cu 2m s-a notat:

3

2222 cbam

1.14

Exemplificări referitoare la ordinul de mărime pe care îl poate avea excesul sferic în funcţiede lungimea laturii s sunt prezentate în tabelul 1.În acelaşi tabel se pot urmări modificările aduse de formula(1.13) asupra formulei(1.10) pentru cazul triunghiurilor geodezice cu laturi mai mari de 60 km. S-au avut în vedere

triunghiuri echilaterale iar latitudinea medie a vârfurilor triunghiurilor a fost considerată046 .3.3 REZOLVAREA TRIUNGHIURILOR GEODEZICE MICI CU METODA

LEGENDRE

Una din metodele cele mai folosite pentru rezolvarea triunghiurilor geodezice mici se bazează pe utilizarea teoremei Legendre (sau metoda dezvoltărilor în serie), publicată de acesta în anul1787:

“Un triunghi sferic mic se p oate rezolva ca un triunghi plan, dacă se păstrează egalitatealaturilor celor două triunghiuri, iar unghiurile triunghiului plan se obţin prin micşorarea fiecărui unghi sferic cu câte o treime din excesul sferic.” Pentru demonstrarea acestei teoreme se scrie formula cosinusului în triunghiul sferic ABC (fig.4):

a R a _ _'=

B

R 'c = c_ _

R

A

'

B'C

' __b=bR

'

c

C'a

b

'

A '

Fig.4. Teorema Legendre

cossinsincoscoscos Rc

Rb

Rc

Rb

Ra , 1.15


9/71

9

care poate fi dezvoltată în serie folosind relaţii deforma:

.....;242

1cos42 x x

x .....,6

sin3 x

x x 1.16

obţinându-se:

bc Rcbcabacba

bccba

2

222222444222

24222

2cos

1.17În triunghiul plan ''' C B A , cu unghiurile ''' ,, şi aceleaşi laturi cba ,, rezultă din teorema

Pitagora generalizată:

bcacb

2cos

222' 1.18

şi ca urmare:

22

222222444'2

4222

sincb

cbcabacba 1.19

Din ultimele trei relaţii rezultă: '2

2' sin

6coscos

Rbc 1.20

Din egalitatea: '' se obţine prin dezvoltare în serie:

''' sincoscos , 1.21adică:

' '

'2 2

sin 16 3 3

cccc cc ccbc S

R R

1.22

Relaţii similare se pot obţine şi pentru diferenţele''

; , ceea ce constituiedemonstraţia teoremei Legendre .Aproximaţiile generate de dezvoltările în serie(1.16) , (1.21) , (1.22) , limitează domeniul deaplicabilitate a rezolvărilor triunghiurilor geodezicecu teorema Legendre până la distanţe

km s 60 .Deci, etapele care trebuie să fie urmărite pentru a putea rezolva un triunghi elipsoidic mic prinmetoda Legendre constau în:

calculul excesului sferic cu una dintre relaţiile(10) compensarea unghiurilor în triunghiul elipsoidic mic prin calcularea neînchiderii şi

repartizarea ei, în mod egal, celor trei unghiuri calculul unghiurilor în triunghiul plan prin corectarea celor de pe elipsoid cu o treime

din excesul sferic calculul celorlalte laturi în triunghiul plan care, conform teoremei, sunt egale cu cele

din triunghiul sferic

Un exemplu de rezolvare a triunghiurilor geodezice cu teorema Legendre se prezintă întabelul 5.2.


10/71

Tabelul 1

Tabelul 2

Calcululexcesului sferic

Vârful

Unghiul măsuratşi redus pe

elipsoid[g c cc]

Corecţia3/

[cc]

Unghiulcompensat în

triunghiulelipsoidic mic

[g c cc]

3

[cc]

Unghiulcompensat

în triunghiulplan

[g c cc]

Sinusulunghiului întriunghiul

plan

Lungimealaturii în

triunghiurileplan şi

elipsoidicmic [m]

Denumirealaturii

a= 28 597,567 m B= '0 34,44 f =25,354 1010

612,3cc

A BC

91 78 42,66158 45 51,13049 76 13,328

-1,169-1,169-1,169

91 78 41,49258 45 49,96149 76 12,159

-1,204-1,204-1,204

91 78 40,28858 45 48,75749 76 10,955

0,991683800,794514130,70444825

28597,56722911,70920314,445

a bc

200 00 07,119119,7 cc -3,507 200 00 03,612 -3,612 200 00 00,00 Modulul= ma 3844,28837sin/

'

Primul tabel exemplifică valorile excesului sferic funcţie de lungimea laturii. Al doilea tabel reprezintă un exemplu de rezolvare a triunghiurilor geodezice cuTeorema Legendre.

Lungimealaturii (s) km 10 20 30 40 50 60

Cu formula (5.9) Cu formula (5.12)

80 100 150 80 100 150

ExcesulSferic

"

0,219 0,878 1,976 3,5119 5,4873 7,9018 14,04762 21,94941 49,38618 14,04790 21,9500349,38959

10


11/71

3.4 REZOLVAREA TRIUNGHIURILOR GEODEZICE MICI CU METODAADITAMENTELOR (Soldner)

Cu metoda aditamentelor , introdusă de J.G. Soldner în anul 1810, un triunghi geodezic micoarecare (aproximat ca triunghi sferic) se rezolvă prin intermediul unui triunghi plan, ale cărui

unghiuri sunt egale cu unghiurile triunghiului geodezic (reduse pe elipsoid) modificându-seînsă laturile acestuia din urmă. Metoda aditamentelor a cunoscut o mai mică aplicabilitate în comparaţie cu metoda Legendre ,însă situaţia s-a schimbat ca urmare a posibilităţilor actuale de măsurare directă a distanţelorîn reţelele geodezice de sprijin. Din teorema sinusurilor, în triunghiurile sferic ABC şi plan ''' C B A , format în modulmenţionat mai înainte, rezultă (fig.5):

' c _ _=c

' bb _ _=R

A

'

R

R

c ''

C

R _ _aa ''=

A ' b ' ' C '

a ' '

B B'

Fig.5. Teorema Soldner

Rb R

a

sin

sin

sinsin

, respectiv '

'

sinsin

ba

, 1.23

de unde:

....6

.....6

2

3

2

3

'

'

Rb

b

Ra

a

ba 1.24

Această ecuaţie este îndeplinită numai atunci când:

2

3'

6 R

a

aa şi 23

'

6 R

b

bb , 1.25sau în general:

2

3'

6 R s

s s , 1.26

Mărimea:

2

3

6 R s

A s 1.27

cu care trebuie modificată latura s din triunghiul sferic pentru a se obţine lungimeacorespondentă ' s în triunghiul plan intermediar se numeşteaditament liniar .Se poate demonstra că pentru calculul aditamentelor în cazul triunghiurilor geodezice mici

km s 60 , este suficient să se utilizeze o valoare medie pentru curbura totală 2/1 R K ,


12/71

pentru teritorii care acoperă05 în latitudine spre nord şi spre sud (aproximativ 1000 km întotal pe direcţia nord – sud). Astfel, pentru ţara noastră se poate considera:

,9573786046 m R R pentru care15

2 100959,461 R

1.28

În cazul unor distanţe s mai mari de 60 km se poate extinde dezvoltarea în serie iniţială,astfel încât:

............1206 4

5

2

3'

R s

R s

s s 1.29

Termenii corectivi introduşi în ultimele relaţii nu aduc contribuţii esenţiale, aşa cum rezultă şidin tabelul3.

Deci, etapele care trebuie urmărite pentru rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici prinmetoda aditamentelor constau în:

calculul excesului sferic cu una din relaţiile(10) compensarea unghiurilor în triunghiul elipsoidic mic prin calculareaneînchiderii şi

repartizarea ei în mod egal celor trei unghiuri: * * *

* * *

200

/ 3 ; / 3 ; / 3

g w A B C

A A w B B w C C w

unde, cu * A , * B , *C s-au notat valorile unghiurilor reduse pe suprafaţa elipsoidului dereferinţă.

calculul aditamentului liniar al laturiia şi apoi a valorii în triunghiul plan calculul celorlalte două laturi ale triunghiului plan cu aceste valori calculate se determină aditamentele liniare ale celorlalte două laturi şi

apoi mărimea lor în triunghiul elipsoidic mic

Pentru exemplificarea rezolvării unui triunghi geodezic mic cu metoda aditamentelor s-areluat exemplul din tabelul2, calculele efectuându-se în tabelul4.


