Mögliche Lösungen - Rivius Gymnasium Attendorn · In der Gebührenordnung der Post heißt es unter der Rubrik Postverkehr mit dem Ausland, dass Päckchen in Rollenform (Zylinder)

Name, Jahr Schwierigkeit Mathematisches Thema Carola Schöttler, 2009 X Extremwertaufgaben

Zimmer im Dach

In der Skizze ist ein Querschnitt eines Dachgeschosses der Höhe 4,8m und Breite 8m dargestellt.

In diesem Dachgeschoss soll ein möglichst großes Zimmer entstehen. Begründe, ob man dies für bestimme Maße erzielen kann.

Mögliche Lösungen Aus Symmetriegründen genügt es, „das halbe Problem“ zu betrachten. Bei diesen Gegebenheiten ergibt sich das größt mögliche Rechteck immer genau für die halben Seitenlängen. (Können Sie dies begründen?) In diesem Fall für x = 2,4 und y = 2. Das Zimmer wird also möglichst groß für eine Breite von 4m und eine Höhe von 2,4m. Sind diese Maße praktisch angemessen?

Name, Jahr Schwierigkeit Mathematisches Thema Carola Schöttler, 2009 XX Extremwertaufgaben

Zylinder aus Kugel

Eine Holzkugel soll so bearbeitet werden, dass ein Zylinder entsteht. Begründe, ob das Volumen des Zylinders bei der Wahl bestimmter Maße ma-ximal wird.

Mögliche Lösungen Für das Volumen des Zylinders gilt hrV ZZ π= (Extremalbedingung).

Als Nebenbedingung muss gelten: 222

21

KZ rrh =+⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

(Pythagoras in der nebenstehenden Längsschnittzeichnung). Durch Einsetzen von rZ

2 in die Extremalbedingung erhält man als Ziel-

funktion 3

2

41)( hhrhV KZ ππ −= mit dem Definitionsbereich

] [KV rD ;0= , für die ein zu findendes h einen möglichst großes Volumen annehmen soll. Gesucht ist also eine mögliche Extremstelle von )(hVZ . Notwendige

Bedingung für die Existenz einer Extremstelle: VZ’(h) = 0 KK rhhr320

43 22 =⇔=−⇔ ππ .

Zu prüfen bleibt, ob die hinreichende Bedingung für ein Maximum gilt. VZ’’’( r

32 )<0

Für =h Kr32 wird das Volumen des Zylinders maximal.

Name, Jahr Schwierigkeit Mathematisches Thema Jan Hendrik Müller, 2009 X Extremwertaufgaben

Zahlentheoretisches Begründe, ob a) man zu irgendeiner positiven reellen Zahl den Kehrwert dieser Zahl addie-

ren kann, so dass diese Summe möglichst klein wird. b) es ein möglichst kleines Produkt von zwei reellen Zahlen mit der Differenz 1

gibt. c) die Zahl 12 so in zwei Summanden zerlegt werden kann, dass das Produkt

der Summanden möglichst groß wird.

Mögliche Lösungen a) Die Zahl sei x. Aus dem Text ergibt sich die Funktion

xxxf 1)( += , die für ein zu findendes x einen

möglichst kleinen Wert annehmen soll. Gesucht ist also eine mögliche Extremstelle von f(x). Notwendi-

ge Bedingung für die Existenz einer Extremstelle: f ’(x) = 0 1²011 2 =⇔=−⇔ xx

.

Bei x = ±1 kann also eine Extremstelle liegen. Da eine positive reelle Zahl gesucht wurde ist nur zu prü-

fen, ob für ein Minimum gilt f ’’(1) > 0. 02³12

³2)(''

1>===

=xxxf . Für x = 1 ergibt sich also tatsächlich

die kleinste Summe 2111 =+ . Alle anderen Summen sind größer, da

2

11x

− klarerweise für x = 1 den

größten Wert annimmt (von 1 wird abgezogen!)! b) Wenn die Differenz zweier Zahlen x und y genau 1 ist und x die größere der zwei Zahlen ist, so gilt x - y

= 1 bzw. x = y + 1. Für das Produkt der Zahlen gilt also x ⋅ y = (y +1) ⋅ y = y² + y. Diesen Term y² + y als Funktion f(y) betrachtet ist eine nach oben geöffnete Parabel, die klarerweise genau ein Minimum be-sitzt. Notwendigerweise gilt f ’(y) = 2y + 1 = 0, also muss y = -0,5 sein. Also ist x = 0,5.

c) Sind x und y die zwei reellen Zahlen, so gilt x + y = 12 bzw. x = 12 – y. Für das Produkt der Zahlen gilt also x ⋅ y = (12 - y) ⋅ y = 12y – y². Diesen Term 12y – y² als Funktion f(y) betrachtet ist eine nach unten geöffnete Parabel, die klarerweise genau ein Maximum besitzt. Notwendigerweise gilt f ’(y) = 12 – 2y = 0, also muss y = 6 sein. Also ist x = 6.