13/71

Tabelul 3

Tabelul 4

Calculul excesuluisferic şi al

aditamentelorVârful

Unghiulmăsurat şiredus peelipsoid

ccc g

Corecţia 3/

cc

Unghiulcompensat în

triunghiulelipsoidic mic

ccc g

Sinusulunghiului întriunghiul

elipsoidic mic

Latura întriunghiul

plan m

Aditamentul m

Latura întriunghiulelipsoidic

mic m

Latura

ma 567,59728 '03444 B

10" 10354,25 f

612,3cc m Aa 0958,0

A B C

91 78 42,66158 45 51,13049 76 13,328

-1,169-1,169-1,169

91 78 47,49258 45 49,96149 76 12,159

0,991684050,794515280,70444959

28597,471022911,659920314,4106

0,09580,04930,0344

28597,56722911,70920314,445

a bc

m Ab 0493,0 m Ac 0344,0

200 00 07,119119,7 cc -3,507 200 00 03,612 Modul = 2807,83728sin/

'' a

Lungimealaturii

km s

10 20 30 40 50 60Cu formula (5.26) Cu formula (5.28)

80 100 150 80 100 150Aditament

liniar mm

4,1 32,8 110,6 262,1 512,0 884,7 2097,1 4095,9 13823,6 2097,1 4095,9 13823,2

13


14/71

4. REŢELE DE SPRIJIN PLANIMETRICE

1. Reţeaua geodezică de stat 2. Reţeaua de triangulaţie locală 3. Reţeaua de ridicare

1. Reţeaua geodezică de stat

Reţeaua geodezică de stat este constituită din puncte de triangulaţie geodezică de patru ordineşi din puncte de poligonometrie. Această reţea se prezintă sub forma unei reţele compacte detriunghiuri combinate cu patrulatere cu ambele diagonale observate, având scopul ştiinţific principal de stabilire a formei şi dimensiunilor elipsoidului pământesc. Pe lângă acest scopştiinţific, valabil întotdeauna, ea ajută evoluţia tehnică, astfel încât: a) serveşte ca osatură a hărţii României la scară mică; b) serveşte ca bază de pornire pentru executarea planurilor cadastrale la scară medie; c) stă la baza reţelelor de sprijin locale şi de ridicare pentru planuri la scări mari pentru toatelucrările de urbanism, drumuri, căi ferate, căi navigabile, baraje, canale de irigaţii, etc.; d) serveşte la calculul orientării tunelurilor şi galeriilor. Dezvoltarea generală a impus necesitatea unor planuri la scări din ce în ce mai mari, carenecesită reţele de sprijin din ce în ce mai precise. Reţeaua de triangulaţie a României, conform instrucţiunilor din 1962, are patru ordine,realizând o densitate medie de 1 punct / 20 km².a) Reţeaua de ordinul I are punctele dispuse în vârfurile unor triunghiuri, pe cât posibilechilaterale, asigurând o lungime a laturilor în medie de 25 km în regiunile de munte şi 20 kmîn regiunile de şes, densitatea obţinută fiind de 1 punct / 500 km². În interiorul fiecăruitriunghi de ordinul Ise introduc punctele de ordinul II, în mod obişnuit trei puncte, laturile

triunghiurilor de ordinul II fiind circa ½ din cele ale triunghiului de ordinul I.b) Reţeaua de ordinul II are punctele dispuse în vârfurile unor triunghiuri cu laturile de 13kmşi asigură o densitate de 1 punct / 150 km². c) Reţeaua de ordinul III se obţine prin îndesirea punctelor în aşa fel încât în interiorulfiecărui triunghi de ordinul II să avem circa trei puncte de ordinul III. În cazul reţelei detriangulaţie de ordinul III, laturile triunghiurilor sunt de 8 km şi asigură o densitate de 1 punct/ 50 km². Coordonatele acestor puncte se determină legându-se de puncte de ordinul II sau deordinul II şi I. d) Reţeaua de ordinul IV se obţine introducând în interiorul triunghiur ilor de ordinul III, punctele de ordinul IV astfel încât distanţa între acestea să fie de circa 4 km iar densitatea lorde 1 punct / 20 km². Densitatea de 1 punct / 20 km² este cu totul insuficientă pentru a putea

ridica suprafeţele topografice. Pentru a ne putea apropia cât mai mult de punctele de detaliu şia putea face ridicarea suprafeţelor cât mai fidel, se impune mărirea numărului de puncte.Pentru aceasta se realizează reţele de triangulaţie locală şi reţele de ridicare.

2. Reţeaua de triangulaţie locală

Pe suprafeţe topografice care nu depăşesc câteva sute de km², unde nu există reţea geodezicăde stat, sau aceasta nu este folosibilă din punct de vedere al densităţii, se realizează otriangulaţie locală. Prin metoda triangulaţiei locale se determină coordonatele unui număr de puncte prin intermediul reţelei de triunghiuri ale căror vârfuri sunt materializate în teren.Distanţa dintre puncte este cuprinsă între 0,5 şi 3 km. Forma reţelei de triangulaţie este funcţiede forma suprafeţei pe care o avem de ridicat, putând avea după caz reţea de triunghiuriformând un poligon cu punct central, patrulater cu vize pe ambele diagonale, lanţ de


15/71

triunghiuri, lanţ de patrulatere sau o combinaţie între acestea. În cazul suprafeţelor cu uncontur circular se alcătuieşte o reţea în formă de poligon cu punct central(fig.6) , în care semăsoară toate unghiurile şi o bază ( AB =B1); pe baza acestor elemente măsurate, care vor ficompensate, se vor calcula orientările laturilor şi coordonatele punctelor.

2

4

F

IV

4

E

A

V

5

5

1

5

1

4D

3

3 III

23

1

I

2

B

II C

Fig. 6. Poligon cu punct central

În cazul în care suprafaţa pe care o avem de ridicat este mult mai lungă decât lată, se va folosi patrulaterul cu ambele diagonale vizate(fig.7), lanţul de triunghiuri (fig.8) sau o combinaţiedintre acestea.

Fig. 7. Patrulater Fig. 8. Lanţ de triunghiuri cu diagonale vizate

Şi în aceste forme de reţele se vor măsura toate unghiurile, măsurarea unei singure bazenemaifiind suficientă, deoarece nu se poate face închiderea tot pe baza de pornire. Pentruaceasta se va mai măsura cel puţin o bază de închidere (B2). Dacă lanţul de triunghiuri estefoarte lung, se obişnuieşte ca după fiecare 10- 15 triunghiuri să fie măsurată o bază deînchidere.O triangulaţie locală, indiferent de forma acesteia, necesită următoarele operaţii principale : a) Operaţii preliminarii care constau din: - întocmirea proiectului reţelei pe o hartă topografică;

- recunoaşterea terenului pe care urmează să fie executată această triangulaţie locală; - definitivarea proiectului de triangulaţie în conformitate cu situaţia din teren;- marcarea şi semnalizarea punctelor reţelei de triangulaţie. b) Efectuarea măsurătorilor care constă din:- măsurarea tuturor unghiurilor; - măsurarea unei baze sau a unor baze de triangulaţie; - determinarea orientării bazei de pornire sau a unei laturi din reţeaua de triangulaţie, orientarecare se poate determina prin metode astronomice sau magnetice.c) Calculul triangulaţiei care constă din:- compensarea elementelor măsurate; - calculul laturilor reţelei de triangulaţie; - calculul orientării laturilor; - calculul coordonatelor punctelor de triangulaţie.

C B

2 D

2 4 3

IV

4

A

II 1 1

C 1 4

3

D 4

A 1 1

I 2 3

III

E 3

4

B 2 2

3 B1 B2

F


16/71

3. Reţeaua de ridicarePrin punctele reţelei geodezice de stat şi din triangulaţiile locale, se ajunge la o densitate aacestora mult prea mică pentru a constitui o reţea de sprijin pentru ridicarea detaliilor învederea întocmirii de planuri la scări mari (1:5000, 1:2000, 1:1000, 1:500). De asemenea, prinreţelele locale de triangulaţie se ajunge la puncte situate la o distanţă de 0,5- 3 km, mult prea

îndepărtate între ele pentru a putea face ridicarea detaliilor. Pentru a ridica punctele de detaliu,trebuie să creăm în teren puncte de sprijin situate la o distanţă de 100- 250 m. Mărireanumărului de puncte prin metoda triangulaţiei nu este potrivită, deoarece s-ar producecheltuieli şi muncă inutilă pe de o parte, iar pe de altă parte, în majoritatea cazurilor,nicinatura terenului nu ar permite acest lucru datorită acoperirii cu diferite detalii şi a reliefuluiacestuia.Prin reţeaua de ridicare se înţelege reţeaua creată în scopul asigurării numărului de punctenecesare ridicărilor topografice; ea este alcătuită din puncte de: intersecţie înainte, înapoi,laterală şi drumuire care se sprijină în determinarea lor pe puncte din reţelele determinateanterior. Densitatea reţelei de ridicare se stabileşte în raport cu scopul lucrărilor şi scara deredactare a planur ilor topografice, conform instrucţiunilor tehnice de lucru.


17/71


18/71

unde, ni .....,,2,1 şi i x reprezintă corecţii ce urmează a fi determinate în procesul decompensare şi apoi adăugate valorilor aproximative 0i X în vederea obţinerii valorilor celormai probabile ale mărimilor căutate,i X .Aceste corecţii însă, trebuie să fiesuficient de mici, astfel încât în dezvoltarea în serie Taylor

să putem neglija termenii de ordinul II şi mai mari. Introducând relaţia (5.3) în (5.1) obţinem: hhiii x X x X x X F v M 02021

01

0 .....,,, 5.4Deci, corecţia va avea valoarea:

002

021

01 .....,,, ihhii M x X x X x X F v 5.5

Dezvoltând această expresie în serie Taylor şi neglijând termenii de ordinul II şi superiori,rezultă:

0002

01 .....,,, ihii M X X X F v +

+ hh

iii x x

F x

x

F x

x

F

0

2

021

01

....

5.6

( ni .....,,2,1 )Pentru sim plificarea calculelor se fac următoarele notaţii:

ii a

x F

01 ii b x

F

02 …….. …. i

h

i h x F

0

5.7iihhi l M x X x X x X F 002021

01 .....,,,

Cu aceste notaţii expresia (5.6) devine: ihiiii l xh xb xav .....21 5.8( ni ,.....2,1 ; hn )

Această relaţie poartă denumirea desistemul l in iar al ecuaţiilor de corecţii .

Observaţii: Fiecare măsurătoare generează câte o ecuaţie de corecţie. Din expresiile coeficienţilor şi a termenului liber (5.7) se observă că mărimea

măsurată direct 0i M , deci cea care este afectată de erori intervine numai în termenulliber.

Rezultă deci, că eroarea unei ecuaţii de corecţii este egală cu eroarea termenului liber, iar

coeficienţii iii hba .....,,, se consideră constante lipsite de erori. Dacă mărimile măsurate direct 0i M sunt determinate cu aceeaşi precizie, atunci şi

ecuaţiile sistemului liniar vor fi de aceeaşi precizie. Sistemul liniar poate fi înmulţit cu aceeaşi constantă, rezultatul final rămânând

neschimbat. În cazul în care ecuaţiile sistemului liniar ar fi înmulţite cu constantediferite, s-ar modifica şi ponderile în mod diferit.

Sistemele ponderate (de precizii diferite) pot fi reduse la sisteme neponderate, dacăfiecare ecuaţie se multiplică cu pi , adică:

iihiiiiiiiii pl x ph x pb x pa pvv ....21 5.9


19/71

Acest nou sistem poartă denumirea desistem de ecuaţii omogenizate şi au toate ponderea egală cu1.

Din expresia termenului liber (5.7) rezultă regula practică de calcul a acestuia: iihhi l M x x x X x X F 002021

01 .....,,, 5.10

Termenul liber = valoare calculată- valoare m ăsurată

5.2 NORMALIZAREA ECUAŢIILOR 5.2.1 Compensarea măsurătorilor indirecte de aceeaşi precizie

Din sistemul liniar al ecuaţiilor de corecţii dat de (5.8) în care presupunem că toate ecuaţiileau aceeaşi pondere, valorile cele mai probabile ale corecţiilor se deduc utilizând metoda celormai mici pătrate, adică:

vv = min. 5.11Dacă în acest sistem înlocuim valorile corecţiilor iv obţinem:

211211122221 )...(.... l xh xb xavvvvv hn 2

222212 )...( l xh xb xa h .………………………. 221 ... nhnnn l xh xb xa minim

Aceasta reprezintă o funcţie de x , adică: h x x x F vv ....,, ,21 5.12

Pentru determinarea minimului acestei funcţii de mai multe variabile, trebuie ca derivatele

parţiale de ordinul întâi ale funcţiei în raport cu fiecare din necunoscute să fie zero. Efectuând aceste derivate obţinem:

)....(2 11211111

l xh xb xaa x F

h

+ )....(2 2222122 l xh xb xaa h 5.13+………..…………………..+ + 0)....(2 21 nhnnnn l xh xb xaa

sau: 0av 5.14

)....(2 11211112

l xh xb xab x F

h

)....(2 2222122 l xh xb xab h 5.15

+…………………………...+ + 0)....(2 21 nhnnnn l xh xb xab

sau: 0bv 5.16

Analog se calculează şi celelalte derivate, ultima fiind:


20/71

)....(2 1121111 l xh xb xah x F

hh

)....(2 2222112 l xh xb xah h 5.17+…………………………....+

0)....(2 21 nhnnnn l xh xb xah sau: 0hv 5.18

Anularea derivatelor parţiale de ordinul întâi determină punctele staţionare ale unei funcţiicare sunt în acelaşi timp puncte de minim, adică derivata de ordinul II este pozitivă.Efectuând calculele în (5.13), (5.15), (5.17) şi trecând la notaţiile Gauss, obţinem:

0...............................................................

0....

0....

21

21

21

hl xhh xbh xah

bl xbh xbb xab

al xah xab xaa

h

h

h

5.19

Sistemul (5.19) poartă denumirea desistem normal al corecţiilor .Matricea coeficienţilor acestui sistem este simetrică, deci nesingulară. Rezultă că sistemuladmite soluţie care este unică. Prin rezolvarea acestui sistem, se determină corecţiilei x care aplicate valorilor apropiate

0i X

dau valorile cele mai probabile ale necunoscutelor:iii x X X 0 5.20

De asemenea, cu ajutorul corecţiilori x se pot deduce şi valorileiv ce vor fi a plicate mărimilormăsurate 0i M :

ihiiii l xh xb xav ....21 5.21

Determinarea practică a coeficienţilor şi a termenilor liberi ai ecuaţiilor normale se face întabele intermediare de forma:

1.Tabelul coeficienţilor ecuaţiilor de corecţii Nr.crt.

a i b i ….. h i l i S i Control

1 a 1 b1 … h1 l 1 S 1 S 1 = a 1+ b 1+…+h1+ l 1

2 a 2 b2 … h2 l 2 S 2 … … … … … … … ……… n a n b n … h n l n S n S n= a n+ b n+…..+

hn+ l n

a b … h l S

1 1= a + b +…..+ h + l


21/71

2.Tabelul coeficienţilor ecuaţiilor normale

aa ab … ah al] [aS]Control : [aS] =

aa + ab +…+ ah + al]

[bb] … [bh] [bl] [bS][bS] = ab +[bb]+…+[bh]+[bl]

… ……. ……. ......... …………

[hh] [hl] [hS][hS] = ah +[bh]+ ...+ [hh] +[hl]

[ll] [lS] control

5.2.2 Compensarea măsurătorilor indirecte ponderate

În sistemul liniar al ecuaţiilor de corecţii (5.7) presupunem că ecuaţiile au precizii diferitedeci, ponderi diferite.Valorile cele mai probabile ale corecţiilor în acest caz se obţin utilizând de asemenea metodacelor mai mici pătrate, adică:

pvv = min. 5.22

Dacă în acest caz înlocuim valorile corecţiilor iv obţinem:

2

112111122

22211 )...(.... l xh xb xa pv pv pv p pvv hnn

22222122 )...( l xh xb xa p h 5.23

+…………………………………..++ 221 ... nhnnnn l xh xb xa p minim

Şi în această situaţie relaţia (5.23) reprezintă o funcţie de x , adică: h x x x F pvv ....,, ,21 5.24

Pentru determinarea minimului acestei funcţii de mai multe variabile, trebuie ca derivatele

parţiale de ordinul întâi ale funcţiei în raport cu necunoscutele să fie zero. Efectuând acestederivate obţinem:

)....(2 112111111

l xh xb xaa p x F

h

)....(2 22221222 l xh xb xaa p h 5.25+……………………………...+

0)....(2 21 nhnnnnn l xh xb xaa p

sau: 0 pav 5.26


22/71

)....(2 112111112

l xh xb xab p x F

h

)....(2 22221222 l xh xb xab p h 5.27+……………………………….+

0)....(2 21 nhnnnnn l xh xb xab p sau: 0 pbv 5.28

Analog se calculează şi celelalte derivate, obţinându-se:

)....(2 11211111 l xh xb xah p x F

hh

)....(2 22221222 l xh xb xah p h 5.29+……………………………..+

0)....(2 21 nhnnnnn l xh xb xah p

sau: 0 phv 5.30

Efectuând calculele în (5.25), (5.27), (5.29) şi trecând la notaţiile Gauss, rezultă:

0......................................................