Name, Jahr Schwierigkeit Mathematisches Thema Jan Hendrik Müller, 2009 X Extremwertaufgaben

Zahlentheoretisches Begründe, ob d) man zu irgendeiner positiven reellen Zahl den Kehrwert dieser Zahl addie-

ren kann, so dass diese Summe möglichst klein wird. e) es ein möglichst kleines Produkt von zwei reellen Zahlen mit der Differenz 1

gibt. f) die Zahl 12 so in zwei Summanden zerlegt werden kann, dass das Produkt

der Summanden möglichst groß wird.

Mögliche Lösungen d) Die Zahl sei x. Aus dem Text ergibt sich die Funktion

xxxf 1)( += , die für ein zu findendes x einen

möglichst kleinen Wert annehmen soll. Gesucht ist also eine mögliche Extremstelle von f(x). Notwendi-

ge Bedingung für die Existenz einer Extremstelle: f ’(x) = 0 1²011 2 =⇔=−⇔ xx

.

Bei x = ±1 kann also eine Extremstelle liegen. Da eine positive reelle Zahl gesucht wurde ist nur zu prü-

fen, ob für ein Minimum gilt f ’’(1) > 0. 02³12

³2)(''

1>===

=xxxf . Für x = 1 ergibt sich also tatsächlich

die kleinste Summe 2111 =+ . Alle anderen Summen sind größer, da

2

11x

− klarerweise für x = 1 den

größten Wert annimmt (von 1 wird abgezogen!)! e) Wenn die Differenz zweier Zahlen x und y genau 1 ist und x die größere der zwei Zahlen ist, so gilt x - y

= 1 bzw. x = y + 1. Für das Produkt der Zahlen gilt also x ⋅ y = (y +1) ⋅ y = y² + y. Diesen Term y² + y als Funktion f(y) betrachtet ist eine nach oben geöffnete Parabel, die klarerweise genau ein Minimum be-sitzt. Notwendigerweise gilt f ’(y) = 2y + 1 = 0, also muss y = -0,5 sein. Also ist x = 0,5.

f) Sind x und y die zwei reellen Zahlen, so gilt x + y = 12 bzw. x = 12 – y. Für das Produkt der Zahlen gilt also x ⋅ y = (12 - y) ⋅ y = 12y – y². Diesen Term 12y – y² als Funktion f(y) betrachtet ist eine nach unten geöffnete Parabel, die klarerweise genau ein Maximum besitzt. Notwendigerweise gilt f ’(y) = 12 – 2y = 0, also muss y = 6 sein. Also ist x = 6.

Name, Jahr Schwierigkeit Mathematisches Thema Carola Schöttler, 2009 XXX Extremwertaufgaben

Unterschiedliche Wahl der Variablen Einem Viertelkreis mit dem Radius r = 5cm wird ein Dreieck OPQ einbeschrie-ben. Begründe, ob für eine bestimmte Wahl des Winkels α wird der Inhalt des Dreiecks maximal wird.

Mögliche Lösungen


Rechteck unter Parabel Das Stück CD ist Teil des Graphen von f mit 2

167)( 2 += xxf . Begründe, ob für

eine bestimmte Lage von Q der Inhalt des Rechtecks RBPQ maximal wird.

Mögliche Lösungen


Rechteck im Trapez

Bei einem Din-A4-Papier werden zwei gegenüberliegende Ecken aufeinander gefaltet. Schneidet man entlang der Faltlinie entstehen zwei kongruende Tra-peze. In eins der entstehenden Trapeze soll ein Rechteck mit möglichst großem Flä-cheninhalt einbeschrieben werden. Welche Maße sind (wie?) zu wählen?

Mögliche Lösungen

Extremalbedingung: Für den Flächeninhalt des Rechtecks gilt

baA ⋅= Nebenbedingung: Der Punkt P hat die Koordinaten (a/b) und liegt auf der Geraden y= -0,707x + 22,27, d.h. b = -0,707a+22,27.