0....

0....

21

21

21

phl x phh x pbh x pah

pbl x pbh x pbb x pab

pal x pah x pab x paa

h

h

h

5.31

Sistemul (5.31) poartă denumirea desistem normal al corecţiilor în cazul măsurătorilorin dir ecte ponderate.Prin rezolvarea acestui sistem, se determină aceleaşi corecţiii x care, aplicate valorilorapropiate 0i X ne dau valorile cele mai probabile ale necunoscutelor:

iii x X X 0 5.32

De asemenea, cu ajutorul corecţiilori x se pot deduce ulterior valorileiv ce vor fi aplicatemărimilor măsurate 0i M :

ihiiii l xh xb xav ....21 5.33Determinarea practică a coeficienţilor şi termenilor liberi ai ecuaţiilor normale se face întabele asemănătoare celor de la măsurătorile indirecte de aceeaşi precizie, şi anume:

1.Tabelul coeficienţilor ecuaţiilor de corecţie Nr . crt. p i a i b i … h i l i S i Control

1 p 1 a 1 b1 … h1 l 1 S 1 S 1 = a 1+ b 1+…..+ h1+ l 1 2 p 2 a 2 b2 … h2 l 2 S 2 … … … … … … … … ……… n p n a n b n … h n l n S n S n= a n+ b n+…..+ hn+ l n

- a b … h l S

1 1= a + b +…..+ h + l


23/71

2.Tabelul coeficienţilor ecuaţiilor normale:

paa pab …. pah pal] [paS]

Control: [paS] = paa + pab

+…+ pah + pal]

[pbb] …. [pbh] [pbl] [pbS][pbS] = pab + [pbb]+ …+ [pbh] + [pbl]

… … … … …………

[phh] [phl] [phS][phS] = pah + [pbh]+ ...+ [phh] + [phl]

[pll] [plS] control

5.3 REZOLVAREA SISTEMELOR DE ECUAŢII NORMALE

Metodele de rezolvare a sistemelor liniare se împart în două grupe: 1.M etode exacte , care dau un algoritm finit pentru calculul soluţiei (exemplu: regula luiCramer, metoda eliminării succesive a lui Gauss). 2.M etode iterative , care permit găsirea soluţiei cu o eroare oricât de mică dar nenulă printr -un proces unic numit proces de iteraţie. Metodele iterative sunt simple şi comode în cazul în care se folosesc calculatoareleelectronice.Pentru practica geodezică se foloseşte cu succesrezolvarea sistemelor de ecuaţii normale prinmetoda eliminărilor succesive a lui Gauss.

Pri ncipiu l metodei:Considerăm un sistem normal de 3 ecuaţii:

0

0

0

321

321

321

cl xcc xbc xac

bl xbc xbb xab

al xac xab xaa

5.34

Metoda de rezolvare constă în reducerea de necunoscute, prin eliminăr i succesive:

Din prima ecuaţie a sistemului (5.34) se scoate necunoscuta1 x şi se introduce în celelaltedouă:

aa

al x

aaac

xaaab

x 321

0

0

0

32

2

3232

2

3232

aaal ab

bl xaaacab

bc xaaab

bb

bl xbc xbbaa

al ab x

aaacab

xaaab

bl xbc xbbaaal

xaaac

xaaab

ab


24/71

În cea de-a treia ecuaţie vom obţine: 5.35

0

0

0

3

2

2

323

2

2

3232

aaal ac

cl xaaac

cc xaa

acabbc

cl xcc xbcaaal ac

xaaac

xaaacab

cl xcc xbcaaal

xaaac

xaaab

ac

Se fac următoarele notaţii:

1.

;1.

1.

1.

1.2

cl aa

al accl

ccaa

acaccc

bl aa

al abbl

bcaaacab

bc

bbaaab

bb

5.36

Aceste expresii poartă denumirea dealgoritmi Gauss de ordinul I .Cu ajutorul lor, ecuaţiile se vor scrie:

01.1.1.

01.1.1.

32

32

cl xcc xbc

bl xbc xbb 5.37

În continuare, vom elimina necunoscuta2 x procedând analog:din prima ecuaţie se scoate2 x şi se înlocuieşte în cea de-a doua:

1.

1.1.1.

32 bbbl

xbbbc

x

Rezultă:

0

1.1.1.

1.1.

1.1.

01.1.1.

1.1.1.

1.

01.1.1.1.

1.1.1.

3

2

33

2

33

bbbl bc

cl xbbbc

cc

cl xccbb

bl bc x

bbbc

cl xccbbbl x

bbbcbc

5.38

Adoptând următoarele notaţii:


25/71

2.

1.1.1.

1.

2.1.

1.1.

2

cl bb

bl bccl

ccbbbc

cc

care poartă denumirea de algoritmi Gauss de ordinul II, ecuaţia finală va fi:

02.2. 3 cl xcc 5.39

Deci: 2.

2.3 cc

cl x 5.40

Prin eliminări succesive am reuşit să aducem sistemul la o formă triunghiulară. Pornind în ordine inversă, se determină apoi2 x şi 1 x .Toate calculele se fac într-un tabel numit schema Gauss Relaţia de verificare a soluţiilor obţinute:

l xl S 5.41

Această relaţie se obţine prin însumarea tuturor ecuaţiilor (5.34), adică a elementelorrespective de pe liniile ecuaţiilor din schemă. Soluţiile se mai pot verifica introducându-le în toate ecuaţiile, pe care trebuie să le satisfacă.Această verificare va fi satisfăcută în limita preciziei de calcul- precizie care depinde denumărul de cifre utilizat în calcule, de numărul ecuaţiilor şi mai ales de conformareasistemului.

Se prezintă mai jos modul de calcul în schema Gauss:

a) se înscriu coeficienţii ecuaţiilor normale pe liniile: - pentru ecuaţia I în linia (1) - pentru ecuaţia II în linia (3) - pentru ecuaţia III în linia (6) Datorită faptului că sistemul este simetric e suficient să se înscrie coeficienţii de pe diagonalăşi cei de deasupra. b) Se împarte linia (1) cu coeficientul - aa , obţinându-se linia (2) care nu reprezin tă altcevadecât prima ecuaţie eliminatoare (5.35)c) Linia 4 , care reprezintă ecuaţia sistemului redus odată se obţine astfel:

-se ia drept PIVOT elementul din linia (2) coloana (2), adică

aaab se înmulţeşte succesiv cu

elementele din linia 1 , iar la aceste valori se adaugă coeficienţii din linia (3). exemplu:

bbab

aaab

bb 1.

Se va face obligatoriu controlul: 1.1.1.1. bsbl bcbb


26/71


27/71

5.6 TRATAREA MATRICEALĂ A MĂSURĂTORILOR INDIRECTE

Se dă sistemul liniar al ecuaţiilor de corecţii:

ihiiii l xh xb xav .....21 5.90

i =1- nn h

a) Cazul măsurătorilor de aceeaşi precizie

Adoptam următoarele notaţii:

nnn

n

hba

hba

hba

A

...

............

...

...

22

111

(vectorul coeficienţilor) 5.91

x

x

x

xh

1

2

. . .

(vector coloană al necunoscutelor ) 5.92

V

v

v

vn

1

2

. . .

(vector coloană al corecţiilor) 5.93

L

l

l

l n

1

2

. . .

(vector coloană al termenilor liberi) 5.94

Sistemul liniar iniţial devine având in vedere notaţiile făcute:

1,1,,1, nhhnn L X AV 5.95

Punând condiţia de minim impusă de metoda celor mai mici pătrate, rezultă:

V T V minim

Deci, derivatele parţiale în raport cu necunoscuta x trebuie să fie egale cu zero;cu alte cuvinte minimul acestei funcţii în x se află punând condiţia f 0.

.min L AX L AX T 5.96

Derivând, se va obţine: (ţinând cont de proprietatea gradientului)

122121 , f f f f f f T T 5.97


28/71

L A N X

L A N L A A A

A A L A

X L A AX A

L AX A

L AX A L AX A

T

T T T

T

T T T

T

T T

1

11

0

0

0

5.98

b) Cazul măsurătorilor ponderate

Pornim de la acelaşi sistem de ecuaţii de corecţii:

iihiiii pl xh xb xav ...21 5.99

i=1-n

n hApare în plus faţă de cazul măsurătorilor de aceeaşi precizie matricea ponderilor:

P

p

p

pn

1

2

0 0 0

0 0 0

0 0 0

. . .

. . .

. .. . .. . . . . . . . . .

. . .

5.100

Sistemul iniţial se va scrie:

L AX V 5.101iar condiţia de minim va deveni în acest caz:

.min PV V T 5.102

Deci: .min L AX P L AX T 5.103

PL A N X

PL A PA A PA A PL A

X

PL A PAX A

L AX P A L AX P A

f

T

T T T

T

T T

T T

1

1

022

0

0

5.104


29/71

M ODUL 3

6. ALGORITMI PENTRU COMPENSAREA MĂSURĂTORILOR CONDIŢIONATE

Metoda măsurătorilor condiţionate se aplică în general în geodezie, la compensarea reţelelorde sprijin (triangulaţie, trilateraţie, poligonometrie, nivelment).O reţea de sprijin, de exemplu de triangulaţie, este constituită dintr -o succesiune de figurigeometrice (triunghiuri, patrulatere, poligoane). Pentru realizarea acestei reţele se măsoarăunghiuri şi laturi. În general însă, pentru eliminarea greşelilor şi îmbunătăţirea preciziei, nu nelimităm la a măsura un număr de elemente (unghiuri, laturi) strict necesare pentru construireareţelei respective, ci se măsoară un număr de elemente în plus. Este evident căci întreunghiurile măsurate, precum şi între unghiuri şi laturi, există anumite relaţii geometriceimpuse de geometria reţelei. Pentru rezolvarea problemei de compensare este util să se evalueze numărul acestor relaţii câtşi caracterul lor, păstrând însă doar relaţiile independente. Numărul ecuaţiilor de condiţie independente este egal cu numărul măsurătorilor efectuate în plus (nr. gradelor de libertate).

Exemplu:Pentru construirea unui triunghi sunt necesare 3 elemente dintre care cel puţin unul liniar.Presupunând că este cunoscută o latură, atunci este necesar şi suficient, pentru construireatriunghiului să se măsoare două unghiuri.Dacă se măsoară şi cel de-al treilea unghi, atunci ele trebuie să satisfacă condiţia:

g C B A 200 6.1

Având deci o măsurătoare în plus, este necesar să întocmim o ecuaţie de condiţie. Deoarece valorile obţinute din măsurători sunt afectate în mod inerent de erori, condiţia (6.1)nu va fi riguros satisfăcută, de aceea:

wC B A g 200 6.2

unde, discordanţaw reprezintăneînchiderea în triunghi ca urmare a erorilor de măsurare.

Pentru a satisface condiţia (6.1) este necesar ca valorile măsurate, afectate de erori să fiemodificate cu anumite cantităţi, numite corecţii ( iv ).Vom avea astfel:

0200 g C B A vC v Bv A 6.3Ţinând seama de (6.2),se obţine ecuaţia de condiţie a corecţiilor:

0 wvvv c B A 6.4

Cazul general

Se consideră n mărimi n X X X .....,, 21 pentru determinarea cărora s-au efectuat măsurătoridirecte, găsindu-se rezultatele nl l l .....,, 21 . Presupunem că celen necunoscute n X X X .....,, 21 ,trebuie să satisfacăr relaţii de condiţie independente între ele (rezultă deci că numărulmărimilor măsurate în plus ester ):


30/71

0.....,,, 211 n X X X f 0.....,,, 212 n X X X f 6.5

………………………. 0.....,,, 21 nr X X X f

Valorile măsurate direct nl l l .....,,, 21 nu vor satisface riguros acest sistem, astfel încât prinînlocuirea necunoscutelor n X X X ,.....,, 21 prin nl l l .....,,, 21 vom obţine rezultate diferite dezero:

ini wl l l f .....,,, 21 ( r i ,.....2,1 ) 6.6

Mărimile iw poartă denumirea de discordanţe, nepotriviri sautermeni liberi. Problema care se pune este de a găsi corecţiile nvvv .....,,, 21 care, aplicate mărimilor măsurate

nl l l .....,,, 21 , să facă să dispară aceste mici discordanţe. Deci, pentru a fi satisfacut sistemul

(6.6) trebuie să avem: iii vl X ,

( ni ,.....2,1 ) 6.7Ecuaţiile sistemului (6.5) pot fi liniare sau nu.

În primul caz considerăm că ele sunt de forma:

0......

....................................................

0....

0....

02211

02211

02211

r X r X r X r

b X b X b X b

a X a X a X a

nn

nn

nn

6.8

Ţinând seama de relaţia 6.7, acestea devin:

0......

.................................................

0....

0....

2211

22211

12211

r nn

nn

nn

wvr vr vr

wvbvbvb

wvavava

6.9

unde:

0......

......................................................

0....0....

02211

022112

022111

r l r l r l r w

bl bl bl bwal al al aw

nnr

nn

nn

6.10

În cazul în care ecuaţiile sistemului 6.5 nu sunt liniare, se procedează la liniarizarea acestora.

6.1 LINIARIZAREA ECUAŢIILOR

Ţinând seama că mărimilevi sunt relativ mici, ecuaţiile se dezvoltă în serie Taylor, neglijându-se termenii de ordinul II şi superior. Substituind relaţia 6.7 în 6.5 se obţine:

0.....,, 2211 nni vl vl vl f 6.11


31/71


32/71

În expresia acestei funcţii, parametriik se numescmultiplicatori Lagrange sau corelateGauss. Punctele staţionare libere ale funcţiei se determină, anulând derivatele parţiale în număr de( r n ) ale funcţiei în raport cu nvvv .....,,, 21 , r k k k ,...,, 21 .Punctele de extrem legate ale funcţiei (6.16) se găsesc printre punctele staţionare libere. Efectuând derivatele parţiale ale funcţiei obţinem:

02.....222 21 r iiiii

k r k bk avv

6.17

..............................................................

0...

0...

222112

122111

wvbvbvbk

wvavavak

nn

nn

6.18

0...2211 r nnr

wvr vr vr k

Sistemul (6.17) se mai poate scrie sub forma:

r iiii k r k bk av ...21 ( ni ,.....2,1 ) 6.19În sistemele (6.17) şi (6.18) avem(n+r) ecuaţii şi ((n+r) ) necunoscute, deci se pot rezolva.Substituind valorile corecţiilor iv date de (6.19) în sistemul (6.18) şi efectuând calculele,rezultă:

0...

...........

................................................................................................

0..

............

21

222122121111

121

222122121111

r r nnnn

r r

r nnnn

r r

wk r k bk ar

k r k bk ar k r k bk ar

wk r k bk aa

k r k bk aak r k bk aa

sau

0...

...........

1

212222212211211111

wk r a

k bak aak r ak bak aak r ak bak aa

r nn

nnnnr r

0...

...........

0...

...........

212222212211211111

2

212222212211211111

r r nn

nnnnr r

r nn

nnnnr r

wk r r

k r bk r ak r r k r bk r ak r r k r bk r a

wk r b

k bbk bak r bk bbk bak r bk bbk ba

Trecând la sumele Gauss se va obţine:


33/71

0................................................................

0.....

0.....

21

221

121

r r

r

r

wk rr k br k ar

wk br k bbk ab

wk ar k abk aa

6.20

Sistemul(6.20) avândr ecuaţii liniare şi r necunoscute, reprezintă sistemul normal alcorelatelor.Matricea sistemului normal al corelatelor fiind simetrică şi pozitiv definită, are inversă.Deci,sistemul are soluţie şi aceasta este unică. Rezolvând sistemul cu una din metodele cunoscute se determină corelatele r k k k ,...,, 21 .Introducând valorile găsite pentru corelatelek în sistemul (6.19), se determină valor ile celemai probabile ale corecţiilorv . Aceste corecţii se aplică apoi mărimilor măsurate direct,il conform relaţiei:

iii vl X ,rezultând valorile compensate ale mărimilor X i.