Zielfunktion: Durch Einsetzen von b in die Extremalbedingung erhält man xxaA 27,22707,0)( 2 +−= mit dem Definitionsbereich

] [21;0=AD . Für die Zielfunktion soll ein zu findendes a einen möglichst großen Wert A annehmen. Gesucht ist also eine mögliche Extremstelle von A(a). Notwendige Bedingung für die Existenz einer Extremstelle:

A’(a) = 0 75,15027,22414,1 =⇔=+−⇔ xx .

A’’(15,75) < 0, demnach hat A(a) an der Stelle 15,75 ein lokales Maximum. Für b ergibt sich dann 11,13 und die Fläche beträgt 175,4cm2.


Rechteck im Dreieck

Ein Din-A4-Papier wird entlang der Diagonalen halbiert. In das entstehende rechtwinklige Dreieck soll ein Rechteck mit möglichst großem Flächeninhalt einbeschrieben werden. Welche Maße sind (wie?) zu wählen? Kann man das Ergebnis verallgemeinern?

Mögliche Lösungen Idee Falttechnik: Man legt einen Punkt auf der langen Seite fest und faltet jeweils die Parallelen zu den beiden anderen Seiten. Man kann feststellen, dass es genau eine Wahl von P gibt (diese erhält man durch die Seitenhalbierenden) so, dass die Fläche des entstehenden Rechtecks genau der Hälfte des Ausgangsdreieck entspricht. Bei jeder anderen Wahl von P wird die Rechtecksfläche kleiner, was man an den Überständen am Faltergebnis sieht. Rechnerischer Nachweis:

Extremalbedingung: Für den Flächeninhalt des Rechtecks gilt baA ⋅=

Nebenbedingung: Der Punkt P hat die Koordinaten (a/b) und liegt auf der Geraden y= -1,14x + 29,7, d.h. b = -1,41a+29,7.

Zielfunktion: Durch Einsetzen von b in die Extremalbedingung erhält man

xxaA 7,2941,1)( 2 +−= mit dem Definitionsbereich ] [21;0=AD .

Für die Zielfunktion soll ein zu findendes a einen möglichst großen Wert A anneh-men. Gesucht ist also eine mögliche Extremstelle von A(a). Notwendige Bedingung für die Existenz einer Extremstelle: A’(a) = 0

5,1007,2982,2 =⇔=+−⇔ xx .

A’’(10,5) < 0, demnach hat A(a) an der Stelle 10,5 ein lokales Ma-ximum. Die Fläche beträgt dann 155,4cm2


Postpaket

In der Gebührenordnung der Post heißt es unter der Rubrik Postverkehr mit dem Ausland, dass Päckchen in Rollenform (Zylinder) höchstens so bemessen sein dürfen, dass Länge h und vierfacher Radius r zusammen nicht mehr als 104 cm betragen. Begründe, ob es bestimmte Abmessungen r und h gibt, bei denen das Volu-men V des Päckchens möglichst groß wird.

Mögliche Lösungen Für das Volumen eines Zylinders gilt hrV π2= (Extremalbedingung). Als Nebenbedingung muss gelten:

rhrh 41041044 −=⇔=+ . Durch Einsetzen von h in die Extremalbedingung erhält man als Zielfunk- tion 23 1044)( rrrV ππ +−= mit dem Definitionsbereich ] [26;0=VD , für die ein zu findendes r einen möglichst großen Wert V annehmen soll. Gesucht ist also eine mögliche Extremstelle von V(r). Notwendige Bedingung für die Existenz einer Ext-

remstelle: V’(r) = 0 0352020812 2 =⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −⇔=+−⇔ rrrrr ππ .

Bei 01 =r und 3117

352

2 ==r kann also eine Extremstelle liegen. Da 01 =r VD∉ , ist nur zu prüfen, ob

)( 2rV ′′ < 0 (Maximum).

Das Volumen wird demnach für cmcmr3117

352

2 == maximal und beträgt 332721)352( cmV = . Die

Höhe beträgt in diesem Fall cmh3234= und entspricht dem Durchmesser.


Papierschachtel

Aus einem Din-A4-Papier soll durch Einschnitte (siehe Figur unten) eine oben offene Schachtel hergestellt werden. Begründe, ob es für die Wahl der Höhe x Werte gibt, für die das Volumen der Schachtel möglichst groß wird.

Mögliche Lösungen Extremalbedingung: Für das Volumen der Schachtel gilt

zyxV ⋅⋅= Nebenbedingung(en): Für die Grundseitenlängen y und z der Schachtel gilt xy 221−= und .27,29 xz −=

Zielfunktion: Durch Einsetzen von y und z in die Extremalbedingung er-hält man

xxxxxxxV 7,6234,1014)27,29()221()( 23 +−=⋅−⋅−= mit dem Definitionsbereich ] [5,10;0=VD . Für die Zielfunktion soll ein zu findendes x einen möglichst großen Wert V annehmen. Gesucht ist also eine mögliche Extremstelle von V(x). Notwendige Bedingung für die Existenz einer Extremstelle: V’(x) = 0

04,486,1207,6238,20212 212 =∨=⇔=+−⇔ xxxx . )( 1 VDx ∉

V’’(4,04) = -105,84 < 0, demnach hat V(x) an der Stelle 4,04 ein lokales Maximum. Das Volumen beträgt dann V=1128,5cm3 und der Flächeninhalt der zugehörigen Grundfläche A=279,3cm2


Papierschachtel mit Deckel

Aus einem Din-A4-Papier soll durch Herausschneiden von 6 Quadraten eine Schachtel mit Deckel hergestellt werden, deren Deckel an 3 Seiten übergreift. Wie groß sind die Quadrate zu wählen, damit das Volumen der Schachtel möglichst groß wird?

Mögliche Lösungen Extremalbedingung: Für das Volumen der Schachtel gilt zyxV ⋅⋅= (Höhe x Länge x Breite)

Nebenbedingung(en): Für die Bodenlänge und -breite y und z gilt xy 221−= und .5,127,29 xz −=

Zielfunktion: Durch Einsetzen von y und z in die Extremalbedingung erhält man

xxxxxxxV 85,3112,613)5,127,29()221()( 23 +−=⋅−⋅−= mit dem Definitionsbereich ] [9,9;0=VD .

Für die Zielfunktion soll ein zu findendes x einen möglichst großen Wert V annehmen. Gesucht ist also eine mögliche Extremstelle von V(x). Notwendige Bedingung für die Existenz einer Extremstelle: V’(x) = 0

4,32,10085,3114,1229 212 =∨=⇔=+−⇔ xxxx . )( 1 VDx ∉

V’’(3,4)= -61,2 < 0, demnach hat V(x) an der Stelle 4,04 ein lokales Maximum. Das Volumen beträgt dann V=456,672cm3.


Kegel

Begründe, ob ein Kegel mit einer Seitenkante von s = 12 cm bei bestimmter Wahl von Radius r und Höhe h maximales Volumen annimmt.

Mögliche Lösungen Für das Volumen des Kegels gilt hrV 2

31π= (Extremalbedingung).

Als Nebenbedingung ergibt sich mit dem Satz von Pythagoras

22222 14412 hrhr −=⇔=+ . Durch Einsetzen von r2 in die Extremalbedingung erhält man als Zielfunktion

3

3148)( hhhV ππ −= mit dem Definitionsbereich ] [12;0=VD , für die ein zu finden-

des h ein möglichst großes Volumen V annehmen soll. Gesucht ist also eine mögliche Extremstelle von V(h). Notwendige Bedingung für die Existenz einer Extremstelle: V’(h) = 0 480482 ±=⇔=+−⇔ hh ππ .

)48( VDh ∉−=

Zu prüfen bleibt die notwendige Bedingung. .0)48( <′′V Das Volumen wird demnach für h = 6,93cm und r = 9,8 cm maximal und beträgt V = 696,97 cm3.


Kegel in Kegel

Begründe, ob ein Kegel mit einer Seitenkante von s = 12 cm bei bestimmter Wahl von Radius r und Höhe h maximales Volumen annimmt.

Mögliche Lösungen Für das Volumen des Kegels gilt hrV 2

31π= (Extremalbedingung).

Als Nebenbedingung ergibt sich mit dem Satz von Pythagoras 22222 14412 hrhr −=⇔=+ .

Durch Einsetzen von r2 in die Extremalbedingung erhält man als Zielfunktion 3

3148)( hhhV ππ −= mit

dem Definitionsbereich ] [12;0=VD , für die ein zu findendes h ein möglichst großes Volumen V annehmen soll. Gesucht ist also eine mögliche Extremstelle von V(h). Notwendige Bedingung für die Existenz einer Extremstelle: V’(h) = 0 480482 ±=⇔=+−⇔ hh ππ .