6.2.1.1 Calcululpractic al coeficienţilor ecuaţiilor normale

Pornind de la un sistem format din 3 ecuaţii de condiţie a corecţiilor:

0...

0...

0...

32211

22211

12211

wvcvcvc

wvbvbvb

wvavava

nn

nn

nn

6.21

sistemul normal al corelatelor va fi: 0

0

0

3321

2321

1321

wk cck bck ac

wk bck bbk ab

wk ack abk aa

6.22

Deducerea practică a coeficienţilor ecuaţiilor din sistem cât şi calculele de control respective,este arătată în tabelul de mai jos:

Tabelul coeficienţilor ecuaţiilor de condiţie a corecţiilor

Nr.

crt.

ai bi ci Si Notaţii şi control

12

..........n

a1a2

..........an

b1 b2

.......... bn

c1c2

.......... cn

S1S2

............Sn

S1 = a1+ b1 + c1S2 = a2+ b2 + c2..........……..

Sn = an+ bn + cn

[a] [b] [c] [S]

= [a]+[b]+[c] = [S]


34/71

Tabelul coeficienţilor sistemului normal

aa ab ac aS aS = aa + ab + ac

bb bc bS bS = ab + bb + bc

cc cS cS = ac + bc + cc

6.2.2 Măsurători condiţionate de precizii diferite (ponderate)

În acest caz ca şi în situaţia măsurătorilor de aceeaşi precizie, corecţiileiv ce urmează a fideterminate, trebuie să satisfacă atât condiţia .min pvv cât şi sistemul liniar al ecuaţiilor de

condiţie a corecţiilor (6.14): Este deci tot o problemă de minim condiţionat. Funcţia Lagrange în acest caz va fi de tipul:

.min.....2....................................

....2

...2

...,...,,,,...,,

2211

222112

12111

2222

2112121

r nnr

nn

nn

nnr n

wvr vr vr k

wvbvbvbk

wvavavak

v pv pv pk k k vvv

6.23

Efectuând derivatele parţiale în raport cuv şi k şi punând de asemenea condiţia ca acestea să

fie nule, se obţine: 02.....222 21 r iiiii

i

k r k bk av pv

6.24

0][:

0...

0][:

0...

0][:

0...

2211

2

222112

1

122111

r

r nn

r

nn

nn

wrv sau

wvr vr vr k

wbv sau

wvbvbvbk

wav sau

wvavavak

6.25

Ecuaţiile (6.24) mai pot fi scrise sub forma:


35/71


36/71


37/71

6.3 REZOLVAREA SISTEMELOR DE ECUAŢII NORMALE ALE CORELATELOR

Metodele de rezolvare a acestor sisteme sunt aceleaşi ca la rezolvarea sistemelor normale dela măsurătorile indirecte . Necunoscutele i x de la măsurătorile indirecte devin corelateleik , iar termenii liberi al ,

bl , etc . devin 1w , 2w , etc.Schema Gauss redusă pentru rezolvarea unui sistem de 3 ecuaţii, spre exemplu, areurmătoarea formă:

1k 2k 3k w S Control

[aa] [ab] [ac] w 1 S1 --1 [ ]

[ ]abaa

[ ][ ]

ac

aa - w 1 / [aa] -S1 / [aa] control

1k =..… [bb] [bc] w 2 S2 -[bb.1] [bc.1] [ w 2.1] [S2.1] control

-1 [ . ][ . ]bcbb

11

]1.[

][ 1.2bb

w [ ][ . ]

.S

bb2 1

1 control

2k =..... [cc] W3 S3 -[cc.2] [ w 3.2] [S3.2] control

-1]2.[

][ 2.3cc

w ]2.[][ 2.3

ccS control

3k =.….

Verificarea soluţiilor se face printr -o relaţie unică de forma:

[( wS ) k ] = - [w ] 6.28

Verificări de calcul

a) Controlul (verificarea) calculului corecţiilor:

Relaţiile de calcul a corecţiilor sunt:

iv r iii k r k bk a ..21 sau r iiii

i k r k bk a pv ..1 21

Dacă se însumează toate relaţiile din primul caz se obţine:

r k r k bk av .....21 6.29

sau, pentru al doilea caz:

r k r k bk a pv .....21 6.30

Acestea constituie cele două relaţii de control pentru calculul corect al corecţiilor. În afară de acestea, este necesar ca aceste corecţiiiv să satisfacă ecuaţiile liniare de condiţie acor ecţiilor:


38/71

0....

..................................

0...

0....

2211

22211

12211

r nn

nn

nn

wvr vr vr

wvbvbvb

wvavava

6.31

b) Verificarea liniarizării şi a calculului termenilor liberi

c) Verificarea rezolvării sistemului normal al corelatelor

În faza de reducere la forma triunghiulară, controlul se face pe rânduri, aşa cum se arată înschema Gauss.Pentru verificarea deducerii corecte a corelatelorik , acestea pot fi introduse în ecuaţiilesistemului normal pe care trebuie să le satisfacă în limita preciziei de calcul, sau, maieconomic, prin relaţia unică: [( wS ) k ] = - [w ].

d) Verificarea calculării sumei pătratelor corecţiilor

kw pvv

e) Controlul principal al compensării

Se aplică mărimilor măsurateil , corecţiile iv , adică :

iii vl X ,

şi acestea se introduc în ecuaţiile de corecţie iniţiale pe care trebuie să le satisfacă.Dacă nu se întâmplă acest lucru, înseamnă că liniarizarea nu s-a făcut corect (deci, uniicoeficienţi sunt greşiţi) sau termenii liberi nu au fost corect stabiliţi.

O particularitate a compensării prin metoda măsurătorilor condiţionate, o constituie faptul căîn cazul întocmirii sau liniarizării greşite a unei (unor) ecuaţii, deşi corecţiile obţinute în urmacompensării nu sunt cele juste, se verifică toate ecuaţiile de condiţie, cu excepţia celor greşitîntocmite.Această particularitate ne ajută să localizăm greşeala, deci să o depistăm mai uşor. Dacă doar termenul liber al unei (unor) ecuaţii a fost stabilit greşit- numai ca semn - atunci,în controlul final, în loc de a se anula discordanţa respectivă, ea se dublează.


39/71

6.4 ALGORITMI PENTRU COMPENSAREA MĂSURĂTORILOR ETEROGENE

Dacă mai multe mărimi de natură diferită (unghiuri, lungimi, diferenţe de nivel) urmează a ficompensate în comun , problema se poate trata în două moduri:

se calculează corecţiile omogenizate, care sunt adimensionale şi neponderate.

Omogenizarea corecţiilor se obţine dacă se împart relaţiile care dau corecţiile înfuncţie de corelate cu erorile unităţilor de pondere, adică: r iiii k r k bk av .....21

( ni .....1 )

"

"

'

'

,

vv

se ţine seama că în cazul ponderilor 2'' .

const

p , 2"" .

const

p

folosindu-se întotdeauna aceeaşi constantă. Unitatea de măsură pentru va fi aceeaşi ca cea pentruv şi respectivw .

Observaţie: Accentul’şi ” desemnează o anumită natură de măsurători.

6.4.1 Transformarea măsurătorilor condiţionate în indirecte şi invers

6.4.1.1 Trecerea de la măsurători condiţionate la măsurători indirecte

Fie sistemul liniar al ecuaţiilor de condiţie a corecţiilor:

0......

.................................................

0.....

0....

2211

22211

12211

r nn

nn

nn

wvr vr vr

wvbvbvb

wvavava

6.32

Din acest sistem der ecuaţii cun necunoscute (r n ), putem exprima primeler corecţii înfuncţie de celelalte (n - r ). Dacă vom nota cele (n - r ) corecţii cu n x x x .....,,, 21 se va obţine:

1121111 ..... L xU x B x Av u 2222122 ..... L xU x B x Av u

…………………. r ur r r r L xU x B x Av .....21 6.33

11 xvr 22 xvr

…………………. un xv

Am obţinut deci un sistem den ecuaţii cu u necunoscute [u =(n - r )] care se tratează identicca la capitolul de măsurători indirecte.


40/71

6.4.1.2 Trecerea de la măsurători indirecte la măsurători condiţionate

Trecerea se realizează în modul următor:

se elimină în anumite condiţii celeu necunoscute din sistemul liniar al ecuaţiilor decorecţie printr -o metodă oarecare, rămânând încă (n -u ) ecuaţii, numai în funcţie decorecţiilev care se consideră ca ecuaţii de condiţie.

Observaţii :Deşi transformările sunt posibile în ambele sensuri, acestea nu se recomandă a fi efectuate,trebuind să se stabilească de la început metoda prin care se urmăreşte să se facă compensarea,rezultatele fiind însă aceleaşi. Un criteriu de alegere îl constituie numărul de ecuaţii normalerezultate.Mijloacele moderne de calcul au schimbat optica, preferându-se metoda măsurătorilorindirecte, carese pretează la un grad mai mare de automatizare.

6.5 M odel de calcul

Să se compenseze unghiurile unui triunghi plan şi să se deducă precizia lor după compensare,cunoscându-se din măsurători de aceeaşi precizie următoarele valori medii:

ccc g 171547' ccc g 504373'

cc794145' Rezolvare

Neînchiderea unghiulară va fi egală cu: cc g w 12200'''

Ecuaţia de condiţie a figurii este: 0200 g

Dar: v

'

v '

v '

Deci, se poate scrie ecuaţia de condiţie finală:

012 cc p vvv

Având o singură ecuaţie de condiţie vom avea o singură corelatăk , deci sistemulde ecuaţiinormale ale corelatelor se va reduce şi el la o singură ecuaţie normală şi anume:

0wk aa

adică:

0123 cck cck 4


41/71

Aplicând formulele generale ale corecţiilor în funcţie de corelate avem:

k av

k av

k av

33

22

11

şi obţinem:

3

3

3

3

2

1

wk v

wk v

wk v

Deci: ccvvv 4321 Controlul corecţiilor se face folosind relaţia:

484812448

wk vv

Valorile compensate ale unghiurilor triunghiului plan vor fi:

41.41.79

46.43.73

13.15.47

'

'

'

v

v

v

Control: 00.00.200 g

Precizia este dată de:

9,61

48 ccr w

mmm


42/71

6.5 TRATAREA MATRICEALĂ A MĂSURĂTORILOR CONDIŢIONATE

Considerăm sistemul liniar al ecuaţiilor de condiţie a corecţiilor:

0....

..............................................

0...

0....

2211

22211

12211

r nn

nn

nn

wvr vr vr

wvbvbvb

wvavava

6.34

Se fac următoarele notaţii:

n

n

n

r r r

bbb

aaa

A

...

............

...

...

21

21

21

;

nv

v

v

V ...

2

1

;

r W

W

W

W ...

2

1

6.35

Sistemul se va scrie matriceal sub forma:

0W AV 6.36

Deoarece numărul ecuaţiilor este mai mic decât numărul necunoscutelor, pentru rezolvarea problemei se va folosi metoda celor mai mici pătrate, adică vv = min. în cazul măsurătorilorde aceeaşi precizie şi pvv = min. în cazul măsurătorilor ponderate. Aceste condiţii sunt exprimate matricial astfel:

vv = V V T pvv = V pV T 6.37

în care matricea p are forma:

n p

p

p

p

...00

.............

0...0

0...0

2

1

6.38

Având o problemă de minim condiţionat, funcţia Lagrange introdusă va fi de forma:

a) cazul măsurătorilor de aceeaşi precizie

.min2 W AV k V V T T 6.39derivată din:

222212121 ...,...,,,,..,, nr n vvvk k k vvv

r nnr

nn

nn

wvr vr vr k

wvbvbvbk

wvavavak

...2

......................................................

...2

...2

2211

222112

122111

Pentru a determina minimul funcţiei, trebuie ca:


43/71

0T V ; 0

T k 6.40

Efectuând derivatele parţiale se obţine:

k AV

k AV

Ak V V

V

T

T

T T T T T

022

0)2()(

6.41

0)(2 W AV k T

W AV 0 6.42

dacă în relaţia (6.42) ţinem seama de (6.41):0W k AAT 6.43

Relaţia (6.43) reprezintă sistemul normal scris sub formă matriceală.Rezolvarea sistemului impune efectuarea următoarelor notaţii:

N AAT 6.44deci:

0W Nk 6.45Înmulţim la stânga cu 1 N şi ţinem seama că E N N 1 (matricea unitate):

011 W N Nk N 6.46Rezultă:

W N k 1 6.47Revenim la relaţia (6.41) unde, k AV T Înlocuind valorile corelatelork din (6.47), rezultă:

W N AV T 1

6.48Cu ajutorul acestei formule se determină corecţiilev şi mai departe valorile compensateiii vl X 6.49

b) cazul măsurătorilor ponderate Pornim de la condiţia de minim impusă de metoda celor mai mici pătrate:

V pV T = min. 6.50Funcţia Lagrange în acest caz va avea forma:

min)(2 W AV k V pV T T 6.51derivată din:

r nnr

nn

nn

nnr n

wvr vr vr k

wvbvbvbk

wvavavak

v pv pv pk k k vvv

.....2

.......................................

....2

...2

...,...,,,,...,,

2211

222112

12111

2222

2112121

Condiţia de minim implică:

0T V ; 0T K

6.52

Efectuând derivatele parţiale obţinem:


44/71


45/71

M ODUL 4

7. MODELE FUNCŢIONAL- STOCHASTICE FOLOSITE CURENT LAPRELUCRAREA MĂSURĂTORILOR EFECTUATE ÎN REŢELELE GEODEZICEDE SPRIJIN

Proiectarea reţelelor geodezice de sprijin constituie o operaţie complexă, proiectul trebuind săanticipeze şi să se coordoneze corespunzător cu celelalte etape ale realizării reţelelor desprijin: materializarea reţelelor, executarea observaţiilor şi prelucrarea acestora. Se consideră un şir de măsurători:

T0 0 0 01 2M , ,..., n M M M 7.1

efectuate într-o reţea geodezică de sprijin. Se consideră că atât măsurătorile, cât şi reţeauageodezică sunt generalizate, urmând să se facă apoi particularizările şi adaptărilecorespondente.Componentele vectoruluiM 0 sunt mărimi rezultate dintr -un proces complex de măsurare, în

care intervine unnumăr mult mai mare de observaţii elementare decât cele care sunt marcateexplicit în relaţia (6.1). Tehnologiile de lucru sau de prelucrare preliminară permit eliminareaerorilor de natură sistematică astfel încât vectorul M 0 va fi considerat omărime aleatoare.Valoarea cea mai probabilă pentru vectorul M 0 (atunci când fiecare mărime componentă ar proveni din media unui număr infinit de mare de determinări) se notează M ~ :

0~ M E M În mod curent, inclusiv în geodezie, mărimile M ~ sunt denumitevalori adevărate alemăsurătorilor M 0; deşi există diferenţe între cele două categorii de mărimi, în dezvoltărileulterioare se va accepta egalitatea acestora.

7.1 MODELUL STOCHASTIC Diferenţele dintre măsurătorile M 0 şi valorile lor adevărate M ~ sunt denumite uzualeroriadevărate:

0 M M 7.2Proprietăţile stochastice ale mărimilor sunt definite de matricea devarianţă - covarianţă,sau pe scurtmatricea de covarianţă C M :

2

2211

22221221

1121122

1

...

............

...

...

nnnnn

nn

nn

T

M

r r

r r

r r

E C

7.3

S-au folosit notaţiile cunoscute:2i varianţa (teoretică) a măsurătorii 0i M ;

22 ii E ; 7.4ijr coeficient de corelaţie între măsurătorile 0i M şi 0 j M :

;ijiji j

r

i , j = 1,2,...,n; 7.5

jiij E = covarianţa (teoretică ) a măsurătorilor oi M şi .o j M 7.6


46/71

Mărimea i este denumită în statisticăabatere standard , iar în geodezieeroare medie (saueroare medie pătratică). Este cunoscut, de asemenea faptul că:

,1 1i jr 7.7valorile limită ± 1 fiind atinse în cazul în care între variabilele aleatoarei şi j există o

dependenţă liniară ( ji a , undea este o constantă oarecare). Ansamblul coeficienţilorr poate fi grupat înmatricea de corelaţie R M :

M R =

1...

...............