)48( VDh ∉−=

Zu prüfen bleibt die notwendige Bedingung. .0)48( <′′V Das Volumen wird demnach für h = 6,93cm und r = 9,8 cm maximal und beträgt V = 696,97 cm3.

Name, Jahr Schwierigkeit Mathematisches Thema

Jan Hendrik Müller, 2009 XX Extremwertaufgaben

Gedrehtes Quadrat Zwei kongruente Quadrate werden so aufeinander ge-legt, dass die Ecke des einen Quadrates fest mit der Mitte des anderen Quadrats verbunden bleibt. Nun dreht man das „äußere“ Quadrat.

g) Begründe, ob die Innenwinkelsumme des schraf-fierten Bereichs in irgendeiner Position des „äuße-ren“ Quadrats möglichst groß bzw. möglichst klein werden kann.

h) Begründe, ob die Anzahl der Symmetrieachsen des schraffierten Bereichs in irgendeiner Position des „äußeren“ Quadrats möglichst groß bzw. mög-lichst klein werden kann.

i) Begründe, ob der Flächeninhalt des schraffierten Bereichs in irgendeiner Position des „äu-ßeren“ Quadrats möglichst groß bzw. möglichst klein werden kann.

j) Begründe, ob der Umfang des schraffierten Bereichs in irgendeiner Position des „äußeren“ Quadrats möglichst groß bzw. möglichst klein werden kann.

Mögliche Lösungen a) Die Innenwinkelsumme beträgt für 4-Ecke immer 360°, für Dreiecke stets 180°! b) Für α=0° (Quadrat) 4 Symmetrieachsen, für 0°<α<45°

keine Achsensymmetrie, für α=45° (gleichschenkliges Dreieck) eine Symmetrieachse.

c) Der Flächeninhalt bleibt stets identisch. Z.B. mit dem Kongruenzsatz SWS kann eingesehen werden, dass neu überstrichene „dreieckige“ Flächen gerade den „dreieckigen“ Flächen entsprechen, die „fehlen“:

d) Die Seitenlänge des Quadrats sei a: Der Um-fang berechnet sich z.B. mit Hilfe der Funktion

aaU +⋅=)cos(2

2)(α

α (+a, weil die beiden Außen-

kanten zusammen so lang wie eine Quadratseite sind). Demzufolge ist der Umfang am kleinsten für α=0° (Quadrat) und am größten für α=45° (gleich-schenkliges Dreieck).

fehlt

neu

α a/2 a/2cosα


Fußballfeld Ein Sportstadion mit einer Laufbahn der Länge 400m soll so angelegt werden, dass die Fläche A eines eingeschlossenen Rechtecks als Fußballfeld möglichst groß ist.

Mögliche Lösungen


Flugkosten

1050 Leute benutzen täglich 15 Flieger. Die Tageseinnahmen liegen bei 210.000 €. Marktuntersuchungen haben ergeben, dass bei einer Preissenkung von je 25 € jeweils 20 Leute pro Flieger zusätzlich mitfliegen würden. Prüfen Sie, ob sich eine Preissenkung für die Fluggesellschaft lohnt. Wann erzielt die Fluggesellschaft den maximalen Gewinn?

Mögliche Lösungen x : Anzahl an Preissenkungen um 25€ Für den Gewinn (Personen mal Preis) gilt: )25200()20151050()( xxxG −⋅⋅+= mit }8,...,0{=GD . Gesucht ist ein mögliches x, für das der Gewinn maximal wird. Gesucht ist also eine mögliche Extremstelle von G(x). Notwendige Bedingung für die Existenz einer Ex tremstelle: G’(x) = 0 25,20700.33000.15 =⇔=+−⇔ xx . x kann nur ganzzahlige Werte annehmen. Für x= 2, d.h. eine Preis von 150 €, ergibt sich der maximale Gewinn von G(2) = 247.500 €. ( G(3) = 243.750 € )

Name, Jahr Schwierigkeit Mathematisches Thema Jan Hendrik Müller, 2009 XX Extremwertaufgaben

Extrem extremales DINA4 Blatt Aus einem DINA4 Blatt soll nur der Rand eines Gefäßes hergestellt werden, also kein Boden und kein Deckel. Der Boden des Gefäßes soll a) quadratisch oder b) kreisrund sein. Begründe, ob es möglich ist, das Blatt so zu zerschneiden, dass das Volumen des Gefäßes maximal wird. Damit man die Stücke gut miteinander verkleben kann, sollen sie sich an allen Klebestellen jeweils 1 cm überlappen.

Mögliche Lösungen Teilt man das DINA4 Blatt der Übersicht halber der Länge nach in n rechteckige Streifen der Länge 30cm (jede andere Art wäre zwar auch möglich, aber zunächst schwieriger zu berechnen), dann berechnet sich der Umfang des a) Quadrates durch 28⋅n, da jeweils 2 cm für die Klebeüberlappung wegfallen. Die Seitenlänge des Quadra-

tes ist demnach 7⋅n. Der Flächeninhalt der Grundfläche des Gefäßes also 49⋅n². Die Breite der Streifen

beträgt n21

. Das Volumen des Gefäßes berechnet sich durch die Formel

nn

nnV ⋅⋅=⋅⋅= 214921²49)( . Diese Funktion V(n) hat keine Extremstellen, da

02149)(' ≠⋅=nV für alle n. Erstaunlich ist: Wählt man n beliebig groß, so wird auch das Volumen be-liebig groß. Man schreibt daher ∞=

∞→)(lim nV

n. Viel interessanter als die Schreibweise ist aber die Tatsa-

che, dass man mit einem DINA4 Blatt ein unendlich großes Volumen bilden kann! b) Kreises ebenfalls durch 28⋅n, da jeweils 2 cm für die Klebeüberlappung wegfallen. Der Radius des Krei-

ses kann durch Umstellung der Gleichung Umfang(Kreis) = 2⋅π⋅r = 28⋅n nach r berechnet werden- Es gilt

nr ⋅=π14

. Der Flächeninhalt des Kreises beträgt ²19614²2

nnr ⋅=⋅⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ⋅=⋅

ππ

ππ . Die Breite der Strei-

fen beträgt wieder n21

. Das Volumen des Gefäßes berechnet sich durch die Formel

nn

nnV ⋅⋅=⋅⋅= 2119621²196)(ππ

. Auch diese Funktion V(n) hat aus den gleichen Gründen wie oben

keine Extremstellen. Wählt man auch hier n beliebig groß, so wird auch das Volumen beliebig groß.


Analysis pur …

Eine Funktion f mit Graph G ist gegeben durch ℜ∈+−= xxxxxf ;96)( 23 .

a) Skizziere G für 40 ≤≤ x . (Als Wiederholung kann hier auch eine Kurvendiskussion oder einzelne Punkte einer Kurvendiskussion durch-geführt werden.) b) Durch den Punkt P(u/f(u)) auf G mit 0<u<3 werden die Parallelen zu den Koordinatenachsen gezeichnet. Diese Parallelen bilden zusammen mit den Koordinatenachsen ein Rechteck mit dem Inhalt A(u). Skizziere den Graphen der Funktion A. c) Bestimme u so, dass der Flächeninhalt A(u) maximal wird und berechne die-sen maximalen Flächeninhalt.

Mögliche Lösungen


Abwasserkanal

Der Querschnitt eines Abwasserkanals hat die Form eines Rechtecks mit auf-gesetztem Halbkreis. Begründe, ob bei gegebenem Umfang U die Querschnittsfläche für bestimmte Maße maximal wird.

Mögliche Lösungen

Für die Querschnittsfläche des Abwasserkanals gilt 2

221

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛+= aabA π (Extremalbedingung).

Als Nebenbedingung muss gelten: 2422

2 UaabaabU +−−=⇔++= ππ .

Durch Einsetzen von b in die Extremalbedingung erhält man als Zielfunktion

aUaaA282

1)( 2 +⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−= π

mit dem Definitionsbereich

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

+=

21;0 πUDA , für die ein zu

findendes a einen möglichst großen Wert A annehmen soll. Gesucht ist also eine mögliche Extremstelle von A(a). Notwendige Bedingung für die Existenz einer Extremstelle: A’(a) = 0

22

0282

12 ππ

+=⇔=+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −−⇔ UaUa . Da A(a) eine nach unten geöffnete Parabel beschreibt wird die

Querschnittsfläche für

22 π+

= Ua maximal. (Beispiel: Für U=5m ergibt sich a=1,4m und b=0,7m).

Documents

Mögliche Lösungen - Rivius Gymnasium Attendorn · In der Gebührenordnung der Post heißt es unter der Rubrik Postverkehr mit dem Ausland, dass Päckchen in Rollenform (Zylinder)