...1

...1

321

22312

11312

nnn

n

n

r r r

r r r

r r r

7.8

Corelaţia evidenţiază dependenţa existentă între observaţiile iniţiale prin coeficienţii decorelaţie dreptunghiularir ij ai matricei aferente R M (7.8).Teoria compensării observaţiilor corelate dezvoltată teoretic de J.M.Tienstra (1947, 1948) are

o deosebită importanţă în prelucrarea observaţiilor geodezice, deoarece prin aplicarea ei pot fiobţinute rezultate riguroase la prelucrarea măsurătorilor .... 001 n M M Cor elaţiile sau posibilităţile de dependenţă stochastică între elementele destinate uneicompensări riguroase sunt clasificate în: corelaţii fizice şi corelaţii matematice. Analizând procesele de măsurare, se poate afirma că nu există măsurători independente, deoarece erorile instrumentale remanente, precum şi condiţiile atmosferice de lucru,determină calitatea rezultatelor obţinute, grupându-le din acest punct de vedere, ceea ceînseamnă, de fapt, o legătură stochastică între observaţiile cuprinse într -un grup. Asemeneacorelaţii fizice se pot stabili numai pe baza unor studii profunde ale condiţiilor concrete demăsurare. Corelaţiile matematice sunt create în special prin utilizarea unui model matematic incomplet,sau afectat de erori de concepţie, pe care F.R.Helmert (1924) le-a denumiterori ale teoriei .

Exemple de corelaţii

1. Rezultatele compensării în staţie a unor observaţii unghiulare azimutale în reţelele detriangulaţie nu sunt întotdeauna elemente independente. Compensarea acestora în reţea caelemente independente ar fi prin urmare neriguroasă. 2. Transformarea măsurătorilor originale (spre exemplu, direcţii măsurate, unghiuri, etc.) şitratarea lor ca observaţii independente, conduce de asemenea la obţinerea unor soluţiineriguroase, aproximative.

Astfel, dacă în locul direcţiilor03

02

01 ,, (fig. 1) , care sunt mărimi independente, s-ar

compensa unghiurile 0201 , , obţinute din simple transformări liniare (în speţă, scăderi deforma 010201 ), ca mărimiindependente, s-ar neglija corelaţia între 01 şi 02 .


47/71

Fig. 1 Exemple de corelaţii matematice la compensarea reţelelor de triangulaţie

Dificultăţile de determinare a corelaţiilor, în special a corelaţiilor fizice, se răsfrâng şi asupra

posibilităţilor practice, de determinare a matricei de covarianţăC M .Este cunoscută, legătura: M M QC 20 7.9

unde σ 02 este o constantă, denumită varianţa unităţii de pondere, iar Q M este matriceacofactorilor măsurătorilor.

nnnn

n

n

M M

QQQ

QQQ

QQQ

C Q

...,

............

...,

...,,,

1

,2,1

2,22,12

11211

20

7.10

CoeficienţiiQ sunt numiţi cofactori sau coeficienţi de pondere. În raport cu aceştia se poateformula o altă posibilitate de determinare a coeficienţilor de corelaţie:

; , 1, 2,...,ijijii jj

Qr i j n

Q Q 7.11

Condiţia necesară şi suficientă ca măsurătorile0i M să fie independente este ca toţi coeficienţiide pondere dreptunghiulari ai matricii cofactorilor (7.10) să fie nuli:

;0ijQ (i, j=1, 2,...,n) 7.12

i ≠ j Funcţiile pentru care sunt îndeplinite toate condiţiile posibile de tipul (6.12) se numesc funcţiiortogonale şi au o deosebită importanţă în teoria prelucrării observaţiilor deoarece pot fitratate ca elemente independente într-o prelucrare ulter ioară, având acelaşi caracter deindependenţă ca şi observaţiile originale. MatriceleC M şi Q M sunt pozitiv definite, astfel încât admit matrice inverse.Se notează:

1 M Q P 7.13

matricea P fiind numitămatricea ponderilor .

Pri n modelu l stochastic al unui proces de prelucrare se înţelege uzual matricea Q M , acofactori lor , (sau P, matr icea ponder il or) .

O

01

02

03

02

01


48/71

Particularizare: În practica lucrărilor geodezice se introduce frecvent ipoteza independenţeiobservaţiilor geodezice:

r ij = 0 ( i, j = 1, 2,...,n )i ≠ j 7.14

Într-un asemenea caz matricea cofactorilor şi respectiv matricea ponderilor devin matrice

diagonale:

2

22

21

20

.

.

.1

n

M Q

n p

p

p

P

.

.

.2

1

7.15, 7.16

Avându-se în vedere (7.13) rezultă că legătura dintre elementele de pediagonalele acestorultime matrice este dată de relaţia:

2

20

ii p

(i = 1, 2,... ) 7.17

Mărimilep se numesc ponderi. Presupunând că una dintre măsurătorile oarecare0k M areabaterea standard k egală cu valoarea constantei 0 , rezultă că ponderea acestei observaţii vafi:

120

20

2

20

k k p 7.18

motiv pentru care 0 se numeşteabaterea standard a unităţii de pondere.Teoria erorilor şi metoda celor mai mici pătrate oferă o gamă largă de posibilităţi de prelucrare a observaţiilor geodezice. Dintre acestea, două intervin în mod frecvent în practica prelucrării observaţiilor efectuate înreţele geodezice şi anume : - metoda observaţiilor indirecte - metoda observaţiilor condiţionate care se vor examina în continuare din punctul de vedere al posibilităţilor concrete de utilizare.

7.2 PRELUCRAREA MǍSURǍTORILOR GEODEZICE PRINMETODA OBSERVAŢIILOR INDIRECTE

7.2.1 Modelul funcţional

Măsurătorile 0i M (i=1,2,...,n ) sunt efectuate în reţeaua geodezică pentru determinarea unuinumăr deu parametri prin care se defineşte, de cele mai multe ori, amplasamentul punctelor(de exemplu în poziţie planimetrică, în înălţime sau într -un sistem tridimensional, etc.) careformează reţeaua geodezică. Vom nota cu ~ mărimea acestor parametri, care s-ar determina în eventualitatea utilizăriivalorilor adevărate M ~ :

]~

,...,~

,~

[~

21 uT X X X X 7.19

Determinarea parametrilor se realizează prin intermediul unor relaţii între aceştia şi mărimile M

~ , relaţii care depind de geometria intrinsecă a reţelei geodezice considerate, precum şi de

natura sau tipul măsurătorilor geodezice care stau la baza determinării: X M ~~ 7.20


49/71

În general relaţiile (7.20) nu au o formă liniară şi de aceea acestea constituiemodelul funcţional neliniarizat al prelucrării măsurătorilor geodezice prin metoda observaţiilorindirecte .Datorită imperfecţiunilor inerente, specifice oricărui proces de observaţii (determinate degradul de dezvoltare a tehnicii folosite, de condiţiile naturale concrete în care se efectuează

observaţiile, de calificarea operatorului, etc.), precum şi datorită faptului că în determinările practice, efective, numărul de măsurători asupra unei mărimi nu poate fi infinit de mare,valorile numerice pentru , 2, şi respectiv M X ~,~ rămân necunoscute. Prin prelucrări, bazate pe diverse ipoteze, se vor obţinevalori estimate ale acestor mărimi. Prelucrările care se bazează pe metoda celor mai mici pătrate conduc la obţinerea unor mărimidiferite, notate în cele ce urmează cuM şi respectivX :

M - observaţii compensate X - valori estimate ale parametrilor sau valori compensate ale necunoscutelor

După cum este cunoscut, legătura dintre noile mărimi introduse M şi măsurătorile iniţiale M 0 este dată de relaţiile:

M = M 0

+ v 7.21Pentru parametriX se introduc în scopul uşurării calculelor, valori provizorii sau aproximativeX 0 , astfel încât:

X = X 0+ x 7.22Formal, atâtv, cât şi x au rolul unor „corecţii”, fiind în acelaşi timp şi „necunoscutele”generale care inter vin în întregul complex de prelucrare. Pentru a se putea puncta şi mai bine proprietăţile lor specifice sunt folosite denumiri diferite şi anume: - pentru mărimilev s-a adoptat denumirea decorecţii:

vT = [v 1 , v2 , ..., v n ] 7.23deoarece de acestea sunt ataşate măsurătorile geodezice M 0 efectuate în reţea. Fiecare dintreaceste corecţiivi are rolul de a anihila un şir întreg de erori elementare care se produc la

efectuarea observaţiilor corespondente0i M ;

- pentru mărimile x s-a adoptat denumirea denecunoscute : xT = [x 1 , x2 , ..., x u ] 7.24

acestea fiind ataşate parametrilor X 0 cucare se operează în

Documents

Modul General